Mechanika – Newtonovy zákony, otáčivý pohyb, zákony zachování. Rychlost, zrychlení, hybnost, síla. Kinematika a dynamika hmotných bodů a tuhého tělesa. Pohybová rovnice a její řešení. Otáčivý pohyb (momenty sil, hybností, moment setrvačnosti). Práce a energie. Mechanické zákony zachování. Mechanika se zabývá studiem mechanického pohybu látky, tj. přemísťováním v prostoru a čase. Mechaniku dělíme na kinematiku, ta se zabývá pouze geometrickým a časovým popisem pohybu, a dynamiku – která zkoumá širší souvislosti a příčiny tohoto pohybu. Hmotný bod – bod u kterého můžeme zanedbat jeho rozměry a nemusíme u nich uvažovat otáčivý pohyb. Tuhé těleso – je těleso, které je odolné vůči silovému působení a nedeformuje se. Kinematika hmotného bodu Poloha hmotného bodu se určuje obvykle pomocí pravotočivého pravoúhlého souřadnicového systému který je pevně vázán k tělesu, jež považujeme za nepohyblivé. Vektor, jehož počátek je v počátku souřadnicového systému, a koncový bod je totožný s hmotným bodem, jehož pohyb vyšetřujeme, nazýváme polohový vektor (radiusvektor). velikost (modul)
18
Embed
Newtonovy zákony, otáčivý pohyb, zákony … · Web viewDynamika hmotného bodu Newtonovy pohybové zákony První pohybový zákon – zákon setrvačnosti Každé těleso setrvává
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Mechanika – Newtonovy zákony, otáčivý pohyb, zákony zachování. Rychlost, zrychlení, hybnost, síla. Kinematika a dynamika hmotných bodů a tuhého tělesa. Pohybová rovnice a její řešení. Otáčivý pohyb (momenty sil, hybností, moment setrvačnosti). Práce a energie. Mechanické zákony zachování.
Mechanika se zabývá studiem mechanického pohybu látky, tj. přemísťováním
v prostoru a čase.
Mechaniku dělíme na kinematiku, ta se zabývá pouze geometrickým a časovým
popisem pohybu, a dynamiku – která zkoumá širší souvislosti a příčiny tohoto pohybu.
Hmotný bod – bod u kterého můžeme zanedbat jeho rozměry a nemusíme u nich
uvažovat otáčivý pohyb.
Tuhé těleso – je těleso, které je odolné vůči silovému působení a nedeformuje se.
Kinematika hmotného bodu
Poloha hmotného bodu se určuje obvykle pomocí pravotočivého pravoúhlého
souřadnicového systému který je pevně vázán k tělesu, jež považujeme za nepohyblivé.
Vektor, jehož počátek je v počátku souřadnicového systému, a koncový bod je totožný
s hmotným bodem, jehož pohyb vyšetřujeme, nazýváme polohový vektor (radiusvektor).
velikost (modul)
Funkční závislost polohového vektoru hmotného bodu na čase
Pohyb hmotného bodu je zcela urče, zná-li časové závislosti tří souřadnic x,y,z.
Hmotný bod má tři stupně volnosti (s omezením klesá počet stupňů volnosti, např.. na
ploše pouze dva).
Trajektorie a dráha pohybu hmotného bodu
Množina všech poloh, jimiž hmotný bod během pohybu prochází, definuje trajektorii
pohybu. Trajektorie je spojitá křivka, jejíž parametrické vyjádření je: x = x (t), y = y (t), z =
z (t). Vytkneme-li na trajektorii úsek délky s mezi body A1,A2, jejichž polohové vektory jsou
r1,r2, platí v případě křivočarého pohybu
kde
Rychlost hmotného bodu
Rychlost pohybu [m.s-1] je definována jako derivace polohového vektoru podle času dt.
Vzhledem k definici derivace ji můžeme vyjádřit
Rychlost je vektorová veličina. Její směr je dán směrem vektorového elementu dráhy . Je
tedy tečný k trajektorii
Výraz
vyjadřuje velikost rychlosti a je jednotkový tečný vektor k trajektorii pohybu hmotného
bodu, tj. jednoatomový vektor směru pohybu. Rychlost potom můžeme vyjádřit
Zrychlení hmotného bodu Veličina, která vyjadřuje časovou změnu rychlosti, je zrychlení a [m.s-2]. Urazí-li hmotný bod
elementární dráhu , změní se jeho rychlost o elementární přírůstek , který zjistíme
posunutím vektoru a neotrou do společného počátku.
Zrychlení pohybu je vektorová veličina definovaná derivací rychlosti podle času
pomocí polohového vektoru bude zrychlení rovno
Rozklad zrychlení na tečnou a normálovou složku
- tečné zrychlení
- normálové zrychlení
Zrychlení pohybu hmotného bodu lze vyjádřit ve složkách
kde tečná složka vyjadřuje časovou změnu velikosti rychlosti ve směru pohybu a složka
normálová charakterizuje zakřivení trajektorie a směřuje do středu křivosti trajektorie.
Některé zvláštní případy pohybu hmotného bodu
a) Pohyb rovnoměrný přímočarý
v = konst.
b) Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený a zpomalený
a = konst.
c) Pohyb hmotného bodu po kružnici
R můžeme charakterizovat úhlovou rychlostí
[rad.s-1]
Vztah mezi úhlovou rychlostí a rychlostí hmotného bodu je
úhlové zrychlení je:
Dynamika hmotného bodu
Newtonovy pohybové zákony
První pohybový zákon – zákon setrvačnosti
Každé těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není
přinuceno tento stav změnit působením jiného tělesa.
První zákon platí v inerciálních soustavách, a systémy v nichž neplatí jsou
neinerciální.
Druhý pohybový zákon – zákon síly
Zrychlení pohybu tělesa (hmotného bodu) je přímo úměrné působící síle a nepřímo
úměrné jeho hmotnosti.
[kg] , F [N = kg m s-2]
hybnost hmotného bodu – dosadíme-li za zrychlení derivaci rychlosti
[kg m s-1]
pro m=konst. můžeme sílu vyjádřit jako
Tj. časová změna hybnosti hmotného bodu (derivace hybnosti podle času) je rovna síle,
která na hmotný bod působí. Tato formulace platí i v případě, že hmotnost závisí na rychlosti
(tj. pro rychlost, která není zanedbatelná vzhledem k rychlosti světla c)
Třetí pohybový zákon – zákon akce a reakce
Působí-li jedno těleso na druhé silou F, působí druhé na první silou F´ , která je stejně
velká a má opačný směr,
Obě síly součastně vznikají a součastně zanikají.
Všechny tři Newtonovy pohybové zákony platí pouze v inerciální soustavě.
Pohybová rovnice
Druhý Newtonův pohybový zákon
Představuje diferenciální rovnici druhého řádu
Jejíž integrací stanovíme závislost rychlosti a polohy na čase.
Pohybová rovnice je vektorová diferenciální rovnice, kterou můžeme v kartézském
souřadnicovém systému rozepsat do tří diferenciálních rovnic složkových
Při sestavování pohybové rovnice musíme do síly F, která je výslednicí vnějších sil,
zahrnout všechny vnější síly působící na hmotný bod. Při integraci této diferenciální rovnice
druhého řádu se uplatní dvě integrační konstanty, které vyjadřují tzv. počáteční podmínky,
dané polohou r0 a rychlostí v0 v čase t0. Vztahují se k inerciálnímu systému a jsou vyjádřením
toho, že všechna místa a všechny inerciální systémy jsou rovnoprávné a že žádnými
mechanickými experimenty nelze ve vesmíru určit absolutní počátek ani rychlost. Pohybová
rovnice a počáteční podmínky umožní, za předpokladu znalosti sil, jednoznačně nalézt polohu
tělesa kdykoliv v minulosti, přítomnosti i budoucnosti nebo naopak z časové závislosti polohy
přesně určit silová působení.
Práce a energiePůsobí-li na hmotný bod síla F, je elementární práce dA této síly po elementární trajektorii dr definována vztahem
[J]práce A, kterou vykoná síla F po trajektorii mezi body K a L (viz obrázek) je dráhovým integrálem síly po trajektorii
Mechanická energie W, ta charakterizuje stav soustavy tím, že její úbytek se projeví
prací A vykonanou vnitřními silami soustavy a její přírůstek je způsoben prací vnějších sil A´,
působících na soustavu. Platí:
Kinetická energie
Hmotný bod se pohybuje po trajektorii C, která leží ve vodorovné rovině. Působí-li na
těleso síla F, jejíž tečná složka F je souhlasně orientovaná s okamžitou rychlostí v, uděluje
mu tečné zrychlení a, takže se zvyšuje velikost rychlosti hmotného bodu.
Práce A, kterou tato tečná složka vykoná je:
Kinetická energie vyjadřuje pohybový stav hmotného bodu při rychlosti v, náleží tedy
do kategorie stavových veličin
Kinetickou energii hmotného bodu Wk můžeme tedy definovat jako práci, kterou je
schopna vykonat jeho setrvačná síla, převede-li pohyb o rychlosti velikosti v do klidu.
Potenciální energie v homogenním tíhovém poli
Vypočtěme práci, kterou vykoná síla F působící v homogenním tíhovém poli proti
tíhové síle G (F = - G), posunutím hmotného bodu z bodu K do bodu L po křivce:
Práce tedy závisí
pouze na vzdálenosti horizontálních rovin bodů K a L a nezávisí na tvaru trajektorie mezi
body K a L.
Práce, vykonaná silou F na přenesení hmotného bodu v homogenním tíhovém poli po
uzavřené trajektorii, je nulová. Nezmění se ani stav tělesa, ani stav okolí. Síly s touto
vlastností se nazývají konzervativní. Pro konzervativní sílu F můžeme definovat potenciální
energii Wp obecně jako práci, kterou vykoná síla –F působící proti konzervativní síle, po
trajektorii ze vztažného bodu B s nulovou potenciální energii, do bodu, v němž potenciální
energii určujeme
Zákon zachování mechanické energie v homogenním tíhovém poli
Součet kinetické a potenciální energie se při pohybu v homogenním tíhovém poli
nemění. Platí pouze v případě, kdy lze všechny ostatní formy energie zanedbat.
Zákon zachování mechanické energie je speciálním případem zákona zachování
energie: při přeměně jedné formy pohybu v jinou se celková kvantita, charakterizovaná
energií, nemění. Zákon zachování energie je jedním z nejobecnějších fyzikálních zákonů a
souvisí s homogenitou času.
Dynamika soustavy hmotných bodů
Celková hmotnost soustavy je
Každý hmotný bod, který se může pohybovat volně v prostoru, má tři stupně volnosti.
Obsahuje-li soustava n volných bodů potřebujeme k jejímu popisu 3n rovnic. K úplnému
popisu dynamického stavu soustavy potřebujeme dalších 3n rovnic, určujících hybnosti, nebo
rychlosti.
Vektor celkové hybnosti soustavy je dán vektorovým součtem hybností všech bodů
soustavy
Vyskytují-li se v soustavě hmotných bodů omezující podmínky, tzv. vazby, je počet
stupňů volnosti menší.
První věta impulsová
Síly, které mohou působit na hmotné body soustavy , jsou dvojího typu:
a) síly vnější, jimiž působí hmotné objekty mimo soustavu na hmotné objekty soustavy
b) síly vnitřní, kterými jednotlivé hmotné body soustavy působí na sebe navzájem
Výslednicí vnějších sil, která působí na i-tý hmotný bod označujeme Fi a Fik nechť je
vnitřní síla, kterou působí k-tý bod soustavy na bod i-tý. Je zřejmé, že podle zákona akce a
reakce platí
Pohybová rovnice celé soustavy je
nebo
Což je matematická formulace první věty impulsové, která říká, že časová změna
(derivace podle času) celkové hybnosti soustavy hmotných bodl je rovna výslednici vnějších
sil působících na soustavu.
Celková hybnost izolované soustavy je tedy konstantní vektor- zákon zachování
hybnosti izolované soustavy p = konst.
Moment síly a moment hybnosti
Hmotný bod m je otáčivě spojen s pevným bodem O. Pevnost otáčivého spoje mezi
nimi přestavuje dostředivou sílu.
Působili na hmotný bod síla F, změní se pohyb na nerovnoměrný, což nelze popsat
pohybovou rovnicí. Působení síly na bod m v takové soustavě vyjadřuje tzv. moment síly M
vzhledem k bodu O.
Velikost vektoru momentu síly M je definována součinem velikosti síly F a vzdálenosti
q, což je rameno síly F.
[N m]
Velikost momentu můžeme také vyjádřit pomoc vzorce
tedy
Moment síly je tedy vektor kolmý na rovinu vektorů r a F. Jeho směr je totožný se
směrem osy jdoucí bodem kolmo k rovině určené vektory r a F.
Je zřejmé, že pro = 0° je moment síly nulový a pro = 90° je maximální.
Moment hybnosti -
Druhá věta impulsová
Moment hybnosti i-tého hmotného bodu a moment síly Fi vzhledem k momentovému
bodu O udávají
kde ri je radiusvektor bodu o hmotnosti mi vzhledem k momentovému bodu O, vi je rychlost
bodu o hmotnosti mi a pi je hybnost bodu o hmotnosti mi
Výsledný moment hybnosti a moment síly:
Dynamika tuhého tělesa
Rozdělíme těleso na dostatečně malé elementy, jež lze se zvolenou přesností považovat
za hmotné body. Je-li objem elementárního tělesa dV, pak jeho hmotnost je
Celková hmotnost tělesa m je pak rovna součtu hmotností všech elementů, který
v limitním případě přechází v integrál přes celý objem tělesa V
Translace a rotace tuhého tělesa
Pohyb tuhého tělesa je složitější než pohyb hmotného bodu, protože se může při přemisťování
také otáčet. Rozeznáváme dva základní typy pohybu tuhého tělesa, translaci a rotaci.
Translace (posuvný pohyb) je takový pohyb, při němž libovolná přímka pevně spojená
s tělesem zachovává v prostoru stále svůj směr. Dráhy všech bodů mají stejný tvar a
v libovolném okamžiku se všechny elementární hmotné body tělesa pohybují touž okamžitou
rychlostí.
Rotace tělesa je takový pohyb, při němž zůstává v klidu buď jediná přímka v tělese –
rotace kolem pevné osy. Nebo se poloha přímky, která zůstává v klidu, časově mění – rotace
kolem okamžité osy.
Při rotaci kolem pevné osy zůstávají body tělesa ležící na ose rotace v klidu, každý jiný bod
tělesa opisuje kružnici, která leží v rovině proložené uvažovaným bodem kolmo na osu rotace
a jejíž střed leží na ose rotace. Všechny body tělesa konají tedy kruhový pohyb a mají
úhlovou rychlost
Vektor úhlového zrychlení je definován
Kinetická energie tělesa rotujícího kolem pevné osy – moment setrvačnosti
Kinetická energie soustavy n hmotných bodů, které rotují kolem společné pevné osy
stejnou úhlovou rychlostí, je dána součtem kinetických energií jednotlivých hmotných bodů
Veličina [kg m2]
se nazývá moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů k dané ose.
Moment setrvačnosti závisí na poloze rotační osy vzhledem k tělesu a na rozložení
hmotnosti v tělese. Čím dále od osy rotace je hmotnost rozložena, tím větší je moment
setrvačnosti. Pro všechny rovnoběžné osy je nejmenší moment setrvačnosti k té ose, která
prochází těžištěm tělesa.
Kinetická energie tělesa rotujícího kolem pevné osy je tedy
Rovnováha tuhého tělesa
1) Stabilní rovnováha – při vychýlení tělesa ze stabilní rovnovážné polohy vzniká
moment vnějších sil, který se snaží těleso vrátit do původní rovnovážné polohy.
(kulička v jamce, či kostka na rovné podložce)
2) Labilní rovnováha – při vychýlení z labilní rovnovážné polohy se vytvoří moment
vnějších sil, který se snaží těleso dále vychylovat z rovnovážné polohy.(kulička na
kopečku, kostka na hraně)
3) Indiferentní rovnováha – po vychýlení tělesa z idiferentní rovnovážné polohy zůstávají
splněny podmínky rovnováhy, takže těleso je v rovnováze i v nové poloze (koule na
rovné podložce)
Třecí síla
kde je jednotkový vektor ve směru okamžité rychlosti.