BAB 2 FUNGSI DAN GRAFIK 1. PENGERTIAN FUNGSI Fungsi merupakan relasi khusus, sering juga disebut “relasi fungsional”. Karena itu tidak semua relasi merupakan fungsi. A B Relasi antara himpunan A dan himpunan B adalah relasi fungsional , disebut “fungsi dari A ke B”. C D Relasi antara himpunan C dan himpunan D adalah relasi yang bukan fungsional. Dengan kata lain hubungan C dan D bukan fungsi. (Gambar : diagram panah) Suatu relasi antara A dan B dapat dinyatakan sebagai fungsi apabila setiap unsur (anggota) dari himpunan A dipasangkan tepat satu unsur (anggota) himpunan B. 1 a b c d p q r p q r a b c d
29
Embed
€¦ · Web viewBAB 2 FUNGSI DAN GRAFIK PENGERTIAN FUNGSI Fungsi merupakan relasi khusus, sering juga disebut “relasi fungsional”. Karena itu tidak semua relasi merupakan fungsi.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB 2
FUNGSI DAN GRAFIK
1. PENGERTIAN FUNGSI
Fungsi merupakan relasi khusus, sering juga disebut “relasi fungsional”. Karena
itu tidak semua relasi merupakan fungsi.
A B
Relasi antara himpunan A dan himpunan B
adalah relasi fungsional , disebut “fungsi dari A
ke B”.
C D
Relasi antara himpunan C dan himpunan D
adalah relasi yang bukan fungsional. Dengan
kata lain hubungan C dan D bukan fungsi.
(Gambar : diagram panah)
Suatu relasi antara A dan B dapat dinyatakan sebagai fungsi apabila setiap unsur
(anggota) dari himpunan A dipasangkan tepat satu unsur (anggota) himpunan B.
Himpunan A disebut “daerah asal” atau “domain” dan himpunan B disebut
“daerah kawan” atau “kodomain” dan himpunan semua peta di B disebut “daerah
hasil” atau range.
Pada relasi fungsional sering terjadi bahwa daerah kawan sama dengan daerah
hasil.
A B A = daerah asal
B = daerah kawan (kodomain) sama dengan
daerah hasil
1
a b c d
p
q
r
p
q
r
abcd
y
Sebaiknya dapat pula terjadi, bahwa daerah kawan tidak sama dengan daerah hasil.
C D C = daerah asal
D = daerah kawan (kodomain) yang tidak sama
dengan daerah hasil (range).
Bagian yang diarsir adalah daerah hasil.
2. GRAFIK FUNGSI
Fungsi dapat juga disajikan dalam bentuk grafik. Grafiknya disebut “grafik
fungsi”.
Contoh : A = [ 1, 2, 3, 4 ] B = [ 5, 6, 7, 8 ]
Jika antara A dan B terdapat suatu relasi fungsional, maka relasi itu
digambarkan sebagai berikut :
A B Relasi ini menunjukkan bahwa setiap anggota
himpunan B 4 lebih banyak dari setiap anggota
himpunan A. Jika setiap anggota A diwakili
oleh x dan setiap anggota B diwakili oleh y,
maka relasi itu ditentukan oleh y = x + 4.
Dengan menggunakan sistem koordinat Cartesius, x diwakili oleh sumbu yang
mendatar, disebut sumbu x dan y diwakili oleh sumbu tegak, yang disebut
sumbu y.
87654321
Garis yang menghubungkan himpunan
titik-titik : 1 dan 5
2 dan 6
3 dan 7
4 dan 8
Disebut garis y = x + 4
Grafiknya disebut grafik fungsi y = x + 4
2
1 234 r
p
q
5678
12344
y y
0 1 2 3 4Melalui grafik dapat pula diketahui apakah suatu relasi merupakan fungsi atau
tidak, seperti contoh berikut ini :
M
0
Contoh : grafik fungsi
0m
Contoh : bukan grafik fungsi
Jika banyaknya titik potong garis m dengan grafik lebih dari satu, maka grafik itu
bukanlah fungsi.
3. PASANGAN BERURUT
Selain menggunakan diagram panah dan grafik, fungsi dapat juga disajikan dalam
bentuk pasangan berurut.
Contoh : { (1,5), (2,6), (3,7), (4,8) } adalah himpunan pasangan berurut yang
merupakan fungsi.
Pasangan seperti (1,5), (2,6) dan seterusnya disebut “pasangan berurut” atau
“pasangan terurut” atau “pasangan urutan”.
Dalam pasngan (1,5), bilangan 1 adalah komponen pertama dan bilangan 5
disebut komponen kedua.
Contoh : { (0,0), (1,1), (2,4), (3,9) } adalah fungsi.
3
x
x
x
{ (0,0), (0,1), (2,3), (2,5) } bukan fungsi, karena ada dua pasangan
yang mempunyai komponen pertama yang sama, yaitu (0,0) dan (0,1).
Kesimpulan :
Bila dalam himpunan pasangan berurut itu tidak terdapat pasangan yang
mempunyai komponen pertama yang sama, maka himpunan itu disebut fungsi.
Sebaliknya bila terdapat pasangan yang mempunyai komponen pertama yang
sama, maka himpunan itu bukan fungsi.
4. FUNGSI SEBAGAI PEMETAAN
Jika A dan B adalah himpunan-himpunan. Pemetaan himpunan A ke himpunan B
merupakan relasi yang memasangkan setiap anggota A tepat satu anggota B.
A B Relasi A ke B adalah pemetaan, yang disebut juga
fungsi A ke B.
Jika nama fungsi itu “ɡ”, maka disebut ɡ fungsi A
ke B. Yaitu pemetaan dari A ke B ditentukan oleh
ɡ. Ditulis ɡ : A → B
Pemetaan A ke B disebut pemetaan into atau fungsi into.
Jika A dan B himpunan-himpunan, maka pemetaan A ke B adalah relasi yang
memasngkan setiap anggota A kepada anggota B, dimana anggota B merupakan
peta (bayangan) dari sedikitnya satu anggota A.
B
A Pemetaan A ke B atau fungsi onto. Disini tampak
bahwa Q Є A dipasangkan lebih dari satu anggota B.
C D
Relasi C dan d adalah pemetaan C kepada D atau
fungsi onto.
4
pqrs
12344
123Q
P
Q
123
Korespondensi satu-satu :
Pemetaan satu-satu atau korespondensi satu-satu dari himpunan A kepada
himpunan B adalah pemasangan setiap anggota A satu-satu kepada setiap anggota
B.
Contoh 1 :
A B
Gambar disamping merupakan relasi pemetaan
satu-satu.
Contoh 2 : A = {1, 2, 3, 4} dan B = {5, 6, 7, 8}.
Himpunan pasangan berurut = {(1,5), (2,6), (3,7), (4,8)} adalah fungsi
satu-satu atau pemetaan satu-satu atau korespondensi satu-satu.
Fungsi sebagai pemetaan banyak dipergunakan dalam perhitungan-perhitungan
kalkulus, misalnya pada limit, turunan, dan integral.
5. VARIABEL BEBAS DAN TAK BEBAS
Biasanya suatu relasi dinyatakan dengan kalimat terbuka dalam bentuk
persamaan. Setiap persamaan didalamnya terdapat variabel atau peubah.
Pada fungsi variabel dibedakan dalam variabel bebas ( untuk daerah asal ) dan
variabel tidak bebas ( untuk daerah hasil ).
Contoh : y = x + 2
x adalah variabel bebas dan y adalah variabel tidak bebas. Artinya
nilai x yang dapat ditentukan sembarang, tetapi nilai y terikat
(tergantung) pada nilai x.
Bila x = 1, maka y = 1+2 = 3. Dan
Bila x = 2, maka y = 2+2 = 4. Dan seterusnya.
6. NOTASI UNTUK FUNGSI
Ada bermacam-macam cara untuk menuliskan fungsi, diantaranya adalah :
a. Fungsi f memetakan A ke B, ditulis f = A→ B
5
pqr
abc
Fungsi ɡ memetakan x ke y, ditulis ɡ = x → y
Huruf-huruf f dan ɡ adalah nama yang diberikan pada fungsi. Selain huruf f
dan ɡ, huruf h dan r biasanya digunakan juga untuk menamai fungsi.
Contoh : fungsi f = x → x2 dengan x Є A
Berarti setiap x Є A bayangannya (petanya) adalah x2. Jika x = 2,
maka bayangan x oleh fungsi f adalah 22 atau 4 dan seterusnya.
b. Fungsi f memetakan x ke y, dapat ditulis f = x → f(x). f(x) disini sama dengan
y, dan f(x) disebut nilai dari f di x, atau bayangan x oleh f.
Persamaan y = x – 3, untuk x Є B dapat ditulis menjadi f(x) = x – 3. Ini berarti
untuk setiap x Є B petanya (bayangannya) adalah f(x) = x – 3.
Jika x = 1, maka f (x) = x – 3 menjadi f (1) = 1 – 3 = - 2
x = 2, maka f (2) = 2 – 3 = - 1, dan seterusnya.
c. Penulisan fungsi dengan notasi himpunan.
Contoh : {(x,y) ǀ y = x – 3, x, y Є B }.
Ini menyatakan bahwa relasi antara x dan y anggota himpunan bilangan bulat
ditentukan oleh : y = x – 3.
SOAL-SOAL LATIHAN :
1. Diagram panah berikut ini merupakan relasi himpunan-himpinan. Tunjukkan
mana dari relasi itu yang merupakan fungsi.
2. Apakah diagram panah dibawah ini menunjukkan relasi dari A ke B itu
merupakan fungsi ?
6
.
y
x
y
00
A B Tunjukan himpunan manakah yang merupakan daerah :
Definisi
Kawan
Hasil
3. Diketahui A = {a, b, c, d} B = {p, q, r}
Jika antara A dan B terdapat suatu relasi fungsional, perlihatkan relasi itu dengan
diagram panah dan grafik fungsi.
4. Apakah grafik-grafik berikut ini merupakan fungsi ?
5. Dari relasi berikut ini, yang manakah merupakan fungsi ?
a. { (1,1), (1,2), (1,3), (2,4), (2,5) }
b. { (-4,1), (-3,2), (-2,1), (-1,1), (0,1) }
c. { (0,0), (1,0), (2,1), (3,1) }
6. Tunjukkan : daerah asal dan daerah hasil dari relasi berikut :
{ (0,0), (1,0), (2,1), (3,1) }
{ (1,1), (2,1), (3,2), (4,3) }
7. Buatlah grafik dari pasangan berurut berikut ini :