REGRESI BERGANDA

REGRESI BERGANDA

PENDAHULUAN

Apakah Konsumsi hanya dipengaruhi oleh Pendapatan saja?

Ada beberapa variabel lain yang berpengaruh, seperti jumlah anggota keluarga, umur anggota keluarga, selera pribadi, dan sebagainya.

Bila dianggap variabel lain perlu diakomodasikan dalam menganalisis konsumsi, maka Regresi Sederhana dikembangkan menjadi Regresi Berganda.

MODEL

Yi = 0 + 1X1i + 2X2i + 3X3i + ........+ kXki + ui i = 1,2,3,......., N (banyaknya observasi)

Contoh Aplikasi:Yi = 0 + 1X1 + 2X2 + 3X3 + ui Y : KonsumsiX1 : PendapatanX2 : Umur X3 : Jumlah tanggungan

ESTIMASI

Teknik Estimasi: Ordinary Least Square Estimator:

b = (XTX)-1 XTY

Bentuk tersebut merupakan persamaan matriks, dimana:

X adalah matriks data variabel bebasXT adalah bentuk transpose matriks X(XTX)-1 adalah inverse perkalian matriks XT dan XY merupakan vektor data variabel terikat

Pemeriksaan Persamaan Regresi

Standard Error Koefisien Interval Kepercayaan Koefisien Determinasi Nilai-nilai ekstrim Uji Hipotesis:

– Uji t – Uji F

Uji Hipotesis

Uji-FDiperuntukkan guna melakukan uji hipotesis koefisien (slop) regresi secara bersamaan.

H0 : 1 = 2 = 3 = 4 =............= k = 0H1 : Tidak demikian (paling tidak ada satu slop yang 0)

Dimana: k adalah banyaknya variabel bebas.

Regresi sederhana:H0 : 1 = 0H1 : 1 0

Pengujian: Tabel ANOVA (Analysis of Variance).

Uji-F

Observasi: Yi = 0 + 1 Xi + ei Regresi: Ŷi = b0 + b1 Xi (catatan: Ŷi merupakan estimasi dari Yi).

Bila kedua sisi dikurangi maka:

Selanjutnya kedua sisi dikomulatifkan:

SST SSR SSE SST : Sum of Squared Total SSR : Sum of Squared Regression SSE : Sum of Squared Error/Residual

Y Y Y Y ei i

( ) ( )Y Y Y Y ei i i 2 2

( ) ( )Y Y Y Y ei i i 2 2 2

Y

Uji F

Tabel ANOVASumber Sum of Square df Mean Squares F HitungRegresi SSR k MSR = SSR/k F = MSRError SSE n-k-1 MSE= SSE/(n-k-1) MSETotal SST n-1

Dimana df adalah degree of freedom, k adalah jumlah variabel bebas (koefisien slop), dan n jumlah observasi (sampel).

Bandingkan F Hit dengan Fα(k,n-k-1)

Asumsi-asumsi yang mendasari OLS

Pendugaan OLS akan bersifat BLUE (Best Linier Unbiased Estimate) jika memenuhi 3 asumsi utama, yaitu:– Tidak ada multikolinieritas– Tidak mengandung Heteroskedastisitas– Bebas dari otokorelasi

Multikolinieritas

Multikolinieritas: adanya hubungan linier antara regressor.

Misalkan terdapat dua buah regressor, X1 dan X2. Jika X1 dapat dinyatakan sebagai fungsi linier dari X2, misal : X1 = X2, maka ada kolinieritas antara X1 dan X2. Akan tetapi, bila hubungan antara X1 dan X2 tidak linier, misalnya X1 = X22 atau X1 = log X2, maka X1 dan X2 tidak kolinier.

Ilustrasi

Yi = 0 + 1X1 + 2X2 + 3X3 + ui

Y : KonsumsiX1 : Total PendapatanX2 : Pendapatan dari upahX3 : Pendapatan bukan dari upah

Secara substansi: total pendapatan (X1) = pendapatan dari upah (X2) + pendapatan bukan dari upah (X3). Bila model ini ditaksir menggunakan Ordinary Least Square (OLS), maka i tidak dapat diperoleh, karena terjadi perfect multicollinearity. Tidak dapatnya diperoleh karena ( XT X )-1, tidak bisa dicari.

Data Perfect Multikolinieritas

X1 X2 X3

12 48 51

16 64 65

19 76 82

23 92 96

29 116 118

Nilai-nilai yang tertera dalam tabel menunjukan bahwa Antara X1 dan X2 mempunyai hubungan: X2 = 4X1. Hubungan seperti inilah yang disebut dengan perfect multicollinearity.

Akibat Multikolinieritas

Varians besar (dari taksiran OLS) Interval kepercayaan lebar (variansi besar

Standar Error besar Interval kepercayaan lebar) R2 tinggi tetapi tidak banyak variabel yang

signifikan dari uji t. Terkadang taksiran koefisien yang didapat akan

mempunyai nilai yang tidak sesuai dengan substansi, sehingga dapat menyesatkan interpretasi.

Kesalahan Interpretasi

“Interpretasi dari persamaan regresi ganda secara implisit bergantung pada asumsi bahwa variabel-variabel bebas dalam persamaan tersebut tidak saling berkorelasi. Koefisien-koefisien regresi biasanya diinterpretasikan sebagai ukuran perubahan variabel terikat jika salah satu variabel bebasnya naik sebesar satu unit dan seluruh variabel bebas lainnya dianggap tetap. Namun, interpretasi ini menjadi tidak benar apabila terdapat hubungan linier antara variabel bebas”

(Chatterjee and Price, 1977).

Ilustrasi

Konsumsi (Y) Pendapatan (X1) Kekayaan (X2)

40 50 500

50 65 659

65 80 856

90 110 1136

85 100 1023

100 120 1234

110 140 1456

135 190 1954

140 210 2129

160 220 2267

Ilustrasi

Model:

Y = 12,8 – 1,414X1 + 0,202 X2

SE (4,696) (1,199) (0,117)t (2,726) (-1,179) (1,721)

R2 = 0,982

R2 relatif tinggi, yaitu 98,2%. Artinya? Uji t tidak signifikan. Artinya? Koefisien X1 bertanda negatif. Artinya?

Ilustrasi: Model dipecah

Dampak Pendapatan pada Konsumsi Y = 14,148 + 0,649X1

SE (5,166) (0,037) t (2,739) (17,659)

R2 = 0,975R2 tinggi, Uji t signifikan, dan tanda X1 positif.

Dampak Kekayaan pada Konsumsi Y = 13,587 + 0,0635X2

SE (4,760) (0,003) t (2,854) (19,280)

R2 = 0,979 R2 tinggi, Uji t signifikan, dan tanda X2 positif.

X1 dan X2 menerangkan variasi yang sama. Bila 1 variabel saja cukup, kenapa harus dua?

Mendeteksi Multikolinieritas dengan Uji Formal

1. Eigenvalues dan Conditional Index Aturan yang digunakan adalah: Multikolinieritas ditengarai

ada didalam persamaan regresi bila nilai Eigenvalues mendekati 0.

Hubungan antara Eigenvalues dan Conditional Index (CI) adalah sebagai berikut:

seigenvalue

seigenvalueCI

min

max

Jika CI berada antara nilai 10 sampai 30: kolinieritas moderat.

Bila CI mempunyai nilai diatas 30: kolinieritas yang kuat.

2. VIF dan Tolerance

)1(

1VIF

2j

jR ; j = 1,2,……,k

k adalah banyaknya variabel bebas

adalah koefisien determinasi antara variabel bebas ke-j dengan variabel bebas lainnya.

2jR

2jR

2jR

Jika = 0 atau antar variabel bebas tidak berkorelasi, maka nilai VIF = 1.

≠ 0 atau ada korelasi antar variabel bebas, maka nilai VIF > 1. Jika

Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa kolinieritas tidak ada jika nilai VIF mendekati angka 1

Tolerance

VIF ini mempunyai hubungan dengan Tolerance (TOL), dimana hubungannya adalah sebagai berikut:

2j 1

1TOL jRVIF

Variabel bebas dinyatakan tidak multikolinieritas jika TOL mendekati 1

Mengatasi kolinieritas

Melihat informasi sejenis yang ada Tidak mengikutsertakan salah satu variabel yang

kolinier – Banyak dilakukan.– Hati-hati, karena dapat menimbulkan specification bias

yaitu salah spesifikasi kalau variabel yang dibuang merupakan variabel yang sangat penting.

Mentransformasikan variabel Mencari data tambahan

Heteroskedastisitas (Heteroscedasticity)

Variasi Error tidak konstan. Umumnya terjadi pada data cross section. Misal data konsumsi dan pendapatan, atau data keuntungan dan asset perusahaan

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60

Pola Data Heteroskedastis

Data Heteroskedastisitas

Fakta:– hubungan positif antara X dan Y, dimana nilai Y

meningkat searah dengan nilai X.– semakin besar nilai variabel bebas (X) dan

variabel bebas (Y), semakin jauh koordinat (x,y) dari garis regresi (Error makin membesar)

– besarnya variasi seiring dengan membesarnya nilai X dan Y. Atau dengan kata lain, variasi data yang digunakan untuk membuat model tidak konstan.

Pemeriksaan Heteroskedastisitas

1. Metode Grafik Prinsip: memeriksa pola residual (ui

2) terhadap taksiran Yi.

Langkah-langkah:– Run suatu model regresi– Dari persamaan regresi, hitung ui

2

– Buat plot antara ui2 dan taksiran Yi

Pola Grafik

ui2

iY

Pengamatan:1.Tidak adanya pola yang sistematis.2.Berapapun nilai Y prediksi, residual kuadratnya relatif sama. 3.Variansi konstan, dan data homoskedastis.

iY

,

Pola Adanya Heteroskedastisitas

Pola sistematis

ui2 ui

2

iY

iY

Uji Park

Prinsip: memanfaatkan bentuk regresi untuk melihat adanya heteroskedastisitas.

Langkah-langkah yang dikenalkan Park:

1. Run regresi Yi = 0 + 0Xi + ui

2. Hitung ln ui2

3. Run regresi ln ui2 = + ln Xi + vi

4. Lakukan uji-t. Bila signifikan, maka ada

heteroskedastisitas dalam data.

Ilustrasi

Salesman

X YSalesman

X YSalesman

X Y

1 2 10 11 15 80 21 32 180

2 3 15 12 17 90 22 33 185

3 4 20 13 18 95 23 34 190

4 5 25 14 19 100 24 37 205

5 7 35 15 20 105 25 39 215

6 8 40 16 22 120 26 40 220

7 10 50 17 23 125 27 42 230

8 11 60 18 25 135 28 43 235

9 12 65 19 27 145 29 44 240

10 13 70 20 30 160 30 45 245

Y = rata-rata bonus (dalam ribuan rupiah)X = rata-rata sepatu terjual (dalam unit)

Ilustrasi

Y = -3,1470 + 5,5653 XSE (0,0305) R2 = 0,9992

slope signifikan: Bila sepatu terjual naik 1 unit, maka bonus akan naik Rp.5.563.

Apakah ada heteroskedastisitas ?

Run regresi, didapat:ln ui

2 = 6,0393 – 2,1116 ln Xi

SE (0,0090) R2 = 0,9995

Menurut uji t, signifikan sehingga dalam model penjualan sepatu vs bonus di atas ada heteroskedastisitas.

Uji Goldfeld – Quandt

Metode Goldfeld – Quandt sangat populer untuk digunakan, namun agak merepotkan, terutama untuk data yang besar.

Langkah-langkah pada metode ini:– Urutkan nilai X dari kecil ke besar– Abaikan beberapa pengamatan sekitar median, katakanlah sebanyak c

pengamatan. Sisanya, masih ada (N – c) pengamatan– Lakukan regresi pada pengamatan 1, dan hitung SSE 1– Lakukan regresi pada pengamatan 2 dan hitung SSE 2. – Hitung df = jumlah pengamatan dikurangi jumlah parameter – Lakukan uji F sbb.

11

22

df/RSSdf/RSS

Bila > F tabel, kita tolak hipotesis yang mengatakan data mempunyai variansi yang homoskedastis

Ilustrasi

Ada 30 pengamatan penjualan sepatu dan bonus. Sebanyak 4 pengamatan yang di tengah diabaikan sehingga tinggal 13 pengamatan pertama (Kelompok I) dan 13 pengamatan kedua (Kelompok II).

Regresi berdasarkan pengamatan pada kelompok I:Y = -1,7298 + 5,4199 X R2 = 0,9979 RSS1 = 28192,66 df1 = 11

Regresi berdasarkan pengamatan pada kelompok II:Y = -0,8233 + 5,5110 X R2 = 0,9941RSS2 = 354397,6 df2 = 11

Ilustrasi

11

22

df/RSSdf/RSS

= 354397,6/11 28192,66/11

= 12,5706

Dari tabel F, didapat F = 2,82 sehingga > F

Kesimpukan: ada heteroskedastisitas dalam data

Mengatasi heteroskedastisitas

1. Transformasi dengan LogaritmaTransformasi ini ditujukan untuk memperkecil skala antar variabel bebas. Dengan semakin ‘sempitnya’ range nilai observasi, diharapkan variasi error juga tidak akan berbeda besar antar kelompok observasi. Adapun model yang digunakan adalah:

Ln Yj = β0 + β1 Ln Xj + uj

2. Metode Generalized Least Squares (GLS)

Perhatikan model berikut :

Yj = 1 + 2 Xj + uj dengan Var (uj) = j2

Masing-masing dikalikan 1

j

Y X uj

j j

j

j

j

j

1 2

1

Maka diperoleh transformed model sebagai berikut :Yi* = 1* + 2Xi* + ui*

GLS

Kita periksa dulu apakah ui* homoskedastis ?

1)(1)u(E1uE 2

i2i

2i2

i2

i

2i

E(ui*2) = konstan

Transformasi

Oleh karena mencari j2 hampir tidak pernah diketahui, maka

biasanya digunakan asumsi untuk mendapat nilai j2. Asumsi

ini dapat dilakukan dengan mentransformasikan variabel. Ada beberapa jenis, yaitu:

jX

11. Transformasi dengan

Asumsi: j2 = 2

j22

j XuE

Akibat transformasi, model menjadi:

j

j

jj

j uY

XX

1

X 10

atau dapat ditulis dengan: Yi* = 0 X* + 1 + vi

Transformasi

Apakah sudah homoskedastis? Perhatikan bukti berikut:

2222

2

22

2

)X(X

1)(

X

1

X

j

j

j

jj

j uEu

EE(vi2) = konstan

2. Transformasi dengan iX

1

Asumsi: j2 = j

22j XuE

3. Transformasi dengan E(Yi)

2j

22j )][E(YuE Asumsi: j

2 =

Otokorelasi

Otokorelasi: korelasi antara variabel itu sendiri, pada pengamatan yang berbeda waktu atau individu. Umumnya kasus otokorelasi banyak terjadi pada data time series Kondisi sekarang dipengaruhi waktu lalu. Misal: Tinggi badan, upah, dsbnya.

Salah satu alat deteksi: melihat pola hubungan antara residual (ui) dan variabel bebas atau waktu (X).

Mendeteksi Otokorelasi

Pola Autokorelasi

ui ui * * ** * * * * * * * * * ** * * * Waktu/X * **

Waktu/X * * * *

*** *

Gambar nomor (1) menunjukan adanya siklus, sedang nomor (2) menunjukan garis linier. Kedua pola ini menunjukan adanya otokorelasi.

Uji Durbin-Watson ( Uji d)

d

u u

u

t tt

N

tt

N

( )

12

2

2

1

Statistik Uji

Dalam Paket Program SPSS/EViews Sudah dihitungkan

Aturan main menggunakan uji Durbin-Watson :

Bandingkan nilai d yang dihitung dengan nilai dL dan dU dari tabel dengan aturan berikut :

– Bila d < dL tolak H0; Berarti ada korelasi yang positif atau kecenderungannya = 1

– Bila dL d dU kita tidak dapat mengambil kesimpulan apa-apa

– Bila dU < d < 4 – dU jangan tolak H0; Artinya tidak ada korelasi positif maupun negatif

– Bila 4 – dU d 4 – dL kita tidak dapat mengambil kesimpulan apa-apa

– Bila d > 4 – dL tolak H0; Berarti ada korelasi negatif

Gambar aturan main menggunakan uji Durbin-Watson

Tidak tahu Tidak tahu

Korelasi positif Tidak ada korelasi Korelasi negatif

0 dL dU 4-dU 4-dL 4

Mengatasi Otokorelasi: Metode Pembedaan Umum (Generalized Differences)

Yt = β0 + β1Xt + ut dan ut = ρ ut-1 + vt

Untuk waktu ke- t-1: Yt-1 = β0 + β1Xt-1 + ut-1

Bila kedua sisi persamaan dikali dengan ρ, maka:ρ Yt-1 = ρ β0 + ρ β1Xt-1 + ρ ut-1

Sekarang kita kurangkan dengan persamaan Model Yt - ρ Yt-1 = (β0 - ρ β0) + β1(Xt - ρ Xt-1) + (ut - ρ ut-1)

Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai:Yt* = β0 (1 - ρ) + β1Xt* + vt

Dimana: Yt* = Yt - ρ Yt-1 dan Xt* = Xt - ρ Xt-1

Idealnya kita harus dapat mencari nilai ρ. Tapi dalam banyak kasus, diasumsikan ρ = 1, sehingga:Yt* = Yt - Yt-1Xt* = Xt - Xt-1

Pemilihan Model

1. R2 AdjustedPerhatikan Model:(i) LABA = 5053,712 + 0,049 KREDIT; R2 = 80,6%(ii) LABA = 45748,484 + 0,0106 ASET + 0,0081 KREDIT; R2= 87,4%.

Model manakah yang lebih baik ditinjau dari koefisien determinasi-nya?.

Sekarang kita perhatikan kembali formula untuk menghitung R2

2

22 11

SST

SSRR

YY

u

SST

SSE

i

i

R2 Adjusted

SST sama sekali tidak dipengaruhi oleh jumlah variabel bebas, karena formulasinya hanya memperhitungkan variabel terikat

SSE dipengaruhi oleh variabel bebas, dimana semakin banyak variabel bebas, maka nilai SSE cenderung semakin kecil, atau paling tidak tetap. SSE kecil, maka nilai SSR akan besar.

Akibat kedua hal tersebut, maka semakin banyak variabel bebas yang dimasukkan dalam model, maka nilai R2 akan semakin besar.

)1/()(

)/(1

22

nYY

knuR

i

i

Pemilihan Model

2. Akaike Information Criterion (AIC)

n

SSEe

n

ueAIC 2k/n

2i2k/n

n

RSSln

n

2kAICln

Bila kita membandingkan dua buah regresi atau lebih, maka model yang mempunyai nilai AIC terkecil merupakan model yang lebih baik.

Ilustrasi

LABA = 5053,712 + 0,049 KREDIT; SSE = 3,28E+12 LABA = 58260,461 + 0,013 ASET; SSE = 2,1E+12 LABA = 45748,484 + 0,0106 ASET + 0,0081 KREDIT; SSE =

2,17E+12

9868,2450

123,28Eln

50

2x2

n

RSSln

n

2kAICln (i)

5409,2450

122,1Eln

50

2x2

n

RSSln

n

2kAICln (ii)

6137,2450

122,17Eln

50

2x3

n

RSSln

n

2kAICln (iii)

Pemilihan Model

3. Schwarz Information Criterion (SIC)

n

SSEn

n

unSIC k/n

2ik/n

n

RSSlnln

n

kSICln n

Sama dengan AIC, model yang mempunyai nilai SIC terkecil merupakan model yang lebih baik.

Ilustrasi

06,2550

1228,3ln50ln

50

2

n

RSSlnln

n

kSICln (i)

En

62,2450

121,2ln50ln

50

2

n

RSSlnln

n

kSICln (ii)

En

73,2450

1217,2ln50ln

50

3

n

RSSlnln

n

kSICln (iii)

En

Standarisasi Variabel

Kegunaan untuk perbandingan kontribusi antar variabel bebas untuk menerangkan variabel terikat

Y

i*i S

YYY

X

i*i S

XXX

Akibat standarisasi:

Y

i*i S

YYY

0

Sn

0

Sn

YYY

YY

i*i

(nilai tengah = 0) =

1

)1/(1)1/(2

2

2

2

2*

Y

Y

Y

iY S

nSn

S

nYYS (varian = 1)

Standarisasi Variabel

Model regresi yang menggunakan variabel yang telah distandarisasi tidak akan mempunyai intersep

Notasi yang diberikan untuk koefisien tersebut adalah BETA.

Standarisasi variabel lebih berguna untuk analisis pada model regresi berganda.