Relativitas Khusus

1

RELATIVITAS KHUSUS

Teori relativitas diperlukan justru untuk mendapatkan sesuatu yang mutlak dan berlaku

umum. Jadi, setiap hukum fisika yang dirumuskan secara relativistik akan berlaku

umum, bebas dari kerangka tempat pengamatan gejala fisika itu dilakukan. Untuk

memulainya, kita pahami terlebih dahulu konsep penting tentang kerangka acuan.

Kerangka acuan inersial : Kerangka acuan inersial ialah kerangka tempat hukum

Newton pertama berlaku

Kerangka acuan yang kita tambatkan pada karusel (komedi putar) yang sedang berputar

adalah contoh kerangka acuan non inersial sebab di atas karusel yang sedang berputar,

hukum Newton pertama tidak berlaku : bila anda meletakkan sebuah benda yamg

memiliki permukaan cukup licin pada lantai karusel, maka benda itu akan terlempar

keluar. Kalau anda sangkutkan benda itu pada pegas, maka pegas itu bertambah panjang

meskipun anda tidak menariknya. Andaikan kita telah mempunyai sebuah kerangka

acuan inersial dan terdapat kerangka acuan lain yang bergerak dengan kecepatan tetap

terhadap kerangkan acuan inersial kita. Maka kerangka acuan terakhir inipun

merupakan kerangka inersial, karena pada kerangka ini hukum Newton pertama

berlaku. Buktikan! Jadi jumlah kerangka inersial itu tak terhingga jumlahnya. Teori

Relativitas yang dibicarakan pada kerangka-kerangka inersial semacam itu disebut

Tahukah anda bahwa warga Hirosima dan Nagasaki tahun 1945 adalah kelinci

percobaan bagi riset di bidang persenjataan nuklir yang kini telah mencapai

prestasi yang mencengangkan. Untuk itukah prinsip kesetaraan massa dan energi

dipikirkan?

2

Teori Relativitas Khusus. Teori yang dibicarakan pada kerangka-kerangka non-inersial

disebut teori Relativitas Umum. Dalam buku ini kita tidak akan membahas teori

relativitas umum. Jadi, untuk selanjutnya, jika disebutkan teori relativitas, maka yang

dimaksudkan adalah teori relativitas khusus (tanpa mengurangi arti).

Sebelum Einstein, sudah ada orang yang mengusulkan suatu teori relativitas,

yaitu Galileo Galilei. Teori relativitas ini dikenal sebagai teori relativitas Galileo.

Tetapi, relativitas Galileo memperlihatkan berbagai kelemahan terutama bila diterapkan

untuk hukum-hukum elektromagnetika yang tersaji melalui empat persamaan Maxwell.

Tegasnya, relativitas Galileo hanya berlaku untuk mekanika Newton, tetapi tidak untuk

elektromagnetika Maxwell.

Berangkat dari kenyataan semacam itu, terdapat beberapa kemungkinan

berkenaan dengan keberadaan suatu teori relativitas. Kemungkinan itu adalah

Kemungkinan Pertama :

Suatu relativitas yang hanya berlaku untuk mekanika Newton saja, tidak untuk

elektromagnetika Maxwell. Dalam elektromagnetika Maxwell harus ada

kerangka acuan istimewa tempat hukum-hukum elektromagnetika Maxwell

berlaku, kerangka ini disebut kerangka acuan ether.

Untuk menentukan kebenaran kemungkinan ini, orang harus membuktikan keberadaan

ether, yakni apakah ether benar-benar ada, sebagai medium bagi penjalaran gelombang

elektromagnetik.

Kemungkinan Kedua :

Suatu relativitas yang berlaku baik untuk mekanika Newton maupun untuk suatu

teori elektromagnetika tetapi bukan teori elektromagnetika Maxwell karena

elektromagnetika Maxwell salah.

Jika kemungkinan ini benar, maka elektromagnetika Maxwell harus dirombak sehingga

diperoleh sebuah teori elektromagnetika yang sejalan dengan relativitas semacam itu.

Kemungkinan Ketiga : Suatu relativitas yang berlaku baik untuk teori elektromanegtika Maxwell

maupun untuk suatu mekanika tetapi bukan mekanika Newton karena mekanika

Newton salah.

Jika kemungkinan ini benar, maka suatu teori mekanika baru perlu dibangun kembali

untuk mengganti mekanika Newton.

Morley tahun 1881 dan Michelson tahun 1887 menyusun sebuah eksperimen

yang memiliki tujuan untuk menunjukkan adanya ether. Eksperimen ini tidak

menemukan jejak-jejak keberadaan ether. Bahkan malah sebaliknya menemukan hal-hal

yang bertentangan dengan adanya ether. Jadi, hasilnya negatif. Tegasnya, ether tidak

ada. Pada tahun 1909 Bucherer melakukan suatu eksperimen guna mengukur kecepatan

partikel-partikel bertenaga tinggi. Menurut Newton jika tenaga suatu partikel dilipat-

empatkan, maka laju partikel tersebut menjadi dua kali laju semula. Dari pengukuran

yang dilakukannya, Bucherer mendapatkan kesimpulan bahwa kemungkinan pertama

dan kedua harus dilupakan. Oleh karena itu, tinggallah kemungkinan ketiga sebagai

satu-satunya kemungkinan yang masih memberi harapan. Artinya, diperlukan untuk

3

merumuskan suatu mekanika baru guna menggantikan mekanika Newton. Namun,

karena mekanika Newton telah menunjukkan kesesuaian yang sangat menakjubkan

dengan hasil-hasil eksperimen yang hanya melibatkan sistem-sistem berkelajuan rendah

(yakni kelajuan yang dapat diabaikan bila dibandingkan dengan kelajuan cahaya c),

maka teori mekanika yang baru harus menjelma menjadi mekanika Newton bilamana

diterapkan untuk sistem-sistem berkelajuan rendah. Dengan kata lain, mekanika Newton

harus menjadi hal istimewa atau khusus dari teori mekanika baru itu. Atau, dengan kata

lain lagi, mekanika Newton harus merupakan pendekatan terhadap mekanika baru

tersebut untuk sistem-sistem berkelajuan rendah. Pada tahun 1905 Albert Einstein

mengusulkan dua postulat yang di kemudian hari mempengaruhi persepsi (pandangan)

manusia akan ruang dan waktu. Dan pada giliranya, melahirkan mekanika baru yang

merupakan perumuman mekanika Newton.

Sebelum membaca bab ini, ada baiknya jika anda telah menguasai dengan baik

aljabar vektor yang pernah dibahas di kelas satu. Agar tidak bingung dalam

membedakan antara teori Newton dan relativitas khusus, perhatikanlah latar belakang

sejarah hingga teori relativitas terlahir, terimalah dahulu prinsip-prinsip yang

diadopsinya dan jangan anda benturkan dahulu dengan prinsip-prinsip lama yang yang

ada dalam mekanika Newton. Menerima prinsip yang di anut suatu teori, adalah kunci

untuk memahami teori tersebut sekaligus membedakannya dari teori yang lain.

1. Sebutkanlah beberapa contoh kerangka acuan yang bukan kerangka acuan

inersial!

2. Apakah bumi kita ini termasuk kerangka acuan yang inersial?

3. Seseorang sedang naik lift. Tiba-tiba entah mengapa, tiba-tiba tali penarik lift itu

putus. Apa yang terjadi? Betul! Lift beserta orang di dalamnya jatuh bebas. Pada

saat itu orang di dalam lift yang jatuh itu tidak merasakan adanya gravitasi.

Berlakukah hukum Newton pertama pada saat itu di dalam lift? Berdasarkan

jawaban anda tadi, inersialkah lift yang jatuh bebas itu sebagai kerangka?

1 Dua Postulat Einstein

Teori Relativitas Einstein yang dikemukakan oleh Albert Einstein memuat dua

postulat :

Postulat Pertama :

Semua hukum fisika (yang tersaji dalam bentuk persamaan-persamaan

matematis) mempunyai bentuk yang sama pada semua kerangka acuan inersial.

Postulat Kedua :

Laju perambatan cahaya bernilai sama di semua kerangka acuan inersial.

Ungkapan lain untuk postulat pertama ialah ketiadaan kerangka acaun inersial istimewa

tempat hukum-hukum fisika mempunyai bentuk istimewa yang berbeda dari yang

diamati di kerangka acuan inersial lain. Semua kerangka acuan inersial sama baiknya

untuk merumuskan hukum-hukum fisika. Menurut prinsip kedua, boleh dikatakan

bahwa kelajuan cahaya, yang nilainya sering ditulis sebagai c, bersifat invarian.

Hampir semua kalangan (termasuk di dalamnya para fisikawan) telah sepakat

bahwa segala sesuatu yang ada di dunia ini ada batasnya. Semua terbatas kecuali Tuhan.

4

Demikian halnya dengan kelajuan benda, mesti ada batasnya (eksperimen yang

dilakukan Bucherer mendukung pandangan ini). Jadi, di setiap kerangka acuan inersial,

kelajuan setiap benda ada batasnya. Menurut prinsip pertama batas kelajuan ini harus

sama untuk semua kerangka inersial. Mengapa? Karena bila setiap kerangka acuan

inersial memiliki batas kelajuan sendiri-sendiri, maka dipastikan ada kerangka acuan

dengan batas kelajuan paling tinggi. Kalau terdapat kerangka acuan inersial semacam

itu, maka kerangka inersial tersebut tentu merupakan kerangka inersial istimewa. Tetapi

keberadaan kerangka acuam istimewa bertentangan dengan postulat pertama. Maka

yang benar adalah bahwa nilai batas kelajuan harus sama untuk setiap kerangka acuan

inersial. Menurut postulat kedua, dapat disimpulkan bahwa batas kelajuan yang

dimaksud ialah laju rambat cahaya : Kelajuan cahaya merupakan batas kelajuan di

alam. Artinya, tak ada satupun benda yang mampu mencapai kelajuan melebihi

kelajuan cahaya. Jika cahaya dianggap sebagai sinyal pengirim interaksi, maka hal itu

berarti bahwa tidak ada interaksi dengan sinyal lebih cepat dari cahaya. Salah satu

konsekuensi adanya batas kelajuan ini ialah bahwa kaidah penjumlahan kecepatan

model Newton perlu dirubah, diganti dengan kaidah penjumlahan yang baru. Mengapa?

Kedua postulat relativitas Einstein itu kemudian menjadi, pakem bagi

perumusan-perumusan teori yang diusulkan sesudahnya. Suatu teori terasa masih

kurang meyakinkan bilamana teori itu diramu tanpa diusahakan sejalan atau konsisten

dengan kedua postulat di atas.

1. Mengapa aturan penjumlahan kecepatan versi Newton (yakni vtotal = v1 + v2 )

tidak sesuai dengan postulat Einstein sehingga harus diganti dengan aturan

yang baru?

2. Dapatkah anda ceritakan hal-hal ajaib yang akan terjadi bila saja kelajuan

maksimum c dalam postulat Einstein diganti c’ = 10-7

c? (Dalam optik

misalnya)

2 Transformasi Lorentz

Ditinjau sebuah kerangka acuan inersial K yang dilengkapi dengan sistem

koordinat (x, y, z). Dari kerangka acuan ini posisi suatu titik dalam ruang tentu

ditunjukkan oleh vektor posisi r = (x, y, z) = xi + yj + zk. Lalu, diandaikan bahwa

seorang pengamat di kerangka K ini, mencatat suatu peristiwa terjadi pada saat t. Jadi,

suatu peristiwa yang terjadi di titik (x, y, z) pada saat t oleh pengamat di K ditengarai

(ditandai) dengan empat bilangan riil, yaitu x, y, z, dan t. Empat bilangan ini kemudian

menjadi koordinat bagi titik-titik dalam ruang berdimensi empat dengan waktu t

sebagai koordinat keempatnya. Keseluruhan titik-titik yang ditandai dengan empat

bilangan ini dikenal sebagai ruang-waktu. Misalnya terdapat kerangka lain K‟ yang

bergerak dengan kecepatan konstan V = Vi sepanjang sumbu-x (lihat gambar). Oleh

pengamat yang berada di kerangka K‟ ini, posisi suatu peristiwa ditengarai oleh vektor

posisi r’ = (x’, y’, z’) = x’i + y’j + z’k sedang waktu terjadinya peristiwa dicatat oleh

pengamat di K‟ itu sebagai t’. Jadi, bila sebuah peristiwa diamati dari K‟, maka tempat

terjadinya peristiwa itu beserta waktu kejadiannya ditengarai oleh empat bilangan yaitu

x’, y’, z’, dan t’. Oleh katena itu, dari kerangka inersial K‟ dapat disusun koordinat

ruang-waktu yang lain, yakni (x’, y’, z’, t’)

5

Bila dua orang pengamat yang masing-masing diam di kerangka K dan K‟

mengamati suatu peristiwa yang sama dan tak lupa mencatat tempat dan waktu

terjadinya peristiwa itu, maka kedua koordinat yang dicatat oleh kedua pengamat itu

pada umumnya berbeda. Tetapi, kedua koordinat ruang-waktu itu mewakili tempat dan

waktu kejadian yang sama. Nah, pertanyaan yang sekarang harus dijawab,

bagaimanakah kedua koordinat itu terkait satu dengan yang lain? Jawaban atas

pertanyaan ini diberikan oleh konsep transformasi koordinat atau alihragam

koordinat. Yang dimaksud dengan alihragam koordinat ialah suatu aturan yang

memuat persamaan-persamaan yang menghubungkan koordinat (x, y, z, t) dengan (x’,

y’, z’, t’ ).

Lebih jelasnya, alihragam koordinat adalah persamaan-persamaan yang memberitahu

kita tentang

- ketergantungan x’ pada koordinat (x, y, z, t),

- ketergantungan y’ pada koordinat (x, y, z, t),

- ketergantungan z’ pada koordinat (x, y, z, t),

- ketergantungan t’ pada koordinat (x, y, z, t)

atau sebaliknya

- ketergantungan x pada koordinat (x’, y’, z’, t’),

- ketergantungan y pada koordinat (x’, y’, z’, t’),

- ketergantungan z pada koordinat (x’, y’, z’, t’),

- ketergantungan t pada koordinat (x’, y’, z’, t’).

Tujuan kita sekarang ialah mencari suatu transformasi koordinat yang taat pada

kedua postulat relativitas Einstein tersebut di atas. Artinya, suatu transformasi yang

tidak menyalahi postulat-postulat Einstein secara keseluruhan. Namun, demi tujuan

tersebut, ada baiknya (walupun sekilas) jika kita melihat terlebih dahulu relativitas

Galileo. Dalam pandangan Galileo maupun Newton, waktu merupakan sesuatu yang

mutlak. Artinya, tidak tergantung pada tempat mengukurnya. Maksudnya, jika suatu

peristiwa teramati saat t di suatu kerangka inersial dan peristiwa yang sama teramati

Transformasi (x, y, z, t) (x’, y’, z‟, t‟). (1)

Gambar

y

x, x’

y’

z

z’

V = Vi

K’ K

6

pada saat t’ di suatu kerangka inersial yang lain, maka kedua hasil pengamatan waktu

itu memenuhi

t’ = t, (2)

asalkan jam yang digunakan oleh kedua pengamat itu sebelumnya telah disesuaikan satu

dengan yang lain (disingkronkan). Dapat dibuktikan bahwa dalam relativitas Galileo,

x‘ = x – Vt (3a)

y ‘ = y (3b)

z ’ = z (3c)

t ‘ = t. (3d)

Transformasi ini dikenal sebagai transformasi Galileo. Apakah transformasi Galileo ini

memenuhi kedua butir postulat Einstein di atas? Ternyata tidak. Alasannya begini, bila

ada suatu partikel bergerak dengan kecepatan tetap sepanjang sumbu-x (dan tentu saja

juga sepanjang sumbu-x‟), maka kecepatan partikel itu diukur dari kerangka K adalah

u = dt

dx (4)

atau bila diukur dari K‟ ialah

u‟ = '

'

dt

dx (5)

Berdasarkan persamaan (3) diperoleh

u‘ = dt

dx' =

dt

dx − V = u –V, (6)

karena dt’ = dt, yakni karena waktu bersifat mutlak. Sekarang, andaikan partikel yang

ditinjau itu adalah foton. Maka u = c, sehingga cepat rambat cahaya bila diukur dari

kerangka K‟ adalah

u‘ = c‟ = c – V . (7)

Persamaan (7) secara jelas mengatakan bahwa cepat rambat cahaya tidak invarian dalam

transformasi Galileo. Hal ini tentu bertentangan dengan postulat kedua Einstein dan

telah cukup guna membuktikan pernyataan bahwa alihragam Galileo tidak sejalan

dengan postulat-postulat Einstein tersebut.

7

Sekarang diandaikan bahwa pada saat t = 0 kerangka acuan K‟ berimpit dengan

kerangka K sedemikian rupa sehingga titik pangkal O(0,0,0) milik K berimpit dengan

titik pangkal O‟(0,0,0) milik K‟ dan sumbu-x, sumbu-y serta sumbu-z berturut-turut

berimpit dengan sumbu-x‟, sumbu-y‟ serta sumbu-z‟. Pada saat itu t = 0 = t’ (artinya,

jam di masing-masing kerangka menunjukkan angka yang sama, yaitu detik ke 0).

Kemudian, kita akan menerapkan postulat-postulat relativitas khusus. Jika pada saat t =

0 = t’ itu suatu sumber cahaya yang diam di K di titik O(0,0,0) berkedip memancarkan

foton ke segala arah, maka baik dari K sendiri maupun dari K‟ terlihat bahwa foton-

foton itu memiliki kelajuan sama, yakni c. Oleh karena itu, setiap saat foton-foton itu

terletak pada suatu permukaan bola dengan jejari

r = ct, (8)

bila dilihat dari kerangka K atau

r’ = ct’ (9)

bila dilihat dari kerangka K‟ (lihat gambar 3). Karena titik-titik pada permukaan bola

dengan jejari r dan r’ berturut-turut memenuhi persamaan r2 = x

2 + y

2 + z

2 dan r’

2 = x’

2

+ y’2 + z’

2, maka

x’2 + y’

2 + z’

2 = c

2 t’

2 (10)

dan

x2 + y

2 + z

2 = c

2 t

2. (11)

Perhatikanlah dengan seksama bahwa persamaan (8), (9), (10), dan (11)

diperoleh dari penerapan postulat-postulat relativitas Einstein secara ketat. Jadi, yang

harus dicari adalah transformasi koordinat yang memenuhi persyaratan-persyaratan

r = ct

Gambar 3

y’

z’

y

x, x’

z

V = Vi

r = ct

r’ = ct’

8

(10), dan (11). Tentu saja transformasi Galileo tidak memenuhinya. Lalu transformasi

koordinat, macam apa yang memenuhi persamaan-persamaan itu?

Selanjutnya, diusulkan transformasi koordinat yang ditentukan oleh persamaan-

persamaan berikut :

x‟ = γ (x – Vt)

(12a)

y „ = y

(12b)

z ‟ = z

(12c)

t „ = γ (t − 2c

V x ), (12d)

dengan

γ = 22 /1

1

cV. (13)

Dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa transformasi tersebut memenuhi persamaan

(10) dan (11). Transformasi ini dikenal sebagai transformasi Lorentz.

Transformasi Lorentz ini dapat diperoleh melalui pembahasan dalam ruang

momentum tenaga maupun melalui pembahasan dalam ruang konfigurasi. Pembahasan-

pembahasan itu menuntut matematika yang agak tinggi, maka, seperti telah dikatakan di

atas, tidak untuk disajikan di sini.

Contoh 1 : Pada kelajuan relatif berapakah transformasi Galileo dan transformasi

Lorentz untuk posisi x berbeda

(a) 0,10 persen?

(b) 10 persen?

Jawab :

(a) Menurut transformasi Galileo xG‟ = x − vt, sedangkan transformasi Lorentz

menyatakan xL‟ = ( x − vt). Jadi, kita harus mencari nilai kelajuan relatif v, agar

L

GL

x

xx

'

'' = 0,10 % = 0,001.

Persamaan terakhir ini dapat ditulis sebagai

L

G

x

x

'

'= 1 − 0,001 = 0,9990.

Jika ungkapan untuk xG‟ dan xL‟ di depan dimasukkan ke dalam persamaan terakhir ini,

maka diperoleh

1 = 0,9990.

Padahal 1/ = 22 /1 cv . Jadi,

9

1 − 2

2

c

v = 0,9980 atau

2

2

c

v = 0,002.

Oleh karena itu, maka v = 0,0447c. Jadi, untuk kelajuan-kelajuan relatif yang kurang

dari 0,0447c, transformasi Galileo hanya meleset 0,1 %. Maka untuk sistem-sistem fisis

yang melibatkan kelajuan rendah transformasi Galileo telah mencukupi.

(b) Dengan cara yang sama didapatkan bahwa agar transformasi Galileo dan

transformasi Lorentz berbeda 10 %, maka kelajuan relatif yang dibutuhkan adalah v =

0,44 c.

Contoh 2 : Seorang pengamat pada kerangka acuan K melihat sebuah peristiwa yang

terjadi sepanjang sumbu-x, tepatnya pada titik x = 4,00 meter dan pada saat t = 6,00 ×

10−9

detik. Jika kerangka acuan K‟ bergerak dengan kecepatan V = 0,8ci relatif terhadap

kerangka K, di manakah dan kapankah peristiwa itu terjadi bila diamati dari kerangka

acuan K‟?

Jawab : Dalam masalah ini yang harus dihitung adalah x’ dan t’ menurut persamaan

(4.12). Karena kecepatan K‟ relatif terhadap K adalah V = 0,8ci, maka V = 0,8c dan

γ = 22 /1

1

cV =

2

2)8,0(1

1

c

c

= 1,67.

Jadi,

x’ = γ(x − Vt) = (1,67)(4,00 − (0,8)(3 × 108m/dt)(6,00× 10

−9 dt) = 4,28 meter

dan

t’ = γ (t − 2c

V x )

= (1,67)( 6,00 × 10−9

dt − (2

8,0

c

c)(4,00 m))

= (1,67)( 6,00 × 10−9

dt − 1,066 × 10−8

dt)

= 7,78 × 10−9

dt.

1. Tunjukkan bahwa transformasi Lorentz memenuhi persamaan (4.10) dan (4.11)!

2. Pada kecepata relatif berapakah transformasi Galileo dan transformasi Lorentz

berbeda 1% pada bagian posisi dan waktunya? Simpulkanlah sendiri bagaimana

perbedaan nilai tersebut saat kecepatannya makin mendekati kecepatan cahaya!

3. Pada kerangka K, saat waktu menunjukkan t = 0,05 detik sebuah kejadian

terjadi pada koordinat x = 5 m dan y = 10 m. Menurut kerangka K‟ yang

bergerak dengan kecepatan V = 0,7cj relatif terhadap kerangka K, di manakah

dan kapankah peristiwa itu terjadi?

4. Tunjukkanlah bahwa transformasi Lorentz merupakan transformasi yang lebih

umum dari pada transformasi Galileo!

5. Apakah transformasi Lorentz dapat digunakan untuk partikel-partikel

berkelajuan lebih besar dari kelajuan cahaya? Apa alasannya?

10

3 Penjumlahan Kecepatan (Transformasi Kecepatan)

Dari transformasi Lorentz yang diberikan oleh persamaan (12) dapat diperoleh

kaidah transformasi kecepatan yang juga sejalan dengan kedua postulat relativitas

Einstein. Untuk itu, diandaikan terdapat sebuah partikel yang bergerak ke arah

sembarang. Di kerangka acuan K, komponen kecepatan partikel itu pada masing-masing

sumbu koordinat dimisalkan Ux, Uy dan Uz. Jadi,

Ux = dt

dx ; Uy =

dt

dy dan Uz =

dt

dz. (14)

Di kerangka K‟, yang bergerak sepanjang sumbu-x dengan kecepatan tetap V = Vi,

ketiga komponen itu teramati misalkan sebagai Ux‟, Uy‟ dan Uz‟. Tentu saja berlaku

persamaan berikut

Ux‟ = '

'

dt

dx ; Uy‟ =

'

'

dt

dy dan Uz‟ =

'

'

dt

dz (15)

Dari persamaan (12) diperoleh

dx‟ = γ(dx – Vdt ) = γ (dt

dx – V ) dt (16)

dt‟ = γ(dt – 2c

Vdx) = γ(1 –

2c

V

dt

dx) dt (17)

dy’ = dy ; dz’ = dz. (18)

Dari persamaan (16), (17) dan (18) didapatkanlah

Ux‟ = '

'

dt

dx =

dtdt

dx

c

V

dtVdt

dx

)1(

)(

2

=

21

c

VU

VU

x

x

(19)

Uy‟ = '

'

dt

dy =

dtdt

dx

c

V

dy

)1(2

=

)1(2 x

y

Uc

V

U

(20)

Uz‟ = '

'

dt

dz =

dtdt

dx

c

V

dz

)1(2

=

)1(2 x

z

Uc

V

U

(21)

11

Berikut adalah sebuah contoh penerapan transformasi ini. Semoga mendapatkan

kejelasan.

Contoh 3 : Andaikan sebuah mobil, sebut mobil pertama, bergerakdengan kecepatan V1

= V1i sepanjang sumbu–x terhadap seorang pengamat yang diam tanah. Mobil lain,

sebut mobil kedua, bergerak dengan kecepatan V2 = V2 i, juga sepanjang sumbu-x

terhadap pengamat yang diam di tanah (lihat gambar 4.4.). Berapakah kecepatan mobil

kedua dilihat dari pengamat yang ikut menumpang mobil pertama ?

Jawab : Mobil pertama dapat dianggap sebagai kerangka K‟, sedang tanah merupakan

kerangka K. Jadi, kecepatan mobil pertama tidak lain adalah kecepatan kerangka K.

Jadi,

V =V1 = V1i

Mobil kedua dapat dianggap sebagai partikel yang dibicarakan dalam uraian di muka,

sehingga

U = V2 = V2 i.

Perlu diperhatikan di sini bahwa mobil kedua bergerak menyusuri sumbu-x sehingga Uz

= Uy = 0 = V2z = V2y dan Ux = V2. Berdasarkan persamaan (19), (20) dan (21) diperoleh

V2z‟ = V2y‟ = 0

dan

V2x‟ = V2‟ =

2

21

12

1c

VV

VV

V2‟ inilah kecepatan mobil kedua dilihat dari mobil pertama.

Contoh 4 : Persoalannya mirip dengan persoalan pada contoh pertama, hanya saja

sekarang mobil kedua bergerak sepanjang sumbu-z dengan kecepatan V = V2k (lihat

Gambar).

Jawab : Sekarang U = V2 = V2k sehingga Uz = V2, Ux = V2x = 0 dan Uy = V2y = 0.

Menurut persamaan (19), (20) dan (21) diperoleh

V2x‟ = −V = −V1,

V1 V2

Gambar 4

Sumbu-x

12

V2y‟ = 0,

V2z‟ =

2V = V2

2

2

11c

V

Jadi, bila dilihat dari mobil pertama, mobil kedua tampak bergerak dengan kecepatan

V2‟ = −V1i + V2 2

2

11c

V k.

1. Tunjukkanlah dengan menggunakan kaidah penjumlahan Lorentz, bahwa benda

yang bergerak dengan kelajuan cahaya di sebuah kerangka inersia, juga akan

terlihat bergerak dengan kelajuan cahaya pula bila dilihat dari kerangka inersia

lainnya.

2. Pesawat angkasa Alpha bergerak dengan kelajuan 0,9c terhadap bumi. Jika

pesawat angkasa Beta melewati Alpha dengan kelajuan 0,5c, berapa kelajuan

Beta terhadap bumi?

3. Pesawat A berangkat dari bumi dengan kelajuan 0,8c kemudian disusul pesawat

B dengan kelajuan 0,5c (relatif terhadap pesawat A) searah dengan pesawat A.

Menurut pesawat A, berapakah kelajuan pesawat B?

4. Sebuah meteor besar menuju bumi dengan kelajuan 0,5c. Untuk mencegah

tabrakan antara meteor dan bumi, dikirimlah rudal nuklir ke angkasa untuk

ditabrakkan ke meteor tersebut. Jika rudal nuklir berangkat dari bumi dengan

kelajuan 0,6c, berapakah kelajuan meteor menabrak rudal?

4 Kontraksi Panjang dan Dilatasi Waktu

Menurut relativitas Einstein (diejawantahkan dalam bentuk transformasi

Lorentz), waktu bukanlah sesuatu yang mutlak. Artinya, selang waktu yang diukur dari

suatu kerangka acuan inersial tidak sama dengan selang waktu yang diukur dari

Gambar 5

Sumbu-z

Sumbu-x

V2

V1

13

kerangka lain meskipun selang-selang waktu itu diukur dengan jam yang telah

disinkronkan dan selang-selang waktu itu memisahkan dua peristiwa yang sama.

Berikut hendak diuraikan akibat lain dari transformasi Lorentz.

Andaikan dua peristiwa terjadi berturut-turut di titik (x, y, z) pada saat t dan di

titik (x + x, y + y, z + z) pada saat t + t bila diamati dari kerangka K‟. Jadi, kedua

peristiwa itu terpisah oleh selang koordinat (x, y, z) dan oleh selang waktu selama

t. Bagaimana kedua peristiwa itu dilihat dari kerangka acuan K‟? Dari transformasi

Lorentz, yakni persamaan (12), diperoleh bahwa kedua peristiwa itu dipisahkan oleh

selang koordinat (x’, y’, z’) dan oleh selang waktu selama t’, dengan

∆x’ = γ (∆x – V ∆t) (22)

∆t’ = γ (∆t – 2c

V ∆x) (23)

∆y’ = ∆y ; ∆z’ = ∆z. (24)

Jika dua buah peristiwa terjadi di dua tempat dalam waktu yang berbeda maka

∆x, ∆y, ∆z menunjukkan jarak antara dua peristiwa itu diukur dari kerangka K,

sedangkan ∆t adalah selang waktu yang memisahkan kedua peristiwa itu. Andaikan

peristiwa pertama terjadi di titik (x1, y1, z1) pada saat t1 dan peristiwa kedua terjadi di

titik (x2, y2, z2) pada saat t2, maka

∆x = x2 – x1

∆y = y2 – y1

∆z = z2 – z1

∆t = t2 – t1.

Lalu, ∆x’, ∆y’, ∆z’, dan ∆t’ tentu saja menunjukkan jarak dan selang waktu antara kedua

peristiwa yang sama, tetapi diamati dari kerangka K‟ yang bergerak sepanjang sumbu-x

dengan kecepatan tetap sebesar V. Dua peristiwa yang terjadi pada saat bersamaan

dikatakan sebagai dua peristiwa yang serentak. Dua peristiwa yang terjadi di tempat

yang sama dikatakan sebagai dua peristiwa yang setempat. Dua peristiwa yang terjadi

pada saat yang sama dan tempat yang sama dikatakan sebagai dua peristiwa yang

serentak dan setempat. Dua peristiwa yang setempat di suatu kerangka belum tentu

setempat di kerangka lain. Sebaliknya, dua peristiwa yang serentak di suatu kerangka

belum tentu serentak di kerangka lain. Hal ini mudah disimpulkan dari persamaan (22),

(23), dan (24). Andaikan dua peristiwa terjadi di tempat yang sama bila dilihat dari

kerangka K. Maka tentulah berlaku ∆x = 0, ∆y = 0 dan ∆z = 0. Dari kerangka K‟ kedua

peristiwa itu terpisah oleh jarak sejauh

∆x‟ = γ(∆x – V∆t) = − γV∆t . (24)

Di K‟ peristiwa-peristiwa itu tidak terlihat sebagai dua peristiwa yang setempat, kecuali

jika ∆t = 0. Jadi, dua peristiwa yang terlihat setempat sekaligus serentak di suatu

kerangka akan terlihat serentak dan setempat di kerangka lain.

14

Contoh 5 : Dalam misi penerbangan jarak jauhnya, sebuah pesawat alien melintas di

atas bumi dengan laju 0,999999c. Para awak misi tersebut mencatat peristiwa letusan

dua gunung berapi di bumi yang terjadi pada saat bersamaan. Menurut alat ukur yang

berada pada pesawat alien, kedua gunung yang meletus itu berjarak 200 km. (a)

Mungkinkah kedua letusan itu terlihat dalam waktu yang bersamaan pula bila dilihat

dari bumi? (b) Mungkinkah kedua gunung berapi yang meletus itu terletak semuanya di

pulau Jawa?

Jawab :

(a) Dua letusan itu memang terlihat terjadi pada saat yang bersamaan bila dilihat dari

pesawat alien. Tetapi belum tentu bagi seorang penduduk kota Semarang. Kita akan

menghitung berapakah selang waktu terjadinya dua letusan itu bila diukur dari bumi.

Anggaplah kerangka acuan yang menempel pada pesawat sebagai kerangka acuan K

dan yang menempel di bumi sebagai K‟. Jadi, K‟ bergerak dengan kecepatan sebesar

0,999999c ke arah yang berlawanan dengan arah gerak pesawat. Dengan begitu, maka

γ =

2

2

1

1

c

V

= 707,11.

Karena t = 0, maka menurut persamaan (4.23)

∆t’ = γ (∆t – 2c

V ∆x) = γ (−

2c

V ∆x) = (707,11)(

2

999999,0

c

c)(200.000 meter) = 0,47

detik.

Jadi, bila dilihat dari bumi kedua letusan itu tidak terjadi pada saat yang bersamaan.

(b) Menurut persamaan (4.22), dilihat dari bumi kedua gunung itu terpisah oleh jarak

sejauh

∆x’ = γ (∆x – V ∆t) = γ ∆x = (707,11)(200 km) = 141.422 km. Mengingat Banyuwangi

(termasuk kota yang terletak paling timur di pulau Jawa) dan Merak (kota yang terletak

paling barat di pulau Jawa) dipisahkan oleh jarak 1266 km, maka kedua gunung itu

tidak mungkin kedua-duanya berada di pulau Jawa.

. Kontraksi Panjang

Sekarang andaikan terdapat sebuah batang yang bergerak dengan kecepatan

tetap V terhadap pengamat di tanah sepanjang garis lurus. Dalam keadaan diam batang

itu mempunyai panjang semisal l0. Batang yang dalam keadaan bergerak hendak diukur

dari tanah oleh seorang pengamat. Pengukuran panjang batang yang sedang bergerak

berarti penentuan jarak antara dua peristiwa yang terjadi serentak pada ujung-ujung

batang itu. Jadi, ∆t = 0. Karena dalam kerangka diamnya batang itu mempunyai panjang

l0 maka panjang ∆x„ = l0 , sehingga menurut persamaan (22)

l0 = γ ∆x = γl

atau

15

l = 2

2

00 1

c

V

,

(26)

dengan l adalah panjang batang diukur dari tanah. Karena V2/c

2 selalu kurang dari 1,

namun positif maka l < l0. Batang terlihat lebih pendek dibandingkan dengan l0.

Gejala ini dikenal sebagi kontraksi panjang atau kontraksi Lorentz.

Contoh 6 : Sebuah anak panah memiliki panjang 0,5 meter ketika diukur dalam

keadaan diam di tanah. Seorang pemburu membidikkannya pada seekor bison,

sehingga anak panah itu melesat dengan laju 15 meter/detik mendatar. Berapa

panjangkah anak panah yang melesat itu diukur dari tanah?

Jawab :

Dalam masalah ini l0 = 0,5 meter dan V = 15 m/dt. Kelajuan sekian ini sama nilainya

dengan V = 5 × 10-8

c. Oleh karena itu, V2 = 2,5 × 10

-15c

2 dan

2

2

1c

V = 2/115105,21 1.

Oleh sebab itu, anak panah yang sedang bergerak mendatar dengan laju V = 15 m/dt itu

terlihat memiliki panjang l l0 = 0,5 meter. Kasus ini mengajarkan kepada kita

bahwa penyusutan untuk benda-benda yang memiliki kelajuan jauh di bawah laju

cahaya c tidak cukup ketara untuk diamati. Bandingkan sekarang dengan contoh berikut

ini.

Contoh 7 : Sebuah elektron dengan tenaga kinetik sebesar 50 MeV akan memiliki laju

0,999949c. Sebuah elektron dengan tenaga sekian itu bergerak sepanjang sumbu suatu

tabung yang panjangnya 10 meter diukur dari kerangka K yang diam terhadap tabung

itu. Andaikan kerangka K‟ merupakan kerangka yang menempel pada elektron itu. Jadi,

K bergerak dengan kecepatan 0,999949c terhadap K. Berapa panjangkah tabung itu

dilihat dari elektron yang sedang bergerak dengan laju sekian itu?

Jawab :

Di kerangka K‟ elektron dalam keadaan diam, sedangkan tabung bergerak dengan

kecepatan 0,999949c berlawanan arah dengan gerak elektron. Dalam hal ini panjang

tabung yang 9,5 meter adalah panjang tabung diukur dari kerangka diamnya, jadi ini

tidak lain adalah l0. Dan yang hendak dihitung adalah panjang tabung dilihat dari

kerangka yang ikut bergerak bersama elektron dan ini adalah l. Oleh karena itu

berdasarkan persamaan (4.26)

l = 2

2

0 1c

V ,

= (9,5 meter) 2)999949,0(1

= 0,096 meter.

16

Kontraksi panjang ini sangat tampak dan tentu tidak dapat diabaikan sama sekali. Oleh

karena itu dalam perancangan peranti-peranti yang melibatkan partikel-partikel yang

bertenaga tinggi (sama artinya dengan berkelajuan tinggi), maka gejala penyusutan

panjang ini harus benar-benar diperhitungkan.

Dilatasi Waktu

Andaikan ada dua perisiwa yang bila diamati dari tanah terjadi pada tempat yang

sama. Jadi, ini adalah dua peristiwa setempat. Dari tanah kedua peristiwa itu dipisahkan

oleh selang waktu selama ∆t. Kedua peristiwa itu bila dilihat dari sebuah pesawat yang

bergerak dengan kecepatan V terhadap tanah akan terlihat sebagai dua peristiwa yang

dipisahkan oleh selang waktu sebesar sebesar ∆t’ yang dihitung menurut

∆t’ = γ ∆t

atau

∆t’ =

2

2

1c

V

t

, (27)

yaitu dengan menggunakan persamaan (4.23). Karena V2/c

2 selalu kurang dari 1, namun

positif, maka ∆t’ > ∆t. Kedua peristiwa itu terasa terjadi lebih lama dibandingkan bila

diukur dari kerangka K. Gejala ini dikenal sebagi dilatasi waktu. Pemuluran waktu ini

dapat diamati pada berbagai gejala alam. Sebagai contoh adalah proses kelahiran dan

peluruhan zarah (partikel) elementer yang disebut muon. Partikel muon ini biasanya

lahir pada peristiwa tumbukan antara partikel-partikel bertenaga tinggi dan akan

meluruh menjadi elektron dan paratikel-partikel lain. Umur hidup muon adalah selang

waktu dari saat muon itu lahir hingga ia meluruh diukur dari kerangka acuan tempat

muon itu diam. Dari pengukuran di laboratorium, diketahui bahwa umur hidup muon

adalah 2 × 10−6

detik. Muon juga lahir pada peristiwa tumbukan antara sinar kosmik

dengan partikel-partikel (atom-atom) udara yang berada pada lapisan atmorfer paling

luar. Muon yang terlahir dengan cara semacam ini kemudian akan menuju tanah dengan

kelajuan yang sangat tinggi, bahkan mendekati laju cahaya. Seandainya saja muon itu

hidup selama 2 × 10−6

detik diukur dari tanah, maka mereka paling jauh hanya akan

menempuh jarak sekitar 600 meter dan kemudian meluruh. Suatu jarak yang amat

pendek dibandingkan dengan ketebalan atmosfer kita yang 100 kilometer. Oleh karena

itu kita tidak akan pernah melihat muon itu di atas tanah. Namun, kenyataanya muon-

muon masih teramati di permukaan bumi, bahkan dalam jumlah yang sangat besar.

Penjelasaanya, umur hidup muon yang 2 × 10−6

detik itu hanya kalau diukur dari

kerangka acuan tempat muon itu diam. Bila diukur dari bumi, yang bergerak sangat

cepat terhadap muon itu, umur hidupnya akan terukur jauh lebih lama.

1. Sebuah partikel berusia 10-7

s jika diukur dalam keadaan diam. Berapa jauh

partikel tersebut bergerak hingga sebelum meluruh, jika kelajuannya 0,99c sejak

partikel tersebut tercipta?

17

2. Andaikan anda sedang naik sebuah mobil imajiner yang bergerak dengan

kelajuan yang tidak dapat diabaikan terhadap cepat rambat cahaya. Pada saat itu

anda melongok ke luar jendela mobil dan melihat ada sebuah gambar elips yang

cukup lonjong. Benarkah yang anda lihat itu elips yang lonjong?

3. Sebuah pesawat bergerak dengan kelajuan 300 m/s, berapakah waktu terbang

yang diperlukan agar jam penumpang pesawat menjadi terlambat 1 detik dari

jam orang-orang yang di bumi (pada awalnya jam penumpang dan orang yang di

bumi di cocokkan agar tidak berbeda)?

4. Galaksi dalam konstelasi Ursa Mayor menjauhi bumi dengan kelajuan 15.000

km/s. Galaksi tersebut memancarkan gelombang elektromagnetik dengan

panjang gelombang 5.500 „amstrong‟. Menurut orang dibumi, panjang

gelombang yang diterima bergeser berapa ‟mstrong‟?

5. Seorang astronot saat di bumi diukur mempunyai tinggi 170 cm. Jika astronot

tersebut berbaring sejajar dengan sumbu pesawat angkasa yang sedang bergerak

dengan kelajuan 0,8c relatif terhadap bumi, berapakah tingginya saat diukur oleh

orang-orang dalam pesawat? Berapa pula tingginya bila diukur oleh pengamat

yang ada di bumi?

6. Seorang astronot berangkat mengunjungi planet berjarak 1 tahun cahaya (jarak

yang ditempuh cahaya selama bergerak dalam satu tahun) dari bumi

menggunakan pesawat dengan kelajuan 0,95c relatif terhadap bumi. Berapakah

perbedaan umur astronot tersebut saat kembali ke bumi jika dibandingkan

dengan umur sesungguhnya jika berada di bumi?

5 Transformasi Lorentz untuk Momentum dan Tenaga

Ditinjau sebuah benda bermassa m, yaitu massa benda diukur dalam keadaan

diam terhadap pengukur. Benda tersebut diandaikan mempunyai kecepatan V terhadap

kerangka acuan K. Penerapan kedua postulat relativitas Einstein dalam ruang

momentum tenaga (tidak akan diuraikan secara rinci di sini. Untuk itu, anda dapat

membuka buku-buku seperti yang disebutkan dalam daftar pustaka.) memberikan hasil

bahwa momentum benda tersebut bila diukur di K ialah

p =

2

2

1c

V

m

V. (28)

Tenaga keseluruhan yang dimiliki oleh benda tersebut (tidak termasuk tenaga potensial)

diberikan oleh

E =

2

2

2

1c

V

mc

. (29)

Untuk V = 0 benda tersebut mempunyai tenaga yang dikenal sebagai tenaga diam benda

sebesar

E0 = mc2. (4.30)

Tenaga gerak (kinetik) benda itu diberikan oleh

18

Ek = E – E0

Ek = 2

2

2

2

1

mc

c

V

mc

(31)

Contoh 8 : Untuk V yang sangat rendah (dibandingkan dengan c), V2/c

2 menjadi

sangat kecil. Oleh karena itu, faktor dapat dituliskan sebagai

=

2

2

1

1

c

V

1 + 2

12

2

c

V

(Untuk saat ini mohon diterima saja persamaan ini. Bukti lengkap atas persamaan ini

bisa anda dapatkan di buku-buku kalkulus.). Berdasarkan persamaan tersebut, hitunglah

tenaga kinetik untuk benda-benda yang bergerak dengan kelajuan rendah!

Jawab :

Bila ungkapan untuk yang terakhir ini kita masukkan ke dalam persamaan (31), maka

didapatlah

Ek = mc2(1 +

2

12

2

c

V) – mc

2 = mc

2(1 +

2

12

2

c

V – 1) =

2

1mV

2.

Ini tidak lain adalah ungkapan untuk tenaga mekanik yang telah diberikan pada buku

jilid 1 dan 2.

Persamaan (28) dan (29) dapat ditulis dalam bentuk

p = m‟V (32)

dan

E = m’c2, (33)

dengan

m’ =

2

2

1c

V

m

. (34)

Massa m adalah massa benda yang diukur ketika benda dalam keadaan bergerak.

Karena faktor

2

2

1

1

c

V

> 1,

maka m’ > m. Hal inilah yang disebut sebagai “pemekaran” massa.

19

Contoh 9 : (a) Berapakah massa sebuah peluru yang sedang melesat dengan laju V =

15 m/dt, bila massa peluru itu dalam keadaan diam 10 gram? (b) Berapakah laju peluru

itu agar massa peluru itu teramati 10 kali lebih besar bila diukur dari tanah?

Jawab :

(a) Dari contoh enam kita ingat bahwa untuk kecepatan serendah 15 m/dt itu, 1. Jadi,

pemekaran massa peluru itu tidak begitu teramati.

(b) Bila peluru yang sedang bergerak itu terlihat bermassa 10 kali lebih besar daripada

massa terukur diam di tanah, maka

10 × (10 gram) = (10 gram) .

Jadi, = 10. Untuk itu

2

2

1

1

c

V

= 10.

Persamaan ini dipenuhi jika V = 0,995c.

Contoh 10 : Sebuah batang memiliki panjang l0 = 1,00 m dan massa m = 1,00 kg bila

diukur dalam keadaan diam di tanah. Berapakah rapat massa linier batang itu, yakni

massa batang persatuan panjang, dalam keadaan bergerak dengan kelajuan 0,5c diukur

dari bumi?

Jawab :

Bila massa jenis linier batang itu pada saat diam di bumi, maka tentulah = m/l0.

Selanjutnya bila ‟ massa jenis linier batang itu dalam keadaan bergerak dengan

kelajuan 0,5c, maka ‟ = m’/l, dengan

m’ =

2

2

1c

V

m

dan l = l0 2

2

1c

V .

Jadi,

‟ = m’/l =

2

2

1c

V

m

÷ l0 2

2

1c

V =

2 .

Karena = m/l0 = 1,00 kg/m dan 2 = 1,33 maka ‟ = (1,33)( 1,00 kg/m) = 1,33 kg/m.

Jadi, batang itu bertambah padat.

Menggunakan persamaan (28) dan (29) dapat dibuktikan bahwa

E2 – p

2c

2 = m

2 c

4 (35)

Inilah persamaan terkenal yang mengaitkan energi total (E) dengan momentum (p).

20

Andaikan dari kerangka acuan K sebuah benda teramati mempunyai momentum

p = px i + py j + pz k dan tenaga E. Andaikan bila benda tersebut diamati dari kerangka

K‟ mempunyai momentum p‟ = p’x i + p’y j + p’z k dan tenaga E’, maka

px‟ = γ (px – 2c

V E) (36a)

E’ = γ ( E – V px) (36c)

py‟ = py (36c)

pz „ = pz. (36d)

Kerangka acuan K‟ bergerak sepanjang sumbu-x dengan kecepatan V = Vi.

Transformasi terakhir ini dikenal sebagai transformai Lorentz untuk momentum dan

tenaga. Persamaan (36) diperoleh dari penerapan prinsip relativitas pad ruang

momentum-tenaga.

Diketahui : massa elektron = 9,1 x 10-31

kg, massa proton = 1,67 x 10-27

kg, 1 eV =

1,602 x 10-19

J

1. Massa sebuah partikel ketika bergerak menjadi tiga kali massa saat diamnya,

berapakah kelajuan partikel tersebut?

2. Apa konsekuensi penerapan persamaan (4.34) untuk foton (khususnya) dan

(barangkali) partikel-partikel lain yang mampu bergerak secepat cahaya?

3. Sebuah elektron berenergi kinetik sebesar 0,1 MeV. Tentukanlah kelajuannya

menurut mekanika klasik dan teori relativitas!

4. Sebuah partikel mempunyai energi relativistik total 6 MeV dan momentum 5

MeV/c. Berapakah massa diam partikel tersebut?. Jika partikel tersebut diamati

dari kerangka lain yang bergerak dengan kelajuan 0,5c dari kerangka lama,

berapakah energi relativistik totalnya dan momentumnya?

4.6 Daftar Pustaka

1. Bergmann, P.G. .1942. Introduction to the Theory of Relativity, Prentice-Hall, Inc.,

USA.

2. Brehm , J.J. dan Mullin., 1989. Introduction to The Structure of Matter, Edisi

pertama, John Wiley & Son, New York.

3. Greiner, W. dan Rafelski, J., 1992, Spezielle Relativitätstheori, edisi ketiga, Verlag

Harri Deuthsch, Frankfurt am Main.

4. Resnick, R., 1972. Basics Concepts of Relativity and Early Quantum Theory. John

Wiley & Son. New York.

4.7 Proyek Kita