Analisa Numerik 1 Chapra, Steven C; Canale, Raymond P; Metode Numerik Untuk Teknik, dengan penerapan pada komputer pribadi; UI Press, 1991. Referensi : Company, WS Dorn and Mc Cracken; Numerical Methods with fortran IV; Case Study; John Wiley & Son, 1972 ANALISA NUMERIK
66
Embed
ANALISA NUMERIK - finahari.files.wordpress.com · KESALAHAN NUMERIK TOTAL . Analisa Numerik 10 Metode Akolade adalah metode yang menggali fakta ... (memperkecil interval). Metode
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Analisa Numerik 1
Chapra, Steven C; Canale, Raymond P; Metode Numerik Untuk
Teknik, dengan penerapan pada komputer pribadi; UI Press, 1991.
Referensi :
Company, WS Dorn and Mc Cracken; Numerical Methods with
fortran IV; Case Study; John Wiley & Son, 1972
ANALISA NUMERIK
Analisa Numerik 2
Prosedur rumit
Metode numerik
Prosedur lebih mudah
Kesalahan/error
Masalah matematika
Metode analitis
Komputer
Tidak terselesaikan
BAB I PENDAHULUAN
Analisa Numerik 3
Metode numerik melibatkan suatu pendekatan (aproksimasi) sehingga
akan timbul kesalahan (error) yang meliputi :
• kesalahan pembulatan (round-off error)
• kesalahan pemotongan (truncation error)
Misal speedometer mobil menunjukkan angka antara 48 dan 49 km/jam
Kecepatan mobil tersebut mungkin adalah 48,6 atau 48,7 km/jam
Hal ini karena keterbatasan speedometer dimana hanya dua digit angka
pertama yang dapat dipakai secara meyakinkan
Tidak dapat dikatakan dengan pasti bahwa mobil bergerak dengan
kecepatan 48,7642 km/jam
Angka signifikan : digit tertentu yang dapat dipakai secara meyakinkan
PENDEKATAN DAN KESALAHAN
ANGKA SIGNIFIKAN
Analisa Numerik 4
Beberapa angka nol tidak selalu termasuk angka signifikan karena mereka
diperlakukan sekedar menempatkan sebuah titik desimal, misal
0,00001845; 0,0001845; 0,001845 semua memiliki empat angka signifikan
Jika angka nol dipakai di bagian ekor bilangan besar, tidak jelas berapa
banyak nol yang signifikan. Misal 45.300 dapat memiliki 3, 4 atau 5 angka
signifikan tergantung apakah harga nol telah diketahui dengan yakin
Ketidakpastian ini dapat diatasi dengan notasi ilmiah :
4,53 x 104 memiliki 3 angka signifikan
4,530 x 104
4,5300 x 104
memiliki 4 angka signifikan
memiliki 5 angka signifikan
Akurasi mengacu pada dekatnya angka pendekatan atau pengukuran
terhadap harga sebenarnya Inakurasi atau ketidak akuratan didefinisikan
sebagai simpangan sistematis dari kebenaran
AKURASI DAN PRESISI
Analisa Numerik 5
• Jumlah angka signifikan yang menyatakan suatu besaran
Presisi mengacu pada :
• Penyebaran dalam bacaan berulang dari sebuah alat ukur
Kesalahan pemotongan dihasilkan sewaktu aproksimasi digunakan untuk
menyatakan suatu prosedur matematika eksak, sedangkan
Kesalahan pembulatan dihasilkan bila angka-angka aproksimasi
digunakan untuk menyatakan angka-angka pasti
Hubungan antara hasil eksak dan aproksimasi :
Harga sebenarnya = pendekatan + kesalahan
Sehingga kesalahan numerik adalah setara terhadap ketidakcocokan
antara yang sebenarnya dan aproksimasi :
Et = harga sebenarnya - aproksimasi
DEFINISI KESALAHAN
Analisa Numerik 6
Et menyatakan harga pasti dari kesalahan dan subscript t menunjukkan
kesalahan sebenarnya. Untuk memperhitungkan besaran yang dievaluasi
dengan menormalisasikan kesalahan terhadap harga sebenarnya :
sebenarnya harga
kesalahan fraksional relatifKesalahan
Kesalahan relatif dalam bentuk prosen :
%100sebenarnya harga
sebenarnyakesalahan
t
Alternatif untuk menormalisasi kesalahan dengan menggunakan taksiran
terbaik dari harga sebenarnya terhadap aproksimasi itu sendiri :
%100iaproksimas
iaproksimaskesalahan a
Analisa Numerik 7
Dimana subscript a menunjukkan bahwa kesalahan dinormalisasi
terhadap sebuah harga aproksimasi. Tetapi dalam aplikasinya penentuan
taksiran kesalahan tanpa adanya harga sebenarnya yang telah diketahui,
sehingga dipakai metode iterasi dengan suatu aproksimasi sekarang
berdasarkan aproksimasi sebelumnya.
%100iaproksimas
iaproksimaskesalahan a
Kesalahan relatif dalam bentuk prosen :
Tingkat kesalahan dapat bertanda positip atau negatip. Positip jika
aproksimasi lebih kecil dari harga sebenarnya, demikian sebaliknya.
Untuk itu diberlakukan harga absolut yang dibandingkan dengan
toleransi praspesifikasi sehingga komputasi diulangi sampai :
sa kasipraspesifi eransiadalah tol dimana a
Analisa Numerik 8
Kesalahan-kesalahan juga dapat dihubungkan dengan jumlah angka
signifikan pada pendekatan, sehingga dapat dijamin bahwa hasilnya
adalah betul hingga sekurang-kurangnya n angka signifikan.
%105,0 2
s
n
Keterbatasan komputer menyimpan sejumlah angka signifikan selama
perhitungan. Misal jika menyimpan 7 angka maka p = 3,141592
Pembulatan yang dilakukan pada perhitungan manual juga
menghasilkan kesalahan sehingga dipakai aturan pembulatan
Aturan pembulatan :
5,6723 5,67 3 angka signifikan
10,406 10,41 4 angka signifikan
KESALAHAN PEMBULATAN
Analisa Numerik 9
KESALAHAN PEMOTONGAN Kesalahan yang dihasilkan dari penggunaan suatu aproksimasi
pengganti prosedur matematika eksak
Yaitu jumlah kesalahan pemotongan dan kesalahan pembulatan
Untuk mengurangi kesalahan pemotongan dilakukan dengan mengurangi
langkah prosedur matematisnya.
Untuk mengurangi kesalahan pembulatan dilakukan dengan menambah
jumlah angka signifikan
Kesalahan juga dapat disebabkan oleh :
• Kekeliruan yang disebabkan kegagalan fungsi (malfunction) komputer
• Kesalahan formulasi karena model matematis yang tidak sempurna
• Ketidakpastian data
KESALAHAN NUMERIK TOTAL
Analisa Numerik 10
Metode Akolade adalah metode yang menggali fakta bahwa fungsi
berdasar jenisnya akan berubah tanda di sekitar suatu harga akar. Dalam
hal ini dibutuhkan dua tebakan awal untuk akar. Terdiri dari :
Dalam problem matematika banyak dijumpai persamaan :
f(x) = ax2 + bx + c = 0
Dengan rumus kuadratik untuk mencari akar persamaan :
a
acbbx
2
42
• metode grafik
• metode bagi dua
• metode posisi salah atau palsu
• metode inkremental dan penentuan tebakan awal
BAB II METODE ALOKADE
Analisa Numerik 11
Yaitu metode penyelesaian suatu fungsi f(x) = 0 dengan menggambarkan
grafik fungsi tersebut dan mengamati dimana fungsi memotong sumbu x,
yang memberikan pendekatan kasar akarnya.
1.0
1.0
f(x)
57.0Akar
Misal pendekatan dari f(x) = e-x – x. Harga-harga dihitung :
x f(x)
0.0 1.000
0.2 0.619
0.4 0.270
0.6 - 0.051
0.8 - 0.351
1.0 - 0.632
Grafiknya :
Terlihat bahwa f(x) berganti tanda pada
kedua sisi yang berlawanan dari akar
2.1. METODE GRAFIK
Analisa Numerik 12
Dari grafik terlihat fungsi memotong sumbu x di antara 0.5 dan 0.6.
Diambil taksiran kasar 0.57. Keabsahannya diuji dengan memasukkan
harga taksiran ke persamaannya.
f(0.57) = e-0.57 – 0.57 = -
0.0045
mendekati nol
Harga sebenarnya jika dihitung secara numerik adalah 0.56714329
Keuntungan metode grafik :
• menyediakan taksiran kasar
• memahami sifat-sifat fungsi untuk menghindari kesalahan pemahaman
Kerugiannya :
• kurang presisi
• keterbatasan pada kondisi khusus, misalnya permasalahan akar ganda
dan fungsi-fungsi diskontinu
Analisa Numerik 13
Pada umumnya, jika f(x) riil dan kontinu dalam interval dari xl hingga
xu, serta f(xl) dan f (xu) berlainan tanda yakni f(xl) f(xu) < 0 maka
terdapat sekurang-kurangnya satu akar riil di antara interval tersebut.
Metode bagi dua, disebut juga pemotongan biner (binary chopping),
pembagian dua (interval halving) atau metode Bolzano, menggunakan
cara membagi interval menjadi dua bagian. Kalau suatu fungsi berubah
tanda pada interval, maka harga fungsi di tengahnya dievaluasi.Letak
akar ditentukan berada di tengah-tengah sub interval. Proses ini diulangi
dengan memperhalus perolehan taksiran (memperkecil interval).
Metode bagi dua ini merupakan teknik yang cukup baik untuk
menentukan akar-akar, tetapi proses yang harus dilalui cukup panjang.
Tetapi dibanding dengan metode grafik, hasil yang diperoleh menjadi
lebih baik.
2.2. METODE BAGI DUA
Analisa Numerik 14
Langkah 2 : Taksiran pertama akar xr ditentukan oleh : 2
ulr
xxx
Langkah 3 : Evaluasi letak akar dengan :
a. Jika f(xl) f(xr) < 0, akar terletak pada sub interval pertama,
maka xu = xr, dan lanjutkan ke langkah 4.
b. Jika f(xl) f(xr) > 0, akar terletak pada sub interval kedua,
maka xl = xr, dan lanjutkan ke langkah 4.
c. Jika f(xl) f(xr) = 0, akar = xr, hentikan komputasi
Langkah 4 : Hitung taksiran baru akar dengan : 2ul
r
xxx
Langkah 5 : Putuskan apakah taksiran baru cukup akurat. Jika ya
hentikan komputasi, jika tidak kembali ke langkah 3.
Langkah 1 : memilih taksiran terendah xl dan tertinggi xu untuk akar
agar fungsi berubah tanda sepanjang interval. Periksa dengan
menerapkan persamaan f(xl) f(xu) < 0.
Algoritma metode bagi dua
Analisa Numerik 15
Contoh : Tentukan akar dari f(x) = e-x – x dengan metode bagi dua
Solusi : Dari metode grafik, akar terletak antara 0 dan 1. Interval awal
dapat dipilih xl = 0 dan xu = 1. Taksiran awal akar :
5,02
10 rx
Lalu kita hitung :
f(0) f(0,5) = (1) (0,10653) = 0,10653
Harga akar sebenarnya adalah 0,56714329…. sehingga kesalahannya :
Et = 0,56714329 – 0,5 = 0,06714329
Atau dalam bentuk relatif :
%8,11%10056714329,0
06714329,0
t
Yang lebih besar dari nol, dan tidak terjadi perubahan tanda pada
intervalnya. Karena itu akar terletak antara x = 0,5 dan 1.
Analisa Numerik 16
Batas bawah diganti dengan xl = 0,5 dan dilakukan iterasi kedua :
75,02
15,0 rx %2,32t
Iterasi diulangi untuk taksiran akar yang lebih baik. Misal iterasi ketiga :
f(0,5) f(0,75) = - 0,030 < 0
Karena itu akar terletak antara 0,5 dan 0,75 :
xu = 0,75 625,02
75,05,0 rx %2,10t
f(0,5) f(0,625) = - 0,010 < 0
Karena itu akar terletak antara 0,5 dan 0,625 :
xu = 0,625 5625,02
625,05,0 rx %819,0t
Iterasi ke empat :
Proses ini diulangi lagi untuk mendapatkan taksiran yang lebih baik
Analisa Numerik 17
Metode ini mengembangkan metode grafik dan bagi dua. Hal ini dilakukan
dengan menggabungkan titik-titik dengan sebuah garis lurus. Perpotongan
garis dengan sumbu x menyatakan sebuah taksiran perbaikan dari akar.
Penempatan kembali kurva dengan garis lurus memberikan suatu “posisi
salah” dari akar-akar. Metode posisi salah (method of false position) atau
regula falsi (bahasa Latin) juga dinamakan metode interpolasi linier.
f(x) f(xu)
f(xl)
xr
xl
xu
x
Perpotongan garis lurus dengan
sumbu x dapat ditaksir :
ur
u
lr
l
xx
xf
xx
xf
Atau diselesaikan menjadi :
)()( ul
ulu
urxfxf
xxxfxx
2.3. METODE POSISI SALAH ATAU PALSU
Analisa Numerik 18
Contoh : Tentukan akar f(x) = e-x – x dengan metode posisi salah.
Solusi : dimulai dengan tebakan awal xl = 0 dan xu = 1.
Iterasi pertama :
xl = 0 f(xl) = 1
xu = 0 f(xu) = - 0,63212 6127,0
)63212,0(1
)10(63212,01
rx
Kesalahan relatif sebenarnya dapat ditaksir oleh :
%0,8%10056714329,0
6127,056714329,0
t
Iterasi kedua dengan f(xl) f(xu) = - 0,0708. Akar terletak di sub interval
pertama dan xr menjadi batas atas untuk iterasi berikutnya, xu = 0,6127.
xl = 0 f(xl) = 1
xu = 0,6127 f(xu) = - 0,0708
xr = 0,57219
%89,0t
Iterasi tambahan dapat dilakukan untuk mendapat taksiran yang lebih baik.
Analisa Numerik 19
Metode ini didasarkan pada formula yang membutuhkan sebuah harga
tunggal dari x, atau dua harga yang tidak perlu mengurung akar.
Pokok bahasan dalam metode ini :
1. Iterasi Satu Titik Sederhana
2. Newton – Raphson
3. Secant
4. Akar Ganda
Metode ini mengatur kembali fungsi f(x) = 0 sedemikian sehingga x
berada di ruas kiri persamaan :
x = g(x)
Transformasi ini dapat dikerjakan dengan manipulasi aljabar atau dengan
penambahan sederhana x ke kedua ruas persamaan semula. Misal
x2 – 2x + 3 = 0 dimanipulasi menjadi x = (x2 + 3)/2
BAB III METODE TERBUKA
3.1. ITERASI SATU TITIK SEDERHANA
Analisa Numerik 20
Dengan memberikan satu tebakan awal pada akar xi, persamaan x = g(x)
dapat digunakan untuk menghitung taksiran baru xi+1, seperti dinyatakan
oleh rumus iterasi :
xi+1 = g(xi)
Dengan taksiran kesalahan :
%100
1
1
i
iia
x
xx
Contoh : Tentukan akar f(x) = e-x – x dengan metode iterasi satu titik
sederhana
Solusi : fungsi dipisahkan secara langsung dan dinyatakan dalam bentuk :
ix
iex
1
Dimulai dengan tebakan awal x0 = 0, persamaan iterasi ini diterapkan
untuk mendapatkan :
Analisa Numerik 21
%t
%aIterasi, i
xi
0
0
100,000
1
1,000000
76,300
100,00
2
0,367879
35,100
171,8
3
0,692201
22,100
46,90
4
0,500473
11,800
38,30
5
0,606244
6,890
17,40
6
0,545396
3,830
11,20
7
0,579612
2,200
5,90
8
0,560115
1,240
3,48
9
0,571143
0,705
1,93
10
0,564879
0,399
1,11
Terlihat bahwa iterasi memberikan taksiran yang lebih mendekati harga
akar sebenarnya (0,56714329), dengan tingkat kesalahan semakin rendah
Analisa Numerik 22
Metode ini banyak digunakan dan merupakan interprestasi geometrik
(metode alternatif yang didasarkan pada deret Taylor).
f(x)
f(xi)
Kemiringan = f '(xi)
0x
i+1x
ix
xi - x
i+1
f(xi) - 0
Turunan pertama pada xi adalah
ekuivalen terhadap kemiringan :
1
'0
)(
ii
i
i xx
xfxf
Yang dapat dirubah menjadi :
)('1
i
i
ii xf
xfxx
Yang disebut formula Newton -
Raphson
3.2. METODE NEWTON - RAPHSON
Analisa Numerik 23
Contoh : Tentukan akar f(x) = e-x – x dengan metode Newton – Raphson
dengan tebakan awal x0 = 0.
Solusi : turunan pertama fungsi tersebut adalah f’(x) = -e-x – 1, yang
dapat disubstitusikan bersama ke formula Newton – Raphson :
11
ixi
ix
ii e
xexx
Dimulai dengan tebakan awal x0 = 0, persamaan iteratif ini dapat
digunakan untuk menghitung :
Iterasi, i
xi
t %
0
0
100
1
0,500000000
11,8
2
0,566311003
0,147
3
0,567143165
0,000022
4
0,567143290
< 10-8
Terlihat bahwa pendekatan
ini konvergen secara lebih
cepat ke akar sebenarnya.
Kesalahan relatif berkurang
lebih cepat daripada metode
sebelumnya
Analisa Numerik 24
Metode ini kadang berlaku kurang baik pada kondisi tertentu, misalnya
kasus akar ganda. Bahkan seringkali juga mengalami kesulitan (fungsi
konvergen secara perlahan) dalam menangani suatu akar sederhana.
Contoh : Tentukan akar positip dari f(x) = x10 – 1 menggunakan metode
Newton – Raphson dengan tebakan awal x = 0,5.
Solusi : formula Newton – Raphsonnya :
9
10
110
1
i
i
iix
xxx
Iterasi, i
xi
0
0,5
1
51,65
2
46,485
3
41,8365
4
37,65285
5
33,887565
Hasil perhitungan :
Terlihat bahwa setelah taksiran kasar
pertama, teknik tersebut konvergen
pada akar sebenarnya, tetapi terjadi
secara perlahan
Kelemahan metode Newton - Raphson
Analisa Numerik 25
Metode Newton – Raphson juga mengalami kesulitan pada evaluasi
turunan fungsi karena pada beberapa kasus, turunan fungsi sulit dilakukan.
Untuk itu fungsi didekati dengan suatu diferensiasi terbagi hingga.
f(x)
f(xi)
f(xi-1
)
xi-1
xi
x
ii
ii
i xx
xfxfxf
1
1')(
)(
Persamaan ini disubstitusikan ke
formula Newton – Raphson :
)()(
))((
1
1
1
ii
iii
i xfxf
xxxfx
Persamaan ini adalah formula
metode Secant. Metode ini
memerlukan dua taksiran awal.
3.3. METODE SECANT
Analisa Numerik 26
Contoh : Tentukan akar f(x) = e-x – x dengan metode Secant, taksiran