pengendalian kualitas statistik.docx

pengendalian kualitas statistikPENGENDALIAN KUALITASSTATISTIKKualitas / Mutu :Ukuran tingkat kesesuaian barang/ jasa dg standar/spesifikasi yang telah ditentukan/ ditetapkan.Pengendalian Kualitas Statistik (PKS) :Ilmu yang mempelajari tentang teknik /metode pengendalian kualitas berda-sarkan prinsip/ konsep statistik.Cara menggambarkan ukuran kualitas1. Variabel: karakteristik kualitas suatu produk dinyatakan dengan besaran yang dapat diukur (besaran kontinue). Seperti : panjang, berat, temperatur, dll.2. Attribut: karakteristik kualitas suatu produk dinyatakan dengan apakah produk tersebut memenuhi kondisi/persyaratan tertentu, bersifat dikotomi, jadi hanya ada dua kemungkinan baik dan buruk. Seperti produk cacat atau produk baik, dll.Tujuan: Memperoleh jaminan kualitas (quality Assuran-ce) dapat dilakukan dengan Aceceptance sampling Plans. Menjaga konsistensi Kualitas, dilaksanakan dengan Control Chart.Keuntungan : Untuk mempertinggi kualitas atau mengurangi biaya. Menjaga kualitas lebih uniform. Penggunaan alat produksi lebih efisien. Mengurangi rework dan pembuangan. Inspeksi yang lebih baik. Memperbaiki hubungan produsen-konsumen. Spesifikasi lebih baik.Teknik Pengendalian Kualitas StatistikAda 4 metode Statistik yang dapat digunakan :1. 1.Distribusi FrekuensiSuatu tabulasi atau cacah (tally) yang menyatakan banyaknya suatu ciri kualitas muncul dalam sampel yang diamati.Untuk melihat kualitas sampel dapat digunakan :1. Kualitas rata-rata2. Penyebaran kualitas3. Perbandingan kualitas dengan spesifikasi yang diinginkan.1. 2.Peta kontrol/kendali (control chart)Grafik yang menyajikan keadaan produksi secara kronologi (jam per jam atau hari per hari).Tiga macam control chart :1. Control Chart ShewartPeta ini disebut peta untuk variabel atau peta untuk x dan R (mean dan range) dan peta untuk x dan (mean dan deviasi standard).b. Peta kontrol untuk proporsi atau perbandingan antara banyaknya produk yang cacat dengan seluruh produksi, disebut peta-p (p-chart).c. Peta kontrol untuk jumlah cacat per unit, disebut peta-c (c-chart).1. 3.Tabel samplingTabel yang terdiri dari jadual pengamatan kualitas, biasanya dalam bentuk presentase.1. 4.Metode KhususMetode ini digunakan untuk pengendalian kualitas dalam industri, al : korelasi, analisis variansi, analisis toleransi, dll.KONSEP STATISTIKDALAM PROBABILITASKonsep statistikPKS merupakan pengeterapan statistik pada proses produksi, sehingga diperlukan pengertian yang tepat dan jelas mengenai konsep-konsep statistik untuk menghindari salah interpretasi.Salah interpretasi dalam proses produksi mengakibatkan penurunan kualitas produksi atau penambahan biaya produksi.Pola atau bentuk variasiDalam memproduksi barang secara masal tentu akan dijumpai varisi meskipun sudah ditentukan ukuran maupun kualitasnya.Ada 3 macam variasi yang dapat terjadi :1. Variasi yg terdapat pada unit (barang).2. Variasi yg timbul diantara unit-unit yang dihasilkan selama waktu tertentu.3. Variasi yang ditimbulkan oleh produksi yg berlainan waktunya.Variasi-variasi tersebut timbul disebabkan karena dua sumber, yaitu variasi penyebab khusus dan variasi penyebab umum.1. Variasi Penyebab KhususAdalah kejadian-kejadian diluar sistem yang mempengaruhi variasi dalam sistem. (manusia, peralatan, material, lingkungan, metode kerja, dll).2. Variasi penyebab UmumAdalah faktor-faktor dalam sistem atau yang melekat pada proses yang menyebabkan timbulnya variasi. Penyebab umum sering disebut penyebab acak (random causes) atau penyebab sistem (system causes).Harga Tengah dan Ukuran DispersiMean, median, modus (mode), kuartil, percentil, decile, range, deviasi standar.Mean (rata-rata):n = banyaknya pengamatanxi= nilai atau harga pada pengamatan ke i MedianNilai atau harga yang membagi seluruh data menjadi dua kelompok yang sama banyaknyaJika banyaknya pengamatan ganjil (2k+1), maka pengamatan ke (k+1) merupakan median, tentunya setelah diurutkanxk + 1.X1, x2, x3 ,xk xk + 1, xk + 2,, x2k + 1

k pengamatan k pengamatanJika banyaknya pengamatan genap 2k, maka sebagai median diambil :xk = nilai pengamatan ke k setelah diurutkanxk+1= nilai pengamatan ke k+1 setelah diurutkan Modus (Mode)Nilai atau harga yang mempunyai frekuensi terbesar.KuartilMembagi data menjadi empat kelompok, masing-masing kelompok banyak anggotanya sama.Percentil dan DecileMembagi data menjadi seratus bagian dan sepuluh bagian sama banyak.Ukuran Dispersi atau Ukuran Sebaran DataMacam dispersi : range, deviasi standarRange (R)adalah selisih nilai terbesar dan nilai terkecil.R = Xmaks XminDeviasi Standar() = PETA KENDALI (CONTROL CHART)Metode Statistik untuk menggambarkan adanya variasi atau penyimpangan dari mutu (kualitas) hasil produksi yang diinginkan.Dengan Peta kendali : Dapat dibuat batas-batas dimana hasil produksi menyimpang dari ketentuan. Dapat diawasi dengan mudah apakah proses dalam kondisi stabil atau tidak. Bila terjadi banyak variasi atau penyimpangan suatu produk dapat segera menentukan keputusan apa yang harus diambil.Macam Variasi : Variasi dalam objekMis : kehalusan dari salah satu sisi daru suatu produk tidak sama dengan sisi yang lain, lebar bagian atas suatu produk tidak sama dengan lebar bagian bawah, dll. Variasi antar objekMis : sautu produk yang diproduksi pada saat yang hampir sama mempunyai kualitas yang berbeda/ bervariasi. Variasi yg ditimbulkan oleh perbedaan waktu produksiMis : produksi pagi hari berbeda hasil produksi siang hari.Penyebab Timbulnya Variasi Penyebab Khusus (Special Causes of Variation)Man, tool, mat, ling, metode, dll.(berada di luar batas kendali) Penyebab Umum (Common Causes of Variation)Melekat pada sistem.(berada di dalam batas kendali)Jenis Peta Kendali Peta Kendali Variabel (Shewart)Peta kendali untuk data variabel : Peta X dan R, Peta X dan S, dll. Peta Kendali AttributPeta kendali untuk data atribut : Peta-P, Peta-C dan peta-U, dll.Peta X dan R Peta kendal X: Memantau perubahan suatu sebaran atau distribusi suatu variabel asal dalam hal lokasinya (pemusatannya). Apakah proses masih berada dalam batas-batas pengendalian atau tidak. Apakah rata-rata produk yang dihasilkan sesuai dengan standar yang telah ditentukan. Peta kendali R: Memantau perubahan dalam halspread-nya (penyebarannya). Memantau tingkat keakurasian/ketepatan proses yang diukur dengan mencari range dari sampel yang diambil.Langkah dalam pembuatan Peta X dan R1. Tentukan ukuran subgrup (n = 3, 4, 5, ).2. Tentukan banyaknya subgrup (k) sedikitnya 20 subgrup.3. Hitung nilai rata-rata dari setiap subgrup, yaitu X.4. Hitung nilai rata-rata seluruh X, yaitu X, yang merupakan center line dari peta kendali X.5. Hitung nilai selisih data terbesar dengan data terkecil dari setiap subgrup, yaitu Range ( R ).1. Hitung nilai rata-rata dari seluruh R, yaitu R yang merupakan center line dari peta kendali R.2. Hitung batas kendali dari peta kendali X :UCL = X + (A2 . R) . A2 =LCL = X (A2 . R)1. Hitung batas kendali untuk peta kendali RUCL = D4 . RLCL = D3 . R1. Plot data X dan R pada peta kendali X dan R serta amati apakah data tersebut berada dalam pengendalian atau tidak.2. Hitung Indeks Kapabilitas Proses (Cp)Cp =Dimana :S = atau S = R/d2Kriteria penilaian :Jika Cp > 1,33 , maka kapabilitas proses sangat baikJika 1,00 Cp 1,33, maka kapabilitas proses baikJika Cp < 1,00, maka kapabilitas proses rendahHitung Indeks Cpk :Cpk = Minimum { CPU ; CPL }Dimana :CPU = dan CPL =Kriteria penilaian :Jika Cpk = Cp, maka proses terjadi ditengahJika Cpk = 1, maka proses menghasilan produk yang sesuai dengan spesifikasiJika Cpk < 1, maka proses menghasilkan produk yang tidak sesuai dengan spesifikasiKondisi Ideal : Cp > 1,33 dan Cp = CpkContoh KasusPT XYZ adalah suatu perusahaan pembuatan suatu produk industri. Ditetapkan spesifikasi adalah : 2.40 0,05 mm. Untuk mengetahui kemampuan proses dan mengendalikan proses itu bagian pengendalian PT XYZ telah melakukan pengukuran terhadap 20 sampel. Masing-masing berukuran 5 unit (n=5).SampelHasil Pengukuran

X1X2X3X4X5

12.382.452.402.352.42

22.392.402.432.342.40

32.402.372.362.362.35

42.392.352.372.392.38

52.382.422.392.352.41

62.412.382.372.422.42

72.362.382.352.382.37

82.392.392.362.412.36

92.352.382.372.372.39

102.432.392.362.422.37

112.392.362.422.392.36

122.382.352.352.352.39

132.422.372.402.432.41

142.362.382.382.362.36

152.452.432.412.452.45

162.362.422.422.432.37

172.382.432.372.392.38

182.402.352.392.352.35

192.392.452.442.382.37

202.352.412.452.472.35

Perhitungan :SampelPerhitungan

Rata-rataRange

12.400.10

22.390.09

32.370.05

42.380.04

52.390.07

62.400.05

72.370.03

82.380.05

92.370.04

102.390.07

112.380.06

122.360.04

132.410.06

142.370.02

152.440.04

162.400.07

172.390.06

182.370.05

192.410.08

202.410.12

Jumlah47.781.19

Rata-rata2.390.06

X = ( X)/k = 47.78 / 20 = 2.39R = ( R)/k = 1.19 / 20 = 0.06Peta Kendali X :CL = X = 2.39UCL = X + (A2* R) = 2.39 + (0.577*0.06) = 2.42LCL = X (A2* R) = 2.39 (0.577*0.06) = 2.36Peta Kendali RCL = R = 0.06UCL = D4 * R = 2.114 * 0.06 = 0.12LCL = D3 * R = 0 * 0.06 = 0Pada Peta X ada data yang out of control, maka data pada sampel tersebut dibuangSampelPerhitungan

Rata-rataRange

12.400.10

22.390.09

32.370.05

42.380.04

52.390.07

62.400.05

72.370.03

82.380.05

92.370.04

102.390.07

112.380.06

122.360.04

132.410.06

142.370.02

162.400.07

172.390.06

182.370.05

192.410.08

202.410.12

Jumlah45.341.15

Rata-rata2.3860.0605

X = ( X)/k = 45.34 / 19 = 2.386R = ( R)/k = 1.15 / 19 = 0.0605Peta Kendali X :CL = X = 2.386UCL = X + (A2* R) = 2.386 + (0.577*0.0605)= 2.4209LCL = X (A2* R) = 2.386 (0.577*0.0605)= 2.3511Peta Kendali RCL = R = 0.0605UCL = D4 * R = 2.114 * 0.0605 = 0.1280LCL = D3 * R = 0 * 0.06 = 0Karena sudah tidak ada data yang out of control, maka langkah selanjutnya adalah menghitung kapabilitas proses.Perhitungan Kapabilitas Proses :S =atau S = R/d2= 0.0605/2.326 = 0.026Cp = =CPU = =CPL = =Cpk = Minimum { CPU ; CPL } = 0.4615Nilai Cpk sebesar 0.4615 yang diambil dari nilai CPL menunjukkan bahwa proses cenderung mendekati batas spesifikasi bawah.Nilai Cp sebesar 0.6410 ternyata kurang dari 1, hal ini menunjukkan kapabilitas proses untuk memenuhi spesifikasi yang ditentukan rendah.Peta Kendali Rata-rata danStandar Deviasi ( x danS) Peta kendali standar deviasi digunakan untuk mengukur tingkat keakurasian suatu proses.Langkah-langkah pembuatan peta kendali x dan S adalah sebagai berikut :1. Tentukan ukuran contoh/subgrup (n > 10),2. Kumpulkan banyaknya subgrup (k) sedikitnya 2025 sub-grup,3. Hitung nilai rata-rata dari setiap subgrup, yaitu x,4. Hitung nilai rata-rata dari seluruh x, yaitu x yang merupakan garis tengah (center line) dari peta kendali x,5. Hitung simpangan baku dari setiap subgrup yaitu S,S =1. Hitung nilai rata-rata dari seluruh s, yaitu S yang merupakan garis tengah dari peta kendali S,1. Hitung batas kendali dari peta kendali x :UCL = x +LCL = x dimana = A3Sehingga :UCL = x + (A3 * S)LCL = x (A3 * S)1. Hitung batas kendali untuk peta kendali S :UCL = dimana = B4LCL = dimana = B3Sehingga :UCL = B4 * SLCL = B3 * S1. Plot data x dan S pada peta kendali x dan S serta amati apakah data tersebut berada dalam pengendalian atau diluar pengendalian.Contoh : />Jumlah ObservasiHasil PengukuranxS

1 20, 22, 21, 23, 2221,601,14

2 19, 18, 22, 20, 2019,801,48

3 25, 18, 20, 17, 2220,403,21

4 20, 21, 22, 21, 2121,000,71

5 19, 24, 23, 22, 2021,002,07

6 22, 20, 18, 18, 1919,401,67

7 18, 20, 19, 18, 2019,001,00

8 20, 18, 23, 20, 2120,401,82

9 21, 20, 24, 23, 2222,001,58

10 21, 19, 20, 20, 2020,000,71

11 20, 20, 23, 22, 2021,001,41

12 22, 21, 20, 22, 2321,601,14

13 19, 22, 19, 18, 1919,401,52

14 20, 21, 22, 21, 2221,200,84

15 20, 24, 24, 21, 2322,801,64

16 21, 20, 24, 20, 2121,201,64

17 20, 18, 18, 20, 2019,201,10

18 20, 24, 23, 23, 2322,401,52

19 20, 19, 23, 20, 1920,201,64

20 22, 21, 21, 24, 2222,001,22

21 23, 22, 22, 20, 2221,801,10

22 21, 18, 18, 17, 1918,601.52

23 21, 24, 24, 23, 2323,001,22

24 20, 22, 21, 21, 2020,800,84

25 19, 20, 21, 21, 2220,601,14

Jumlah521,0034,88

Rata-rata20,771,30

Peta kendali x :CL = 20,77UCL = x + (A3 * S) = 20,77 + 1,427(1,30) = 22,63LCL = x (A3 * S) = 20,77 1,427(1,30) = 18,91 Peta kendali S :CL = 1,30UCL = B4 * S= 2,089 (1,30) = 2,716LCL = B3 * S= 0 (1,30) = 0Peta Kontrol Untuk Atribut1. Peta Kendali p : untuk proporsi cacatDan peta kendali np untuk proporsi unit cacatnya relaitif kecil.1. Peta Kendali c : untuk cacat (defective)2. Peta Kendali u : untuk cacat per unit. Peta kendali pPerbandingan antara banyaknya cacat dengan semua pengamatan, yaitu setiap produk yang diklasifikasikan sebagai diterima atau ditolak (yang diperhatikan banyaknya produk cacat).Langkah-langkah pembuatan peta kendali p :1. Tentukan ukuran contoh/subgrup yang cukup besar (n > 30),2. Kumpulkan banyaknya subgrup (k) sedikitnya 2025 sub-grup,3. Hitung untuk setiap subgrup nilai proporsi unit yang cacat,yaitu :p = jumlah unit cacat/ukuran subgrup1. Hitung nilai rata-rata dari p, yaitu p dapat dihitung dengan :p = total cacat/total inspeksi.1. Hitung batas kendali dari peta kendali x :UCL = p +LCL = p 1. Plot data proporsi (persentase) unit cacat serta amati apakah data tersebut berada dalam pengendalian atau diluar pengendalian.Contoh :Sebuah perusahaan ingin membuat peta kendali untuk periode mendatang dengan mengadakan inspeksi terhadap proses produksi pada bulan ini. Perusahaan melakukan 25 kali observasi dengan mengambil 50 buah sample untuk setiap kali observasi. Hasil selengkapnya adalah :ObservasiUkuranSampelBanyaknyaProduk CacatProporsiCacat

15040,08

25020,04

35050,10

45030,06

55020,04

65010,02

75030,06

85020,04

95050,10

105040,08

115030,06

125050,10

135050,10

145020,14

155030,06

165020,04

175040,08

1850100,20

195040,08

205030,06

215020,04

225050,10

235040,08

245030,06

255020,08

Jumlah1250901,90

p = (pi)/k = 1,90/25 = 0,076UCL = p + = 0,076 + = 0,188LCL = p = 0,076 = 0,036 Peta Kendali cSuatu produk dikatakan cacat (defective) jika produk tersebut tidak memenuhi suatu syarat atau lebih. Setiap kekurangan disebut defec. Setiap produk yang cacat bias saja terdapat lebih dari satu defec. (yang diperhatikan banyaknya defec).Langkah-langkah pembuatan peta kendali p :1. Kumpulkan k = banyaknya subgrup yang akan diinspeksi, usahakan k mencukupi jumlahnya antara k = 2025 subgrup,2. Hitung jumlah cacat setiap subgrup ( = c),3. Hitung nilai rata-rata jumlah cacat, c sbb :c =1. Hitung batas kendali untuk peta kendali c :UCL = c +LCL = c 1. Plot data jumlah cacat dari setiap subgrup yang diperiksa dan amati apakah data tersebut berada dalam pengendalian atau diluar kendali. Peta Kendali uPeta kendali u relatif sama dengan peta kendali c. Perbedaanya hanya terdapat pada peta kendali u spesifikasi tempat dan waktu yang dipergunakan idak harus selalu sama, yang membedakan dengan peta kendai c adalah besarnya unit inspeksi perlu diidentifikasikan.Rumus yang digunakan :Su=CL = u-barUCL = u-bar + 3 SuLCL = u-bar 3 SuRENCANA PENERIMAAN SAMPEL(Acceptance Sampling Plans) Rencana penerimaan sampel adalah prosedur yang digunakan dalam mengambil keputusan terhadap produk-produk yang dihasilkan perusahaan. Bukan merupakan alat pengendalian kualitas, namun alat untuk memeriksa apakah produk yang dihasilkan tersebut telah memenuhi spesifikasi. Acceptance samplingdigunakan karena alasan : Dengan pengujian dapat merusak produk. Biaya inspeksi yang tinggi. 100 % inspeksi memerlukan waktu yang lama, dll. Beberapa keunggulan dan kelemahan dalamacceptance sampling:Keunggulan al : biaya lebih murah meminimalkan kerusakan mengurangi kesalahan dalam inspeksi dapat memotivasi pemasok bila ada penolakan bahan baku.Kelemahan al : adanya resiko penerimaan produk cacat atau penolakan produk baik membutuhkan perencanaan dan pendokumentasian prosedur pengambilan sampel. Tidak adanya jaminan mengenai sejumlah produk tertentu yang akan memenuhi spesifikasi. Sedikitnya informasi mengenai produk. Dua jenis pengujian dalamacceptance sampling:1. Pengujian sebelum pengiriman produk akhir ke konsumen.Pengujian dilakukan oleh produsen disebutthe producer test the lot for outgoing.1. Pengujian setelah pengiriman produk akhir ke konsumen.Pengujian dilakukan oleh konsumen disebutthe consumer test the lot for incoming quality. Acceptance samplingdapat dilakukan untuk data atribut data variable :Acceptance Samplinguntuk data atribut dilakukan apabila inspeksi mengklasifikasikan sebagai produk baik dan produk cacat tanpa ada pengklasifikasian tingkat kesalahan/cacat produk.Acceptance Samplinguntuk data variabel karakteristi kualitas ditunjukkan dalam setiap sample, sehingga dilakukan pula perhitungan rata-tata sampel dan penyimpangan atau deviasi standar. Teknik pengambilan sample dalan acceptance sampling : Sampel tunggal, sampel ganda dan sampel banyak. Syarat pengambilan produk sebagai sample : Produk harus homogen Produk yang diambil sebagai sample harus sebanyak mungkin Sample yang diambil harus dilakukan secara acak Prosedur yang dilakukan : Sejumlah produk yang sama N unit Ambil sample secara acak sebanyak n unit Apabila ditemukan kesalahan d sebanyak maksimum c unit, maka sample diterima. Apabila ditemukan kesalahan d melebihi c unit, maka sample ditolak, yang berarti seluruh produk yang homogen yang dihasilkan tersebut juga ditolak.Indek kualitas yang dapat digunakan dalam acceptance sampling :1. AQL (Acceptance Quality Level= tingkat kualitas menurut produsen)Merupakan proporsi maksimum dari cacat atau kesalahan yang diperbolehkan.Produsen selalu menghendaki probabilitas penerimaan pada tingkat yang cukup tinggi (biasanya 0,99 atau 0,95). Sehingga produsen menginginkan semua produk yang baik dapat diterima atau meminimalkan risiko produsen.Risiko produsen () adalah risiko yg diterima karena menolak produk baik dalam inspeksinya.Dengan kata lain produsen menginginkan probabilitas penerimaan(Pa) dekat dengan 1 (satu). Probabilitas kesalahan tipe I = = 1 Pa.1. LQL (Limiting Quality Level= tingkat kualitas menurut konsumen)Merupakan kualitas ketidakpuasan atau tingkat penolakan.Probabilitas penerimaan LQL harus rendah, probabilitas tersebut disebut risiko konsumen () atau kesalahan tipe II, yaitu risiko yang dialami konsumen karena menerima produk yang cacat atau tidak sesuai.LQL sering disebut dg LTPD (Lot Tolerance Percent Defective).1. IQL (Indifference Quality Level)Tingkat kualitas diantara AQL dan LQL atau tingkat kualitas pada probabilitas 0.5 untuk rencana sampel tertentu.1. AOQL (Average Outgoing Quality Level)Perkiraan hubungan yang berada diantara bagian kesalahan pada produk sebelum inspeksi (incoming quality) atau p dari bagian sisa kesalahan setelah inspeksi (outgoing quality) atau AOQ = p x Pa.Apabilaincoming qualitybaik, makaoutgoing qualityjuga harus baik, namun bilaincoming qualityburuk, makaoutgoing qualityakan tetap baik. Dengan kata lainincoming qualitybaik atau buruk,outgoing qualityakan cenderung baik. Pengukuran untuk mengevaluasi kinerja SampelAda beberapa macam pengukuran1. 1.OC Curve (Kurva Karakteristik Operasi)Merupakan kurva probabilitas penerimaan (Pa) terhadap produk yang dihasilkan.Rumus : Pa = P(d=< c)Pa : probabilitas penerimaanc : batas penerimaan cacat produkd : jumlah cacat yang terjadiKurva ini dilakukan untuk mencari hubungan antara probabilitas penerimaan (Pa) dengan bagian kesalahan dalam produk yang dihasilkan (p).Perhitungan probabilitas penerimaan dapat digunakan Tabel distribusi Poisson. Apabila tidak diketemukan nilai probabilitasnya karena keterbatasan nilai np, maka dapat digunakan cara interpolasi.Dua macam OC Curve :

11

OC Kurva ideal OC Kurva SContoh : Diketahui N = 2000, n = 50, c = 2Proporsi kesalahan(p)npProbabilitas penerimaan (Pa)

0.010.500.986

0.021.000.920

0.031.500.809

0.042.000.677

0.052.500.544

0.063.000.423

0.073.500.321

0.084.000.238

0.094.500.174

0.105.000.125

0.115.500.088

0.126.000.062

0.136.500.043

0.147.000.030

0.157.500.020

Kurva OC

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

p

1. 2.AOQ Curve (Kurva Kualitas Output rata-rata)AOQ adalah tingkat kualitas rata-rata dari suatu inspeksi. Sampel yang diambil harus dikembalikan untuk dilakukan perbaikan bila produk tersebut ternyata rusak atau cacat.AOQ untuk mengukur rata-rata kualitas output dari suatu hasil produksi dengan proporsi kerusakan sebesar p.Apabila N = banyaknya unit yang dihasilkann = unit sampel yang diinspeksip = bagian kesalahan/ketidaksesuaianPa = probabilitas penerimaan produkMaka rumus yang digunakan :AOQ =Kurva AOQ mempunyai titik puncak (AOQL= Average Outgoing Quality Limit). AOQL menunjukkan kualitas rata-rata yang harus dikembalikan dari inspeksi untuk dilakukan perbaikan.Contoh : pembuatan kurva AOQ :Diketahui N = 2000, n = 50, c = 2Proporsi Kesalahan (p)Probabilitas penerimaan (Pa)Kualitas output rata-rata (AOQ)

0.010.9860.0096

0.020.9200.0179

0.030.8090.0237

0.040.6770.0264

0.050.5440.0265

0.060.4230.0247

0.070.3210.0219

0.080.2380.0186

0.090.1740.0153

0.100.1250.0122

0.110.0880.0094

0.120.0620.0073

0.130.0430.0055

0.140.0300.0041

0.150.0200.0029

Kurva AOQ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

p

Untuk pengambilan sampel ganda digunakan rumus :AOQ =Contoh : N = 5000 unitn1 = 40 unit n2 = 60 unitc1 = 1 unit c2 = 5 unitr1 = 4 unit r2 = 6 unitProporsi Kesalahan (p)Pa IPa IIKualitas output rata-rata (AOQ)

0.010.9380.0610.0099

0.020.8080.1730.0194

0.030.6620.2570.0273

0.040.5250.2800.0318

0.050.4060.2510.0324

0.060.3090.1980.0300

0.070.2310.1350.0253

0.080.1710.0610.0185

0.090.1250.0600.0165

0.100.0910.0340.0124

0.110.0660.0200.0091

0.120.0470.0110.0069

0.130.0360.0060.0054

0.140.0270.0030.0042

0.150.0170.0010.0027

1. 3.ATI Curve (Kurva Inspeksi Total Rata-rata)ATI menunjukkan rata-rata jumlah sampel yang diinspeksi setiap unit yang dihasilkan.Untuk sampel tunggal :ATI = n + (1 Pa) (N n)Untuk sampel ganda :ATI = n1(Pa I) + (n1 + n2)Pa II + N(1 Pa1 Pa II)Contoh : Diketahui N = 2000, n = 50, c = 2Proporsi Kesalahan (p)Probabilitas penerimaan (Pa)Rata-rata Inspeksi (ATI)

0.010.98677.30

0.020.920206.00

0.030.809422.45

0.040.677679.85

0.050.544939.20

0.060.4231175.15

0.070.3211374.05

0.080.2381535.90

0.090.1741660.70

0.100.1251756.25

0.110.0881828.40

0.120.0621879.10

0.130.0431916.15

0.140.0301941.50

0.150.0201961.00

2500200015001000500 0

Kurva ATI

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

p

1. 4.ASN Curve (Banyaknya sample rata-rata)ASN adalah rata-rata banyaknya unit yang diuji untuk membuat suatu keputusan.Sampel tunggal : ASN = nSampel ganda : ASN = n1 + n2 (1 P1)P1 : merupakan probabilitas keputusan pada sampel pertamaP1 = P (produk yg diterima pd sampel pertama) + P (produk yg ditolak pd sampel pertama)= P (d= r1)Contoh :Diketahui N = 3000n1 = 40 c1 = 1 r1 = 4n2 = 80 c2 = 3 r2 = 4Misal nilai p atau proporsi kerusakan 0.02 maka :P1 = P (d =r1)P1 = P [d = 4 n1.p = 40 (0.02)]= P [d = 4 n1.p = 0.8]= 0.808 + (1 0,991)P1 = 0.817ASN = n1 + n2 (1 P1)= 40 + 80 (1 = 0.817)= 54.64Proporsi Kesalahan (p)Probabilitas keputusan pada sample pertama (P1)Banyaknya Sampel Rata-rata (ASN)

0.010.93944.38

0.020.81754.64

0.030.69764.24

0.040.60471.68

0.050.54976.08

MILITARY STANDAR 105 D Adalah system pengambilan sampel untuk data atribut dengan indek kualitas yang digunakan adalah AQL. AQL : Tingkat kualitas menurut produsen merupakan proporsi maksimum dari cacat atau kesalahan yang diperbolehkan yang bertujuan untuk inspeksi sampel, yang dipertimbangkan secara tepat sebagai rata-rata proses. Alat yang digunakan adalah tabel yang berkaitan dengan banyaknya inspeksi.ACCEPTANCE DENGAN TABEL ABC(Mil STD 105 D Tabel) Defect : Critical : berbahaya/tdk aman terhadap pemakai Major : mengurangi fungsi/kegunaan Minor : tidak mengurangi fungsi tetapi menyim-pang dari standar. Macam sampling plan Single sampling plan Double sampling plan Multiple sampling plan Level Inspeksi Special (khusus) General (umum) Jenis Inspeksi Normal Tighten (ketat) Reducet (longgar) Prodedur Pemilihan :Single sampling plan1. Tentukan lot size dan level inspeksi2. Dari table I : tentukan sampel code letter3. Tentukan AQL (dalam %)4. Tentukan batas penerimaan/penolakan dan jumlah sampel dari :Tabel II A NormalII B TightenII C Reduced Cara penggunaan tabel Dengan ukuran lot tertentu (N) lihat tabel Kdan tingkat pemeriksaanJika tingkat pemeriksaan tidak diketahui maka diambil tingkat pemeriksaan umum tk. II Dari tabel K akan diperoleh kode huruf ukuran sampel.Khusus S1S2Tingkat pemeriksaan S3S4Umum III III Huruf yang didapat dari table K untuk menentukan ukuran sample dan batas kelas pemeriksaan suatu penolakan dari lot Ditambah AQL (Acceptable Quality Level/ tingkat kualitas yang diterima Jenis pemeriksaanMaka akan diperoleh n, Ac, Ren = ukuran sample untuk menentukanAc = batas penerimaan harga PaRe = batas penolakanJenis pemeriksaan : tunggal : normal (L)ketat (M)longgar (N) ganda : normal (O)ketat (P)longgar (Q) multi : normal (R)ketat (S)longgar (T)Contoh :N = 1000Tingkat pemeriksaan umum IIAQL = 0,25Cari : a). Jenis pemeriksaan tunggal normalb). Jenis pemeriksaan ganda longgardari tabel K didapat untuk N = 1000 dg tingkat pemeriksaan umum tk II dg kode letter J :1. dengan jenis pemeriksaan tunggal normaln = 80AQL = 0,25Maka Ac = 0Re = 11. Ganda longgarn1 = 20n2 = 20tabel tunggal longgar didapat :n = 32AQL = 0,25Ac = 0Re = 1PERENCANAAN SAMPING MENURUTMIL STD 414Perencanaan sampel untuk data variabel. Pengambilan dan penerimaan data variabel didasarkan pada rata-rata dan standar deviasi, serta distribusi frekuensi.METODE TAGUCHI Metode Taguchi : Dr. Genichi Taguchi (1949). Metode Taguchi dikembangkan untuk melaukan perbaikan kualitas dengan metode baru dengan pendekatan lain yang memberikan tingkat kepercayaan yang sama dengan SPC (Statistical Process Control). Kelebihan Metode Taguchi1. Dapat mengurangi jumlah pelaksanaan percobaan dibandingkan jika menggunakan full factorial, shg dapat menghemat waktu dan biaya.2. Dapat melakukan pengamatan terhadap rata-rata dan variasi karakteristik kualitas sekaligus, shg ruang lingkup pemecahan masalah lebih luas.3. Dapat mengetahui faktor-faktor yang berpengaruh terhadap karakteristik kualitas melalui perhitungan AVONA dan Rasio S/N, shg faktor-faktor yang berpengaruh tersebut dapat diberikan perhatian khusus. Kekurangan Metode TaguchiPercobaan dilakukan dengan banyak faktor dan interaksi akan terjadi pembauran beberapa interaksi oleh faktor utama, akibatnya keakuratan hasil percobaan akan berkurang. Tahap-tahap dalam Desain Produk/proses Taguchi1. 1.System DesignTahap konseptual untuk memperoleh ide-ide baru dan mewujudkan dalam produk baru atau inovasi proses.1. 2.Parameter DesignTahap pembuatan prototipe matematis bedasarkan tahap sebelumnya melalui percobaan secara statistik. Tujuannya adalah mengidentifikasi setting parameter yang akan memberikan performansi rata-rata pada target dan menentukan pengaruh dari faktor gangguan pada variasi dari target.1. 3.Tolerance DesignPenentuan toleransi dari parameter yang berkaitan dengan kerugian pada masyarakat akibat penyimpangan produk. Karakteristik KualitasKarakteristik kualitas adalah hasil suatu proses yang berkaitan dengan kualitas.1. 1.Nominal is the bestKarakteristik kualitas yang menuju nilai target yang tepat pada suatu nilai tertentu.Berat panjang lebar kerapatanKetebalan diameter luas kecepatanVolume jarak tekanan waktu1. 2.Smaller the betterPencapaian karakteristik jika semakin kecil (mendekati nol) semakin baik.Penggunaan mesin persen kontaminasiPenyimpangan kebisinganWaktu proses produk gagalPemborosan kerusakan1. 3.Larger the betterPencapaian karakteristik kualitas semakin besar semakin baik.Kekuatan km/liter efisiensiWaktu antar kerusakan ketahanan thd korosi Orthogonal Array (OA)OA merupakan salah satu kelompok dari percobaan yang hanya menggunakan bagian dari kondisi total, dimana bagian ini mungkin separuh, seperempat atau seperdelapan dari percobaan faktorial penuh.Keuntungan OA adalah kemampuan untuk mengevaluasi berapa faktor dengan jumlah tes yang minimum. Jika terdapat 7 faktor dengan 2 level, maka jika menggunakan full factorial akan diperlukan 27buah percobaan. Dengan OA jumlah percobaan dapat dikurangi shg dapat mengurangi waktu dan biaya percobaan.Langkah-2 pelaksanaan percobaan Taguchi1. Penentuan karakteristik kualitas (variabel tak bebas)Variabel yang perubahannya tergantung pada variabel-variabel lain.Dalam percobaan Taguchi, variabel tak bebas adalah karakteristik kualitas yang terdiri dari tiga kategori :1. Measurable Characteristic(karakteristik yg dpt diukur)1).Nominal is the best2).Smaller the better3).Larger the betterb.Attribute CharacteristicHasil akhir yang diamati tdk dapat diukur dengan skala kontinu, tetapi dapat diklasifikasikan secara kelompok kecil, menengah, besar atau dpt dikelompokan berdasarkan berhasil (sukses) atau tidak.1. c.Dynamic CharacteristicMerupakan fungsi representasi dari proses yang diamati. Proses yang diamati digambarkan sebagai signal atau input dan output sebagai hasil dari signal.1. Identifikasi faktor-faktor (variabel bebas)Variabel yang perubahannya tidak tergantung pada variabel lain.Beberapa metode yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi faktor-faktor tersebut :1. a.BrainstormingDiskusi kelompok untuk memberikan gambaran tentang masalah yang dihadapi, setiap orang mengungkapkan faktor-faktor yang berpengaruh pada masalah yang dihadapi, dicatat kemudian dilakukan penyaringan/pemilihan berdasarkan urgensi masalah.b.FlowchartingMengidentifikasi faktor-faktor yang mungkin berpengaruh melalui flowchart proses pembuatan obyek yang diamati.1. c.Cause-effect diagramDiagramistikawadigunakan untuk mengidentifikasi penyebab faktor-faktor yang potensial.1. Pemisahan faktor kontrol dan faktor gangguanFaktor yang diamati terdiri atas faktor kontrol dan faktor gangguan.Faktor kontrol: faktor yg nilainya dapat diatur atau dikendalikan atau yg nilainya akan kita atur atau dikendalikan.Faktor gangguan (noise factor): faktor yg nilainya tidak bisa kita atur atau kendalikan.Faktor gangguan terdiri dari :1. External (outer) noise: semua gangguan dari kondisi lingkungan atau luar produksi.2. Internal (inner noise): semua gangguan dari dalam produksi sendiri.3. Unit to unit noise: perbedaan antara unit yang diproduksi dengan spesifikasi yang sama.1. Penentuan jumlah level dan nilai level faktorLevel faktor dapat dinyatakan secara kuantitatif seperti temperatur, kecepatan, waktu dll.1. Identifikasi interaksi faktor kontrolInteraksi muncul jika dua faktor atau lebih yang mengalami perlakuan secara bersama akan memberikan hasil yg berbeda.1. Perhitungan derajat kebebasan (degree of freedom)Dilakukan untuk menghitung jumlah minimum percobaan yang harus dilakukan untuk menyelidiki faktor-faktor yg diamati.Jika nAdan nBadalah jumlah perlakuan untuk faktor A dan faktor B maka :Dof untuk faktor A = nA 1Dof untuk faktor B = nB 1Dof unt interaksi faktor A dan B = (nA 1)( nB 1)Jumlah total dof = (nA 1)+( nB 1) +(nA 1)( nB 1)1. Pemilihan Orthogonal arrayDalam memilih jenis Orthogonal Array harus diperhatikan jumlah level faktor yang diamati yaitu :1. jika semua fator adalah 2 level : pilih OA untuk 2 level faktor.2. jika semua fator adalah 3 level : pilih OA untuk 3 level faktor.3. jika beberapa fator adalah 2 level dan lainnya 3 level : pilih yang mana yang dominan.4. jika terdapat campuran 2, 3, atau 4 level faktor : lakukan modifikasi OA dengan metode Merging coloumn.5. Penugasan untuk faktor dan interaksinya pada OA6. Persiapan dan pelaksanaan percobaan

Distribusi Frekuensi97 Komentar Posted by smartstat pada Maret 29, 2010 Hasil pengukuran yang kita peroleh disebut dengan data mentah. Besarnya hasil pengukuran yang kita peroleh biasanya bervariasi. Apabila kita perhatikan data mentah tersebut, sangatlah sulit bagi kita untuk menarik kesimpulan yang berarti. Untuk memperoleh gambaran yang baik mengenai data tersebut, data mentah tersebut perlu di olah terlebih dahulu.Pada saat kita dihadapkan pada sekumpulan data yang banyak, seringkali membantu untuk mengatur dan merangkum data tersebut dengan membuat tabel yang berisi daftar nilai data yang mungkin berbeda (baik secara individu atau berdasarkan pengelompokkan) bersama dengan frekuensi yang sesuai, yang mewakili berapa kali nilai-nilai tersebut terjadi. Daftar sebaran nilai data tersebut dinamakan dengan Daftar Frekuensi atau Sebaran Frekuensi (Distribusi Frekuensi).Dengan demikian, distribusi frekuensi adalah daftar nilai data (bisa nilai individual atau nilai data yang sudah dikelompokkan ke dalam selang interval tertentu) yang disertai dengan nilai frekuensi yang sesuai.Pengelompokkan data ke dalam beberapa kelas dimaksudkan agar ciri-ciri penting data tersebut dapat segera terlihat. Daftar frekuensi ini akan memberikan gambaran yang khas tentang bagaimana keragaman data. Sifat keragaman data sangat penting untuk diketahui, karena dalam pengujian-pengujian statistik selanjutnya kita harus selalu memperhatikan sifat dari keragaman data. Tanpa memperhatikan sifat keragaman data, penarikan suatu kesimpulan pada umumnya tidaklah sah.Sebagai contoh, perhatikan contoh data pada Tabel 1. Tabel tersebut adalah daftar nilai ujian Matakuliah Statistik dari 80 Mahasiswa (Sudjana, 19xx).Tabel 1. Daftar Nilai Ujian Matakuliah Statistik7949487481988780

8084907091938278

7071923856817473

6872855165938386

9035837374438688

9293767190726775

8091617297918881

7074999580597177

6360838260678963

7663887066887975

Sangatlah sulit untuk menarik suatu kesimpulan dari daftar data tersebut. Secara sepintas, kita belum bisa menentukan berapa nilai ujian terkecil atau terbesar. Demikian pula, kita belum bisa mengetahui dengan tepat, berapa nilai ujian yang paling banyak atau berapa banyak mahasiswa yang mendapatkan nilai tertentu. Dengan demikian, kita harus mengolah data tersebut terlebih dulu agar dapat memberikan gambaran atau keterangan yang lebih baik.Bandingkan dengan tabel yang sudah disusun dalam bentuk daftar frekuensi (Tabel 2a dan Tabel 2b). Tabel 2a merupakan daftar frekuensi dari data tunggal dan Tabel 2b merupakan daftar frekuensi yang disusun dari data yang sudah di kelompokkan pada kelas yang sesuai dengan selangnya. Kita bisa memperoleh beberapa informasi atau karakteristik dari data nilai ujian mahasiswa.Tabel 2a.NoNilai UjianFrekuensi

xifi

1351

2360

3370

4381

:::

16704

17713

::1

42981

43991

Total80

Pada Tabel 2a, kita bisa mengetahui bahwa ada 80 mahasiswa yang mengikuti ujian, nilai ujian terkecil adalah 35 dan tertinggi adalah 99. Nilai 70 merupakan nilai yang paling banyak diperoleh oleh mahasiswa, yaitu ada 4 orang, atau kita juga bisa mengatakan ada 4 mahasiswa yang memperoleh nilai 70, tidak ada satu pun mahasiswa yang mendapatkan nilai 36, atau hanya satu orang mahasiswa yang mendapatkan nilai 35.Tabel 2b.Kelas ke-Nilai Ujian Frekuensi fi

131 402

241 503

351 605

461 7013

571 8024

681 9021

791 10012

Jumlah80

Tabel 2b merupakan daftar frekuensi dari data yang sudah dikelompokkan. Daftar ini merupakan daftar frekuensi yang sering digunakan. Kita sering kali mengelompokkan data contoh ke dalam selang-selang tertentu agar memperoleh gambaran yang lebih baik mengenai karakteristik dari data. Dari daftar tersebut, kita bisa mengetahui bahwa mahasiswa yang mengikuti ujian ada 80, selang kelas nilai yang paling banyak diperoleh oleh mahasiswa adalah sekitar 71 sampai 80, yaitu ada 24 orang, dan seterusnya. Hanya saja perlu diingat bahwa dengan cara ini kita bisa kehilangan identitas dari data aslinya. Sebagai contoh, kita bisa mengetahui bahwa ada 2 orang yang mendapatkan nilai antara 31 sampai 40. Meskipun demikian, kita tidak akan tahu dengan persis, berapa nilai sebenarnya dari 2 orang mahasiswa tersebut, apakah 31 apakah 32 atau 36 dst.Ada beberapa istilah yang harus dipahami terlebih dahulu dalam menyusun daftar frekuensi.Tabel 3.Kelas ke-SelangNilai Ujian Batas KelasNilai Kelas(xi)Frekuensi(fi)

131 4030.5 40.535.52

241 5040.5 50.545.53

351 6050.5 60.555.55

461 7060.5 70.565.513

571 8070.5 80.575.524

681 9080.5 90.585.521

791 10090.5 100.595.512

Jumlah80

Range : Selisih antara nilai tertinggi dan terendah. Pada contoh ujian di atas, Range = 99 35 = 64Batas bawah kelas: Nilai terkecil yang berada pada setiap kelas. (Contoh: Pada Tabel 3 di atas, batas bawah kelasnya adalah 31, 41, 51, 61, , 91)Batas atas kelas: Nilai terbesar yang berada pada setiap kelas. (Contoh: Pada Tabel 3 di atas, batas bawah kelasnya adalah 40, 50, 60, , 100)Batas kelas (Class boundary): Nilai yang digunakan untuk memisahkan antar kelas, tapi tanpa adanya jarak antara batas atas kelas dengan batas bawah kelas berikutnya. Contoh: Pada kelas ke-1, batas kelas terkecilnya yaitu 30.5 dan terbesar 40.5. Pada kelas ke-2, batas kelasnya yaitu 40.5 dan 50.5. Nilai pada batas atas kelas ke-1 (40.5) sama dengan dan merupakan nilai batas bawah bagi kelas ke-2 (40.5). Batas kelas selalu dinyatakan dengan jumlah digit satu desimal lebih banyak daripada data pengamatan asalnya. Hal ini dilakukan untuk menjamin tidak ada nilai pengamatan yang jatuh tepat pada batas kelasnya, sehingga menghindarkan keraguan pada kelas mana data tersebut harus ditempatkan. Contoh: bila batas kelas di buat seperti ini:Kelas ke-1 : 30 40Kelas ke-2 : 40 50:dst.Apabila ada nilai ujian dengan angka 40, apakah harus ditempatkan pada kelas-1 ataukah kelas ke-2?Panjang/lebar kelas (selang kelas): Selisih antara dua nilai batas bawah kelas yang berurutan atau selisih antara dua nilai batas atas kelas yang berurutan atau selisih antara nilai terbesar dan terkecil batas kelas bagi kelas yang bersangkutan. Biasanya lebar kelas tersebut memiliki lebar yang sama. Contoh:lebar kelas = 41 31 = 10 (selisih antara 2 batas bawah kelas yang berurutan) ataulebar kelas = 50 40 = 10 (selisih antara 2 batas atas kelas yang berurutan) ataulebar kelas = 40.5 30.5 = 10. (selisih antara nilai terbesar dan terkecil batas kelas pada kelas ke-1)Nilai tengah kelas: Nilai kelas merupakan nilai tengah dari kelas yang bersangkutan yang diperoleh dengan formula berikut: (batas atas kelas+batas bawah kelas). Nilai ini yang dijadikan pewakil dari selang kelas tertentu untuk perhitungan analisis statistik selanjutnya. Contoh: Nilai kelas ke-1 adalah (31+40) = 35.5Banyak kelas: Sudah jelas! Pada tabel ada 7 kelas.Frekuensi kelas: Banyaknya kejadian (nilai) yang muncul pada selang kelas tertentu. Contoh, pada kelas ke-1, frekuensinya = 2. Nilai frekuensi = 2 karena pada selang antara 30.5 40.5, hanya ada 2 angka yang muncul, yaitu nilai ujian 31 dan 38.Teknik pembuatan Tabel Distribusi Frekuensi (TDF)Distribusi frekuensi dibuat dengan alasan berikut: kumpulan data yang besar dapat diringkas kita dapat memperoleh beberapa gambaran mengenai karakteristik data, dan merupakan dasar dalam pembuatan grafik penting (seperti histogram).Banyak software (teknologi komputasi ) yang bisa digunakan untuk membuat tabel distribusi frekuensi secara otomatis. Meskipun demikian, di sini tetap akan diuraikan mengenai prosedur dasar dalam membuat tabel distribusi frekuensi.Langkah-langkah dalam menyusun tabel distribusi frekuensi: Urutkan data, biasanya diurutkan dari nilai yang paling kecil Tujuannya agar range data diketahui dan mempermudah penghitungan frekuensi tiap kelas! Tentukan range (rentang atau jangkauan) Range = nilai maksimum nilai minimum Tentukan banyak kelas yang diinginkan. Jangan terlalu banyak/sedikit, berkisar antara 5 dan 20, tergantung dari banyak dan sebaran datanya. Aturan Sturges: Banyak kelas = 1 + 3.3 log n, dimana n = banyaknya data Tentukan panjang/lebar kelas interval (p) Panjang kelas (p) = [rentang]/[banyak kelas] Tentukan nilai ujung bawah kelas interval pertamaPada saat menyusun TDF, pastikan bahwa kelas tidak tumpang tindih sehingga setiap nilai-nilai pengamatan harus masuk tepat ke dalam satu kelas. Pastikan juga bahwa tidak akan ada data pengamatan yang tertinggal (tidak dapat dimasukkan ke dalam kelas tertentu). Cobalah untuk menggunakan lebar yang sama untuk semua kelas, meskipun kadang-kadang tidak mungkin untuk menghindari interval terbuka, seperti 91 (91 atau lebih). Mungkin juga ada kelas tertentu dengan frekuensi nol.Contoh:Kita gunakan prosedur di atas untuk menyusun tabel distribusi frekuensi nilai ujian mahasiswa (Tabel 1).Berikut adalah nilai ujian yang sudah diurutkan:

35 38 43 48 49 51 56 59 60 60 61 63 63 63 65 66 67 67 68 70 70 70 70 71 71 71 72 72 72 73 73 74 74 74 74 75 75 76 76 77 78 79 79 80 80 80 80 81 81 81 82 82 83 83 83 84 85 86 86 87 88 88 88 88 89 90 90 90 91 91 91 92 92 93 93 93 95 97 98 99

2. Range: [nilai tertinggi nilai terendah] = 99 35 = 64

3. Banyak Kelas: Tentukan banyak kelas yang diinginkan. Apabila kita lihat nilai Range = 64, mungkin banyak kelas sekitar 6 atau 7. Sebagai latihan, kita gunakan aturan Sturges. banyak kelas = 1 + 3.3 x log(n) = 1 + 3.3 x log(80) = 7.28 7

4. Panjang Kelas: Panjang Kelas = [range]/[banyak kelas] = 64/7 = 9.14 10 (untuk memudahkan dalam penyusunan TDF)

5. Tentukan nilai batas bawah kelas pada kelas pertama. Nilai ujian terkecil = 35 Penentuan nilai batas bawah kelas bebas saja, asalkan nilai terkecil masih masuk ke dalam kelas tersebut. Misalkan: apabila nilai batas bawah yang kita pilih adalah 26, maka interval kelas pertama: 26 35, nilai 35 tepat jatuh di batas atas kelas ke-1. Namun apabila kita pilih nilai batas bawah kelas 20 atau 25, jelas nilai terkecil, 35, tidak akan masuk ke dalam kelas tersebut. Namun untuk kemudahan dalam penyusunan dan pembacaan TDF, tentunya juga untuk keindahan, he2.. lebih baik kita memilih batas bawah 30 atau 31. Ok, saya tertarik dengan angka 31, sehingga batas bawahnya adalah 31.

Dari prosedur di atas, kita dapat info sebagai berikut: Banyak kelas : 7 Panjang kelas : 10 Batas bawah kelas : 31 Selanjutnya kita susun TDF: Form TDF: ------------------------------------------------------------ Kelas ke- | Nilai Ujian | Batas Kelas | Turus | Frekuensi ------------------------------------------------------------ 1 31 - 2 41 - 3 51 - : : - 6 81 - 7 91 - ------------------------------------------------------------ Jumlah ------------------------------------------------------------ Tabel berikut merupakan tabel yang sudah dilengkapiKelas ke-Nilai Ujian Batas KelasFrekuensi(fi)

131 4030.5 40.52

241 5040.5 50.53

351 6050.5 60.55

461 7060.5 70.513

571 8070.5 80.524

681 9080.5 90.521

791 10090.5 100.512

Jumlah80

atau dalam bentuk yang lebih ringkas:Kelas ke-Nilai Ujian Frekuensi(fi)

131 402

241 503

351 605

461 7013

571 8024

681 9021

791 10012

Jumlah80

Distribusi Frekuensi Relatif dan KumulatifVariasi penting dari distribusi frekuensi dasar adalah dengan menggunakan nilai frekuensi relatifnya, yang disusun dengan membagi frekuensi setiap kelas dengan total dari semua frekuensi (banyaknya data). Sebuah distribusi frekuensi relatif mencakup batas-batas kelas yang sama seperti TDF, tetapi frekuensi yang digunakan bukan frekuensi aktual melainkan frekuensi relatif. Frekuensi relatif kadang-kadang dinyatakan sebagai persen.Frekuensi relatif = Contoh: frekuensi relatif kelas ke-1:fi = 2; n = 80Frekuensi relatif = 2/80 x 100% = 2.5%Kelas ke-Nilai Ujian Frekuensi relatif (%)

131 402.50

241 503.75

351 606.25

461 7016.25

571 8030.00

681 9026.25

791 10015.00

Jumlah100.00

Distribusi Frekuensi kumulatifVariasi lain dari distribusi frekuensi standar adalah frekuensi kumulatif. Frekuensi kumulatif untuk suatu kelas adalah nilai frekuensi untuk kelas tersebut ditambah dengan jumlah frekuensi semua kelas sebelumnya.Perhatikan bahwa kolom frekuensi selain label headernya diganti dengan frekuensi kumulatif kurang dari, batas-batas kelas diganti dengan kurang dari ekspresi yang menggambarkan kisaran nilai-nilai baru.Nilai Ujian Frekuensi kumulatif kurang dari

kurang dari 30.50

kurang dari 40.52

kurang dari 50.55

kurang dari 60.510

kurang dari 70.523

kurang dari 80.547

kurang dari 90.568

kurang dari 100.580

atau kadang disusun dalam bentuk seperti ini:Nilai Ujian Frekuensi kumulatif kurang dari

kurang dari 412

kurang dari 515

kurang dari 6110

kurang dari 7123

kurang dari 8147

kurang dari 9168

kurang dari 10180

Variasi lain adalah Frekuensi kumulatif lebih dari. Prinsipnya hampir sama dengan prosedur di atas.HistogramHistogram adalah merupakan bagian dari grafik batang di mana skala horisontal mewakili nilai-nilai data kelas dan skala vertikal mewakili nilai frekuensinya. Tinggi batang sesuai dengan nilai frekuensinya, dan batang satu dengan lainnya saling berdempetan, tidak ada jarak/ gap diantara batang. Kita dapat membuat histogram setelah tabel distribusi frekuensi data pengamatan dibuat.

Poligon Frekuensi:Poligon Frekuensi menggunakan segmen garis yang terhubung ke titik yang terletak tepat di atas nilai-nilai titik tengah kelas. Ketinggian dari titik-titik sesuai dengan frekuensi kelas, dan segmen garis diperluas ke kanan dan kiri sehingga grafik dimulai dan berakhir pada sumbu horisontal.

OgiveOgive adalah grafik garis yang menggambarkan frekuensi kumulatif, seperti daftar distribusi frekuensi kumulatif. Perhatikan bahwa batas-batas kelas dihubungkan oleh segmen garis yang dimulai dari batas bawah kelas pertama dan berakhir pada batas atas dari kelas terakhir. Ogive berguna untuk menentukan jumlah nilai di bawah nilai tertentu. Sebagai contoh, pada gambar berikut menunjukkan bahwa 68 mahasiswa mendapatkan nilai kurang dari 90.5.