Capitolul 1 Spatii vectoriale, subspagii vectoriale; liniar independent5, liniar dependent5; bazd,, dirnensiune 1 Notiuni teoretice Definitia L.L Fie X o multirne arbitrard qi K un corp comutatiu (corpul numere- ior complere C. sau corpul numerelor rcale R). Pe muLli.mea X definim o operalie tnter-nd,, *: X x X -+ X, care duce perechea (r,y) tn r *A, num,,itd, adunare, fald, tJ.e care X este grup abelian, adicd o operati,e care uerificd ariomele: Ir) (r +g)+ z:r].(ll* z), (V)r,A,z € X (asociatiuitate): 12) r i0 : 0 * fi : n, V r e X, 0 fii,nd elementul nul; 13) r+ Lt:rt*r:0,Y r€X, r' f,ind elemenhtl sirnetric al elementulutr; Ia) rf 'g:A+r, (V) r,ye X (comutatiuitate). Se mai defi,neSte o operal'ie numitd, produsul ertern. cu scalari .: K x X -+ X , care asociazd, perechi,i, (a,r) produsul a.r, care sati,sfaci, ariom,ele: II1) 1. T: rtV r € X,1 fiind unitatea dinK; II2) (a - 0)t: : a({ir), (V) *,,8 € K, r; € X; II3) (o + 0)r : dn * 0", (Y) a,0 e K, r € X,. IIa) a(r+y):ar*ay, Vct€K, r,ye X. It[ullimea X tnzestratd, cu, aceste operalii spunem cd, formeazd un spaliu, uecto.rzal ,atL spaliu Liniar peste corpulK, real sau compler, dupd curn K: R. sou K :C, pe ,:are il uom nota X lK sor (X, K) sau, s,implu, X. Elementele h,i X le uom numi ,. ectori, 'iar elementele corpului K scalari. 1.1 Dependentd qi independentd liniar5, bazd qi dimensiune Fie X lK un spaliu vectorial peste corpul K qi z1 ,it2,. . .,r,, e X " Se uumeqte :ombint$ia linio.rd. a vectorilor 21,..",rr, vectorul o € X de forma r : et:rt + .J'l *. ..- A11.f 1t. cu cl, € K, I :Tr,
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Definitia L.L Fie X o multirne arbitrard qi K un corp comutatiu (corpul numere-ior complere C. sau corpul numerelor rcale R). Pe muLli.mea X definim o operalietnter-nd,, *: X x X -+ X, care duce perechea (r,y) tn r *A, num,,itd, adunare, fald,tJ.e care X este grup abelian, adicd o operati,e care uerificd ariomele:
Ir) (r +g)+ z:r].(ll* z), (V)r,A,z € X (asociatiuitate):12) r i0 : 0 * fi : n, V r e X, 0 fii,nd elementul nul;13) r+ Lt:rt*r:0,Y r€X, r' f,ind elemenhtl sirnetric al elementulutr;Ia) rf 'g:A+r, (V) r,ye X (comutatiuitate).Se mai defi,neSte o operal'ie numitd, produsul ertern. cu scalari .: K x X -+ X ,
care asociazd, perechi,i, (a,r) produsul a.r, care sati,sfaci, ariom,ele:II1) 1. T: rtV r € X,1 fiind unitatea dinK;II2) (a - 0)t: : a({ir), (V) *,,8 € K, r; € X;II3) (o + 0)r : dn * 0", (Y) a,0 e K, r € X,.IIa) a(r+y):ar*ay, Vct€K, r,ye X.It[ullimea X tnzestratd, cu, aceste operalii spunem cd, formeazd un spaliu, uecto.rzal
,atL spaliu Liniar peste corpulK, real sau compler, dupd curn K: R. sou K :C, pe,:are il uom nota X lK sor (X, K) sau, s,implu, X. Elementele h,i X le uom numi,. ectori, 'iar elementele corpului K scalari.
Fie X lK un spaliu vectorial peste corpul K qi z1 ,it2,. . .,r,, e X " Se uumeqte:ombint$ia linio.rd. a vectorilor 21,..",rr, vectorul o € X de forma r : et:rt +
.J'l *. ..- A11.f 1t. cu cl, € K, I :Tr,
Capitolul 1
Definilia L.2 O submullime G de uectori din X se nurnegte s'istem de generatori
pentru X, d,acd, orice alt uector al spaliului, X se poate scrie ca o cornbi,na[ie li,niard,
a acestora, ad,i,cd, d'acd' G : {*r,...,*n\,C X, atunci oricare ar.fi r e X eristd'
scalari'i (t7t..., a* € K astfel tncd,t *:7 ooro.i:l
Definilia L.g o submuftime de aectori {"r,...,rn} C x este li,niar independentd'
(sau uectori,i sunt li,ni,ar r,ndependenli,) dacd din combinalia lini'ard, a.1r1 * "' *(tnzn:0 rezultd.tntotd,eauanQ7: c,2-- " ' - Qn:O. Sema'ispune cd'submufti'mea
respectiad, este o fami,li,e li'berd..
Definilia'1..4 O subnr,ullr.me d,e uectori {*r,...,rn} C X este liniar dependentd.
(sau uectorii sunt l,in'iar dependenli) dacd, di,n combina[i.a lini,ard, a1r1* ' ' '* Qn,r,n :0 rezultd, cd, eristd. cel puli,n un scalar an I o, k e Tn. se mai, spune cd, submufiim,ea
este o familie legatd,.
Teorema L.t Dacd, S : {rt,n2t...,rn]' C X este I fami,li,e de uectori' 9i St ={riyrir,. -.,rh} C S, i,1* e {7,2?. -,,n}, p < n este o subfamilie a lu'i S, atunci
aueTn
7) S li.ni,ar independent + St liniar independent;
2) St liniar dependent + S lini,ar dependent.
Definilia L.5 o fami,ti,e B : {"r, . . . , rnl C x se numegte bazd, d,acd, este o famtlze
liberd qi, un s'istem de generatori.
Din aceastfl definilie rezultd, c5. o bazS; este o mu$ime de vectori liniar indepen-
denli astfel incAt orice ait vector aI spaliului vectorial, r €'X se scrie ca o combinalie
Iiniard cu aceqtia.
Teorema L.2 Dacd. B : {ut,...,un} este o bazd, a spa!:i'ului arctorial X, atunc'i
ori,ce oector r € X se scrie tn mod,'un'ic sub foryna ":*r;?l";, r; € K'
d,'intr-o bazd, a sa Si uom scrie dimX : ca,rd B, B fii,nd' boed' tn X 'Dacd. o bazd, a ,unui spaliu aectorial are un nutndr finit de elemente spunenl cd.
spali,u,t este fin,it rl,imensi,onal, tn caz contrar este infinit d'imen'sionat'
Definilia 1.7 O submufiime X1 a unui spali.u uectorial X lK formeazd, subspal'itt"
uectorial,, dacd,:
1) (V)r,U€Xr+r*UeXt;2)Vr€X1,Va€K+ar€X1.Cele doud, ariome pot fi, scri,se tntr-una singurd, ar * 0y e Xr dacd, r,y Q Xy,
o,p e K.
Defini{ia L.8 Dacd, A c X este o submufii,rne a unu'i spaliu uectorral, se nurnegte
acoperire hniard, a muftimii, A Ei o notd,m prin L4, mullimea tuturor combinaliiLor-
l'in'iare care se pot forma cu eLementele lu't A, adi.cd,
LA: L orro, a6 € K,rlQA
unde I este o mullime de i.ndici, oarecare.
Teorema 1.3 Mufiimea La forrrueazd, un subspali,u uectoriaL en X.
Teorema 1.4 (completare a bazei)Fi,e X lK un spaliu uectorial 9i A : {rt,*2,... ,rp} C X o mul[i,me l'in,i,ar inde-pendentd,, p < n: dint X. Atu,nci, existd uectot''i'i rr,r1,frpt*2t... ,rn € X astfel tncdtB : {rr,. . . ,T,p,x,p*tt. . . ,rrr} sd, formeze bazd' tn X.
1.3 Izornorfismul spatiilor liniare, sume qi intersectii de subspatii
Fie X lK, y lK doud spalii vectoriale peste acela.qi corp de scaLari K. X qi Yprin defini(ie sunt izomorfe dacd exist[ o bijeclie f : X -+ Y care verific[ euxiomeie
f(r+y)- f(r) +/(y), (V)r,y€Xqi l@"):af(r), Vz€X.o€K. Cele
doui axiome se pot scrie intr-una singur6 gi anume f (ar + 0y) : af (r) + 0l@),x,y € X, o,P € K.
Observatii:1) Dacir irr a, doua egalitate luir,rrt cv : 0, averl /(0) : 0, deci utt izcxttorfistn
rluce vectcrrrrl nrrl clin X in vectorul nrrl din Y.2) O irrulqirrre lilriar indeperrcleritti (lirriar deperrdeutl) este tlr-rsii r.le urr izr.rrtrorfistrt
f (orrr + "'+ aprp): or,f (rr) + "'+ a,f (t. : '- :0,
cu o1 : "'- a,p:0, deci {/(rr), 'f (,p)} este iibera - '- ''' ---'ed5"m pentru o
familie legat5,. Deci doul spalii vectoriale izomorfe au ace.':- - ---=:-:iune.
Dac5. X : Y qi f : X -+Y este bijectivd,, / se nume;t€ :-:--' =sm, iar dac5 /nu este injectiv5, / se numeqte endomorfism.
Teorema L.5 Orice spa{iu uectorial' XIK n-dim,?-TLSia',r :i-' ':-*torf cu spaliul
nurneric Vrr.
Definilia 1.9 Fie Xt,Xz C X douii subspa[i,i ale spc;'.-'- .-: -:i] X. Definim'intersecli.a subspali.i,lor Xt Ei Xz ca fiind XilXz : \r e -f -- = -f1 : e X2\qi, suma
subspal'iilor X1 qi X2 ca fiind Xt* Xz: {r € Xlr: r- -: - :- i -Y1, 12 € X2}.
Teorema L.6 Interseclia Si suma a doud. subspali'i uec:,"^ -.'- :.-'": :ubspatii uecto-
riale.
Definilia 1.10 5e numeSte suma d|rectd' a doud' sub;.'-.'.; --'-'- t-: ,'i o uom not1,
X1 O Xz, suma subspaliilor X1 * X2, unde X1l1 X2 :
Teorema 1.7 Fi,e Xt,Xz C X doud, subspalii uecto:'-. ''- --:---: suma lor este
directd, Xt* Xz: Xr @ Xz dacd' S'i rLurna'i tl'acd, un L:t-::- -- : ""- = X2 se scrie tn,
mod u,n'ic sub form,a r : trL * 12, rr e Xy, 12 Q. X2.
Teorema 1.8 (Grassman) Fie X1,Xz C X doud s--.:'-- : '--'-.:,e ale spa[i,ul'ui
X SiU: Xr O Xz, V: Xr * X2 intet-seclta pi, re::.-. '"-* - -:=stora. Atunci,
dim Xr * dim Xz : dim U + dim V.
X2 C X astfel tncdt X : Xr@ Xz. X2 se nume$te C:--r :- :''-'- X1 tn X.
2 Probleme rezolvate
1. S5 se arate c[ multrimile de urai jos formeaza s:',:* .':* *' r'a) Fie C corpul numerelor complexe gi
Definilia 2.L Se numeEte funcltono,ld. ltniard, o a: ' - -- ''r proprietdlile
/(r+:.t):.f(r)+f(y),,f(,\r) : \f trt 1'p7117-1' s j '
Spalii uectoric. .
Fe C" inirodr::=.--
ft i.,-t-9-
Atunci (C', - :
b) Analog. ?-
numereior reart :-
c) Fie P"if :cel mult 7?. cu o:::
unde p gi q sun: ;d) Ltlullimer. -:
opera!iile:
A_E:\A: -
e) l,Iullirue; -
ducem operalrr-rvectorial.
f) L,Iullime: .-r*y:(rt+p .
Solupie. Se '.'.-
d), e) qi f) satis-.^Ia aceste spalii 1:-:
2. S5, se ara:.
formeaz5 un sub.-,
Solufie. )i.- . -.
sistemul este cr:-.:J)2:jgrfr:l:1 ,.aceasta devine .r =
i
Spa[ii uectorial,e, sub spali,i uectorio,le
Pe C" introduceln operaliile -r-: C'x C,r -| C" qi': C' x C" -) C", cu:
r *!: (r, + gr, rz * 1Jz,...,Ttt *yr'); A'r : (Ar1 ,,\rr:2, ...'\r*).
Atunci (C', *,') formeazd, spaliu vectorial.b) Analog, IR" : R. x lR. x "' x lR. fbrmeaz[ spaliu vectorial. R flind corpul
numerelor reale (numit spaliu ntrmeric n-dimensional, notat adesea Vr).c) Fie P"[X] muilimea polinoamelor complexe de nedeterminatS, realX X de grad
cel muit n cu opera{iiie:
(p + q)(r) : p(r) + q(r); (Ap)(r) : A.p(r),
unde p qi q sunt poiinoame de grad n.d) Mullimea matricelor de rn linii gi n coloane, Mr,r*r* de nurnere complexe, cu
opera!iile:
A+B:C, unde A,B,C €Mmxn, cL.-cii:aii*bii;),A: D, unde A, D qM^*rr, cu d;y : )'a;j, icTrn, i ?TJL.
e) N,iultrimea funcliilor reale, continue pe un interval la,b), Cl,,a1, pe care introducem operaliile (f + s)@) : f (r) +.s(r) qi (.\/)(r) : ,\'/(r), formeazi spaliuvectorial.
f) \{ullimea girurilor de numere reale r : (rt,tz, . . .) inzestratd cu operaliiieir * u : ("t + yt,rz * gz,. . .) qj. 17 : ()rr, \trz,...). formeazS, spaliu vectorial.
Solulie. Se verifici imediat cX exemplele de mullimi de Ia punctele a), b), c),
d), e) gi f) satisfac axiomeie spaliului vectorial. Pe parcursul lucrdrii ne vom referi
1a aceste spalii vectoriale cu notaliile de mai sus.
2. S5, se arate c[ mullimea soluliilor sistemului de ecualii
formeazX un subspaqiu vectorial in iR.a.
( i -i -i l) ,," rangur doi, deciSolulie. NlatriceasisternuluiA: t -l
\-1 3 -2 -1/sistemul este compatibil qi dublu nedeterminat. Solulia sa este rt : -a - 50,
rz : 3cy, 13 : 5a Ei ra - 50, a,6 e R. Dac[ scriem solulia sub forma unui vector,
aceasta devine, : (-o -5p,3a,5a,5p). Pentru a forma spaliu vectorial, mullimea
(rr+2r2-:c3*14:Qlzr',-r2-13 *2t'4:g[ -r', - 3.r'; - 223 - rt: o
Capitolul 1
,9: ir € Rnlr: (-*-bp,Bct,5cv,5,5). a.,: = :. ::,.,ire cac1,r2 € S =+r1* 12€ S qi e € S,,\ € R. + Ar € S.Fie soiuliile 11 : (-a1 - i/t,3cv1. ba1,5,Jr i ;- -,._ - iB2,3a2,b,,2,bp2),
care aparlinelui S. Analog, )7.: (_)a_5),J,3,,;. _ .- . : i S. Deci, Sformeaz[un subspaliu vectorial al lui Ra.
3. Acelaqi enun! ca la exerciliul 2 pentri-r s-.-.. ,...
r4. Si se studieze liniar dependenla (1. d.) ru
11 : (1, -1,3)t 12 : {2,1,
Solu;ie. Fie combinalia liniar5 a cejor rrt:)1(1, -1,3) + A2(2,1, 1) + )3(1,2,3) : 0.
()i. * 2)z * )3, -41 *.\2 +
- .:n-0
-0-n.^ J - ur
* l3r3 : 0, adicd
,r. deci sistemui are
vectori sunt liniar
- ,a - (2,0, 1, -1)de dependenqX
(rr*4rz*2rs- r '
c \ 2r1 * 9r2 15r'.r - __--
Ir,*3r2*13-- -
, (r.rr-rz*.u3:0 iu) ir,+r2+7rr-o b r
tr,+.r3:o; I
sistemrii
lul 1
S+
ilz),
Spatii a ectoriale, sub spatii u ectoriaf,e
[^,-,\2+2,i3:Q] -.ai - 2A, * n1: g
X o, -a:*Ar+Ai:0Llir=Az-lr*6An:9.
Sistemul are rangul 3 qi oblinem soiulia A1 : -a, A2 : -e, A3 : o gi )a : a.cu cr arbitrar real, qi fiind introclus6 in relalia de dependen!5, IiniarX de mai sus,cblinern -ar7 - ar2 * ar;1 t {}r4 :0. Prin imp[rlire la a 10, obtrinem relalia deCependenlE iiniard -ir1 - rz * rz + 14 : 0. Deci, vectorii sunt liniar dependenli.
6. S5, se studieze iiniar dependenla polinoameior:
pt :1 I r - r.2; pz:2-2r + 12; ps : -ll3r -2r2.Solufie. La fel ca la vectori, pentru polinoame avem,\1p1 * \zp,t * l3p3 :0,
Ar.em sistemul { -f *, : O c1 solu{ia .\ : ! : z, deci vectorii sunt liniar[-p+u:0"
depenctren!i.
Spalii uectoriale, sub spalii uectoriale
LO (Teorema lui, Riesz). S5. se arate cd dac5 / este o form6 liniari reald definitdpe R', atunci exist[ intotdeauna numerele at, e2, . . . , art astfel incit
f (,'): orlr + azrz* "'*anxln
gi aceastd scriere este unic[ intr-o baz6 dat[.Solulie. intr-adev6r, dacd .f '
R" J R este o form[ liniar6, atunci
/n \ n
f (*):/ [f rie,\ : Ir,.f(",),\=/7,unde {e;}r:fi este baza canonicd in IR".
DacX notSm f ("):ai, obti.nem f (r):f *ror. Unicitatea scrierii lui / intr-o
baz5, dat5, rezult[ din unicitatea scrierii ,.rrr.i'iJ.to, intr-o bazX dat5,.
Pentru ca aceastE forml liniard sX fie identic nul5,, trebuie ca fiecare coeficient a]nedeterminatelor 11, 12 qi lr3 s5. fie zero. adic5, oblinem sistemul
1.],-2)2-)3:fl{zr,-A2-,\.1 :Qf-)r-A2*i3)3:Q,
care are rangul trei, deci solutia banall )r : )z : )r :0.Deci, functionalele liniare h, iz qi /3 sunt liniar independente.
13. S5 se verifi.ce dacX vectorii 11 : (1,-1,2), rz: (2,A,1) qi 13: (1,1,1)formeaz5 bazr{ in IR3.
Solulie. Pentru ca o mtillime de vectori sd formeze baz5, trebuie ca vectoriidin mullime s5, fie liniar independenli qi orice alt vector din spaliu s5" se scrie ca ocourbina-lie liniarE cu elementele acestei rnullirni (sistem de genera,tori - s.g.). Rarrgulmatricei vectorilor fr, n2 gi 13 este 3, deci srint iiniar independenli. Cum num[rullor coirrcide cu dimensiunea spaliului IR3, ei sunt qi. s.g., deci formeaz5 o bazX.
14. S[ se arate c5. polinoamele
pr : 1 i r - 12, p2 : 2 -- r* 2r;2 qi ps : -1 * r +3r2
formeaz5, baz5, in PzlX)Solufie" Din )1ir1 * \zpz * )ep: : 0, rezulti
:0,al clrui determinant este -14. deci sistemu] are numai soiulia banalh. adic[ po]i-noamele sunt iiniar independente.
Fie q : as* a1r * a2r un polinom oarecare dirL P:[X] . Pentru ca el s5" se scrieca o combinalie liniar[ cu p1 , p2 lii p3 trebuie sii existe ]r, Az qi
^3 nllmere reale
astf'el incAt )rpr * Azpz * l:pe : q, echivalent cu sistemul
sistem neomogen care, avAnd rangul 3, are intotcieauna o solutie unic5., deci p1, p2gi p3 reprezint5 un s.g., prin urmare o baza.
15. Sn se determine spa,!ir-r1 vectorial generat de sistemul de vectori:
rr : (1, -1,3), 12 : (1,0, 1), :r3(2, -1,4).
Solulie. Vectorii sunt iiniar dependenli, deoarece rangul lor (rangul matricei for-mate cu componentele 1or) este 2, atunci orice subsistem format de doi dintre ei va filirriar independent. Dac[ notS.rri cu ,{,,1,,,2,,,:}, spaliul vectorial san acoperirea h,ntarda vectoriior, avem tr{rr,rr,rr} : L{rr,rr}: {r € lRs lr: : A1r1 l- ).2r2, )1,)z € IR}.
( s, +zs/ l, -^,l. -41 +,
-)c:l,l:0-1- J,13
\z\2-t+)ZA2
(\r+241 -13:o,1{r,-,\1 *)3:111[ -,t, * 2)2 + 3.\, : o,
:I 1
. 1)
rrii10lul,rul
) rli-
i: ii.e
rale
Pz
: tr-i.n. )ro.l-rl't.
I
I
I
i oalii u ectori,ale, sub spalii, u ectoriale
-\m ales Ia intAmplare z1 Qi 12; puteam aiege oricare alli doi vectori dintre vectorii 11,
:2 gi 23. Baza acestui subspatriu vectorial este folmati din {r1,rz} qi dimensiunea
.ste 2.
16. S[ se cletermine spaliul vectoriai generat de vectorii zr : (1,-1,2,3),r': : (1,0, 1, -1) Qi r: : (7,'2.3,7).
Solu;ie. Rangul sistemului de vectori este 2, deci
L1,r,*r,r3) : L {,r,,r} : {r € R'r l r : )i(1, -1, 2, 3) + )2(1, 0, 1, -1), )1,'\2 € lR}'
3aza subspaliului este format[ din 11 , 12 gi dimensiunea este 2.
17. Sd se arate c5" f1 : (1, 1, 1), lz : (1,1,0) qi,fs : (1,0,0) formeazYabazilin
i-3 qi si se scrie vectorul r : (1, -1,2) in aceast5 baz5.
Solulie. Faptul cL formeazi bazX este evident. Din r : lr.fi * \zfz * )s"fs,
din care rezuit[ solutia.\r : 2, )z : -3 qi,\3 : 2, deci r are coordonatele (2,-3,2) in noua bazil f1.jt, fe. Amintim c5, r are coordonateie (1,-1,2) in baza canonic6 e1 : (1,0,0),
:z: (0,1,0), e3: (0,0,1).
18, SX se arate .ilpt:1*.r* 12,p2:2r-12 qipz:2*r formeazl" baziinPz[X]. SX se exprime poiinomrtl I : 1 + 2r * 3r2 in aceastX baz5.
Solufie. Din q: lipt + Azpz * )3p3' rezr-rlt[
(1,+2'\t:1{ r'*2)'z+Az:2()'-)::3'
Sistem compatibil qi unic determinat (rang : 3) care are solulia )1 : 3, 12 : 0,
\s : -1, deci q :3pt - ps.
19. S[ se scrie matricea B : ('. ?) ,r, Ouru formatl c]e matricele:- \4 -1/
,,: (i ?) , ,.: (? i)Solulie. Trebuie s5, ar5,tdlr c5. {,41 , A2, Az, Aa} forrneazd" o bazd in 3!t212' Cum
24. Fie F mullimea qirurilor de numere reale care verific5. relalia lui Fi'bonacci,
F : {rlr : (rp)1rqN.,r,k+2 : rk * rk+t, k € N.}'
Si se arate c5, F este un spaliu vectorial. Apoi, si se alate c5, girurile
a : (2,3,5,8,13,21, ' ..) qi y : (1,2,3,5,8,13,21, ' ' ')
constituie obazd'in]7qisisescrieqirulz:(1,1,2,3,5,8,13,"')inaceastdbaz['Solulie. $irurile cn proprietatea din enun! se ntlmesc Struri Fibonacci' Se verificd'
uEor ci suma a dou[ qiiuri Fibonacci este un gir Fibonacci gi produsul cu un numS'r
a unui gir Fibonacci este un gir Fibonacci, cleci fornleaz[ un spaliu vectorial' Pentru
a arXta cX r gi y constituie o baz[, observim ch ele sunt linia,r independente, avind
corrrportentele neproporlionale. Scriem z: {L'L + Dy qi averrr ecua(iile
2a*b:l3a * 2b:15a I 3b:28o*5b:313rz*8b:5
i.,1*nz:
:
-,lul 1 Spa[ii u ectoriale, sub spatii u ectoriale
.1eut,
" baze-:l cele
Deci,
r1irc5,
cu solulia o:1Qi b: -1, deci z: r -9.Observdm cX spaliul I' este un spaliu vectorial infinit dimensional. Pot exista
cricAte qiruri Fibonacci, diferite dou[ cite dou[, cale sX constituie o bazd'.
25. S[ se determinc suma ,si interseclia subspaliilor vectoriale generate de
nullimile de vectori {rt,"2,re), {At,A2,!J3,y4} din iR3, unde:
De aseurenea, vectorii UL, A2, At Qi Att sunt liniar dependenli, rangul matricei
lor este 2, deci spaliul generat de ei va fi Y : {g e m.3la : hh * b2g2}. Suma
subspaliilor este X1Y : {z e Rs lz : r *A, r e X, A eY},deci un vector din
-Y + y se scrie z : attrt * a2r2 * bflt * bzyz. Cei patru vectori TL,o2,!1,!2 vor fi-iniar dependenli, iar rangul matricei lor va fi 3. Deci, dac[ alegem trei dintre ei,
ie exemplu rt,r2,y1, aceqtia vor geuera subspatiul sum5, care va fi de dimensiune
3. deci va fi intregul spaliu R3, adic5,
X +Y:{zeR3 lz: a1r1 *a2r2*btUt, aL,a2,b1 eR} =R3.
Interseclia subspaliiIor X n Y : {u € R.3 lz e X. u e Y} va fi mullimearcelor vectori din spalir-r, de forma a1r.y * a2r2, dar qi de forma btyt * b2y2, qi avem
-ilrl+a2r2:btlttlbzuz, adicxol(1,3,-1)*az(2,1,1)-br(1,0,-1) -bz(1,1'0) : g.
( o,r+2a2-b1-bz:0-{vem sistemul de ecualii i 3ar * az - bz :0 Rangul matricei sistemului va
l.-ot*rz2*b1 :Q.r 3 qi solulia sa este a), :2Q, a2 : 3ct, bt : -Q, bz :9a, a € R.
Deci, un vector oarecare din X O Y va fi de forma
u : 2art * 3ar2 : a(2rrf3r2) : a(8, 9, 1).
Acelaqi rezultat il oblinem dacd il lulm pe tr de forma
Solulie.Vectorii.,|,tr2giz3suntliniarindependenligigenereazdliniarspaliulx. ar qra2.t"t ri"lu' tiupu"a""li' S;'"ig""e'ot de ei' Y' este inclus in X'
deoarece At Qi Az sunt }iniar dependenli dc z1' 12 Ut l-'- *..Deexemplu,gl:611-3r2-raQI!2=zL;\-t'z4r'27.Sesearatec5,R4:X@Y,undeXgiYsunlsubspaliilegeneratedevectorlr
x n y : tuj, decl acesLe "^"":":r:'^::; - Iiniar spaliulvectorilor fi;, r2qi 13 este 2' deci doar doi dintre ei genereaza
X : {r e R4 lr : c,tx't * a2:r2' o1' a2 € R}'
Lafel,Yestegeneratliniardoardedoivectclri,altreileafiiudliniardeperrdentcre aceqtia. sa r.re* il'-i';.Rnly :.7rv1+ B,zut, i3r,9z e Rl' se ar[i[m c5'
X nY: {0}. Fie un *tto' Lmu" t"io' aot-te "tU'po!ii'
a1r1 + c.2r2 : /tUr * /zYz'
din care rezult[ sistemul
Rangulmatriceiacestuisisteneste4,clecieladmite^numaisoluliaba,nala- a - R^ -0' cleci vectorul to*tt" va fi r : 0'rt *0'rt:0'At*0'y2 - 0'
Al:A?:P\ -P'Z- -'
u*t;:ff fiT"t5Yir,0,0,3), se rJescomp.ne astfel: r : a1rt*ctzrz*gflt*,zez,
( 2at + oz:20t * 0z
I go, + 6v' : P1* oz
1 rro, * 5oz : 3/Jr * 33:
I So, + 2a2:23t + 402'
(2or+o2-12R1*Rt:2| 3o, + ctz* & -'J: : o
1 tt.r, *lc;z+ 36r + 302:o
I Sor + 2c"2 * 2lJt * Lliz : 3'
,-- --l
Spalii uectoriale, subspa[ii uectoriale
prezent5rn in exemplui de rnai jos. AqezS,m coeficienlii sistemului intr-un tabloudreptunghiular qi cdut[m prin trr-r,nstbrm5.ri elementare fdcute pe linii si oblinemzerouri sub qi deasupra diagonaiei prirrcipaie.
Deci., orice element ciin X se scrie ca o combinalie liniari ctt matricele A-t,o,ql 10,r,9,
46.9,1 care se verific[ uqor c[ sunt ilniar independente gi formeazZr' o bazS' in X'dimrY:3. Pentru a afla coordonatele lui B in aceastS. baz,5, scriem
S5, se cleterrnine o baz[, in acest subspaliu qi coolclona,te]e vecLorului'.r;: (1.-5,9)
in aceast5, bazi. S5. se arate cX u1 : (4, 1,1)' uz: (3,-3,7) fbrmeazti' de asemetrea'
cl bazX in X. Cum se scrie vectorul T-u in tlceast[ nouL bazil?
solulie. vectorii T7, .x2, 13 gi ra sunt liniar clependenli, deoarece rangtrl matri-
celor. este 2. Deci. spaliul vecboria,l X este generat de doi diritre ei, s5' zicem zl gi
ir2 c&re vor fl gi baza spalirrlui, cleci A : {t: € R3 l:r: otr'r* a2r2, a1'rr1 € 1R}'
Si verificEm c5" w e X, adici este liniat' depencletit de 11 1i 12. Determinantul fbr-21. 1
-1 1-53 -1 I
Cepenclenli gi 'tl.r : 2t:1 - 3r2, cleci in baza B : {rt , ,,2} ru se scrie 'LUB : (2 ' -
l})' Pen-
,.r. .o u1 Qi u2 s[ ibrmeze bazi trebuie ca r.]l]g (:t1,r2,ut) :2, rang (lt-1 '12,'u'2):2'ir.tr=-rr,1"r5,r, cei doi {eterrninauli t1r vtrloalea zelo) deci tl1 ,'u'2 e X 9i fiipc1 }i1iar
independenli, ei formeazh o baz[ in X. Pentru a detern'rina coordonatele Iui ur
in aceast5, noui baz[ B' : {ut u2} trebuie s[ cietermintim scalarii )1 qi )2 ast-(-lf1 +3^2-1
5' sx se irate cx mullimile d.e rnai jos formeazd subspa{ii vectoriare gi sE sedeteruiine cate o bazit gi dimensiune. l;r. p;;;;, ;;;;i#;;:i;r":":1 :i ::ovnrirmo 1;-i^- a- L^-^ -v ., -exprirne iiniar in baza gisit[:
a) X : {r e f27X1lp : p*,o : (2r * By)t2+ (r + y)t + Bn _ a,e:-4t2+3r+1; lr,y e R),
27
b) x: {pe pslxllp:p,.r.":rtz *yt2+zt-r, n*2y Bz:0,Q:t3+t2+t-7.(
{A e M..:xz lA: A,.,.,:
( -z -z\\ ,3 s)'\ -/6. SX se determine subspaliile X qi y generate de vectorii:
X : {f o,0,, e V; 1,f",t,.,(t) : (a+2b-c)q+(2a+U-c)r,t+(a-Bb*2c)rz, cr, b, c € JR}
i:lT_"i:.. ":subspaliu vectorial in yr*. sd se cleterrnine o bazx qi dimensiunea. acestuisubspatiu. Sd se arate cir 9(r) : 2at * rz * rse X gi X = V.{9. Enun! analog exerciliuhri g, pentru
\,_ r r-\ : t-iu,b.. € t' r' I J'",u,,(r) : (a -F 2b) q * (2a - b + c)r2 + (b + 2c)q + (a + b -t c) r a,o, lr,c€lR).
S5, se determine coordonatele formei liniare Oe:) : bz1 f 12 * 4t:3+ 4ra in ba,zagXsiti.
10. S[ sc aratc cd, mulqirnea
X: {r e R4lz : (2ct, -b + c,a*b+ c,a +Zb _ c,_a *2c), a,b.c e R}
c) (Zr-u+z r*y-22\ _l\ -"+y 2y*z )"*,u,ze R],
r,Y,z e R|,
t-/
R-
Capitolul I
l"iT-r:,::J*T?l',1s:ji2"i'A:;:: jr.l",":*ine o bazi si dimensiunea sas5 se arate
"5 , I ri,l, rJi? i]&* ua se determine o bazi si dimens
X : {x€Rrl xr*2xz_cs :0}; y : {y€ Rrl 2yr_yz*3y3 : gl.fB. Se se arate cI R.j _ X e y, unde:
X:{r elR3f c1 _2rz:_rs}; y:{y€R3l2yr *yz_2ys:0}.14. Se se arate cI R3 nu poate fi suma dilect5 a subspaliilor:
X={r €Rrl* l1:2r2:3rr}; v: {u€R3l !/r:yz:T}
15. Sd se arate ci IRa nu poate fi suma clirectl a subspafiilor:X: {u e R4f z1 *rz_x;s*r,t:0, 2r1 _rz*2rs_ra:0};y:{a e IRaf 2yl *uz*.as_y,t:0, y2_us_0, ye-.yE:0}.
't i1,,1:'1:A':ITe':ijq:,, :2-rt;,.4r2 *3rsin baza rormati de porinoarnere
17. Sd se arate cd, IRa : X @ i. O Z, unde:
X : {r € Ro I x: (tt* b,a _ b,2o, * Bb,b), a,6 € R};'
: lo € IRo ly : u(2,-1, 1,3), a € R);
, ,:{z€lRnlr_ 0(1,t,_2,_l), Be m1.
U 18. Se dau vectorii liniar independen \i x,y,z € lRB. Cum sunt vectoriiu : c - y * 22, .u : :r * U * z gi u : 2z * Jz?