Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro n 2 ab +2 cd =4 n n 5 | 2 n +1 ab > cd 2 ab +2 cd =2 cd (2 ab- cd - 1) 4 n ab < cd ab = cd 2 ab+1 =2 2n ab =2n - 1 10 ≤ ab ≤ 99 10 ≤ 2n - 1 ≤ 99 6 ≤ n ≤ 50 n 50 - 6 + 1 = 45 u(2 4k )=6 u(2 4k+1 )=2 u(2 4k+2 )=4 u(2 4k+3 )=8 k u(x) x 5 | 2 n +1 u(2 n + 1) ∈{0, 5} u(2 n + 1) = 5 n =4k +2 k 6 ≤ n ≤ 50 6 ≤ 4k +2 ≤ 50 1 ≤ k ≤ 12 n 5 | 2 n +1
1
Embed
n ab > cd ab < cd ab cd n ab n k u x n k - ViitoriOlimpici.ro · 2017-04-18 · Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Problema 4. a) Determinaµi num rul valorilor lui n, num r nat-ural, pentru care 2ab + 2cd = 4n.
b) Câte dintre valorile lui n determinate anterior satisfac relaµia5 | 2n + 1?
Dana Paponiu, Drobeta Turnu-Severin
Soluµie a) Dac ab > cd, atunci 2ab + 2cd = 2cd(2ab−cd − 1) careeste num r impar. Dar 4n este num r par, prin urmare, în acest caz,nu avem soluµie.
Analog, dac ab < cd.R mâne de analizat cazul ab = cd.În acest caz relaµia din enunµ devine 2ab+1 = 22n, de unde deducem
ab = 2n− 1.Cum 10 ≤ ab ≤ 99 rezult 10 ≤ 2n− 1 ≤ 99, adic 6 ≤ n ≤ 50.Num rul valorilor lui n este
50− 6 + 1 = 45
b) Se ³tie c u(24k) = 6, u(24k+1) = 2, u(24k+2) = 4 ³i u(24k+3) = 8,unde k este num r natural, iar u(x) înseamn cifra unit µilor lui x.
Pentru ca 5 | 2n +1 trebuie ca u(2n +1) ∈ {0, 5}. Din cele de maisus deducem c u(2n + 1) = 5, dac n = 4k + 2, unde k este num rnatural.
Cum 6 ≤ n ≤ 50 rezult 6 ≤ 4k + 2 ≤ 50, de unde 1 ≤ k ≤ 12,ceea ce înseamn c avem 12 valori pentru n, astfel încât 5 | 2n + 1.
1
aungureanu
Text Box
Soluția problemei 4, Clasa a V-a Etapa 2, Ediția a VIII-a