Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi

8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi

http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 1/98

Relasi dan Fungsi 1

Relasi dan FungsiPertemuan 3

Matematika Diskrit



Relasi dan Fungsi 2

Relasi

y R elasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan

bagian dari A v B.

y Notasi: R ( A v B).

y a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a

dihubungankan dengan b oleh R

y

a R

b adalah notasi untuk (a, b)

R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.

y Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan

himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.



Relasi dan Fungsi 3

Contoh 3. Misalkan

A = {Amir, Budi, Cecep}, B = {IF221, IF251, IF342, IF323}

A v B = {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342),(Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251),(Budi, IF342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221),

(Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) }

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yangdiambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu

R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221),

(Budi, IF251), (Cecep, IF323) }

- Dapat dilihat bahwa R ( A v B),

- A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R.

- (Amir, IF251) R atau Amir R IF251

- (Amir, IF342) R atau Amir R IF342.



Relasi dan Fungsi 4

Co to 4. isalkan P {2, 3, 4} dan Q {2, 4, 8, 9, 15}. Jika

kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan

( p, q) R ika p habis membagi q

maka kita per oleh

R {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }

y R elasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus

y R elasi pada himpunan A adalah relasi dari A v A. y R elasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A v A.





Relasi dan Fungsi 6

Representasi Relasi

1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah

Amir

Budi

Cecep

IF221

IF251

IF342

IF323

2

3

4

2

4

8

9

15

2

3

4

8

9

2

3

4

8

9

AB

P

Q A A



Relasi dan Fungsi 7

. Representasi Relasi dengan Tabel

y

K o

lo

m pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkank olom kedua menyatakan daerah hasil.

Tabel 1 Tabel 2 Tabel 3

A B P Q A A Amir I 251 2 2 2 2

Amir I 323 2 4 2 4

udi I 221 4 4 2 8

udi I 251 2 8 3 3

ecep I 323 4 8 3 3

3 9

3 15



Relasi dan Fungsi 8

3 . Representasi Relasi dengan Matriks

y Misalkan R adalah relasi dari A {a1, a2, «, am} dan B

{b1, b2, «, bn}.

y R elasi R dapat disa ikan dengan matriks M [mij],

b1 b2 ~ bn

M

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

mnmm

n

n

mmmm

mmm

mmm

a

a

a

.

////

.

.

/

21

22221

11211

2

1

yang dalam hal ini

°¯®

!

Rba

Rbam

ji

ji

ij),(,0

),(,1





Relasi dan Fungsi 10

4 . eprese tasi elasi de ga Graf Berara

y Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secar

gra is dengan graf erarah (d irected gr a ph atau d igr a ph)

y Gra berarah tidak dide inisikan untuk merepresentasika

relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.

y Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titi

(disebut juga simpul atau verte x), dan tiap pasangan terurutdinyatakan dengan busur (arc)

y Jika (a, b) R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke

simpul b. Simpul a disebut sim ul asal (initial verte x) dan

simpul b disebut sim ultujua

n(ter

minal

verte x)

.

y Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul

a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau

k alang (l oo p).




Conto 7. Misalkan R {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d ), (c, a),

(c, d ), (d , b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d }.

direpresentasikan dengan graf berarah sbb:

ab

c d




Sifat-sifat elasi Biner

y Relasi biner yang dide inisikan pada sebuah himpunanmempunyai beberapa si at.

1. R eflek sif (ref l e xive)

y Relasi R pada himpunan A disebut reflek sif jika (a, a) R

untuk setiap a A.

y Relasi R pada himpunan A tidak re leksi jika ada a A

sedemikian sehingga (a

,a) R

.




Conto 8. Misalkan A {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di ba ah ini

didefinisikan pada himpunan A, maka

(a) R elasi R {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3),

(4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).

(b) R elasi R {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak

bersifat refleksif karena (3, 3) R.

Conto 9. R elasi ³habis membagi´ pada himpunan bilangan bulat

positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis

dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a) R untuk setiap a

.

Conto 10. Tiga buah relasi di ba ah ini menyatakan relasi pada

himpunan bilangan bulat positif N.

R : x lebih besar dari y, S : x + y 5, T : 3 x + y 10

Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena,

misalkan (2, 2) bukan anggota R, S , maupun T .




y Relasi yang bersi at re leksi mempunyai matriks yan

elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1,

untuk i = 1, 2, , n,

¼¼¼¼¼

¼

½

»

¬¬¬¬¬

¬

-

«

1

1

1

1

1

y Gra berarah dari relasi yang bersi at re leksi dicirika

adanya gelang pada setiap simpulnya.




2. Menghantar (tr ansitive)

y Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b)

R dan (b, c) R, maka (a, c) R, untuk a, b, c A.




Contoh 11. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini

dide inisikan pada himpunan A, maka

(a) R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersi at

menghantar . Lihat tabel berikut:

Pasangan berbentuk

(a, b) (b, c) (a, c)

(3, 2) (2, 1) (3, 1) (4, 2) (2, 1) (4, 1)

(4, 3) (3, 1) (4, 1)

(4, 3) (3, 2) (4, 2)

(b) R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena(2, 4) dan (4, 2) R, tetapi (2, 2) R, begitu juga (4, 2) dan

(2, 3) R, tetapi (4, 3) R.

(c) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar

(d) Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada

(a, b) R dan (b, c) R sedemikian sehingga (a, c) R.

Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalumenghantar .




Contoh 12. Relasi habis membagi´ pada himpunan bilangan bula

positi bersi at menghantar . Misalkan bahwa a habis membagi b

dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positi m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb. Di sini c = nma, sehingga

a habis membagi c. Jadi, relasi habis membagi´ bersi at

menghantar .

Contoh 13. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi padahimpunan bilangan bulat positi .

R : x lebih besar dari y, S : x y = 6, : 3 x y = 10

- R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x >

. - S tidak menghantar karena, misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah

anggota S tetapi (4, 4) S .

- T = {(1, 7), (2, 4), (3, 1)} menghantar .




y Relasi yang bersi at menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya

y Si at menghantar pada gra berarah ditunjukkan oleh: jika

ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat

busur berarah dari a ke c.




3. Setangk u ( s ymmetric) dan tolak -setangk u (antis ymmetric)

y Relasi R pada himpunan A disebut setangk u jika (a, b) R,maka (b, a) R untuk a, b A.

y Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) R

sedemikian sehingga (b, a) R.

y Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) R

dan (b, a) R hanya jika a = b untuk a, b A disebut tolak -

setangk u .

y Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada

elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) R dan

(b, a) R.




Conto 14. Misalkan A {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di ba ah ini

didefinisikan pada himpunan A, maka

(a) R elasi R {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) }

bersifat setangkup karena ika (a, b) R maka (b, a) uga R. i sini (1, 2) dan (2, 1) R, begitu uga (2, 4) dan (4, 2)

R.

(b) R elasi R {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup

karena (2, 3) R, tetapi (3, 2) R.

(c) R elasi R {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup karena 1

1 dan (1, 1) R, 2 2 dan (2, 2) R, dan 3 3 dan (3, 3) R. Perhatikan bah a R uga setangkup.

(d) R elasi R {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } tolak-setangkup

karena (1, 1) R dan 1 1 dan, (2, 2) R dan 2 2 dan. Perhatikan bah a R tidak setangkup.

(e) R elasi R {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } t idak tolak-

setangkup karena 2 { 4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggota R. R elasi R pada (a) dan (b) di atas uga tidak tolak -setangkup.

(f ) R elasi R {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak setangkup tetapi

tolak-setangkup.

R elasi R {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak setangkup dan tidak tolak-setangkup. R tidak setangkup karena (4,

2) R tetapi (2, 4) R. R tidak tolak-setangkup karena (2, 3) R dan (3, 2) R tetap 2 { 3.




Conto 15. Relasi ³habis membagi´ pada himpunan bilangan bulat

positif tidak setangkup karena ika a habis membagi b, b tidak

habis membagi a, kecuali ika a b. ebagai contoh, 2 habis

membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. K arena itu, (2, 4) R

tetapi (4, 2) R. R elasi ³habis membagi´ tolak-setangkup karena

ika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a b.

ebagai contoh, 4 habis membagi 4. K arena itu, (4, 4) R dan 4

4.

Conto 16. Tiga buah relasi di ba ah ini menyatakan relasi pada

himpunan bilangan bulat positif N.

R : x lebih besar dari y, S : x + y 6, T : 3 x + y 10

- R bukan relasi setangkup karena, misalkan 5 lebih besar dari 3

tetapi 3 tidak lebih besar dari 5. - S relasi setangkup karena (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S .

- T tidak setangkup karena, misalkan (3, 1) adalah anggota T tetapi

(1, 3) bukan anggota T .

- S bukan relasi tolak-setangkup karena, misalkan (4, 2) S dan

(4, 2) S tetapi 4 { 2.

- R elasi R dan T keduanya tolak-setangkup (tun ukkan!).




y Relasi yang bersi at setangkup mempunyai matriks yang

elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan

pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama, ataumij = m ji = 1, untuk i = 1, 2, , n :

¼¼¼¼

¼¼

½

»

¬¬¬¬

¬¬

-

«

0

1

0

1

y Sedangkan gra berarah dari relasi yang bersi at setangkup

dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.




y Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu

ika mij 1 dengan i { j, maka m ji 0. engan kata lain,

matriks dari relasi tolak-setangkup adalah ika salah satu darimij 0 atau m ji 0 bila i { j :

¼¼¼¼

¼¼

½

»

¬¬¬¬

¬¬

-

«

0

1

10

0

1

y edangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak-

setangkup dicirikano

leh: ika dan hanya ika tidak pernahada dua busur dalam arah berla anan antara dua simpul

berbeda.




Relasi Inversi

y Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B.

Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R ±1

, adalah relasi

dari B ke A yang didefinisikan oleh

R ±1 {(b, a) | (a, b) R }




Contoh 17. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika

kita de inisikan relasi R dari P ke Q dengan

( p, q) R jika p habis membagi q

maka kita per oleh

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }

R ±1

adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan

(q, p) R ±1

jika q adalah kelipatan dari p

maka kita per oleh




Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R,

M

¼¼¼

½

»

¬¬¬

-

«

00110

11000

00111

maka matriks yang merepresentasikan relasi R ±1

, misalkan N ,diper oleh dengan melakukan transpo se terhadap matriks M ,

N M T

¼¼¼¼¼

¼

½

»

¬¬¬¬¬

¬

-

«

010

010

101

101

001




Mengk om inasik an R elasi

y K arena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut,

maka o perasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan

beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.

y Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B, maka R1 R2, R1 R2, R1 ± R2, dan R1 R2

juga adalah relasi dari A ke B.




Conto 18. Misalkan A {a, b, c} dan B {a, b, c, d }.

R elasi R1 {(a, a), (b, b), (c, c)}

R elasi R2 {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d )}

R1 R2 {(a, a)}

R1 R2 {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d )}

R1 R2 {(b, b), (c, c)}

R2 R1 {(a, b), (a, c), (a, d )}

R1 R2 {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d )}




y Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan denganmatriks M R1 dan M R2, maka matriks yang menyatakan

gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah

M R1 R2 = M R1 M R2 dan M R1 R2 = M R1 M R2




Contoh 19. Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A

dinyatakan oleh matriks

R1 =

¼¼¼

½

»

¬¬¬

-

«

011

101

001

dan R2 =

¼¼¼

½

»

¬¬¬

-

«

001

110

010

maka

M R1 R2 = M R1 M R2 =

¼¼¼

½

»

¬¬¬

-

«

011

111

011

M R1 R2 = M R1 M R2 =

¼¼¼

½

»

¬¬¬

-

«

001

100

000




K om osisi R elasi

y Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B,

dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C .

K omposisi R dan S , dinotasikan dengan S S R, adalah relasi

dari A ke C yang dide inisikan oleh

S S R = {(a, c) a A, c C , dan untuk beberapa b B, (a,

b) R dan (b, c) S }




Contoh 20. Misalkan

R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}

adalah relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} dan

S = {(2, u), (4, s), (4, t ), (6, t ), (8, u)}

adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan { s, t , u}.

Maka k omposisi relasi R dan S adalah

S S R = {(1, u), (1, t ), (2, s), (2, t ), (3, s), (3, t ), (3, u) }




K omposisi relasi R dan S lebih elas ika diperagakan dengan

diagram panah:

1

2

3

2

4

6

8

s

t

u




y Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan

matriks M R1 dan M R2, maka matriks yang menyatakank omposisi dari kedua relasi tersebut adalah

M R2 S R1 = M R1 M R2

yang dalam hal ini o perator .´ sama seperti pada perkalianmatriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda kali dengan ´

dan tanda tambah dengan ´.




Contoh 21. Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A

dinyatakan oleh matriks

R1 =

¼¼¼

½

»

¬¬¬

-

«

000

011

101

dan R2 =

¼¼¼

½

»

¬¬¬

-

«

101

100

010

maka matriks yang menyatakan R2 S R1 adalah

M R2 S R1 = M R1 . M R2

=

¬¬¬

-

«

)00()00()00()10()10()00()00(

)01()00()01()11()10()01()01(

)01()01()00()11()11()00()01(

=

¼¼¼

½

»

¬¬¬

-

«

000

110

111




Relasi n-ary

y R elasi biner hanya menghubungkan antara dua buah

himpunan.

y R elasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua bua

himpunan. R elasi tersebut dinamakan relasi n-ar y (baca:

ener ).

y

Jika n 2, maka relasinya dinamakan relasi biner (bi 2). R elasi n-ar y mempunyai terapan penting di dalam basisdata.

y Misalkan A1, A2, «, An adalah himpunan. R elasi n-ar y R

pada himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian

dari A1 v A2 v « v An , atau dengan notasi R A1 v A2 v «v An. Himpunan A1, A2, «, An disebut daerah asal relasi dan n

disebut derajat.




Conto 22. Misalkan

NIM {13598011, 13598014, 13598015, 13598019,13598021, 13598025}

N ama {Amir, anti, Ir an, Ahmad, ecep, Hamdan}

M atK ul {Matematika iskrit, Algoritma, truktur ata,

Arsitektur K omputer}

N il ai {A, , , , E}

R elasi MH S terdiri dari 5-tupel ( NIM , N ama, M atK ul , N il ai):

MH S NIM v N ama v M atK ul v N il ai




Satu contoh relasi yang bernama MHS adalah

MHS = {(13598011, Amir, Matematika Diskrit, A),

(13598011, Amir, Arsitektur K omputer, B),(13598014, Santi, Arsitektur K omputer, D),

(13598015, Irwan, Algoritma, C),(13598015, Irwan, Struktur Data C),

(13598015, Irwan, Arsitektur K omputer, B),

(13598019, Ahmad, Algoritma, ),(13598021, Cecep, Algoritma, A),(13598021, Cecep, Arsitektur K omputer, B),

(13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B),

(13598025, Hamdan, Algoritma, A, B),

(13598025, Hamdan, Struktur Data, C),

(13598025, Hamdan, Ars. K omputer, B) }




Relasi MH S di atas uga dapat ditulis dalam bentuk Tabel:

NIM Nama MatK ul Nilai

1359801113598011

13598014

13598015

13598015

1359801513598019

13598021

13598021

13598025

13598025

13598025

13598025

Amir Amir

anti

Ir an

Ir an

Ir anAhmad

ecep

ecep

Hamdan

Hamdan

Hamdan

Hamdan

Matematika iskritArsitektur K omputer

Algoritma

Algoritma

truktur ata

Arsitektur K omputer Algoritma

Algoritma

Arsitektur K omputer

Matematika iskrit

Algoritma

truktur ata

Arsitektur K omputer

A

E

A




y asisdata (d atabase) adalah kumpulan tabel.

y Salah satu model basisdata adalah model basisdata

relasional (rel ational d atabase). Model basisdata ini

didasarkan pada k onsep relasi n-ar y.

y Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi.

Setiap k olom pada tabel disebut atrib t. aerah asal dari

atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut

tersebut berada.

y Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik

sebagai sebuah fil e.

y Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah recor d , dan

setiap atribut menyatakan sebuah fiel d .

y Secara fisik basisdata adalah kumpulan fil e, sedangkan fil e

adalah kumpulan recor d , setiap recor d ter diri atas se umlah

fiel d .

y Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara

unik elemen relasi disebut kunci (k e y).




y Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan

perintah pertanyaan yang disebut quer y.

y Contoh quer y:

tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata kuliah

Matematika Diskrit´

tampilkan da tar nilai mahasiswa dengan NIM = 13598015´

tampilkan da tar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan matakuliah yang diambil´

y Quer y terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara

abstrak dengan o perasi pada relasi n-ar y.

y Ada beberapa o perasi yang dapat digunakan, diantaranya

adalah seleksi, pr oyeksi, dan join.




S eleksi

Operasi seleksi memilih baris tertentu dari suatu tabel yang

memenuhi persyaratan tertentu. Operator: W

Contoh 23. Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan

da tar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit.

Operasi seleksinya adalahWMatkul=´Matematika Diskrit´ (MHS)

Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan

(13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B)




royeksi

Operasi pr oyeksi memilih k olom tertentu dari suatu tabel. Jika ada

beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satu kali.

Operator: T

Contoh 24. Operasi pr oyeksi

T Nama, MatK ul, Nilai (MHS)

menghasilkan Tabel 3.5. Sedangkan o perasi pr oyeksi

T NIM, Nama (MHS)

menghasilkan Tabel 3.6.




Ta el 3.5 Ta el 3.6

Nama MatK ul Nilai NIM Nama

13598011

1359801413598015

13598019

1359802113598025

Amir

SantiIrwan

Ahmad

CecepHamdan

Amir

Amir Santi

Irwan

IrwanIrwan

Ahmad

Cecep

CecepHamdan

Hamdan

HamdanHamdan

Matematika Diskrit

Arsitektur K omputer Algoritma

Algoritma

Struktur DataArsitektur K omputer

Algoritma

Algoritma

Arsitektur K omputer Matematika Diskrit

Algoritma

Struktur DataArsitektur K omputer

A

BD

C

CB

B

BB

A

CB

Joi




J oi

Operasi join menggabungkan dua buah tabel menjadi satu bila

kedua tabel mempunyai atribut yang sama.

Operator: X

Contoh 25. Misalkan relasi MHS1 dinyatakan dengan Tabel 3.7dan relasi MHS2 dinyatakan dengan Tabel 3.8.

Operasi join

X NIM, Nama(MHS1, MHS2)

menghasilkan Tabel 3.9.

Ta el 3.7 Ta el 3.8

NIM Nama JK NIM Nama MatK ul Nilai

13598001 Hananto L 13598001 Hananto Algoritma A

13598002 Guntur L 13598001 Hananto Basisdata B

13598004 Heidi W 13598004 Heidi K alkulus I B

13598006 Harman L 13598006 Harman Teori Bahasa C

13598007 K arim L 13598006 Harman Agama A

13598009 Junaidi Statisitik B

13598010 Farizka Otomata C

Ta el 3.9

NIM Nama JK MatK ul Nilai

13598001 Hananto L Algoritma A

13598001 Hananto L Basisdata B

13598004 Heidi W K alkulus I B

13598006 Harman L Teori Bahasa C

13598006 Harman L Agama A




Fungsi

y Misalkan A dan B himpunan.

R elasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi ika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di

dalam B.

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan

f : A p B

yang artinya f memetak an A ke B.

y A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah

hasil (codom

ain) d

ari f .

y Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transf ormasi.

y K ita menuliskan f (a) b ika elemen a di dalam A

dihubungkan dengan elemen b di dalam B.






y Fungsi adalah relasi yang khusus:1. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh

pr osedur atau kaidah yang mende inisikan f .

2. Frasa dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B´

berarti bahwa jika (a, b) f dan (a, c) f , maka b = c.




y Fungsi dapat dispesi ikasikan dalam berbagai bentuk,

diantaranya:

1. Himpunan pasangan terurut.

Seperti pada relasi.

2. Formula pengisian nilai (a ssignment ).

Contoh: f ( x) = 2 x 10, f ( x) = x2, dan f ( x) = 1/ x.

3. K ata-kata

Contoh: f adalah ungsi yang memetakan jumlah bit 1di dalam suatu string biner´.

4. K ode pr ogram ( source cod e)

Contoh: Fungsi menghitung x

function abs(x:integer):integer;

begin

if x < 0 then

abs:=-x

else

abs:=x;

end ;






Contoh 28. Relasi

f = {(1, u), (2, v), (3, )}

dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, } bukan ungsi, karena tidak semua

elemen A dipetakan ke B.

Contoh 29. Relasi

f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, )}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, } bukan ungsi, karena 1 dipetakan ke

dua buah elemen B, yaitu u dan v.

Contoh 30. Misalkan f : Z p Z dide inisikan oleh f ( x) = x2. Daerah

asal dan daerah hasil dari f adalah himpunan bilangan bulat, dan jelajah

dari f adalah himpunan bilangan bulat tidak-negati.




y Fungsi f dikatakan satu-k e-satu (one-t o-one) atau injek tif

(injective) ika tidak ada dua elemen himpunan A yang

memiliki bayangan sama.

a 1

A B

2

3

4

5

b

c




Contoh 31. Relasi

f = {(1, w), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah ungsi satu-ke-satu,

Tetapi relasi

f = {(1, u), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan ungsi satu-ke-satu,

karena f (1) = f (2) = u.




Contoh 32. Misalkan f : Z p Z. Tentukan apakah f ( x) = x2

1 dan

( x) = x ± 1 merupakan ungsi satu-ke-satu?

Penyelesaian:(i) f ( x) = x

21 bukan ungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x

yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai

ungsinya sama, misalnya f (2) = f (-2) = 5 padahal ±2 { 2.

(ii) f ( x) = x ± 1 adalah ungsi satu-ke-satu karena untuk a { b,

a ± 1 { b ± 1.

Misalnya untuk x = 2, f (2) = 1 dan untuk x = -2, f (-2) = -3.




y Fungsi f dikatakan dipetakan pada (ont o) atau surjek tif

( surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan

bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.

y Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f .

Fungsi f disebut ungsi pada himpunan B.

a 1

A B

2

3

b

c

d




Contoh 33. Relasi

f = {(1, u), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan ungsi pada karena w

tidak termasuk jelajah dari f .

Relasi

f = {(1, w), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan ungsi pada karena

semua anggota B merupakan jelajah dari f .




Contoh 34. Misalkan f : Z p Z. Tentukan apakah f ( x) = x2

+ 1 dan

( x) = x ± 1 merupakan fungsi pada

Penyelesaian:

(i) f ( x) = x2

+ 1 bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai

bilangan bulat merupakan ela ah dari f .

(ii) f ( x) = x ± 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x ± 1 akan

dipenuhi untuk x = y + 1.




y Fungsi f dikatakan berk oresponden satu-k e-satu atau

bijek si (bijection) ika ia fungsi satu-ke-satu dan uga fungsi

pada.

Contoh 35. R elasi

f = {(1, u), (2, w), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang

berk oresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu

maupun fungsi pada.




Contoh 36. Fungsi f ( x) = x ± 1 merupakan fungsi yang

berk oresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu

maupun fungsi pada.

ungsi satu-ke-satu, ungsi pada, bukan pada bukan satu-ke-satu

uka fungsi satu-ke-satu ukan fungsi

maupun pada

a

1

AB

2

3

b

c 4

a1

AB

2

3

b

c

c d

a 1

A B

2

3

b

c

c d 4

a 1

A B

2

3

b

c

c d 4




y Jika f adalah ungsi berk oresponden satu-ke-satu dari A ke B,

maka kita dapat menemukan balik an (invers) dari f .

y Balikan ungsi dilambangkan dengan f ±1. Misalkan a adalah

anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B,

maka f -1

(b) = a jika f (a) = b.

y Fungsi yang berk oresponden satu-ke-satu sering dinamakan

juga ungsi yang invertibl e (dapat dibalikkan), karena kita

dapat mende inisikan ungsi balikannya. Sebuah ungsi

dikatakan not invertibl e (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan

ungsi yang berk oresponden satu-ke-satu, karena ungsi

balikannya tidak ada.




Contoh 37. Relasi

f = {(1, u), (2, w), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang

berk oresponden satu-ke-satu. alikan fungsi f adalah

f -1

= {(u, 1), (w, 2), (v, 3)}

Jadi, f adalah fungsi invertibl e.

Contoh 38. Tentukan balikan fungsi f ( x) = x ± 1.

Penyelesaian:

ungsi f ( x) = x ± 1 adalah fungsi yang berk oresponden satu-ke-

satu, adi balikan fungsi tersebut ada.

Misalkan f ( x) = y, sehingga y = x ± 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan

fungsi balikannya ad

alah f

-1

( y) = y +1.




Contoh 39. Tentukan balikan fungsi f ( x) = x2

+ 1.

Penyelesaian:

ari ontoh 3.41 dan 3.44 kita sudah menyimpulkan bah a f ( x) =

± 1 bukan fungsi yang berk oresponden satu-ke-satu, sehingga

fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f ( x) = x2

+ 1 adalah funsgi yang

not invertibl e.




K omposisi dari dua buah fungsi.

Misalkan g adalah ungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan

adalah ungsi dari himpunan B ke himpunan C . K omposisi f dan g ,

dinotasikan dengan f S g , adalah ungsi dari A ke C yang

dide inisikan oleh

( f S g )(a) = f ( g (a))




Contoh 40. Diberikan ungsi

g = {(1, u), (2, u), (3, v)}

yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan ungsi f = {(u, y), (v , x), (w, z )}

yang memetakan B = {u, v, w} ke C = { x, y, z }. Fungsi k omposisi

dari A ke C adalah

f S g = {(1, y), (2, y), (3, x) }

Contoh 41. Diberikan ungsi f ( x) = x ± 1 dan g ( x) = x2

1.

Tentukan f S g dan g S f . Penyelesaian:

(i) ( f S g )( x) = f ( g ( x)) = f ( x2

1) = x2

1 ± 1 = x2.

(ii) ( g S f )( x) = g ( f ( x)) = g ( x ± 1) = ( x ±1)2

1 = x2

- 2 x 2.




Beberapa Fungsi K husus

1. Fungsi Fl oor dan Cei lin g

Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua

bilangan bulat.

Fungsi f l oor dari x:

- x½ menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil

atau sama dengan x

Fungsi ceil ing dari x:

« x» menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atausama dengan x

Dengan kata lain, ungsi f l oor membulatkan x ke bawah,

sedangkan ungsi ceil ing membulatkan x ke atas.




Contoh 42. Beberapa contoh nilai ungsi f l oor dan ceil ing :

-3.5½ = 3 «3.5» = 4

-0.5½ = 0 «0.5» = 1

-4.8½ = 4 «4.8» = 5

- ± 0.5½ = ± 1 - ± 0.5½ = 0

- ±3.5½ = ± 4 « ±3.5» = ± 3

Contoh 42. Di dalam k omputer, data dik odekan dalam untaian

b yte, satu b yte terdiri atas 8 bit. Jika panjang data 125 bit, maka

umlah b yte yang diperlukan untuk merepresentasikan data adalah

«125/8» = 16 b yte. Perhatikanlah bahwa 16 v 8 = 128 bit, sehingga

untuk b yte yang terakhir perlu ditambahkan 3 bit ekstra agar satu

b yte tetap 8 bit (bit ekstra yang ditambahkan untuk menggenapi 8

bit disebut padd ing bits).




2. Fungsi modulo

Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah

bilangan bulat positi

.

a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a

dibagi dengan m

a mod m = r sedemikian sehingga a = mq r , dengan 0 e r < m.

Contoh 43. Beberapa contoh ungsi modulo

25 mod 7 = 415 mod 4 = 0

3612 mod 45 = 12

0 mod 5 = 5

±25 mod 7 = 3 (sebab ±25 = 7 (±4) 3 )




3. Fungsi Fak torial

°¯

"vvvv

!!

0,)1(.21

0,1!

nnn

nn

.

4. Fungsi Ek sponensial

±°

±¯

"vvv

!!

0,

0,1

naaa

na

n

n

.

Untuk kasus perpangkatan negatif,

n

n

aa

1!

5. Fungsi Logaritmik

ungsi logaritmik berbentuk

x ya log! m x = a

y




Fungsi R ek ursif

y Fungsi f dikatakan ungsi rekursi jika de inisi ungsinya

mengacu pada dirinya sendiri.

Contoh: n! = 1 v 2 v v (n ± 1) v n = (n ± 1)! v n.

°¯

"v

!!

0,)!1(

0,1!

nnn

nn

Fungsi rekursi disusun oleh dua bagian:

(a) Ba sis

Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya

sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan de inisi

rekursi .

(b) Rek urens

Bagian ini mende inisikan argumen ungsi dalam terminologi

dirinya sendiri. Setiap kali ungsi mengacu pada dirinya sendiri,

argumen dari ungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis).

y ontoh definisi rekursif dari faktorial:




y ontoh definisi rekursif dari faktorial:

(a) basis:

n! = 1 , ika n = 0

(b) rekurens:

n! = n v

(n -1)! , ika n 0

5! dihitung dengan langkah berikut:

(1) 5! = 5 v 4! (rekurens)

(2) 4! = 4 v 3!(3) 3! = 3 v 2!

(4) 2! = 2 v 1!

(5) 1! = 1 v 0!

(6) 0! = 1

(6¶) 0! = 1

(5¶) 1! = 1 v 0! = 1 v 1 = 1(4¶) 2! = 2 v 1! = 2 v 1 = 2

(3¶) 3! = 3 v 2! = 3 v 2 = 6

(2¶) 4! = 4 v 3! = 4 v 6 = 24

(1¶) 5! = 5 v 4! = 5 v 24 = 120

Jad

i, 5! = 120.




Contoh 44. Di bawah ini adalah contoh-contoh ungsi rekursi lainnya:

1.

°

¯

{

!!

0,)1(2

0,0)(

2 x x x F

x x F

2. Fungsi Chebysev

±°

±¯

¡

"

!

!

!

1,),2(),1(2

1,

0,1

),(

n xnT xn xT

n x

n

xnT

3. Fungsi ibonacci:

±°

±¯

¢

"

!

!

!

1,)2()1(

1,1

0,0

)(

nn f n f

n

n

n f




Relasi Kesetaraan

DEFINISI. Relasi R pada himpunan A

disebut relasi kesetaraan(equivalence relation) jika ia refleksif,setangkup dan menghantar.




Secara intuitif, di dalam relasi

kesetaraan, dua benda berhubungan jika keduanya memiliki beberapa sifat yang sama atau memenuhi beberapa

persyaratan yang sama.

Dua elemen yang dihubungkan denganrelasi kesetaraan dinamakan setara(equivalent).




Cont oh:

A = himpunan mahasiswa, R relasi pada A:

(a, b) R jika a satu angkatan dengan b.

R refleksif: setiap mahasiswa seangkatandengan dirinya sendiri

R setangkup: jika a seangkatan dengan b, makab pasti seangkatan dengan a.

R menghantar: jika a seangkatan dengan b danb seangkatan dengan c, maka pastilah a

seangkatan dengan c.

Dengan demikian, R adalah relasi kesetaraan.




Relasi Pengurutan Parsial

DEFINISI. Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial (partialordering relation) jika ia refleksif, tolak-setangkup, dan menghantar.

Himpunan S bersama-sama dengan relasi R

disebut himpunan terurut secara parsial(partially ordered set, atau poset), dandilambangkan dengan (S, R).

C t h R l i d hi bil




Cont oh: Relasi u pada himpunan bilanganbulat adalah relasi pengurutan parsial.

Alasan:

Relasi u refleksif, karena a u a untuk setiapbilangan bulat a;

Relasi u t olak-setangkup, karena jika a u b danb u a, maka a = b;

Relasi u menghantar, karena jika a u b dan bu c maka a u c.




Cont oh: Relasi habis membagi pada

himpunan bilangan bulat adalah relasipengurutan parsial.

Alasan: relasi habis membagi bersifat refleksif, t olak-setangkup, danmenghantar.






Istilah pengurutan menyatakan bahwabenda-benda di dalam himpunan tersebut

dirutkan berdasarkan sifat atau kriteriatersebut.

Ada juga kemungkinan dua buah benda di

dalam himpunan tidak berhubungan dalamsuatu relasi pengurutan parsial. Dalam haldemikian, kita tidak dapat membandingkankeduanya sehingga tidak dapat diidentifikasimana yang lebih besar atau lebih kecil.

Itulah alasan digunakan istilah pengurutanparsial atau pengurutan tak-lengkap






Tambahkan (2, 2) dan (3, 3) ke dalam R

(karena dua elemen relasi ini yang belum

terdapat di dalam R )

R elasi baru, S, mengandung R , yaitu

S = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3),

(3, 2), (3, 3) }

Relasi S disebut klosur refleksif (ref lexiveclosure) dari R.




Cont oh 2: Relasi R = {(1, 3), (1, 2), (2,

1), (3, 2), (3, 3)} pada himpunan A ={1, 2, 3} tidak setangkup.

Bagaimana membuat relasi setangkupyang sesedikit mungkin danmengandung R?




Tambahkan (3, 1) dan (2, 3) ke dalam R

(karena dua elemen relasi ini yang belum

terdapat di dalam S agar S menjadisetangkup).

R elasi baru, S, mengandung R :

S = {(1, 3), (3, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3),(3, 3)}

R elasi S disebut klosur setangkup(symmetric cl osur e) dari R .






Klosur Refleksif

Misalkan R adalah sebuah relasi padahimpunan A.

Klosur refleksif dari R adalah R (,yang dalam hal ini ( = {(a, a) | a A}.






Contoh: Misalkan R adalah relasi

{(a, b) | a { b}

pada himpunan bilangan bulat.

Klosur refleksif dari R adalah

R ( = {(a, b) | a { b}

{(a, a) | a Z}

= {(a, b) | a, b Z}




Klosur setangkup

Misalkan R adalah sebuah relasi padahimpunan A.

Klosur setangkup dari R adalah R R -1,dengan R -1 = {(b, a) | (a, b) a R }.

Contoh: R {(1 3) (1 2) (2 1) (3 2) (3




Cont oh: R = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3,3)} adalah relasi pada A = {1, 2, 3},

maka

R -1 = {(3, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3)}

sehingga klosur setangkup dari R adalah

R R -1 = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)}

{(3, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3)}

= {(1, 3), (3, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}




Cont oh: Misalkan R adalah relasi

{(a, b) | a habis membagi b}pada himpunan bilangan bulat.

Klosur setangkup dari R adalah

R R -1 = {(a, b) | a habis membagi b}

{(b, a) | b habis membagi a}

= {(a, b) | a habis membagi b atau bhabis membagi a}




Klosur menghantarPembentukan klosur menghantar lebih sulit daripada dua buah klosur sebelumnya.

Cont oh: R = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2)}adalah relasi A = {1, 2, 3, 4}.

R tidak transitif karena tidak mengandungsemua pasangan (a, c ) sedemikian sehingga

(a, b) dan (b,c ) di dalam

R .

Pasangan (a, c ) yang tidak terdapat di dalamR adalah (1, 1), (2, 2), (2, 4), dan (3, 1).




Penambahan semua pasangan ini ke dalam R sehingga menjadi

S = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2), (1, 1),

(2, 2), (2, 4), (3, 1)}

tidak menghasilkan relasi yang bersifat menghantar karena, misalnya terdapat (3, 1) S dan (1, 4) S, tetapi (3, 4) S.




K osur menghantar dari R adalah

R * = R 2 R 3 R n

Jika MR adalah matriks yan gmerepresen tasikan R pada sebuah himpun an

den gan n elemen , maka matriks klosurmen ghan tar R * adalah

!* R

M M R ]2[

R M

]3[ R

M « ][n

R M

Misalkan R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3}. Tentukan

kl h d i R




klosur menghantar dari R.

Penyelesaian:

Matriks yang merepresentasikan relasi R adalah

M R =

¼¼¼

½

»

¬¬¬

-

«

011

010

101

Maka, matriks klosur menghantar dari R adalah

!* R M M R

]2[

R M ]3[

R M

K arena

¼¼¼

½

»

¬¬¬

-

«

!!

111

010

111]2[

R R RM M M dan

¼¼¼

½

»

¬¬¬

-

«

!!

111

010

111]2[]3[

R R RM M M

maka

!* R

M

¼¼¼

½

»

¬¬¬

-

«

111

010

101

¼¼¼

½

»

¬¬¬

-

«

111

010

111

¼¼¼

½

»

¬¬¬

-

«

111

010

111

=

¼¼¼

½

»

¬¬¬

-

«

111

010

111

Dengan demikian, R*

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3) }




A plikasi klosur menghantar

Klosur menghantar menggambarkanbagaimana pesan dapat dikirim dari

satu kota ke kota lain baik melaluihubungan komunikasi langsung ataumelalui kota antara sebanyak mungkin[LIU85].




Misalkan jaringan komputer mempunyaipusat data di Jakarta, Bandung,Surabaya, Medan, Makassar, danKupang.

Misalkan R adalah relasi yangmengandung (a, b) jika terdapat

saluran telepon dari kota a ke kota b.



Karena tidak semua link langsung dari satu kota ke



Karena tidak semua l ink l angsung dari satu kota kekota l ain, maka pengiriman data dari Jakarta keSurabaya tidak dapat dil akukan secara l angsung.

Rel asi R tidak menghantar karena ia tidakmengandung semua pasangan pusat data yang dapat dihubungkan (baik l ink l angsung atau tidak

l angsung).

K losur menghantar adal ah rel asi yang pal ing minimal

yang berisi semua pasangan pusat data yang

mempunyai l ink l angsung atau tidak l angsung danmengandung R.

Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi

Documents