PENYELESAIAN NUMERIK DAN ANALISA KESTABILAN PADA MODEL EPIDEMIK SEIR DENGAN PENULARAN PADA PERIODE LATEN Oleh: Labibah Rochmatika (12 09 100 088) Dosen Pembimbing: Drs. M. Setijo Winarko M.Si Drs. Lukman Hanafi, M.Sc
PENYELESAIAN NUMERIK DAN ANALISA KESTABILAN
PADA MODEL EPIDEMIK SEIR DENGAN PENULARAN PADA PERIODE LATEN
Oleh: Labibah Rochmatika (12 09 100 088)
Dosen Pembimbing:Drs. M. Setijo Winarko M.SiDrs. Lukman Hanafi, M.Sc
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Latar Belakang
Perlu adakebijakan
Malaria, pertusis dll
Masainkubasi
EpidemikSEIR
Analisa Stabilitasdan Solusi Numerik
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Analisis & Pembahasan
Rumusan Masalah
• Bagaimana menentukan bilangan reproduksidasar (Ro)sebagai tolak ukur atau nilai ambangterjadi atau tidaknya epidemik?
• Bagaimana menentukan titik setimbang untukmenentukan tipe kestabilan?
• Bagaimana penyelesaian numerik dari model epidemik SEIR dengan menggunakan metode Runge-Kutta?
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Analisis & Pembahasan
Batasan Masalah
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
• Model yang dikaji adalah model SEIR
dengan memperhatikan adanya
penularan pada periode laten
• Diasumsikan bahwa tiap kelas terjadi
kematian alami.
• Transmisi yang terjadi adalah
transmisi horizontal.
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Analisis & Pembahasan
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Besar kecilnya R0 dapat
menunjukkan adanya penyebaran
penyakit menular.
Kestabilan titik setimbang dapat
menunjukkan syarat-syarat
terjadinya endemik.
Tujuan
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Analisis & Pembahasan
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Manfaat dari tugas akhir ini adalah• Adanya pengetahuan bagi peneliti mengenai dinamika penyebaranpenyakit bertipe SEIR denganmemperhatikan adanya penularanpenyakit pada periode laten.• Sebagai rujukan bagi penelitian selanjutnya.• Sebagai bahan pertimbangan bagi pihak terkait dalam menangani penyebaran penyakit menular tipe SEIR.
Manfaat
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Analisis & Pembahasan
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Tinjauan Pustaka
• Model Epidemik SEIR
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Analisis & Pembahasan
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Tinjauan Pustaka
• Bilangan Reproduksi Dasar
jika Ro < 1 maka terjadi titik kesetimbangan bebas penyakit jika Ro > 1 maka terjadi titik kesetimbangan endemik
Bilangan reproduksi adalah parameter yangdigunakan untuk mengetahui tingkat penyebaransuatu penyakit.
menyatakan banyaknya rata-rata individu infektif sekunder akibat tertular individu infektif primer yang berlangsung di dalam populasi susceptible
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Analisis & Pembahasan
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Tinjauan Pustaka
• Titik Kesetimbangan
Pandang persamaan diferensial
Jika memenuhi dan . Sehingga titik
setimbang yang dihasilkan berupa fungsi konstan dan
untuk
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Analisis & Pembahasan
(1)
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Tinjauan Pustaka
• Linearisasi
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Analisis & Pembahasan
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Tinjauan Pustaka
• Linearisasi
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Analisis & Pembahasan
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Tinjauan Pustaka
• Stabil Asimtotik LokalKestabilan asimtotik lokal merupakan kestabilan dari sistem linier atau kestabilan dari linierisasi sistem tak linier. Kestabilan lokal pada titik kesetimbanganditentukan oleh tanda bagian realnya.
Definisi 1 :Jika adalah matriks yang berukuran maka vektor tak-nol dinamakan vektor karakteristik dari jika memenuhi : Untuk skalar disebut nilai karakteristik dari dan dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan .
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Analisis & Pembahasan
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Lanjutan...
• Stabil Asimtotik Lokal
Teorema 1:Titik setimbang stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai karakteristik matriks
mempunyai tanda negatif pada bagian real-nya dan tidak stabil jika sedikitnya satu dari nilai karakteristik mempunyai tanda positif pada bagian realnya.Kesimpulan &
Saran
Daftar Pustaka
Analisis & Pembahasan
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Tinjauan Pustaka
• Kestabilan Routh-HurwitzKriteria kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metodeuntuk menunjukkan kestabilan sistem denganmemperhatikan koefisien dari persamaan karakteristiktanpa menghitung akar-akar karakteristik secaralangsung.Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan ordeke-n sebagai berikut :
Kemudian susun koefisien persamaan karakteristikmenjadi : . . .
. . .
. . .
. . .
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Analisis & Pembahasan
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Lanjutan...
• Kestabilan Routh-Hurwitz
Dengan
Sistem dikatakan stabil atau mempunyai bagian real nilaieigen negatif jika dan hanya jika elemen-elemen padakolom pertama memiliki tanda yang sama.
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Analisis & Pembahasan
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Tinjauan Pustaka
• Metode Runge Kutta
Metode Runge-Kutta merupakan metode langkah tunggalyang lebih teliti dibandingkan metode euler. Integrasinumerik dengan metode Runge-Kutta dinyatakan sebagaiberikut:
Dengan
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Analisis & Pembahasan
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Metode Penelitian
Menarik kesimpulan dan saran sertamenyusun laporan tugas akhir
Studi Literatur
Mengkaji model SEIR
Menentukan titik kesetimbangan danmenentukan bilangan reproduksi dasar
Menganalisis stabilitas titik setimbang
Menginterpretasikan model dengan menggunakan metode Runge-KuttaKesimpulan &
Saran
Daftar Pustaka
Analisis & Pembahasan
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Gambar 4.1 Diagram kompartemen model epidemik tipe SEIR
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Daftar Pustaka
Analisis dan Pembahasan
1. Keterbatasan penyelesaian
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
2. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
3. Titik Kesetimbangan Endemik
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
4. Bilangan Reproduksi Dasar
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
5. Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
6. Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Endemik
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Daftar Pustaka
Analisis dan Pembahasan
Salah satu nilai eigen dari persamaan adalah -1, nilai eigen yang lain
dicari dengan menggunakan Routh Huwirtz. Nantinya kolom pertama
memiliki tanda yang sama, yaitu positif. Maka dapat disimpulkan
titik setimbang endemik bersifat stabil
asimtotik lokal.
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
6. Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Endemik
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Daftar Pustaka
Analisis dan Pembahasan
Salah satu nilai eigen dari persamaan adalah -1, nilai eigen yang lain
dicari dengan menggunakan Routh Huwirtz. Nantinya kolom pertama
memiliki tanda yang sama, yaitu positif. Maka dapat disimpulkan
titik setimbang endemik bersifat stabil
asimtotik lokal.
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
Simulasi numeriknya menggunakan software MATLAB dengan memberikan nilai awal : S(0)=40, E(0)=15, I(0)=25, R(0)=20 dan nilai parameter sebagai berikut:
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
7. Simulasi numerik dengan menggunakan metode rungge kutta orde 4
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Pada simulasi keempat diatas grafik tidakmencerminkan perilaku sistem. sehingga dapat
disimpulkan sistem tidak stabil pada rentang waktu .
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Variasi nilai input yang diberikan akan berpengaruh
terhadap output dari simulasi yang dilakukan.
Namun, tidak semua parameter memiliki tingkat
kesensitivan yang sama. Sehingga diperlukan adanya
analisa sensitivitas terhadap setiap parameter tersebut.
8. Analisa Sensitivitas
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Analisis & Pembahasan
Analisis dan Pembahasan
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Jadwal Kegiatan
Kesimpulan & Saran
Kesimpulan
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Jadwal Kegiatan
Kesimpulan & Saran
Kesimpulan
Daftar Pustaka
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Kesimpulan & Saran
Saran
Daftar Pustaka
Pada tugas akhir ini hanya mengkajianalisa stabilitas lokal saja. Diharapkan pada
penelitian selanjutnya akan ditambahkan dengan analisa stabilitas global,
serta dilakukan pengendalian optimal untuk model epidemic SEIR.
Analisis & Pembahasan
Rumusan &Batasan Masalah
Latar Belakang
Tujuan & Manfaat
Tinjauan Pustaka
Metode Penelitian
Jadwal Kegiatan
[1] Guihua Li, Zhen Jin.(2005). “Global Stability of SEIR epidemic model with infectious forse in latent, infected and immune period”.Chaos, Solitons and Fractals. Hal 1177-1184
[2] Priyandoko Bagus.(2009).”Analisis kualitatif dan bifurkasi pada model epidemik tipe SEIR dengan transmisi vertikal”.Tugas akhir jurusan matematika ITS.
[3] Rusdi Wahyudi,dkk.(2012).”Kestabilan Model Epidemik SEIR dengan Waktu Tunda”.Tugas Akhir jurusan MatematikaUniversitas Hasanuddin.
[4] Hethcote HW, van den Drissche P.(1991). “Some epidemiological models with nonlinear incidence”. J Math BiolVol 29.Hal 271.
[5] Gao LQ, Hethcote HW.(1992).”Disease transmission models with density-depent demographics”. J Math Biol. 30:717.
[6] Hethcote HW, van den Drissche P.(1991). “Some epidemiologicalmodels with nonlinear incidence”. J Math Biol. 29:271.
[7] Derrick WR, van den Drissche P.(1993).” A disease transmitionmodel in a non constant population”. J Math Biol. 31: 495.
[8] Nedelman J. (1985).”Introductory review. Some new thoughtsabout some old malaria models”. Math Biosci. Hal. 15-32.
Daftar Pustaka
Kesimpulan & Saran
Daftar Pustaka