PENYELESAIAN SOAL ANALISA NUMERIK 1. Estimasi solusi persamaan linier berikut ini 0.02X 1 – 3X 2 + 7X 3 = 16.1………………………………………………….. (1) 5X 1 + 2X 2 - 5X 3 = 14…….………………………………………………….. (2) 4X 1 – 5X 2 - 8X 3 = 27…….………………………………………………….. (3) a. Metode Gauss Naïve Karena 0.02 terlalu kecil atau mendekati nol (0) maka dilakukan teknik pivoting dengan menukar baris 3 dengan baris 1, sehingga akan mendapatkan persamaan sebagai berikut 4X 1 – 5X 2 - 8X 3 = 27…….………………………………………………….. (4) 5X 1 + 2X 2 - 5X 3 = 14…….………………………………………………….. (5) 0.02X 1 – 3X 2 + 7X 3 = 16.1………………………………………………….. (6) Langkah pertama adalah dengan mengenolkan koefisien X 1 pada baris ke 5 dan ke 6 dengan menggunkan perhitungan seperti berikut Baris 5 dikurangi dengan { 5 4 X bariske 4 baris yangberkesesuaian } Baris 6 dikurangi dengan { 0.02 4 xbariske 4 baris yang berkesesuaian } Maka akan diperoleh hasil persamaan sebagai berikut 4X 1 – 5X 2 - 8X 3 = 27...….………………………………………………….. (7) 8.25X 2 + 5X 3 = -19.75……………………………………………….. (8) –2.975X 2 + 7.043X 3 = 15.965………………………………………….. (9) Langkah selanjutnya adalah mengenolkan koefisien X 2 pada baris ke 9 dengan menggunakan perhitungan seperti berikut Baris 9 dikurangi dengan { −2.975 8.25 Xbariske 8 baris yang berkesesuaian } Maka akan diperoleh hasil persamaan sebagai berikut
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
a. Metode Gauss Naïve Karena 0.02 terlalu kecil atau mendekati nol (0) maka dilakukan teknik pivoting dengan menukar baris 3 dengan baris 1, sehingga akan mendapatkan persamaan sebagai berikut
Back subtitutio untuk mendapatkan nilai X2, dilakukan dengan mensubtitusikan nilai X3 kedalam persamaan baris 11
Sehingga dapat diperoleh persamaan sebagai berikut
8.25X2 + 5X3 = -19.758.25X2 + 5.(1) = -19.75
X2 = (−19.75 )−58.25
X2 = -3
Selanjutnya back substitution untuk mendapatkan nilai X1, dilakukan dengan memasukan nilai X1 dan nilai X 2 kedalam persamaan baris 10
4X1 – 5X2 - 8X3 = 274X1 – 5.(-3) – 8.(1) = 27
X1 = 27+5. (−3 )+8.(1)
4X1 = 5
Presentase true error untuk X1, X2, dan X3
εX 1=(5 )−(5)
(5) x 100% = 0%
εX 2=(−3 )−(−3)
(−3) x 100% = 0%
εX 3=(1 )−(1)
(1) x 100% = 0%
b. Metode Gauss Jordan
Karena 0.02 terlalu kecil atau mendekati nol (0) maka dilakukan teknik pivoting dengan menukar baris 3 dengan baris 1, sehingga akan mendapatkan persamaan sebagai berikut
4X1 – 5X2 - 8X3 = 275X1 + 2X2 - 5X3 = 14
0.02X1 – 3X2 + 7X3 = 16.1
Dari persamaan diatas kita bisa menghasilkan matrik sebagai berikut
[ 4 −5 −85 2 −50.02 −3 7
271416.1]
Normalisaikan baris pertama dengan membaginya dengan 4 sehingga akan didapatkan matrik sebagai berikut
[ 1 −1.25 −25 2 −50.02 −3 7
6.751416.1]
Langkah selanjutnya membuat baris ke 2 kolom 1, dan juga baris ke 3 kolom 1 menjadi nol dengan cara
- Baris 2 dikurangi {51 X baris1 padakolom yangberkesesuaian}- Baris 3 dikurangi {0.021 X baris1 padakolom yangberkesesuaian}Sehingga didapatkan matrik sebagai berikut
[1 −1.25 −20 8.25 50 −2.975 7.04
6.75−19.7515.965 ]
Normalisasikan baris kedua dengan membaginya dengan 8.25 sehingga akan mendapatkan matrik sebagai berikut
[1 −1.25 −20 1 0.60610 −2.975 7.04
6.75−2.393915.965 ]
Langkah selanjutnya membuat baris ke 1 kolom 2, dan juga baris ke 3 kolom 2 menjadi nol dengan cara
- Baris 1 dikurangi {−1.251 X baris2 padakolom yang berkesesuaian}- Baris 3 dikurangi {−2.9751
X baris2 padakolom yang berkesesuaian}Sehingga didapatkan matrik sebagai berikut
[1 0 −1.24240 1 0.60610 0 8.8430
3.7576−2.39398.8430 ]
Normalisasikan baris ketiga dengan membaginya dengan 8.8430 sehingga akan mendapatkan matrik sebagai berikut
[1 0 −1.24240 1 0.60610 0 1
3.7576−2.3939
1 ]Langkah selanjutnya membuat baris ke 1 kolom 3, dan juga baris ke 2 kolom 3 menjadi nol dengan cara
- Baris 1 dikurangi {−1.24241X baris3 padakolom yangberkesesuaian}
- Baris 2 dikurangi {0.60611 X baris3 padakolom yang berkesesuaian}Sehingga didapatkan matrik sebagai berikut
[1 0 00 1 00 0 1
5−31 ]
Presentase true error untuk X1, X2, dan X3
εX 1=(5 )−(5)
(5) x 100% = 0%
εX 2=(−3 )−(−3)
(−3) x 100% = 0%
εX 3=(1 )−(1)
(1) x 100% = 0%
c. Dekomposisi [ L ] [U ]
Karena 0.02 terlalu kecil atau mendekati nol (0) maka dilakukan teknik pivoting dengan menukar baris 3 dengan baris 1, sehingga akan mendapatkan persamaan sebagai berikut
X 33]=¿ [011]Dengan back substitution didapatkan :
X33 = 1
X23 = −0.6666666(1)0.6666666
= -1
X13 = −0.3636364 (−1 )+0.1818182(1)
0.2727273 = 2
Jadi A-I
[X 11 X 12 X 13X 21 X 22 X 23X 31 X 32 X 33] = [ 2 −1 2
0.5 1 −1−1.5 0.5 1 ]
3. Menggunakan metode Gauss-Seidel, estimasi sistem persamaan linier berikut ini: 12 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 = 57 (1) 3 x 1 + 8 x 2 - 6 x 3 = 48 (2) -4 x 1 - 3 x 2 + 11 x 3 = -47 (3) Dengan ketelitian 10-4
hingga 5 kali iterasi jika diketahui true values x 1 = 4, x 2 = 3, dan x 3 = -2, Hitung persentase true error masing-masing x 1 , x 2 , dan x 3.
Persamaan (1) – (3) dapat ditulis ulang sebagai berikut: