Nguyễn Thị Nga TÍNH TOÁN TẤM VÀ VỎ BẰNG VẬT LIỆU CƠ … tat luan an_NguyenThiNga.pdf · ĐẠi hỌc quỐc gia hÀ nỘi trƯỜng ĐẠi hỌc khoa hỌc tỰ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Nga

TÍNH TOÁN TẤM VÀ VỎ BẰNG

VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

CÓ GIA CƯỜNG

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn

Mã số: 62440107

DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội - 2017

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại

học Quốc gia Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học:

GS. TS. Đào Văn Dũng – Đại học Khoa học Tự nhiên

PGS. TS. Vũ Đỗ Long – Cục khảo thí ĐHQGHN

Phản biện 1: ………………………………………………

……………………………………………….

Phản biện 2: ………………………………………………

……………………………………………….

Phản biện 3: ………………………………………………

……………………………………………….

Luận án đã được bảo vệ trước Hội đồng cấp cơ sở chấm luận án tiến

sĩ họp tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN

Vào hồi …. giờ …. ngày …. tháng …. năm 20….

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Các kết cấu tấm và vỏ bằng vật liệu cơ tính biến thiên (FGM) đã và đang

được sử dụng ngày càng nhiều trong thực tiễn nhất là trong các ngành kỹ thuật

hiện đại như lò phản ứng hạt nhân, hàng không vũ trụ, ống dẫn nhiên liệu, bể

chứa, … Do vậy việc nghiên cứu độ bền, sự ổn định của chúng là một trong

những vấn đề được quan tâm hàng đầu nhằm mục đích đảm bảo cho các kết

cấu làm việc an toàn và tối ưu. Hơn nữa trong thực tiễn để tăng cường khả

năng làm việc của kết cấu người ta thường gia cố bằng gân gia cường.

Với những đặc tính ưu việt của FGM và những tiến bộ trong công nghệ

sản xuất FGM đã làm cho việc sử dụng FGM làm lõi hay làm lớp phủ trong

kết cấu sandwich được mở rộng đáng kể.

Đã có nhiều công trình nghiên cứu kết cấu FGM khi sử dụng lý thuyết tấm

và vỏ cổ điển. Các kết quả thu được chỉ phù hợp với những kết cấu thành

mỏng, còn đối với kết cấu thành dày hơn thì cần phải sử dụng lý thuyết biến

dạng trượt bậc nhất hoặc bậc ba. Đây vẫn là vấn đề mở, nhất là sử dụng lý

thuyết biến dạng trượt bậc ba cho kết cấu FGM và kết cấu sandwich FGM có

gân gia cường cũng là FGM.

Xuất phát từ những yêu cầu cấp thiết đã nêu ở trên, luận án đã chọn đề tài

là “Phân tích ổn định tĩnh của tấm và vỏ cơ tính biến thiên có gân gia

cường chịu tải cơ và nhiệt” làm nội dung nghiên cứu.

2. Mục tiêu của luận án

Nghiên cứu ổn định tĩnh của các kết cấu tấm và vỏ FGM thường được sử

dụng trong thực tế chịu tải cơ và nhiệt.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án

Đối tượng của luận án là tấm FGM, vỏ trụ tròn sandwich FGM và vỏ nón

cụt sandwich FGM, có gân gia cường cũng làm bằng vật liệu FGM.

Phạm vi nghiên cứu của luận án là phân tích ổn định tĩnh của tấm và vỏ

làm bằng vật liệu cơ tính biến thiên có gia cường bằng cách tiếp cận giải tích.

2

4. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp giải tích: Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, lý

thuyết vỏ Donnell-Karman và phương pháp san đều tác dụng gân của

Leckhnitsky để thiết lập các phương trình chủ đạo. Áp dụng phương pháp

Galerkin để xây dựng hệ thức hiển cho phép tìm tải tới hạn và vẽ đường cong

tải-độ võng sau tới hạn.

5. Bố cục của luận án

Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung, phần kết luận, danh

mục các công trình nghiên cứu của tác giả liên quan đến nội dung luận án, tài

liệu tham khảo và phụ lục.

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Chương này trình bày khái niệm, tính chất và một số quy luật cơ bản của

vật liệu cơ tính biến thiên; trình bày khái niệm ổn định và mất ổn định, tiêu

chuẩn tĩnh. Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước và trên thế giới đối với

bài toán ổn định tĩnh của kết cấu tấm, vỏ trụ, vỏ nón làm bằng vật liệu này. Từ

đó có thể tóm lược lại những nội dung chính mà các nhà nghiên cứu trong và

ngoài nước đã làm được gồm:

1- Đã tiến hành phân tích một cách tương đối toàn diện các vấn đề về ổn

định tĩnh tuyến tính và phi tuyến các kết cấu tấm và vỏ trụ FGM không có gân

gia cường chịu tải trọng cơ, nhiệt, cơ-nhiệt kết hợp, có hoặc không có nền đàn

hồi bằng các phương pháp giải khác nhau, dựa trên các lý thuyết tấm vỏ khác

nhau. Bước đầu nghiên cứu ổn định tĩnh của kết cấu FGM có gân gia cường

lệch tâm nhưng đa số là gân thuần nhất, gân FGM còn hạn chế.

2- Các nghiên cứu về kết cấu tấm và vỏ trụ FGM đa phần sử dụng lý thuyết

cổ điển, nhưng trong thực tế gặp nhiều kết cấu thành dày. Vì vậy lý thuyết cổ

điển áp dụng cho kết cấu này sẽ không chính xác nữa. Đã có những nghiên cứu

sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và bậc ba đối với kết cấu FGM

nhưng là kết cấu FGM không có gân gia cường, hoặc nếu có gia cường thì gân

3

gia cường là gân thuần nhất. Các nghiên cứu về kết cấu FGM có gân gia

cường FGM sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao còn hạn chế.

3- Về vật liệu, các tác giả đã nghiên cứu nhiều quy luật phân bố của FGM

khác nhau, tuy vậy các nghiên cứu về kết cấu sandwich FGM có gân gia

cường vẫn còn rất hạn chế.

4- Các vấn đề về ổn định tĩnh của kết cấu phức tạp như vỏ nón FGM và vỏ

nón sandwich FGM có gân gia cường cần được tiếp tục nghiên cứu. Khó

khăn chính ở mảng này là các hệ thức cơ bản và các phương trình cần phải xây

dựng trong hệ tọa độ cong. Hệ phương trình ổn định là các phương trình đạo

hàm riêng có hệ số là hàm của tọa độ.

CHƯƠNG 2. ỔN ĐỊNH TĨNH PHI TUYẾN CỦA TẤM FGM CÓ GÂN

GIA CƯỜNG CHỊU TẢI CƠ VÀ NHIỆT

2.1. Đặt vấn đề

Bài toán ổn định tĩnh của tấm FGM không gân, không nền, chịu tải cơ, tải

nhiệt và tải cơ nhiệt đã được nghiên cứu trong luận án của tác giả Hoàng Văn Tùng

năm 2011 [3] dựa trên lý thuyết tấm cổ điển và phương pháp Galerkin. Trong luận

án của tác giả Nguyễn Thị Phương năm 2014 [6], tác giả cũng sử dụng cách tiếp

cận tương tự để giải quyết bài toán ổn định tĩnh của tấm FGM có gân gia cường là

gân thuần nhất, có nền và chỉ chịu tải cơ. Ngoài ra bài toán ổn định tĩnh của tấm

FGM chịu tải cơ và nhiệt còn được nghiên cứu bằng cách sử dụng lý thuyết biến

dạng trượt bậc cao bởi tác giả Eslami cùng các cộng sự [59, 78÷81], tác giả Shen

cùng các cộng sự [91, 98] nhưng cho kết cấu tấm FGM không có gân gia cường.

Nghiên cứu của tác giả Nguyễn Đình Đức cùng các cộng sự [17] năm 2015 và [18,

28] năm 2016 cũng xét bài toán ổn định cơ nhiệt của tấm FGM có gân dựa trên lý

thuyết biến dạng trượt bậc cao, nhưng xét gân thuần nhất. Mặc dù, nghiên cứu của

luận án có nét tương đồng với các nghiên cứu [17, 18, 28] nhưng các kết quả đạt

được hoàn toàn độc lập và đều được công bố trên tạp chí uy tín trong nước và quốc

tế. Từ đó, luận án sẽ trình bày bài toán ổn định của tấm FGM có gân gia cường

4

FGM trên nền đàn hồi, chịu 3 kiểu đặt tải là tải cơ, tải nhiệt và tải cơ nhiệt, dựa trên

lý thuyết biến dạng trượt bậc cao thông qua hai bài toán sau đây:

Bài toán 1: Ổn định tĩnh phi tuyến của tấm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt

bậc nhất (FSDT).

Bài toán 2: Ổn định tĩnh phi tuyến của tấm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt

bậc ba (TSDT).

2.2. Ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM có gân gia cường dựa trên lý

thuyết biến dạng trượt bậc nhất

2.2.1. Tấm cơ tính biến thiên có gân gia cường (tấm ES-FGM)

Xét tấm chữ nhật cơ tính biến thiên có gân gia cường lệch tâm (ES-FGM) với

chiều dài a, chiều rộng b, và chiều dày h chịu nén dọc theo hai trục trên nền đàn hồi

được cho như hình 2.1. Giả thiết tấm được gia cường bởi các gân dọc và gân ngang

gần nhau. Chiều cao và chiều rộng của gân dọc tương ứng là h1, b1. Chiều cao và

chiều rộng của gân ngang tương ứng là h2, b2. Khoảng cách giữa hai gân dọc và hai

gân ngang tương ứng là d1, d2. Tấm được đặt trong hệ tọa độ Đề các (x, y, z) trong đó

mặt phẳng Oxy trùng với mặt phẳng giữa không bị biến dạng của tấm và trục Oz theo

phương chiều dày của tấm. Giả

thiết tính chất vật liệu của tấm

không phụ thuộc vào nhiệt độ,

thay đổi liên tục theo hướng

chiều dày tuân theo quy luật lũy

thừa.

Hình 2.1. Hình dạng của tấm có gân trên

nền đàn hồi

2.2.2. Các liên hệ cơ bản và phương trình chủ đạo

Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất của tấm với tính phi tuyến

hình học theo nghĩa Von Karman và kỹ thuật san đều tác dụng gân của

5

Lecknisky sau khi đưa hàm ứng suất f(x,y) vào ta thu được hệ phương trình ổn

định phi tuyến với bốn hàm chưa biết w, ϕx, ϕy và f như sau

* * * * * * *21 , 11 66 , 11 , 12 66 , 66 , 44 , 44 0,xxx xyy x xx y xy x yy x xB f B B f D D D D A w A (2.19)

* * * * * * *12 , 22 66 , 22 , 21 66 , 66 , 55 , 55 0,yyy xxy y yy x xy y xx y yB f B B f D D D D A w A (2.20)

* * * * * * * * * * *21 , 11 22 66 , 12 , 11 , 12 66 , 21 66 , 22 ,

* * *, , , , , , , , , 1 2 , ,

2 2 2

2 0, (2.22)

xxxx xxyy yyyy x xxx y xxy x xyy y yyy

yy xx xx xy xy xy xx yy yy xx yy

B f B B B f B f D D D D D D

f w w f w w f w w K w K w w

* * * * * * * * *11 , 66 12 , 22 , 21 , 11 66 , 22 66 ,

* 2 * * *12 , , , , , , , , , ,

2

2 0. (2.23)

xxxx xxyy yyyy x xxx x xyy y xxy

y yyy xy xx yy xy xy xx yy yy xx

A f A A f A f B B B B B

B w w w w w w w w w

2.2.3. Điều kiện biên và nghiệm của bài toán

Xét ba trường hợp điều kiện biên như sau [35, 36]:

Trường hợp 1: Tất cả bốn cạnh của tấm tựa đơn và có thể tự do dịch chuyển

trong mặt phẳng tấm tức là các cạnh tựa tự do. Khi đó các điều kiện biên tương ứng là

0,y xy xw N M x xoN N tại x = 0, x = a,

0,x xy yw N M y yoN N

tại y = 0, y = b. (2.24)

Trường hợp 2: Tất cả bốn cạnh của tấm tựa đơn và không thể dịch chuyển trong

mặt phẳng tấm tức là các cạnh tựa cố định. Khi đó các điều kiện biên tương ứng là

0,y xw u M x xoN N tại x = 0, x = a,

0,x yw v M y yoN N

tại y = 0, y = b. (2.25)

Trường hợp 3: Tất cả bốn cạnh của tấm tựa đơn, trong đó hai cạnh x=0,

x=a có thể tự do dịch chuyển được, còn hai cạnh y = 0, y = b thì không thể dịch

chuyển trong mặt phẳng tấm. Điều kiện biên trong trường hợp này là

0,y xy xw N M x xoN N tại x = 0, x = a,

0,x yw v M y yoN N

tại y = 0, y = b. (2.26)

6

Nghiệm giải tích của hệ phương trình (2.19), (2.20), (2.22) và (2.23) thỏa

mãn điều kiện biên chính xác đối với w và thỏa mãn theo nghĩa trung bình đối

với ϕx, ϕy được cho dưới dạng hai số hạng, có dạng như sau [93]

*sin sin , sin sin ,w W x y w h x y

10 11 20 21cos sin sin 2 , sin cos sin 2 ,x yx y x x y y

2 21 2 3

1 1cos2 cos2 sin sin ,

2 2xo yof f x f y f x y N y N x

(2.27)

Thay dạng nghiệm (2.27) vào ba phương trình (2.19), (2.20) và (2.23) ta biểu

diễn được các hệ số ϕ10, ϕ11, ϕ20, ϕ21, f1, f2, f3 theo W xác định bởi (2.28). Sau đó thay

(2.27), (2.28) vào vế trái của phương trình (2.22) và áp dụng phương pháp Galerkin

cho phương trình kết quả, ta thu được quan hệ tải độ võng của tấm ES-FGM không

hoàn hảo chịu các tải nén cơ, tải nhiệt và các tải nén cơ-nhiệt kết hợp:

4 * 4 * 3 * 3 *21 1 12 2 11 6 22 7

2 2 2 23 1 2

4 * 2 2 * * * 4 * 3 * 2 * *21 11 22 66 12 3 11 21 66 4

3 * 2 * *22 12 66 5

16 16 8 8 2

16 2 2 2

3

2 2

2

m n

B L B L D L D L W W h

L W W h L L W W h W hab

B B B B B L D D D L

D D D L

2 2 2 21 2 0,xo yoK K W N N W h

(2.29)

2.2.4. Ổn định của tấm ES-FGM chỉ chịu tải nén cơ

Giả sử tấm tựa đơn trên bốn cạnh (trường hợp 1 của điều kiện biên) và chịu các

tải nén cơ phân bố đều Fx và Fy lần lượt trên các cạnh x = 0, x = a và y = 0, y = b.

Nếu Nx0 = –hFx, Ny0 = –hFy và đặt η=Fy/Fx, W =W/h thì từ (2.29) dẫn tới hệ thức

hiển xác định mối liên hệ tải-độ võng (2.30). Với tấm hoàn hảo và cho 0W

ta thu được công thức (2.32) để xác định tải tới hạn của tấm.

7

2.2.5. Ổn định của tấm ES-FGM chỉ chịu tải nhiệt

Giả thiết tấm ES-FGM với tất cả các cạnh tựa cố định (trường hợp 2 của

điều kiện biên). Khi đó điều kiện để các cạnh của tấm không thể dịch chuyển

trong mặt phẳng tấm là u = 0 trên các cạnh x = 0, x = a và v = 0 trên các cạnh y

= 0, y = b được thỏa mãn theo nghĩa trung bình. Giải điều kiện này kết hợp với

biểu thức biến dạng (2.5), liên hệ lực-biến dạng (2.14) và dạng nghiệm ta tìm

được phản lực Nx0 và Ny0 phụ thuộc vào cả các tham số nhiệt ϕm, ϕmx, ϕmy và biên độ

độ võng W. Sau đó thay Nx0 và Ny0 tìm được vào (2.29) ta thu được mối liên hệ tải-

độ võng trong môi trường nhiệt như sau

2 2 2 21 2 3 30

4 2 20 21

2 162

3

4 . (2.36)

m nm mx my

m n

W W ht t W t t W W h

W h ab

Wt t t t W

W h ab

Xét môi trường nhiệt độ tăng đều, tức là tấm được đặt vào trong môi

trường mà nhiệt độ được tăng đều từ giá trị ban đầu Ti đến giá trị cuối Tf với

độ chênh lệch nhiệt độ ΔT = Tf – Ti không phục thuộc vào z và không xét đến

sự truyền nhiệt trong tấm. Khi đó, biểu thức của các tham số nhiệt ϕm, ϕmx, ϕmy

được biểu diễn theo ΔT, sau đó thế vào (2.36) ta tìm được biểu thức xác định

tải nhiệt tới hạn trong môi trường nhiệt tăng đều,

2.2.6. Ổn định của tấm ES-FGM chịu tải cơ và nhiệt kết hợp

Xét tấm ES-FGM không hoàn hảo chịu tác dụng đồng thời tải cơ và nhiệt

(trường hợp 3 của điều kiện biên). Giả sử tấm chịu nén dọc trục bởi lực Fx

được phân bố đều dọc trên các cạnh x = 0, x = a và được đặt trong môi trường

nhiệt độ tăng đều. Khi đó Nx0 đóng vai trò là lực ngoài tác dụng lên các cạnh x

= 0 và x = a, vì vậy Nx0 = –hFx, còn Ny0 đóng vai trò phản lực trên các cạnh y =

0 và y = b, có dạng như biểu thức Ny0 trong phần 2.2.5. Thay Nx0, Ny0 vào

(2.29) sự phụ thuộc phi tuyến của tải nén cơ Fx vào độ võng khi cho trước

trường nhiệt độ ΔT.

8

*211

1 2 32 * 2 *11 12

22 * 2 * * *

4 12 11 3 21 4 22 5*11

4 2 * *2 2 212 12

* *11 11 11

2 162

3

4

2 18

m nx

m n

o omx my

W W hAF t t W t h W W

abWh A A

hWt A A L B L B L W

abAW

A Ah W W

A A A

*

.1

omh

T

(2.42)

2.2.7. Các kết quả số và thảo luận

Để minh chứng độ tin cậy về phương pháp và kết quả của luận án, tác giả

thực hiện so sánh với kết quả của của hai tác giả Hoàng Văn Tùng và Nguyễn

Đình Đức [122]. Luận án khảo sát ảnh hưởng của nhiệt độ, chỉ số tỷ phần thể

tích, gân gia cường độ, nền, độ không hoàn hảo đến khả năng chịu tải của tấm

ES-FGM.

Kết quả chính của chương này được trình bày trong 04 bài báo trong đó có

02 bài báo trong nước [2, 3]* và 02 bài báo quốc tế [5, 7] *, trong đó dấu * để

chỉ bài báo [2], [3], [5] và [7] trong danh mục công trình của tác giả luận án.

2.3. Ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM có gân gia cường dựa trên lý

thuyết biến dạng trượt bậc ba

2.3.1. Tấm FGM có gân gia cường

Xét tấm ES-FGM chịu nén dọc đặt trên nền đàn hồi như mục 2.2, nhưng chọn

trục Oz theo phương chiều dày của tấm và hướng xuống, gân nằm ở mặt dương

của trục Oz. Giả thiết tính chất vật liệu của tấm phụ thuộc vào nhiệt độ, thay

đổi liên tục theo hướng chiều dày tuân theo quy luật lũy thừa.

2.3.2. Các liên hệ cơ bản và phương trình chủ đạo

Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc ba của tấm với tính phi tuyến hình học

theo nghĩa Von Karman và kỹ thuật san đều tác dụng gân của Lecknisky sau khi đưa

9

hàm ứng suất f(x,y) vào ta thu được hệ phương trình ổn định phi tuyến với bốn hàm

phụ thuộc chưa biết w, f, ϕx và ϕy như sau

* * * * * * * * * *12 , 11 22 31 , 21 , 13 , 23 32 , 14 33 ,

* * * * * * * *24 , 15 , 16 25 34 , 26 , , , , , , ,

2 2 2

2 2

xxxx xxyy yyyy x xxx x xyy y xxy

y yyy xxxx xxyy yyyy yy xx xx xy xy xy

b f b b b f b f b b b b b

b b w b b b w b w f w w f w w

*, , , 1 2 , , 0,xx yy yy xx yyf w w K w K w w (2.61)

* * * * * * * * * *11 31 , 12 , 13 , 14 33 , 32 , 15 , 16 34 ,

* * * * * * * * * *11 31 , 12 , 13 , 14 33 , 32 , 15 , 16 34 ,

xyy xxx x xx y xy x yy xxx xyy

xyy xxx x xx y xy x yy xxx xyy

b b f b f b b b b b w b b w

c c f c f c c c c c w c c w

11 12 , 11 12 ,3 0,x x x xd d w e e w (2.62)

* * * * * * * * * *22 31 , 21 , 23 32 , 33 , 24 , 25 34 , 26 ,

* * * * * * * * * *22 31 , 21 , 23 32 , 33 , 24 , 25 34 , 26 ,

xxy yyy x xy y xx y yy xxy yyy

xxy yyy x xy y xx y yy xxy yyy

b b f b f b b b b b b w b w

c c f c f c c c c c c w c w

21 22 , 21 22 ,3 0.y y y yd d w e e w (2.63)

* * * * * * * * * *22 , 12 21 31 , 11 , 23 , 13 32 , 24 33 ,

* * * * * *14 , 25 , 15 26 34 , 16 ,

2 * *, , , , , , ,

2

xxxx xxyy yyyy x xxx x xyy y xxy

y yyy xxxx xxyy yyyy

xy xx yy xx yy xy xy

a f a a a f a f a a a a a

a a w a a a w a w

w w w w w w w

*, , 0. (2.64)xx yyw w

2.3.3. Điều kiện biên và phương pháp Galerkin

Phần này cũng xét ba trường hợp điều kiện biên của tấm tương tự với điều kiện

biên của tấm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, nhưng cần thêm điều kiện

mô men bậc cao bằng không tương ứng trên các cạnh tựa đơn, và được xác định bởi

(2.65) ÷ (2.67).

Nghiệm giải tích của hệ phương trình (2.61) ÷ (2.64) thỏa mãn các điều

kiện biên có thể được tìm dưới dạng sau đây [125]

*sin sin , sin sin ,w W x y w h x y

1 2cos sin , sin cos ,x yx y x y

2 21 2 3

1 1cos2 cos2 sin sin ,

2 2xo yof f x f y f x y N y N x

(2.68)

10

Bằng cách thế dạng nghiệm (2.68) vào phương trình (2.64) ta biểu diễn

được các hệ số Fi (i=1÷3) qua W và Φ1, Φ2. Sử dụng kết quả này và tiếp tục thế

(2.68) vào ba phương trình còn lại (2.61) ÷ (2.63), sau đó áp dụng phương

pháp Galerkin thu được hệ ba phương trình. Trong hệ này, ta tiến hành khử Φ1,

Φ2 từ hai phương trình rồi thế vào phương trình còn lại, vì vậy thu được một

phương trình

23 31 21 33 32 21 22 31 23 31 21 33 32 21 22 3111 12 13 1 14 15

22 33 23 32 22 33 23 32 22 33 23 32 22 33 23 32

l l l l l l l l l l l l l l l ll l l W s l l W W h

l l l l l l l l l l l l l l l l

23 5 33 4 32 4 22 5 23 5 33 4 32 4 22 52 12 13 3 14 15

22 33 23 32 22 33 23 32 22 33 23 32 22 33 23 32

2 2l s l s l s l s l s l s l s l s

s l l W W h s l l W W h W hl l l l l l l l l l l l l l l l

2 20 0 0.x yN N W h (2.74)

Phương trình phi tuyến (2.74) được dùng để xác định tải tới hạn và phân

tích đường cong tải-độ võng sau tới hạn của tấm ES-FGM không hoàn hảo

chịu tải nén cơ, tải nhiệt, hay tải cơ-nhiệt có tính đến nền đàn hồi.

2.3.4. Phân tích ổn định cơ học

Bằng cách làm tương tự như mục 2.2.4, ta thu được mối liên hệ tải-độ

võng. Từ mối liên hệ này, với ξ=0 và cho 0W ta thu được biểu thức xác

định tải tới hạn của tấm như sau

23 31 21 33 32 21 22 31

11 12 132 222 33 23 32 22 33 23 32

1x

l l l l l l l lF l l l

l l l l l l l lh

. (2.76)

2.3.5. Phân tích ổn định nhiệt

Bằng cách làm tương tự như mục 2.2.5, ta thu được mối liên hệ tải-độ võng

23 31 21 33 32 21 22 3111 12 13

22 33 23 32 22 33 23 32

2 223 31 21 33 32 21 22 311 14 15 1 3

22 33 23 32 22 33 23 32

1 1 2 1 2 2 3 23 5 33 42 12

22 3

1

l l l l l l l l Wl l l

l l l l l l l l W

l l l l l l l ls l l t t hW

l l l l l l l lT

hP h P h P l s l ss l

l l

32 4 22 513

3 23 32 22 33 23 32

2 2 223 5 33 4 32 4 22 53 14 15 2 4

22 33 23 32 22 33 23 32

,2

2

W Wl s l sl h

l l l l l l W

l s l s l s l ss l l t t h W W

l l l l l l l l

(2.82)

11

Nếu tấm là hoàn hảo, tức là ξ = 0, thì từ phương trình (2.82), cho

0W , ta thu được biểu thức xác định sự thay đổi nhiệt độ như sau

23 31 21 33 32 21 22 3111 12 13

22 33 23 32 22 33 23 32

1 1 2 1 2 2 3

.

l l l l l l l ll l l

l l l l l l l lT

hP h P h P

(2.83)

Chú ý rằng các phương trình (2.82) và (2.83) tương ứng là các hệ thức dạng

hiển của liên hệ ΔT - W và sự thay đổi nhiệt độ ΔT, trong trường hợp tính

chất vật liệu độc lập với nhiệt độ. Ngược lại, khi tính chất vật liệu phụ thuộc

vào nhiệt độ, các biểu thức trên sẽ trở thành dạng ẩn. Trong trường hợp đó,

đường cong nhiệt-độ võng sau tới hạn và tải nhiệt tới hạn sẽ được xác định bởi

thuật toán lặp.

2.3.6. Phân tích ổn định cơ nhiệt

Bằng cách làm tương tự như mục 2.2.6, ta thu được mối liên hệ tải-độ

võng của tấm ES-FGM không hoàn hảo chịu đồng thời tải cơ và nhiệt.

2.3.7. Kết quả số và thảo luận

Để khẳng định độ tin cậy của quá trình tính toán, luận án thực hiện hai so

sánh với kết quả của các tác giả Shariat và Eslami [80] và của các tác giả

Nguyễn Đình Đức và Hoàng Văn Tùng [36].

Luận án khảo sát ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích, các tham số hình

học, gân và nhiệt độ đến khả năng chịu tải của tấm ES-FGM trên nền đàn hồi.

2.4. Kết luận chương 2

Một số kết quả đạt được của chương này là:

1. Thiết lập các bài toán ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM được gia

cường bởi gân cũng làm bằng vật liệu FGM trên nền đàn hồi, chịu tải

nén cơ hoặc tải nhiệt hoặc tải cơ nhiệt đồng thời bằng cách tiếp cận giải

tích, sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và bậc ba.

2. Đã đưa ra được các biểu thức quan trọng của , ,ij ij ijN M P vì trong đó có

xét đến sự đóng góp của cả gân và yếu tố nhiệt.

12

3. Hai thuật toán lặp được trình bày cho trường hợp tính chất vật liệu phụ

thuộc vào nhiệt độ.

4. Các yếu tố nhiệt, gân, nền đàn hồi, kích thước hình học, tính chất vật liệu

có ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử của tấm FGM.

5. Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba có thể cho dự đoán tốt hơn ứng xử động

học của tấm dày mà không cần phải sử dụng đến hệ số điều chỉnh như lý

thuyết biến dạng trượt bậc nhất. Đây là lý do chính mà lý thuyết biến

dạng trượt bậc ba được lựa chọn để nghiên cứu ứng xử tới hạn và sau tới

hạn của tấm dày.

Kết quả chính của chương này được trình bày trong 04 bài báo trong đó

có 02 bài báo trong nước [2, 3]* và 02 bài báo quốc tế [5, 7] *, trong đó dấu

* để chỉ bài báo [2], [3], [5] và [7] trong danh mục công trình của tác giả

luận án.

CHƯƠNG 3. ỔN ĐỊNH TĨNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ SANDWICH

FGM CÓ GÂN GIA CƯỜNG CHỊU TẢI CƠ VÀ NHIỆT

3.1. Đặt vấn đề

Bài toán ổn định tĩnh của vỏ trụ FGM được tác giả Nguyễn Thị Phương

[6] và tác giả Lê Khả Hòa [4] nghiên cứu trong luận án. Ở đó các tác giả xét

bài toán vỏ trụ FGM có gân gia cường thuần nhất, có hoặc không có nền

nhưng chỉ chịu tải cơ và dựa trên lý thuyết vỏ cổ điển. Còn bài toán ổn định

nhiệt của vỏ trụ FGM cũng đã được một số tác giả nghiên cứu như tác giả Đào

Huy Bích cùng các cộng sự [13], tác giả Eslami cùng cộng sự [65, 83, 84], tác

giả Shen cùng cộng sự [88, 89] bằng cách sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển hay lý

thuyết biến dạng trượt bậc cao nhưng là vỏ FGM không có gân.

Chương này sẽ nghiên cứu bằng cách tiếp cận giải tích bài toán ổn định

tĩnh phi tuyến của vỏ trụ tròn sandwich FGM không hoàn hảo có gân gia

cường và nền đàn hồi dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc ba, chịu tải cơ và

nhiệt.

13

3.2. Mô hình vỏ trụ tròn sandwich FGM có gân gia cường

Xét vỏ trụ tròn với bán

kính mặt giữa R, chiều dày h

và chiều dài L chịu lực nén

dọc trục. Chọn hệ tọa độ Đề

các xyz sao cho các trục tọa

độ x, y (y=Rθ) lần lượt theo

các phương dọc và phương

vòng của vỏ trụ, còn trục z theo

Hình 3.1. Mô hình vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi

phương bán kính của vỏ trụ và hướng vào trong như trong hình 3.1.

Vỏ trụ tròn FGM là vỏ trụ sandwich được tạo thành từ hai lớp bề mặt

được gắn với nhau bởi một lớp lõi làm bằng vật liệu thuần nhất hoặc vật liệu

cơ tính biến thiên. Chiều dày mỗi lớp bề mặt bằng nhau và ký hiệu bằng hf,

còn chiều dày của lớp lõi là hco. Chiều dày của vỏ trụ sandwich được xác

định theo chiều dày của các lớp là h= 2hf+hco. Giả thiết vật liệu cơ tính biến

thiên của vỏ và gân biến đổi liên tục theo hướng chiều dày của vỏ và xét hai

trường hợp:

Trường hợp 1-Vỏ trụ sandwich với lớp lõi thuần nhất: Tính chất vật

liệu tuân theo quy luật Sigmoid tổng quát.

Trường hợp 2-Vỏ trụ sandwich với lớp lõi FGM: Tính chất vật liệu

tuân theo quy luật mũ tổng quát.

Dựa vào hai trường hợp này, luận án xem xét bốn kiểu vỏ trụ sandwich

FGM như trên hình 3.2 và tính chất vật liệu tương ứng của chúng có dạng

như sau:

14

Hình 3.2. Bốn mô hình của vỏ trụ tròn sandwich FGM

- Kiểu thứ nhất: Vỏ trụ sandwich kiểu A1 được tạo thành bởi hai lớp bề mặt làm

bằng FGM và một lớp lõi thuần nhất làm bằng kim loại như trong hình 3.2a

11 2

2 1

2 3

43 4

3 4

,

( ), ( ) , , 1 , .

,

k

sh sh c c mc mc

k

z zz z z

z z

E z z E E z z z

z zz z z

z z

(3.2)

- Kiểu thứ hai: Vỏ trụ sandwich kiểu A2 được tạo thành bởi hai lớp bề mặt

làm bằng FGM và một lớp lõi thuần nhất làm bằng gốm như trong hình 3.2b

11 2

2 1

2 3

43 4

3 4

,

( ), ( ) , , 1 , .

,

k

sh sh m m cm cm

k

z zz z z

z z

E z z E E z z z

z zz z z

z z

(3.3)

Có thể thấy rằng các vỏ sandwich kiểu A1 và A2 tuân theo quy luật

Sigmoid tổng quát. Khi chiều dày của lớp lõi hco = 0 thì ta nhận lại được quy

luật Sigmoid thông thường như trong tài liệu của hai tác giả Chi và Chung năm

2006 [140].

- Kiểu thứ ba: Vỏ trụ sandwich kiểu B1 được tạo thành bởi một lớp lõi

FGM gắn chặt với hai lớp bề mặt, trong đó lớp bên ngoài là thuần nhất gốm

còn lớp bên trong là thuần nhất kim loại như trong hình 3.2c

15

1 2

22 3

3 2

3 4

0 ,

( ), ( ) , , , .

1 ,

k

sh sh c c mc mc

z z z

z zE z z E E z z z

z z

z z z

(3.4)

- Kiểu thứ tư: Vỏ trụ sandwich kiểu B2 được tạo thành bởi một lõi FGM

gắn chặt với hai lớp bề mặt, trong đó lớp bên ngoài là kim loại còn lớp bên

trong là gốm như trong hình 3.2d

1 2

22 3

3 2

3 4

0 ,

( ), ( ) , , , .

1 ,

k

sh sh m m cm cm

z z z

z zE z z E E z z z

z z

z z z

(3.5)

Có thể nhận thấy rằng với các vỏ trụ sandwich kiểu B1 và B2 tuân theo

quy luật lũy thừa tổng quát, khi chiều dày lớp bề mặt hf = 0 thì ta nhận lại được

quy luật lũy thừa đã biết như trong các tài liệu [39, 51, 52, 71]. Khi tính chất

vật liệu của gân FGM biến đổi liên tục từ mặt giàu gốm đến mặt giàu kim loại

theo chiều dương của trục z thì gân được gọi là gân CM, ngược lại thì gân

được gọi là gân MC. Để đảm bảo tính liên tục giữa vỏ sandwich FGM và gân

FGM, luận án nghiên cứu bốn mô hình tương ứng với bốn kiểu vỏ trụ

sandwich như sau:

Mô hình 1: Vỏ trụ sandwich kiểu A1 với gân CM đặt ở bên trong (k2= k3=k),

Mô hình 2: Vỏ trụ sandwich kiểu A2 với gân MC đặt ở bên trong (k2= k3=k),

Mô hình 3: Vỏ trụ sandwich kiểu B1 với gân MC đặt ở bên trong (k2= k3=1/k),

Mô hình 4: Vỏ trụ sandwich kiểu B2 với gân CM đặt ở bên trong (k2= k3=1/k).

3.3. Các phương trình cơ bản

Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc ba với tính phi tuyến hình học theo nghĩa

Von Karman và kỹ thuật san đều tác dụng gân của Lecknisky, bằng cách biến đổi

16

tương tự như mục 2.3, sau khi đưa hàm ứng suất f(x,y) vào ta thu được hệ phương

trình ổn định phi tuyến với bốn hàm phụ thuộc chưa biết w, f, ϕx và ϕy như sau

* * * * * * * * * *12 , 21 , 11 22 31 , 15 , 26 , 16 25 34 ,

* * * * * * * *13 , 24 , 23 32 , 14 33 , 11 11 ,

* * *21 21 , 12 12

2 2

2 2 3

3 3

xxxx yyyy xxyy xxxx yyyy xxyy

x xxx y yyy x xyy y yxx x x

y y

c f c f c c c f c w c w c c c w

c c c c c c d e

d e d e

* * *2 , 22 22 2 ,

* * *, , , , , , , , , , 1

3

1 2 0,

xx yy

xx yy xx xx xy xy xy xx yy yy

K w d e K w

f f w w f w w f w w K wR

(3.26)

* * * * * * * * * * * *12 12 , 11 31 11 31 , 15 15 , 16 34 16 34 ,

* * * * * * * * * * * *13 13 , 32 32 , 14 33 14 33 , 11 11 12 12 ,3 3 0,

xxx xyy xxx xyy

x xx x yy y xy x x

b c f b b c c f b c w b b c c w

b c b c b b c c e d e d w

(3.27)

* * * * * * * * * * * *21 21 , 22 31 22 31 , 26 26 , 25 34 25 34 ,

* * * * * * * * * * * *24 24 , 33 33 , 23 32 23 32 , 21 21 22 22 ,3 3 0.

yyy xxy yyy xxy

y yy y xx x xy y y

b c f b b c c f b c w b b c c w

b c b c b b c c e d e d w

(3.28)

* * * * * * * * * * *25 , 16 , 15 26 34 , 11 , 22 , 12 21 31 , 23 ,

* * * * * 2 * * *13 32 , 14 , 24 33 , , , , , , , , , , ,

1 2 .

xxxx yyyy xxyy yyyy xxxx xxyy x xxx

x xyy y yyy y yxx xx xy xx yy xy xy xx yy yy xx

a w a w a a a w a f a f a a a f a

a a a a a w w w w w w w w w wR

(3.29)

3.4. Phương pháp giải

Giả sử vỏ trụ sandwich ES-FGM tựa đơn tại hai đầu mút x = 0 và x = L

chịu nén dọc trục trong môi trường nhiệt. Khi đó xem xét hai trường hợp điều

kiện biên sau:

- Trường hợp 1: Hai đầu của vỏ tựa đơn và có thể tự do dịch chuyển.

- Trường hợp 2: Hai đầu của vỏ tựa đơn và không thể tự do dịch chuyển.

Chọn các nghiệm , , ,x yw f thỏa mãn các điều kiện biên, trong đó ,x y

được chọn dưới dạng một số hạng. Khi đó, các bước giải được thực hiện tương

tự như mục 2.3.3 và áp dụng phương pháp Galerkin ta được hệ ba phương

trình ϕx0, ϕy0 và W. Sau đó từ hai phương trình biểu diễn ϕx0, ϕy0 theo W và thế

vào phương trình còn lại, ta thu được

17

* * * * 201 02 03 04 02 2 0.xH W W h W h H W W h H W W h H W M N W h

(3.40)

Phương trình (3.40) dùng để phân tích ổn định phi tuyến của vỏ trụ

sandwich ES-FGM không hoàn hảo có nền đàn hồi bên trong chịu tải nén cơ

trong môi trường nhiệt.

3.4.1. Vỏ trụ sandwich ES-FGM chịu tải nén dọc trục

Xét vỏ trụ sandwich ES-FGM chỉ chịu tải nén dọc trục phân bố đều với

cường độ P tựa đơn tại hai đầu mút có thể dịch chuyển được (trường hợp 1 của

điều kiện biên), khi đó Nx0 = –Ph và thay vào (3.40) ta xác định được công

thức dạng hiển (3.43) dùng để vẽ đường cong tải-độ võng sau tới hạn của vỏ

trụ sandwich ES-FGM chịu nén. Nếu vỏ là hoàn hảo và cho 0W thì từ

phương trình (3.43) ta thu được công thức tính tải nén tĩnh P.

3.4.2. Vỏ trụ sandwich ES-FGM chịu tải nhiệt

Xét vỏ trụ sandwich ES-FGM chỉ chịu tải nhiệt tựa đơn tại hai cạnh đầu

mút x=0 và x=L không dịch chuyển được (trường hợp 2 của điều kiện biên).

Khi đó, điều kiện biên không dịch chuyển được u = 0 tại x = 0, x = L được

thỏa mãn theo nghĩa trung bình. Các bước giải được thực hiện tương tự như

mục 2.3.5, với chú ý các biểu thức tham số nhiệt đối với từng mô hình là khác

nhau, ta thu được được công thức dạng hiển (3.53) dùng để vẽ đường cong tải-

độ võng sau tới hạn của vỏ trụ sandwich ES-FGM chịu tải nhiệt. Nếu vỏ là

hoàn hảo và cho thì từ phương trình (3.53) ta thu được công thức xác định tải

nhiệt tới hạn.

3.4. Kết quả số và thảo luận

Trong phần này thực hiện so sánh kết quả của luận án với kết quả của các

tác giả Huang và Han [52], tác giả Đào Huy Bích cùng cộng sự [10]. Khảo sát

ảnh hưởng của tỷ số chiều dày lớp bề mặt và chiều dày của vỏ trụ sandwich

FGM hf/h, gân gia cường, chỉ số tỷ phần thể tích, tỷ số R/h, độ không hoàn

hảo, nền đến khả năng chịu tải của vỏ trụ sandwich ES-FGM trên nền đàn hồi.

18

3.5. Kết luận chương 3

Sử dụng phương pháp Galerkin, bằng tiếp cận giải tích, chương này của

luận án đã đạt được các kết quả mới sau đây:

1. Giải bài toán ổn định phi tuyến vỏ trụ sandwich FGM có gân gia cường chịu

nén dọc trục trong môi trường nhiệt tăng đều dựa trên lý thuyết biến dạng trượt

bậc ba.

2. Biểu thức của lực dãn Nij, mô men Mij và mô men bậc cao Pij (ij=x, y, xy)

được xác định trong các phương trình (3.14) ÷ (3.16) là đóng góp quan

trọng trong chương này, vì trong biểu thức có xét đến các yếu tố nhiệt của

cả vỏ và gân biểu diễn qua ϕj, ϕjs, ϕjr (j=1, 2, 4).

3. Nghiên cứu ảnh hưởng của nhiệt độ, gân, tính chất vật liệu, tham số hình

học và tham số nền đến khả năng ổn định tĩnh phi tuyến của kết cấu vỏ

trụ. Đặc biệt, luận án có thực hiện khảo sát bằng số so sánh giữa lý thuyết

biến dạng trượt bậc cao với lý thuyết vỏ cổ điển. Kết quả cho thấy lý

thuyết biến dạng trượt bậc cao cho dự đoán tốt hơn lý thuyết cổ điển khi

xét với kết cấu vỏ trụ khá dày.

Kết quả liên quan của chương này được trình bày trong 04 bài báo, trong

đó có 01 bài báo hội nghị trong nước [4]*, 01 bài báo trong nước [1]* và 02

bài báo quốc tế [8, 9]*.

CHƯƠNG 4. ỔN ĐỊNH TĨNH TUYẾN TÍNH CỦA VỎ NÓN CỤT

SANDWICH FGM CÓ GÂN GIA CƯỜNG CHỊU TẢI CƠ

4.1. Đặt vấn đề

Trong các ngành kỹ thuật hiện đại như máy bay, tên lửa, tàu ngầm, lò

phản ứng hạt nhân, vv…., ta thường gặp kết cấu vỏ nón FGM. Tuy nhiên, do

vỏ nón có hình dạng phức tạp hơn các kết cấu tấm và vỏ trụ nên việc phân tích

ổn định của kết cấu này bằng cách tiếp cận giải tích thường gặp những khó

khăn sau đây:

19

- Các hệ thức cơ bản và các phương trình chủ đạo của vỏ nón được xây dựng

trong hệ tọa độ cong.

- Khoảng cách giữa các gân dọc theo đường sinh của vỏ nón cũng là hàm của

tọa độ.

- Hệ phương trình ổn định là hệ phương trình đạo hàm riêng có hệ số là hàm của

tọa độ.

Vì vậy bài toán ổn định của vỏ nón nói chung và vỏ nón ES-FGM nói

riêng là bài toán cần được quan tâm nghiên cứu.

Năm 2013 và 2014, tác giả luận án đã tham gia cùng nhóm nghiên cứu

của tác giả Đào Văn Dũng về hai bài toán ổn định tĩnh của vỏ nón cụt FGM

được đăng trên tạp chí Composite Structure [42], [43]. Vì vậy, chương này của

luận án sẽ tiếp tục phát triển các kết quả đã có trước đó, cụ thể là sẽ tiếp nối

nghiên cứu [42] về “ổn định tuyến tính tĩnh của vỏ nón cụt FGM được gia

cường bởi gân dọc và gân vòng FGM trên nền đàn hồi chịu tải nén dọc trục và

áp suất ngoài kết hợp” nhưng cho kết cấu vỏ nón cụt sandwich FGM.

4.2. Mô hình vỏ nón cụt sandwich ES-FGM trên nền đàn hồi

Xét vỏ nón cụt sandwich FGM có gân gia cường gồm hai lớp bề mặt FGM

và một lớp lõi bằng kim loại hoặc gốm. Cấu trúc và các đặc trưng hình học của

vỏ được trình bày ở hình 4.1, trong đó h là độ dày của vỏ, hco là độ dày lớp lõi

(2), hai lớp bề mặt (1) và (3) có độ dày bằng nhau và bằng hFG/2, α là góc bán

đỉnh, L là độ dài đường sinh và R là bán kính đáy nhỏ. Giả sử vỏ chịu áp lực

ngoài với cường độ là q (N/m2) và lực nén phân bố đều 0

1sin

2p p qx song

song với trục đối xứng của vỏ nón, trên vòng tròn đáy trên, bán kính R (tức là

x=x0 với x0 là khoảng cách theo đường sinh từ đỉnh đến đáy nhỏ và ,p p (N/m).

Chọn hệ tọa độ , ,x z như trong hình 4.1, trong đó trục x hướng theo đường

20

sinh, góc θ theo hướng vòng và trục z vuông góc với mặt trung bình và hướng ra

phía ngoài vỏ.

Tương tác nền - vỏ được miêu tả bởi mô hình hai tham số đàn hồi và

được xác định bởi (4.6).

Giả thiết rằng vỏ nón cụt sandwich

FGM được gia cường bởi hệ thống

gân cũng làm từ vật liệu FGM và

nghiên cứu hai trường hợp đặt gân

là gân đặt ở mặt trong và gân đặt ở

mặt ngoài của vỏ. Sau đây, ta sẽ

xem xét hai mô hình với bốn

trường hợp của vỏ nón cụt

sandwich ES-FGM.

Mô hình 1 tương ứng với lõi kim loại, ta xét hai trường hợp sau:

- Trường hợp 1: Vỏ nón FGM-lõi kim loại-FGM và được gia cường bằng gân

ngoài FGM.

- Trường hợp 2: Vỏ nón FGM-lõi kim loại-FGM và được gia cường bằng gân

trong FGM.

Mô hình 2 tương ứng với lõi gốm, ta xét hai trường hợp sau:

- Trường hợp 3: Vỏ nón FGM-lõi gốm-FGM và được gia cường bằng gân

ngoài FGM.

- Trường hợp 4: Vỏ nón FGM-lõi gốm-FGM và được gia cường bằng gân

trong FGM.

Môđun đàn hồi của vỏ và gân là hàm của z theo quy luật lũy thừa được

xác định riêng cho mỗi trường hợp và được cho bởi căc công thức (4.1) ÷

(4.5) còn hệ số Poisson được coi là không đổi.

21

4.3. Các phương trình cơ bản

Sử dụng lý thuyết vỏ Donnell với độ phi tuyến hình học theo nghĩa von

Karman và kỹ thuật san đều tác dụng gân của Leckhnitsky ta có phương trình

ổn định của vỏ nón là

2 2 21 1 1 1 1 1 1

11 66 11 22 12 662 2 20

3 301 1 1 1 1

22 66 11 1 12 66 223 2 2

1 1

sinsin

1 1 12 cot

sin sin

s s r r

r

r r r r

r r

E b u u u E b u vA x A A A A A

x d x xx x

E b v w w E bA A B x C B B A

x d x dx x x

1

2 21 1 22 2 1

12 66 22 2 11 122 2 2 2

1 2 cot 0, (4.30)

sin

w

w w B C wB B B C B A

x xx x

2 2 21 1 1 1 1 1

12 66 22 66 22 662 2 22

3 31 1 1 1

66 66 12 66 22 22 2 3 3

1 1 1

sin sin sin

1 1 2

sin sin

1 (

sin

r r r r

r

u E b u E b v vA A A A A xA

x x d dx x

v v w wA A B B B C

x x x x

Bx

2

1 1 122 2 22

1) cot 0, (4.31)

sin

r r

r

w E b wC A

x x d

3 3 2 20 1 1 1 1 1

11 1 12 66 11 22 2 12 22 23 2 2 2 2 2 2

3 31 1 1

22 2 1 22 1 12 66 22 2 222 2 2 3 3

1 1 12 2 cot

sin sin

1 1 1 1 1cot 2 ( )

sin sinsin

r r

r

u u u u uB x C B B B B C A B C

x xx x x x x

E b v vB C u A u B B B C B

x d xx x x

21

2

4 43 31 1 1 1

22 2 22 11 222 4 3 4 40

4 3 31 1 1

12 66 12 66 11 222 2 2 2 2 2 3

1 1 1cot

sinsin sin

2 2 12 2 2

sin sin

s s r rr r

r r

vC

x

E b E bE b v w wB C A D x D

x d dx x x

w w wD D D D D D

xx x x x x

23 1

12 2 2

23 32 1 1 1

22 2 12 66 22 2 222 2 3 2 2 2 2

22 2 1 1 12

2 cot

2 2 1cot 2

sin sin sin

1 cot tan

r r

r

r r r r

r r

E b wB xK

d x

E b E bK w w wB C D D D K D

d x d xx x x x

xB C w xK w q

x

2 2 22

1 1 1 1

2 2 2 2

10. (4.32)

2 sin 2sin

w w w wPx

xx x

Hệ ba phương trình (4.30) ÷ (4.32) dùng để phân tích ổn định và tìm tải

tới hạn của vỏ nón cụt sandwich ES-FGM. Đây là hệ ba phương trình đạo hàm

riêng có hệ số là hàm của x dẫn tới việc giải hệ nây sẽ phức tạp.

22

4.4. Phương pháp giải

Xét vỏ nón có điều kiện tựa đơn ở hai đầu. Khi đó ta có điều kiện biên là

1 1 1v 0, 0xw M tại 0 0,x x x L . (4.33)

Nghiệm thỏa mãn điều kiện biên (4.33) được chọn là [14]

01

01

01

cos sin ,2

sin cos ,2

sin sin ,2

m x x nu A

L

m x x nv B

L

m x x nw W

L

(4.34)

trong đó m là số nửa sóng dọc đường sinh và n là số sóng theo phương vòng; A, B và

W là các hệ số không đổi. Do x0≤x≤ x0+L tức là x≠0 nên nhân các phương trình

(4.30), (4.31) với x2 và nhân phương trình (4.32) với x3 ta được các phương trình

tương đương sau đó áp dụng phương pháp Galerkin đối với các phương trình hệ quả

với x0≤x≤ x0+L và 0≤θ≤2π ta được

11 12 13

21 22 23

31 32 33 34 35 36 1 37 2

0,

0,

0.

t A t B t W

t A t B t W

t A t B t qt Pt t K t K W

(4.36)

Muốn hệ phương trình thuần nhất (4.36) có nghiệm không tầm thường thì

định thức của ma trận hệ số phải bằng không. Khai triển định thức ma trận hệ

số ta thu được

31 12 23 13 22 32 13 21 11 23 33 36 1 37 2 21 12 11 22

34 35

21 12 11 22

( )( ).

t t t t t t t t t t t t K t K t t t tt q t P

t t t t

(4.37)

Phương trình (4.37) được dùng để xác định tải vồng tới hạn của vỏ nón

ES-FGM chịu nén dọc trục và áp lực ngoài. Các biểu thức của P và q vẫn phụ

thuộc vào m và n, do đó để thu được giá trị của các tải tới hạn cần phải cực tiểu

hóa biểu thức này theo m và n.

23

4.5. Kết quả số và thảo luận

Để khẳng định cho độ tin cậy của luận án, luận án đã thực hiện hai so

sánh. So sánh thứ nhất là với kết quả của Brush và Almroth [16, trang 217] đối

với vỏ thuần nhất không có gân gia cường chịu áp lực ngoài. So sánh thứ hai là

với kết quả của Seide [143] và Sofiyev [104] cho vỏ nón cụt đẳng hướng

không gân chịu nén dọc trục. Sau đó , luận án thực hiện khảo sát ảnh hưởng của

độ dày lớp lõi hco, góc bán đỉnh α, tỷ số R/h, tỷ số L/R, chỉ số tỷ phần thể tích, số

lượng gân và nền đến khả năng chịu tải của vỏ nón cụt sandwich.

4.6. Kết luận chương 4

Trong chương này, bằng cách tiếp cận giải tích, luận án đã nghiên cứu ổn

định tĩnh của vỏ nón cụt sandwich có lớp lõi thuần nhất và hai lớp phủ FGM,

được gia cường bởi gân FGM chịu tải nén dọc trục và áp lực ngoài có nền đàn

hồi, trong đó có nghiên cứu ảnh hưởng của sự thay đổi khoảng cách của các

gân dọc. Các tính chất vật liệu của vỏ nón tuân theo quy luật Sigmoid tổng

quát.

Phương trình cân bằng và ổn định đã nhận được bằng cách sử dụng kỹ

thuật san đều tác dụng gân và lý thuyết vỏ cổ điển. Áp dụng phương pháp

Galerkin, tác giả đã thu được biểu thức hiển để xác định tải tới hạn.

Các kết quả số đã chỉ ra ảnh hưởng của độ dày lớp lõi, gân, nền, chỉ số tỷ

phần thể tích, thông số hình học và góc bán đỉnh đến tải tới hạn của vỏ nón cụt.

Kết quả chính của chương này được trình bày trong 01 bài báo quốc tế

[6]* (Applied Mathematics and Mechanics 37(7), pp. 879–902).

24

KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN

Những đóng góp mới của luận án

1) Dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và bậc ba, tính phi tuyến

hình học Von Karman và kỹ thuật san đều tác dụng gân của Lekhnitsky, đã

thiết lập được các phương trình chủ đạo cho bài toán ổn định tĩnh phi tuyến

của tấm chữ nhật FGM và vỏ trụ tròn sandwich FGM có gân gia cường FGM,

có nền đàn hồi, chịu tác dụng của tải cơ và nhiệt. Từ đó sử dụng phương pháp

Galerkin đã thu được biểu thức hiển để xác định tải tới hạn và quan hệ hiển tải-

độ võng sau tới hạn của kết cấu.

2) Dựa trên lý thuyết vỏ cổ điển và cách tiếp cận như trên, luận án đã phân

tích ổn định tuyến tính của vỏ nón cụt sandwich FGM có gân gia cường FGM,

có nền đàn hồi chịu tác dụng của tải cơ, trong đó yếu tố khoảng cách giữa các

gân dọc theo tọa độ đã được tính đến. Từ đó, luận án đã nhận được biểu thức

hiển để tìm tải tới hạn.

3) Đã xem xét đến yếu tố nhiệt của gân trong các công thức Nij, Mij, Pij.

4) Đã sử dụng quy luật mở rộng cho quy luật phân bố lũy thừa và quy luật

phân bố Sigmoid cho kết cấu vỏ sandwich FGM và đưa được về các trường

hợp riêng là quy luật lũy thừa và Sigmoid thông thường.

5) Đã khảo sát bằng số một cách chi tiết các ảnh hưởng của gân gia cường,

nền đàn hồi, độ dày lớp lõi (đối với kết cấu sandwich), tính không hoàn hảo,

tính chất vật liệu, kích thước hình học, của kết cấu FGM. Từ đó rút ra một số

nhận xét có ý nghĩa khoa học cho các nhà thiết kế xem xét và sử dụng trong

thực tế.

Nội dung chủ yếu của luận án được công bố trong 09 công trình, bao gồm:

- 1 bài đăng trên trên các tạp chí quốc tế SCI.

- 4 bài đăng trên trên các tạp chí quốc tế SCIE.

- 3 bài trên tạp chí Vietnam Journal of Mechanics.

- 1 bài đăng trên tuyển tập công trình hội nghị quốc gia.

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ

LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1. Dao Van Dung, Nguyen Thi Nga (2013), “Nonlinear buckling and post-buckling of

eccentrically stiffened functionally graded cylindrical shells surrounded by an elastic

medium based on the first order shear deformation theory”, Vietnam Journal of Mechanics,

VAST 35(4), pp. 285 – 298.

2. Dao Van Dung, Nguyen Thi Nga (2015), “Nonlinear analysis of stability for imperfect

eccentrically stiffened FGM plates under mechanical and thermal loads based on

FSDT. Part 1: Governing equations establishment”, Vietnam Journal of Mechanics,

VAST 37(3), pp. 187 – 204.

3. Dao Van Dung, Nguyen Thi Nga (2015), “Nonlinear analysis of stability for imperfect

eccentrically stiffened FGM plates under mechanical and thermal loads based on FSDT.

Part 2: Numerical results and discussions”, Vietnam Journal of Mechanics, VAST 37(4),

pp. 251 – 262.

4. Nguyen Thi Nga, Dao Van Dung (2015), “On the stability of FGM cylindrical shell

reinforced by FGM stiffeners and filled by an elastic medium based on FSDT in thermal

environment”, Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII, Đại

học Duy Tân, TP Đà Nẵng, 7/8/2015, pp. 1000–1007.

5. Dao Van Dung, Nguyen Thi Nga (2016), “Buckling and postbuckling nonlinear

analysis of imperfect FGM plates reinforced by FGM stiffeners with temperature-

dependent properties based on TSDT”, Acta Mechanica 227(8), pp. 2377-2401.

6. Dao Van Dung, Le Kha Hoa, Bui Thi Thuyet, Nguyen Thi Nga (2016), “Buckling

analysis of functionally graded material (FGM) sandwich truncated conical shells

reinforced by FGM stiffeners filled inside by elastic foundations”, Applied

Mathematics and Mechanics (English Edition) 37(7), pp. 879–902.

7. Dao Van Dung, Nguyen Thi Nga (2016), “Thermo-mechanical postbuckling analysis

of eccentrically stiffened FGM sandwich plates with general Sigmoid and power laws

based on TSDT”, Journal of Sandwich Structures and Materials (DOI:

10.1177/1099636216682545. First Published December 23, 2016).

8. Dao Van Dung, Nguyen Thi Nga, Le Kha Hoa (2017), “Nonlinear stability of

functionally graded material (FGM) sandwich cylindrical shells reinforced by FGM

stiffeners in thermal environment”, Applied Mathematics and Mechanics (English

Edition) 38(5), pp. 647–670.

9. Dao Van Dung, Nguyen Thi Nga, Pham Minh Vuong (2017), “Nonlinear stability

analysis of stiffened functionally graded material sandwich cylindrical shells with

general Sigmoid law and power law in thermal environment using third-order shear

deformation theory”, Journal of Sandwich Structures and Materials (DOI:

10.1177/1099636217704863. First Published April 18, 2017).