NGUYỄN MẠNH QUÝ GIÁO TRÌNH - lrc.tnu.edu.vn · Nghiệm cùa phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 40 2. Nghiệm của phương trình tuyến tính không

NGUYỄN MẠNH QUÝ

G I Á O T R Ì N H

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (Sách dành cho Cao đẳng Sư phạm)

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM

M Ụ C L Ụ C

Lòi nói đầu 7 Chương I. Phưong trinh vi phân cấp một 9

§1. Mở đáu 9 1. Sơ lược về phương trinh vi phân 9 2. Các bài toán cơ bản của lí thuyết phương trinh vi phân 11

§2. Một số bài toán dán tới phương trinh vi phân (Phẩn dọc thêm) 14 1. Bài toán vật rơi tự do dưới tác dụng của trọng lực 14 2. Bài toán nước chảy qua một cái phễu 15 3. Bài toán tính lãi chổng (lãi gộp) của ngân hàng 17

\ £3. Nhũng khái niệm cơ bán của phương trình vi phàn cấp một 19 1. Những khái niệm cơ bàn 19 2. Ý nghĩa hình học của phưong trinh vi phân cấp một: Hướng trường 22 3. Bài toán ngược của bài toán tích phân phương trinh vi phân 24

§4. Cách giải một sô dạng phương trinh vi phân ca bản 25 Ị. Phương trinh giải được đối với đạo hàm 25 2. Phương trinh vi phân vài các biến số phân li 29

dv 3. Phưong trinh dạng — - f(ax + by) 31

dx 4. Phương trinh thuần nhất — = f(x,y) 32

dx 5. Phương trinh dạng d y = f í a x + b y + c ì 33

dx ^ px + qy + r ) 6. Phương trinh dưới dạng vi phân toàn phần 35

§5. Phuong trinh vi phản tuyên tinh cấp một 40 1. Nghiệm cùa phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 40 2. Nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất 40 3. Phương pháp hằng số biến thiên 42 4. Phường trinh Becnuli 43

§6. Cách giãi một số dạng phương trinh vi phân chua giải ra đạo hàm 44 1. Phương trình không chứa X, y, tức là có dạng F(y') = ũ 44 2. Phương trình không chứa y, tức là có dạng F(x, y') = 0 45 3. Phương trinh không chứa X, tức là có dạng F(y, y') = ũ 46

3

4. Phương trinh Lagrăng 47 5. Phưong trình Clerõ (Clairaut) 48

Phụ lục 1. Định li vế sự tốn tại và duy nhất của nghiệm cùa phương trinh vi phán 52 Phụ lục 2. Phương pháp tính gán đúng nghiệm của phương trình vi phân • Sơ đô

chúng minh định li tòn tại và duy nhát của nghiệm của phương trinh vi phân 58 Phụ lục 3. Điếm bất thường - Nghiệm bài thường cùa phương ÍT inh vi phàn 60 Phụ lục 4. Hình bao của mật họ đương cong 66 Phụ lục 5. Quỹ đạo trục giao 72 Bài tập chuông ị 75

Chuông li. Phương trình vi phân cấp cao 84 §1. Các khái niệm cơ bân cùa phương ưinh vi phân cấp cao 84 §2. Các phương trinh đơn giàn giải được bằng giám cấp 87

1. Phuưng trình không chúa hàm sô' phải tìm và các dạo hàm của nó tới cấp k - 1 87 2. Phương trinh không chứa biến số độc lập 90 3. Phương trinh có vế trái là một đạo hàm đúng 92 4. Phương trinh có vế trái là hàm số thuần nhất đối với các biến số y, y',.... ý1"1 94

§3. LI thuyết tống quát vé phương ừinh vi phàn tuyến tinh 95

1. Định nghĩa và kí hiệu 95 2. Sự bất biến cùa tính tuyến tính và tính thuần nhất của phương trình 96

3. Tinh tuyến tinh của toán tử L 100 4. Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 100 5. Hệ hàm số phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tinh 102

6. Nghiên cứu thêm vế hệ nghiệm ca bản 106 §4. Phương trình vi phấn tuyển tinh thuần nhất hệ sá hàng sò 109

1. Phương trinh tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số 109 2. Các phương trinh đưa về phương trình tuyến tính hệ số hằng số (Phấn đọc thêm) 114

§5. Phương Ưình vi phân tuyên tinh không thuần nhất 118 1. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tinh không thuần nhất 118 2. Phương pháp hằng số biến thiên 121

§6. Phương trinh vi phàn tuyển tính không thuần nhất hệ sô hảng sớ 123 Bài tập chương li 129

Chuông HI. Hệ phương trình vi phân 134 §1. Nhùng khái niệm cơ bán của hệ phương trinh vi phân 134

1. Hệ phương trình vi phân 134 2. Một số ví dụ (phần đọc thêm) 136

4

§2. Quan hệ giũa hệ phương trình vi phân với phương trinh vi phàn cấp cao 138 1. Đưa phương trình vi phân cấp cao vé hệ phương trinh vi phân 138 2. Đưa hệ phưong trình vi phân về một phương trinh vi phân cấp cao 138

§3. Hệ phương trinh vi phân tuyến tính cấp một. 144 1. Dạng vecto của hệ phương trinh vi phân tuyến tính cấp một 144 2. Toán từ vi phân tuyến tính 146

3. Nghiệm cùa hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp một 147 4. Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính 150

§4. Hệ phương trinh vi phấn tuyến tính thuần nhất cấp một hệ số hàng số. í 54 §5. Hệ phương trinh vi phân tuyên tính không thuần nhất cấp mật 161

1. Nghiệm tổng quát của hệ phương trinh tuyến tinh không thuần nhất 161 2. Phương pháp hằng số biến thiên 164

Bài tập chuông HI 168 Hưởng dẫn và Đáp số bài tập 172

Chuông I 172 Chuông li 178 Chuông UI 182

5

L Ờ I N Ó I Đ Ẩ U

Cuốn sách này là tập HI trong bộ giáo trình Giải tích viết theo chương trinh CĐSP đào tạo giáo viên THCS do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành năm 2004. Bộ sách gồm:

Tập I: Phép tinh vi phân và tích phân hàm số một biến số Tập li: Phép tinh vi phân và tích phán hàm số nhiều biền số Tập HI: Phương trinh vi phán Theo chường trình, phương trinh vi phân có thể xem là môn học tiếp nối của Giãi tích theo nghĩa:

bài toán tìm nghiệm của phương trinh vi phân thực chất là bài toán mỏ rộng tim nguyên hàm. Tuy nhiên, do những ứng dụng rộng rãi trong khoa học và kĩ thuật, cùng với những vân đế mới này sinh trong lí thuyết cũng như trong thực hành, phương trinh vi phân đã phát triển mạnh mẽ trở thành một môn học riêng.

Nội dung của cuốn sách trinh bày những kiến thức cơ bàn của lí thuyết phương trinh vi phân, chủ yếu tập trung vào các phương pháp giải các loại phương trinh vi phân. Tuy nhiên, để sinh viên có thể bao quát được những vấn đề lởn đặt ra trong lí thuyết phường trinh vi phân và thấy được những ứng dụng to lớn của phương trinh vi phân, chúng tôi soạn thêm phẩn tham khảo để trinh bày một số vấn đề khó của lí thuyết, ví dụ: các định lí về sự tổn tại và duy nhất của nghiệm của các phương trình vi phân, nghiệm bất thường, điểm bất thường... và đưa thêm vào những bài toán thực tế rất quen thuộc trong khoa học và xã hội hiện nay dẫn tói phương trình vi phân.

Nhũng phần này dành cho sinh viên tự đọc và có thể lấy làm các đề tài xêmine.

Để sinh viên dễ tiếp thu, các kiến thức được trình bày theo một trinh tự hợp li, phù hợp với sự phát triển tự nhiên, dẫn dắt từ dễ đến khó; những vấn đề tương tự được trinh bày theo một cấu trúc hầu như song song. Ví dụ:

- Trinh bày phương pháp hằng số biến thiên dựa trên cơ sỏ của phép đổi biến số để sinh viên thấy được việc xem các hằng số tích phân tuy ý như là các hàm số lả hoàn toàn tự nhiên, có lí.

- Định nghĩa hệ nghiệm cơ bản của phưong trinh vi phân tuyến tính cấp cao và hệ phương trinh vi phân tuyến tính không dựa trên hệ nghiệm độc lập tuyến tính mà là hệ nghiệm mà tất cả các nghiệm khác của phương trình hoặc hệ phương trinh được biểu diễn qua một tổ hợp tuyến tính cùa hệ nghiệm đó.

- Phần trình bày về lí thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp một, và đặc biệt là lí thuyết phương trinh vi phân tuyến tính cấp cao và lí thuyết hệ phưong trinh vi phân tuyến tính cấp một cả vé mặt cấu trúc lẫn hình thức, thậm chí cả về ngôn từ, hầu như song song. Theo ý chúng tôi chì cắn làm cho sinh viên nắm vững lí thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp cao, từ đó sinh viên có thể tự mình soi sáng lí thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp một và dùng làm cơ sở để tiếp thu li thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính.

7

Li thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tinh là một li thuyết khó, bởi vì một nghiệm của hệ đã bao gồm n hàm số cán tim, và ta phải tìm được n nghiệm như thế độc lập tuyến tinh thi mới tim được nghiệm tống quát cùa hệ phuong trình (tức là phải tim n2 hàm số). Hi vọng với cách trinh bày ờ trên và hình thức trinh bày dưới dạng vectơ biểu diễn bằng ma trận cột sê làm giảm những khó khăn và nhấm lẫn trong quá trình tim nghiệm tổng quát này.

Cuốn sách được biên soạn để phục vụ đôi tượng sinh viên. Để tăng cường tính thực hành, phát huy tính tích cực học tập của sinh viên, tác già đã cô' gắng

thể hiện qua các khía cạnh sau đây: - Khi trình bày mỗi khái niệm hoặc định lí, đều dẫn dắt từ nhiều khía cạnh và bằng nhiều ví dụ cụ thể,

bằng minh hoa hình học hoặc những bài toán từ thụt tế. Đặc biệt, khái niệm nghiệm cùa phuong trinh vi phân là một khái niệm phứt; tạp. Trong giáo trình (đặc biệt trong phẩn phụ lục) đua rất nhiều ví dụ để phân tích các loại nghiệm của phuong trinh vi phân.

- Phần lớn mỗi chương mục đều có lời mờ đầu, giới thiệu nhũng vấn đề được nghiên cứu trong chuông mục hoặc nêu lên mõi quan hệ với các vãn đề trong các chuông mục khác.

- Hệ thống bài tập được soạn thảo kĩ lưỡng, phong phú, đa dạng, có đáp số và hướng dẫn và được phân loại hợp lí. Tuy nhiên mỗi chương đều có những bài tập tổng hợp (chưa phân loại), để sinh viên tự nhận dạng và đề ra cách giãi các phương trinh. Các bài tập yêu cáu giải theo nhiều cách.

- Toàn bộ lí thuyết phương trình, hệ phương trinh vi phân tuyến tính được trình bày dưới dạng tổng quát. Nhưng khi giảng dạy, theo ý chúng tôi, có thể chi cán làm cho sinh viên nắm vững lí thuyết phương trinh tuyến tính cấp hai, và hệ hai phuong trình vi phân tuyến tinh cấp một, từ đó sinh viên có thể tự suy luận sang trường hợp tổng quát.

Cuốn sách sẽ là tài liệu để sinh viên sử dụng trong các xêmine như vậy. Để tránh gặp các số quá to, việc đánh số các định nghĩa, định li, ví dụ, phương trình..., chi được

thực hiện trong từng chương, mục và cũng chỉ làm khi cần thiết. Khi trích dẫn, tác già nêu rõ chương, mục, số thứ tự các định nghĩa, định lí... được nhắc đến, vi dụ định li 3 chuông li, mục 1 §2..., trừ trường hợp chúng nằm ngay trong chuông mục đang xét.

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn GS. TSKH. Nguyễn Thừa Hợp và GS. TS. Vũ Tuấn đã đọc và góp nhiều ý kiến sáu sắc cho giáo trình này.

Việc viết sách thể hiện tinh thắn đổi mới trong học tập còn mới mẻ và nhiều khó khàn. Tác già mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các nhà khoa học, các thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy và các sinh viên trực tiếp học tập theo giáo trình này.

Tác giả

8

C H Ư Ơ N G I

P H Ư Ơ N G T R Ì N H V I P H Â N C Á P M Ộ T •

§1. Mỏ ĐẦU

1. Sơ lược về phương trình vi phân Trong thực tế, khi nghiên cứu các quy luật của các hiện tượng tự nhiên và xã hội,

thông thường ta không tìm ngay được mối liên hệ giữa các đại lượng đang xét, nhưng lại có thể thiết lập được mối liên hệ giữa các đại lượng ấy cùng với các đạo hàm hoặc vi phân của chúng. Như vậy ta nhận được các phương trình có chứa các hàm số chưa biết và các đạo hàm hoặc vi phân của chúng. Các phương trình đó gọi là phương trình vi phân. Các hàm số thoa mãn phương trình vi phân gọi là nghiệm của phương trình vi phân. Việc tìm các nghiệm của phương trình vi phân gọi là giải phương trình vi phân (các nghiệm đó thường tìm được qua tích phân nên còn gọi là lích phân phương trình vi phân).

Phương trình vi phân đơn giản nhất có dạng: y' = f(x)

trong đó f(x) là một hàm số cùa biến số X, y là hàm số chua biết thoa mãn phương Mình. Sau đây là một số phương trình vi phân thường gặp, xuất phát từ các bài toán trong thực tế:

Ì) Phương trình chuyển động của chất điểm: ms" (t) = F[t, sít), s' (t)]

trong đó t là thời gian chuyển động. s(t) là quãng đường đi được của chất điểm tại thời điểm t. m là khối lượng của chất điểm. s' (t) là vận tóc của chuyển động. s" (t) là gia tốc của chuyển động. F là một hàm số của các biến số t, s, s' biểu thị lực tác dụng.

Đặc biệt, phương trình chuyển động cùa một vật roi là s"(t) = -g,

trong đó g là gia tốc trọng trường. 2) Phương trình dao động tự do của con lắc:

§ + Ịsine = 0, dt2 /

9

trong đó t là thòi gian của dao động g là gia tốc trọng trường / là độ dài cùa con lắc 9(t) là góc lệch của con lắc tại thời điểm t so với phương thẳng đứng

3) Phương trình điện lượng của một dòng điện trong mạch đơn:

L ậ + R ^ + I Q = E ( t ) , dt2 dt c

trong đó t là thời gian Q(t) là điện lượng trong tụ điện tại thời điểm t E(t) là hiệu số điện thế của dòng điện L là tụ cảm R là điện trở c là điện dung

4) Phương trình phân huy của chất phóng xạ:

dí trong đó t là thòi gian

R(t) là lượng chất phóng xạ tại thời điểm t k là hệ số phóng xạ

5) Phương trình truyền nhiệt trong một dây dẫn: ổu(x, t) 2 ổ2u(x, t) ——— = <x ^ — ,

õt ổx2

trong đó t là thời gian truyền nhiệt X là vị trí của một điểm thuộc dây dẫn (đặt trên một trục số) u(x, t) là nhiệt độ của dây dẫn tại thời điểm t và tại vị trí X. oe là hệ số truyền nhiệt.

6) Phương trình truyền sóng (chẳng hạn trên một dây đàn) a2u(x, t) 2 a2u(x, t)

, = a 7 • ót2 ổx2

trong đó t là thời gian truyền sóng X là vị trí của điểm nhận sóng truyền tới u(x, t) là độ lệch của dây so với vị trí thăng bằng tại thời điểm t và tại vị trí X.

10