PHÂN TÍCH SỰ VỒNG VÀ SAU VỒNG CỦA VỎ CƠ TÍNH BIẾN … tat luan an NCS... · MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài Các kết cấu tấm, vỏ nhiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẶNG THÙY ĐÔNG

PHÂN TÍCH SỰ VỒNG VÀ SAU VỒNG CỦA VỎ CƠ

TÍNH BIẾN THIÊN CÓ GIA CƢỜNG VÀ NHIỆT

ĐỀ NGHỊ CHÍNH XÁC HÓA TÊN ĐỀ TÀI:

“ PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỘNG LỰC PHI

TUYẾN CỦA VỎ NHIỀU LỚP CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI CƠ VÀ NHIỆT”

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn

Mã số: 62 44 01 07

DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

HÀ NỘI – 2017

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,

Đại học Quốc gia Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Đào Văn Dũng

PGS. TS. Vũ Đỗ Long

Phản biện 1: GS. TSKH. Nguyễn Đăng Bích

Phản biện 2: PGS. TS. Vũ Công Hàm

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm

luận án tiến sĩ họp tại Trường ĐH Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN

vào hồi giờ ngày tháng năm .

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Các kết cấu tấm, vỏ nhiều lớp cơ tính biến thiên (M- FGM) có tính

chất vật liệu được biến đổi liên tục từ lớp này sang lớp khác trong kết

cấu, giúp giảm hiện tượng tập trung ứng suất gây ra như với các kết cấu

nhiều lớp thông thường. Ưu điểm của loại kết cấu này là nhẹ, độ bền

cao, khả năng cách âm cách nhiệt tốt,… Do đó, chúng đang ngày càng

thu hút sự quan tâm nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như:

hàng không vũ trụ, hàng hải, xây dựng vv.... Việc nghiên cứu ổn định,

đặc điểm dao động của các kết cấu này là vấn đề cấp thiết có ý nghĩa

khoa học, thời sự và thực tiễn.

Với lý do nêu trên, luận án đã chọn đề tài: “Phân tích sự vồng và sau

vồng của vỏ cơ tính biến thiên có gia cƣờng và nhiệt” làm nội dung

nghiên cứu.

2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án

- Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp giải bài toán ổn

định tĩnh phi tuyến của kết cấu vỏ M- FGM có gân gia cường, kết cấu vỏ

M- FGM gấp nếp, có lõi gấp nếp.

- Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp giải bài toán

động lực phi tuyến của kết cấu vỏ M- FGM có hoặc không có gân gia

cường, vỏ M- FGM gấp nếp hoặc có lõi gấp nếp.

- Khảo sát ảnh hưởng của yếu tố hình học, tham số vật liệu, các loại

gân gia cường, dạng gấp nếp, nền đàn hồi, nhiệt độ,... tới ứng xử tĩnh và

động lực phi tuyến của các loại vỏ M- FGM.

3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu của luận án

Đối tượng nghiên cứu: Vỏ thoải hai độ cong M- FGM gia cường bởi

hệ thống gân trực giao hoặc gân xiên FGM, chỏm cầu thoải M- FGM, vỏ

trống và vỏ trụ M- FGM gấp nếp hoặc có lõi gấp nếp.

Phạm vi nghiên cứu: ổn định và động lực phi tuyến của vỏ M- FGM

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp giải tích và phương pháp bán giải tích.

5. Cấu trúc của luận án: Bao gồm mở đầu, 4 chương, kết luận, danh

mục các công trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo và phụ lục.

2

Chƣơng 1: TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1.1. Vật liệu cơ tính biến thiên

Vật liệu cơ tính biến thiên (gọi tắt là FGM) được biết đến nhiều nhất

là loại có cơ tính biến thiên dọc chiều dày kết cấu theo quy luật phân bố

hàm lũy thừa (P-FGM), quy luật Sigmoid (S- FGM) hay hàm mũ (E-

FGM) [2, 4, 6, 79]. Trong đó, nếu tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt

độ, các tính chất hiệu dụng của vật liệu sẽ biến đổi trong quá trình kết

cấu chịu nhiệt độ và được tính theo công thức sau [79].

1 0 1 2 30 1 0 1 2 3Pr , ,i T P P T P T PT P T P T i c m

(1.4)

trong đó, 0 1 1 2 3, , , ,P P P P P là hằng số đối với mỗi vật liệu cụ thể như

được cho trong [2, 79].

1.2. Kết cấu nhiều lớp cơ tính biến thiên (Multilayer- FGM hay M -

FGM)

Kết cấu M - FGM được được nghiên cứu phổ biến nhất gần đây là loại

ba lớp với lớp lõi hoặc lớp phủ được làm từ vật liệu FGM, các lớp còn

lại được làm từ vật liệu thuần nhất gốm hoặc kim loại [6,107, 111].

1.3. Tình hình nghiên cứu về kết cấu FGM và M- FGM

1.3.1. Các nghiên cứu về vỏ thoải hai độ cong FGM và M-FGM

Các tác giả quốc tế đã phân tích các kết cấu vỏ thoải hai độ cong

FGM và M- FGM như Shen và ccs [83-93], Tornabene và Viola [101],

Matsunaga [64], Alijani và các cộng sự [14 - 16], Kiani và cộng sự [59],

Alibeigoo[11] và Alibeigoo và Liew [12], Pandey và Pradyumna [70,

71], các tác giả Việt Nam [21, 24,25,40,41,44-49, 51,103,104,107].

1.3.2. Các nghiên cứu về vỏ cầu thoải FGM và M- FGM

Đối với vỏ cầu thoải FGM và M- FGM, một số tác giả trong nước và

quốc tế đã phân tích ổn định và động lực phi tuyến của kết cấu này [20,

22,23,26,27,35,43,54,55, 82, 105, 106].

1.3.3. Các nghiên cứu về vỏ trống, vỏ trụ FGM và M- FGM

Một số công trình đã nghiên cứu vỏ trống, vỏ trụ FGM và M- FGM [6,

13,29,30,31,32,33,52,53,68,69,94-97,99]. Tiếp cận về tấm composite

lớp gấp nếp dạng lượn sóng được đề xuất bởi nhóm tác giả Đào Huy

Bích và ccs [18,19]. Cũng với kết cấu gấp nếp, nhóm tác giả Vũ Hoài

3

Nam, Nguyễn Thị Phương và ccs [58,67,73,74] đã phân tích ổn định

tĩnh và động lực của một số kết cấu sandwich FGM dựa trên lý thuyết

thuần nhất hóa của Xia và ccs [110].

1.4. Những kết quả đã đạt đƣợc trong nƣớc và quốc tế

1) Đã phân tích ổn định và đáp ứng động lực phi tuyến vỏ thoải hai

độ cong FGM có hoặc không có gân gia cường bằng vật liệu thuần nhất

chịu các loại tải trọng khác nhau. Bước đầu nghiên cứu ổn định và động

lực của vỏ thoải hai độ cong M- FGM không có gân gia cường.

2) Đã nghiên cứu ổn định tĩnh của chỏm cầu thoải FGM, sandwich

FGM đối xứng trục theo lý thuyết cổ điển (CST) và lý thuyết biến dạng

trượt bậc nhất (FSDT). Đã khảo sát động lực phi tuyến của chỏm cầu

thoải FGM và sandwich FGM theo CST và đặt bài toán theo ứng suất.

3) Đã nghiên cứu bài toán ổn định và động lực phi tuyến của vỏ

trống, vỏ trụ FGM có và không có gân gia cường theo CST. Bước đầu

đã có nghiên cứu về ổn định tĩnh của vỏ trống, ổn định động của vỏ trụ

sandwich FGM gấp nếp.

1.5. Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu

1) Phân tích ổn định và động lực phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong

M- FGM gia cường bởi các gân dọc, gân ngang và gân xiên FGM trên

nền đàn hồi chịu các loại tải trọng khác nhau dựa trên FSDT và lý thuyết

biến dạng trượt bậc cao (HSDT).

2) Phân tích dao động phi tuyến của chỏm cầu thoải M- FGM trên nền

đàn hồi chịu tác dụng của tải cơ - nhiệt theo FSDT, đặt bài toán theo

chuyển vị.

3) Phân tích ổn định tĩnh và động phi tuyến của vỏ trống, vỏ trụ M-

FGM gấp nếp hoặc có lõi gấp nếp bao quanh bởi nền đàn hồi chịu tác

dụng của tải cơ sử dụng lý thuyết vỏ Donnell.

1.6. Các giả thiết sử dụng trong luận án

- Các lớp vật liệu của vỏ được liên kết một cách hoàn hảo với nhau.

- Gân gia cường được giả thiết là mảnh và có thể bỏ qua thành phần

biến dạng xoắn của gân.

4

Chƣơng 2: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỘNG LỰC PHI TUYẾN

CỦA VỎ THOẢI HAI ĐỘ CONG M- FGM CÓ GÂN GIA CƢỜNG

2.1. Giới thiệu

Chương này của luận án nghiên cứu vỏ thoải hai độ cong M- FGM gia

cường bởi gân FGM với ba bài toán sau:

- Ổn định tĩnh phi tuyến của vỏ dưới tác dụng của tải cơ, nhiệt, cơ- nhiệt.

- Dao động phi tuyến của vỏ dưới tác dụng của tải cơ và cơ- nhiệt.

- Ổn định động phi tuyến của vỏ dưới tác dụng của tải cơ.

2.2. Mô hình của vỏ thoải hai độ cong M- FGM gia cƣờng bởi gân

FGM

Xét vỏ thoải hai độ cong M - FGM có bán kính cong theo hai phương

x , y lần lượt là xR và yR , bề dày h , chiều dài các cạnh trong mặt

phẳng chiếu là a và b . Vỏ được gia cường bởi hệ thống gân FGM và

được đặt trên nền đàn hồi Pasternak như hình 2.1.

a. Mô hình và hệ trục tọa độ vỏ

thoải hai độ cong

b. Mô hình nền đàn hồi

Pasternak

Hình 2.1. Mô hình và hệ trục tọa độ của vỏ thoải hai độ cong M-

FGM có gân gia cường đặt trên nền đàn hồi.

Luận án xét bốn mô hình của vỏ thoải hai độ cong M- FGM với sự

thay đổi vật liệu trong vỏ và gân như trên hình 2.3.

a. Mô hình 1A b. Mô hình 1B

c. Mô hình 2A d. Mô hình 2B

Hình 2.3. Sự thay đổi vật liệu trong panel nhiều lớp cơ tính biến thiên

được gia cường bởi các gân FGM.

5

2.2.1. Vỏ thoải M- FGM với mô hình FGM – vật liệu thuần nhất –

FGM

Các tính chất hiệu dụng Prsh của vật liệu vỏ biến thiên theo quy luật

phân bố Sigmoid mở rộng:

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

Pr Pr , ,

Pr Pr ,

Pr Pr , ,

,

b

t

b

k

i ji tt

sh j

i jib

k

t b

b

h hh

h hh h

h hh

z h

h

z h

h

z

z

z

(2.1)

với mô hình 1A, ,i c j m , còn với với mô hình 1B, ,i m j c ;

2.2.2. Vỏ thoải M- FGM với mô hình vật liệu thuần nhất – FGM –

vật liệu thuần nhất

Các tính chất hiệu dụng của vật liệu vỏ biến thiên theo quy luật phân

bố lũy thừa mở rộng

2 2

2 2

2 2

2 2

2

Pr , ,

Pr Pr Pr , ,

Pr , .

c

tsh c mc b

c

m b

t

k

t

h hh

h hh h

h hh

z h h

h

z

z

z

(2.2)

2.2.2. Hệ thống gân FGM

Vỏ được gia cường bởi hệ thống gân như: trực giao, xiên, dạng lưới. Để

đảm bảo tính liên tục giữa vỏ và gân, trong mô hình 1A và 2B, các tính

chất hiệu dụng của vật liệu gân được xác định theo quy luật phân bố

Power như sau:

2

2 22

Pr Pr Pr , / / ,jk

si m cm ii

z hh z h h

h

( , ,i x y sl ) (2.3)

Tương tự, với các mô hình 1B và 2A

6

2

2 22

Pr Pr Pr , / / .jk

si c mc ii

z hh z h h

h

(2.4)

2.3. Các công thức cơ bản

2.3.1. Liên hệ biến dạng – chuyển vị

- Theo HSDT, thành phần biến dạng của điểm bất kì thuộc vỏ thoải

không hoàn hảo cách mặt trung bình một khoảng z là [78, 80]

0 1 3

0 2

0 1 33 2

0 2

0 1 3

, ,

x x xx

xz xz xzy y y y

yzyz yz

xyxy xy xy

z z z

(2.5)

- Theo FSDT, các liên hệ này nhận được bằng cách lược bỏ các

thành phần bậc cao.

2.3.2. Liên hệ ứng suất – biến dạng

Xét gân được bố trí theo phương nghiêng góc so với phương x .

2 1

, , , ,

,, , , .

sisi si si

si siz z

E z T E z T z T T

E z Ti x y sl

(2.10)

2.3.3. Nội lực, mômen và lực cắt

Bằng cách áp dụng kỹ thuật san đều tác dụng gân của Leckniskii [61],

nhận được các biểu thức nội lực của vỏ thoải hai độ cong M- FGM gia

cường bởi gân FGM theo HSDT và FSDT. Trong phạm vi luận án xem

xét hai trường hợp: gân trực giao có xét đến biến dạng nhiệt và trường

hợp gân xiên hoặc gân lưới chỉ xét biến dạng cơ và sử dụng FSDT.

Để ngắn gọn, từ đây sẽ trình bày đại diện trường hợp sử dụng HSDT.

Trường hợp giải theo FSDT, các bước thực hiện hoàn toàn tương tự.

2.4. Điều kiện biên và phƣơng pháp giải

2.4.1. Điều kiện biên.

- Điều kiện biên 1: Cả bốn cạnh của vỏ đều tựa đơn tự do

- Điều kiện biên 2: Cả bốn cạnh của vỏ đều tựa đơn cố định

- Điều kiện biên 3: Cả bốn cạnh của vỏ đều tựa đơn, trong đó hai

cạnh 0,x a tựa tự do còn hai cạnh 0,y b tựa cố định.

7

2.4.2. Hệ phƣơng trình chủ đạo và phƣơng pháp giải

Hệ phương trình chuyển động và tương thích của vỏ thoải M- FGM

21 11 22 66 12 11

21 66 44 66 22

12 66 55 77 11

12 21 66 22 44 66

2

2 3

2 3

2 3

* * * * * *, , , ,

* * *, , ,

* * *, , ,

* * * *, , ,

xxxx xxyy yyyy x xxx

x xyy x x y yyy

y xxy y y xxxx

xxyy yyyy xx

F f F F F f F f G

G G H H G

G G H H L w

L L L w L w H H w

55 77

21 2

1 1 5 5 7 7

3

2

2

, ,*, , , ,

* *, , , , ,yy ,yy

* *, ,t , , , , ,

yy xxyy yy xx xx

x y

xy xy xy xx

tt x xtt y ytt xxtt yytt

f fH H w f w w

R R

f w w f w w q K w K w

I w I w I I I w I w

(2.28a)

11 66 21 11 12 66 66

11 12 66 11 66 21

11 12 66 66 11 12 66

* * * * * * *, , , , ,

* * * * * *, , , ,

* * * * * * *, , , , ,

xyy xxx x xx y xy x yy

xxx xyy xyy xxx

x xx y xy x yy xxx xyy

B B f B f D D D D

E w E E w F F f F f

G G G G L w L L w

44 44 66 66 3 53, , , , ,x x x x x tt xttH H w H H w I I w (2.28b)

22 66 12 22 21 66 66

22 21 66 22 66 12

22 21 66 66 22 21 66

55 55 77 73

* * * * * * *, , , , ,

* * * * * *, , , ,yyy

* * * * * * *, , , , ,

,y

xxy yyy y yy x xy y xx

yyy xxy xxy

y yy x xy y xx yyy xxy

y y

B B f B f D D D D

E w E E w F F f F f

G G G G L w L L w

H H w H H

7 3 5* *

,y , , .y tt yttw I I w

(2.28c)

11 66 12 22 21

66 11 66 22 12 21

211 33 66 12

2

2 0

* * * * *, , , ,

* * * * * *, , , ,

, ,* * * *, , ,

* * *, , , , , , , , .

xxxx xxyy yyyy x xxx

x xyy y xxy y yyy xxxx

yy xxxxyy yyyy xy

x y

xx yy xx yy xy xy xx yy

A f A A f A f B

B B B B B C w

w wC C C w C w w

R R

w w w w w w w w

(2.29)

8

Nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình (2.28) thỏa mãn điều kiện biên

được chọn dưới dạng [78] *sin sin , sin sin

cos sin , sin cos ,x x y y

w W x y w h x y

x y x y

(2.30)

Thế (2.30) vào phương trình (2.29) và giải được hàm ứng suất

2 21 2 3 0 0

1 12 2

2 2cos cos sin sin .x yf F x F y F x y N y N x (2.32)

Thay các biểu thức *, , ,x yw w và f vào hệ (2.28), áp dụng

phương pháp Galerkin thu được hệ phương trình.

11 12 13 14 15

1 2 3

02 2 04 0 0 4

2 20 1 5 5 7 7

21 22 23 5 3 5

2 2

2

2

* * ,

x y x y

yxx y

x y

x y

x y x

l W l l l W h l W h

sW W h s W W h s W W h W h

NNs q N N W h s

R R

I W I W I I I W I W

l W l l s W W h I I

31 32 33 6 3 52 * *

,

,x y y

W

l W l l s W W h I I W

(2.34)

2.5. Phân tích ổn định tĩnh

Bỏ qua các thành phần quán tính và cản nhớt trong hệ (2.34), biến

đổi và thu được liên hệ tải trọng – độ võng

21 2 3 4

02 2 04 40 0

2 2

0.yx

x yx y

aW a hW W a hW W a h W W W

NNs sq N N Wh h R R

(2.38)

2.5.1. Ổn định tĩnh của vỏ thoải hai độ cong M- FGM chỉ chịu áp lực

ngoài

Xét vỏ thoải hai độ cong M- FGM tựa tự do chỉ chịu tác dụng của áp

lực ngoài phân bố đều trên bề mặt ngoài của vỏ. Từ phương trình (2.38)

với ,m n lẻ, 0 0 0x yN N , ta có biểu thức của áp lực ngoài

9

1 2 34

24

2

2 .

hq aW a Wh W a Wh Ws

a Wh W W

(2.40)

Tải vồng cận trên và dưới của áp lực ngoài

2 2 31 1 2 2 3 1 2 4 1 2

4, , , , ,upper lower

hq aW a a hW a h W

s

(2.41)

2.5.2. Ổn định tĩnh của panel trụ M- FGM chỉ chịu nén dọc trục

Panel trụ M- FGM tựa tự do chỉ chịu tác dụng của lực nén dọc trục

xP phân bố đều trên hai cạnh 0x và x a . Khi đó, rút được xP

2

1 2 3 42

212 .x

W WWP a a hW a h a h W W h

W Wh

(2.43)

Tải vồng cận trên của lực nén dọc trục là

12.xupper

aP

h

(2.44)

2.5.3. Ổn định tĩnh của vỏ thoải hai độ cong M- FGM chịu tải nhiệt

Vỏ thoải tựa cố định tất cả các cạnh, đặt trong môi trường nhiệt tăng

đều f iT T T . Điều kiện để tất cả các cạnh của vỏ tựa cố định được

thỏa mãn theo nghĩa trung bình như sau [83]

0 0 0 0

0 0, .

b a a bu vdxdy dydxx y

(2.45)

Từ (2.45), qua một vài bước biến đổi, nhận được biểu thức của 0xN ,

0yN , thay vào phương trình (2.38) thu được liên hệ tải nhiệt – độ võng

3 41 41

1 1 2 2 3 3

2 2 2 4 4 42 1 3 3

2 2 24 2 4

1

2

2 ,

x y

x y

t st sT a WA W P A W P A W P R R

t s t sa t t hW W a hW W

R R

a t t h W W W

(2.48)

10

2.5.4. Ổn định tĩnh của panel trụ M- FGM chịu tải cơ – nhiệt kết hợp

Tương tự như mục trên nhận được

24 41 5 2 5 3 6

4

2 24 6 5

1

2 2 ,

xy y

s sP a t W a t hW W a t

A W R R

hW W a t h W W W A W T

(2.54)

2.6. Phân tích động lực phi tuyến

2.6.1. Phân tích dao động phi tuyến

2.6.1.1. Dao động phi tuyến của vỏ thoải M-FGM chịu tác dụng của

tải cơ

Xét vỏ thoải với bốn cạnh tựa đơn tự do chỉ chịu tác dụng của áp lực

ngoài biến đổi theo quy luật điều hòa, thay sinq Q t vào hệ (2.34)

nhận được hệ phương trình vi phân cấp hai dùng để phân tích dao động

phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong M- FGM. Trong trường hợp tổng

quát, việc tìm nghiệm dạng giải tích của hệ này gặp khó khăn về toán

học. Do đó, để khảo sát đáp ứng động lực phi tuyến thời gian – biên độ

độ võng, luận án sẽ áp dụng phương pháp Runge – Kutta [6, 8].

Để tìm tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ, từ (2.56), giữ lại

phần tuyến tính của , ,x yW và cho 0q , sau đó giải định thức sau

2 2 211 0 12 5 13 5

2 221 5 22 3 23

2 231 5 32 33 3

0

*

* *

,

l I l I l I

l I l I l

l I l l I

(2.57)

Giả sử thành phần quán tính của góc xoay x và y rất nhỏ và có

thể bỏ qua. Khi đó, ta nhận được

0 1 1 2 3

4 4

2 2

2 sin .

I W I W aW a W W h a W W h

a W W h W h s Q t

(2.60)

Tần số dao động tự do tuyến tính nhận được là

1

0

.mna

I (2.62)

11

2.6.1.2. Dao động phi tuyến của vỏ thoải M- FGM gia cường chịu

áp lực ngoài và đặt trong môi trường nhiệt độ

Thay phản lực 0 0,x yN N vào hệ phương trình (2.34) nhận được

11 12 13 14 15

1 2 3

4 4 5

2 20 1 5 5 7 7

21 22 23 5 3 5

31 32 33

2 2

2

2

* *

sin

,

,

x y x y

x y

x y x

x y

n W n n n W h n W h

cW W h c W W h c W W h W h

s Q t c W h T c T

I W I W I I I W I W

l W l l s W W h I I W

l W l l

6 3 52 * * ,ys W W h I I W

(2.65)

Tương tự mục trên, tần số dao động tự do tuyến tính được tìm bằng

cách giải định thức sau

2 2 211 4 0 12 5 13 5

2 221 5 22 3 23

2 231 5 32 33 3

0

*

* *

,

n c T I n I n I

l I l I l

l I l l I

(2.67)

Trong trường hợp bỏ qua ,x y , phương trình dùng để khảo sát đáp

ứng động lực của vỏ được viết lại như sau

0 1 1 4 2 32 2I W I W bW c T W h b W W h bW W h

4 5 42 sinb W W h W h c T s Q t (2.69)

Tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ là

1 4

0

,mn

b c T

I

(2.71)

2.6.2. Phân tích ổn định động phi tuyến

Xét vỏ thoải tựa đơn tự do bốn cạnh, gia cường bởi hệ thống gân trực

giao hoặc gân xiên chịu tác dụng của tải cơ và chỉ xét với FSDT.

2.6.2.1. Ổn định động phi tuyến của panel trụ M-FGM chịu tác dụng

của lực nén dọc trục

Xét lực nén dọc trục tăng tuyến tính theo thời gian, nhận được

12

11 12 13 14 15

1 2 3

21 1

21 22 23 5 3

31 32 33 6 3

2 2

2

2

2

,

,

.

x y x y

x y x

x y y

h W h h h W h h W h

eW W h s W W h s W W h W h

cth W h I W I W

h W h h s W W h I

h W h h s W W h I

(2.73)

Nếu bỏ qua xoay ,x y , tương tự mục 2.6.1, nhận được

1 1 1 2 3

24

2 2

2 0.

I W I W gW g W W h g W W h

g W W h W h W h hct

(2.74)

Hệ (2.73) hoặc (2.74) được giải bằng phương pháp Runge – Kutta để

nhận được đáp ứng thời gian – biên độ độ võng của panel trụ. Tải tới hạn

động nhận được thông qua công thức dcrx dcrP ct với dcrt được xác định

theo tiêu chuẩn ổn định động Budiansky-Roth [6, 37].

2.6.2.2. Ổn định động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong M- FGM

chịu tác dụng của áp lực ngoài

Cách làm tương tự như đối với mục 2.6.2.1

2.4. Kết quả số và thảo luận

Trong chương này luận án đã khảo sát chi tiết ổn định tĩnh, dao động

và ổn định động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong M- FGM có gân gia

cường với các điều kiện biên khác nhau trong các điều kiện tải trọng

khác nhau khi thay đổi các tham số hình học và vật liệu.

2.5. Kết luận chƣơng 2

Một số nhận xét đáng chú ý rút ra từ các kết quả khảo sát như sau:

1. Ảnh hưởng của các mô hình vật liệu lên ổn định tĩnh và đáp ứng

động lực phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong M- FGM là rất rõ nét.

2. Vỏ thoải với mô hình 1B có khả năng chịu tải tốt nhất, có tần số dao

động cơ bản lớn nhất và biên độ võng của dao động phi tuyến nhỏ nhất.

3. Nhiệt độ có ảnh hưởng rất lớn đến ổn định tĩnh và đáp ứng động lực

phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong.

4. Hệ thống gân xiên làm tăng đáng kể khả năng chịu tải của vỏ thoải

so với hệ thống gân trực giao.

13

Chƣơng 3: PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA CHỎM

CẦU THOẢI ĐỐI XỨNG TRỤC M-FGM

3.1. Giới thiệu

Điểm nổi bật của chương này so với các nghiên cứu gần đây là phương

pháp Galerkin được thực hiện trên toàn diện tích bề mặt chỏm cầu và lý

thuyết sử dụng là FSDT.

3.2. Mô hình chỏm cầu thoải M- FGM

Chỏm cầu thoải M- FGM trên nền đàn hồi, chu tuyến đáy bị ngàm

cứng được mô tả trên hình 3.1. Vỏ được xác định trong hệ tọa độ

, , z có và lần lượt theo hướng kinh tuyến và vĩ tuyến, z

vuông góc với mặt trung bình của vỏ. Để thuận tiện cho việc tính toán,

đưa vào biến r xác định bởi sinr R là bán kính của đường vĩ tuyến.

Khi đó, do tính thoải của chỏm cầu, có thể coi cos 1 và Rd dr . Vật

liệu của chỏm cầu được xem xét như ở chương 2.

Hình 3.1. Mô hình và hệ trục tọa độ của chỏm cầu thoải M- FGM.

3.3. Các hệ thức, phƣơng trình cơ bản

3.3.1. Liên hệ hình học

Dựa trên FSDT, các thành phần biến dạng khác không của chỏm cầu

thoải đối xứng trục tại điểm cách mặt giữa một khoảng z là [63, 105]

0

0

*, ,

,

r rr

rz r r

z

z

w w

(3.3)

với biến dạng tại mặt trung bình là

14

20

0

1

2

*,, , , ,

, .rr r r r

r r

wu w w w

R

u wr

r R

(3.4)

3.3.2. Liên hệ ứng suất – biến dạng

Định luật Hooke cho chỏm cầu thoải M- FGM [22, 23]

2

1

1 2 111.

( ) ( ) ( )( ) ,

( )

r rrz rz

TE z E z E zz

T

(3.5)

3.3.3. Nội lực, mô men và lực cắt

01 1 2 2 1

01 1 2 2 1

22 2 3 3 2

2 2 3 3 2

1 1

11,

r r

r r

N E E E E

N E E E E

M E E E E

M E E E E

(3.7)

1

2 1

*, , .r s r r

EQ K w w

(3.8)

3.3.4. Hệ phương trình chuyển động

Theo FSDT, hệ phương trình chuyển động của chỏm cầu thoải [63]

1 2 1 1

0

0

12

,

,

*, ,, ,

, ,

,

,

,

r r

rr r

r rr r rr r

rr r

NrN

M rQrM

rN N rNrQ w w

R

r q K w K r w r ww wr

(3.9)

3.4. Phân tích dao động phi tuyến

Điều kiện biên ngàm tại chu tuyến đáy r a và điều kiện đối xứng

trục tại đỉnh của chỏm cầu 0r được biểu diễn dưới dạng [63, 81, 82]

0 tại 0r ,

0 0 0, ,w u tại r a . (3.13)

Nghiệm xấp xỉ của các thành phần chuyển vị và góc xoay được chọn

để thỏa mãn điều kiện biên (3.13) là [81, 82]

15

2 2

2 3

2 22 2 2 2

4 4

*

, ,

, .

rr a r a ru U t ta a

a r a rw W w hta a

(3.14)

Sau quá trình biến đổi và áp dụng phương pháp Galerkin nhận được

31 11 32 21 35 31 12 32 22 36

31 13 32 23 310 33 11 34 21 37

2 238 39 33 12 34 22

2 3 333 13 34 23

1 11

2

8 162

105 10564 128

315 34651 1

a b a b a W a b a b a W h

a b a b a W W h a b a b a

W W h a W W h a W h a b a b

W h a b a b W W h W h a q a

a W hR

3 31

256

3465,a W a W

(3.23)

Phương trình (3.23) được dùng để khảo sát đáp ứng động lực của

chỏm cầu thoải M- FGM đối xứng trục nằm trên nền đàn hồi chịu tác

dụng của áp lực ngoài và nhiệt độ.

3.4.1. Tần số dao động tự do tuyến tính của chỏm cầu thoải M-

FGM đối xứng trục

Tần số dao động tự do tuyến tính nhận được bằng cách bỏ qua cản, độ

không hoàn hảo và các thành phần phi tuyến là

31 11 32 21 35

131 12 32 22 36 3

1

64 3465

315 1281

mn

a b a b a

aa b a b a

a

(3.25)

3.4.2. Đáp ứng động lực phi tuyến của chỏm cầu thoải M- FGM đối

xứng trục

3.4.2.1. Bài toán dao động cưỡng bức

Xét chỏm cầu chịu tác dụng của áp lực ngoài biến đổi theo thời gian

dạng điều hòa sinq Q t và được đặt trong môi trường nhiệt độ. Thay

sinq Q t vào hệ (3.23) và áp dụng phương pháp Runge – Kutta như

đã được trình bày trong mục 2.6 nhận được đáp ứng động lực phi tuyến

16

thời gian – biên độ võng của chỏm cầu thoải M - FGM đối xứng trục với

điều kiện ban đầu: 0 0W và 0 0W .

3.4.2.1. Bài toán dao động tự do

Cách giải tương tự như mực 3.4.2.1. Tuy nhiên cần lưu ý, với bài toán

dao động tự do, 0q t , vỏ được đặt vào một giá trị ban đầu của biên

độ 0 0W hoặc vận tốc 0 0W .

3.5. Kết quả số và thảo luận

Trong nội dung này luận án đã khảo sát chi tiết ảnh hưởng của các tham

số hình học, vật liệu, cản nhớt, biên độ và tần số lực cưỡng bức … lên tần

số dao động cơ bản và đáp ứng động lực của chỏm cầu thoải M - FGM.

3.5. Kết luận chƣơng 3

Một số nhận xét đáng chú ý rút ra từ các kết quả khảo sát như sau:

1. Sự có mặt của nhiệt độ làm giảm tần số dao động cơ bản và làm

tăng biên độ võng của đường cong thời gian - biên độ độ võng phi tuyến

của chỏm cầu thoải sandwich FGM.

2. Với bộ số liệu khảo sát, chỏm cầu thoải đối xứng trục với mô hình

1B có tần số dao động cơ bản lớn nhất còn mô hình 1A có tần số dao

động cơ bản nhỏ nhất.

3. Dao động tự do không cản của chỏm cầu M –FGM là dao động điều

hòa sau một chu kì còn dao động cưỡng bức không cản là dao động điều

hòa sau một phách.

4. Với dao động cưỡng bức phi tuyến của chỏm cầu, khi biên độ lực

cưỡng bức đạt đến một độ lớn nhất định sẽ xảy ra hiện tượng mất ổn

định, lúc này, các đường cong pha trở nên rất hỗn loạn.

Chƣơng 4: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỔN ĐỊNH TĨNH VÀ ĐỘNG

CỦA VỎ TRỐNG, VỎ TRỤ TRÕN M- FGM GẤP NẾP VÀ LÕI

GẤP NẾP CÓ NỀN ĐÀN HỒI BAO QUANH

4.1. Giới thiệu

Điểm nổi bật của chương này là: Thiết lập các công thức cơ bản cho

vỏ trống M – FGM gấp nếp hoặc có lõi gấp nếp hình thang, lượn sóng

17

có nền đàn hồi bao quanh dựa trên lý thuyết vỏ Donell, và lý thuyết

thuần nhất hóa của Xia [110].

4.2. Mô hình vỏ trống M- FGM gấp nếp và lõi gấp nếp

4.2.1. Hệ tọa độ tổng thể của vỏ trống

Xét vỏ trống chiều dài L được tạo thành bằng cách quay cung tròn

bán kính a quanh trục bất kì một vòng kín như trên hình 4.1a. R là bán

kính đường tròn xích đạo, 0R là bán kính vòng tròn vĩ tuyến và là

góc hợp bởi trục quay và bán kính cung tròn. Giả thiết vỏ thoải theo

phương dọc,ta có thể đưa vào một hệ trục tọa độ Oxyz đơn giản hơn với

các trục tọa độ , ,x y zO O O như trong hình 4.1b. Vỏ trống giả thiết được

bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak.

a. b.

Hình 4.1. Hệ trục tọa độ và mô hình vỏ trống.

Chú ý rằng: Khi 1 0/a , ta nhận được vỏ trụ tròn.

4.2.2. Mô hình vỏ trống M- FGM gấp nếp

Xét vỏ trống M- FGM dạng gấp nếp với quy luật phân bố vật liệu

Sigmoid đối xứng (hình 4.2), trong đó các tính chất hiệu dụng Prsh vỏ

được xác định như trong 2.1

a. Vỏ trống gấp nếp

b. Cấu tạo nếp gấp

c. Mô hình 1A

d. Mô hình 1B

Hình 4.2. Mô hình kết cấu và vật liệu vỏ trống M- FGM gấp nếp.

18

4.2.3. Mô hình vỏ trống M- FGM lõi gấp nếp

(a) (b)

(c)

Hình 4.3. Mô hình vỏ trống lõi gấp nếp

Vỏ được xem xét gồm ba lớp, trong đó lớp trên và lớp dưới được làm

bằng vật liệu FGM, lớp lõi làm bằng kim loại và được gấp nếp hình

thang hoặc lượn sóng như hình 4.3.

4.3. Các công thức cơ bản

4.3.1. Nội lực và mô men

4.3.1.1. Vỏ trống M- FGM gấp nếp

Phát triển lý thuyết thuần nhất hóa của Xia và các cộng sự [110] cho

vỏ trống M- FGM gấp nếp, biểu thức lực và mô men nhận được là [74]

0

11 120

12 22

066

11 12

12 22

66

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 2

,

,

,

,

xx

y y

xy xy

x xx

yyy

xyxy

A AN

N A A

N A

M D D wM D D wM D w

(4.2)

trong đó,

1

1 2 12 1111 12 66 66

11 11 11

212 12 11 22 12

22 11 11 66 6611 11

12 1112 22 2 22 1 22

11

2

1

2

, , ,

, , ,

, ,

I I A A cA c A A A

A D A l

A A A A Al c lA D D D D

A c A l c

D DD D I A I D

D c

(4.3)

19

và 2 2

,sin tan

f fl c

1

4 42

3

cos,

sin tan

f fI c

32

2

4 22

3,

sin tan

f fI f c

trong trường hợp nếp gấp dạng hình

thang, 2 ,l r d 2 ,c r 1 ,I r 3

2 2 32

42 8

3

dI d r dr r trong

trường hợp nếp gấp dạng lượn sóng.

4.3.1.2. Vỏ trống M- FGM lõi gấp nếp

Biểu thức của lực và mô men tổng của vỏ tương tự như trên.

với , ,ij ij ij ij ij ijA A A D D D (4.7)

trong đó :

+ ,ij ijA D lần lượt là độ cứng màng và uốn của hai lớp FGM

+ ,ij ijA D là độ cứng màng và uốn tương đương của lớp lõi gấp nếp

1 1211 12 11

1 2 11

11 11

212 12 1 11 22 12 1 1

22 66 66 11 111 1 111 11

12 112 11 22 66 662 22 1 22

1 111

2

1

2

ˆ, ,

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ, , ,

ˆ ˆ

ˆˆˆ ˆ, , ,

ˆ

c AA A A

I I A

A D

A A l A A A c cA A A D D

c l lA A

D lD D D D DI A I D

c cD

(4.10)

với ˆ ˆ,ij ijA D là độ cứng chống uốn của lớp lõi gấp nếp.

4.3.2. Phƣơng trình tƣơng thích biến dạng và phƣơng trình chuyển

động

Tương tự chương 2, sau một số biến đổi nhận được phương trình

chuyển động và phương trình tương thích biến dạng của vỏ trống

1 1 11 12 21 66

22

1 2

12 4

2

10

, , ,

* *, , , , , , ,

*, , , , , , ,

xxxx xxyy yy

yyyy yy xx xx xy xy xy

xx yy yy xx xx yy

w w D w D D D w fa

D w f w w f w w

f w w f K w K w w qR

(4.15)

20

11 66 12 22

2

1 12

2 0

* * * *, , , , ,

* * *, , , , , , , , , ,

xxxx xxyy yyyy xx yy

xy xx yy xy xy xx xx yy yy

A f A A f A f w wR a

w w w w w w w w w

(4.16)

4.4. Nghiệm và phƣơng pháp giải

Xét vỏ trống được đặt tựa đơn ở hai đầu chịu lực nén dọc trục theo

phương x là 0 0xN r h và áp lực ngoài phân bố đều trên bề mặt vỏ q .

Điều kiện biên trong trường hợp này là

00 0 0 0, , , , ; .x x xyw M N r h N tai x L (4.17)

Nghiệm xấp xỉ của độ võng w thoả mãn điều kiện biên theo nghĩa

trung bình được chọn dưới dạng

20 1 2sin sin sin ,

m x ny m xw W t W t W t

L a L

(4.18)

Sau khi biến đổi và áp dụng phương pháp Galerkin nhận được hệ

phương trình chủ đạo

01 11 0 2 1 0 1 2 2 0 02 2 0

2 2,y

r h K hW W W W q W W

a R

(4.21) 2 2 2

33 1 2 11 2 11 1 1 1 1 14 4 4

1 11 1

22 4 4 4 2 24 1

1 2 1 2 0 1 0 14 21 4

2 2 2

1 1 2 12

82

4

0

*

*

,

y

F F F A F R FGW W W W

F L L A F R

F FWW L WW hrW h W

F F

K W K W

(4.22)

2 22

1 0 1 2 1 0 1 2 2 2 4 2 211

2 22 4 4 4 2 42 4 1

1 1 2 112 2 41 1 4

202 0

2 0 2 1 2 02 211

3 32

4 2 16

42 2

30

44

*

*,

y

L RW W W W K W

R A

F F FLW L W W D

F R F F

h r hW r h W K W W q

R aA R

(4.23)

Vỏ trống phải thoả mãn điều kiện chu vi kín [6, 97]

21

2 2

0 2

0 0 0 0

10

2, , .

R L R L

y y yw

v dxdy w dxdyR

(4.25)

4.4.1.Phân tích ổn định tĩnh phi tuyến

Hệ phương trình chủ đạo nhận được bằng cách bỏ qua thành phần

quán tính và cản nhớt trong hệ các phương trình (4.21) ÷ (4.23) với 0y

nhận được từ phương trình (4.25), ta được 2 2

11 12 0 13 1 14 2 15 2 16 0 17 0,W W W W r q (4.27)

2 221 1 22 1 2 23 2 24 2 0 0,W W W W W r (4.28)

231 2 0 32 1 33 34 02 0,W W W q r (4.29)

4.4.1.1. Vỏ chỉ chịu tác dụng của lực nén dọc trục

Tương tự chương 2, tải dọc trục vồng cận trên của vỏ trống M- FGM

được xác định theo tiêu chuẩn rẽ nhánh

31 110

31 16 12 34

2

2.upperr

(4.32)

4.4.1.2. Vỏ chỉ chịu tác dụng của áp lực ngoài

Tương tự, tải áp lực ngoài vồng cận trên được xác định như sau

31 11

31 17 12 33

2

2.upperq

(4.35)

4.4.2. Phân tích ổn định động phi tuyến

Sau khi biến đổi ta thu được

2 20 0 11 16 1 0 12 1 13 1 2

14 17 1 18 2 2 13 15 0 2 14 0

2

0,

W W K W W W W

K K W q rW r

(4.39)

1 1 22 28 1 29 2 1

21 26 1 1 0 22 27 1 28 2 1 2

2 325 1 2 23 1 24 1 25 1 0

2

0,

W W K K W

K WW K K WW

WW W Wq W r

(4.40)

2 22 2 31 1 32 1 2

33 36 2 35 1 2 34 0 2 35 1 0

2

30

4,

W W W W W

K K W rW KW

(4.41)

22

Phương trình (4.39-4.41) là hệ ba phương trình vi phân phi tuyến cấp

hai liên quan và phức tạp. Trong luận án này, hệ phương trình này được

giải bằng phương pháp Runge-Kutta. Tải tới hạn động được xác định

bằng tiêu chuẩn Budiansky-Roth với độ võng lớn nhất theo (4.18).

4.4.2.1. Vỏ trống chịu tác dụng của lực nén dọc trục

Ta có: 0r ct , bỏ qua thành phần cản nhớt và áp lực ngoài

4.4.2.2. Vỏ trống chịu tác dụng của áp lực ngoài

Ta có q ct , bỏ qua thành phần cản nhớt và lực dọc trục

4.5. Kết quả số và thảo luận

Luận án đã tiến hành khảo sát ảnh hưởng của tỷ phần thể tích, nền đàn

hồi, các kích thước hình học của nếp gấp,… lên ổn định tĩnh và dộng

của vỏ trống, vỏ trụ M – FGM.

4.6. Kết luận chƣơng 4

1. Vỏ trống, vỏ trụ gấp nếp hoặc lõi gấp nếp làm tăng đáng kể tải tới

hạn tĩnh và động so với vỏ không gấp nếp có lượng vật liệu tương đương.

2. Các đặc trưng hình học của nếp gấp có ảnh hưởng tương đối rõ rệt

đến khả năng chịu tải của vỏ.

3. Đường cong tải trọng – độ võng sau vồng trong cả hai trường hợp

chịu tác dụng của tải áp lực ngoài và lực nén dọc trục đều gồm một đoạn

tăng tuyến tính khá dốc sau đó đến đoạn đường cong phi tuyến.

4. Nền đàn hồi giúp cho các đường cong tải trọng – độ võng sau vồng của

vỏ trống, vỏ trụ M- FGM gấp nếp và lõi gấp nếp, trở nên ổn định hơn.

KẾT LUẬN

Luận án đã thu được một số kết quả sau đây:

1. Góp phần phát triển quy luật Sigmoid và Power mở rộng cho kết

cấu vỏ nhiều lớp cơ tính biến thiên với bốn mô hình vật liệu khác nhau.

2. Dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và bậc cao, kết hợp với

tính phi tuyến hình học của von Kármán, kỹ thuật san đều tác dụng gân

của Lekhnitskii đã thiết lập các phương trình chủ đạo cho bài toán ổn

định tĩnh và động lực phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong M- FGM có

gân gia cường chịu tác dụng của tải cơ, nhiệt và cơ – nhiệt kết hợp. Gân

gia cường được xem xét là gân FGM bao gồm: gân dọc, gân ngang và

23

gân xiên. Bằng tiếp cận giải tích, áp dụng phương pháp Galerkin,

phương pháp Runge-Kutta và tiêu chuẩn Budiansky-Roth đã phân tích

bài toán ổn định tĩnh và động lực phi tuyến của vỏ.

3. Bằng cách tiếp cận tương tự như trên đã thiết lập các phương trình

chủ đạo và phân tích dao động phi tuyến của chỏm cầu thoải đối xứng

trục M- FGM chịu tác dụng của tải cơ – nhiệt kết hợp dựa trên lý thuyết

biến dạng trượt bậc nhất. Đặt bài toán theo chuyển vị và phương pháp

Galerkin được thực hiện chính xác trên toàn miền vỏ.

4. Đã phân tích ổn định tĩnh và ổn định động của vỏ trống, vỏ trụ M-

FGM dạng gấp nếp hoặc lõi gấp nếp có hoặc không có nền đàn hồi bao

quanh dựa trên lý thuyết vỏ Donnell, tính phi tuyến hình học của von

Kármán và áp dụng lý thuyết thuần nhất hóa của Xia. Độ võng được

chọn dưới dạng nghiệm ba số hạng kết hợp với điều kiện chu vi kín.

5. Đã khảo sát ảnh hưởng của kích thước hình học, tính chất vật liệu

của vỏ, ảnh hưởng của gân FGM, gân xiên, yếu tố nhiệt, các mô hình

vật liệu, đặc trưng hình học của nếp gấp, các tham số nền đàn hồi lên

ứng xử tĩnh hoặc đáp ứng động lực của kết cấu. Từ đó đưa ra một số

nhận xét có ý nghĩa, áp dụng trong thực tế kỹ thuật.

Nội dung chính của luận án được công bố và gửi đăng trong 14 công

trình. Trong đó có 8 công trình đã xuất bản và 2 công trình đã được chấp

nhận đăng, bao gồm:

- 3 bài đăng trên các tạp chí quốc tế.

- 1 bài đăng trên tạp chí Vietnam Journal of Mechanics.

- 4 bài đăng trên tuyển tập công trình hội nghị khoa học quốc gia và

quốc tế.

- 2 bài được chấp nhận đăng trên tạp chí Vietnam Journal of

Mechanics và tạp chí Giao thông Vận tải.

24

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ

LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1. Dao Van Dung, Dang Thuy Dong (2015). Stability of the doubly

curved shallow shells with functionally graded coatings reinforced by

functionally graded material stiffeners on elastic foundations. Tuyển tập

Báo cáo hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ

XII Thành phố Đà Nẵng, pp. 336-343.

2. Dang Thuy Dong, Dao Van Dung (2016). Thermo-mechanical

post-buckling analyses of functionally graded sandwich doubly curved

shallow shells reinforced by FGM stiffeners with temperature-dependent

material and stiffener properties resting on elastic foundations. Tuyển tập

Báo cáo Hội nghị Khoa học toàn quốc Vật liệu và Kết cấu Composite:

Cơ học, Công nghệ và Ứng dụng, Đại học Nha Trang, pp. 189-196.

3. Dao Van Dung, Dang Thuy Dong (2016). Post-buckling analysis

of functionally graded doubly curved shallow shells reinforced by

FGM stiffeners with temperature-dependent material and stiffener

properties based on TSDT, Mechanics Research Communications

78, pp. 28 - 41.

4. Vu Hoai Nam, Nguyen Thi Phuong, Dang Thuy Dong (2016).

Nonlinear dynamic analysis of shear deformable functionally graded

shallow spherical shell resting on elastic foundations subjected to external

pressure. Hội nghị Khoa học toàn quốc Vật liệu và Kết cấu Composite Cơ

học, Công nghệ và ứng dụng, pp. 503-510.

5. Vu Hoai Nam, Nguyen Thi Phuong, Dang Thuy Dong (2016).

Nonlinear dynamic analysis of functionally graded sandwich shallow

spherical shell resting on elastic foundations by using first-order shear

deformation theory. The 4th International Conference on Engineering

Mechanics and Automation. pp. 427-434.

6. Dao Van Dung, Dang Thuy Dong (2017). Nonlinear thermo-

mechanical stability of eccentrically stiffened functionally

graded material sandwich doubly curved shallow shells with general

Sigmoid law and Power law according to third order shear

deformation theory, Appl. Math. Mech. -Engl. Ed 38(2), pp. 191 - 216.

7. Dang Thuy Dong, Dao Van Dung (2017). A third order shear

deformation theory for nonlinear vibration analysis of stiffened FGM

sandwich doubly curved shallow shells with four material models.

Journal of Sandwich Structures and Materials. First published 22 June

2017. https://doi.org/10.1177/1099636217715609.

8. Dang Thuy Dong, Dao Van Dung (2017). Nonlinear vibration of

functionally graded material sandwich doubly curved shallow shells

reinforced by FGM stiffeners. Part 1: Governing equations. Vietnam

Journal of Mechanics 3, pp. 245 – 257.

9. Dang Thuy Dong, Dao Van Dung. Nonlinear vibration of

functionally graded material sandwich doubly curved shallow shells

reinforced by FGM stiffeners. Part 2: Numerical results and discussion.

Chấp nhận đăng trên Vietnam Journal of Mechanics.

10. Dang Thuy Dong, Vu Hoai Nam (2017). Nonlinear buckling

analysis of triangular corrugated-core functionally graded sandwich

toroidal shell segments subjected to external pressure. Chấp nhận đăng

trên Tạp chí Giao thông Vận tải.

11. Vu Hoai Nam, Dang Thuy Dong. Nonlinear dynamic thermo-

mechanical response of functionally graded sandwich shallow spherical

shell based on FSDT. (Submitted to Composites Part B: Engineering)

12. Vu Hoai Nam, Nguyen Thi Phuong, Dang Thuy Dong.

Postbuckling analysis of lattice stiffened sandwich functionally graded

doubly curved shallow shell subjected to mechanical loads in thermal

environment by using FSDT. (Submitted to Acta Mechanica)

13. Vu Hoai Nam, Nguyen Thi Phuong, Dang Thuy Dong.

Nonlinear buckling and postbuckling analysis of sandwich functionally

graded material toroidal shell segment surrounded by elastic foundation

and subjected to external pressure. (Submitted to Applied Mathematical

Modelling)

14. Nguyen Thi Phuong,Vu Hoai Nam, Dang Thuy Dong. Nonlinear

dynamic buckling of symmetric functionally graded material cylindrical

shells surrounded by elastic foundation and subjected to external

pressure. (Submitted to Mechanics Research Communications).