BAB 4
BAB 5. PENERAPAN TURUNANPada bab ini akan dibahas beberapa
penerapan turunan.A. Persamaan Garis Singgung
Bentuk umum persamaan garis adalah y = mx + n, dimana m adalah
koeffisien arah (kemiringan) atau gradien garis dan n adalah
penggal garis. Sekarang perhatikan Gambar 1. Gradien garis l1
adalah .
Jika x 0, maka : .
Jadi dapat disimpulkan bahwa kemiringan garis yang menyinggung
titik (x,y) pada f(x) adalah : .Jika garis tersebut menyinggung
kurva y = f(x) titik P(x1,y1) maka gradiennya adalah :
CACATAN1. Persamaan garis melewati titik dengan gradien m
adalah
2. Persamaan garis melewati titik adalah
Contoh 1:Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2
+ x -3 di titik P(2,3)
Penyelesaian : y = x2 + x -3
Gradien garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah
:
Persamaan garis : y = mx + c. Karena menyinggung titik P(2,3)
maka :
3 = 5(2) + c c = -7.
Jadi garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah: y = 5x
7Atau Persamaan garis melewati titik dengan gradien m = 5
adalah
mk atau y = 5x -7B. Persamaan garis normalGaris normal adalah
garis yang tegak lurus terhadap garis singgung. Dari pembahasan
terdahulu kita telah mengetahui bahwa dua garis dikatakan saling
tegak lurus jika perkalian kemiringan garisnya sama dengan -1; atau
dalam bentuk rumus dapat ditulis menjadi: m1.m2 = -1 atau ,dimana
m1 adalah kemiringan garis singgung dan m2 adalah kemiringan garis
normalnya.Contoh 2 :Tentukan persamaan garis singgung dan garis
normal di titik (1,6) pada kurva : y = 3x2 2x + 5
Penyelesaian:
; m1 = ; m2 =
Jadi : - Persamaan garis singgung :y1 = m1x1 + n1 y1 = 4x1 + 2 -
Persamaan garis singgung :y2 = m2x2 + n2 y2 = x1 +
Contoh 3 :
Jika diketahui persamaan parameter dan y = 3t2, tentukan
persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung pada t =
2.
Penyelesaian: Titik singgung untuk t = 2 adalah (-2,12)
; ;
;
Jadi persamaan : garis singgung : y = 12x + 36
garis normal : y = Contoh Soal:1. Tentukan persamaan garis
singgung dan garis normal dari kurva :
a) di titik
b) x2 xy2 + 3y2 = 13 di titik P(2,3)
2. Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik
singgung dari fungsi parameter :
SOAL LATIHAN1. Tentukan Persamaan garis singgung pada kurva y =
2x2 + 3 yang sejajar garis 8x y +3 = 02. Tentukan Persamaan garis
normal pada kurva y = 4 - x2 yang tegak lurus dengan garis 2x 4y =
03. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari
kurva:
xy2 - yx3 = 9 di titik P(1,4)
C NILAI EKSTREMMisal terdapat suatu hasil pengukuran seperti
yang ditunjukkan pada Gambar 2. Pengukuran tersebut dapat berupa
pengukuran temperatur, tekanan atau pertumbuhan suatu jenis bakteri
terhadap waktu atau pengukuran lainnya. Jika
kita perhatikan Gambar 2, harga pengukuran meningkat pada
[x0,x1], menurun pada [x1,x2] dan seterusnya hingga konstan pada
selang [x6,x7].Definisi :
Misal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x1 dan x2
adalah dua buah bilangan yang terletak pada selang I, maka : i)
fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1)
< f(x2) ii) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2
menghasilkan f(x1) > f(x2) iii) fungsi f konstan selang I jika
f(x1) = f(x2) untuk setiap harga x1 dan x2Sifat :Jika suatu f
kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f setidak-tidaknya
mempunyai satu nilai maksimum dan minimum [a,b].
Contoh 4 Jika diketahui f(x) = x2 + 5x + 6, tentukan nilai
ekstrim f untuk selang-selang berikut: a) [-2,0] b) (-3, 1)c)
[-3,-2)d) (-1,1]Penyelesaian :
Pada selang [-2,0]
Maksimum =f(0)=6
Minimum = f(-2) = 0
a) Pada selang (-3,1)
Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x=-3)
Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = 1)
c) Pada selang [-3,-2)
Maksimum =f(-3)=0
Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -2)
d) Pada selang (-1,1]
Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -1
Minimum = f(1) = 12
Nilai Ekstrim Lokal
Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila terdapat
suatu selang terbuka yang mengandung bilangan c sedemikian rupa
sehingga f mempunyai nilai terbesar (maksimum) atau terkecil
(minimum). Setiap harga f yang mempunyai harga maksimum atau
minimum disebut ekstrim lokal. Definisi :Jika c adalah bilangan
yang terletak dalam daerah definisi (domain) fungsi, maka :i) f(c)
adalah maksimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b)
yang mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x) f(c) untuk setiap x
pada (a,b).
ii) f(c) adalah minimum lokal f jika terdapat suatu selang
terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x) f(c)
untuk setiap x pada (a,b).
Beberapa Sifat : Misal c adalah bilangan yang terletak pada
selang terbuka (a,b). Suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim
lokal pada titik c jika f 1(c) = 0.
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b).
Suatu fungsi f dikatakan tidak mempunyai ekstrim lokal pada titik c
jika f 1(c) ada dan tidak sama dengan 0. Misal c adalah bilangan
yang terletak pada selang tertutup [a,b]. Suatu fungsi f dikatakan
mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f 1(c) = 0. Jika c
merupakan daerah definisi dan merupakan bilangan kritis f, maka
f(c) = 0. Nilai Ekstrim MutlakJika f(c) adalah nilai maksimum
mutlak dari fungsi f, maka kita dapat menyimpulkan bahwa titik (c,
f(c)) merupakan titik tertinggi pada garafik f. Sebaliknya f(c)
adalah minimum mutlak dari fungsi f, maka titik (c,f(c)) merupakan
titik terendah pada grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimum
sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f.Sifat: Misal
fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan ril S. Jika c
terletak pada S, maka :i) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f jika
f(x) f(c) untuk setiap nilai x yang terletak dalam S.
ii) f(c) adalah nilai minimum mutlak f jika f(x) f(c) untuk
setiap nilai x yang terletak dalam S.Langkah menentukan nilai-nilai
ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang tertutup [a,b] :1.
Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b)
2. Tentukan titik ujung
a) Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b] maka titik
ujungnya adalah a dan b.
b) Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b) maka f tidak
mempunyai titik ujung.
c) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka (a,b]
maka titik ujungnya adalah b.
d) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka [a,b)
maka titik ujungnya adalah a.3. Hitung nilai f(c) untuk setiap
bilangan kritis c yang didapat dari nomor 1 diatas.
4. Hitung harga f pada setiap titik ujung.
5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai
terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 3 dan 4
diatas.Langkah menentukan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu
pada selang terbuka (a,b) :1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada
selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai
terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 diatas.Langkah
menentukan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang
setengah terbuka [a,b) :1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada
selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Hitung nilai f(a)
4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai
terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3
diatas.Langkah menentukan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu
pada selang setengah terbuka (a,b] :1. Tentukan seluruh nilai
kritis f pada selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Hitung nilai f(b)
4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai
terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3
diatas.Contoh 6 :
Jika diketahui f(x) = 2x3 - 3x2 12x + 10, tentukan nilai
maksimum dan minimum f pada selang tertutup [-4,3]
Penyelesaian:Menentukan bilangan kritis (lihat teorema
5.4.7)
f(x) = 2x3 - 3x2 12x + 10
f (x) = 6x2 6x 12 = 0
6x2 6x 12 = 0 6(x2 x 2) = 0 6(x-2)(x+1) = 0
x1 = 2 ; x2 = -1
f(x1) = f(2) = 16 12 24 + 10 = -10
f(x2) = f(-1) = -2 3 + 12 + 10 = 17
Titik ujung : -4 dan 3
f(-4) = -64 48 + 48 + 10 = -54
f(3) = 54 27 -36 + 10 = 1
Jadi : f(2) adalah minimum lokal
f(-1) adalah maksimum lokal dan maksimum mutlak
f(-4) adalah minimum mutlak
Soal-soal1. Tentukan nilai-nilai ekstrim dari fungsi berikut ini
serta gambarkan grafiknya !
a) f(x) = ; [2,5]
c) f(x) = ; [-1,3)
b) f(x) = ; (-3,1]d) f(x) = ; (-2,2)2. Tentukan nilai-nilai
kritis dari fungsi-fungsi berikut ini !a) f(x) =
c) f(x) =
b) f(x) = 2x + 5
d) f(x) = D. Kecekungan dan kecembungan Definisi :Kurva f
dikatakan cembung ke bawah (cekung keatas) pada selang (a,b) jika
garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik pada
selang (a,b) selalu terletak pada bagian bawah kurva f. Sebaliknya
kurva f dikatakan cembung keatas (cekung kebawah) jika garis
singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik pada selang
(a,b) selalu terletak pada bagian atas kurva f.
Kurva f pada Gambar 6 cembung keatas pada selang (a,b) dan
cembung kebawah pada selang (b,c).
Definisi :Jika pada selang (a,b) terdapat sembarang bilangan ril
xo dan harga turunan kedua f pada x = xo atau f ||(xo) < 0 maka
kurva f pada selang tersebut cekung kebawah atau cembung keatas.
Jika pada selang (a,b) harga f || (xo) > 0, maka kurva f pada
selang tersebut cekung keatas atau cembung kebawah.Definisi :Misal
kurva f mempunyai persamaan y = f(x) dan kontinu di titik x = xo.
Jika f|| (xo) = 0 dan disekitar x = xo berlaku f|| (x)>0 untuk
xxo atau berlaku f||(x)xo, maka titik (xo,f(xo)) merupakan titik
belok dari kurva tersebut.Contoh 7: Tentukan daerah cembung keatas
dan cembung kebawah jika diketahui :f(x) = 6 5x + x2.
Penyelesaian :
f(x) = 6 5x + x2 ; f(x) = -5 + 2x ; f(x) = 2Karena f(x) > 0
untuk sembarang bilangan ril xo, maka kurva f cembung
kebawah.Contoh 8:Jika diketahui persamaan f(x) = 2+x+3x2-x3,
tentukan daerah pada kurva f yang merupakan daerah cembung kebawah,
daerah cembung keatas dan titik belok dari kurva yang dimaksud
!
Penyelesaian :
f(x) = 2+x+3x2-x3f(x) = 1 + 6x 3x2f(x) = 6 6x
Daerah cembung keatas : f(x) = 6 6x < 0 x>1
Daerah cembung kebawah : f(x) = 6 6x > 0 x