Pemodelan Program Linier

Pemodelan dan Formulasi

Oleh: Swaditya Rizki, M.Sc.

Aplikasi 1

Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk tipe A diperlukan 100 m2 dan dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp. 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp. 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah ….

Penyelesaian Misal;X = Jumlah rumah Tipe A yang akan dibangun (unit)Y = Jumlah rumah Tipe B yang akan dibangun (unit)

Objektif Maks = 6.000.000X + 4.000.000Y

Kendala:100X + 75Y ≤ 10.000 (luas Tanah)X + Y ≤ 125 (Banyak Unit)

Aplikasi 2

Luas daerah parkir 1.760 m2 digunakan untuk parkir mobil kecil dengan ukuran rata – rata 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum area parkir hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp. 1.000,00/jam dan mobil besar Rp. 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah ….

Penyelesaian Misal:X = Jumlah mobil kecil yang parkir (unit)Y = Jumlah mobil bus yang parkir (unit)

Objektif: Maks = 1000X + 2000YKendala:4X + 20Y ≤ 1760 (luas area)X + Y ≤ 200 (daya tampung)X,Y ≥ 0

Aplikasi 3

Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp. 9.200,00/kg dan pisang Rp. 7.000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah ….

Penyelesaian MisalM = Jumlah mangga yang dijual (buah)P = Jumlah pisang yang dijual (buah)

Objektif Maks = 1200M + 1000P

Kendala:8000M + 6000P ≤ 1.200.000 (modal)M + P ≤ 180 (Kapasitas)M, P ≥ 0

Aplikasi 4

Menjelang hari raya Idul Adha Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Lampung berturut – turut Rp. 9.000.000,00 dan Rp. 8.000.000,00. Modal yang ia miliki adalah Rp. 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Jakarta dengan harga berturut turut Rp. 10.300.000,00 dan Rp. 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan yang maksimum, maka banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli adalah ….

Penyelesaian Misal: S = Jumlah Sapi yang akan dijual (ekor)K = Jumlah Kerbau yang akan dijual (ekor)

Objektif maks = 1.300.000S + 1.200.000KKendala:o 9.000.000S + 8.000.000K ≤ 124.000.000 (modal)9S + 8K ≤ 124

o S + K ≤ 15 (daya tampung kandang)o S, K ≥ 0

Aplikasi 5

Nyonya Fetty menjalani program diet khusus, dalam diet tsb dia mensyaratkan bahwa setiap makanan yang harus dikonsumsinya adalah kue cokelat, es krim, dan keju. Setiap 100 gr kue cokelat harganya Rp.5000, setiap 100 gr es krim harganya Rp 2000 dan setiap 100 gr keju Rp 8000.

Setiap hari nyonya Fetty harus mengkonsumsi paling sedikit 500 kalori, 60 gr cokelat, 10 gr gula dan 8 gr lemak.

Informasi tentang kandungan nutrisi diberikan dalam tabel berikut KANDUNGAN

NUTRISI

SUMBERMAKANAN

KALORI(kal)

COKELAT(gr)

GULA(gr)

LEMAK(gr)

KUE COKELAT 400 30 20 20ES KRIM 200 20 20 40KEJU 500 0 40 50

Modelkanlah masalah ini agar biaya yang dikeluarkan nyonya Fetty minimum tetapi kandungan nutrisinya terpenuhi.

Penyelesaian Misal:X1 = Jumlah (gr) kue cokelat yang dikonsumsi Fetty perhari

X2 = Jumlah (gr) Es krim yang dikonsumsi Fetty perhari

X3 = Jumlah (gr) Keju yang dikonsumsi Fetty perhari

Objektif: Min = 50X1 + 20X2 + 80X3

Kendala:1. 400X1 + 200X2 + 500X3 ≥ 500

(Kalori)2. 30X1 +20X2 ≥ 60 (Cokelat)

20X1 + 20X2 + 40X3 ≥ 10 (Gula) 20X1 + 40X2 + 50X3 ≥ 8 (Lemak)

Peubah non negatif: X1 , X2 , X3 ≥ 0

Aplikasi 5

PT “AgroLand” berencana membuka 2 lahan yang dimilikinya masing-masing seluas 1000 Hektar untuk ditanami jagung dan tomat organik. Karena lahan-lahan tersebut berada pada lokasi yang berbeda, maka perlakuan pada tanaman dan hasil yang didapat juga berbeda

Informasi tentang biaya operasional pada masing-masing lahan sebagai berikut:

TEMPATONGKOS& HASIL

LAHAN 1 LAHAN 2

ONGKOS JAGUNG/Ha Rp 100.000

Rp 120.000

ONGKOS TOMAT / Ha Rp 90.000 Rp 80.000HASIL JAGUNG / Ha 1500 kg 1650 kgHASIL TOMAT / Ha 1400 kg 1350 kg

Lanjutan…Tiap minggu PT “AgroLand” mendapat pesanan 80 ton jagung dan 70 ton tomat. Modelkanlah masalah ini untuk meminimalkan biaya operasional tetapi kebutuhan pasar terpenuhi.

PenyelesaianMisal:J1 = Jumlah lahan 1 (Ha) yang ditanamai jagung.T1 = Jumlah lahan 1 (Ha) yang ditanamai tomat.J2 = Jumlah lahan 2 (Ha) yang ditanamai jagung.T2 = Jumlah lahan 2 (Ha) yang ditanamai tomat.

Objektif: Min = 100J1 + 120J2 + 90T1 + 80T2 (dalam Rp 1000)

KendalaKendala Pemesanan:

1500J1 + 1650J2 ≥ 80000 1400T1 + 1350T2 ≥ 70000

Kendala LahanJ1 + T1 ≤ 1000J2 + T2 ≤ 1000

Peubah non negatifJ1, J2, T1, T2 ≥ 0

Aplikasi 6

Pengusaha tapis lampung memproduksi 2 jenis motif tapis yaitu perahu gajah dan kaligrafi. Untuk memproduksi tapis-tapis tersebut diperlukan waktu untuk penyulaman dan finishing (merapihkan tapis yang telah disulam dari benang-benang yang belum rapi). Sebuah tapis perahu gajah membutuhkan waktu 5 jam untuk penyulaman dan 2 jam untuk finishing, sedangkan tapis kaligrafi membutuhkan waktu 5,5 jam untuk penyulaman dan 2 jam untuk finishing. Sebuah tapis perahu gajah dijual dengan harga Rp 225.000 dan membutuhkan ongkos pekerja sebesar Rp 35.000, sedangkan sebuah tapis kaligrafi dijual dengan harga Rp 275.000 dan membutuhkan ongkos pekerja Rp 36.000.

Tiap tapis perahu gajah memerlukan 1 meter kain tapis dan 3 gelondong benang emas, sedangkan tiap tapis kaligrafi 1,15 meter kain tapis dan 4,5 gelondong benang emas. Saat ini diperusahaan tersebut tersedia 100 meter kain tapis dan 250 gelondong benang emas, serta jam kerja yang tersedia adalah 450 jam untuk penyulaman dan 325 jam untuk finishing. Selain itu pengusaha tapis tersebut mendapatkan pesanan minimal sebanyak 40 buah tapis dengan persyaratan jumlah tapis kaligrafi tidak kurang dari 20 buah. Formulasikan masalah ini untuk memaksimalkan keuntungan.

Penyelesaian:Diketahui:

Tapis P.Gajah

Tapis Kaligrafi

Ketersediaan

Waktu penyulaman

5 jam 5,5 jam 450 jam

Waktu finishing

2 jam 2 jam 325 jam

Harga jual 225.000 275.000

Ongkos pekerja

35.000 36.000

Kain tapis 1 meter 1,15 meter 100 meter

Benang emas 3 gelondong 4,5 gelondong

250 gelondong

Pesanan ≥0 ≥ 20 ≥40

Misal:X = jumlah tapis perahu gajah yang diproduksi (buah/helai)

Y = jumlah tapis kaligrafi yang diproduksi (buah/helai)

Objektif Maks Z= (225.000-35.000)X + (275.000-36.000)Y

= 190.000X + 239.000Y

Kendala:1. Kendala waktu yang tersedia

- waktu penyulaman: 5X + 5,5Y ≤ 450- waktu finishing: 2X + 2Y ≤325

Kendala bahan yang tersediaKain: X + 1,15Y ≤ 100 (dalam

meter)Benang: 3X + 4,5Y ≤ 250 (dlm

gelondong) Kendala pemesanan

X + Y ≥ 40X+20 ≥ 40X ≥ 20X ≥ 0Y ≥ 20

Aplikasi 7

Sebuah perusahaan tekstil mempunyai 2 buah pabrik, 2 buah sumber pemasokan bahan mentah, dan 3 buah pasar yang menjual hasil produksi. Ongkos transportasi dari sumber bahan mentah ke parbik dan dari pabrik ke tempat pemasaran diberikan dalam tabel 1 dan 2 sbb: PabrikSumber

Pabrik A Pabrik B

Sumber 1 Rp 100.000/Ton Rp 150.000/Ton

Sumber 2 Rp 200.000/Ton Rp 150.000/Ton

10 ton tersedia dari sumber 1 dan 15 ton dari sumber 2. Tiga tempat pemasaran membutuhkan masing-masing 8, 14, dan 3 ton. Formulasikan masalah ini untuk meminimalkan ongkos pengangkutan

PasarPabrik

Pasar 1 Pasar 2 Pasar 3

Pabrik A Rp 400.000/ton

Rp 200.000/ton

Rp 100.000/ton

Pabrik B Rp 300.000/ton

Rp 400.000/ton

Rp 200.000/ton

Penyelesaian Misal:Xij = jumlah (ton) bahan mentah dari sumber i ke pabrik j.i = 1, 2.j = A, B

Yjk = jumlah (ton) hasil produksi yang diangkut dari pabrik j ke pasar k.j = A, B.k = 1, 2, 3.

Objektif Min Z = 100X1A + 150X1B + 200X2A + 150X2B +

400YA1 + 200YA2 + 100YA3 + 300YB1 + 400YB2 + 200YB3

(dalam ribu)

Kendala Kendala Bahan yang TersediaX1A + X1B ≤ 10 (dalam ton)X2A + X2B ≤ 15

Kendala PasarYA1 + YB1 ≥ 8 (dalam ton)YA2 + YB2 ≥ 14YA3 + YB3 ≥ 3

Kendala non negatif Xij, Yjk ≥ 0i= 1,2. j= A,B. K= 1,2,3

Many Thanks For Your Attention