Diktat ini disusun berdasarkan “Calculus III” oleh Paul Dawkins, Lamar University dengan penyesuaian berupa penerjemahan, pengurangan dan penambahan dari sumber-sumber lainnya. DIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308) BAB 3 TURUNAN PARSIAL Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI - FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS KRISTEN MARANATHA BANDUNG 2012
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Diktat ini disusun berdasarkan “Calculus III” oleh Paul Dawkins, Lamar University dengan penyesuaian berupa penerjemahan, pengurangan dan penambahan dari sumber-sumber lainnya.
DIKTAT KULIAH
KALKULUS PEUBAH BANYAK
(IE-308)
BAB 3 TURUNAN PARSIAL
Diktat ini digunakan bagi mahasiswa
Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik
Universitas Kristen Maranatha
Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc
JURUSAN TEKNIK INDUSTRI - FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS KRISTEN MARANATHA
BANDUNG
2012
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 44 KALKULUS PEUBAH BANYAK
BAB 3 TURUNAN PARSIAL
3.1. Limit
Dalam fungsi peubah tunggal, dikatakan :
jika,
Dimana,
Adalah limit sebelah kanan dan nilai x ditinjau hanya untuk nilai x yang lebih besar dari a.
Demikian juga,
Adalah limit sebelah kiri dilihat hanya untuk nilai x yang lebih kecil dari a.
Dengan kata lain kita akan mendapatkan bila mendekati L bila x
bergerak menuju (sangat mendekati namun tidak sampai mencapai ) dari kedua
arah (kiri & kanan).
Untuk fungsi peubah ganda, konsepnya sama, hanya proses pengerjaannya agak lebih
panjang dan rumit. Untuk notasi ditetapkan sbb. :
Misal ingin didapat limit dari fungsi dimana x mendekati a dan y mendekati b.
Dapat dituliskan dengan notasi sbb.:
Dalam kuliah dan buku ini akan digunakan notasi yang kedua.
Dengan mencari limit fungsi peubah ganda berarti mencari nilai bila titik
bergerak makin dekat dan lebih dekat lagi ke titik sedemikian sangat mendekati
namun tidak sampai mencapai . Dan seperti konsep limit pada fungsi peubah tunggal,
maka agar suatu limit ada maka fungsi tersebut mencapai suatu nilai yang sama dari segala
arah pendekatan yang ditempuh menuju . Masalahnya bila pada limit fungsi peubah
tunggal hanya ada 2 arah yaitu kiri dan kanan untuk mencapai batas x, maka pada fungsi
peubah ganda/dua ada banyak sekali bahkan tak hingga cara untuk menuju .
Gambar 3.1.
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 45 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Dengan kata lain, untuk menunjukkan apakah limit suatu fungsi peubah ganda ada atau tidak
secara teknis perlu di cek melalui cara yang tak berhingga. Tetapi dengan menggunakan
konsep kontinuitas / kesinambungan fungsi hal tersebut tidak perlu dilakukan.
Definisi
Suatu fungsi adalah kontinu/sinambung pada titik jika,
Sehingga apabila diketahui suatu fungsi tidak kontinu dititik maka
adalah salah.
Tafsiran fisis secara geometris suatu fungsi kontinu bila graphik garis atau permukaan fungsi
tersebut tidak lubang atau terpotong pada titik tersebut.
Dalam kalkulus 1, bila kita mengetahui suatu fungsi adalah kontinu maka nilai limit fungsi
tersebut didapatkan dengan memasukkan nilai titik kedalam fungsi.
Semua fungsi standard yang kita ketahui kontinu tetap kontinu walaupun sekarang kita
memasukkan lebih dari satu variabel. Yang perlu diperhatikan adalah pembagian dengan 0,
akar bilangan negatif dan logaritma nol atau negatif.
Contoh 3.1.1. Tentukan apakah limit berikut ada atau tidak. Bila ada berapa nilai limit nya.
(a) (b)
(c) (d)
Jawab
(a) Fungsi diatas adalah kontinu pada titik yang diminta, sehingga kita tinggal memasukkan nilai
titik tersebut kedalam fungsi.
(b)
Dalam kasus ini fungsi tidak kontinyu sepanjang garis karena pada garis tersebut kita
akan mendapatkan nilai penyebut pembagian = 0. Tapi karena titik yang diminta (5,1) tidak
terdapat dalam garis tersebut, maka
(c) Dalam kasus ini fungsi tersebut tidak kontinyu pada titik yang diminta. Jadi tidak ada limit
pada titik tersebut.
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 46 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Pendekatan sepanjang garis sumbu x,
Sepanjang garis sumbu y-axis.
Sepanjang garis . Didapat
Menunjukkan tidak ada limit.
(d) Fungsi tidak kontinyu pada titik yang diminta, jadi tidak ada limit.
Hal ini juga dapat ditunjukkan dengan berbedanya nilai limit dengan pendekatan arah yang
berbeda. Kita coba dekati melalui sepanjang garis menuju (0,0) .
Kita coba dengan jalur . Didapat,
Nilai limit tidak ada, karena melalui pendekatan yang ada nilai limit berbeda.
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 47 KALKULUS PEUBAH BANYAK
3.2. Turunan parsial
Prolog:
Diketahui sebuah fungsi peubah ganda dan akan ditentukan laju perubahan
fungsi pada titik . Penentuan laju perubahan dilakukan dua tahap; tahap pertama
dengan menahan y tetap (fixed) dan membolehkan x berubah kemudian pada tahp kedua
menahan x tetap dan membolehkan y berubah.
Tahap pertama kita menahan y=b dan membiarkan x bergerak, sehingga kita mendapatkan
Kita mendapatkan fungsi variabel tunggal dan menentukan laju perubahan g(x) pada x=a
dengan menghitung g’(a) yaitu g’(a) = 4a𝑏3.
adalah turunan parsial / partial derivative terhadap x pada titik dan
dinyatakan sebagai
Tahap kedua kita menahan x = a dan membiarkan y bergerak sehingga mendapatkan
adalah turunan parsial / partial derivative terhadap y pada titik dan we
dinyatakan sebagai
Kedua turunan diatas biasa disebut turunan parsial orde pertama / first order partial
derivatives.
Rumusan Formal :
Bila kita melakukan proses turunan parsial fungsi seperti diatas dengan tidak menggunakan
notasi tetapi dengan tetap menggunakan , kita dapat menuliskannya sebagai:
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 4𝑥𝑦3 dan 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑥2𝑦2, yaitu pertama menahan y tetap dan melakukan
turunan terhadap x, setelah itu menahan x tetap dan melakukan turunan terhadap y.
Definisi formal dari kedua turunan parsial tsb adalah sbb.:
Berikut ini beberapa alternatif notasi untuk menyatakan turunan .
Untuk fungsi notasi berikut dapat digunakan sebagai turunan parsial :
Contoh 3.2.1. Dapatkan turunan parsial orde pertama untuk fungsi
(a) (b)
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 48 KALKULUS PEUBAH BANYAK
(c) (d)
Jawab :
(a)
(b)
(c)
Untuk memudahkan penurunan persamaan diatas ditulis ulang sebagai,
Petunjuk untuk turunan fungsi natural logarithms, gunakan .
(d)
Gunakan aturan rantai/chain rule yang pernah dipelajari di kalkulus 1 &2, dalam contoh ini
bagaimana menurunkan fungsi eksponensial.
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 49 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Contoh 3.2.2. Dapatkan turunan parsial orde satu fungsi berikut ini:
(a) (b) (c)
Jawab:
(a)
(b)
(c) Dengan menggunakan prinsip aturan rantai/chain rule didapat,
Turunan implisit dalam turunan parsial
Dari contoh-contoh yang diberikan diatas, dengan menguasai turunan fungsi peubah tunggal
dari kalkulus 1 & 2 maka proses turunan parsial fungsi peubah banyak tidak sulit.
Selanjutnya akan dibahas proses turunan implisit dalam turunan parsial fungsi peubah
banyak.
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 50 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Contoh 3.2.3. me- review turunan implisit pada fungsi peubah tunggal dan pada contoh
3.2.4. bagaimana penerapannya dalam fungsi peubah banyak.
Contoh 3.2.3. Dapatkan untuk persamaan .
Jawab:
Dengan selalu mengingat bahwa y adalah fungsi dari x, atau dan dengan demikian
setiap kali menurunkan suatu suku/term yang melibatkan y terhadap x maka diperlukan
untuk menggunakan aturan rantai, berarti perlu dituliskan pada suku/term tersebut.
Langkah ke 1: menurunkan suku/term yang ada pada sisi kiri dan kanan tanda( = )terhadap x.
Langkah ke-2: mendapatkan .
Perlakuan untuk proses turunan implisit fungsi peubah banyak, berlaku serupa dengan proses
turunan implisit pada fungsi peubah banyak. Dalam fungsi yang melibatkan variabel
x, y, dan z dan misal z adalah fungsi x dan y, . Maka ketika kita memproses
turunan z / differensiasi z terhadap x maka aturan rantai/chain rule digunakan dan
dituliskan . Demikian juga dalam proses turunan z / differensiasi z terhadap y maka
perlu ditulis.
Contoh 3.2.4. Dapatkan dan untuk fungsi berikut ini:
(a) (b)
Jawab:
(a)
Untuk mendapatkan . Kedua sisi kiri kanan persamaan kita turunkan terhadap x dengan
selalu menuliskan setiap kita menurunkan z.
Ingat karena maka setiap perkalian x dan z merupakan perkalian dua fungsi x
sehinga teorema aturan turunan perkalian fungsi harus dipakai.
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 51 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Untuk mendapatkan .
Untuk mendapatkan dilakukan proses yang sama
.
(b)
Untuk mendapatkan .
Untuk mendapatkan .
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 52 KALKULUS PEUBAH BANYAK
3.3. Interpretasi Geometris Turunan Parsial
Dalam Kalkulus Peubah tunggal, adalah kemiringan (slope) dari garis singgung /
tangent line terhadap pada atau dapat juga dikatakan sebagai kemiringan
kuva pada x=a. Demikian juga, dan juga adalah kemiringan (slope)
dari garis singgung/tangent lines . Pada Kalkulus Peubah tunggal tangent line menyinggung
lengkungan kurva, dalam kalkulus peubah ganda kita tahu fungsi berupa bidang permukaan,
sehingga ada banyak garis singgung yang dapat menyinggung bidang permukaan pada suatu
titik. Jadi pertanyaannya turunan parsial fungsi ganda merepresentasi kemiringan sudut garis
singgung yang mana? Dalam hal ini turunan parsial adalah kemiringan garis singgung pada
traces atau dapat dikatakan kemiringan dari irisan/traces. (Untuk trace lihat lagi bab fungsi
multivariable)
Definisi traces: Bila level curve adalah irisan permukaan dengan bidang datar
, maka traces suatu permukaan adalah kurva/garis lengkung yang merupakan
penampang irisan dengan bidang datar atau .
Jadi turunan parsial adalah kemiringan trace yaitu irisan dengan bidang
datar pada titik . Demikian juga partial derivative adalah
kemiringan trace yaitu irisan dengan bidang datar pada titik .
Contoh 3.3.1. : Dapatkan kemiringan traces untuk fungsi pada titik
.
Solusi
Gambar sketsa trace untuk irisan bidang dan adalah sbb.:
Gambar 3.2.
Turunan parsial fungsi adalah sbb.:
Dengan memasukkan titik singgung kedalam persamaan kita mendapatkan:
Jadi, garis singgung/ tangent line pada untuk irisan/trace permukaan
dengan bidang datar mempunyai kemiringan/slope sebesar -8. Dan garis singgung/
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 53 KALKULUS PEUBAH BANYAK
tangent line pada untuk irisan/ trace permukaan dengan bidang datar
mempunyai kemiringan sebesar -4.
Menentukan persamaan garis singgung dan bidang singgung fungsi peubah ganda.
Kita telah pelajari bahwa garis, bidang dalam 3 Dimensi dapat dinyatakan dalam tiga bentuk
persamaan:
1. bentuk vektor persamaan garis / vector form of the equation of a line.
2. bentuk parametric persamaan garis / parametric form of the equation of a line.
3. Bentuk simetrik persamaan garis / symmetric equations of the line.
Dalam bab Fungsi Vektor telah dibahas bahwa : Semua Fungsi Multivariabel dapat
dinyatakan dalam Fungsi Vektor !!!!!!!.
Untuk menyatakan persamaan suatu garis dalam bentuk vector, maka kita membutuhkan
suatu titik pada garis tersebut dan vector arah. Untuk menentukan titik dalam 3 D kita
memasukkan kedalam koodinat (a,b, f(a,b)).
Berikut kita menentukan garis singgung pada titik tersebut:
Bila kita mempunyai permukaan / surface yang dinyatakan dengan z= f(x,y), maka kita
dapat menyatakan nya dalam bentuk fungsi vector: 𝑟 𝑥, 𝑦 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦) . Kita akan mendapatkan tangent vector dengan mendifferensiasi fungsi vector terhadap x ,
yang berarti dalam persoalan kita dengan mendifferensiasi fungsi irisan permukaan
𝑟 𝑥, 𝑦 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦) dengan bidang datar y=b.
Irisan yang kita dapat adalah: 𝑟 𝑥, 𝑏 = 𝑥, 𝑏, 𝑧 = 𝑥, 𝑏, 𝑓(𝑥, 𝑦)
Vektor tangent untuk trace/irisan dengan y constant (y=b) adalah:
𝑟𝑥 (𝑥, 𝑦) = 1,0, 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) .
Dengan mendifferensiasi fungsi vector terhadap y , yaitu mendifferensiasi fungsi irisan
permukaan 𝑟 𝑥, 𝑦 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦) dengan bidang datar x=a.
Irisan yang kita dapat adalah: 𝑟 𝑎, 𝑦 = 𝑎, 𝑦, 𝑧 = 𝑎, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦) Vektor tangent untuk trace/irisan dengan x constant (x=a) adalah:
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 54 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Dalam persoalan kita mencari bidang singgung, perlu dicari titik pada bidang 𝑟0 dan vector
normal bidang 𝑛 . Titik pada bidang yang merupakan titik singgung dengan permukaan adalah: (a,b, f(a,b))
yang kita tuliskan (𝑥0 , 𝑦0, 𝑧0) . Vektor posisi 𝑟0 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 . Vektor normal 𝑛 didapat dengan perkalian silang (cross product) dari vector tangent: