O caráter vetorial da luz Impedância do vácuo - if.ufrj.brphsr/OPT_12/aula2.pdf · GGG Vetor de Poynting para ondas planas ... v BB B v += Óptica 2007 O caráter vetorial da luz

Óptica 2007O caráter vetorial da luz

Impedância do vácuo

Equações de onda e solução de onda plana:

22

2 2

1 UU

v t∂

∇ =∂

Onda plana ( ) ( )k.r

0r,i t

U t U eω−=

( ) ( )k.r k.ri t i te i e

tω ωω− −∂

= −∂

Derivada temporal

Derivada espacial

( ) ( )k.r k.ri t i t

xe ik ex

ω ω− −∂=

∂( ) ( )k.r k.ri t i t

e ik eω ω− −→ ∇ =

it

ω∂→−

∂ik∇→

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Impedância do vácuo

Equações de onda e solução de onda plana:

HE

tμ ∂

∇ × = −∂

EH

tε ∂∇ × = −∂

. 0E∇ = . 0H∇ =

k E Hμ ω× = k H Eεω× = − . 0k E = . 0k H =

H E v Ekεω ε= =

usando /v kω=

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Impedância do vácuo

Equações de onda e solução de onda plana:

H E v Ekεω ε= =

0 0

000 0

0 0

1cv

n n

n n nZ

ε ε εμ ε

εε μμ εε ε

= = =

= = =

0

nH E

Z= 0

00

Zμε

= → Impedância do vácuo

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Vetor de Poynting

Teorema de Poynting: Taxa de fluxo de energia S→

S E H= ×

Vetor de Poynting para ondas planas

( )0 cos .E E k r tω= − ( )0 cos .H H k r tω= −

( )20 0 cos .S E H k r tω= × −

Valor médio:

0 0

1ˆ

2k

S E H I I nk

= × = =

Irradiância: 2

0 0 00

12 2

nI E H E

Z= =

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarização linear

Ondas planas

( )0 exp .E E i k r tω= − ( )0 exp .H H i k r tω= −

0 0 constantesereaisE e H → Polarização linear

Polarização Campo elétrico

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarização linear

Polarizadores

Polarizadores por birrefringênciaDivisor de feixes

H

V

H

V

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarização linear

Polarizadores

Polarizadores por absorção ou dicroísmo

H

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarização linear

Polarizadores

Campo e intensidade transmitida

0 costE E θ= 20 costI I θ=

Luz não polarizada constantetI→ =

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarização parcial

pol

pol unpol

IP

I I= →

+ Grau de polarização

Intensidade

max min

max min

I IP

I I−

=+

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarização por espalhamento

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarização circular

0 cos( )xE E kz tω= −

0 sin( )yE E kz tω= −

Representação real

0ˆ ˆcos( ) sin( )E E kz t i kz t jω ω⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦

0ˆ ˆexp ( ) exp ( )

2E E i kz t i i kz t j

πω ω⎡ ⎤= − + − ±⎢ ⎥⎣ ⎦

Representação complexa

( )0ˆ ˆ exp ( )E E i i j i kz tω⎡ ⎤= ± −⎣ ⎦

Direita(-i)

Esquerda(+i)

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarização elíptica

0cos( )x xE E kz tω= −

0sin( )y yE E kz tω= −

0 0ˆ ˆcos( ) sin( )x yE E kz t i E kz t jω ω= − + −

Representação real

Representação complexa

0 exp ( )E E i kz tω= −

0 0x yE E≠

0 00ˆ ˆ

x yE iE i jE= +

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Placas de onda

Luz incidentenão polarizada

Polarizador linear

Eixo de transmissão a 450

Luz polarizadalinearmente

Placa de λ/4Eixo rápido – n2

Eixo lento – n1

E

Luz polarizadacircular à esquerda

1 2n d n dδ = −

Placa de λ/4Placa de atraso δ odem zero

Placa de λ/4 – δ= λ/4

( )0

1 24d

n nλ

=−

Placa de λ/2 – δ= λ/2

( )0

1 22d

n nλ

=−

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Matrizes de Jones

0 00ˆ ˆ

x yE iE i jE≠ +

Representação geral

com0 0,x yE E

complexos 0 0 0, yx ii

x x yE E e E e φφ=

Vetor de Jones

00

0 0

x

y

ixx

iy y

E eE

E E e

φ

φ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Alguns estados de polarizaçãoA -> amplitude do campo

10

A⎡ ⎤

→⎢ ⎥⎣ ⎦

Linear na direção x

01

A⎡ ⎤

→⎢ ⎥⎣ ⎦

Linear na direção y

11

A⎡ ⎤

→⎢ ⎥⎣ ⎦

Linear na direção +4501

Ai⎡ ⎤

→⎢ ⎥⎣ ⎦

Circular esquerda

1A

i⎡ ⎤

→⎢ ⎥−⎣ ⎦Circular direita

11

A⎡ ⎤

→⎢ ⎥⎣ ⎦

Linear na direção +450

Não normalizadas

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Matrizes de Jones

As matrizes representam dispositivos ópticos

Polarizadorlinear

Eixo de transmissão horizontal-x

Eixo de transmissão vertical-y

Eixo de transmissão a +/-450

1 00 0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦0 00 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦1 11

2 1 1±⎡ ⎤

⎢ ⎥±⎣ ⎦

Placa λ/4

Eixo rápido horizontal-x

Eixo rápido vertical-y

Eixo rápido a +/-450

1 00 i⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦1 00 i⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦11

2 1i

i±⎡ ⎤

⎢ ⎥±⎣ ⎦

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Matrizes de Jones

As matrizes representam dispositivos ópticos

Placa λ/2Eixo rápido na horizontal ou vertical

1 00 1⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

Polarizador circular

Direita

Esquerda

112 1

ii

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

112 1

ii

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Placa de faseisotrópica de fase(φ) 0

0

i

i

e

e

φ

φ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Placa de fasegeral

0

0

x

y

i

i

e

e

φ

φ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Matrizes de Jones

Algumas operações

Superposição coerente de campos com polarizações diferentes

1 1 1 1 2 12

0 0i i i i+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Superposição de circular adireita e circular a esquerda

Propagação através de um dispositivo óptico

''

a b A Ac d B B⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Propagação através de vários dispositivos ópticos

2 2 1 1

2 2 1 1

'...

'n n

n n

a b a b a b A Ac d c d c d B B⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Matrizes de Jones

Algumas operações

Exemplo: Polarização linear a 450 incidente em uma placa deλ/4 e saindo polarizada circular a esquerda

1 0 1 10 1i i⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Observações:1 - Válido para ondas planas2 – Não há representação para luz não polarizada

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Polarizações ortogonais

Definição:1 2 0E E∗⋅ =

Em termos dos vetores de Jones 1 2

1 2

,A A

B B⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 2 1 2 0A A B B∗ ∗→ + =

Exemplos:

1 00 1

e⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1e

i i⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 12

ei i⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

linear

circular

elíptica

Obs: Permite expansão em qualquer base

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Autovetores de uma matriz de Jones

Definição:a b A Ac d B B

λ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Interpretação: Os autovetores correspondem aos estados de polarização que não são alterados pelo dispositivo.

Exemplo: placa de λ/4

1 00 i⎡ ⎤

→⎢ ⎥⎣ ⎦

Auto-vetores e auto-valores

1com 1

0λ⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦

0com

1iλ⎡ ⎤

=⎢ ⎥⎣ ⎦

Para pol. linear x ou y, não há atenuação, mas há uma fase relativa.

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Reflexão e refração em uma

interface plana

exp ( )i k r tω⋅ −

exp ( ´ )i k r tω⋅ −

exp ( " )i k r tω⋅ −

Onda incidente

Onda refletida

Onda refratada

Condição de contorno: ´ "k r k r k r⋅ = ⋅ = ⋅ na interface

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Reflexão e refração em uma

superfície plana

´ ´ "k sen k sen k senθ θ φ= =

´k k= → mesmo meio

´θ θ= → lei da reflexão

2 2

1 1

" / " / "/ /

n nk v c v senk v c v n sen n

ω θω φ

= = = → =

lei de Snell

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Condições de contorno

2 12 1 12ˆˆ ˆS

V

S v n S v nv ndS

v dV v v hV S

⋅ = =

∇ ⋅ =

Δ ⋅ − Δ ⋅

∇Δ = ⋅∇ ⋅ Δ

∫

∫

( ) ( )12 2 10lim ˆh

h v n v v→

∇ ⋅ = ⋅ −

2 1ˆ ˆ

ˆˆ

v t l v t l

v N l h

v dl

v N d

Γ

ΔΣ

⋅ Δ − ⋅⋅ = =

∇

Δ

∇× ⋅ Δ× ⋅ Σ =

∫

∫

( ) ( )12 2 10lim ˆh

h v n v v→

∇× = × −

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Condições de contorno

( ) ( )12 2 10lim ˆh

h v n v v→

∇ ⋅ = ⋅ − ( ) ( )12 2 10lim ˆh

h v n v v→

∇× = × −

( )0 0

lim limh h

hB

Et

h→ →

∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝

× −∂ ⎠

∇

( )0 00

lim limh h

DB h

th μ

→ →

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝

∂∇

∂ ⎠×( ) ( )

0 0lim li. 0mh h

Dh h→ →

=∇

( ) ( )0 0

lim li. 0mh h

Bh h→ →

=∇

( )12 2 1ˆ 0n E E× − = ( )12 2 1ˆ 0n B B⋅ − =

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Fórmula de Fresnel

1 1 1cosˆ ˆ ˆu sen x yθ θ= −

1 1 1´ cosˆ ˆ ˆu sen x yθ θ= +

2 2 2cosˆ ˆ ˆu sen x yθ θ= −

1 1 0 1exp ( ) exp ( )ˆi i n k u rϕ = ⋅

1 1 0 1exp ( ´ ) exp ( ´ )ˆi i n k u rϕ = ⋅

2 2 0 2exp ( ) exp ( )ˆi i n k u rϕ = ⋅

1 1 0 1 1exp ( ) exp ( cos )i in k x sen yϕ θ θ= −

1 1 0 1 1exp ( ´ ) exp ( cos )i in k x sen yϕ θ θ= +

2 2 0 2 2exp ( ) exp ( cos )i in k x sen yϕ θ θ= −

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Fórmula de Fresnel

( ) ( )( )

1 1 1

1

´1 1 1 1 1

´1

1

11

cosˆ´ ˆ ˆ

cos ˆ´ ˆ

i i i

i

E A e e z B e x sen y

e

A

B x sen y

ϕ ϕ ϕ

ϕ

θ θ

θ θ

= + + + +

− +

( )1 12 2 2 2 2cosˆ ˆ ˆi iE A e z B e x sen yϕ ϕ θ θ= + +

( ){ }1 1 1 1´ ´1 1 1 1 11

11

1´ˆ ˆ ˆ´ ´ˆ ˆi i i iB A e u z e u z B e e z

vA Bϕ ϕ ϕ ϕ= × + × + +

1ˆB u E

v= ×

( )2 22 2 2 2

2

1ˆ ˆ ˆi iB A e u z B e z

vϕ ϕ= × +

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Fórmula de Fresnel

12 ˆn y= − 1 0 2 0| |ˆ ˆy yy E y E= =× = ×

1 0 2 0| |ˆ ˆy yy B y B= =× = ×

Aplicação das condições de contorno

1 1 2´0 0 0| | |i i i

y y ye e eϕ ϕ ϕ= = == =

Usando

1 1 0 1 1exp ( ) exp ( cos )i in k x sen yϕ θ θ= −

1 1 0 1 1exp ( ´ ) exp ( cos )i in k x sen yϕ θ θ= +

2 2 0 2 2exp ( ) exp ( cos )i in k x sen yϕ θ θ= −

1 1 2 2n sen n senθ θ=

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Fórmula de Fresnel

1 1 2´A A A+ =

Chega-se a

( )1 1 1 2 2´ cos cosB B Bθ θ− =

1 1 1cosˆ ˆ ˆ ˆu z x sen yθ θ× = − −

1 1 1´ cosˆ ˆ ˆ ˆu z x sen yθ θ× = + −

2 2 2cosˆ ˆ ˆ ˆu z x sen yθ θ× = − −

( )1 1 21 2

1 1´B B B

v v+ =

( )1 1 1 2 21 2

1 1´ cos cosA A A

v vθ θ− =

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Fórmula de Fresnel

Amplitudes de reflexão1

1

AR

A⊥ ≡1

//1

BR

B≡

2

1

AT

A⊥ ≡ 2//

1

BT

B≡ Amplitudes de transmissão

Resolver os sistemas

1 1 2´A A A+ =

1 21 1 2

2 1

cos´

cosv

A A Av

θθ

− = 21 1 2

1

cos´

cosB B B

θθ

− =

11 1 2

2

´v

B B Bv

+ =

Óptica 2007O caráter vetorial da luz - Fórmula de Fresnel

( )( )

1 2

1 2

senR

senθ θθ θ⊥

−= −

+( )( )

1 2//

1 2

tgR

tgθ θθ θ

−=

+

Para incidência normal1 2 0θ θ= =

//

11

nR R

n ⊥

−= = −

+