Prova scritta di Affidabilità dei sistemi e controllo statistico di qualità 18 Febbraio 2016 1. La probabilità di errore nella trasmissione di una cifra binaria attraverso un certo canale di comunicazione è 10^(-3) . a) Calcolare la probabilità di totalizzare piu’ di 3 errori trasmettendo un blocco di 1000 bit. b) Calcolare una approssimazione di tale probabilità usando il teorema del limite centrale. c) La seguente tabella si riferisce a un campione casuale di 20 ripetizioni della trasmissione di un blocco di 1000 bit e restituisce il numero di errori verificatosi in ogni trasmissione. Verificare se il modello probabilistico usato al punto a) si adatta a descrivere il campione casuale mediante un test di ipotesi: 0 0 3 3 2 1 1 2 0 2 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 d) Immaginando di voler controllare che il processo di trasmissione dei bits è sotto controllo statistico, costruire una carta di controllo, calcolando direttamente i limiti di controllo. Soluzione: a) Il numero di errori nella trasmissione di 1000 bit, segue una distribuzione binomiale di parametro p=10^(-3) e la probabilità da calcolare è > 3 = 1 − ≤ 3. In R, è: > 1-pbinom(3,1000,10^(-3)) [1] 0.01892683 b) Approssimando la v.a. binomiale con una gaussiana di media np=1 e varianza np(1-p) > 10^(-3)*1000 [1] 1 > 10^(-3)*1000*(1-10^(-3)) [1] 0.999 > media=10^(-3)*1000 > var=10^(-3)*1000*(1-10^(-3)) si ha > 3 = 0.227 > 1-pnorm(3,media,sqrt(var)) [1] 0.02269615 c) Per verificare se il campione casuale segue una distribuzione binomiale di parametri n=1000 e p=10^(-3), usiamo un test di Kolmogorov-Smirnov: > ks.test(dati,"pbinom",1000,10^(-3)) One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: dati D = 0.3677, p-value = 0.008961 alternative hypothesis: two-sided Il p-value<0.05 pertanto il test rigetta l’ipotesi di distribuzione binomiale.
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Prova scritta di Affidabilità dei sistemi e controllo statistico di qualità
18 Febbraio 2016
1. La probabilità di errore nella trasmissione di una cifra binaria attraverso un certo canale di
comunicazione è 10^(-3) .
a) Calcolare la probabilità di totalizzare piu’ di 3 errori trasmettendo un blocco di 1000 bit.
b) Calcolare una approssimazione di tale probabilità usando il teorema del limite centrale.
c) La seguente tabella si riferisce a un campione casuale di 20 ripetizioni della trasmissione di un
blocco di 1000 bit e restituisce il numero di errori verificatosi in ogni trasmissione. Verificare se
il modello probabilistico usato al punto a) si adatta a descrivere il campione casuale mediante
un test di ipotesi:
0 0 3 3 2 1 1 2 0 2 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0
d) Immaginando di voler controllare che il processo di trasmissione dei bits è sotto controllo
statistico, costruire una carta di controllo, calcolando direttamente i limiti di controllo.
Soluzione: a) Il numero di errori nella trasmissione di 1000 bit, segue una distribuzione
binomiale di parametro p=10^(-3) e la probabilità da calcolare è ��� > 3� = 1 − ��� ≤ 3�. In
R, è:
> 1-pbinom(3,1000,10^(-3))
[1] 0.01892683
b) Approssimando la v.a. binomiale con una gaussiana di media np=1 e varianza np(1-p)
> 10^(-3)*1000
[1] 1
> 10^(-3)*1000*(1-10^(-3))
[1] 0.999
> media=10^(-3)*1000
> var=10^(-3)*1000*(1-10^(-3))
si ha ��� > 3� = 0.227
> 1-pnorm(3,media,sqrt(var))
[1] 0.02269615
c) Per verificare se il campione casuale segue una distribuzione binomiale di parametri n=1000 e
p=10^(-3), usiamo un test di Kolmogorov-Smirnov:
> ks.test(dati,"pbinom",1000,10^(-3))
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: dati
D = 0.3677, p-value = 0.008961
alternative hypothesis: two-sided
Il p-value<0.05 pertanto il test rigetta l’ipotesi di distribuzione binomiale.
d) Per costruire la carta di controllo, è necessario il pacchetto qcc. Si ha
> obj<-qcc(dati,1000,type="np")
da cui risulta che il processo è in controllo statistico. I limiti sono: per la linea centrale
> mean(dati)
[1] 0.9
per la linea superiore e inferiore
> media+3*sqrt(media*(1-10^(-3)))
[1] 3.744627
> media-3*sqrt(media*(1-10^(-3)))
[1] -1.944627
In particolare per la linea inferiore essendo negativa, viene usato il valore 0.
2. All’interno di una popolazione, il 15% delle coppie non ha figli, il 20% ne ha uno, il 35% ne ha due e
il 30% ne ha tre. Inoltre, ogni bambino, indipendentemente da tutti gli altri può essere maschio o
femmina con pari probabilità. Si selezioni una famiglia a caso e si denoti con X e Y il numero di
femmine e di maschi prescelti tra i figli in tale famiglia. Costruire la tabella delle probabilità
congiunte.
Soluzione: La probabilità di avere 0 figli è 0.15, che corrisponde a P(X=0,Y=0). La probabilità di
avere 1 figlio, ossia 0.20, va equamente ripartita tra M e F, ossia P(X=0,Y=1)=P(X=1,Y=0)=0.20×0.5.
La probabilità di avere 2 figli, ossia 0.35, contempla il caso (M,M) ossia P(X=0,Y=2), il caso (F,F) ossia
P(X=2,Y=0) e il caso (M,F) e (F,M), ossia P(X=1,Y=1). Poiché (M,M) ha probabilità di occorrenza
0.5^2 così come (F,F), mentre l’evento ‘un figlio maschio e una figlia femmina’ ha probabilità di
occorrenza 2×0.5^2, si ha P(X=0,Y=2)=0.5^2, P(X=1,Y=1)=2×0.5^2, P(X=2,Y=0)=0.5^2. Con lo stesso
ragionamento si completa il caso 3 figli. Le probabilità di avere più di 3 figli sono nulle. La tabella
finale risulta essere
X\Y 0 1 2 3
0 0.15 0.20×0.5 0.35×0.5^2 0.30×0.5^3
1 0.20×0.5 2×0.35×0.5^2 3×0.30×0.5^2 0
2 0.35×0.5^2 3×0.30×0.5^2 0 0
3 0.30×0.5^3 0 0 0
3. I seguenti campioni casuali si riferiscono ai tempi di vita di lampadine prodotte da una azienda in
due periodi distinti dell’anno. Effettuare un confronto statistico tra le due popolazioni.