Osobine raspodela verovatnoćehikom.grf.bg.ac.rs/stari-sajt/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/... · Normalna i log-normalna raspodela Gumbelova raspodela Pirson III i log-Pirson III

8.12.2014

1

Osobine raspodela verovatnoće

Momenti raspodele

momenti oko koordinatnog početka

momenti oko sredine

dxxfx rr )('

dxxfx rr )()(


Mere centralne tendencije

srednja vrednost

težište gustine raspodele:

iz uzorka:

medijana (Me)

mod (Mo) – maksimum gustine

dxxfx )('1

n

i

ixn

x

1

1

5.0)()()(

Me

Me

dxxfdxxfMeF

x

f x( )

Me x

f x( )

0.5 0.5

Mo

Mo

8.12.2014

2


Mere odstupanja od srednje vrednosti

disperzija (varijansa):

iz uzorka:

standardna devijacija:

koeficijent varijacije:

dxxfx )()( 222

n

i

i xxn

S

1

22 )(1

1

n

i

i xxn

S

1

2)(1

1

vC

x

Scv

x

malo σ

veliko σ

f(x)


Asimetrija raspodele

treći momenat:

koeficijent asimetrije:

iz uzorka:

dxxfx )()( 33

n

i

is xxSnn

nc

1

3

3)(

1

)2)(1(

3

3

sC

x

simetrična raspodela = 0Cs

srednja vrednost = medijana = mod

f x( )

pozitivnaasimetrija

> 0Cs

negativnaasimetrija

< 0Cs

x

Me

Mo

f x( )

8.12.2014

3


Kvantili

Kvantil = inverzna funkcija raspodele verovatnoće

Medijana = kvantil za p = 0.5

Kvartili

)(1 pFxp

0 x

F x( )

xp

p

1

)5.0(15.0

FxMe

)25.0(125.0

Fx

)75.0(175.0

Fx


Primer: Sava – Sremska Mitrovica

broj podataka

70

srednja vrednost

4194

standardna devijacija

769.6

koeficijent varijacije

0.183

koeficijent asimetrije

0.562

x sx sx

gustina raspodele fi* = ni*/Δx

8.12.2014

4

0.0140.043

0.200 0.200 0.214

0.071

0.157

0.043 0.0430.014

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 5600 6000 6400

x

rel. fre

kve

ncije

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

rel. frekv.

kumul. rel. frekv.


Primer: Sava – Sremska Mitrovica

relativne frekvencije ni*

broj podataka

70

srednja vrednost

4194

x0.25 3601

x0.5 = Me 4046

x0.75 4802

x0.25 Me = x0.5 x0.75

Statistička analiza hidroloških ekstrema

Cilj statističke analize:

pronaći raspodelu verovatnoće (“model”) koja dovoljno dobro opisuje vezu X-P u osmotrenom nizu podataka

uz pomoć odabrane raspodele, odrediti:

verovatnoću pojave zadatog ekstrema, P(X)

veličinu ekstrema zadate verovatnoće pojave, X(P)

veličina ekstrema X

verovatnoća pojave P

raspodela verovatnoće

8.12.2014

5

velike vode (maksimumi)

P{X ≤ x} = F(x) → obezbeđenost

P{X > x} = 1 – F(x) → rizik, neobezbeđenost

male vode (minimumi)

P{X ≤ x} = F(x) → rizik, neobezbeđenost

P{X > x} = 1 – F(x) → obezbeđenost

Način izražavanja veze X-P

vrednost slučajne promenljive

x

VEROVATNOĆA:

funkcija raspodele ili verovatnoća neprevazilaženja

F(x) = P{X x}

verovatnoća prevazilaženja

P{X > x} = 1 – F(x)

Povratni period

Definiše se kao recipročna vrednost verovatnoće kritičnog događaja

predstavlja način izražavanja verovatnoće kritičnog događaja

predstavlja prosečan broj godina između dva prevazilaženja vrednosti

izražava se u godinama

velike vode (maksimumi)

primer: T(200 m3/s) = 50 god. znači da će se protok od 200 m3/s prevazići jednom u 50 godina (odnosno sa verovatnoćom 1/50 = 0.02 = 2%)

male vode (minimumi)

primer: T(0.4 m3/s) = 20 god. znači da će se protok manji od 0.4 m3/s javiti jednom u 20 godina (odnosno sa verovatnoćom 1/20 = 0.05 = 5%)

)(1

1

}{

1)(

xFxXPxT

)(

1

}{

1)(

xFxXPxT

8.12.2014

6

Uslovi za statističku analizu

Uslovi koje hidrološki nizovi ekstrema moraju da ispune:

nezavisni podaci (slučajnost)

jednako raspoređeni, “istorodni” (homogenost)

Ispunjavanje uslova proverava se pomoću odgovarajućih statističkih testova

Smatra se da nizovi godišnjih ekstrema i pikova iznad praga u opštem slučaju ispunjavaju ove uslove

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1.1.1998. 1.1.1999. 1.1.2000. 31.12.2000.

Q (

m3/s

)

n 1 = 5

Z 2

Z 3

Z 1

Z 5

Z 4

=

x B

Z 6

Z

M

n 2 = 4 n 3 = 3 ... n N = 4

godina 1 godina 2 godina 3 godina N

Z = X - x B

X 1

X 2

X 3

X

N

godišnji maksimumi/minimumi prekoračenja preko praga (pikovi)

POSTUPAK statističke analize

PRILAGOĐAVANJE teorijskih raspodela osmotrenim podacima

formiranje EMPIRIJSKE RASPODELE >>>

proračun parametara TEORIJSKIH RASPODELA >>>

TESTIRANJE SAGLASNOSTI empirijske i teorijskih raspodela >>>

IZBOR najbolje raspodele >>>

F

x

F

x

osmotreni podaci – EMPIRIJSKA RASPODELA

prilagođavanje – TEORIJSKA RASPODELA

Fe(x) F (x)

8.12.2014

7

POSTUPAK statističke analize

PRORAČUN teorijske raspodele

VEROVATNOĆE za zadatu vrednost, F(x)

KVANTILA (vrednosti za zadatu verovatnoću), x(F)

F

x

proračun KVANTILA

F (x)

F

x

proračun VEROVATNOĆE

F (x)

x

Fx

xF

F

Empirijska raspodela

Proračun empirijske funkcije raspodele

potrebno oceniti funkciju raspodele F(x) tj. verovatnoću P{X x}

kumulativna relativna frekvencija:

xk – k-ti podatak u nizu uređenom u rastući redosled

primer (n = 51):

nizuu podataka broj

podataka broj}{ k

k

x

n

kxXP

k xk

1 2680

2 2996

3 3190

4 3310

5 3360

6 ...

098.051

5}3360{}{ 5 XPxXP

8.12.2014

8


Kumulativna relativna frekvencija kao empirijska raspodela

k xk k / n

1 x1 = xmin 1/40

2 x2 2/40

3 x3 3/40

4 x4 4/40

5 x5 5/40

...

38 x38 38/40

39 x39 39/40

40 x40 = xmax 40/40 = 1

n = 40

1}{ m ax n

nxXP

?

0}{1}{ maxmax xXPxXP

sigurno će X biti manje od xmax

tj. nemoguće da X bude veće od xmax


“Korekcija” kumulativne relativne frekvencije kao empirijska raspodela

k xk (k – 1) / n

1 x1 = xmin 0/40 = 0

2 x2 1/40

3 x3 2/40

4 x4 3/40

5 x5 4/40

...

38 x38 37/40

39 x39 38/40

40 x40 = xmax 39/40

n = 40

00

}{ m in n

xXP

?

1}{1}{ minmin xXPxXP

nemoguće je da X bude manje od xmin

tj. sigurno će X biti veće od xmin

8.12.2014

9


Kumulativna relativna frekvencija kao empirijska raspodela

x1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0 F x( )

x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

x

n

kxXP k }{

n

kxXP k

1}{

n = 10

“nešto između” = kompromisna verovatnoća


Kompromisna verovatnoća po Hejzenu kao empirijska raspodela

k xk (k – 0.5) / n

1 x1 = xmin 0.5/40

2 x2 1.5/40

3 x3 2.5/40

4 x4 3.5/40

5 x5 4.5/40

...

38 x38 37.5/40

39 x39 38.5/40

40 x40 = xmax 39.5/40

n = 40

0125.040

5.05.0}{ m in

nxXP

n

kxXP k

5.0}{

0125.0}{1}{

9875.040

5.391}{

m axm ax

m ax

xXPxXP

n

nxXP

8.12.2014

10


Kompromisna verovatnoća po Vejbulu kao empirijska raspodela

k xk k / (n + 1)

1 x1 = xmin 1/41

2 x2 2/41

3 x3 3/41

4 x4 4/41

5 x5 5/41

...

38 x38 38/41

39 x39 39/41

40 x40 = xmax 40/41

n = 40

0244.041

1

1

1}{ m in

nxXP

1}{

n

kxXP k

0244.0}{1}{

9756.041

40

1}{

m axm ax

m ax

xXPxXP

n

nxXP


Korekcija kumulativne relativne frekvencije: kompromisna verovatnoća

Autor Kompromisna verovatnoca

a Koristi se za

Weibull 0 sve raspodele

Hazen 0.5 sve raspodele

Blom 0.375 normalna i log-normalna

raspodela

Gringorten 0.44 Gumbelova raspodela

Cunnane 0.4 sve raspodele

Opšta formula

n

ixXP i

5.0}{

1}{

n

ixXP i

25.0

375.0}{

n

ixXP i

12.0

44.0}{

n

ixXP i

2.0

4.0}{

n

ixXP i

nazad >

an

aixXP i

21}{

8.12.2014

11

Teorijske raspodele verovatnoće u hidrologiji

Normalna i log-normalna raspodela

Gumbelova raspodela

Pirson III i log-Pirson III raspodela

Opšta raspodela ekstremnih vrednosti

nazad >

primer >

Normalna raspodela

Gustina raspodele:

Funkcija raspodele:

neintegrabilna funkcija

računa se na osnovu tablica standardne normalne raspodele

x

xxf ,

2

)(exp

2

1)(

2

2

x

f(x)

μ

F(x)

x

1

0

duu

xF

x

2

2

2

)(exp

2

1)(

0.5

μ

8.12.2014

12

Normalna raspodela

Parametri:

μ – srednja vrednost (μ = μ’1)

σ – standardna devijacija (σ2 = μ2)

Važna osobina: simetričnost (Cs = 0)

x

f(x)

μ

F(x)

x

1

0

0.5

μ μ – parametar

lokacije

σ – parametar razmere

σ1

σ2

σ1

σ2

Normalna raspodela

Standardna normalna raspodela = normalna raspodela sa parametrima μ = 0 i σ = 1

Standardizovana normalna promenljiva:

Funkcija raspodele: Φ(z) = FZ(z) = P{Z ≤ z}

XZ

Tablice standardne normalne raspodele

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

gustina raspodele

φ(z)

0

0.5

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

funkcija raspodele

Φ(z)

standardna normalna promenljiva z

Φ(z) z Φ(z) z

0.001 -3.09 0.999 3.09

0.002 -2.88 0.998 2.88

0.005 -2.58 0.995 2.58

0.01 -2.33 0.99 2.33

0.02 -2.05 0.98 2.05

0.05 -1.64 0.95 1.64

0.1 -1.28 0.9 1.28

0.2 -0.84 0.8 0.84

0.3 -0.52 0.7 0.52

0.4 -0.25 0.6 0.25

0.5 0 0.5 0

8.12.2014

13

Normalna raspodela

Standardna normalna raspodela

P{–1 < Z ≤ 1} = Φ(1) – Φ(–1) = 0.841 – 0.159 = 0.683

P{–2 < Z ≤ 2} = Φ(2) – Φ(–2) = 0.977 – 0.023 = 0.954

P{–3 < Z ≤ 3} = Φ(3) – Φ(–3) = 0.9987 – 0.0014 = 0.9973

68% 95% 99.7%

Normalna raspodela

Proračun normalne raspodele preko standardne normalne raspodele:

xxZP

xZPxXPxF }{}{)(

xxF )(

-3

3

-2

2

-1

0

1

2

2

3

3

z

x

φ(z), f(x)

XZ

8.12.2014

14

Normalna raspodela

Određivanje parametara na osnovu uzorka

Postupak proračuna

F = NORMSDIST(z) z = NORMSINV(F)

)()(TAB

xFzS

xxzx

x

Φ

xSzxxzzxF TAB

)()( Φ

xS

x

Log-normalna raspodela

Primena normalne raspodele na logaritmovane podatke

ako slučajna promenljiva Y = log X prati normalnu raspodelu, tada X prati log-normalnu raspodelu

parametri: srednja vrednost i standardna devijacija logaritmovanog niza

YY ,

F(y)

y = log x

1

0

0.5

μY

8.12.2014

15

Log-normalna raspodela


Postupak proračuna

F = NORMSDIST(z) z = NORMSINV(F)

yY

Y

S

y

)()()(logTAB

xFyFzS

yyzxyx XY

y

Φ

yyX xSzyyzzxF 10)()(

TAB Φ

Gumbelova raspodela

Gustina raspodele:

Funkcija raspodele:

Inverzna funkcija raspodele:

Drugi nazivi:

dvostruko eksponencijalna raspodela

raspodela ekstremnih vrednosti I tipa

x

uxuxxf ,expexp

1)(

uxxF expexp)(

)]lnln([)( FuFx

8.12.2014

16

Gumbelova raspodela

Parametri:

α – parametar razmere

u – parametar lokacije

Osobine:

srednja vrednost μ(u,α)

standardna devijacija σ(u,α)

koef. asimetrije Cs = 1.14

x

f(x)

u

α1

α2 > α1



6

5772.0u

Gumbelova raspodela

Standardna Gumbelova raspodela

Gumbelova raspodela sa parametrima u = 0, α = 1

Smena:

Funkcija raspodele:


yeeyF)(

)lnln()( FFyG

uXYG

Cs = 1.14

y

f(y)

0

8.12.2014

17

Gumbelova raspodela


Postupak proračuna

F = EXP(–EXP(–y)) y = –LN(–LN(F))

x

x

S

Sxu

78.0

45.0

)()( xFeyFux

yx Xe

Y

y

yuxFyyFxF YX )lnln()()(

Pirsonova raspodela III tipa

Troparametarska gama raspodela

Gustina raspodele:

Parametri:

– parametar oblika, b – parametar razmere, g – parametar lokacije

g

b

g

b bg

xex

xf x ,)(

1)( /)(

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

f(x

)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

f(x

)

= 1

= 2

= 4

b = 1

b = 2 b = 4

β = 1 γ = 0

α = 2 γ = 0

8.12.2014

18


Osobine:

momenti:

asimetrična

za Cs = 0 postaje normalna raspodela

troparametarska - lakše prilagođavanje

Proračun

Tablice faktora frekvencije KP(F, Cs)

/2sC

)()( FKFX P

bgb

2,, sC



Postupak proračuna

Csx > 0: F = GAMMADIST((x – γ)/β, α,1,TRUE) x = γ + β * GAMMAINV(F,α,1) Csx < 0: F = 1 – GAMMADIST((x – γ)/β, α,1,TRUE) x = γ + β * GAMMAINV(1 – F, α,1)

bg

b xcS

c

sxx

sx

,2

,42

)( za TAB

xFc

S

xxKx X

sx

x

P

xPPsx

X SKxxKc

xF za TAB

)(

KP – faktor

frekvencije

8.12.2014

19

Log-Pirson III raspodela


ako slučajna promenljiva Y = log X prati Pirson III raspodelu, tada X prati log-Pirson III raspodelu

primena Pirson III raspodele na logaritmovane podatke



Postupak proračuna

Csy > 0: F = GAMMADIST((y – γ)/β, α,1,TRUE) y = γ + β * GAMMAINV(F,α,1) Csy < 0: F = 1 – GAMMADIST((y – γ)/β, α,1,TRUE) y = γ + β * GAMMAINV(1 – F, α,1)

bg

b ycS

c

syy

sy

,2

,42

)()(log za TAB

xFyFc

S

yyKxyx XY

sy

y

P

yyPP

syX xSKyyK

cxF 10)(

za TAB

nazad >

8.12.2014

20


Drugi nazivi:

GEV raspodela (General Extreme Value distribution)

Dženkinsonova raspodela

Funkcija raspodele:

za k = 0, GEV raspodela se svodi na Gumbelovu:


uxxF expexp)(

0,1exp)(

/1

k

uxkxF

k

α

0],)ln(1[)( kFk

uFx kα


Parametri:

k – parametar oblika



osobine:

α = 1 u = 0

8.12.2014

21



Postupak proračuna

Γ(.) = EXP(GAMMALN(.)) F = EXP(–((1–ky)^(1/k))) y = 1–(–LN(F))^k

)]1(1[,)]1()21([ 2/12

kk

xukk

kSx

Γ

α

ΓΓα

])1[(exp)( /1 kkyxFux

yx

α

α yuxFyxF k)ln(1)(

k

Izbor teorijske raspodele

Izbor najbolje teorijske raspodele

na osnovu primenljivosti teorijske raspodele da li osobine teorijske raspodele

odgovaraju osobinama uzorka (npr. asimetrija)

na osnovu testova saglasnosti emirijske i teorijske raspodele

vizuelna provera na papiru verovatnoće

nazad >

8.12.2014

22

Testiranje saglasnosti

Saglasnost empirijske i teorijske raspodele

empirijska raspodela Fe(x)

teorijska raspodela Ft(x)

Test Kolmogorova-Smirnova

H0: raspodele su saglasne, Ha: raspodele nisu saglasne

kontrolna statistika Dmax = max |Ft(x) – Fe(x)|

kriterijum:

Dmax < Dkr → raspodele su saglasne

Dmax > Dkr → raspodele nisu saglasne

Dkr zavisi od dužine uzorka n i praga značajnosti α:

n α = 10% α = 5% α = 2% α = 1%

20 0.265 0.294 0.329 0.352

40 0.189 0.210 0.235 0.252

Testiranje saglasnosti

Test Kramer – fon Mizesa (ili nω2 test)

H0: raspodele su saglasne, Ha: raspodele nisu saglasne

kontrolna statistika

kriterijum:

nω2 < nω2kr → raspodele su saglasne

nω2 > nω2kr → raspodele nisu saglasne

nω2kr zavisi od praga značajnosti α:

n

i

ieit

n

i

it xFxFnn

ixF

nn

1

2

1

22 )()(

12

15.0)(

12

1ω

α = 10% α = 5% α = 2.5% α = 1%

nω2 0.348 0.462 0.581 0.744

nazad >

8.12.2014

23

Grafički prikaz funkcija raspodele

Dijagram F(x) u aritmetičkoj razmeri

Funkcije raspodele se prikazuju na dijagramima (papirima) verovatnoće

Na papirima verovatnoće zavisnost F(x) se linearizuje

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 200 400 600 800 1000

x

F(x

)

oblasti teškog očitavanja

verovatnoće

Dijagram normalne verovatnoće

Standardizovana normalna promenljiva Z i verovatnoća Φ(z) su u jednoznačnoj vezi

Linearna veza između standardizovane i originalne promenljive: X = μ+ σZ

Φ(z)

z

1

0

0.5

0

X

z 0

μ

x

z z

8.12.2014

24

Dijagram normalne verovatnoće - konstrukcija

F (z ) z F (z ) z

0.001 -3.090 0.5 0.000

0.002 -2.878 0.6 0.253

0.005 -2.576 0.7 0.524

0.01 -2.326 0.75 0.674

0.02 -2.054 0.8 0.842

0.025 -1.960 0.9 1.282

0.05 -1.645 0.95 1.645

0.1 -1.282 0.975 1.960

0.2 -0.842 0.98 2.054

0.25 -0.674 0.99 2.326

0.3 -0.524 0.995 2.576

0.4 -0.253 0.998 2.878

0.999 3.090

0.3 0.1 0.01 0.001 0.7 0.9 0.999

Funkcija raspodele F(x)

0.5

1. Linearna veza između standardizovane i originalne promenljive: X = μ + σ Z

2. Jednoznačna veza između standardizovane normalne promenljive i funkcije raspodele: Z – F(z)

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

Standardizovana normalna promenljiva z

Slu

;ajn

a pro

men

ljiv

a x

0.99

Φ(z)

z

1

0

0.5

0

Papir normalne verovatnoće

“Komercijalni” papir normalne verovatnoće

0.9

99

0.9

98

0.9

95

0.9

9

0.9

8

0.9

5

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

5

0.0

2

0.0

1

0.0

05

0.0

02

0.0

01

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

z

F = P {X ≤ x }

8.12.2014

25

Dijagram normalne verovatnoće

Ako se tačke empirijske raspodele na papiru normalne verovatnoće grupišu oko prave linije, tada se smatra da normalna raspodela dobro opisuje taj niz

Povratni period T (god)

0.99

9

0.99

8

0.99

5

0.99

0.98

0.950.

9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.05

0.02

0.01

0.00

5

0.00

2

0.00

1

2 5 10 20 50 100

200

500

1000

0

5

10

15

20

25

30

Funkcija raspodele F (x ) = P {X < x }

Q (

m3 /s

)


Normalna raspodela

Dijagram log-normalne verovatnoće

Dijagram normalne verovatnoće sa osom za X u logaritamskoj raspodeli

10

100

1000

10000

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Standardna normalna promenljiva z

Pro

tok

(m

3/s

)

osmotreni niz

LN raspodela

0.005 0.01 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.99 0.99

Funkcija raspodele F (x )

0.999

log x = y = σy· z + μy

8.12.2014

26

Standardizovana Gumbelova promenljiva y

Slu

čajn

a p

rom

enlj

iva

x

Funkcija raspodele ( )F x

Verovatnoća prevazilaženja { > } = 1 ( ) = 1/P X x F x T-

Povratni period (godina)T

0

200

400

600

800

1000

1200

-2

0.001

-1

0.01

0.99

0

0.1

0.9

0.3

0.7

0.5

0.5

2

1

0.7

0.3

2

0.9

0.1

10

3 4 5

0.99

0.01

100

0.95

0.05

20

0.98

0.02

50

6 7

0.999

0.001

1000

0.998

0.002

500

0.995

0.005

200Dijagram Gumbelove verovatnoće

1. Linearna veza između standardizovane i originalne promenljive: X = u + α YG

2. Jednoznačna veza između standardizovane promenljive i funkcije raspodele: YG = –ln(–ln F))

Dijagrami verovatnoće

Ocena podobnosti raspodele

na dijagramu normalne verovatnoće:

z

x

Cs > 0

Cs = 0

Cs < 0

8.12.2014

27

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1950 1960 1970 1980 1990 2000

Q (

m3/s

)

Primer Sava – Sremska Mitrovica

originalni niz X

logaritmovani niz Y = log X

broj podataka 51 51

srednja vrednost 4187 3.6147

standardna devijacija 781.3 0.07936

koeficijent varijacije 0.187 0.022

koeficijent asimetrije 0.623 0.196

Primer

Proračun parametara raspodela

Normalna raspodela:

Log-normalna raspodela:

Gumbelova raspodela:

X Y = log X

broj podataka 51 51



koeficijent asimetrije 0.623 0.196 /sm3.781

/sm4187

3

3

xS

x

07936.0

6147.3

yY

Y

S

y

/sm4.6093.78178.078.0

/sm38353.78145.0418745.0

3

3

x

x

S

Sxu

8.12.2014

28

Primer

Proračun parametara raspodela

Pirson III raspodela:

Log-Pirson III raspodela:

X Y = log X

broj podataka 51 51




/sm1678623.0

3.78124187

2

3.2432

623.03.781

2

31.10623.0

44

3

22

g

b

sx

x

sxx

sx

c

Sx

cS

c

804.2196.0

07936.026147.3

2

007771.02

196.007936.0

2

31.104196.0

4422

g

b

sy

y

syy

sy

c

Sy

cS

c

Primer

Proračun teorijskih raspodela

protok za F(x) = 0.95

Normalna raspodela:

Log-normalna raspodela:

/sm54723.781645.14187

645.1)95.0(95.0)(

3

XL TAB,

x

X

Szxx

zxF

/sm556210

74524.307936.0645.16147.3

645.1)95.0(95.0)(

3

XL TAB,

y

y

X

x

Szyy

zxF

8.12.2014

29

Primer



Gumbelova raspodela:

Pirson III raspodela:

/sm56454.609970.23835

970.2)95.0lnln()95.0(95.0)(

3

yux

yxFX

/sm55953.781802.14187

802.1)623.0,95.0(

819.1)7.0,95.0(,797.1)6.0,95.0(95.0)(

3

TAB

xP

sxP

sxPsxPX

Skxx

cFk

cFkcFkxF

/sm55953.243098.161678

098.1695.0)(

3

XL

bg

b

g

ux

ux

xFX 1)10.311,.95,GAMMAINV(0

Primer



Log-Pirson III raspodela:

/sm561710

74953.307936.0699.16147.3

699.1)196.0,95.0(

700.1)2.0,95.0(,673.1)1.0,95.0(95.0)(

3

TAB

y

yP

syP

syPsyPX

x

Skyy

cFk

cFkcFkxF

/sm561700777.066.1218041.2

66.12195.0)(

3

XL

bg

b

g

uy

uy

xFX 1)104.31,.95,GAMMAINV(0

8.12.2014

30

Primer

Sava – Sremska Mitrovica

Rezultati proračuna kvantila od 95%

Raspodela Protok sa F(x) = 0.95

(m3/s)

Normalna 5472

Log-normalna 5562

Gumbelova 5645

Pirson III 5595

Log-Pirson 3 5617

Primer


Saglasnost empirijske i teorijske raspodele – test Kolmogorova-Smirnova

Dmax

N LN G P3 LP3

0.088 0.072 0.072 0.065 0.067

Dkr

N α = 10% α = 5% α = 2% α = 1%

51 0.171 0.190 0.213 0.228

8.12.2014

31

Primer


izbor najbolje raspodele: kontrola osobina raspodela

originalni niz X

logaritmovani niz Y = log X

broj podataka 51 51



koeficijent varijacije 0.187 0.022


P3 LP3, možda LN

Primer


izbor najbolje raspodele: saglasnost empirijske i teorijske raspodele

Dmax

N LN G P3 LP3

0.088 0.072 0.072 0.065 0.067

najbolje slaganje

8.12.2014

32

Primer


izbor najbolje raspodele: vizuelna provera na papiru verovatnoće

0.9990.990.950.90.80.50.20.001 0.01 0.05 0.1

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

F(x)

x =

Q (

m3

/s)

N LN

G P3

LP3 emp

Osobine raspodela verovatnoćehikom.grf.bg.ac.rs/stari-sajt/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/... · Normalna i log-normalna raspodela Gumbelova raspodela Pirson III i log-Pirson III

Documents