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Matriz pode ser definida como um conjunto de elementos dispostos de forma tabular, os quais podem representar por exemplo, números reais, números complexos e expressões, dentre outros.Normalmente uma matriz é delimitada por colchetes ou
chaves; eO tamanho da matriz é definido por seu número de linhas e
Matriz TranspostaA operação de transposição de uma matriz para se gerar a
Matriz Transposta se faz trocando suas linhas por suas colunas, de tal forma que a linha m se transforma na coluna n e a coluna n se transforma na linha j.
Notação: Exemplo 10: Matriz A e sua transposta AT. A ou AT
Sejam duas matrizes A e B de dimensões iguais a m x n. A soma destas matrizes gera uma matriz C = A + B, construída de forma a atender a equação a seguir,
Sejam duas matrizes A e B de dimensões iguais a m x n. A subtração dessas matrizes gera uma nova matriz D = A - B, construída de forma a atender a equação a seguir,
Seja um escalar e a matriz A com dimensão igual m x n. A multiplicação de um escalar (ou c) pela matriz A gera uma matriz F construída usando a equação a seguir,
Há uma série de propriedades nas operações algébricas das matrizes de soma e multiplicação por escalar.A + B = B + A;(A + B) + C = A + (B + C);(A + B) = A + B;( + )A = cA + A;()A = (A);(A + B)′ = A′ + B′; e(A)′ = A′.
Para a multiplicação de duas matrizes, seja A uma matriz de dimensão m x n e B uma matriz de dimensão p x q.
A multiplicação da matriz A pela matriz B só é possível se n = p, caso contrário se diz que as matrizes A e B são incompatíveis para a multiplicação.
Se as matrizes A e B são compatíveis, a multiplicação das matrizes gera uma nova matriz P = AB com cada elementos pij construído da seguinte forma a seguir,
Há uma série de propriedades adicionais nas operações algébricas das matrizes (as matrizes A, B e C são de dimensões tais que os produtos abaixo sejam definidos).(AB)′ = B′A′ ou (AB)T = BTAT; C(AB) = (CA)B;A(B + C) = (AB + AC); eA(BC) = (AB)C.
Obs.: Em geral não vale a propriedade comutativa, ou seja,
AB≠BA; e Se AB = 0, isso não implica que A = 0 ou que B = 0.