PARTEA r. ALGEBRX lrxtanX Capitolul 1 Spatii vectoriale 1 Exemple de spatii vectoriale. Subspa{ii vectoriale 1. Se consirler5 V gi tr4l clou5, spatii vectoriale peste acelagi corp K. S5. se arate cE '.- x\Y: {(r, A)l* e V, g € I4l} este spaliu vectorial peste f,{ in raport cu operaliile: (e,i, Er) * (rz, Uz) - {rt * n2,y1 * g2'1; a(r,y) : (ar,*g), {,1,$2 e V, Ut,'1,/z e W, Ya e K. Soluli,e. Fali de prima operatie ,*" , V x trV este grup abelian cu elementul neutru ,ri',0w), opusul lui (r,y) fiind (-r,-y).Axiomele amplific5rii cu scalari: (a+ 0)@,u): a(r,y) + 0(.r,a); (o' 0)@,a) : al7@,v)i; L(",a) : (r,A); al(rt,yt) * (,r2,az)): a(rt,yt) I a(r2,y2), .:zu1t5 din faptui cX lz qi W sunt spatii vectoriale peste acelagi corp. 2. Orice corp K este spatiu vectoriai peste el lnsugi in raport cu operatia de adunare --:, -I( qi in care amplificarea cu scalari este inmullirea din K. 3. K" : K x K x...x K este spa{iu vectorial peste K (numit spaliu ar"itmet'icsau .neri,c) in raport cu operatiile: (.rt,12,... ,xn) * ('at,yz,'..,?Jn): (r1 * 1)r,tz * tJ2,...,frn + y,); a(r1.12,...,rn): (cirr ,aiu2,. "., orr). -:olulie. Rezultadinexerciqiileprecedente. inparticulr,.,/-',.'.+.lti .-' -;.- ..'- - - / a' .- -ral. iar (C" - : ) este :pa(iul vcctoriai complex. 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
PARTEA r. ALGEBRX lrxtanX
Capitolul 1
Spatii vectoriale
1 Exemple de spatii vectoriale. Subspa{ii vectoriale
1. Se consirler5 V gi tr4l clou5, spatii vectoriale peste acelagi corp K. S5. se arate cE'.- x\Y: {(r, A)l* e V, g € I4l} este spaliu vectorial peste f,{ in raport cu operaliile:
(e,i, Er) * (rz, Uz) - {rt * n2,y1 * g2'1;
a(r,y) : (ar,*g), {,1,$2 e V, Ut,'1,/z e W, Ya e K.
Soluli,e. Fali de prima operatie ,*" , V x trV este grup abelian cu elementul neutru
,ri',0w), opusul lui (r,y) fiind (-r,-y).Axiomele amplific5rii cu scalari:
astfel incal f (:r') + g(r):,Asin(z; + A) e ^9 qi cr.[.:r : -i
15. Siseverificectac5IJ,(C) :{Ae -11.3 -:- =: '.- ..-..:.le,.ribspaliuvectoriai in IltIn(C), unde ,{ se obline prin inlocu;.; .-,.--=-- .-,: - - j. ,.,: i-,r-,jttq:tele lulcomplexe.
Soluii,e. H".(A) nu este subspaliu vecto:ial, -i,,:.:-.. :: - .'.-..::,:--i';eciorial numai dac5,
ne rcstrangern Ia /r-"(JR) c rXf*(C)
16. SA se determine toate subspa\iile iul ; Z - - "-
Fiecare dintre acegti vectori folmeazi sllbspa;: ,-,-:. :,,>,:..r: sr-tni {u0,ua}, cu cAte doudelemente. Nu cxistd subspalii cu c6,le 3, 5, 5 ::1 -i '.:-:--- -':. pirtrr-i eiemente sunt doar 7subspatii.
17.Sdst'delerminesubspaqiileS,--C-:.-....-....].:..lr.ri.S;:{(l1.,L.2'l'qi 52 : {Q:1, 12) I rt : -xz).
SoL'u{ic. Se demonstreazl cX,9r t--l -qz - . j.:::-a ,lirectX este
-1,2), u3 : (*1,2, 1, -3)),-1, -i), trl : (3,0,2,3)) in Ra
S5 se verifice teoreura lui Grassni:rnn prin aceste aplica{ii.Solu{ie. a) \'ectorii'LLtj'!1,i, 't.r3 sunt }iniar clependenli: o baz5 in it/] poate fi {u1,u2},
Subspa{iul i[/l + [tz] este generat de reuniunea sistemelor U qi V. O baz5 in reunluneeste {u1, uz,ut}, deci dim(iUl+ ilr]) :3, adicb lU]+ [I/] : R3.
Subspaliul fU] n [y] conline vectorii pentru care cv1u1 I a2u2 - gtltt * gzuz, adicl
{'o' * az: 0r * {lzt ilol f 2a2:2JL * J:| -o' * 2n2 - J. - 13.,,
:in sistetn cu irel cc'"xa{lt rii necunoscute princlpale at, c 2, []1, iar 6z: ], necuncscut5 secun-dar6. Obtrneln 01 :.\, az ==,\,6r:21 Qi astfel vom avea lI/]n [y] : {(B^,Si,,\)iA e lR.},
iar dimilUl n iI,'l) : 1.
Astfei se veri-fi.c5 teorema lui Grassmanrr:
dimfu]+ dimfv] : dim([u]+ iyl) + dim([i/] n [y]).
b) Anaiog.
6. ln R.3, se consideri subspaliul vectorial lill. generat de el : (1, 1, 0) Qi e2 : (0, 1, 0).SX se determine toate subspaliile l4lz c R.3 astfel incAt R3: I4lr eWz.
SoLuli.e.Wt:{(r,r*y,0)lr,yeR.}. ConsideritmW2:{(a,b,c'1)a,b,ce JR.}gicumdimeffi :2, ti'ebuie sd avem dimmWz : f. in consecin{5, se completeazl Wl p6n5 ia o
^aDaza ln lK".
7. Fie V qiW douX K-spatii vectoriale, cu dim V :n qi dimW: m. SX se determiledim(V xW).
Soluli.e. Avem lz x W : {(*,y') lr e V,A € W} gi operaliile:
(tr, At) I (rr,Az) - (ut + r,2, lJt + A2);
a(r,A) : (ar,ay), x)1,!1 € V, ?!t,Az € W, Ya e I{.
Consider5rn 81 :B : {("r,0), (0, /i)}, z
dim(VxW):n*m.
{"0}o--r,...,- qi ,B2 : {ft}*t,...,* baze in V, respectiv W. Atunci: l,...,fr, i : 1,...,n'1, este o baz5 in V x W. RezuitX
Sistermrl {E1i};:r, ,, i i5,-, + .[,,jir.; esre ]inial' i' -='-'---: - - --s:iluie un sistem rier,(n t- l)
Eer)erafori pentrtis. R*zult-i,i ilnS:n*(rr- J' - --l: ,Analog, sistemui {8,, - Elii;<--i este Lrn sisten-r cie -.:-.:: , . i ':--iI',1 A, deci dimeilsiunea
r.(n - 1)IrtiAeste(n-I)- ' +l: :
g. Fie,9 c V un subspa{iu vectnrial in !'si "'-:
.-..:.-, 1- DacX dimv :2 Ei
dim S : m I n, sX se arate cd ciim(V/S') - ,, - n^,
Solul'ie. VIS: {tlr:r*'5', Yr e V} cr-r -'-:--1---: '. - .: iTY qia'i:c11}'C1asa 0 : ^9, a,stfel cd dacX B : {er, "..,€m...'.-. .' ::,Jiezint6 o bazS' in l/ qi
B' : {et,e2,...,err} este baz5 in S. Ded'ucen: '''':-'' ' - - ' '- i-.i2, "',An} este baz6
in V I S. Rezultd cE dim((S) : ,, - rro.
l-0. Se considerS, CIl cornplexlficatul spai: r---, ":. -.-r- -.:i 1''. SX se arate ca oaci
B- {"r,€2,...,er} esteobaz5inV, atunci :E :'' =-'--il' ",("n,0)} estebazdinav.
Sotuli,e. Daci (c,0) e clz, atunci ri(r,0) : -- -: = ,' Fie combinalia linia:a
nn\
f{o* *iB1.)ft1,,0) :f(otet.J''' T ', f o*t*):l0 t'
DacE, r : f *r"* e V, fre ilk : o,k * zbr"' Atuncik:l
n.
, : f rkek :Iro.^ + f Lrici,- : I uol'* n IAtl;,j. 1/;:1 ,k==1
deci RI? genereazfl RV: rezultI cX dim(R7) : z2'
Schirnb5ri de baze
I -.r _ | !i .ti
- I I1tl-2rllsi:-r I | 10 1\
[,?:i, ]*t:{-i t ,iI \. 113/)
)dec ,':(-i ; i) (;):(;)
.\stfel cX, r -- Ae\ + Le', + 2e ',. in baza B' '
@ tU se determine expresia vectorului r : (1,2,3,' '', n') € IR' in baza
B' : {et: (1,0,0,.'.,0), e'r:(7,1,0,"' ,0), eL- (1,1, 1,0,"''0)'
e!* = (L,1, 1,..', 1)) din R.".
tr{'
B : {q - (1, 1, O), ez : (1,0,0), e3 : (1, 2,3)};
B' : {e\ - (1,3, 3), eL: (2,2,3), e's: (6,7' 9)}.
a) s5 se arate c5 B Ei B' sunt baze gi sH se g5seasc5, matricea de trecere de la B la B''
u) sa," g5seasc5 expresia vectorului r : 2et * 5e2 a 7es in baza B''
solu{i,e. a) vectorii din B (respectiv B') sunt liniar independenli qi fiind in numH'r de
trei formeazx baz5. Pentru a determina matricea schimb5rii de baza, descompunem e! dupS'
B:
($ t" spaliul iR.3, se considerS. urm5toarele sisteme de vectorl:
l'u; *si+"i:1, I a .t:'r: sj€l+s7e2*sie3sdu 1
si+isi:r +
tltr1 : 3
eL: slet* sle2* s|4 + s]:0, '3:1, sl :1', t 2 -3^ ...I-r -2-o "?-'re3: sier * siez +s5€3 + sa: r. 13 - L' Da - ')
b) DacS X - (2 5 7)'(matrice coloanE). atunci componentele X'ale lui r in baza
B' se oblin din ecualia matriceall X = 5-f ' Calcuiim
/-r -1 1
s-t: I -s -2 3
\ 2 t -1
Sotulie. Fie B: {"r: (1,0,0,...,0), ez: (0,1,0,...,0), ..., €n: (0,0,0,...,0,1)}baza canonicd din lR.'. Matricea.g, de trecere de la B la B', este
/ t 1 1 1\lo 11 il
,s:l o o 1 ... 11.1..,1\o oo- ,)
ConsiderS,m X : (1 2 3 n)t. Atunci X' : S-LX. Calcul5m matricea S-' gi
efectuS,m calculul X' : S-1 X, de unde oblinem X' : (-L - 1 -l n)t, astfel cir : -el - el2 - "' - e'--t * ne'..
@ i" JR.3, se considerX sistemele de vectori
Partea I, Capilolul 1
( el : (1, 2, 1) ( "i : (3, 1,4)
s' : I el : (2,3,3) $ E' : I dU : (5,2,L)
[ "i : (3,2, 1) [ 4 : (1,1, -6).
Aritali cH. B' qi B" sunt baze, g5sili matricele S'gi S" de trecere a" U b*" canonic5 B d.in
IR3 la bazele Bt qi Btt qi deduceli de aici Eatricea de trecere de La B' la 8".Solufii,e. Avem e/1 : et * 2ez * ez, eL : 2q * kz +3e3 qi e! : 3er * 7ez I ez, astfel cB
,': (i
u:{u,:(l 3), *:(l l), ",:( 3 ? )},u' :{rr:( I Z), rt:( ; Z), rt: ( I ? )}
fi i" bazaB - {es: l, 6i: -r-l-. e2: (r-l')', "z: (n-f)3} din?g:(R),.+ht'si6er6 p(r) cu componentele (1. -1, i.-1). Sd se determine componenteie lui p(r) in.,tza -8': {1 r * t.tr ).i12.'. r- i''.1
trwd,ic*$6e" Fiep(r) - or,-Foi/-.-- ct2:t:2+a3r3, Din e:teicitiui precederit, se oblinep(i) : i,p'(1): -L,p"{1):2! ri p"'(1):3!, din care rezultS o0, o1, a2, a3.componentele iuip(r)
1 ..;n B/ sunt frr'*'{-t).
g. in spaliui complex C2, se consideri n : (l+2i,3- ?). SA se determine componentele
Iui r din spaliul RC2 in raport cu baza B' : {"\: (1 + i,l - i), e;: (l - i',1+ i))'Solu{ie. Baza canonicS, din C2 peste C este e1 : (1,0), ez: (0.1). It{atricea de trecere