Statistika Predavanje 7 Uzoracka Raspodela

Uzoraka raspodela

2012. Beograd Predavanje 7

STATISTIKA

Doc. Dr Slaana SpasiE-mail:[email protected]

Ass. Ana SimieviE-mail:[email protected]

2012. Beograd Predavanje 7 / 1

Na treem predavanju je bilo rei o deskriptivnim numerikim merama izraunatim za podatke uzorka. To su aritmetika sredina, medijana, modus i standardna devijacija koje se odnose na uzorak i nazivaju se statistikama uzorka .

Iste ove mere koje se odnose na osnovni skup nazivaju se parametrima osnovnog skupa .

Predmet razmatranja ovog predavanja jeste raspodela verovatno e statistike uzorka .

Podseanje

Definicija: Raspodela osnovnog skupa je raspodela verovatnoa sluajne promenljive X u osnovnom skupu.

Vrednosti parametra osnovnog skupa: aritmetike sredine i standarne devijacije uvek su konstantne. Ovo ne vai za uzorak, tj. aritmetika sredina uzorka i standardna devijacija uzorka se razlikuju od uzorka do uzorka.

Osnovni pojmovi


Raspodela osnovnog skupa

X

Dakle, aritmetika sredina uzorka je sluajna promenljiva.

Raspodela verovatnoa aritmetike sredine uzorka naziva se i

uzorakom raspodelom statistike . Ona predstavlja skup

parova razliitih vrednosti koje moe uzeti statistika i

odgovarajuih verovatnoa.


Uzoraka raspodela

X

X

X

Neka tabela prikazuje raspodelu frekvencija i relativnih frekvencija osnovnog skupa.


Ukupno = 1N =5

1/5 = 0,20195

2/5 = 0,40280

1/5 = 0,20178

1/5 = 0,20170

Relativna frekvencija

FrekvencijaX

X - broj poena svih 5 studenata koji sluaju kurs iz statistike.

Aritmetika sredina =80,60 poena

Standardna devijacija =8,09poena

Uzoraka raspodela

( )N

N

xfxf iiii

=

2'

2'

2

Posmatrajmo sve uzorke od po 3 studenta koje je mogue izabrati bez ponavljanja iz ovog osnovnog skupa od 5 studenata. Ukupan broj uzoraka je broj kombinacija tree klase od 5 elemenata.


Uzoraka raspodela

1012123

12345

)!35(!3

!535 =

=

=K81,6770,80,95

76,6770,80,80

81,0070,78,95

76,0070,78,80

76,0070,78,80

85,0080,80,95

84,3378,80,95

84,3378,80,95

79,3378,80,80

81,6770,80,95

Aritmetika sredina

Uzorci

Svi mogui uzorci od po 3 elementa i njhove aritmetike sredine su dati u tabeli.


Uzoraka raspodela

2/10 = 0,20281,67

1/10 = 0,10181,00

2/10 = 0,20284,33

Ukupno = 1f = 10

1/10 = 0,10185,00

1/10 = 0,10179,33

1/10 = 0,10176,67

2/10 = 0,20276,00

Relativna frekvencija

Frekvencija

Na kraju dobijamo uzoraku raspodelu statistike za uzorke od po 3 elementa

X

X

Definicija: Sluajna ili uzora ka greka je razlika izmeu vrednosti statistike uzorka i vrednosti parametra osnovnog skupa.

Pod pretpostavkom da je re o sluajnom uzorku, na primeru aritmetike sredine sledi da je


Sluajna (uzora ka) greka

= xSluajna ili uzoraka greka

Definicija: Nesluajne ili sistematske greke su one koje nastaju prilikom prikupljanja i beleenja podataka i prilikom njihovog unoenja u tabele.

Ove greke ne nastaju sluajnim putem ve je njihov uzronik ljudski faktor i mogu biti razliitog tipa. Na primer:

Ako uzorak nije sluajan, pa je nereprezentativan,

Ako su pitanja u anketi formulisana tako da su nejasna, pa odgovori nisu validni,

Ako ispitanici namerno daju netane informacije o osetljivim pitanjima,...


Neslu ajana (sistematska) greka

Aritmetika sredina i standardna devijacija koje su izraunate na osnovu uzorake raspodele promenljive nazivaju se aritmetika sredina i standardna devijacija statistike

Standardna devijacija statistike se naziva i standardnom grekom statistike


Aritmeti ka sredina i standardna devijacija statistike X

XX

XX

Aritmetika sredina i standardna greka statistike predstavljaju aritmetiku sredinu i standardnu devijaciju aritmetikih sredina svih moguih uzoraka iste veliine izabranih iz jednog osnovnog skupa. Oznaavaju se sa:


Aritmeti ka sredina i standardna devijacija statistike X

X

XX Aritmetika sredina i

Standardna greka statistike X

Aritmetika sredina statistike uvek je jednaka aritmetikoj sredini osnovnog skupa.


Aritmeti ka sredina statistike X

X

====XAritmetika sredina statistike naziva se i ocena aritmetike sredine osnovnog skupa.

Zbog gornje jednakosti je nepristrasna

ocena za .

XX

X

Standardna greka statistike predstavljena je sledeim izrazom

gde je standardna devijacija osnovnog skupa, a n obim uzorka. Ovo vai ako n / N < 0,05 gde je N veliina skupa.


Standardna devijacija statistike X

X

nX ====

Kao to se vidi standardna greka statistike nije jednaka standardnoj devijaciji osnovnog skupa .

X

1. Vai .

2. Standardna greka se smanjuje sa poveavanjem uzorka.


Osobine uzora ke raspodele

X

Ako se standardna greka statistike uzorka smanjuje sa poveanjem veliine uzorka, za takvu statistiku kaemo da je konzistentna ocena parametra .

Zbog druge osobine kae se da je standardna greka konzistentna ocena za parametar osnovnog skupa .

nX ====Obe osobine su oigledne iz

Prosena zarada po satu u preduzeu od 1000 zaposlenih je 250 din sa standardnom devijacijom od 31,25 din. Neka je prosena zarada po satu sluajnog uzorka zaposlenih izabranih iz tog preduzea. Izraunati aritmetiku sredinu i standardnu greku statistike za uzorak veliine:

a) 30 b) 40 c) 50.

Reenje:Podaci koje imamo o osnovnom skupu su N=1000, =250 din i =31,25 din.

a)

n=30, n/N = 30/1000 = 0,03 < 0,05 pa primenjujemo formulu

Aritmetika sredina i standardna greka aritmetikih sredina svih moguih uzoraka od 30 zaposlenih iznose 250 din i 5,7054 din.


Primer

X

X

din 250======== X

7054,530

25,31 ============nX


Primer

b) n=40, N=1000, =250 din, =31,25 din.

n/N = 40/1000 = 0,04 < 0,05 pa primenjujemo formulu

Aritmetika sredina i standardna greka aritmetikih sredina svih moguih uzoraka od 40 zaposlenih iznose 250 din i 4,9410 din.

c) n=50, N=1000, =250 din, =31,25 din.n/N = 50/1000 = 0,05 pa primenjujemo formulu

Aritmetika sredina i standardna greka aritmetikih sredina svih moguih uzoraka od 50 zaposlenih iznose 250din i 4,4194din.

Zakljuujemo da je u sva tri sliaja aritmetika sredina statistike uzorka uvek jednaka aritmetikoj sredini osnovnog skupa a da se standardna greka smanjuje sa poveanjem obima uzorka sa 30 na 50 i to sa 5,7054 din na 4,9410 din, a zatim na 4, 4194 din.

din 250======== X

9410,440

25,31 ============nX

din 250======== X

4194,450

25,31 ============nX


Oblik uzora ke raspodele statistike X

XRazmatraemo oblik uzorake raspodele uzorka u sledea dva sluaja:

1. Osnovni skup iz koga su izabrani uzorci ima normalnu raspodelu.

2. Osnovni skup iz koga su izabrani uzorci nema normalnu raspodelu.


Uzorci su iz osnovnog skupa sa normalnom raspodelom

Kada osnovni skup ima normalnu raspodelu N(, ) vai sledee:

1. Aritmetika sredina uzorka jednaka je aritmetikoj sredini osnovnog skupa tj.

2. Standardna greka statistike je jednaka

pod pretpostavkom da je n/N < 0,05.

Tada, oblik uzorake raspodele statistike je normalanbez obzira na veliinu uzorka n.

X

X

=X

nX =

Predavanje 7 / 18

Normalna raspodela osnovnog skupa

Uzoraka raspodela za n=5



X

X

X

Raspodela osnovnog skupa i uzora ke raspodele kada se pove ava obim uzorka n

Primer

X


Na maturskom ispitu u jednoj koli prosean rezultat bio je 75 poena. Pretpostavimo da rezultati svih kandidata imaju normalnu raspodelu sa aritmetikom sredinom 75 i standardnom devijacijom 10. Ako je prosean rezultat kandidata na zavrnom ispitu u izabranom sluajnom uzorku, izraunati aritmetiku sredinu i standardnu devijaciju statistike. Opisati oblik uzorake raspodele za uzorke veliine 16, 50, 1000.Reenje:

Na osnovu pretpostavke o normalnosti raspodele osnovnog skupa, sledi normalnost uzorake raspodele.

5,216

10 ,75 ,16 ======

nn

XX

Primer

Primer

31,01000

10,75,1000 ========================

nn XX


41,150

10 ,75 ,50 ======

nn

XX

Na osnovu rezultata vidimo da su bez obzira na veliinu uzorka, uzoraka raspodela je normalana ukoliko uzorak potie iz skupa sa normalnom raspodelom.

Primer


Uzorci su iz osnovnog skupa koji nema normalnu raspodelu

X

U najveem broju sluajeva osnovni skupovi iz kojih potiu uzorci nemaju normalnu raspodelu. Tada se oblik uzorake raspodele statistike odreuje na osnovu veoma vane teoreme koja se naziva centralna grani na teorema.

Ona nam govori da i kada osnovni skup nema normalnu raspodelu, oblik uzorake raspodele velikih uzoraka je priblino normalan. S poveanjem obima uzorka, uzoraka raspodela postaje sve blia normalnoj raspodeli. Ova teorema vai za uzorke od najmanje 30 podataka.


Centralna grani na teorema

Ako je obim uzorka n30, uzoraka raspodela za je priblino normalna, bez obzira na oblik raspodele osnovnog skupa. Vai sledee:

1. Aritmetika sredina uzorka jednaka je aritmetikoj sredini osnovnog skupa tj.

2. Standardna greka statistike je jednaka

pod pretpostavkom da je n/N < 0,05.

X

====XnX

=X

Raspodela osnovnog skupa i uzora ke raspodele kada se pove ava obim uzorka n

Predavanje 7 / 23



X

X


X

Raspodela osnovnog skupa

nije normalna


Primena uzora ke raspodele XPretpostavka je da teina svih pakovanja jedne vrste keksa ima normalnu raspodelu sa aritmetikom sredinom 320 g i standardnom devijacijom 5 g. Odrediti verovatnou da prosena teina u sluajnom uzorku od 20 pakovanja bude u intervalu izmeu 318 i 319 g.

Reenje: Iako je uzorak mali, uzoraka raspodela je normalna, jer je raspodela osnovnog skupa normalna. Vai:

X

?)319318( =


Primena uzora ke raspodele XSledi da je:

: 318 Za gx =

1492,00375,01867,0

)7889,1()8944,0(

)8944,0(-1,7889

)319318(

==

Hvalana panji !

Statistika Predavanje 7 Uzoracka Raspodela

Documents