Espaço Vetorial

Summary

Espacos Vetoriais

Hector L. Carrion

ECT-UFRN

fevereiro, 2012

Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

Dependencia LinearBase de um E. V.

Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

Referencias

Summary1 Definicao de E. V.2 Subespaco3 Dependencia Linear4 Base e Dimensao5 Produto interno6 Espaco Vetorial Euclidiano7 Ortonormalidade

Ortonormalidadeprocesso de ortonormalizacao

8 Mudanca de Bases9 Matrizes ortogonais10 Autovalores e autovetores11 Diagonalizacao

Diagonalizacao ortogonal12 Referencias Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN





Referencias

definicao

Um espaco vetorial e uma estrutura (E ,+, .) formada por um conjuntoE ,cujos elementos sao chamados vetores, no qual estao definidos duasoperacoesA adicao(+) eA multiplicacao por um escalar (.).- A adicao, que a cada par de vetores u, v E faz corresponder um novoelemento z = u + v , E , chamado a soma de u e v ,- A multiplicacao por um escalar, que a cada numero(escalar) a e acada vetor v E faz corresponder um vetor av , chamado o produto dea por v






Referencias

axiomas

A1 comutatividade: u + v = v + u;

A2 associatividade: ( u + v) + w = u + ( v + w), e (a. b).v =a.(b.v);

A3 vetor nulo: existe um vetor 0 E , chamado vetor nulo, ou vetorzero, /v + 0 = 0 + v = v , v E ;A4 inverso aditivo: para cada vetor v E existe um vetor v E ,chamado o inverso aditivo, ou o simetrico de v , tal quev + v = v + (v) = 0;A5 distributividade: (a+ b).v = a.v + b.v , e a.(u + v) = a.u+ a.v ;

A6 multiplicacao por 1: 1.v = v .






Referencias

Exemplo 1 Seja 3 o espaco vetorial euclideano 3-dimensional. Umelemento de 3 e o vetor u = (u1, u2, u3), outro elemento pode ser ovetor w = (w1,w2,w3). Os numeros u1, u2, u3 sao chamados decoordenadas do vetor u (ou componentes). Com as duas operacoesdefinidas no espaco vetorial3

u + w = (u1 + w1, u2 + w2, u3 + w3)

v = (v1, v2, v3),

mostre que o espaco 3 e um espaco vetorial.Exemplo 2 Seja Pn o conjunto dos polinomios de grau menor ou igual an. Pn = {a0+ a1x + a2x2+ ..+ an1xn1+ anxn; ai } O conjunto Pnjunto com as operacoes usuais de adicao de polinomios e multiplicacaopor um escalar, e um espaco vetorial. Analise o casso particular P2






Referencias

exercicios

1 Seja Mnm() o conjunto de todas as matrizes de ordem n m. SeA = [aij ],B = [bij ],A,B M, mostre que ele se torna um espacovetorial quando nele se define as seguinte operacoes

A+ B = [aij + bij ],A = [aij ].

2 Demonstre que o inverso aditivo u de u e unico.3 Seja V o primeiro quadrante do plano xy,

V = {[

xy

]

, x 0, y 0}.a) se u V ,w V , u + w V ?.b) w V ? para qualquer real ? V e espaco vetorial?.






Referencias

exercicios

Demonstre usando os axiomas do espaco vetorial V , que0u = 0, u V , 0 e o escalar zero, 0 e o vetor nulo do espacovetorial.

Quaisquer que sejam v ,w E , existe um unico u E tal quev + u = w (dica: utilize a propriedade 3, da nota de aula).

Verifique se o conjunto de pares ordenados (x,y) do plano R2(+, ),com as seguintes operacoes(x , y) + (x , y ) = (x + x , y + y ), k (x , y) = (k2x , k2y), e umespaco vetorial.

Verifique se o conjunto de matrizes da forma

(

a 00 b

)

munido das

operacoes usuais de soma de matrizes e multiplicacao de matrizespor um escalar, e um espaco vetorial. a, b .






Referencias

exercicios..

seja C o espaco dos numeros complexos. Um elemento deste espacoe z tal que z = a+ bi ; z C , a, b . a e a parte real de z , e b ea parte imaginaria de z ,i2 = 1. Entao considerando as seguintesoperacoes

z1 + z2 = (a1 + b1) + i(a2 + b2)z1 = a1 + b1i

mostre que o espaco dos numeros complexos C forma um espacovetorial.Em 2 mantenhamos a definicao de produto av de um numero porum vetor mais modifiquemos a definicao de soma u + v dos vetoresu = (x , y), v = (x , y ). Em cada tentativa dizer quais axiomas doespaco vetorial continuam validos e quais sao violados.

u + v = (xx , yy )u + v = (3x + 3x , 5y + 5y )






Referencias

Demonstrar que 0.u = 0, sendo u, 0, E , 0 R.demonstracao.

u + 0.u = 1.v + 0.u A6

= (1 + 0)u A5

= 1.u A6

u + 0.u = u A3

0.u = 0, o.q.q.d.

Demonstrar que, dado um vetor v E , o elemento neutro 0 e unico.Demonstrar que se w + u = w + v , entao u = v .






Referencias

Seja X o conjunto nao-vazio qualquer, poderia ser por exemplo, osnumeros reais R. Seja F(X ,R) o conjunto de todas as funcoes reaisf , g : X R. Ele se torna um espaco vetorial quando se definem asoma f + g de funcoes e o produto f do numero pela funcao fde maneira natural, como segue:

(f + g)(x) = f (x) + g(x), (f )(x) = .f (x)

Seja E = R2, e S = {(x , y), y > 0}, isto e sub-conjunto de vetoresde E = R2. Considere as operacoes usuais de soma de vetoresu + v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), e a multiplicacaousual de um escalar real por um vetor v = (x1, y1) como segueu = (x1, y1). Prove que S com esas duas operacoes basicas naoe um espaco vetorial.






Referencias









Referencias

Definicao

E possivel um espaco vetorial estar contido em outro espaco vetorial.Seja E um espaco vetorial, um subespaco vetorial de E ou simplesmentesubespaco e um subconjunto F E com as seguintes propriedades:

1 0 F .2 Se u,w F entao, u + w F3 Se v F entao, , v F

Exemplo 1Seja E = 2, e v 6= 0, v E , mostrar que F = {v , } e umsubespaco vetorial de E .definicao. Uma matriz quadrada A = [Aij ] chama-sesimetrica (anti-simetrica) quando Aij = Aji (Aij = Aji ).






Referencias

Soma direta

Exemplo 2 Prove que S = {conjunto de matrizes simetricas} e umsubespaco vetorial do conjunto de matrizes quadradas gerais do tipoMnn. De forma similar, prove queS = {conjunto de matrizes anti simetricas} e um subespaco vetorial doconjunto de matrizes quadradas gerais do tipo MnnPropriedade Seja E um espaco vetorial, e E1 E , E2 E , onde E1,E2sao subespacos vetoriais de E . A intersecao S = E1 E2 definido assim

S = {v E / v E1, v E2} (1)e um espaco vetorial.Definicao Se E1 E , E2 E , e se

S = E1 E2 = {0}, (tendo apenas 0 como elemento comun).w E ,w = v1 + v2, de modo unico. Onde v1 E1, v2 E2.

Entao se escreve assim E1 E2 = E , diz-se E e a soma direta de E1 eE2 Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN





Referencias

Exerccios

1 Seja E = 3 eF = {(x , y , z) 3 ax + by + cz = 0; a, b, c escalares constantes.}Mostre que F e subespaco de E .

2 Seja E = 4. Mostre que F = {(x , y , z , 0); x , y , z } e umsubespaco de E .

3 Dado E = 2, mostre que F = {(x , y), x > 0} nao e subespaco deE .

4 Seja 3 = {(a, b, c); a, b, c }, considerando

E1 = {(a, b, 0); a, b },E2 = {(0, 0, c); c .}

Mostre que 3 = E1 E2.Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN





Referencias

1 Seja s1 = {(0, x , y), x , y }; s2 = {(x , 0, y), x , y }; entaoS = s1 s2 nao e um espaco vetorial, falso verdadeiro?.

2 Determine se os seguintes subconjuntos sao subespacos de R3

a) todos os vetores da forma (a; 1; 1).b) todos os vetores da forma (a; b; c); b = a + c.

3 Seja M2x2 o conjunto de matrizes com entradas todas reais deordem 2 2. Determine se as matrizes quadradas com det(A) = 0,forman um subespaco de M2x2.

4 Seja P3 o conjunto de todos os polinomios da grau menos ou igual a3. Dado ai , i = 0, 1, 2, 3. Verifique sea) o conjunto F = {a1x + a2x2 + a3x3} ; e subespaco vetorial de P3.b) o conjunto F = {1 + a1x + a2x2 + a3x3 e subespaco vetorial deP3.






Referencias









Referencias

seja E um espaco vetorial. Diz-se que um conjunto V E e linearmenteindependente abrevidamente L.I. quando nehum vetor v V ecombinacaolinear dos outros elementos de V .

Pode-se dizer tambem que tais vetores sao linearmente independentes

Quando um conjunto V e L.I. seus elementos sao todos 6= 0 pois o vetornulo e combinacao linear de quaisquer outros elementos de V

Um conjunto V E e linearmente dependente, L.D. quando nao e L.I.Teorema: Seja V um conjunto L.I. no espaco vetorial E . Se1v1 + ...+ nvn = 0, com v1, ...vn V entao 1 = ... = n = 0.Reciprocamente, se a unica combinacao linear nula de vetores de V eaquela cujos coeficientes sao todos iguais a zero, entao V e umconjunto L.I.






Referencias

exemplos

Exemplo 1 Os vetores canonicose1 = (1, 0, ...., 0), e2 = (0, 1, 0...., 0), ....en = (0, ...., 0, 1) em E = nsao L.I.

Exemplo 2 Os monomios {1, x , x2, x3} P3 sao L.I. Onde P3 saoos polinomios de grau 3Exemplo 3 Mostre que os vetoresv = (2, 3, 4),w = (2, 0,1), z = (6, 3, 2) em 3 sao L.D.






Referencias

Exerccios

1 Seja v = (1, 2, 0),w = (0, 1,1), z = (3, 0, 1), mostre que elesformam um conjunto L.I no espaco V = 3.

2 no 2, os vetores {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1), v = (m, n);m, n } saoL.D.

3 Verifique se o seguinte conjunto

V = {v1 =[

1 05 2

]

, v2 =

[

3 015 6

]

} M()22.

e ou nao L.I.

4 Verifique se sao L.I. ou L. D. o seguinte conjunto

P = {1 + 2x x2, 2 x + 3x2, 3 4x + 7x2} P2






Referencias









Referencias

Definicao de base de um E. V.Seja E um espaco vetorial qualquer e B = {v1, v2, ...vn} um conjunto devetores qualquer de E . Dizemos que B e uma base de E se as seguintescondicoes sao satisfeitas.

B e linearmente independente.

B gera E

Que B gera E significa que todo vetor v E se exprime, de modo unico,como uma combinacao linear v = 1v1 + 2v2 + .., nvn de elementos dabase B. Os numeros 1, 2, ..n chaman-se as coordenadas do vetor v nabase B.Teorema Todas as bases de um espaco vetorial (e. v.) de dimensaofinita n, tem o mesmo numero de vetores e igual a n.






Referencias

Teorema Se B = {v1, ...., vn} e uma base de E entao cada vetorv E pode ser expresso assim: v = 1v1 + 2v2 + .., nvn de formaunica.

Exemplo 1 Os vetorese1 = (1, 0, ...0), e2 = (0, 1, 0...0), ...en = (0, ...0, 1) constituem umabase {e1, e2, ..en} de n, chamada de base canonica.Exemplo 2 Os monomios {1, x , x2, ..xn} formam uma base para oespaco vetorial Pn dos polinomios de grau nExemplo 3 Mostre que as matrices m1,m2,m3,m4 sao uma base deM()22. Onde,m1 =

[

1 00 0

]

, m2 =

[

0 00 1

]

, m3 =

[

0 10 0

]

; m4 =[

0 01 0

]

, os tres exemplos anteriores sao bases canonicas.






Referencias

Dimensao de um E. V.

Definicao de Dimensao.Se E possui uma base com n vetores, entao E tem dimensao n eanota-se dim E = n. Um espaco vetorial E e chamado de dimensaofinita se contem um conjunto finito {v1, ...vn} de vetores de base de E , ne um numero inteiro. Caso esta base de E nao for finita, diz-se que E eum e. v. (espaco vetorial) de dimensao infinita.Teorema. Seja E um e. v. de dimensao finita n, onde {v1, ..vn} euma base qualquer de E . entao e valido.

1 Um conjunto com mais de n vetores em E e L.D.

2 Um conjunto com menos do que n vetores nao gera E .






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Exemplos

Exemplo 1 Seja E = R2 o espaco vetorial Euclidiano.a) Considere o conjunto B1 = {e1, e2} de vetores, ele e base de E ?b) Quais sao as coordenadas do vetor V = (x , y) nessa base?c) Seja outro conjunto de vetores B2 = {b1, b2}, b1 = (1, 1), b2 = (2, 0).B2 e base do espaco E = R2 ?d) Quais sao as coordenadas do vetor V = (x , y) na base B2?.e) Qual e a dimensao do espaco E = R2.Exemplo 2 Seja conjunto de vetores B = {p1, p2, p3, p4} do espacovetorial P2. Verfique se eles sao L.I. ou L.D.p1 = 1 + x , p2 = 2 x2, p3 = x + x2, p4 = 1.






Referencias

Exerccios

Exemplo 1O espaco vetorial A(m n) das matrizes m n tem dimensao finitaigual a m.n.

Exemplo 2.Mostre que a dimensao da base canonica de Pn e n + 1. Pn e opolinomio de grau n

1 Mostre que S = {V1,V2,V3} forma uma base do espaco 3.V1 = (1, 0, 2);V2 = (1, 3, 2);V3 = (0, 1, 2). Encontrar ascomponentes do vetor W = (3, 1,2) na base S .

2 Encontre as componentes do polinomio P , na base S = {P1,P2,P3}.Onde P = 2 x + x2,P1 = 1 + x ,P2 = 1 + x2,P3 = x + x2.






Referencias

Mostre que as matrices m1,m2,m3,m4 sao uma base de M()nnOnde, m1 =

[

0 11 0

]

, m2 =

[

0 812 4

]

, m3 =[

3 63 6

]

;m4 =

[

0 11 0

]

.

Encontre as componentes de A na base S = {v1, v2, v3, v4}A =

[

2 01 3

]

, v1 =

[

1 10 0

]

, v2 =

[

1 10 0

]

, v3 =[

0 01 0

]

; v4 =

[

0 00 1

]

.

Determine a dimensao do subespaco de P3, consistindo de todos ospolinomios da forma P3 = a1x + a2x

2 + a3x3.

Determine a dimensao do subpespaco de R4 da formav = (a, b, c , d), d = a+ b, c = a b.






Referencias

Determine a dimensao da base do espaco-solucao do sistemax + y z = 0,2x y + 2z = 0,x + z = 0Dado o sistema de equacoesx + y z = 0, y 2w = 0, x z + 2w = 0a) Determine o posto da matriz de coeficientes, e o posto da matrizaumentada.b) o sistema tem solucao unica ou infinitas solucoes?c) Defina uma base do espaco solucao do sistema anterior.d) qual e a dimensao deste espaco?e) o sistema tem solucao trivial?f) o espaco solucao e subespaco de R4






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Referencias

Os axiomas do espaco vetorial nao sao suficientes para abordar certasnocoes geometricas como angulo, ortogonalidad,comprimento,distancia,etc. para estudar estas nocoes geometricas precisamosintroduzir o conceito de produto interno no espaco vetorial.produto internoUm produto interno num espaco vetorial E e uma funcao bi-linearsimetrica e positiva de E .

: E E u, v < u, v >

o numero real < u, v > e chamado de produto interno de u por v .

Referencias

As seguintes propriedades devem ser satisfetias u, v ,w , EBilinearidade=< u, v > + < w , v >; < u,w + v >=< u,w >+ < u, v >,< u, v >= < u, v >, < u, v >= < u, v >,

simetria ou comutatividade< u, v >=< v , u >,

Positividade< u, u > 0, se u 6= 0.como < 0, v >=< 0 + 0, v >=< 0, v > + < 0, v >, entao segueque < 0, v >= 0, v E

Referencias

Norma : A norma de um vetor v (ou comprimento de v) no espacovetorial E , esta definida do seguinte modo

N : E v 7 N(v) = |v | = < v , v >. (2)

Observamos que N(v) e um numero real nao negativo. Quando |v | = 1 ovetor v chama-se de vetor unitario.Distancia: A distancia entre os vetoresv = (v1, v2, ..., vn), u = (u1, u2, ..., un) E esta definido assim :

d [u, v ] = |u v |. (3)

Referencias

Exemplos

1 no espaco euclidiano 3 o produto interno canonico de vetoresu = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) esta definido assim:

< u, v >= u1v1 + u2v2 + u3v3 =i=3

i=1 uivi .

2 Seja < u, v > um produto interno num espaco linear E . Mostre quese < u, v >= 0, para qualquer v que pertence a E , entao u = 0.

3 Seja u = (u1, u2) e v = (v1, v2). Mostre que temos um produtointerno em 2 no seguintes casos:a) < u, v >= 4u1.v1 + u2.v1 + u1.v2 + 4u2.v2b) < u,w >= 3u1w1 + 5u2w2.

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Exercicios

1 Dado o produto interno < u,w > no espaco vetorial E , prove que setem |u + v |2 + |u v |2 = 2(|u|2 + |v |2).

2 demonstre a desigualdade triangular para dois vetores u e v do plano2, |u + v | |u|+ |v |.

3 Seja E = C 0[a, b] um espaco vetorial das funcoes contnuas reaisg , f [a, b] , provar que a funcao

< ., . >: E E (4)

< f , g > =

b

a

fgdx (5)

e um produto interno, [a, b] . Determine o produto interno entref = cos(x) e g = sin(x) e o modulo da funcaof = cos(x), a = 0, b = .

Referencias

1 Seja o espaco vetorial M22() formado por todas as matrizes comelementos reais da forma A = [aij ]. Considerando o produto interno< A,B >= tr(ATB). Determine a norma de U M22(), sendoU =

[

1 23 1

]

2 Seja p = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anx

n eq = b0 + b1x + b2x

2 + ...+ bnxn, dois vetoresdo espaco vetorial

Pn dos polinomios de grau maximo n. Demonstre que< p, q >=

i=ni=0 aibi e um produto interno. logo,

|p| =< p, p >=

a20 + a21 + ...a

nn. Determine |p|, onde p = 2 x2.

3 Dois vetores de um espaco vetorial se chamam ortogonais se< u, v >= 0. No espaco Euclidiano 3, verifique que==< k , j >= 0, considerando o produto internocanonico de 3.





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Referencias

Para todo numero natural n, o smbolo n representa o espaco vetorialeuclideano n-dimensional. os elementos de n sao as listas ordenadasv = (v1, ....., vn),w = (w1, ....,wn) de numeros reais. Por definicao aigualdade vetorial v = w significa as n igualdades numericasv1 = w1, ...., vn = wn. Os numeros v1, ...vn sao chamados as coordenadasdo vetor v na base canonica {e1, e2, .., e3} de R2. As duas operacosfundamentais do espaco vetorial n sao definidas assim :

v + w = (v1 + w1, ...., vn + wn),

v = (v1, ...., vn)

O vetor zero 0 e por definicao, aquele cujas coordenadas sao todas iguaisa zero; 0 = (0, ...., 0). O inverso aditivo de v = (v1, ....., vn), ev = (v1, .....,vn).


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Definicao

Seja u, v n, entao o angulo entre os vetores u e v esta definido doseguinte modo (ver exercio 1 da pag 45)

1 cos() = < u, v >|u||v | 1.

Norma Euclidiana: A norma de um vetor v = (v1, v2, ..., vn) do espacon esta definida do seguinte modo

N : n ,v 7 N(v) = |v | = < v , v >. (6)

onde |v | =

u21 + u22 + ....u

2n .

Geometricamente a norma |v | e o comprimento do vetor v .Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN





Referencias

Distancia entre vetores.Em forma similar a distancia entre os pontosv = (v1, v2, ..., vn), u = (u1, u2, ..., un) n esta definido assim :

d(u, v) = |u v | =

(u1 v1)2 + (u2 v2)2 + ....(un vn)2

Propriedades da distancia entre os vetores u e v . Seja u, v ,w vetores den, logo

d(u, v) 0,d(u, v) = d(v , u)

d(u, v) = 0, u = v ,d(u, v) d(u,w) + d(w , v) (desigualdade triangular).

A ultima propriedade, generaliza para o espaco n o resultado usual em3 que afirma que a menor distancia entre dois pontos do n e aolongo de uma reta.


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Exercicios

Considere 3 com o produto interno usual (canonico) para as seguintesquestoes.

Seja u = (2, 1,2, 0) e v = (1, 2, k , 2).a) Para que valores de k podemos afirmar que u e v sao ortogonais(perpendiculares),b) Se k = 0 qual e o angulo formado pelo vetores u e v .

Sejam u = (4, 1, 2, 3), v = (0, 3, 8,2),w = (3, 1, 2, 2). Calculea) |v | b)|u + 3v | c) |u|+ |3v | d) | (u+w)|u+w| |Determine o angulo entre os vetores u = (1, 0, 2), v = (1, 2, 0).

Suponha que v ,w , u sao vetores taisque(u, v) = 2, (v ,w) = 3, (u,w) = 5, |u| = 1, |v | = 2, |w | = 7.Calcule a) b) |2w v |

Referencias

1 Dado o produto interno < u,w > no espaco vetorial E = n, proveque | | |u||v | desigualdade de Cauchy-Schwarz.

2 Use o resultado anterior e demonstre a desigualdade triangular paradois vetores u e v de n, |u+ v | |u|+ |v |. desigualdade triangular.

3 Encontre a distancia euclidiana entre os vetores u = (1, 2, 0) ev = (0, 3, 2).

4 Resolva para v = (v1, v2, v3), se u.v = 10,w .v = 1, s.v = 7, u =(1,1, 4),w = (3, 2, 0), s = (4,5,1).

5 u, v sao vetores do espaco n, encontre u.v , se|u v | = 5, |u + v | = 1.

6 Seja V1,V2, ....,Vn vetores de n, considerando que< Vi ,Vj >= 0, i 6= j , demonstre que |

i=ni=1 Vi | =

i=ni=1 |Vi |2.





Referencias

Processo de Gram-Schmidt





Referencias


Definicao Seja E um espaco vetorial com produto interno. Dois vetoresu e v chaman-se ortogonais (ou perpendiculares) quando < u, v >= 0.Escreve-se entao u v .Em particular o vetor 0 e ortogonal a qualquer vetor v de E .Exemplo Seja P2 o espaco vetorial formado pelo conjunto dospolinomios de grau menor ou igual a 2. SejaP = po + p1x + p2x

2,Q = q0 + q1x + q2x2. Seja o produto interno neste

espaco vetorial da seguinte forma : = p0q0 + p1q1 + p2q2.Sendo assim, se P = x kx2,Q = b + 2x + 2x2. Determine k para queP e Q sejam ortogonais, b e constante.bases ortonormaisSeja E um espaco vetorial, um conjunto de vetores F = {V1, ...Vm} Ee dito ortogonal quando dois vetores distintos quaisquer em F saoortogonais. Se, alem disso, todos os vetores de F sao unitarios entao F echamado de conjunto ortonormal.

Referencias


Definicao Uma base B = {V1, ...Vm} do espaco vetorial E e dito baseortonormal se e somente se, para qualquer vetor Vi ,Vj B tem-se que

< Vi ,Vj >=

{

0, i 6= j1, i = j .

(7)

Teorema Num espaco vetorial E , com produto interno, todo conjuntoortogonal F de vetores nao-nulos e L.I (provar, ver exerccios).Exemplo . Seja B = {V1,V2,V3} uma base do 3, onde

V1 =

132323

, V2 =

23

1323

, V3 =

2323

13

.

O calculo direto mostra que usando o produto interno canonico usual:< V1,V2 >=< V1,V3 >=< V2,V3 >= 0, < V1,V1 >=< V2,V2 >== 1. Ou em forma resumida < Vi ,Vj >= ij .

Referencias


complemento ortogonal Se um vetor w E e ortogonal a todos osvetores de um subespaco F E , entao, dizemos que w e ortogonal a F .O conjunto de todos os vetors ortogonais a F e chamado delcomplemento ortogonal de F , e e denotado porF.Exemplo 1 O vetor w = (0, 0, 3) 3 e complemento ortogonal doplano xy = 2.Exemplo 2 Mostrar que se dois vetores sao ortogonais entao|u + v |2 = |u|2 + |v |2 (Teorema de pitagoras para espacos vetoriais comproduto interno).Exemplo 3 Mostre que a base canonica {e1, e2, ..., en} de n eortonormal, considerando o produto canonico usual. Ou seja

< ei , ej >= ij , onde ij =

{

0, se; i 6= j1, se; i = j

Referencias


Exercicios

1 Seja o conjunto B = {v = (1, 1)/2,w = (1,1)/

2} 2. Seja

v = (v1, v2),w = (w1,w2). O conjunto B e ortonormal na basecanonica?. Considere o seguinte produto interno :< v ,w >= v1w1 + 2v2w2, verifique se B e ou nao conjuntoortonormal.

2 Demonstre o Teorema enunciado na pagina 48.3 seja v ,w dois vetores arbitrarios de 3, Demonstrar que a projecao

ortogonal do vetor v sobre o vetor w e dado por

Prw (v) =< v ,w >

|w |2 w .

O vetor Prw (v) e paralelo a w .

4 Verifique se o conjunto B = {~i~j2,~j+~k

2,~i+~k

2} e ortonormal.





Referencias


Seja, B = {v1, v2, .....vn}, uma base qualquer do espaco vetorial E . Apartir desta base podemos construir uma base ortonormalO = {q1, .....qn} E . O processo e como segue:

Seja w1 = v1, logo q1 =w1|w1| .

w2 = v2 Prw1(v2), logo q2 = w2|w2|w3 = v3 Prw1(v3) Prw2(v3), logo q3 = w3|w3|.

.

wn = vn j=n1

j=1 Prwj (vn), logo qn =wn|wn| .

Observe que |q1| = ....|qn| = 1.






Referencias


segue...

logo, se pode verificar que o conjunto {q1, q2, ..., qn} e uma baseortonormal de E . A este processo de construcao de uma base ortonormalno espaco vetorial E e denominada de processo de ortonormalizacao deGram-Schmidt.exerciciosExerccio 1. Seja B = {v1 = (1, 1), v2 = (1, 2)} uma base do espacoeuclidiano E = 2. Construa uma base ortonormal de 2 a partir da baseB, usando o processo de Gram-Schmidt.Exerccio 2. Seja B = {v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (0, 0, 1)} umabase de E = 3. Construa uma base ortonormal para o espaco 3 apartir da base B, usando o processo de Gram-Schmidt. Nos doisexemplos anteriores, se assume que os vetores de base B estao dadas nabase canonica, e se deve utilizar o produto interno canonico de Rn.






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Referencias

Seja E um espaco vetorial de dimensao n. Consideremos as basesarbitrarias B1 = {q1, q2, ..., qn} E , e a base B2 = {q1, q2, ..., qn} E .Dado v E , tal que

v = x1q1 + x2q2 + ....+ xnqn =

xi qi , i = 1, ..n. (8)

v = y1q1 + y2q2 + ....+ ynqn =

yl ql , l = 1, ..n. (9)

Os numeros reais xi sao as coordenadas de v na base B1, e os numerosreais yi sao as coordenadas de v na base B2. Coordenadas de v em formamatrizial.

[v ]B1 =

x1x2.xn

, [v ]B2 =

y1y2.yn

(10)

Qual e a relacao entre o conjunto de coordenadas xi e yi ?.Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN





Referencias

Consideremos como exemplo o vetor q1 na base nova B2, teriamos:q1 = a11 q1 + a12 q2+, ....+ a1n qn =

j=nj=1 a1j qj .

Em forma geral

qk =

l=n

l=1

akl ql (11)

Podemos pensar que as coordenadasdo vetor qk na nova base B2pode-se colocar como uma matriz coluna (k-esima coluna da matriz A).

[qk ]B2 =

ak1..

akn

(12)

Os numeros reais aij sao elementos de uma matriz A, chamada matriz detransformacao ou matriz de mudanca de base, da base B2 a base B1.Substituindo (11) em (8), e organizando chegamos a seguinte relacao






Referencias

v =

xi qi =

xk qk k=n

k=1

xk (

l=n

l=1

akl ql) (13)

logo, a ordem da sumacao pode-se trocar,

v =k=n

k=1

l=n

l=1

xk akl ql =l=n

l=1

(k=n

k=1

xk akl)ql (14)

comparando a igualdade anterior com a equacao (9) e utilizando aindependencia linear dos vetores de base qk , chegamos a conclusao:

yl =

k=n

k=1

akl xk , ou matricialmente,






Referencias

y1y2.yn

=

a11 a21 . an1a12 a22 . .. . . .

a1n . . ann

x1x2.xn

, ou [v ]B2 = AT [v ]B1

(15)

Esta ultima equacao e mais util, desde que permite calcular ascoordenadas de v na base nova B2 em funcao das coordenadas de v nabase anterior B1 e da matriz de mudanca de coordenadas A

T .Observe que as colunas da matriz AT esta formada pelascoordenadasdos vetores qk , na nova base B2 respetivamenteAT = [ [q1]B2 [q2]B2 ...[qn]B2 ]






Referencias

e importante fazer uma observacao, que verdadeiramente a matriz demudanca de bases, da base B1 B2 e a matriz A1. Desde que

q1..qn

= A1

q1..qn

, (16)

observe a equacao (11), na qual realizamos a inversao da matriz A.Exemplo 1 Seja B1 = {q1 = (1, 0), q2 = (0, 1)} a base canonica de 2.Considere a nova base B2 = {q1 = (1, 1), q2 = (1, 1)}.a) Dado um vetor v , encontre a matriz que transforma as coordenadasiniciais deste vetor na base B1 a base B2.b) Encontre a matriz A1 da mudanca de bases (B1 B2).c) Dado o vetor v = (3, 4) na base inicial B1, encontre suas novascoordenadas na base B2.






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Exemplo 2 Seja B1 = {~i ,~j , ~k} a base canonica de 3. Considere a novabase B2 = {~i +~j , ~k +~j ,~i + ~k}.a) Encontre a matriz AT de transformacao de coordenadas.b) Dado os vetores v = (1, 1, 1),w = (1, 3,2) na base inicial B1,encontre suas novas coordenadas na base B2.Exerccio 1 Seja B = {e1, e2} uma base ortonormal do 2, sendoe1 = (1, 0) e e2 = (0, 1). Consideremos uma nova base ortonormalB = {e 1, e 2} de 2, produto da rotacao da base anterior B um angulo .a) Determine a matriz de transformacao (matriz de rotacao aoredor doeixo z) da base ortonormal B a base ortonormal B .b) Determine a matriz de mudanca de coordenadas da base ortonormalinicial B a base ortonormal final B






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Exerccio 2 Seja um vetor v = (3, 4) na base canonica B0 = {~i ,~j}.a) Determine as componentes do vetor v na base B1 = {q1, q2}, e nabase B2 = {q1, q2}. q1 = (1, 1), q2 = (1, 1), q1 = (1, 0), q2 = (1,1).b) Encontre a matriz de mudanca de base A12 que leva as coordenadasde v na base B1 a base B2.c) Verifique que A2 = A12A1. A matriz A1 e a matriz de mudanca decoordenadas da base canonica B0 a base B1.A matriz A2 e a matriz demudanca de coordenadas da base canonica B0 a base B2.Exerccio 3 Seja P1 o espaco vetorial formado pelos polinomios de graumaximo 1. Neste espaco definimos a base B1 = {p1, p2}, e a baseB2 = {q1, q2}. Onde p1 = 2 + 3x , p2 = 2x , e q1 = 2, q2 = 4 + 5x .a) Encontre a matriz de mudanca de coordenadas de B1 a B2.b) Seja o vetorw = 6+10x , encontre as coordenadas de w na base B1.c) Usando o resultado anterior, encontre as coordenadas de w na base B2.d) De forma similar que a pergunta b, calcule as coordenadas de w nabase B2, e compare com o resultado da parte c.






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Referencias

Vamos visualizar o conceito de matriz ortogonais atraves de um exemplo.

Exemplo 1 Seja a matriz U =

13 23 2323 13 2323

23 13

, esta matriz e dita

ortogonal se os vetores coluna {ui , i = 1, 2, 3} desta matriz saoortonormais como se mostrou no exemplo 4.1. Podemos observar

tambem que a matriz UT =

13 23 2323 13 2323

23 13

e inversa de U .

Podemos verificar diretamente que UUT = UTU = 1, o que quer dizerU1 = UT .


Referencias

Em geral se temos uma matriz ortogonal

A =

a11 . . a1i . . a1j . . a1na21 . . a2i . . a2j . . .

.

.

ak1 . . aki . . akj . . .

an1 . . ani . . anj . . ann

,

os vetores coluna ai e aj sao ortonormais o que que dizer< ai , aj > ~ai .~aj = ij , ou em componentes

k

akiakj = ij . (17)





Referencias

Porem, lembrando que atik = aki , sendo atik as componentes da matriz

transposta At ; podemos re-escrever a equacao 17 deste modo

k

akiakj =

k

atikakj = ij . (ATA = 1nn). (18)

A analise da ortonormalidade feita com os vetores coluna tambem podeser feita com os vetores linha, desta forma chegariamos a seguinte relacao

k

aikajk =

k

aikatkj = ij . (AA

T = 1nn), (19)

similiar a equacao anterior 18. Logo, esta provado que para uma matrizortogonal se cumpre que AT = A1.






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Exercicios

Exemplo 1 Mostre que a matriz A e ortogonal

A =

[

1/232

32 1/2

]

Exerccio 1 Demonstre que se a matriz A e ortogonal, A1 tambem e.Exerccio 2 Demonstre que det(A) = 1, para toda matriz ortogonal A.Exerccio 3 Se temos duas bases B1,B2 ortonormais, a matriz detransformacao de coordenadas e uma matriz ortogonal: A1 = AT .






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Exerccio 4 Seja o espaco Euclidiano 3 e a base canonica B1 = {~i ,~j , ~k},ao longo dos eixos x1, x2, x3, respectivamente. Se giramos o sistema decoordenadas x1, x2, x3 rgidamente um angulo ao redor do terceiro eixox3 e no sentido antihorario, teremos uma nova base B2 = {q1, q2, q3}.a) Determine os vectores qi , i = 1, 2, 3 em funcao dos vetores unitarios~i ,~j , ~k da base canonica B1, considere um angulo fixo e arbitrario.b) Dado um vetor v = (0, 1, 2) na base canonica B1, qual sera as novascoordenadas de v = (y1, y2, y3) na nova base B2 ?, considere os cassos = /2, e = /4.Exerccio 5 Considere o espaco vetorial dos polinomios de grau maximo1 P1. Em P1 temos duas bases, a base canonica B1 = {p1 = 1, p2 = x};e a base B2 = {q1 = 2+x3 , q2 =

12x3}.

a) Verifique que esta ultima e uma base ortonormal tambem.b) Verique que a matriz de mudanca de coordenadas de B1 B2 e umamatriz ortogonal. Considere o produto interno definido para polinomiosem exerccios anteriores.






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Matriz de rotacaoQuando temos um sistema de coordenadas fixo X ,Y ,Z , e realizamos arotacao (no valor do angulo ) de um vetor V = (x , y , z) ao redor docerto eixo fixo no espaco R3 tal como ~n ; a matriz que transforma asvelhas coordenadas de V nas novas coordenadas de V = (x , y , z ) esempre uma matriz ortogonal; isto porque este tipo de matriz naomodifica a norma do vetor, ou seja, |V | = |V |; como e o caso numarotacao. Em geral, essa matriz de rotacao depende do angulo de giro edas componentes do vetor ~n que define o eixo de rotacao, logo:R = R(,~n). Em particular se o eixo de rotacao e o eixo +Z , esta matrizsomente depende do angulo , tal como segue:

V = R()V , RT = R1

|V | = |V | (20)

Prove a igualdade (20).Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN





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Exerccio 6 Seja a matriz de rotacao

R() =

cos() sin() 0sin() cos() 00 0 1

,

esta matriz descreve a rotacao feita por um vetor V ao redor do eixo +Znum angulo no sentido antihorario. Por tanto, tendo a informacao daposicao inicial do vetor V = (x , y , z), e o angulo de rotacao , podemosdeterminar as novas coordenadas do vetor V = (x , y , z ) usando aequacao matricial [V ] = R() [V ]. Verifique que a matriz R e ortogonal.Pergunta : Se V = (1, 0, 3) e ele gira um angulo de = 90o graus emsentido antihorario, ao redor do eixo +z determine as coordenadas dovetor V . Obseve que, a diferenca do exerccio 4 (desta secao), aqui naotem mudanca de base, quem mudou foi o vetor.






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Referencias

Aplicacoes

Orientacao de onibus espacial: Determinacao do eixo instantaneo derotacao.

Solucao de sistema de equacoes diferenciais lineares(mistura de substancias, modos normais de vibracao, vibracao de umpredio, etc)

Busca na rede e hierarquizacao de paginas no google.

referencia: Steven J. Leon, algebra linear, 8aedi cao,Editorial Gen 2011.






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Seja A = [aij ]nn, seja X = [xi ]n1.Equacao de autovalores

AX = X (21)

autovalor de A associado ao autovetor XA equacao de autovalores pode ser colocada desta forma

(A I )X = 0nn. (22)Onde I e a matriz identidade n nSeja B = A I , entao :

BX = 0.

Para termos solucao em X nao trivial(X 6= 0), a matriz B deve sersingular (B1). Logo

det(B) = det(A I ) = 0, (23)






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funcao caraterztica.

Do ponto de vista do autovalor a equacao anterior (23) define umpolinomio em , por tanto podemos definir

f () = det(A I ) = 0.

Para uma matriz Ann o polinomiof () = a0 + a1x + a2x

2 + ....an+1xn+1 + anx

n, Pn. chama-se funcaocaraterizticaEquacao carateriztica

f () = det(A I ) = 0. (24)

As raizes da equacao anterior, sao os autovalores da matriz A.






Referencias

Exemplo 1 Encontre os autovalores e autovetoes da matriz

A =

(

4 52 1

)

(25)

Alguma propriedades de autovalores.Se v e autovetor associado ao autovalor de A :

Entao v( real) tambem e autovetor de A associado ao mesmoautovalor .

k e autovalor de Ak .

1 e autovalor de A1.

b e autovalor de bA.

Uma matriz quadrada A e invertvel se, e somente se = 0 nao eum autovalor de A.

http://www.wolframalpha.com/ procure eigenvalues (autovalores).Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN





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Exerccios

Exerccio 1 Encontre os autovalores e autovetoes das matrizes A, B, C,D, F, K.

A =

[

4 44 2

]

,B =

1 0 10 2 00 0 3

,C =

1 0 20 0 02 0 4

,

D =

0 0 20 2 21 0 3

,F =

1 0 20 2 02 0 1

,K =

[

0 14 0

]

.

Exerccio 2 Mostre que a equacao carateriztica de uma matriz A deordem 2 2 e da forma 2- traco(A) +det(A) = 0. e autovalor de A.Exerccio 3 Probar que se A e uma matriz quadrada, entao A e suatransposta AT tem os mesmo autovalores.






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Exerccio 3 Determine os valores propios das matrizes B1,C1,D5 (dapagina anterior).Propriedades1.- Os autovalores de uma matriz triangular sao os elementos da suadiagonal principal.2.- Os autovalores de uma matriz simetrica (A = AT ) sao numeros reais,e os autovetores associados a estes autovalores reais (distintos) saoortogonais (provar).3.- Seja V e autovetor e autovalor associados a uma matriz A., proveque s e um autovalor da matriz G = A s I , onde I matrizidentidade. , s sao numeros reais.TeoremaSe {X1,X2, ....Xn} sao autovetores de A associados a autovalores distintos1, 2, ..n respetivamente, entao o conjunto {X1,X2, ....Xn} e L. I.Exemplo: verifique a validade deste teorema nos exemplos anteriores.






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Diagonalizacao ortogonal









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Problema da diagonalizacaoDada uma matriz Ann existe uma matriz P (invertvel) tal que P1APe uma matriz diagonal ?.Resposta: Dita matriz pode existir ou nao. Casso dita matriz P existir, amatriz A chama-se diagonalizavel. Dizemos que P diagonaliza A.Teorema Uma matriz quadrada Ann e diagonalizavel se e somente se Atem n autovetores linearmente independentes.Procedimento de diagonalizacao

1 Encontre os n, {X1,X2, ....Xn} autovetores de A. L. I.2 Forme a matriz P con os vetores coluna {X1,X2, ....Xn}.3 Realize a multiplicacao P1AP = D, D e a matriz procurada.






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D = P1AP , D =

1 0 . 00 2 0 00 0 . 00 0 0 n

nn

, (26)

Condicao suficiente para diagonalizabilidade de uma matriz ATeorema se uma matriz Ann tem n autovalores distintos entao ela ediagonalizavel.Isto nao descarta a possibilidade de que a matriz Ann seja diagonalizavelmesmo quando tenha um numero menor que n de autovalores distintos.Exemplo

Daigonalize A =

1 3 33 5 33 3 1

,






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Exerccios1.- Diagonalize se e possvel as matrizes A,B,C ,D,F que aparecem noexerccio 1 da secao anterior.2.- Diagonalize as seguintes matrizes

A1 =

[

6 22 3

]

, A2 =

1 1 01 1 00 0 0

,A3 =

2 4 34 6 33 3 1






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Matrizes semelhantes

Definicao. Considere duas matrizes quadradas A e B. A matriz A esemelhante a matriz B se, e somente se, existe uma matriz inversvel Ptal que A = PBP1.- Observe que se A e semelhante a B entao B e semelhante a A.Propriedades Sejam A e B matrizes semelhantes entao:1. det(A) = det(B),2. A e inversvel se, e somente se, B e inversvel,3. A e B tem o mesmo polinomio caracterstico (mesmos autovalores),4. A e B tem o mesmo traco.5.- a matriz A e sua forma diagonal D = P1AP sao semelhantes.6.- Seja P matriz invertvel, e B = PAP1 demostrar que Bn = PAnP1, n natural.






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Observacoes importantes

Suponhamos que temos uma matriz A33 e queremos diagonalizar. Podeacontecer os seguintes cassos.1.- Se a matriz tiver 3 autovalores diferentes (1 6= 2 6= 3), entao pelacondicao suficiente de diagonalizabilidade, a matriz A sera diagonalizavel.2.- Pode ser que dois autovalores sejam iguais, tal que 1 = 2 6= 3.2a) Neste casso se mesmo assim conseguimos encontrar 3 autovetoresL.I. (um associado a 3, e dois associaos a 1), entao ainda poderemosdiagonalizar a matriz A.2b) Se somente encontramos dois autovetores L. I. associados a 1 e 3,respectivamente, entao nao sera mais possvel diagonalizar a matriz A,posto que precisamos 3 autovetores L.I.3) Tres autovalores iguais. Nesste casso a semelhanca do casso dois,teremos duas possibilidade, ou vamos poder diagonalizar (quandoconseguirmos 3 vetores L.I) ou nao sera possvel diagonalizar a matriz A.






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Diagonalizacao ortogonalDefinicao 6. Seja A Mnn(R), diz-se que A e diagonalizavelortogonalmente se existe uma matriz P , ortogonal (PT = P1), tal queP1AP = PTAP = D e uma matriz diagonal; diz-se que P diagonalizaortogonalmente A.Lembrando que se A e uma matriz simetrica entao:(a) Todos os valores proprios de A sao reais.(b) Vectores proprios associados a valores proprios distintos saoortogonais.Teorema .- Seja A Mnn(R). Sao equivalentes as afirmacoes:(a) A e diagonalizavel ortogonalmente.(b) A admite um conjunto o.n. de n vectores proprios.(c) A e simetrica. (prove de a b).






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Processo de diagonalizacao: Seja A Mnn(R) matriz simetrica.Passo 1. Determinar uma base para cada subespaco proprio de A.Passo 2. Aplicar o processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt a cadabase encontrada no Passo 1, para obter uma base o.n. para cada um dossubespacos proprios de A.Passo 3. Formar a matriz P cujas colunas sao os vectores das bases o.n.dos subespacos proprios determinadas no Passo 2; a matriz P diagonalizaortogonalmente a matriz A. A matriz diagonal D = PTAP = P1APtem como entradas principais os valores proprios de A.






Referencias


Exerccio 1 Determine a matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz

simetrica A =

7 2 02 6 20 2 5


simetrica A =

1 0 20 0 02 0 4


simetrica B =

3 2 42 6 24 2 3






Referencias


Aplicacoes: Solucao de Sistema de equacoes diferencias ordinarias

a11x1(t) + a12x2(t) = x1(t)

a21x1(t) + a22x2(t) = x2(t), que na forma matricial e

[

a11 a12a21 a22

] [

x1(t)x2(t)

]

=

[

x1(t)x2(t)

]

, ou AX (t) = X (t) sendo

A =

[

a11 a12a21 a22

]

, X =

[

x1x2

]

A solucao do sistema anterior e (demonstracao em calculo 3).

X (t) = c1e1 tV1 + c2e

2 tV2,

sendo 1, 2 e V1,V2 autovalores/autovetores correspondentes da matrizA.






Referencias


Questao. Dois tanques contem cada um 100 litros de uma mistura.Inicialmente, a mistura no tanque A contem 40 gramas de sal, enquantoa mistura no tanque B contem 20 gramas de sal. O lquido e bombeadopara dentro e para fora dos tanques como mostra a figura a seguir.Determine a quantidade de sal em cada tanque no instante t. Determinea concentracao final em cada tanque no estado estacionario.






Referencias









Referencias

Referencias

E. Elon Lages Lima, Algebra linear, colecao matematica universitaria(IMPA)- Setima edicao 2008.

Anton Rorres, Algebra Linear com aplicacoes, oitava edicao,bookman.

Algebra linear com aplicacoes, Steven J. Leon, Oitava edicao, GenLTC (2011).

algebra linear e suas aplicacoes, David C. Lay. 2da edicao GEN.


SummaryMain PartDefinio de E. V.SubespaoDependencia LinearBase e DimensoProduto internoEspao Vetorial EuclidianoOrtonormalidadeOrtonormalidadeprocesso de ortonormalizao

Mudana de BasesMatrizes ortogonaisAutovalores e autovetoresDiagonalizaoDiagonalizao ortogonal

Referencias

Espaço Vetorial

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