Proyecto-Interpolación Segmentaria o Splines

7/25/2019 Proyecto-Interpolacin Segmentaria o Splines

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UNIVERSIDAD TCNICA DE MANAB

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMTICAS, FSICAS YQUMICAS

CARRERA: INGENIERIA CIVIL

PROYECTO DE MTODOS NUMRICOS

NIVEL:CUARTOC

MATERIA:MTODOS NUMRICOS

DOCENTE:ING. MANUEL SALTOS

INTEGRANTES:

JORGE DANIEL TUMBACO MOREIRA

JIMMY CESAR ZAMBRANO CEDEO

MIGUEL ANGEL PIN ZAMBRANO

JOFFRE ANDRES GUILLEN MENDOZA

EDIN JOSE PALACIOS

FEC!A:"# DE AGOSTO DEL "$%&

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INTERPOLACIN SEGMENTARIA O SPLINES

INTRODUCCIN

En el subcampo matemtico del anlisis numrico, un spline es unacurva diferenciable denida en porciones mediante polinomios.

En los problemas de interpolacin, se utiliza a menudo la interpolacinmediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendosolamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando as las

oscilaciones, indeseables en la mayora de las aplicaciones, encontradasal interpolar mediante polinomios de grado elevado.

ara el ajuste de curvas, los splines se utilizan para apro!imar formascomplicadas. "a simplicidad de la representacin y la facilidad decmputo de los splines los #acen populares para la representacin decurvas en informtica, particularmente en el terreno de los grcos porordenador.

MATLAB es un entorno de computacin y desarrollo de aplicacionestotalmente integrado orientado para llevar a cabo proyectosen dondese encuentren implicados elevados clculos matemticos y lavisualizacin grca de los mismos. $%&"%' integra anlisisnumrico,clculomatricial, procesode se(al y visualizacin grca en un entornocompleto donde los problemas y sus soluciones son e!presados delmismo modo en que se escribiran tradicionalmente, sin necesidad de#acer uso de la programacintradicional.

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OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL.-

)ealizar la programacin de ejercicios de interpolacinsegmentaria en el programa de entorno computacionaldenominado matlab.

OBJETIVOS ESPECFICOS.-

*omprender las propiedades de las interpolaciones segmentarias.

*onocer las aplicaciones que encontramos en +matlab para

obtener un mejor desenvolvimiento.

"ograr un entendimiento ptimo de la interpolacin segmentaria yel programa matlab que nos permita lograr un mejor trabajoinvestigativo.

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MARCO TEORICO

El trmino -spline

- #ace referencia a una amplia clase de funciones queson utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolacin de datos, oun suavizado de curvas. "os splines son utilizados para trabajar tanto enuna como en varias dimensiones.

"as funciones para la interpolacin por splines normalmente sedeterminan como minimizadores de la aspereza sometidas a una seriede restricciones.

TIPOS

SPLINE LINEAL

"os splines de grado son funciones polinomiales de grado /)ectas dela forma f/!01a!2b0 que se encargan de unir cada par de coordenadasmediante una recta.

3ados los n2 puntos4

5na funcin spline de grado que interpole los datos es simplementeunir cada uno de los puntos /ar coordenados0 mediante segmentos derecta, como se ilustra en las siguientes guras4

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*laramente esta funcin cumple con las condiciones de la spline degrado . %s, se tiene que para este caso4

SPLINE CUADRATICA

"os polinomios /!0 a travs de los que construimos el 6pline tienengrado 7. Esto quiere decir, que va a tener la forma /!0 1 a!8 2 b! 2 c

*omo en la interpolacin segmentaria lineal, vamos a tener 9:ecuaciones /donde 9 son los puntos sobre los que se dene la funcin0.

"a interpolacin cuadrtica nos va a asegurar que la funcin quenosotros generemos a trozos con los distintos /!0 va a ser continua, yaque para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, vamos adeterminar cmo condiciones4

;ue las partes de la funcin a trozos /!0 pasen por ese punto. Esdecir, que las dos n/!0 que rodean al f/!0 que queremosapro!imar, sean igual a f/!0 en cada uno de estos puntos.

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;ue la derivada en un punto siempre coincida para ambos -lados-de la funcin denida a trozos que pasa por tal punto com &enemos ? incgnitas por cada /!0. En un caso

sencillo con f/!0 denida en tres puntos y dos ecuaciones /!0 paraapro!imarla, vamos a tener seis incgnitas en total. ara resolveresto necesitaramos seis ecuaciones, pero vamos a tener tan slocinco4 cuatro que igualan el /!0 con el valor de f/!0 en ese punto/dos por cada intervalo0, y la quinta al igualar la derivada en elpunto com Esto suele#acerse con el valor de la derivada en alg

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el conjunto de 6plines, esto son, los puntos m y n en el intervalo @m,nA.3ar los valores de la derivada segunda de m y n de forma -manual-, enel conjunto de splines denidos en el intervalo @m,nA.Dacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjuntode splines denidos en el intervalo @m,nA.

Splines c!ic"s s%'e$"s( "a derivada primera de debe tener elmismo valor que las derivada primera de la funcin para el primer y

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EJERCICIO

eamos un ejemplo concreto, consideremos los siguientes datos4

rocedamos a calcular la interpolacin por splines de grado 7.

rimero que nada, vemos que se forman tres intervalos4 @ A @ A @F ,G ,G ,H.I ,H.I ,?A

En cada uno de estos intervalos, debemos denir una funcin polinomial

de grado 7, como sigue4

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Dacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos, es decir,se debe cumplir que4

%s, se forman las siguientes ecuaciones4

Dasta aqu, tenemos un total de J ecuaciones con F incgnitas.

El siguiente paso es manejar la e!istencia de las derivadas continuas. Enel caso de las splines de grado

7, necesitamos que la spline tenga derivada continua de orden K:1, esdecir, primera derivada continua.

*alculamos primero la primera derivada4

emos que esta derivada est formada por segmentos de rectas, quepudieran presentar discontinuidad en los cambios de intervalo. Es decir,las posibles discontinuidades son ! 1 H.I y ! 1 G. or lo tanto para que sL/!0 sea continua, se debe cumplir que4

&ambin debe cumplirse que4

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%s, tenemos un total de M ecuaciones vs. F incgnitasN esto nos da ungrado de libertad para elegir alguna de las incgnitas. Elegimos porsimple conveniencia a 1 C. 3e esta forma, tenemos un total de Mecuaciones con M incgnitas. Estas son las siguientes4

Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial4

6e obtiene la siguiente solucin4

6ustituyendo estos valores /junto con a 1 C0, obtenemos la funcinspline cuadrtica que interpola la tabla de datos dada4

"a grca que se muestra a continuacin, contiene tanto los puntosinciales de la tabla de datos, as como la spline cuadrtica.

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CONCLUSIONES

Es a menudo ms conveniente dividir el intervalo de inters ensubintervalos ms peque(os y usar en cada subintervalos

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polinomios de grado relativamente bajo, tratando de que lafuncin a trozos denida de este modo tenga un aspecto naladecuado al fenmeno que estamos representando. "a ideacentral es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar losdatos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos

adecuadamente para formar nuestra interpolacin.

odemos decir, que una funcin spline est formada por variospolinomios, cada uno denido en un intervalo y que se unen entres bajo ciertas condiciones de continuidad. *abe mencionar queentre todas, las splines c

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