RPKPS Matematika

RPKPS Matematika Sutopo,M.Si

Jurusan Matematika

FMIPA UGM

Silabus :

Bilangan Real ( sifat bilangan real, pertidaksamaan)

Relasi dan fungsi ( definisi fungsi, domain fungsi, operasi fungsi)

Limit fungsi ( definisi limit, sifat limit, limit kiri/kanan, kontinuitas)

Turunan ( derivatif ) : Definisi turunan, sifat –sifat turunan,aturan rantai, turunan fungsi trigonometri,turunan fungsi implisit)

Terapan turunan : Diferensial, maksimum/minimum

Integral Tak tentu

Penilaian

Tugas / PR 10 %

Quis 20 %

UTS 35 %

UAS 35 %

Buku Referensi

Calculus, Purcel

Diktat Kalkulus 1 ( MIPA UGM atau ITB )

Buku kalkulus lainnya.

Bilangan real dan himpunan

Himpunan bilangan asli

ℕ = 1,2,3,4,5, …

Himpunan bilangan bulat

ℤ = … ,−3,−2,−1,0,1,2,3, …

Himpunan bilangan rasional

ℚ =𝑝

𝑞|𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0

Himpunan bilangan real

Gabungan bilangan rasional dan irrasional.

Limit fungsi

Ditinjau fingsi berikut 𝑓 𝑥 =3𝑥2−5𝑥−2

𝑥−2 ,

Untuk 𝑥 = 2, fungsi tidak terdefinisi ( 𝑓(2) tidak ada nilainya). Bagaimana nilai 𝑓(𝑥) jika

nilai 𝑥 diambil sangat dekat dengan 2 tetapi

tidak sama dengan 2.

Untuk 𝑥 ≠ 2 , fungsi di atas dapat

disederhanakan sebagai

𝑓 𝑥 =(3𝑥+1)(𝑥−2)

𝑥−2= 3𝑥 + 1

Lanjutan…

Perhatikan tabel berikut

Dari tabel terlihat bahwa jika nilai 𝑥 semakin dekat dengan 2 tetapi 𝑥 ≠ 2, maka nilai 𝑓(𝑥) semakin dekat dengan 6.

x f(x)

1 4

1,5 6,5

1.9999 6,9997

x f(x)

3 10

2,5 8,5

2.00001 6,00003

Lanjutan…

Secara matematis ditulis sebagai,

lim𝑥→2

3𝑥2 − 5𝑥 − 2

𝑥 − 2= 7

Definisi limit fungsi

Definisi :

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿 artinya jika nilai 𝑥 sangat

dekat dengan 𝑐 tetapi 𝑥 ≠ 𝑐 , maka nilai

𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.

Sifat Limit

lim𝑥→𝑐

𝑘 = 𝑘

lim𝑥→𝑐

𝑘𝑓 𝑥 = 𝑘 lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑐

𝑓 ∓ 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) ∓ lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥)

lim𝑥→𝑐

𝑓𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥)

lim𝑥→𝑐

𝑓

𝑔𝑥 =

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥) , asalkan lim

𝑥→𝑐𝑔(𝑥) ≠ 0

lim𝑥→𝑐

𝑓𝑛 𝑥 = (lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥))𝑛

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)𝑛 = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)𝑛

Contoh

lim𝑥→2

𝑥2−4

𝑥−2

lim𝑥→0

𝑥+1−1

𝑥

lim𝑥→2

3− 𝑥2+5

4−𝑥2

lim𝑥→3

𝑥2−𝑥−6

𝑥2−9

Limit fungsi trigonometri

Rumus dasar :

1. lim𝑥→0

cos 𝑥 = 1

2. lim𝑥→0

sin 𝑥 = 0

3. lim𝑥→0

𝑥

sin 𝑥= 1 dan lim

𝑥→0

sin 𝑥

𝑥= 1

4. lim𝑥→0

𝑥

tan 𝑥= 1 dan lim

𝑥→0

tan 𝑥

𝑥= 1

Limit kanan dan limit kiri

Definisi kanan :

lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 = 𝐿 artinya jika nilai 𝑥 sangat

dekat dengan 𝑐 tetapi 𝑥 > 𝑐 , maka nilai

𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.

Definisi kiri :

lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 = 𝐿 artinya jika nilai 𝑥 sangat

dekat dengan 𝑐 tetapi 𝑥 < 𝑐 , maka nilai

𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.

contoh

Diberikan fungsi berikut:

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4

𝑥 − 2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 > 2

2𝑥 + 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≤ 2

Tentukan lim𝑥→2+

𝑓 𝑥 , lim𝑥→2−

𝑓(𝑥)

Sifat

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿 jika dan hanya jika

lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 = 𝐿

Akibat:

Jika lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 ≠ lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 , maka

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) tidak ada.

Kontinuitas

Fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dikatakan kontinu di 𝑥 = 𝑐 jika lim

𝑥→𝑐𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐)

Dari definisi diatas, aka ada 3 syarat agar fungsi kontinu di suatu titik.

1. 𝑓(𝑐) ada

2. lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 ada

3. 𝑓 𝑐 = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)

contoh

Diberikan fungsi

𝑓 𝑥 = 𝑥2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < −12 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 = −1

−3𝑥 + 2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 > −1

Apakah fungsi 𝑓(𝑥) kontinu di 𝑥 = −1

Contoh

Diberikan fungsi

𝑓 𝑥 = 𝑥2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < −11 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 = −1

−3𝑥 − 2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 > −1

Apakah fungsi 𝑓(𝑥) kontinu di 𝑥 = −1

Contoh lanjutan…

Diberikan fungsi berikut

𝑓 𝑥 =

(𝑥 − 1)2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0

𝐴 − 𝑥2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 0 ≤ 𝑥 < 1𝑥 + 𝐵 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 1

Tentukan nilai 𝐴 dan 𝐵 agar fungsi kontinu

di 0 dan 1.

jawaban

Di titik 𝑥 = 0

𝑓 0 = 𝐴

lim𝑥→0−

(𝑥 − 1)2= 1

lim𝑥→0+

𝐴 − 𝑥2 = 𝐴

Syarat kontunu di 𝑥 = 0 adalah 𝑓 0 =lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0+

𝑓(𝑥)

𝐴 = 1 = 𝐴

Jadi agar fungsi kontinu di𝑥 = 0, maka 𝐴 = 1

Derivatif ( turunan)

Definisi:

Diberikan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dengan domain

𝐷𝑓 . Turunan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) di sebarang

titik 𝑥 dengan notasi 𝑓′ 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥

didefinisikan sebagai ,

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

Asalkan nilai limit ini ada.

Rumus dasar turunan

Jika 𝑓 𝑥 = 𝑘 maka 𝑓′ 𝑥 = 0

Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛, maka 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1

Jika 𝑓 𝑥 =𝑈

𝑉, maka 𝑓′ 𝑥 =

𝑈′𝑉−𝑈𝑉′

𝑉2

Jika 𝑓 𝑥 = 𝑈𝑉, maka 𝑓′ 𝑥 = 𝑈′𝑉 +𝑈𝑉′

Jika 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥, maka 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥

Jika 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥, maka 𝑓′ 𝑥 =1

𝑥𝑙𝑛𝑎

Lanjutan….

Jika 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 , maka 𝑓′ 𝑥 = cos 𝑥

Jika 𝑓′ 𝑥 = cos 𝑥, maka 𝑓′ 𝑥 = −sin 𝑥

Aturan rantai

Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang

mempunyai turunan, maka fungsi komposisi

𝑓°𝑔 juga mempunyai turunan , lebih lanjut

jika 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) , maka

turunan dari 𝑦 = (𝑓°𝑔)(𝑥) adalah 𝑑𝑦

𝑑𝑥= (

𝑑𝑦

𝑑𝑢)(𝑑𝑢

𝑑𝑥)

Contoh

Tentukan 𝑓′ 𝑥 :

1. 𝑓 𝑥 = sin(2𝑥2 + 4)

2. 𝑓 𝑥 = (3𝑥2 + 5𝑥 + 9)17

3. 𝑓 𝑥 = sin1

𝑥

4. 𝑓 𝑥 = sin(𝑥+1

𝑥−1)

5. 𝑓 𝑥 = (𝑥2 + 4𝑥 − 9)53

Turunan tingkat tinggi

Suatu fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dapat dilakukan

proses penurunan lebih dari satu kali,

sehingga dikenal turunan tingkat ke-2, ke-

3, dst.

Notasi turunan tingkat ke-2, ke-3 , dst dari

fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dinyatakan berturut-turut

𝑓′′ 𝑥 , 𝑓′′′ 𝑥 ,… , 𝑓𝑛(𝑥).

Turunan fungsi implisit

Suatu fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit maupun implisit.

Suatu fungsi dikatakan dalam bentuk eksplisit jika berbentuk 𝑦 = 𝑓(𝑥) , sedangkan dikatakan dalam bentuk implisit jika berbentuk 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0

Contoh fungsi bentuk ekplisit : 𝑓 𝑥 = 2𝑥 −1 ,𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 9

Contoh fungsi bentuk implisit : 2𝑥 − 𝑦 +8 = 0, 𝑥2 + xy − 𝑦3 = 0

Lanjutan…

Setiap fungsi bentuk eksplisit dengan

mudah bisa dibawa ke bentuk implisit,

tetapi sebaiknya belum tentu.

Turuna fungsi bentuk eksplisit dengan

mudah bisa didapatkan, bagaimana

mencari turunan fungsi bentuk implisit

yang tidak mudah dibawa ke bentuk

eksplisit?

Langkah penurunan fungsi implisit

Tuliskan fungsi dalam bentuk 𝐹 𝑥, 𝑦 =0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑘

Turunkan kedua ruas terhadap variabel 𝑥

dengan mengingat aturan rantai (

𝑦 𝑑𝑖𝑝𝑎𝑛𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑔𝑎𝑖 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑥)

Selesaikan 𝑑𝑦

𝑑𝑥 sebagai fungsi 𝑥 dan 𝑦.

contoh

Tentukan 𝑑𝑦

𝑑𝑥 dari :

a. 𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦3 = 9

b. 𝑥3 + 2𝑥2𝑦 + 𝑦2 = 0

Diferensial

Diberikan fungsi terdiferensial 𝑓 dan ∆𝑥

menyatakan perubahan nilai 𝑥.

Diferensial dari 𝑦 dengan notasi 𝑑𝑦 ,

didefinisikan sebagai 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)∆𝑥.

Diferensial dari 𝑥 dengan notasi 𝑑𝑥 ,

didefinisikan sebagai 𝑑𝑥 = ∆𝑥 ≠ 0

Lanjutan…

Untuk 𝑑𝑥 = ∆𝑥 yang cukup kecil , 𝑑𝑦 merupakan pendekatan yang baik untuk

∆𝑦. Secara matematis ditulis sebagai

jika ∆𝑥 ≈ 0 maka ∆𝑦 ≈ 𝑑𝑦

Untuk 𝑑𝑥 = ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 cukup kecil (

nilai 𝑥 cukup dekat dengan 𝑥0),

𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑥0 + 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)

fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) disebut pendekatan linear 𝑓 di 𝑥0.

Contoh

Tentukan nilai pendekatan dari 123