Phys. 251 - YUctaps.yu.edu.jo/physics/Courses/Phys251/PDF/Chapter5_A.pdf · 1 ﻞﺼﻔﻟا ﺲﻣﺎﺨﻟا ﻢﻜﻟا ﺎﻜﻴﻧﺎﻜﻴﻣ Chapter 5 Quantum Mechanics Phys.

1

الخامسالفصل

ميكانيكا الكم

Chapter 5

Quantum Mechanics

Phys. 251: Modern PhysicsPhysics Department

Yarmouk University 21163 Irbid JordanChapter 5

Quantum Mechanics

Lecture 17

http://ctaps.yu.edu.jo/physics/Courses/Phys251/Lec5-1

© Dr. Nidal Ershaidat

2

١فيزياء حديثة : ٢٥١ف

جامعة اليرموك–قسم الفيزياء إربد األردن٢١١٦٣

ميكانيكا الكم: الفصل الخامس

١٧المحاضرة

نضال الرشيدات.د ©

© Dr. N. Ershaidat Phys. 251 Chapter 5 :Quantum Mechanics Lecture 17

4

حدود نموذج بور

يفس&ر لماذا تكون شدة بعض الخطوط فمثال، ال يستطيع هذا النموذج أنض الطيفي5ة أكبر من غيرها، أي في الواقع، لماذا يكون احتمال حدوث بع

.االنتقاالت أكبر من احتمال حدوث غيرها

مثل تلك التي عملها (مع أن� نموذج بور وبعض التعديالت التي أدخلت عليه . ه يبقى غير كاف� إال أن�يفس5ر كثيرا من النتائج المخبري�ة) Sommerfeldسمرفيلد

كثيرا من الخطوط تظهر على صورة عدة خطوط أن5 وال يستطيع تفسير .قريبة جد5ا من بعضها في طول الموجة

ع تفسيروالنقطة األهم أن النموذج ال يع5د صالحا لكل الذر5ات وال يستطيمستقرة جزيئات لتفسير كيف تكوOن الذر5ات ) أو أكثر(التفاعل بين ذر5تين

يب وبالتالي حقيقة وجود المواد وكون الذر5ة اللبنة األساسي5ة في ترك. ديموقراطالمادة كما قال

3


5

ميكانيكا الكم والميكانيكا الكالسيكي�ة

ففي حين نستطيع في ميكانيكا نيوتن التنبؤ بإحداثيات النظام مبدأ عدم فإن) وباقي متغيراته الديناميكية(المدروس الزمكانية

ألننا لسنا التحديد يخبرنا بأنه ال يمكننا التنبؤ بمستقبل النظام الكمي متأكدين من حاضره

والميكانيكا ) الكالسيكية(إن الفروقات بين الميكانيكا النيوتونية .الجديدة نابعة أساسا من طبيعة األنظمة التي تدرسها كل منهما


6

انتفاء مطلقي�ة القياسات وتكميم الطاقةأي أن الفرق األول األساسي هو أن قياسات الزمكان في ميكانيكا نيوتن مطلقة، في حين أن هذه القياسات في الميكانيكا الجديدة

غير مطلقة وتخضع لحسابات احتمالية

مثل األرض (والفرق األساسي الثاني هو أن طاقة نظام كالسيكي تأخذ قيما متصلة في حين أن قيم الطاقة منفصلة )والشمس

، كما رأينا في مستويات ! في ميكانيكا الكم) quantizedمكماة (الطاقة لذرة الهيدروجين في نموذج بور والتي حصلنا عليها بافتراض

! تكميم الزخم الزاوي

4

بورنبورنهايزنبرغهايزنبرغ و ديراكو ديراكشرودينغرشرودينغر


8

شرودينغر، هايزنبرغ، بورن وديراك

سوف تدرس تطبيقاته في 253وفي مساقات أخرى مثل ف يزياء مجاالت أخرى كالذرات متعددة االلكترونات والفيزياء النووية وف

. الحالة الصلبة

شرودينغر، هايزنبرغ، بورن وديراك في يعود الفضل للفيزيائيين تطوير إطار رياضي جديد استوعب المستجدات المخبرية التي عجز

هذا اإلطار هو . أمامها نموذج بور وتنبأ بظواهر لم تكن معروفةوالذي سيكون موضوع دراستنا ) أو الميكانيكا الكمية(ميكانيكا الكم

في هذا الفصل وتطبيقه في حالة ذرة الهيدروجين في الفصل . التالي

5


9

االحتماالت

صالحة في ميكانيكا )cause and effect(العالقة بين المسبب وأثره تبقى ونا هو الكم كما هو الحال في ميكانيكا نيوتن ولكن االختالف األساسي كما قل

ا نيوتن، بل في أن8 ميكانيكا الكم ال تحدد حاضر النظام بدقة، كما تفعل ميكانيك! كل ما تعمله هو في تقدير احتمال حدوث الحدث في الحاضر

ناميكي8ة عند دراستنا لألنظمة الكمي8ة سوف يكون هدفنا إيجاد المتغيرات الدي.للنظام الكم8ي المدروس، تماما كما في ميكانيكا نيوتن

عدم فحسب مبدأ عدم التحديد لهايزنبرغ يعني تحديد موقع جسيم بدقة عالية xx∆∆(دقة كبيرة في تحديد زخمه الخطي ∆∆pp ≥≥hh/2/2 ( وبالعكس كما رأينا، والحال

)E E ∆∆t t ≥≥hh/2/2∆∆(كذلك في حالة الطاقة والزمن الالزم لقياسها


10

نصف قطر بور: مثال

ا أي أن ميكانيكا الكم تقول لنا أن� قياس نصف قطر بور سوف يعطي قيمa0مختلفة ولكن� القيمة = 0.53 Å هي تلك التي سيكون الحصول عليها

.األكثر احتماال

الكم وأخيرا، سوف نرى أن� الميكانيكا الكالسيكي�ة هي تقريب لميكانيكا. في العالم الماكروسكوبي

لى إ بور لقد رأينا مثاال على ذلك أثناء دراستنا لنموذج بور، إذ تؤول نتائججد�انتائج الميكانيكا الكالسيكي�ة عندما تصبح األعداد الكمي�ة كبيرة

يعطي نموذج بور قيمة نصف قطر المدار األول في ذرة الهيدروجين، هذه القيمة في ميكانيكا الكم ، وسوف نرى أن�Å 0.53والذي يساوي

). the most probable(هي القيمة األكثر احتماال

6


11

5M-1الملحق تكميم الطاقة

جسيم محصور في صندوق


Appendix M5-1Energy Quantization

A Particle in A Box


Yarmouk University 21163 Irbid JordanWave Mechanics

Schrödinger’s Equation

Lecture 18



7



الميكانيكا الموجي�ةمعادلة شرودينغر

١٨المحاضرة


14

Wave Functionدالة الموجة

:وتكون عادة على الصيغة، )complex(ها دالة مركبةوقلنا كذلك أن�Ψ(x,t) = A(x,t) + i B(x,t) , A and B are real functions

:ه الدالة هوذومربع ه( ) ( ) *R∈+=+×−=ΨΨ=Ψ 22*2 BABABA ii 1-5

إيجاد دالة الموجة هو الهدف من فإن�النظام الكم/يألن�ها تحوي خصائص . اإلطار الرياضي الذي سنفص/له في هذا الفصل والفصل التالي

( خصائص النظام الكم�ي ذكرنا سابقا أن� محتواة في دالة ) جسيم مادي مثال الذي ، وقلنا أيضا عندما أدخلنا مفهوم موجة دي بروي أن� موجة النظام

. Ψ|2|يهمنا من هذه الدالة هو مرب�عها

Ψ

→t,r

طردي�ا مع احتمال tيتناسب مربع الدالة في نقطة ما في الفراغ في لحظة ما .النظام الكم�ي في ذلك المكان في تلك اللحظةوجود

→r

8

© Dr. N. Ershaidat Phys. 251 Chapter 5: Quantum Mechanics Lecture 18

15

دالة الموجةخصائص

في ) النظام الكم�يأو ( مجموع احتماالت وجود الجسيم والسبب أن�، والقيمة صفر غير 1 يكون أقل� من أو يساوي الفراغ يجب أن�

. مقبولة ألن�ها تعني أن� الجسيم غير موجود

النظام مربع دالة الموجة يتناسب طردي�ا مع احتمال وجود لكون : الكم�ي في نقطة ما في الفراغ في لحظة ما، فإن�

2-51t,rt,r*

dVt,r0

2

≤

Ψ

Ψ=

Ψ< ∫∫

∞−

∞−

→→∞+

∞−

→

يكون عددا حقيقي�ا يجب أن�Ψ|2| مربع الدالة ولنفس السبب فإن�.موجبا


16

دالة الموجةتطبيع

وبالتالي فإن�

يساوي كثافة احتمال ) Ψ|2|(مربع دالة الموجة يكون من األنسب أنΨالنظام الكم�ي الذي تمث�له الدالة وجود

3-52

t,r

Ψ=

→P

مطب�عة مطب�عة ها نقول عن الدالة التي تحقق المعادلة السابقة أن�normalizednormalized

Normalization

4-51t,rt,r*

dVt,rdV

2

=

Ψ

Ψ=

Ψ= ∫∫∫

∞−

∞−

→→∞+

∞−

→∞+

∞−

P

9


17

دالة الموجةالشروط التي يجب أن تحققها النظام الكم�يه لكي تصف الدالة باإلضافة لشرط التطبيع السابق فإن�

: يتحقق الشرطان التاليانيجب أن

الفراغ في نتيجة حساب احتمال تواجد النظام في مكان ما في ) 1).unique value( يجب أن تعطي قيمة واحدة tلحظة ما

ه يلزمنا المشتقة األولى لدالة الموجة لتعريف بعض وف نرى أن�س) 2المتغيرات الديناميكي�ة في الميكانيكا الجديدة، مثل الزخم الخطي، ويجب أن تحترم الدالة حقيقة أن قياس هذه المتغيرات الديناميكي�ة

)unique value(يجب أن يعطي قيمة واحدة

18

دالة الموجة محترمة تتمت�ع بخصائص محد�دة الشروط السابقة تفرض على دالة الموجة أن�إن�

محترمةمحترمةيجب أن تكون دالة الموجة : يمكن تلخيصها بالعبارة التالية

!)well behaved“ حسنة التصرف”(

: تحقق الشروط التالية الدالة يجب أنوهذا يعني أن�

في أي�ة نقطة في الفراغ ** وأحادي�ة القيمة*متصلة تكون جب أني) 1 .tألي�ة لحظة

Ψ

→t,r

متصلة وأحادي�ة القيمة أيضا تكون المشتقة األولى للدالة جب أني) 2

. tفي أي�ة نقطة في الفراغ ألي�ة لحظة →

→

Ψ

rd

t,rd

.مطب�عةمطب�عة تكون الدالة جب أني) 3* Continuous** Single-valued

10


19

دالة الموجة محترمة: 5-1مثال ، هناك فقط اثنتان تصلحان لوصف 5-1من الدوال الستة التالية، الشكل

. e و aنظام كم�ي هما

. ليست أحادي�ة القيمةbالدالة ليست cمشتقة الدالة األولى

متصلة ال منتهية في نقطة داخل dالدالة

فترة تعريف الدالة. غير متصلةfوأخيرا الدالة

الموجةمعادلةمعادلة شرودينغر الموجي�ة

Wave Equation Schrödinger’s Equation

11

جسيم حر) +xفي بعد واحد للتبسيط (لنعتبر جسيما حر�ا يسير في الفراغ

إلن� الذي يهمنا هو مربع دالة الموجة فسوف . vبسرعة مقدارها :على الصيغة complexنعتبر دالة الموجة الممث�لة له مركبة

Free Particle

5-5( )( )xktAtr −ω=

Ψ

→i-exp,

λ−νπ=

Ψ

→ xt2Atr i-exp,

6-5h

p2

v

hE2

v2

2k π=π=νπ=

λπ

=

kp h= ω= hE

:وباستخدام العالقات التالية التي تربط بين المتغيرات الديناميكي�ة

:نستطيع أن نكتب


22

حقيقيجسيم :سوف نستخدم الصيغة التالية لدالة الموجة

ما نريده هو معادلة الموجة التي تصف حركة جسيم خاضع لقوى خارجي�ة ).ة الهيدروجين الخاضع لقوة الجذب الكولومي من البروتونكإلكترون ذر�(

.+x يسير في اتجاه p وزخمه الخطيE الدالة تصف جسيما حر�ا، طاقته هذه

ة الهيدروجين وهي حالة إلكترون ذر (أوال سوف نعتبر جسيما غير نسبي وطاقة Uإذا كانت طاقة وضع الجسيم في لحظة ما هي ). كما رأينا

: فإن طاقته الكلي ة تعطى بالعالقة التاليةKحركته هي

E = K + U

( ) ( )( )hxptEexpAt,x −=Ψ i- 7-5

12

23

Ψمشتقات : التالية) الجزئي�ة (Ψلنحسب مشتقات الدالة

( ) ( ) ( ) ( )txpeAptxx

xptE ,, Ψ==Ψ∂∂ − hh h ii i-

8-5

( ) ( ) ( ) ( )txp

eAptxx 2

2xptE2

2

2,, Ψ−=−=Ψ

∂∂ −

hh hi-

9-5

2

222

xp

∂Ψ∂−=Ψ h 10-5

11-5( ) ( ) ( )txEeAEtx

txptE ,, Ψ−=−=Ψ

∂∂ − hh h ii i-

( ) ( )txt

txE ,, Ψ∂∂−=Ψ

ih

12-5

24

في بعد واحد- معادلة شرودينغر الموجي�ة

( ) ( ) ( )txtxUx

txm2 2

22,,

,Ψ=Ψ+

∂Ψ∂

− hh

i

بداللة p و Eاللتين تعطيان 5-12 و5-10وباستخدام العالقتين السابقتين : نجد أن�Ψمشتقات

سوف نسم!يه (Uوهي معادلة شرودينغر لنظام كم�ي خاضع لتأثير خارجي في بعض األحيان للداللة على نفس Vجهد التفاعل وقد نستخدم الرمز

)x,y,z,t(بشكل عام يعتمد جهد التفاعل على إحداثي�ات الزمكان ). المتغير

Um2

pE

2+= :تعطى الطاقة الكلي�ة بالعالقة التالية

1D1D--SWESWE

: نحصل على العالقة التاليةΨ(x,t)بضرب طرفي المعادلة بالدالة

Ψ+Ψ=Ψ Um2

pE

213-5

13

25

معادلة شرودينغر الموجي�ة

t

trtrUtr

m2

22

∂

Ψ∂

=

Ψ+

Ψ∇−

→→→→ ,

,, hh

i

تعم!م العالقة السابقة في نظام ثالثي األبعاد وتكتب على الصيغة التالية والتي هي معادلة شرودينغر الموجي!ة التي تعتبر أساس

ن ميكانيكا الكم وتلعب دورا يكافئ في أهميته الدور الذي يلعبه قانو.نيوتن الثاني في الديناميكا الكالسيكي!ة

) x,y,z(هو الالبالسي والذي يعطى باإلحداثي!ات الديكارتي!ة )∆(حيث :بالعالقة التالية

2

2

2

2

2

2

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂=∆

3D3D--SWESWE

Ψ=

Ψ+

Ψ∆−

→→→trtrUtr

m2

2,,, h

hi


26

الالبالسي

kz

jy

ix

ˆˆˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

→14-5

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇=∆

→

15-5

The Laplacian

في نظام إحداثيات ديكارتي بالعالقة ) nabla(يعرف المتجه :التالية

→→=∇ grad

وهو متجه مركباته في نظام احداثيات ديكارتي ثالثي األبعاد تساوي . على التواليz وللمتغير y ، للمتغير xالمشتقة الجزئية بالنسبة للمتغير

في نظام الالبالسيالالبالسينعرف مربع المتجه التفاضلي السابق ويدعى :احداثيات ديكارتي بالعالقة التالية

14


27

الهاميلتوني

يسم�ى التعبير الرياضي * في الميكانيكا الكالسيكي�ة

The Hamiltonian

3D3D--SWESWE

Ψ=

Ψ

→→trtrH ,, hi

Um2

2+∆− h

: بشكل عام على الصيغةعادلة شرودينغر وتكتب م

الهاميلتوني

311أنظر مساق ف *


Yarmouk University 21163 Irbid Jordan

Schrödinger’s Equation (2)

Lecture 19



15



)٢(معادلة شرودينغر

١٩المحاضرة



30

معادلة شرودينغر مبدأ مستقل في الفيزياء الحديثة

مبدأ مستقال في الفيزياء عادلة شرودينغر في الواقع، يجب اعتبار م!وال داعي للبحث عن تفسير لكيفي'ة اشتقاقه

مبني'ا على مفاهيم عادلة شرودينغر الذي عملناه ماشتقاقكان بسيطة، هي حركة جسيم حر، ثم' استخدمنا حفظ الطاقة لجسيم

. للحصول على المعادلة) لم يعد حر'ا(خاضع لتأثير خارجي

عادلة شرودينغر، بما فيها مالشتقاقتؤدي كل الطرق المستخدمة .لى نفس االستنتاجطريقة شرودينغر نفسه، إ

16

31

معادلة شرودينغر أساس ميكانيكا الكم

كان بول ديراك من الرواد في هذا المجال ونسمUي االطار الرياضي الميكانيكا الكمية الذي يجمع بين ميكانيكا الكم والنظري'ة النسبي'ة

).Relativistic Quantum Mechanics(النسبية

السابقة صالحة وسليمة لنظام كم'ي كالسيكي، أي عادلة شرودينغر ملنظام السرعات فيه أقل بكثير من سرعة الضوء وهذا يكفينا على

ي والنوويالمستوى الذر'

بة في فيزياء الطاقات العليا حيث تكون السرع كبيرة جد'ا وحت'ى قريلتأخذ نسبي'ة عادلة شرودينغر من سرعة الضوء فإن'ه يلزم تكييف م

.المتغيرات الديناميكي'ة بعين االعتبار


32

حل معادلة شرودينغر

“ قيم محتملة”كما قلنا سابقا فإن' كل' ما نستطيع استخراجه هو .للمتغيرات الديناميكي'ة للنظام الكم'ي

عادلة شرودينغر ألنظمة سوف نرى في هذا الفصل كيف نحلe مكمي'ة مختلفة، مثل جسيم محصور في صندوق أو هز'از توافقي

...بسيط، الخ

قبل ذلك سوف نعر'ف اإلطار الرياضي، السهل، الواجب استخدامه . النظام الكميلكي نستخدم دالة الموجة في استخراج خصائص

17


33

كل التأثيرات الخارجي�ة على عادلة شرودينغر في مU Ψيحوي الحد الذي يعطينا دالة عادلة شرودينغر ولذا فإن�ه لحل م. النظام الكم�ي

الموجة للنظام، وبالتالي كافة خصائصه الديناميكي�ة، يجب معرفة جهده بشكل عام يعتمد على احداثي�ات التفاعل، والذي سبق وقلنا أن�

. الزمكان

جهد التفاعل

( ) ( ) ( )txtxUx

txm2 2

22,,

,Ψ=Ψ+

∂Ψ∂

− hh

i 1D1D--SWESWE

Ψخطي�ة في عادلة شرودينغر مالتراكب

Linearity and SuperpositionLinearity and Superposition

18


35

التراكب - Ψخطي�ة في عادلة شرودينغر م:خاصي�ة رياضي�ة هامة وهي التاليةعادلة شرودينغر تمتلك م المعادلة تحوي مشتقة ثانية بالنسبة إلحداثي�ات المكان ومشتقة مع أن�

Ψأولى إلحداثي�ات الزمن فإن�ها خطي�ة في لمΨ2 و Ψ1ه إذا كانت كل من الدالتين هذا يعني أن�إن� عادلة حال�

من هاتين الدالتين هو أيضا حل Ψفإن� كل تراكب خطي شرودينغر .عادلة شرودينغرلم

Ψ2 و Ψ1 في العالقة التالية تراكب خط�ي من الدالتين Ψالدالة

Ψ+

Ψ=

Ψ

→→→trbtratr 21 ,,, 16-5

∋ a, b: ثابتان حقيقي�ان أو مركبان b و aحيث C or R


36

التراكب لمΨ2 و Ψ1 تشكIل الدالتان نظاما كمي�ااعتبر . عادلة شرودينغر له حال�

السابقة هي 5-16المعر�فة في العالقة Ψسوف نثبت فيما يلي أن� الدالة عادلة شرودينغرلمأيضا حل

17-5( ) ( ) ( )

t

t,xt,xU

x

t,x

m2

1

12

1

22

∂Ψ∂=Ψ+

∂Ψ∂− h

hi

( ) ( ) ( )t

t,xt,xU

x

t,x

m2

2

22

2

22

∂Ψ∂=Ψ+

∂Ψ∂− h

hi 18-5

Ψ1إذا كانت الدالتان

لمΨ2و عادلة شرودينغر فإن� هذا يعني أن� حال� كال�:عادلة شرودينغر، أيممنهما تحقق

19


37

Ψهل = a Ψ1

+ b Ψ2

؟عادلة شرودينغر حل لم :5-16على الدالة المعر�فة في المعادلة عادلة شرودينغر لنطبق م

( )212

2122

2

22UbUa

x

bam2

Uxm2

Ψ+Ψ+∂

Ψ+Ψ∂−=Ψ+

∂Ψ∂

− hh

Ψ+

∂Ψ∂

−+

Ψ+

∂Ψ∂

−= 222

22

121

22U

xm2bU

xm2a

hh

19-5

:الحد األيسر


38

التراكب( ) ( ) ( )( )

ttxbtxa

ttx 21

∂Ψ+Ψ∂

=∂

Ψ∂ ,,,hh ii

( ) ( )

∂Ψ∂

+∂

Ψ∂=

ttx

bt

txa 21 ,,

hi

: الحد األيمن

20-5

Ψ+∂

Ψ∂−=

∂Ψ∂

Uxm2t

h 2

22hi

: ومنها نجد أن�

Ψ الدالةوهذه العالقة تعني أن� = a Ψ1

+ b Ψ2

عادلة شرودينغر حل لم

21-5

Ψ+

∂Ψ∂

−+

Ψ+

∂Ψ∂

−= 222

22

121

22U

xm2bU

xm2a

hh

20


39

تعميم-التراكب الدوال ه النتيجة ونقول أن�ذتعم�م ه

التي تشك%ل حلوال لمعادلة شرودينغر تشك%ل قاعدة في فراغ خاص :كل دالة على الصيغةه الدوال أيذويكون كل تراكب خطي من ه

∑=

→→

Ψα=

Ψ

N

1nnn trtr ,, 22-5

N321ntrn ,...,,,,, =

Ψ

→

�حال لمعادلة شرودينغر

القيم المتوقع�ةالقيم المتوقع�ة

Expectation ValuesExpectation Values

21

© Dr. N. Ershaidat

41

، فاالحتماالت هي الوسيلة الوحيدةالمكم�اةما عدا القيم Ψ جميع خواص نظام كم�ي محتواة في دالة الموجة نعيد القول أن�

. لهذا النظامعادلة شرودينغر ولذا فيلزمنا حل? م

فإن� ما يمكننا استخراجه ) الطاقة عادة(باستثناء الكمي�ات المكم�اة .من الخواص األخرى هي قيم احتمالي�ة لهذه الخواص

) <x>وسوف نستخدم الرمز (xلنحسب القيمة المتوقعة لالحداثي�ة .كم�ي في بعد واحد دالة الموجة له معروفة) نظام(لجسيم

<x> هي القيمة التي نحصل عليها إذا قسنا موقع عدد كبير من عادلة شرودينغر المتماثلة والمماثلة للجسيم الذي حللنا م(الجسيمات

ه القياساتذ وأخذنا متوسط هtفي لحظة ما ) له


42

تعريف-القيمة المتوق�عة :عن احتمال الحدث التالينحن نبحث بلغة االحتماالت

عند x موجود في النقطة Ψ(x,t)الذي تمث#له الدالة ) النظام(الجسيم .tاللحظة

<x> موقع متوسطمتوسط هي في الواقع N متماثلة ومماثلة للجسيم ( جسيم موزعة على محور tفي لحظة ما ) لهعادلة شرودينغر الذي حللنا م

Nالسينات بحيث يكون هناك 1

x جسيم عند االحداثيBة 1

N و 2

جسيم عند xاالحداثيBة 2

N ، و هناكi

x جسيم عند االحداثيBةi

:، أي أنB... وهكذا

∑∑=

++++++

=i

ii

N

xN

NNNxNxNxN

x321

332211

...

...22-5

22

43

تعريف-القيمة المتوق�عة باحتمال تواجد Niنحن نتعامل مع جسيم واحد، ولذا سوف نستبدل

اي ان االحداثي�ة محصورة ( ، x عند النقطة dxالجسيم في الفترة -- x xبين dxdxو x + dxx + dx ( أو:23-5PPii = | = | ΨΨii | | 22 dxdx

.xi عند النقطة Ψ(x,t) هي قيمة دالة الموجة Ψi حيث

واستخدام التكامل بدال من الجمع 5-22بالتعويض في المعادلة : تصبح5-22فإنB المعادلة ) dxأي بأخذنا فترات تفاضليBة (المنفصل

dx

dxx

x2

2

∫

∫∞+

∞−

∞+

∞−

Ψ

Ψ

= 24-5


44

دالة الموجة مطب�عة–القيمة المتوق�عة السابقة يساوي السابقة يساوي 55--2424 مطب�عة فإن المقام في المعادلة مطب�عة فإن المقام في المعادلة ΨΨإذا كانت إذا كانت

::ه الحالة هوه الحالة هوذذ في ه في هxx ويصبح تعريف القيمة المتوق�عة لالحداثي�ة ويصبح تعريف القيمة المتوق�عة لالحداثي�ة 11

dxxx 2∫∞+

∞−

Ψ= 25-5

23

© Dr. N. Ershaidat

45

دالة الموجة مطب�عة–القيمة المتوق�عة مثال على حساب هي دالة الموجة لجسيم في بعد واحد موجود في هي دالة الموجة لجسيم في بعد واحد موجود في a x = a x ΨΨ =إذا كانتإذا كانت:: معامل تطبيع الدالة، فأحسب معامل تطبيع الدالة، فأحسبaa ، حيث ، حيث [0,1][0,1]الفترة الفترة

معامل التطبيعمعامل التطبيع) ) 1122 ( (Bاحتمال أنBيتواجد الجسيم بين يتواجد الجسيم بين احتمال أن x=0.45x=0.45 و و x=0.55x=0.55، ، . .xxلقيمة المتوقBعة لالحداثيBة لقيمة المتوقBعة لالحداثيBة اا) ) 33

1dx2 =Ψ∫∞+

∞−

::الحلالحلمعامل التطبيعمعامل التطبيع) ) 11

3

dxx

1a1dxxa 1

0

2

1

0

22 ±=±=⇒=

∫∫


46

a x = a x = دالة الموجة–القيمة المتوق�عة حساب

ΨΨ ، ،x=0.55x=0.55 و و x=0.45x=0.45 يتواجد الجسيم بين يتواجد الجسيم بين احتمال أن�احتمال أن�) ) 22

( ) ( )( )332550

450

32

550

450

22x

x

2 4505503a

3x

adxxadxP2

1

...

.

.

.

−=×==Ψ= ∫∫

P = 0.02508 aP = 0.02508 a22ومنها ومنها = 0.07524= 0.07524

. .xxلقيمة المتوق�عة لالحداثي�ة لقيمة المتوق�عة لالحداثي�ة اا) ) 33

750a41

4x

adxxadxxx 21

0

42

1

0

322 .==×==Ψ= ∫∫∞+

∞−

24


47

xxيعتمد على اإلحداثي�ة يعتمد على اإلحداثي�ة ألي متغير ديناميكي القيمة المتوق�عة يعتمد على يعتمد على G(x)G(x) ألي متغير ديناميكييعم�م تعريف القيمة المتوق�عة يعم�م تعريف القيمة المتوق�عة

:: ، مثل طاقة الوضع، بالعالقة التالية ، مثل طاقة الوضع، بالعالقة التاليةxxاإلحداثي�ة اإلحداثي�ة

، مثل ، مثل xxبالنسبة للمتغيرات الديناميكي�ة التي ال تعتمد على اإلحداثي�ة بالنسبة للمتغيرات الديناميكي�ة التي ال تعتمد على اإلحداثي�ة ، مثل الطاقة، مثل الطاقةxx بداللة بداللة implicitlyimplicitly أو المعر�فة ضمنيا أو المعر�فة ضمنيا الزخم الخطي، الزخم الخطي،

فلحساب القيمة المتوقعة نستخدم مفهوما جديدا لذلك بحيث ال فلحساب القيمة المتوقعة نستخدم مفهوما جديدا لذلك بحيث ال ..**نعارض مبدأ عدم التحديدنعارض مبدأ عدم التحديد

dxxGxG 2∫∞+

∞−

Ψ= )()( 26-5

≤≤ pp) ) ∆∆p p وبالتالي فعدم الدقة في تحديد وبالتالي فعدم الدقة في تحديد Dx = 0Dx = 0 فإن فإن xxذا عرفنا ذا عرفنا إإ* * h/h/∆∆xx ( ( حسب مبدأ هايزنبرغ حسب مبدأ هايزنبرغكبير جد&ا كبير جد&ا

المؤثرات : 5M-3الملحق

١٩المحاضرة


OPERATORSOPERATORS

25


Yarmouk University 21163 Irbid JordanSchrödinger’s Equation: Steady State Form (3)

Lecture 20





المستقلة عن معادلة شرودينغر

)٣ ( الزمن

٢٠المحاضرة


26


51

ال يعتمد على الزمنUجهد التفاعل : حالة خاصة

بشكل عام يكون جهد التفاعل في النظام الكم�ي المدروس يعتمد فقط على إحداثي&ات المكان وال يعتمد على الزمن

:في هذه الحالة يمكن كتابة دالة الموجة على الصيغة التالية

23-5( )tfrtr ⊗

ψ=

Ψ

→→,

فقط على احداثي&ات المكان تعتمد أي حاصل ضرب دالتين األولى . تعتمد فقط على الزمن f(t)والثانية

ψ

→r

( ) ( ) ( )

ψ

∂∂=

ψ+

ψ∆−

→→→tfr

ttfrUtfr

m2

2h

hi

:عادلة شرودينغر نجد أن&م في 5-23وبوضع الدالة

52

Separation Constantثابت الفصل

أو( ) ( ) ( )[ ]tf

trtfrUtfr

m2

2

∂∂

ψ=

ψ+

ψ∆−

→→→h

hi 24-5

)وبقسمة طرفي المعادلة على )tfr

ψ

→

( )[ ]( )tf

tft

Ur

rm2

2

∂∂

=+

ψ

ψ∆−

→

→

h

h

i 25-5

إال * بأن يكون كل" من طرفيها مساويا لنفس الثابت، 5-25ال تتحقق المعادلة هذا سوف نرى أن* (E، ولنسم0ه separation constantيسم*ى ثابت الفصل :، أي أن*)النظام الكمي*الثابت ليس إال طاقة

27

© Dr. N. Ershaidat

53

. ثابت التكامل والذي يمكن الحصول عليه عند تطبيع الدالةCحيث

عادلة شرودينغر م

27-5( ) ttE eetf ω−− == ii CC h

:هو) سهل(وهذه معادلة تفاضلي5ة من الدرجة األولى وحل1ها العام

( )[ ]( )

Etf

tft

=∂∂

hi ( ) ( )tfE

tft h

i−=∂∂

⇒ 26-5

الطرف األيمن

EUr

rm2

2

=+

ψ

ψ∆−

→

→h

:الطرف األيسر

معادلة شرودينغر المستقلة عن الزمنمعادلة شرودينغر المستقلة عن الزمن

Time Independent SchrTime Independent Schröödinger dinger

EquationEquation

28


55

المستقلة عن الزمنعادلة شرودينغرمأو

ψ=

ψ+

ψ∆−

→→→rErUr

m2

2h28-5

المستقلة عن الزمنعادلة شرودينغرمتسم�ى المعادلة السابقة

أي أن� 29-5

tierCtr ω−→→

ψ=

Ψ ,

ه لنظام ال يعتمد جهد التفاعل فيه على الزمن فإن�ه يكفي حل أي أن�

وإيجاد فيكون الحل العام المستقلة عن الزمنشرودينغرمعادلة

5-29 المعر�فة في لمعادلة شرودينغر هو الدالة

ψ

→r


56

المؤثرات والقيم الممي�زة: على دالة بحيث أن�Qإذا كان تأثير المؤث�ر

Operators & Eigenvalues

Q [ f ] = c f , c ∈ C

للقيمة Q للمؤثر (EigenfunctionEigenfunction) دالة ممي�زة f فإن�نا نقول أن�.c (EigenvalueEigenvalue)الممي�زة

(EigenequationEigenequation)ونسم�ي المعادلة السابقة المعادلة الممي�زة .Qللمؤثر

29

المعادلة المميزة للطاقةالمعادلة المميزة للطاقة

Energy EigenequationEnergy Eigenequation

58

( ) ( ) ( )xExx

xm2 2

22

ψ=ψ+∂ψ∂

− Uh

Energy Eigenequationالمعادلة المميزة للطاقة

المستقلة عن الزمن شرودينغر بناء عليه تسم�ى معادلة

)Energy Eigenequation(المعادلة الممي9زة للطاقة

( ) ( )xEx ψ=ψH

والتي نستطيع كتابتها على الصيغة

: هو المؤثر المرادف للطاقة الكلي�ة والمعر�ف بالعالقةHحيث

UH +∂∂−= 2

22

xm2h

30-5

31-5

32-5

30


59

Eهي القيمة الممي�زة للهاميلتوني ،5-31في المعادلة

( ) ( )xEx ψ=ψH

E هي القيمة الممي�زة للهاميلتوني، المرادفة للدالة الممي�زة ψ(x)


Yarmouk University 21163 Irbid JordanSchrödinger’s Equation (4) Steady State Form Applications

Lecture 21



31



تطبيقات على معادلة شرودينغر)٤ ( المستقلة عن الزمن

٢١المحاضرة


التي Ψ شرودينغر يعطيحل معادلةتحوي جميع خواص النظام الكم�ي

32

استخدام معادلة شرودينغر لدراسة 3-5األنظمة الكمي�ة في بعد واحد

The Schrödinger Recipe

:حل معادلة شرودينغر الموجي�ة) أ

ة نعيد القول بأن�ه لمعرفة خواص نظام كمي ما، يجب معرفة دالة الموج يجب حل معادلة Ψ(x,t) فإليجاد و بشكل عام Ψ(x,t)الممث,لة له

.شرودينغري لحل معادلة شرودينغر يجب معرفة المؤث,ر الهاميلتوني للنظام الكم

المدروس وتحديدا معرفة جهد التفاعل الذي يخضع له النظام الكمي .Energy Eigenequationومن ثم� حل المعادلة الممي,زة للطاقة

وصفة شرودينغر1-3-5


64

)ط.م.م(حل المعادلة المميزة للطاقةسوف نرى أن� حل المعادلة الممي�زة للطاقة يعطينا دالة الموجة

Ψ(x,t) الممث�لة للنظام الكمي و E ة في نفس الوقت مع�طاقته الكلي.ط معادلة تفاضلي�ة بمجهولين.م.أن� م

33


65

تفاصيل وصفة شرودينغر) ب


66

-:ماي سوف نتبع الطريقة التالية عند دراسة نظام كم

حيث Hالمدروس ي ايجاد الهاميلتوني للنظام الكم2)

تفاصيل وصفة شرودينغر)ب

المدروسي تحديد النظام الكم1)

.E و Ψ(x,t)حل المعادلة الممي�زة للطاقة والتي تعطينا 3)

VH +−= 2

22

xdd

m2h

وبشكل خاص الحد الذي يحوي جهد التفاعل الذي يخضع له النظام .Vأي

34


67

حالة معادلة شرودينغر الموجي�ة المستقلة عن الزمن يعتمد الVوهنا نذك,ر بأن� المعادلة الممي,زة للطاقة تصبح أسهل إذا كان

قلة على الزمن وعندها فإن�ه يكفي حل معادلة شرودينغر الموجي�ة المست:عن الزمن

ومن ثم� نجد دالة الموجة الممث,لة للنظامE و Ψ(x,t)الدالة وإيجاد

Ψ(x,t) = ψ(x) e-iEt/h

منتهية، متصلة وأحادي,ة (والتأكد من أن�ها حسنة التصرVف Ψ(x,t)تفحص 4) للنظام Boundary conditionsBoundary conditions، وذلك باستخدام الشروط الحدي,ة )القيمة

.يالكم

( ) ( ) ( )xExVxxd

dm2 2

22

ψ=ψ+ψ−h

33-5


68

خواص النظام-القيم المتوقع�ة وذلك ي حساب القيم المتوقعة التي تحد�د خواص النظام الكم5)

المرادفة لكلV من هذه الخواص والتي operators المؤث�راتبايجاد. observablesيجب أن تكون قابلة للمشاهدة

Vإيجاد تعريف النظام الكميHإيجاد

عادلة محل )ط.م.م (شرودينغر

E و Ψ(x,t)إيجاد إيجاد خواص النظام

الكمي

وصفة شرودينغر: 5-1الشكل

35


69

حاالت الطاقة لنظام كمي حر : تطبيق2-3-5V=0غير خاضع لقوة أو

دالة الموجة الممث�لة Ψ(x,t)باستخدام وصفة شرودينغر يمكننا ايجاد في الفقرات التالية من هذا الفصل سوف نستخدم . لهذا النظام

وصفة شرودينغر بتفصيل أكثر لدراسة أنظمة كمي�ة مختلفة وسنكتفي :هنا بما يلي

� ال يعتمد قطعا على الزمن فإن�ه يكفي حل معادلة V=0بما أن فتكون وإيجادψ(x)شرودينغر الموجي�ة المستقلة عن الزمن

( ) ( ) htEextx i-ψ=Ψ ,


70

معادلة شرودينغر الموجي�ة المستقلة عن الزمن

22 Em2

kh

= كتلة النظام الكمي و = mحيث

) هي أبعاد معكوس مربع مسافةk2الحظ أن� أبعاد (

:ة عن الزمن لهذا النظام هيالمستقل�الموجي�ة إن� معادلة شرودينغر

:وسنكتبها على الشكل التالي

( ) ( )xExd

xd

m2 2

22

ψ=ψ

− h34-5

( ) ( ) 0xkxd

xd 22

2

=ψ+ψ

35-5

36

71

الحل العام

linear combination عبارة عن تراكب خطي x,t(Ψ(أي أن� الدالة حيث تنتشران بسرعة ) توافقيتين(مستويتين من موجتين

E = hw األولى في اتجاهx الموجب والثانية في اتجاه xالسالب .-xإن� الحد� الذي يحوي الموجة التي تنتشر في اتجاه

B e-i أي الحد k x غير

ه على الرجوع مقبول في هذه الحالة ألن� النظام حر# وال توجد أي�ة قوة تجبر .+xفي االتجاه المعاكس التجاه الحركة والتي نفترضها في اتجاه

kv

ω=

، 5-35 حل للمعادلة التفاضلي�ة المتجانسة من الدرجة الثانيةψ(x)أي أن� ):وحل هذه المعادلة العام سهل وهو ) xkxk eBeAx i-i +=ψ

( ) ( ) ( )hh tExktExk eBeAtx +− +=Ψ i-i, 36-5


72

القيم الممي�زة للهاميلتوني–الطاقة

.حيث استخدمنا في العالقة السابقة عالقات دي بروي

22

2

km8

hE

π= 39-5

و

m2p

m2k

E222

==ω=h

h38-5

( ) ( )htExkeAtx −=Ψ i,

∴37-5

37


73

كن�ا قد رأينا سابقا، أن� الطاقة لجسيم محصور، مثل الكترون بورE < 0 مكم�اة ، تكون.

22

2

km8

hE

π=

تعني أن� طاقة النظام الحر الذي افترضناه يمكن 5-39إن� العالقة ∋(أن تأخذ أي�ة قيمة حقيقي�ة موجبة R ( وتشك.ل القيم المقبولة

Continuumللطاقة طيفا متصال


74

حري حاالت الطاقة لنظام كم

مقي�دحر وآلخر ي حاالت الطاقة لنظام كم5-1يبي.ن الشكل

حري نظام كمE > 0

مقي�دي نظام كمE < o

38


75

جسيم محصور في بئر جهد المنته: تطبيق3-3-5، وذي L محصورا في صندوق في بعد واحد عرضه mاعتبر جسيما كتلته

) مشحون(إن2 هذا الوضع شبيه بوضع جسيم . جدران غير قابلة لالختراق. عميق المنته)كهربائي(موجود في بئر جهد

في حالة الصندوق و " ذو جدران غير قابلة لالختراق"تعني العبارتان في حالة بئر الجهد أن2 الجسيم ال يستطيع النفاذ وأن2ه " عميق المنته"

يبيNن الشكل . x على المحور x = L و x = 0مضطر للتحرك بين النقطتين .التالية تعريفا للجهد الذي يمثNل البئر 5-40 بئر الجهد وتبيNن العالقة 2-5

V(x) = 0

+ ∞0 < x < L

x > L or x < 0{ 40-5

مشحون)كهربائي(


76

بئر جهد المنته

V(x) = 0

+ ∞0 < x < L

x > L or x < 0{

بئر الجهد5-2الشكل

39


77

شرودينغروصفة

(V(x)) خاضع لجهد التفاعل m جسيم كتلته :ي النظام الكم 1).5-40المعر�ف بالعالقة

ال يعتمد على الزمن فإن�ه يكفي حل معادلة V(x)=0 بما أن� 3)وبما أن� الجسيم ال يستطيع . شرودينغر الموجي.ة المستقلة عن الزمن

فإن� دالة الموجة في المنطقتين ) الصندوق(اختراق جدران البئر x<0 و x>L وهذا يترجم حقيقة أن� الجسيم ليس ( تساوي صفرا

).موجودا خارج البئر

Vxd

dm2 2

22

+−=h

H الهاميلتوني2)


78

22 Em2

kh

= كتلة النظام الكمي و = mحيث

) هي أبعاد معكوس مربع مسافةk2الحظ أن� أبعاد (

( ) ( )xExd

xdm2 2

22

ψ=ψ

− h

تكتب معادلة شرودينغر الموجي.ة المستقلة عن الزمن لهذا النظام :كما يلي

( ) ( ) 0xkxd

xd 22

2

=ψ+ψ أو

41-5

40


79

دالة الموجة

ثابتا التكامل واللذان سنجدهما باستخدام الشروط B و Aحيث .الحدي�ة للمسألة

( ) xkxk eBeAx i-i +=ψ

( ) ( ) ( )

+=Ψ +− hh tExktExk eBeA

0tx

i-i,

: والتي حلها العام هو42-5

الالمنتهيوبالتالي فإن� دالة الموجة للجسيم المحصور في بئر الجهد :هي

Lx0

Lx0x

≤≤>< U

43-5

إن# الشرطين . يجب أن تكون دالة الموجة منتهية وأحادي ة القيمة ومتصلة ψ(x)األوليين متوفران ولكي تكون دالة الموجة متصلة يجب أن تكون

:بحيث

ψ’(x=L) = 0

الشروط الحدي�ة

ψ(x=0) = 0

ψ(x=L) = 0

ψ’(x=0) = 0 1-44-5

2-44-5

⇒ A + B = 0:5-44-1يعطينا الشرط A = - B

:أي أن#ψ(x) = A (e i k x – e -i k x) = 2 i A sin kx

و

و

∋ Aحيث C على الصورة التالية5-45، وسنكتب دالة الموجة في

45-5

41


81

تكميم الطاقة

∋ Aحيث R) سوف نرى أن� A ) عدد حقيقي فعال46-5

:5-44-2ويعطينا الشرط

:أي أن#

A sin kL = 0 ⇒ k L = n π

: وكذلك الطاقةn) يالكم�(وهذا يعني أن� دالة الموجة تعتمد على العدد

ψ (x) = A sin kx

Z∈π= nL

nkn ,

( ) xL

nAx n

π=ψ sin

47-5

*2

2

2

2

222

2

n

2

nNn,n

Lm8

h

Lm2

nk

m2E ∈=π== hh

49-5

48-5

82

Energy Statesحاالت الطاقةبئر جهد المنتهحاالت الطاقة لجسيم محصور في 5-3يبي.ن الشكل

42


83

تكميم الطاقة باستخدام دي برويوهي نفس النتيجة التي توصلنا إليها باعتبار أن� موجة دي بروي

أي أن� طول موجتها “ موجة واقفة”المصاحبة للجسيم يجب أن� تكون λ: العالقةحق.ق ييجب أن

n= 2 L/n

دالة الموجة إذا تعتمد على حالة الطاقة للنظام الكمي وتكتب على :الصورة

( ) htnEexL

nAtx nni−π=Ψ sin, 50-5


84

:يجب أن تكون دالة الموجة مطبع�ة، أي أن�

تطبيع دالة الموجة

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1dxxxdxtxtxdxtx nnnn

2

n =ψψ=ΨΨ=Ψ ∫∫∫∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

*,,*,

( ) ( ) 1dxxkAdxxkAxkAdxxxL

0

n22

nnn

L

0

n ===ψψ ∫∫∫∞+

∞−

sinsinsin*

dxxk

1A L

0

n2

n

∫=⇒

sin51-5

43


85

Aثابت التطبيع dxxkحساب التكامل

L

0n

2∫ sin

( )∫∫ −=L

0n

L

0n

2 dxxk2121

dxxk cossin

Lx

0x

nn

xk2k21

x21

=

=

−= cos

2L=

cos 2 kn

× L – cos 2 kn

× 0 = cos 2 n π – 1= 0

nثابت التطبيع ال يعتمد على ∴L2

An =


86

دوال الموجة لجسيم محصور في بئر جهد المنته

دالة الموجة لهذا الجسيم تعتمد nعلى

( ) htnEexL

nsinL

2t,x

n

i−π=Ψ

ψ1

ψ2

ψ3

L0

دوال الموجة : 5-4الشكل جهد بئرلجسيم محصور في

المنته

44


87

Ψ|كثافة االحتمال n|2

|ψ2|2

L0

|ψ1|2

|ψ3|2

كثافة االحتمال المرادفة : 5-5الشكل 5-4للشكل


88

مالحظات(1 |Ψ

n|2 = 0 for x = 0 and x = L , ∀ n

الصندوق ) البئر(في حين أن' احتمال تواجد الجسيم في منتصف 2) هو أكبر احتمال فإن' احتمال تواجده n=1عندما يكون في الحالة

n=2 يساوي صفرا للحالة x = L/2عند النقطة

|Ψ1(x=L/2)|2 = A2 sin2(π/2) = A2 = 4/L

|Ψ2(x=L/2)|2 = A2 sin2(2 (π/2)) = 0

إذ وكما قلنا سابقا فإن' الفيزياء الكالسيكي'ة ال تعرف وضعا كهذا، 3).يكون احتمال تواجد الجسيم في مكان ما هو نفسه أي'ا كانت طاقته

45


89

تمرين

، <x>: جد القيم المتوقعة التالية

<px<E> و <

Ψإذا كان الجسيم في الحالة 1


90

الميكانيكا الكالسيكي�ة وميكانيكا الكم

)المبدأ العام للديناميكا(قانون نيوتن

ميكانيكا الكم الميكانيكا الكالسيكي�ة معادلة شرودينغر

إيجاد احداثي�ات النظام بداللة الزمن عندما تعيق قوى خارجي�ة حرية حركة النظام

إيجاد دالة موجة النظام عندما تعيق قوى خارجي�ة حرية حركة النظام

حل معادلة الحركة يعطي قيما مطلقة .للمتغيرات الديناميكي�ة

حل معادلة شرودينغر يسمح بحساب احتمال أن تعطي القياسات قيما معي�نة

.للمتغيرات الديناميكي�ة

طاقة النظام ال يمكن أن تأخذ قيما طاقة النظام تأخذ قيما متصلة)تكميم الطاقة(متصلة وإن�ما منفصلة

حل معادلة الحركة يعطي احداثي�ات المكان بداللة الزمن

يعطي دالة موجة عادلة شرودينغرحل موطاقته في نفس الوقت النظام

Phys. 251 - YUctaps.yu.edu.jo/physics/Courses/Phys251/PDF/Chapter5_A.pdf · 1 ﻞﺼﻔﻟا ﺲﻣﺎﺨﻟا ﻢﻜﻟا ﺎﻜﻴﻧﺎﻜﻴﻣ Chapter 5 Quantum Mechanics Phys.

Documents