ngothong.files.wordpress.com · * Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình f x k '( ) = . * Cho hai đường thẳng d y k x b 1 1 1 :

Nguyễn Tất Thu

Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 1

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

A. Tóm tắt lí thuyết I. Tính đơn điệu của hàm số 1. Định nghĩa : Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên K được gọi là : · Đồng biến trên K nếu với 1 2 1 2, ,x x K x x" Î <

( ) ( )1 2f x f xÞ <

· Nghịch biến trên K nếu với 1 2 1 2, ,x x K x x" Î <

( ) ( )1 2f x f xÞ > .

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I .

· Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ³ với mọi

x IÎ · Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì ( )' 0f x £ với mọi

x IÎ 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Định lý : Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) .Khi đó :

· Nếu ( )' 0f x > với mọi x IÎ thì hàm số f đồng biến trên I

· Nếu ( )' 0f x < với mọi x IÎ thì hàm số f nghịch biến trên

khoảng I

· Nếu ( )' 0f x = với mọi x IÎ thì hàm số f không đổi trên

khoảng I . Chú ý :

· Nếu hàm số f liên tục trên ;a bé ùë û và có đạo hàm ( )' 0f x > trên

khoảng ( );a b thì hàm số f đồng biến trên ;a bé ùë û

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


· Nếu hàm số f liên tục trên ;a bé ùë û và có đạo hàm ( )' 0f x < trên

khoảng ( );a b thì hàm số f nghịch biến trên ;a bé ùë û .

· Ta có thể mở rộng định lí trên như sau Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Nếu '( ) 0f x ³ với x I" Î ( hoặc '( ) 0f x £ với x I" Î ) và '( ) 0f x = tại một số hữu

hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I . II. Cực trị hàm số 1. Khái niệm cực trị hàm số :

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp ( )D D Ì ¡ và 0x DÎ

0)a x được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một

khoảng ( );a b chứa điểm 0x sao cho:

( )( ) { }0 0

;( ) ( ) ; \a b Df x f x x a b xì Ìïí

< " Îïî. Khi đó ( )0f x được gọi là giá trị

cực đại của hàm số f .

0)b x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một

khoảng ( );a b chứa điểm 0x sao cho:

( )( ) { }0 0

;( ) ( ) ; \a b Df x f x x a b xì Ìïí

< " Îïî. Khi đó ( )0f x được gọi là giá trị

cực tiểu của hàm số f . Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị Nếu 0x là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số

f đạt cực trị tại điểm 0x .

Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp

( )D D Ì ¡

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0x . Khi đó , nếu f có

đạo hàm tại điểm 0x thì ( )0' 0f x = .

Chú ý :

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


· Đạo hàm 'f có thể triệt tiêu tại điểm 0x nhưng hàm số f không

đạt cực trị tại điểm 0x .

· Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm . · Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm . 3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng ( );a b chứa điểm 0x và

có đạo hàm trên các khoảng ( )0;a x và ( )0;x b . Khi đó :

)a Nếu ( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

' 0, ;' 0, ;

f x x a xf x x x bì < Îïí

> Îïîthì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0x .

x a 0x b ( )'f x -

+

( )f x ( )f a

( )f b

( )0f x

)b Nếu ( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

' 0, ;' 0, ;

f x x a xf x x x bì > Îïí

< Îïîthì hàm số đạt cực đại tại điểm 0x .

x a

0x b ( )'f x +

0 -

( )f x

( )0f x

( )f a ( )f b

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng

( );a b chứa điểm 0x , ( )0' 0f x = và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại

điểm 0x .

)a Nếu ( )0'' 0f x < thì hàm số f đạt cực đại tại điểm 0x .

)b Nếu ( )0'' 0f x > thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm 0x .

Chú ý : Nếu 0x là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm

0 0( ; ( ))x f x được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f .

III. Tiệm cận 1. Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang: · Đường thẳng 0y y= được gọi là đường tiệm cận ngang ( gọi tắt là

tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu ( ) 0limx

f x y®+¥

= hoặc

( ) 0limx

f x y®-¥

= .

· Đường thẳng 0x x= được gọi là đường tiệm cận đứng ( gọi tắt là

tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu ( )0

limx x

f x-®

= +¥ hoặc

( )0

limx x

f x+®

= +¥ hoặc ( )0

limx x

f x-®

= -¥ hoặc ( )0

limx x

f x+®

= -¥ .

2. Đường tiệm cận xiên:

Đường thẳng ( )0y ax b a= + ¹ được gọi là đường tiệm cận xiên (

gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu

( ) ( ) ( )lim 0x

f x f x ax b®+¥

é ù= - + =ë û hoặc

( ) ( ) ( )lim 0x

f x f x ax b®-¥

é ù= - + =ë û .

Trong đó ( ) ( )lim , lim

x x

f xa b f x axx®+¥ ®+¥

é ù= = -ë û hoặc

( ) ( )lim , limx x

f xa b f x axx®-¥ ®-¥

é ù= = -ë û .

Chú ý : Nếu 0a = thì tiệm cận xiên trở thành tiệm cận ngang.

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


IV. Bài toán giao điểm Định lí : Số giao điểm của hai đồ thị hai hàm số ( )y f x= và ( )y g x= chính là số nghiệm của phương trình: ( ) ( )f x g x= . Từ định lí này sẽ dẫn tới hai bài toán giao điểm sau Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình: ( , ) 0F x m = (m là tham số) Phương pháp giải:

* Ta biến đổi phương trình ( ), 0F x m = về dạng ( ) ( )f x g m= , trong

đó ta đã biết đồ thị (C) của hàm số ( )y f x= hoặc có thể dễ dàng vẽ

được * Để biện luận số nghiệm của phương trình, ta chuyển về biện luận số

giao điểm của (C) và đường thẳng song song với Ox: ( )y g m=

Bài toán 2:Biện luận số giao điểm của hai đồ thị ( ) : ( )C y f x= và ( ') : ( )C y g x= Phương pháp giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’):

( ) ( ) (*)f x g x= . Số giao điểm của (C) và (C’) chính là số nghiệm của phương trình (*) V. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1.Định nghĩa: Cho hàm số ( )y f x= . Một cát tuyến 0MM được giới

hạn bởi đường thẳng 0M T khi M dần tới 0M thì 0M T gọi là tiếp

tuyến của đồ thị. 0M gọi là tiếp điểm.

Định lí 1: Đạo hàm của ( )f x tại 0x x= là hệ số góc của tiếp tuyến

tại ( )( )0 0;M x f x .

Nhận xét: Hệ số góc của mọi tiếp tuyến đều có dạng ( )0'f x .

2. Các bài toán về phương trình tiếp tuyến:

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x=

tại điểm 0 0( ; ( ))M x f x .

Phương pháp:

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= tại 0 0( ; )M x y là:

0 0 0'( )( )y f x x x y= - + với 0 0( )y f x= .

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= , biết tiếp tuyến có hệ số góc k . Phương pháp: * Giải phương trình '( )f x k= giải phương trình này ta tìm được các

nghiệm 1 2, , ..., nx x x .

* Phương trình tiếp tuyến: '( )( ) ( ) ( 1, 2,..., )i i iy f x x x f x i n= - + = .

Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau: * Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình

'( )f x k= .

* Cho hai đường thẳng 1 1 1:d y k x b= + và 2 2 2:d y k x b= + . Khi đó

i) 1 21 2

tan 1 .k k

k ka-

=+

, trong đó ·1 2( , )d da = .

ii) 1 21 2

1 2/ / k kd d b b

ì =ïÛ í ¹ïî

iii) 1 2 1 2. 1d d k k^ Û = - .

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= ,

biết tiếp tuyến đi qua điểm ( ; )A AA x y .

Phương pháp: Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp điểm. Khi đó tiếp tuyến có dạng:

0 0 0'( )( )y f x x x y= - +

Vì tiếp tuyến đi qua A nên ta có: 0 0 0'( )( )A Ay f x x x y= - + , giải

phương trình này ta tìm được x0 suy ra phương trình tiếp tuyến. Chú ý: Số tiếp tuyến là số nghiệm của phương trình

0 0 0'( )( ) ( )A Ay f x x x f x= - + (với ẩn là x0).

B. Các ví dụ I. Tính đơn điệu của hàm số Ví dụ 1.1. Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


32 2( 2) ( 2) (3 1)3

xy m m x m x m= + - + - - + .

Lời giải: Hàm số xác định trên R .

Ta có: 2' ( 2) 2( 2) 3 1y m x m x m= + - + - + . Hàm số đồng biến trên ' 0 R y x RÛ ³ " Î

2( 2) 2( 2) 3 1 0 m x m x m x RÛ + - + - + ³ " Î (1) Và lúc này ta chuyển bài toán đơn điệu về bài toán dấu tam thức bậc hai. Cụ thể là tam thức không đổi dấu trên R , do đó ta cần nhắc lại chút xíu về dấu của tam thức bậc hai.

Nhắc lại: Cho tam thức 2( ) , 0f x ax bx c a= + + ¹ có 2 4b acD = - * Nếu 0 . ( ) 0 a f x x RD < Þ > " Î

* Nếu 0 . ( ) 0 a f x x RD = Þ ³ " Î và . ( ) 0 2ba f x x a= Û = -

* Nếu 0 ( )f xD > Þ có hai nghiệm 1 2x x< .

· 1 2. ( ) 0 ( ; ) ( ; )a f x x x x> Û Î -¥ È +¥

· 1 2. ( ) 0 ( ; )a f x x x x< Û Î .

Từ định lí về dấu ta có ngay:

0 ( 0)( ) 0 ( ( ) 0) 0a af x f x x Rì > <ï³ £ " Î Û íD £ïî

.

Trở lại bài toán: Điều mà các bạn hay nhầm lẫn là áp dụng ngay kết quả trên vào (1). Lưu ý VT của (1) chưa phải là tam thức bậc hai vì hệ số 2a m= + nhận giá trị 0. Do đó ta cần chia làm hai trường hợp. TH 1: Nếu 2m = - khi đó (1) 7 0Û ³ luôn đúng với mọi x 2mÞ = - thỏa bài toán TH 2: Nếu 2m ¹ - khi đó (1) thỏa với mọi

2 0 2 0' ( 2)(4 1) 0 4 1 0

a m mx R m m mì ì= + > + >ï ïÎ Û Ûí íD = + + £ + £ï ïî î

12 4mÛ - < £ - .

Kết hợp cả hai trường hợp, ta có: 12 4m- £ £ - là những giá trị cần

tìm.

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


Nhận xét: Lời giải trên xem ra có vẻ đúng và hợp lí, tuy nhiên về mặt lí luận thì trình bày như trên là chưa thỏa đáng? Các bạn thử nghĩ xem chưa thỏa đáng ở chỗ nào ? Ta nên trình bày thế nào cho chặt chẽ ?. Ví dụ 2.1. Tìm m để hàm số 2 sin 1y x m x= + - nghịch biến trên R . Lời giải. Hàm số xác định trên R . Ta có: ' 2 cosy m x= + * Nếu 2 2 ' 0 m y x R- < < Þ > " Î Þ hàm số đồng biến trên R * Nếu 2 2 2 cos 0 m x x R= ± Þ ± ³ " Î và ' 0y = tại vô hạn điểm, do đó ta chưa kết luận được hàm số tăng trên R . Lấy hai giá trị 1 2x x< , khi đó sẽ có khoảng ( ; )a b chứa 1 2,x x và

' 0y = chỉ tại hữu hạn điểm trên (a;b) nên

hàm đồng biến trên 1 2( ; ) ( ) ( )a b y x y xÞ < Þ hàm số đồng biến trên

R . Vậy | | 2m £ là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 3.1. Tìm m để hàm số sau đồng biến trên )2;é +¥ë

3 2 2( 1) (2 3 2) (2 1)y x m x m m x m m= - + - - + + - . Lời giải. Hàm số xác định trên R.

Ta có 2 2' 3 2( 1) (2 3 2)y x m x m m= - + - - + .

Hàm đồng biến trên )2;é +¥ë ' 0yÛ ³ 2x" ³

2 2( ) 3 2( 1) (2 3 2) 0 [2; )f x x m x m m xÛ = - + - - + ³ " Î +¥

Vì tam thức ( )f x có 2' 7 7 7 0 m m mD = - + > "

Nên ( )f x có hai nghiệm: 1 21 ' 1 ';3 3

m mx x+ - D + + D= = .

Vì 1 2x x< nên 12

( ) 0 x xf x x xé £

³ Û ê ³êë.

Do đó 2( ) 0 [2; ) 2 ' 5f x x x m³ " Î +¥ Û £ Û D £ -

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


2 25 5 32 2' (5 ) 2 6 0

m mm

m m mì ì£ £ï ïÛ Û Û - £ £í íD £ - + - £ï ïî î

.

Vậy 32 2m- £ £ là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 4.1. Tìm m để hàm số 3 21 ( 1) 3( 2) 13y mx m x m x= - - + - +

đồng biến trên (2; )+¥ . Giải. Vì hàm số liên tục trên R nên: Hàm số đồng biến trên (2; )+¥ Û hàm số đồng biến trên [2;+ )¥ .

Ta có : 2' 2( 1) 3( 2)y mx m x m= - - + - . C 1. Hàm đồng biến trên [2; )+¥ ' 0 [2; )y xÛ ³ " Î +¥

2( ) 2( 1) 3( 2) 0 [2; )f x mx m x m xÛ = - - + - ³ " Î +¥ (3) TH 1: 0m = khi đó (3) chỉ đúng với mọi 3x ³ . TH 2: 0m < ta thấy trường hợp này không tồn tại m nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH 3: 0m > , ( )f x có 2' 2 4 1m mD = - + +

* Nếu 2 6' 0 2m +

D £ Û ³ (do 0m > ) ( ) 0 f x xÞ ³ " Î ¡

* Nếu 2 6' 0 0 2m +

D > Û < < (*).

Khi đó ( )f x có hai nghiệm 1 2x x< và

12

2( ) 0 ( ) 0 2 2x xf x f x x xx x

é £³ Û Þ ³ " ³ Û £ê ³êë

21 ' 22 ' 1 3 2 0 3m m m m mm- + D

Û £ Û D £ + Û - ³ Û ³

Kết hợp với (*) 2 2 63 2m +

Þ £ < . Vậy 23m ³ là những giá trị cần

tìm. C2: Hàm đồng biến trên [2;+∞) ' 0 [2; )y xÛ ³ " Î +¥

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


2 2( 1) 3( 2) 0mx m x mÛ - - + - ³

[2; )x" Î +¥ 26 2 ( ) [2; )

2 3xm g x x

x x-

Û ³ = " Î +¥- +

.

Xét hàm số ( )g x , ta có : 2

2 22( 6 3)'( )( 2 3)x xg x

x x- +

=- +

'( ) 0 3 6 ( 2)g x x vi xÞ = Û = + ³ và

lim ( ) 0x

g x®+¥

= .

Lập bảng biến thiên ta có 2

2max ( ) (2) 3xg x g

³= =

22( ) [2; ) max ( ) 3x

m g x x m g x³

Þ ³ " Î +¥ Û ³ = .

II. Cực trị hàm số Ghi nhớ: Cho hàm số ( )y f x= , xác định trên D .

* 0x DÎ là điểm cực trị của khi và chỉ khi tại 0x đạo hàm triệt tiêu

hoặc không xác định và qua đó đạo hàm đổi dấu. * 0 0( )y f x= : Cực trị hàm số

* Điểm 0 0( ; )x y : Điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Ví dụ 5.1. Tìm m để hàm số: 3 23 ( 1) 1y mx mx m x= + - - - cực trị. Lời giải. Hàm số xác định trên R

Ta có: 2' 3 6 1y mx mx m= + - + . Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm

nên 0x là điểm cực trị của hàm số thì đạo hàm tại đó phải bằng 0. Vậy

hàm số có cực trị khi và chỉ khi ' 0y = phải có nghiệm và y’ đổi dấu qua nghiệm đó. * Nếu 0 ' 1 0 m y x R= Þ = > " Î Þ hàm số không có cự trị * Nếu 0m ¹ . Khi đó 'y là một tam thức bậc hai nên ' 0y = có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm ' 0yÛ = có hai nghiệm phân

biệt hay 2 1' 12 3 0 0 v 4m m m mD = - > Û < > .

Vậy 10 v 4m m< > là những giá trị cần tìm.

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


Nhận xét: Nếu 'y là một tam thức bậc hai hoặc triệt tiêu và cùng dấu với một tam thức bậc hai thì hàm có cực trị Û phương trình ' 0y = có hai nghiệm phân biệt thuộc TXĐ.

Ví dụ 6.1. Tìm m để hàm số 2 1x mxy x m+ +

=+

đạt cực tiểu tại 1x = .

Lời giải. Hàm số xác định với mọi x m¹ -

Ta có: 21 1' 1

( )y x yx m x m= + Þ = -

+ +. Vì hàm số có đạo hàm

tại mọi điểm x m¹ - nên để hàm đạt cực tiểu tại 1x = thì trước hết

21'(1) 1 0 0; 2

(1 )y m m

m= - = Û = = -

+.

Mà 31''

( )y

x m=

+ nên

* 0 ''(1) 1 0 1m y x= Þ = > Þ = là điểm cực tiểu 0mÞ = thỏa yêu cầu bài toán. * 2 '(1) 1 0 1m y x= - Þ = - < Þ = là điểm cực đại 2mÞ = - không thỏa yếu cầu bài toán. KL: 0m = . Nhận xét: Nhiều bạn đã giải bài toán trên bằng cách sử dụng điểu kiện sau

Hàm số đạt cực tiểu tại '(1) 01 ''(1) 0

yx yì =ï= Û í >ïî

(*) !

Các bạn lưu ý là dấu hiệu hai chỉ phát biểu khi 0''( ) 0y x ¹ . Các bạn

sẽ thấy rõ hơn bằng cách giải bài toán sau:

1. Tìm m để hàm số 4 2 23y x mx m m= + + + đạt cực tiểu tại 0x =

2. Tìm m đề hàm số 3 23( 2) ( 4) 2 1y x m x m x m= - + - + - + - đạt cực đại tại 1x = - . Tuy nhiên trong một số bài toán ta khẳng định được 0''( ) 0y x ¹ thì ta

sử dụng (*) được. Chẳng hạn ở ví dụ trên chúng ta có thể trình bày như sau:

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


Ta có: 21 1' 1

( )y x yx m x m= + Þ = -

+ +,

31'' 0

( )y x m

x m= ¹ " ¹ -

+ nên :

Hàm số đạt cực tiểu tại '(1) 01 ''(1) 0

yx yì =ï= Û í >ïî

.

Hoặc ở ví dụ sau:

Ví dụ 7.1. Tìm m để hàm số 22 2 4 5y x m x x= - + + - + có cực đại. Lời giải: Hàm số xác định trên ¡ .

Ta có 2 3/222' 2 ; "

( 4 5)4 5x my m y

x xx x-

= - + =- +- +

.

* Nếu 0m = thì ' 2y = - nên hàm số không có cực trị. * 0m ¹ vì dấu của ''y chỉ phụ thuộc vào m nên để hàm có cực đại thì trước hết " 0y < 0mÛ < . Khi đó hàm số có cực đại Û Phương trình ' 0y = có nghiệm.

Ta có: 2' 0 2 ( 2) 1 ( 2)y x m x= Û - + = - (1) .Đặt 2t x= - thì (1) trở thành

222 2

2

002 1 (1)1( 4) 1

4

ttmt t tm t

m

ì £ì £ï ï= + Û Û Þí í =- =ï ïî î -

có nghiệm

2 4 0 2m mÛ - > Û < - (Do 0m < ). Vậy 2m < - thì hàm số có cực đại.

Ví dụ 8.1. Tìm m để hàm số = - - - -2( )( 3 1)y x m x x m có cực đại

và cực tiểu thoả =Ð. 1C CTx x .

Lời giải. Hàm số xác định trên ¡ . Ta có

= - + + -2' 3 2( 3) 2 1y x m x mÞ = Û - + + - =2' 0 3 2( 3) 2 1 0 (1)y x m x m

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


Hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn =Ð. 1C CTx x Û (1) có hai

nghiệm 1 2,x x thỏa mãn: =1 2| . | 1x x

ìD = + > é =ïÛ Û êí - = -= = = êï ëî

2' 7 0 22 1 1| | | | | | 13

m mc m mP a

. Vậy = 2m hoặc = -1m

là giá trị cần tìm. Nhận xét. Chúng ta đã giải quyết bài toán liên quan đến hoành độ của điểm cực trị. Ghi nhớ rằng các hàm đa thức hay phân thức hữu tỉ luôn có đạo hàm tại mọi điểm thuộc tập xác định nên hoành độ điểm cực trị bao giờ cũng là nghiệm của phương trình ' 0y = . Thường thì các bạn chỉ gặp những hàm số mà 'y là một tam thức bậc hai hoặc triệt tiêu và cùng dấu với một tam thức bậc hai, do đó những bài toán liên quan đến điểm cực trị của đồ thi hàm số thường chuyển về bài toán liên quan đến nghiệm cảu một phương trình bậc hai và định lí Viet là công cụ tốt nhất để giải quyết.

Ví dụ 9.1. Cho họ đường cong = + - -3 2( ) : 2 12 13mC y x mx x .

Tìm m để (Cm) có điểm cực đại và cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung. Lời giải. Hàm số xác định trên ¡

Ta có = + - Þ = Û + - =2 2' 2(3 6) ' 0 3 6 0 (2)y x mx y x mx Vì (2) luôn có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số luôn có hai cực trị. Gọi 1 2,x x là hoành độ hai cực trị, hai điểm cực trị cách đều trục

tung Û = Û = - Û + =1 2 1 2 1 2| | | | 0x x x x x x (vì ¹1 2x x )

- -Û = = = Û =0 03

b mS ma . Vậy = 0m là giá trị cần tìm.

Ví dụ 10.1. Cho hàm số 3 2 2 23 3( 1) 3 1y x x m x m= - + + - - - (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O .

Lời giải. Ta có ( )2 2' 3 6 3 1y x x m= - + + -

Hàm số có cực đại và cực tiểu Û

( )2 2'( ) 3 6 3 1 0g x x x m= - + + - = có hai nghiệm phân biệt .

2' 9 0 0m mÛ D = > Û ¹ . Gọi ,A B là các điểm cực trị ta có : 3(1 ; 2 2 );A m m- - - 3(1 ; 2 2 )B m m+ - + .

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


Điểm O cách đều hai điểm ,A B Û OA OB=

( )3 18 2 02m m m m Û = Û = ± ¹ .

III. Bài toán giao điểm Nội dung liên quan của bài toán này là dựa vào định lí sau Định lí: Số nghiệm của hai đồ thị ( ) : ( )C y f x= và ( ') : ( )C y g x= chính là số nghiệm của phương trình ( ) ( )f x g x= (1). Nghiệm của phương trình chính là hoành độ của các

giao điểm nên nó còn được gọi là phương trình hoành độ giao điểm. Từ định lí trên sẽ nảy sinh ra hai bài toán ngược nhau. Bài toán 1: Dựa vào đồ thị (C): ( )y f x= , biện luận số nghiệm của phương trình : ( , ) 0F x m = . Bài toán 2: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị ( ) : ( , )C y f x m= và ( ') : ( , )C y g x m= .

Ví dụ 11.1. (Khối A – 2006 ) Cho hàm số: 3 22 9 12 4y x x x= - + - có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt :

3 22 9 12x x x m- + = (1).

Lời giải . 1. Các bạn tự làm. 2. Đặt , 0t x t= ³ . Khi đó (1) trở thành:

3 2 3 22 9 12 2 9 12 4 4t t t m t t t m- + = Û - + - = - (2) Phương trình (1) có 6 nghiệm phân biệt (2)Û có 3 nghiệm dương phân biệtÛ đường thẳng 4y m= - cắt đồ thị hàm số

3 22 9 12 4y t t t= - + - tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương 0 4 1 4 5m mÛ < - < Û < < .

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


Lưu ý: 1) Ở bài toán trên ta có thể giải theo cách sau

Ta có: 3 32 22 9 12 2 9 12 4 4x x x m x x x m- + = Û - + - = -

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đường

thẳng 4y m= - với đồ thị hàm số (C’):3 22 9 12 4y x x x= - + - .

Vì hàm số 3 22 9 12 4y x x x= - + - là hàm số chẵn nên ( ')C nhận

Oy làm trục đối xứng. Do đó để vè (C’) ta chỉ cần vẽ một nhánh bên phải trục Oy rồi lấy đối xứng qua Oy ta có nhánh còn lại. Với 0 ( ') ( )x C C³ Þ º Þ ta có đồ thị (C’) như sau (hình vẽ)

Từ đồ thị hàm số 3 22 9 12 4y x x x= - + - ta có phương trình đã

cho có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 4 1 4 5m m< - < Û < < . 2) Trong bài toán 1 thường dẫn tới bài toán suy đồ thị

Cho đồ thị (3): ( )y f x= .Từ đồ thị (3) suy ra cách vẽ đồ thị (C’)

của hàm số : ( )| |y f x= như sau:

Ta thấy hàm số ( )| |y f x= là một hàm số chẵn nên đồ thị của nó là

hai nhánh đối xứng nhau qua truc Oy :

Mặt khác:( ) 0( ) 0

f x khi xy f x khi xì ³ï= í - <ïî

, suy ra với 0x ³ thì (3) và (C’)

trùng nhau. Vậy ta có cách vẽ (C’) như sau: B 1:Giữ nguyên phần đồ thị (3) ứng với phần 0x ³ (Phần nằm về phía bên phải trục Oy)

y

-4

O1

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


B 2: Lấy đối xứng qua trục Oy phần vừa vẽ ở bước 1 ta có đồ thị (C’).

Ví dụ 12.1. Cho hàm số 3( ) 2y f x x x= = - - + , có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C).

2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3| 2 |x x m+ - = (1) Lời giải. 1. Các bạn tự làm.

2. Xét đồ thị 3( ') : ( ) 2 ( )C y g x x x f x= = + - = . Khi đó số nghiệm

của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C’) và đường thẳng : y mD = .

Ta có: ( ) khi ( ) 0( ) ( ) khi ( ) 0

f x f xg x f x f xì ³ï= í- <ïî

suy ra

* Nếu ( ) 0f x ³ (Tức là phần đồ thị (3) nằm trên truc Ox) thì (C’) và (3) trùng nhau.

* Nếu ( ) 0f x < , khi đó mọi điểm 'M thuộc (C’) thì

( )( )’ ;M x f x- còn M thuộc

(3) thì ( )( );M x f x Þ M và 'M đối xứng nhau qua trục Ox hay là

(3) và (C’) đối xứng nhau qua trục Ox. Cách vẽ: B 1 : Giữ nguyên đồ thị (3) ứng với phần ( ) 0f x ³ (Phần đồ thị nằm trên Ox). B 2 : Lấy đối xứng qua trục Ox đồ thị (3) phần ( ) 0f x < (Phần nằm phía dưới Ox). Ta có đồ thị (C’) (hình 1.4). Dựa vào đồ thị (C’) ta có : · Nếu 0m < Þ D và (C’) không cắt nhau (1)Þ vô nghiệm · Nếu 0m = Þ D cắt (C’) tại một điểm (1)Þ có một nghiệm · Nếu 0m > Þ D cắt (C’) tại hai điểm (1)Þ có hai nghiệm.

Ví dụ 13.1. Tìm m để đường thẳng : 2d y x m= + cắt đồ thị (C):

2 21

xy x-

=+

tại 2 điểm phân biệt ,A B sao cho 5AB = .

Lời giải.

y

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( )C :

2 2 21x x mx-

= + Û+

( ) ( )22 2 0 , 1 1x mx m x+ + + = ¹ -

d cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt Û (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1-

2 4 4 28 16 04 2 4

mm mmé £ -êÛ - - > Ûê ³ +ë

(*).

Gọi 1 2,x x là hai nghiệm của (1) ( )1 1 2 2; 2 , ( ;2 ).A x x m B x x mÞ + +

Theo định lí Viét ta có : 1 2 1 22; 2 2

m mx x x x ++ = - = .

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 25 ( ) 4( ) 5 ( ) 4 1AB x x x x x x x x= Û - + - = Û + - =

2 8 20 0 10; 2m m m mÛ - - = Û = = - Đối chiếu (*), ta có 10; 2m m= = - là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 14.1. Cho hàm số 3 23 4y x x= - + (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Gọi kd là đường thẳng đi qua (3;4)A và có hệ số góc k . Tìm k để

kd cắt (C) tại ba điểm phân biệt , , A M N sao cho hai tiếp tuyến của

(C) tại ,M N vuông góc với nhau. Lời giải. Phương trình : ( 3) 4kd y k x= - + . Ta có PTHĐ giao điểm của (C) và

kd : 22

3( 3)( ) 0

xx x k

x ké =ê- - = Û

=êë.

kd cắt (C) tại ba điểm A,M,N09

kkì >ïÛ í ¹ïî

.

Khi đó ;M Nx k x k= = - .

Tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau '( ). '( ) 1y k y kÛ - = -

2 6 379 36 1 0 3k k k +Û - - = Û = .

Ví dụ 15.1. Cho hàm số 2 1

2xy x+

=+

(C)

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Chứng minh rằng đường thẳng :d y x m= - + luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Tính độ dài đoạn AB theo m . Lời giải. Xét PTHĐ giao điểm của d và (C):

22 1 (4 ) 1 2 0 (*)2x x m x m x mx+

= - + Û + - + - =+

Vì (*) có 2 24 12 ( 2) 8 0m m mD = - + = - + > và 2- không là nghiệm của (*) nên (C) và d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (*). Khi đó :

1 1 2 2( ; ), ( ; )A x x m B x x m- + - +

2 2 21 2 1 2 1 22( ) 2( ) 8AB x x x x x xÞ = - = + - .

Áp dụng định lí Viét : 2 2 22( 4 12) 2( 4 12)AB m m AB m m= - + Þ = - + .

Chú ý: Ở bài toán trên ta có thể giải quyết một số bài toán liên quan đến độ dài đoạn AB như : AB nhỏ nhất, 5AB = ,… IV. Bài toán tiếp tuyến Định lí: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) : ( )C y f x= tại

0 0( ; ) ( )M x y CÎ có phương trình :

0 0 0'( )( )y f x x x y= - + (1).

Vậy để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, ta cần đi xác định giá trị 0x .

Lưu ý: 0'( )f x : hệ số góc của tiếp tuyến.

Ví dụ 16.1. Cho hàm số 2 2

1xy x+

=-

có đồ thị (C).

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc 4k = - . 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ tại hai điểm ,A B sao cho tam giác OAB là một tam giác vuông cân. 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M , biết IM vuông góc với tiếp tuyến, trong đó (1;2)I . 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua

(1;5)A .

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


Lời giải. Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp điểm, khi đó tiếp tuyến D có phương trình:

002 00

2 24 ( ) 1( 1)xy x x xx

+-= - +

--

1. Giả thiết của bài toán cho hệ số góc bằng 3- nên ta có

0'( ) 3f x = - . Từ đây ta tìm được 0x Þ tiếp tuyến

Theo giả tiết ta có: 00 2 00

04'( ) 4 4 2( 1)xy x xxé =-

= - Û = - Û ê=- êë

* 0 0 : 4 2x y x= Þ D = - -

* 0 2 4 14x y x= Þ = - +

2. Cách 1: Giả thiết của bài toán cho AOBD vuông cân nên ta khai thác tính chất của tam giác vuông cân

Vì tam giác AOB cân tại O nên phân giác của góc ·AOB (chính là đường thẳng y x= hoặc y x= - ) vuông góc với đường thẳng BC (Chính là tiếp tuyến) nên tiếp tuyến có hệ số góc 1k = ±

0'( ) 1y xÛ = ± . Do

00 2 00

34' 0 '( ) 1 1 1( 1)xy y x xxé =-

< Þ = - Û = - Û ê= -- êë

.

* 0 3 : 7x y x= Þ D = - +

* 0 1 : 1x y x= - Þ D = - -

Cách 2: Gọi 20 02 1( ;0)2

x xA Ox A + -= D Ç Þ ,

20 0

20

2 4 20;( 1)

x xB Oy Bx

æ ö+ -ç ÷= D Ç Þç ÷-è ø

Vì tam giác AOB cân tại 2 20 0 0 0 2

020

2 1 2( 2 1)( 1) 42 ( 1)

x x x xO OA OB x

x

+ - + -Þ = Û = Û - =

-

Giải tiếp ta được kết quả như trên. Nhận xét:

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


Cách 1 cho chúng ta lời giải ngắn gọn hơn. Tuy nhiên cách 2 có ý nghĩa tổng quát hơn. Khi thay đề bài bằng các câu hỏi khác liên quan đến tam giác OAB (Chẳng hạn 2OA OB= hoặc AOBD có diện tích bằng k …) thì lời giải thứ nhất không còn hiệu quả nữa, trong lúc đó cách giải thứ hai ta vẫn áp dụng được.

3. Tiếp tuyến D có VTCP: 20

41;( 1)

uxD

æ öç ÷= -ç ÷-è ø

uur và

00

4( 1; )1IM x x= --

uuur. Ta có: . 0IM u IMDD ^ Û =

uur uuur

4 00 03 00

316( 1) 0 ( 1) 16 1( 1)xx x xxé =

Û - - + = Û - = Û ê= -- êë

Từ đó ta được hai tiếp tuyến là: 7y x= - + và 1y x= - - .

4. Vì 0 002 0 00

2 2 2 645 (1 ) 51 1( 1)x xA x x xx

+ +-Î D Þ = - + Û =

- --

0113xÛ = . Vậy

9 89: 16 16y xD = - + .

Ví dụ 17.1. Cho hàm số 3 23 1y x mx mx= - + + ( mC ). Tìm tất cả

các giá trị của m để: 1. Tiếp tuyến của đồ thị ( )mC tại điểm có hoành độ 1x = - tạo với

đường thẳng :d 1y x= + một góc 045

2. Trên ( )mC có đúng bốn điểm mà tiếp tuyến của ( )mC tại đó tạo

với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. Lời giải.

Ta có: 2' 3 6y x mx m= - +

1. Với 0 0 01 4 , '( ) 7 3x y m y x m= - Þ = - = +

Phương trình tiếp tuyến D tại điểm có hoành độ 1x = - :

(7 3) 3 3y m x m= + + + (1;7 3)u mDÞ = +uur

và (1;1)du =uur

0 0 .2 2( , ) 45 cos( , ) cos 45 2 2.d

d

u ud d

u uD

D

Þ D = Û D = = Û =

uur uuruur uur

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


2 2 27 4 1 (7 3) (7 4) 1 (7 1)m m m mÛ + = + + Û + = + +

13mÛ = - .

2. Tiếp tuyến tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến 1k = ± .

Xét phương trình: 2' 1 3 6 1 0y x mx m= Û - + - = (1) có 2' 9 3 3 0 m m mD = - + > "

Pt: 2' 1 3 6 1 0y x mx m= - Û - + + = (2) có 2' 9 3 3m mD = - -

Để trên ( )mC có đúng bốn điểm mà tiếp tuyến tại đó tạo với hai trục

tọa độ tam giác vuông cân thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và không có nghiệm chung với (1).

(2) có hai nghiệm phân biệt 2 1 133 1 0 12m m m -Û - - > Û <

hoặc 1 13

12m +> .

Giả sử 0x là nghiệm chung của (1) và (2)

20 020 0

3 6 1 03 6 1 0x mx mx mx m

ì - + - =ïÞ í- + + =ïî

vô nghiệm .

Vậy 1 13 1 13; ;12 12m

æ ö æ ö- +ç ÷ ç ÷Î -¥ È +¥ç ÷ ç ÷è ø è ø

là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 18.1. Cho hàm số 4 22 4 1y x x= - + (C). 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua

(1; 1)A - . 2. Tìm những điểm thuộc (C) mà tiếp tuyến của (C) tại đó cắt (C) tại ba điểm phân biệt 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt. Lời giải. Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp điểmÞphương trình tiếp tuyến

3 4 20 0 0 0 0: (4 4 )( ) 2 4 1y x x x x x xD = - - + - +

1. Ta có 3 4 20 0 0 0 0(8 8 )(1 ) 2 4 1 1A x x x x xÎ D Û - - + - + = -

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 04( 1)( ) ( 1) 0 ( 1)( 3 4 1) 0x x x x x x x- - + - = Û - - + - =

0 011; 3x xÛ = ± = .

* 0 1 : 1x y= ± Þ D = -

* 01 64 37:3 27 27x y x= Þ D = - +

2. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và :D 4 2 3 4 2

0 0 0 0 02 4 1 (8 8 )( ) 2 4 1x x x x x x x x- + = - - + - +

2 2 2 2 2 2 30 0 0 0 0 0( )( ) 2( ) 4( )( ) 0x x x x x x x x x xÛ - + - - - - - =

2 2 30 0 0 0 0( ) ( )( ) 2 4 2 0x x x x x x x x xé ùÛ - + + - - + =ê úë û

2 2 20 0 0( ) ( 2 3 2) 0x x x x x xÛ - + + - =

02 2

0 02 3 2 0 (*)x xx x x xé =êÛ

+ + - =êë

Yêu cầu bài toán (*)Û có hai nghiệm phân biệt khác 0x

2 002

00

1 1' 2 2 016 2 0 3

xxxx

ì- < <ìD = - + >ï ïÛ Ûí í ¹ ±- ¹ï ïî î

.

3. Giả sử D tiếp xúc với (C) tại ( ; )N n m M¹ 3 4 2: (8 8 )( ) 2 4 1y n n x n n nÞ D = - - + - +

2 23 30 00 0

2 24 2 4 20 00 0

1 08 8 8 8( ) 3( ) 2 06 4 1 6 4 1n nx xn n x xn x n xn n x x

ìì + + - =- = -ï ïÞ Ûí í é ù+ + - =- + + = - + +ï ï ê úî ë ûî

2 20 0

0

1 0 (I)0n nx xn xì + + - =ïÛ í

+ =ïî hoặc

2 20 0

2 20

1 0 (II)3( ) 2 0n nx xn x

ì + + - =ïí

+ - =ïî

Ta có : (I) 0 02 : 111

n x n x ynnì = - ì = -ï ïÛ Û Þ D = -í í = ±= ïï îî

.

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


2 2 20

00 0

2 4( ) 13 3(II) 1 1 33 9

n x n xn x

nx nx

ì ì+ = + =ï ïï ïÛ Û Û = = ±í í

ï ï= =ï ïî î

(loại ).

Vậy : 1yD = - là tiếp tuyến cần tìm. V. Tìm điểm thuộc đồ thị. Bài toán : Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị (C) : ( )y f x= , biết M thỏa mãn tính chất T cho trước Phương pháp : ( ) ( ; ( ))M C M m f mÎ Þ . Dựa vào tính chất T của M ta tìm được m .

Ví dụ 19.1. Cho đồ thị 2( ) : 1

xC y x+

=-

.

1. Tìm những điểm M thuộc (C), sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng : 2 2 0x yD + - =

a) Bằng 65

b) Nhỏ nhất

2. Tìm hai điểm ,A B thuộc hai nhánh của (C) sao cho AB nhỏ nhất. 3. Tìm ( )N CÎ sao cho khoảng cách từ N đến Ox gấp đôi khoảng cách từ N đến Oy . Lời giải.

1. Gọi 2; 1

mM m mæ ö+ç ÷-è ø

( )222 2 2 3 41,

5 5 | 1 |

mm m mmd Mm

++ - - +-

Þ D = =-

.

a) 26( , ) 2 3 4 6 | 1 |5

d M m m mD = Û - + = -

2

2

52;2 9 10 0 212 3 2 0 2; 2

m mm mm m m m

éé = =ê- + =êÛ Û êê + - = ê = - =ë êë

.

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


Vậy 1 5, , 22 2m m m= = = ± là những giá trị cần tìm.

b) Xét hàm số 22 3 4( ) 1

m mf m m- +

=-

, ta có 2

22 4 1'( )

( 1)m mf m

m- -

=-

;

2 6'( ) 0 2f m m ±= Û =

2 6( ) ( ) 1 2 622 6( ) ( ) 1 2 62

f m f

f m f

é +³ = +ê

êÞê -

£ = -êë

( , ) ( ) 2 6 1d M f mÞ D = ³ - .

Vậy ( , )d M D nhỏ nhất 2 6

2m -Û = .

2. Gọi 3(1 ;1 )A a a+ + ,

3(1 ;1 )B b b- - với , 0a b > ,A BÞ nằm về hai

nhánh của (C).

2 22 2

3( ) 9( ; ) ( ) 1a bBA a b AB a bab a bé ù+

= + Þ = + +ê úë û

uuur

Do 2 22 29 9( ) 4 4 (1 ) 4( ) 24a b ab AB ab ab aba b

+ ³ Þ ³ + = + ³ .

2 6ABÞ ³ . Đẳng thức xảy ra 39a b

a bab ab

ì =ïÛ Û = =í

=ïî

(1 3;1 3), (1 3;1 3)A BÞ + + - - là hai điểm cần tìm.

3. Gọi 00 0 0

0

2( ; ) ( ) 1xN x y C y x

+Î Û =

-.

Theo bài ra : 0 00 0

0 0

2( , ) 2 ( , ) | | 2 | | 2x yd N Ox d N Oy x y x yé =

= Û = Û ê = -êë.

* 200 0 0 0 0

0

2 42 3 4 01xx y x x xx

+= Û = Û - - =

-

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


0 0

0 0

11 24 2

x yx y

é= - Þ = -êÛ ê = Þ =êë

.

* 200 0 0 0 0

0

2 42 4 01xx y x x xx

- -= - Û = Û + + =

- vô nghiệm.

Vậy 11( 1; )2N - - và 2(4;2)N là hai điểm cần tìm.

Ví dụ 20.1. Cho hàm số 3 2(3 1) 2 1y x m x mx m= - - + + + ( )mC .

1. Tìm trên đồ thị 2( )C những cặp điểm đối xứng qua O

2. Tìm m để trên ( )mC tồn tại một cặp điểm đối xứng nhau qua Oy

Lời giải.

1. Với 3 222 ( ) : 5 6 3m C y x x x= Þ = - + +

Gọi 3 2 3 2( ; 5 6 3), B( ; 5 6 3)A a a a a b b b b- + + - + + là hai điểm thuộc (C) và đối xứng nhau qua Oy

3 2 3 2 2 35 6 3 5 6 35

a ba ba a a b b b a

ì = -ì = -ï ïÞ Ûí í- + + = - + - - =ï ïî î

Vậy hai điểm thuộc (C) đối xứng nhau qua O là :

3 33 3;5 5 5Aæ öç ÷ç ÷è ø

và 3 33 3;5 5 5B

æ öç ÷- -ç ÷è ø

.

2. Gọi 1 1 2 2( ; ), ( ; )M x y N x y là hai điểm thuộc (C)

,M N đối xứng nhau qua 1 21 21 2

, 0x xOy x x

y y

ì ¹ï

Û = -íï =î

1 21 221

, 0

2 0 (*)

x xx xx m

ì ¹ïïÛ = -íï + =ïî

Yêu cầu bài toán (*)Û có hai nghiệm phân biệt 2 0 0m mÛ - > Û < .

Vậy 0m < là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 21.1. Cho hàm số 3( 2) 3( 2) 7y m x m x m= + - - + + ( mC )

Chứng minh rằng họ đường cong ( )mC luôn đi qua ba điểm cố định

và ba điểm này nằm trên một đường thẳng.

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


Lời giải. Gọi 0 0( ; )A x y là điểm cố định của họ đường cong ( )mC

30 0 0( 2) 3( 2) 7 y m x m x m mÞ = + - - + + "

3 30 0 0 0 0( 3 1) 2 6 7 0 m x x x x y mÛ - + + + + - = "

3 30 0 0 0

30 0 0 00 0 0

3 1 0 3 1 02(3 1) 6 7 12 52 6 7

x x x xy x x xy x x

ì ì- + = - + =ï ïÛ Ûí í= - + + = += + +ï ïîî

Vì phương trình 3 3 1 0x x- + = luôn có ba nghiệm phân biệt nên ta suy ra họ đường cong ( )mC luôn đi qua ba điểm cố định

Từ phương trình 0 012 5y x= + Þ ba điểm cố định này nằm trên

đường thẳng 12 5y x= + . Bài tập. Bài 1.1. Tìm m để hàm số ( 3) (2 1) cosy m x m x= - - + luôn nghịch biến trên ¡ .

Bài 2.1. Tìm m để hàm số 3 21 (3 2)3my x mx m x-

= + + - luôn

nghịch biến trên ¡ . Bài 3.1. Chứng minh rằng hàm số sau không thể luôn đồng biến trên

¡ : 3 2 2( 1) (2 3 2)y x m x m m x m= - + - - + + .

Bài 4.1. Tìm m để hàm số 3 2( 1) ( 3) 43

xy m x m x= - + - + + - tăng

trên (0; 3) .

Bài 5.1. Tìm m để hàm số 2 22 3

2x mx my m x

- +=

- giảm trên (1; )+¥ .

Bài 6.1 Với giá trị nào của m thì ( )mC :

( )4 2 22 2 5 5y x m x m m= + - + - + có ba điểm cực trị và ba điểm

đó là ba đỉnh của một tam giác đều.

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


Bài 7.1. Tìm m để hàm số = - + +3 2 23y x x m x m có cực đại, cực

tiểu và hai điểm đó đối xứng nhau qua đường thẳng 1 52 2y x= - .

Bài 8.1. Tìm m để đồ thi hàm số sau đạt cực tiểu tại điểm có hoành

độ nhỏ hơn 1: ( ) ( )3 2 2 23 1 3 7 1 1y x m x m m x m= - + + - + - + - .

Bài 9.1. Tìm m để đồ thị hàm số 4 22 2y x mx= - + có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm.

Bài 10.1. Cho hàm số 3 23y x x= - , (d) là một đường thẳng đi qua O và có hệ số góc k. Với giá tri nào của k thì (d) cắt đồ thi hàm số tại ba điểm phân biệt?

Bài 11.1 Cho hàm số 4 26 5y x x= - + (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

2. Tìm m để phương trình 4 26 0x x m- - = có bốn nghiệm phân biệt.

Bài 12.1.Cho hàm số 3 2( ) 2 2y f x x x x= = + + + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. 2. Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (D1) :

2y kx= + .

Bài 13.1. Cho hàm số 3 23 4y x x= - + (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Gọi kd là đường thẳng đi qua A(3;4) và có hệ số góc k. Tìm k để

kd cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của

(C) tại M, N vuông góc với nhau.

Bài 14.1. Cho hàm số 3 22 ( 3) 4y x mx m x= + + + + (Cm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m=1. 2. Tìm m để đường thẳng 4y x= + cắt (Cm) tại ba điểm A(0;4); B và

C sao cho 8 2MBCSD = với M(1;3).

Bài 15.1. Tìm m để đồ thị 2 1( ) : 2xC y x+

=-

và đường thẳng

2y x m= + cắt nhau tại hai điểm nằm về hai phía trục Oy .

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


Bài 16.1. Cho hàm số :

( ) ( ) ( ) 3 2 2 22 3 2 9 2 3 7 my x m x m m x m m C= - + + - + - + -

1. Khảo sát khi 0m = 2. Tìm m để ( )mC cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ 1 2 3, ,x x x

không nhỏ hơn 1.

Bài 17.1. Cho hàm số 3 23 4y x mx= - + 1. Khảo sát vẽ đồ thị khi 1m =

2. Tìm m để phương trình 3 23 4 0x mx- + = có 3 nghiệm phân biệt và các nghiệm đều nhỏ hơn 4

Bài 18.1. Cho hàm số 1

2 1xy x- +

=-

(C). Viết phương trình tiếp tuyến

của (C) biết 1. Tiếp tuyến đi song song với đường thẳng 4 1 0x y+ - = 2. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 9 1 0x y- + = 3. Tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác vuông cân

Bài 19.1. Cho hàm số 3 23 3 5y x x x= + + + (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Xác định a để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng ( 0)y ax a= ¹ . 3) Gọi U là điểm uốn của đồ thị (C).Chứng minh rầng tiếp tuyến của (C) tại U có hệ số góc nhỏ nhất và U là tâm đối xứng của (C).


2 1133 3xy x x= - + + -

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2)Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung (D1 – 2006 ).

Bài 21.1. Cho hàm số ( ) ( )3 21 2 2 2y x m x m x m= + - + - + + (m

là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi 2m = . 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. (B2 – 2006 )


xy x+

=-

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho.

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


2) Cho điểm ( )0 0;M x y thuộc đồ thị ( )C . Tiếp tuyến của ( )C tại M

cắt các tiệm cận của ( )C tại các điểm A và B. Chứng minh M là trung điểm của AB (D2 – 2006 ).

Bài 23.1. Cho hàm số: ( )12 1xy Cx- +

=+

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó qua giao điểm của tiệm cận đứng và trục Ox. (D1 – 2007 ).

Bài 24.1. Cho hàm số: ( )1xy Cx=-

.

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2) Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân. (D2 – 2007 ).

Bài 25.1. Cho hàm số: ( )3 23 1 1y x mx m x= + + + +

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi 1m = - 2) Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có

hoành độ 1x = - đi qua điểm ( )1;2A (A1 – 2008 ).

Bài 26.1. Cho hàm số: ( )3 23 3 2 1y x x m m x= - - + - (1)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 0m= . 2) Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu. (B1 – 2008 ).

Bài 27.1. Cho hàm số: 3 1

1xy x+

=+

(1)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . 2) Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục toạ độ và tiếp tuyến với

đồ thị hàm số (1) tại điểm ( )2;5M - (D1 – 2008 ).

Bài 28.1. Cho hàm số: 3 23 2y x x mx= - + + - (1) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 0m = .

2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( )0;2 .

(D2 – 2008 ).


2 3xy x+= + (1).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

Nguyễn Tất Thu


2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. (A – 2009 ).

Bài 30.1. Cho hàm số ( )4 22 – 4 1y x x=

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

2. Với các giá trị nào của m , phương trình 2 2 2x x m- = có đúng 6

nghiệm thực phân biệt ? (B – 2009 ).

Bài 31.1. Cho hàm số ( )4 2– 3 2 3y x m x m= + + có đồ thị là (Cm), m

là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi 0m = . 2. Tìm m để đường thẳng 1y = - cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt

đều có hoành độ nhỏ hơn 2 (D – 2009 ).

Bài 32.1. Cho hàm số 3 2 2 23 3( 1) 3 1y x x m x m= - + + - - - (1) , m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O . (B – 2007 ).

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

ngothong.files.wordpress.com · * Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình f x k '( ) = . * Cho hai đường thẳng d y k x b 1 1 1 :

Documents