PENGANTAR RANCANGAN PERCOBAANAsumsi-Asumsi yang Melandasi
Analisis Ragam (ANOVA)
Disusun Oleh:1. Zidni Askar Haroki1350905001110102. Ella Rizki
Yuliastuti1350905001110123. Aymang Ayu Indrawati1350905011110384.
Askin Nur Habibah1350905011110445. Reza Nugraha
Pratama1350905011110506. Nadia Faustina Quentin1350905071110087.
Allia Samson Saufit135090507111014
PROGRAM STUDI STATISTIKAJURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA
DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS
BRAWIJAYAMALANG2014ASUMSI-ASUMSI YANG MELANDASI ANALISIS RAGAM
(ANOVA)
1. Gambaran UmumAnalisis ragam pertama kali diperkenalkan oleh
R.A. Fisher. Tujuan semula adalah untuk memudahkan analisis dan
interpretasi data yang berasal dari penelitian-penelitian dalam
bidang pertanian dan biologi, baik melalui percobaan lapangan
maupun laboratorium. Saat ini, analisis ragam tidak hanya
dipergunakan dalam bidang pertanian dan biologi, tetapi juga dalam
bidang-bidang lain termasuk industri, sosial ekonomi, psikologi,
pendidikan dan lain-lain.Analisis ragam teknik statistika. Oleh
karena itu, persyaratan-persyaratan yang dikehendaki oleh teknik
tersebut harus terpenuhi agar pemakaiannya terhadap sesuatu gugus
data dapat dianggap sah. Sayangnya, meskipun misalnya kita mampu
mengendalikan percobaan yang kita lakukan, tetapi tidak mungkin
kita dapat sepenuhnya mengendalikan proses yang memungkinkan kita
memperoleh data tersebut. Misalnya, eskiun pemberian pupuk N
sebanyak 100 kg/ha dan pupuk P sebanyak 50 kg/ha masing-masing
dapat menaikkan hasil padi sebanyak 2,0 ton/ha dan 0,5 ton/ha.
Mungkin hasilnya lebih besar dari 2,5 ton atau justru lebih kecil,
hanya 1 ton/ha misalnya. Proses yang menyebabkan hasilnya lebih
besar atau kebih kecil dari 2,5 ton itulah yang tidak bisa kita
kendalikan. Oleh Karena itu, kita tidak akan mengatakan persyaratan
yang diminta untuk sahnya analisis ragam tetapi asumsi yang
dikehendaki agar hasil analisis ragam tersebut dapat
dipercaya.Asumsi-asumsi yang diperlukan untuk sahnya analisis ragam
atas suatu gugus data adalah sebagai berikut:a. Pengaruh perlakuan
dan lingkungan harus bersifat aditif (saling menambah)b. Galat
percobaan harus bebas sesamanya(kebebasan galat), yang artinya
bahwa peluang galat sesuatu pengamatan mempunyai nilai tertentu
harus tidak tergantung pada nilai-nilai galat pengamatan lainnyac.
Galat-galat percobaan harus mempunyai ragam umum, katakanlah
(kehomogenan ragam)d. Galat-galat percobaan haruslah tersebar
normal.Butir b, c dan d dapat diringkas dengan catatan : , yang
artinya galat percobaan , tersebar secara normal dan bebas satu
sama lain dengan nilai tengah 0 dan ragam .Tidak terpenuhinya satu
atau beberapa asumsi diatas dapat mempengaruhi taraf nyata dan
kepekaan dari uji F atau uji t (yitnosumarto,1993:168-169).
Sehingga dapat mempengaruhi ketidaksahnya keputusan yang didapat.
Penjelasan mengenai asumsinya akan dibahas dibawah ini secara
jelas.a. Uji KeaditifanPada kesempatan kali ini kami akan
menjelaskan bagaimana cara menggunakan uji Ketakaditifan. Uji
Ketakaditifan ini digunakan untuk memeriksa apakah data percobaan
memenuhi asumsi keaditifan (pengaruh aditif atau tidak). Uji ini
perlu dilakukan sebelum menganalisis ragam data. Sebagai contoh
pengujian terhadap asumsi keaditifan ini, digunakan data hasil
pengamatan berikut ini :
Sebagai langkah pertama hitung nilai simpangan perlakuan (di)
dan nilai simpangan kelompok (dj). Berikut ini perhitungan untuk
nilai simpangan perlakuan A :
Dengan cara yang sama hasil hitung nilai simpangan perlakuan
untuk B, C., D., dan E . yaitu berturut-turut -0,17, -0,02, 0,21
dan 0,34. Kemudian hitung nilai simpangan kelompok (dj). Untuk
nilai simpangan kelompok I (dI) dihitung dengan cara berikut ini :
Dengan cara yang sama hasil perhitungan nilai simpangan kelompok
untuk kelompok II dan III . yaitu berturut-turut -0,08 dan 0,15.
Dan hasil perhitungan selengkapnya dapat dilihat pada tabel berikut
ini :
Selanjutnya menghitung Nilai Q. Caranya perhatikan tabel di
bawah ini. Hitung sesuai dengan rumus yang ada di judul kolom tabel
tersebut.
Kemudian hitung analisis ragam terhadap data pengamatan. Dan
hasilnya adalah berikut ini :
Selanjutnya hitung Jumlah kuadrat (JK) Tak-aditif dengan cara
seperti berikut ini :
Dan hitung Kuadrat Tengah (KT) Tak-aditif = JK Tak-aditif / db
Tak-aditif = 0,1592 / 1 = 0,1592.Selanjutnya hitung Jumlah kuadrat
(JK) dan Kuadrat Tengah (KT) Pengujian (sisa) : JK Pengujian (sisa)
= JK Galat JK Tak-aditif = 0,4937 0,1592 = 0,3344 KT Pengujian
(sisa) = JK Pengujian (sisa) / db = 0,3345 / 7 = 0,0478 Dan anda
hitung F hitung = KT Tak-aditif / KT Pengujian (sisa) = 0,1592 /
0,0478 = 3,33. Masukkan semua hasil perhitungan tersebut ke dalam
tabel analisis ragam seperti berikut ini :
Perhatikan derajad bebas (db) Tak-aditif = 1 dan db Pengujian
(sisa) = 7. Bila dijumlahkan kedua db tersebut sama dengan db galat
= 8. Jadi kedua db tersebut merupakan penguraian dari db galatnya.
Seandainya db galat anda 12, maka db Tak-aditif = 1 dan db
Pengujian (sisa) = 11.Karena nilai F hitung untuk Tak-aditif = 3,33
lebih kecil dari nilai F tabel 5% dan 1%, maka dengan demikian
dapat disimpulkan data anda aditif dan layak untuk dianalisis
ragam. Seandainya hasil pengujian menunjukan tidak aditif (F hitung
lebih dari F tabel), maka anda harus mentransformasi data anda
dengan transformasi Logaritma.
Contoh Transformasi LogaritmaBeberapa buku ada yang menyebutnya
dengan transformasi Log X. Transformasi Logaritma digunakan apabila
data anda tidak memenuhi asumsi pengaruh aditif. Kalau X adalah
data asli anda, maka X (X aksen) adalah data hasil transformasi
anda dimana X = Log X. Jadi X = X. Ada beberapa hal yang perlu anda
perhatikan dalam penggunaan transformasi logaritma ini yaitu :
Apabila data asli anda menunjukkan sebaran nilai kurang dari 10
atau nilai mendekati nol, maka anda gunakan transfromasi log X + 1.
Apabila data anda banyak mengandung nilai nol, maka sebaiknya
gunakan transformasi yang lain, misalnya transformasi akar. Apabila
data anda banyak mendekati nol (misalnya bilangan desimal), maka
semua data dikalikan 10 sebelum dijadikan ke logaritma. Jadi X =
log (10X). Misalnya X = 0,12 setelah di taransformasikan X akan
menjadi X = log (10 x 0,12) = 0,079.
Sebagai contoh penggunaan transformasi logaritma ini,
menggunakan data hasil pengamatan dari percobaan pengendalian
Helicoverta armigera dengan penyemprotan isolat virus dan bakteri
pada tanaman kapas. Hasil percobaan berupa populasi H. armigera per
petak seperti pada tabel berikut ini :
Dan hasil analisis ragam data asli adalah berikut ini :
Hasil pengujian BNT5% terhadap data asli sebagai berikut :
Kemudian lakukan transformasi logaritma dengan rumus Log X.
Misalnya untuk data perlakuan Ha NPV-Asb kelompok I, X = 20, maka
hasil transformasinya adalah akar Log 20 = 1,30. Dan selanjutnya
hingga data pada perlakuan Kontrol kelompok IV. Berikut ini adalah
data hasil transformasi log X dari data asli :
Dan hasil analisis ragam dari data transformasi adalah berikut
ini :
Hasil pengujian BNT5% terhadap data transformasi sebagai berikut
:
Apabila kedua analisis ragam tersebut digabungkan, maka akan
tampak perbedaan hasil analisis dari kedua data tersebut seperti
berikut ini :
Perhatikan ternyata setelah data memenuhi asumsi analisis ragam,
terdapat peningkatan nilai F hitung dari 27,84 menjadi 40,11. Dan
apabila kedua hasil uji BNT5% digabungkan, maka akan tampak
perbedaan hasil analisis pengujian dari kedua data tersebut seperti
berikut ini :
Dari tabel di atas terlihat adanya perbedaan hasil pengujian
antara data asli dengan data transformasi dimana perlakuan Ha
NPV-Asb dan Ha NPV-Tub yang tadinya tidak berbeda nyata tetapi
setelah data memenuhi asumsi analisis ragam kedua perlakuan
tersebut berbeda nyata. Dalam hal ini tentu saja harus menggunakan
hasil BNT pada data transformasi karena hasil itulah yang
memberikan keadaan sesungguhnya dari percobaan.
b. Kebebasan Galat.Asumsi kebebasan galat ini biasanya bisa
terpenuhi apabila sudah melakukan pengacakan dengan prinsip-prinsip
perancangan percobaan terhadap satuan percobaan. Jadi apabila
susunan satuan percobaan tersusun secara sistematis, maka
kemungkinan asumsi kebebasan galat akan dilanggar.Galat adalah
kesalahan di dalam suatu percobaan. Setiap percobaan pasti ada
galat atau kesalahan. Tapi kesalahan yang seperti apa yang
dimaksud? Kesalahan di sini maksudnya adalah kesalahan yang
diakibatkan pengaruh acak dari percobaan. Kalau kesalahan itu
terjadi sebagai akibat pengaruh acak dari percobaan, dengan catatan
pengacakan perlakuan yang dilakukan sesuai dengan prosedur
statistik yang benar, maka kesalahan tersebut akan dibenarkan atau
diterima secara statistik dan kesalahan itu akan bergerak saling
bebas, artinya kesalahan dari suatu pengamatan tidak berkaitan atau
bergantung kepada yang lain. Tetapi apabila menempatkan satuan
percobaan secara sistematis artinya tidak ditempatkan secara acak,
maka akan menyebabkan tidak terpenuhinya asumsi kebebasan galat.
Kalau ini terjadi, maka data percobaan menjadi tidak layak untuk
dianalisis ragam. Karena dengan pengacakan yang tepat biasanya akan
menjamin kebebasna galat percobaan, maka cara yang paling mudah
untuk mendeteksi ketidakbebasan galat adalah dengan mengamati
penataan percobaan.Sebagai ilustrasi, berikut ini kami lampirkan
contoh pola yang sistematis dalam susunan perlakuan dari satu
ulangan ke ulangan lainnya :
Dari gambar tersebut terlihat penataan suatu rancangan
sistematis di mana beberapa pasangan perlakuan tertentu seperti A
dan B selalu bedekatan satu dengan lainnya dalam semua ulangan dan
pasangan B dan E selalu dipisahkan dengan dua petakan. Karena galat
percobaan petak yang berdekatan cenderung serupa daripada yang
lebih jauh, maka galat pada petak A dan B memungkinkan lebih
berhubungan dari pada antara petak perlakuan B dan E.Untuk menguji
asumsi kebebasan galat dari suatu percobaan dapat dilakukan dengan
melihat plot sebaran data.
c. Uji Homogenitas Ragam.Galat percobaan memiliki ragam yang
homogen.Misalnya dalam rancangan acak lengkap, komponen galat yang
berasal dari perlakuan harus menduga ragam populasi yang sama.
Kadang-kadang bila nilai tengah satu atau dua perlakuan lebih
tinggi dari yang lainnya, akan mengakibatkan keragaman galat yang
tidak homogen.Uji formal yang dapat digunakan untuk pengujian
kehomogenan ragam galat adalah dengan uji Bartlett.Misalkan sampel
berukuran n1,n2,,nk dengan data Yij = (I = 1,2,,k dan j = 1,2,,nk)
dan hasil pengamatan telah disusun seperti dalam Tabel dibawah ini.
selanjutnya sampel sampel dihitung variansnya masing-masing yaitu ,
, , .Untuk mempermudah perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan
uji bartlett lebih baik disusun dalam sebuah tabel sebagai berikut
:
Dari tabel diatas hitung nilai-nilai yang dibutuhkan : Varians
gabungan dari semua sampel
Harga satuan B dengan rumus :
Uji bartlett digunakan statistik chi-kuadrat yaitu :
Dengan ln 10 = 2.3026 Signifikasi :Jika maka Ho ditolakJika maka
Ho diterimaDimana Jika didapatkan dari tabel distribusi chi-kuadrat
denganpeluang (1-) dan dk = (k-1).Apabila tolak Ho maka dapat
dilakukan transformasi akar. Contoh Transformasi AkarBeberapa buku
ada yang menyebutnya dengan transformasi akar kuadrat. Transformasi
akar digunakan apabila data tidak memenuhi asumsi kehomogenen
ragam. Dengan kata lain transformasi akar berfungsi untuk membuat
ragam menjadi homogen. Sebagai contoh penggunaan transformasi akar
ini, digunakan data hasil pengamatan dari percobaan pengendalian
Helicoverta armigera dengan parasit Trichogrammatoide armigera pada
tanaman kapas. Hasil percobaan berupa populasi H. armigera pada
tanaman umur 90 hari seperti pada tabel berikut ini :
Dan hasil analisis ragam data asli adalah berikut ini :
Hasil pengujian BNT5% terhadap data asli sebagai berikut :
Kemudian lakukan transformasi akar dengan rumus akar X + 0,5.
Hal ini karena sebaran data tersebut kurang dari 10. Misalnya untuk
data perlakuan A kelompok I, X = 3, maka hasil transformasinya
adalah akar 3 + 0,5 = 3,5 = 1,87. Dan selanjutnya hingga data pada
perlakuan D kelompok IV. Berikut ini adalah data hasil transformasi
akar dari data asli :
Dan hasil analisis ragam dari data transformasi adalah berikut
ini :
Hasil pengujian BNT5% terhadap data transformasi sebagai berikut
:
Apabila kedua analisis ragam tersebut digabungkan, maka akan
tampak perbedaan hasil analisis dari kedua data tersebut seperti
berikut ini :
Perhatikan ternyata setelah data memenuhi asumsi analisis ragam,
terdapat peningkatan nilai F hitung dari 22,07 menjadi 27,52. Dan
apabila kedua hasil uji BNT5% digabungkan, maka akan tampak
perbedaan hasil analisis pengujian dari kedua data tersebut seperti
berikut ini :
Dari tabel di atas terlihat adanya perbedaan hasil pengujian
antara data asli dengan data transformasi dimana perlakuan A dan B
yang tadinya tidak berbeda nyata tetapi setelah data memenuhi
asumsi analisis ragam terlihat semua perlakuan berbeda nyata satu
sama lainnya. Dalam hal ini tentu saja anda harus menggunakan hasil
BNT pada data transformasi karena hasil itulah yang memberikan
keadaan sesungguhnya dari percobaan.
Tutorial minitab untuk homogenitas data1. Inpukan data ke cell
yang tersedia seperti gambar di bawah ini
2. Klik Stat > Basic Statistics > 2 variances
Pilih Samples in different columns pada kotak kolom Data, pada
kotak First pilih C1 dan C2 pada kotak Second. Klik OK3. Diperoleh
output sebagai berikut:
Jika menggunakan uji F, diketahui bahwa Pvalue (0,899) >
(0.05), maka terima Ho. Sehingga dapat disimpulkan bahwa ragam
semua perlakuan adalah sama.
d. Uji Normalitas.Maksud kenormalan di sini adalah data
percobaan harus menyebar secara normal. Artinya data yang tidak
menyebar secara normal tidak layak untuk dianalisis ragam. Secara
visual kenormalan galat dapat dilihat dari plot peluang normal.
Plot peluang normal ini dinamakan plot kuartil-kuartil (Plot Q-Q).
Prosedur pemerikasaan kenormalan data dapat menggunakan plot Q-Q.
Adapun uji formal yang dapat digunakan untuk menguji apakah suatu
data menyebar normal adalah uji Lilliefors. Data yang akan
diasumsikan berasal daricontoh acak berukuran n, yang fungsi
sebarannya, F(x), belum diketahui dengan nilai parameter Dalam uji
ini data disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar.Hipotesis
yang diuji :H0: Populasi contoh menyebar normal.H1: Populasi contoh
tidak menyebar normal.Langkah langkah adalah sebagai berikut :a.
Membuat tabel kerja dengan 7 kolom.b. Memasukan nilai atau skor
pada tabel kerja secara berurutan.c. Mencari nilai Z score, dengan
rumus : .d. Menentukan Nilai Z tabel {F(z)} dengan menggunakan
tabel Normal Baku dari O ke Z berdasarkan nilai Z score.e.
Menentukan S(z) dengan rumus f. Menghitung harga Lilliefors hitung
dengan rumus : Lh = |F(z) S(z)|g. Mencari nilai Lilliefors terbesar
sebagai Lhitung h. Menentukan harga Lillefors tabel (Lt ) dengan
rumus : (, n)i. Membuat kesimpulan : Jika harga Lh < Lt, maka
data berdistribusi normalJika harga Lh > harga Lt, maka data
tidak berdistribusi normal NOMORNILAI (X)f kumZ = (X - M)/SDF (Z)S
(Z)| F (Z) - S(Z) |
1......
......
......
JUMLAH.Lh = > Lt (0.05; ) = .. maka data berdistribusi .
MEAN.
SD.
Contoh soal :Tabel kerja dengan menggunakan uji liliefors
:ResponResidualZiF(Zi)S(Zi)|F(z)-S(z)|
23-24-241.3904E-1270.0833333330.083333
37-20.25-20.251.7762E-910.1666666670.166667
33-16.25-16.251.11682E-590.250.25
40-7-71.27981E-120.3333333330.333333
48-5.25-5.257.60496E-080.50.5
48-5.25-5.257.60496E-080.50.5
575.755.750.9999999960.5833333330.416666662
598.758.7510.6666666670.333333333
62101010.750.25
6815.7515.7510.8333333330.166666667
6916.7516.7510.9166666670.083333333
702121110
1. Hipotesis Ho : sampel berdistribusi normalH1 : sampel tidak
berdistribusi normal2. Alfa = 0.053.
PerhitunganLo=0.5L0,05;12=0.2424. KeputusanLo > Ltab : Tolak
H05. KesimpulanDengan taraf nyata sebesar 0.05 dapat dibuktikan
bahwa sampel diatas tidak memiliki distribusi normalTutorial
MinitabUntuk uji normalitas data, kita dapat menggunakan software
Minitab dengan menggunakan uji kolmogrov-smirnov. Berikut
tutorialnya dengan menggunakan Minitab :
1. Masukkan residual dari data yang ingin kita uji. Sebelumnya,
untuk mencari residual dari sebuah data, kita bisa menggunakan
menuStat-Anova-OneWay(apabila data yang kita peroleh RAL)-masukkan
variabel respon-pilih storage (pada kanan bawah)-centang
storage-pilih OK.
2. Setelah kita mengetahui nilai residualnya, baru kita lakukan
uji kolmogorov-smirnov dengan klik Stat-Basic Statistics-Normality
test-centang Kolmogorv smirnov
3. Hasil ouput adalah sebagai berikut :
Dari grafik diatas, diperoleh bahwa nilai KS(0.148) <
Pvalue(0.150). Maka Ho ditolak, sehingga dapat disimpulkan bahwa
sampel data tersebut tidak berdistribusi normal.
e. Transformasi Data yang bisa digunakan selain yang telah
dijelaskan sebelumnyaTransformasi Arcsin Beberapa buku ada yang
menyebutnya dengan transformasi Angular. Transformasi Arcsin
digunakan apabila data dinyatakan dalam bentuk persentase atau
proporsi. Umumnya data yang demikian mempunyai sebaran binomial.
Bentuk transformasi arcsin ini biasa disebut juga transformasi
kebalikan sinus atau transformasi arcus sinus. Ada beberapa hal
yang perlu anda perhatikan dalam penggunaan transformasi arcsin ini
yaitu : Apabila data asli anda menunjukkan sebaran nilai antara 30%
- 70%, tidak memerlukan transformasi. Apabila data asli anda
menunjukkan sebaran nilai antara 0% - 30% dan 70% - 100%, maka
lakukan transformasi arcsin. Apabila data anda banyak yang bernilai
nol, maka gunakan transformasi arcsin akar (% + 0,5). Sebagai
contoh penggunaan transformasi arcsin ini, kami gunakan data hasil
pengamatan dari percobaan lima macam fungisida A, B, C, D, dan E
untuk pengendalian cendawan Rhizoctinia pada tanaman kenaf.
Persentase serangan yang diamati seperti pada tabel berikut ini
:
Dan hasil analisis ragam data asli adalah berikut ini :
Hasil pengujian BNT5% terhadap data asli sebagai berikut :
Karena data menyebar antara 4% - 29%, maka data ditransformasi
ke arcsin %. Misalnya untuk data perlakuan A kelompok I, X = 4 atau
0,04, maka hasil transformasinya adalah arcsin 0,04 = 11,53. Dan
selanjutnya hingga data pada perlakuan El kelompok IV. Berikut ini
adalah data hasil transformasi akar dari data asli :
Dan hasil analisis ragam dari data transformasi adalah berikut
ini :
Hasil pengujian BNT5% terhadap data transformasi sebagai berikut
:
Apabila kedua analisis ragam tersebut digabungkan, maka akan
tampak perbedaan hasil analisis dari kedua data tersebut seperti
berikut ini : Perhatikan ternyata setelah data memenuhi asumsi
analisis ragam, terdapat peningkatan nilai F hitung dari 35,98
menjadi 55,94. Dan apabila kedua hasil uji BNT5% digabungkan, maka
akan tampak perbedaan hasil analisis pengujian dari kedua data
tersebut seperti berikut ini :
Dari tabel di atas terlihat adanya perbedaan hasil pengujian
antara data asli dengan data transformasi dimana perlakuan A dan B
yang tadinya tidak berbeda nyata tetapi setelah data memenuhi
asumsi analisis ragam kedua perlakuan tersebut berbeda nyata.
Begitu juga dengan perlakuan D da E. Dalam hal ini tentu saja harus
menggunakan hasil BNT pada data transformasi karena hasil itulah
yang memberikan keadaan sesungguhnya dari percobaan.
Lampiran-LampiranLampiran 1
Lampiran 2
Lampiran 3
Lampiran 4
Lampiran 5
Lampiran 6Pertanyaan dan jawaban dari sesi tanya jawab:1. Rizki
Nur Rahman Pertanyaan : apakah transformasi digunakan saat tolak
H0? Kenapa harus ditransformasi? Dan berikan contoh
transformasi!Jawaban : Ditransformasikan, karena agar data yang
digunakan tidak asal dan bersifat valid, agar analisis ragam dapat
dipercaya. Contohnya: transformasi logaritma, misalnya
X1=5,3>Log x+1=6,3
2. R Tri KurniawatiPertanyaan : mana yang benar H0: alfa=0 dan
H1: alfa0 atau berdasarkan presentasi?. Log x+1, log x dulu baru
ditambah 1 atau langsung logx+1Jawaban : untuk hipotesis awal
keduanya sama benarnya. Untuk logaritmanya langsung logx+1
3. M Yuyud AnizarPertanyaan : uji normalitas dibagi menjadi 7
kolom, kenapa?Jawaban : itu kesalahan dari kelompok kita,
seharusnya dibagi 5 kolom,
DAFTAR PUSTAKA
Yitnosumarto, Suntoyo. 1993. Percobaan perancangan, analisis,
dan interpretasinya. Gramedia Pustaka Utama:
Jakarta.http://abdulsyahid-forum.blogspot.com/2009/04/asumsi-asumsi-dasar-analisis-ragam.htmlhttp://abdulsyahid-forum.blogspot.com/2009/04/transformasi-data.htmlhttp://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/uji-normalitas-dan-homogenitas-ri.pdfhttp://mayanneliese.files.wordpress.com/2012/10/uji-homogenitas.pdfhttp://digensia.wordpress.com/2012/08/31/uji-levene/http://www.slideshare.net/DianCArisona/kebebasan-galathttp://eprints.uny.ac.id/1867/1/INA_ANTASARI_06305141007.pdf