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Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha (Li ⇒ Li + k.Lj)
Matrizes Equivalentes: Dadas duas matrizes A e B, de ordem m x n, diz-se que B
é linha equivalente a A, se B é obtida de A por meio de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A, e denota-se isso por A ⇒ B ou A ∼ B.
Seja A uma matriz m x n. Diz-se que a matriz A está em Forma de Escada (ou em Escada de Linhas) se, para cada linha da matriz se verifica:Caso 1 – Se a linha i é nula
Então para todo r > i, a linha r é nula; eCaso 2 – Se a linha i não é nula
Então se ais é o primeiro elemento não nulo da linha i (chamado de pivot) então para todo l > i e para todo c ≤ s, alc = 0.
A matriz A está na Forma Condensada (ou em Escada de Linhas Reduzida) se está em forma de escada e para cada linha iO pivot é a identidade; e
Exemplo 9: Achar a inversa de matriz A de ordem 3, apresentada a seguir.
Pode-se achar a inversa dessa matriz fazendo-se uso da seguinte informação: Uma matriz A de ordem n é inversível se e somente se A é
linha equivalente a I (matriz identidade) e, nesse caso, toda sequência de operações elementares que transforma A em I também transforma I em A-1.
Caso se posicione as matrizes A e I lado a lado, formando a matriz [A I] então as operações elementares nessa matriz produzem operações idênticas em A e I. Ou existem operações elementares que transformam A em I e I em A-1 ou, a matriz A não é inversível.
O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito, como se segue,
O objetivo agora é somar ou subtrair linhas multiplicadas por escalares de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo. 1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por −1.
Com essa operação, consegue-se 1 no elemento a11 (primeira linha, primeira coluna) da matriz esquerda, como se segue. E os elementos a12 e a13 tornaram-se nulos.
Há algumas propriedades especiais para matrizes inversas (as matrizes A, B e C são tais que as suas inversas existam e os produtos sejam definidos).(A−1)T = (AT)−1
(AB)−1 = A−1 + B−1
Se a inversa de uma matriz A existe, então |A| = 0.�
Uma matriz quadrada A é denominada ser uma Matriz Ortogonal se suas linhas, consideradas como vetores, são mutuamente perpendiculares e de comprimento 1, o que equivale a dizer que AAT = I.
Exemplo 10: Seja a matriz A apresentada a seguir. Ela é uma matriz ortogonal.
Obs.: Uma matriz A é ortogonal, se e somente se, AT = A−1.
Uma outra forma de se determinar o rank de uma matriz A é contabilizar o número de linhas nulas que se obtém a partir de uma nova matriz B em forma de escada que possa ser obtida a partir de A por meio de operações elementares.
Exemplo 13: A matriz apresentada a seguir tem rank = 2, pois está em forma de escada e tem duas linhas não nulas.
Exemplo 14: Determinar o rank da matriz A apresentada a seguir.
Para contabilizar o rank, da matriz A, deve-se transforma-la, por meio de operações elementares, numa matriz em forma de escada. Faz-se então as seguintes operações: L2 ⇒ L2 + L1 (1/2)(⇒ L2 + L1) L3 ⇒ L3 + (-1)L1
Seja uma matriz quadrada A de ordem k, então pode-se definir o traço de A, denotado por tr(A), como sendo dado pela soma dos elementos de sua diagonal principal.
Exemplo 15: Sejam as matrizes A e B dadas a seguir.