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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 1
Sumário e Objectivos
Sumário: Perpendicularidade das Tensões Principais. Elipsóide deLamé. Tensões Octaédricas. Caso Particular do Estado Plano deTensão. Tensões Principais Secundárias. Circunferência ou Circulo deMohr.
Objectivos da Aula: Ser Capaz de proceder à Construção de Mohr para estados planos. Comparar os resultados Analíticos com os
Resultados Gráficos.
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 2
Helicóptero
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 3
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 4
Estrutura de um veículoAutomóvel
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 5
Propagação de Fendas
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 6
Perpendicularidadedas Tensões Principais
Admita-se que o sistema de eixos Oxyz é tal que uma das direcções(por exemplo o eixo dos zz) é coincidente com uma das direcções principais, por exemplo, .Nestas condições as tensões tangenciais, sãonulas e o sistema de equações que permite o cálculo das direcções principais étal que
xx xy
yx yy
zz
0 l
0 m 0
0 0 n
−σ⎡ ⎤⎧ ⎫σ τ⎪ ⎪⎢ ⎥−σ =τ σ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥−σσ
⎣ ⎦⎩ ⎭
Equação
característica
[ ]xx xy
zzxy yy
0− σσ τ
− σ =σ− στ σ
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 7
Soluções da EquaçãoCaracterística
[ ] xx xyzzxy yy
0− σσ τ− σ =σ− στ σ
A equação é verificada se for
0 com 0
ou
0 com 0
yyxy
xyxxzz
yyxy
xyxxzz
=σ−στ
τσ−σ≠σ−σ
≠σ−στ
τσ−σ=σ−σ
No 1º caso a direcção principal correspondente é l=m=0 e n=1
No 2º caso tem de ser n=0, as outras tensões principais, pertencem ao plano xy que é perpendicular a z
σσ 21 e
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 8
Elipsóide de Lamé
No caso de se escolher um sistema de eixos coincidente com asdirecções principais, o tensor das tensões toma a forma
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
σ
σ
σ
3
2
1
00
00
00 Numa faceta cuja normal tem cossenos directores,{l,m,n}, as componentes do vector tensão, T, são
σ= σ=
σ=
33
22
11
nTmT
lT
ou
σ=
σ=
σ=
3
3
2
2
1
1
Tn
T
m
Tl
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 9
Elipsóide de Lamé
Tendo em conta que 1nml 222 =++
σ
=
σ=
σ=
3
3
2
2
1
1
Tn
Tm
Tle que
Obtém-se
1TTT23
23
22
22
21
21 =σ
+σ
+σ
Que corresponde à Equação de um Elipsóide no espaço, o Elipsóide de LaméTeT,T 321
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 10
Tensões Octaédricas
Considere-se que as tensões estão
representadas no sistema deeixos principais, existem oito
planos cujas normais são
igualmente inclinadas em relação
ás direcções principais e que
contém as facetas do octaedrorepresentado na figura. As
facetas deste octaedro têm
cossenos directores iguais em
valor absoluto, no referencial
cartesiano coincidente com os
eixos principais. As tensões
normais que actuam nas faces
deste octaedro são as chamadas
Tensões Octaédricas.
x≡1
y≡2
z≡3
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 11
Tensões Octaédricas
Os cossenos directores das normais às facetas são iguais entre si everificam a igualdade 2 2 2 1l m n+ + =
3
1n
3
1m
3
1l ±=±=±=
As equações de Cauchy que permitem o cálculo do tensor das tensõesconhecido o versor da normal conduzem às tensões seguintes nasfacetas do Octaedro
3
nT 3
mT 3
lT3
3z2
2y1
1xσ±=σ=
σ±=σ=σ±=σ=
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 12
Tensões Octaédricas
A componente normal da tensão T , pode ser calculada considerandoo produto do transposto do vector T pelo versor da normal à faceta,
ou seja
3
nT 3
mT 3
lT 33z22y11x σ±=σ=σ±=σ=σ±=σ=
3I
3nmlTnTmTl
13213
22
21
2zyxoct =
σ+σ+σ=σ+σ+σ=++=σ
A componente tangencial da tensão nas facetas do octaedro pode sercalculada considerando a equação
σ−=τ 2oct2oct
2oct T
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 13
3
nT 3
mT 3
lT 33z22y11x σ±=σ=σ±=σ=σ±=σ=
3I
3nmlTnTmTl
13213
22
21
2zyxoct =
σ+σ+σ=σ+σ+σ=++=σ
σ−=τ 2oct2oct
2oct T
( )
( ) ( )I3I9
2
9I
I2I3
19
I
3
1nml
22
21
212
221
212
322
21
2oct
23
222
221
22oct
−=−−=
=−σ+σ+σ=σ−σ+σ+σ=τ
Tensões Octaédricas
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 14
Estado Plano de Tensão
θ
θ
x
x´
A B
Cyy´
θ
90º x´
yy´
xσxx
σyy
τxy
σxx
σyy
τxy
σ ´´xx
(a)(b)
D EF
x´y´τ
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 15
Estado Plano de Tensão
As Tensões no Sistema de Eixos Ox´y´ são
x´x´ xx yy xy
1 cos2 1 cos2sen2
2 2
+ θ − θ= + + θσ σ σ τ
yy xxx´y´ xysen2 cos2
2−σ σ= θ + θτ τ
xx yy xx yyy´y´ xycos2 sen2
2 2
+ −σ σ σ σ= − θ − θσ τ
xx yy x´x´ y´y´+ = +σ σ σ σ
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 16
Tensões Principais-EstadoPlano de Tensão
xx yyx´x´xyd 2sen2 2 sen2 0
d 2−σ σσ = − θ + θ =τ
θ
( )
xy p
xx yy
tang2
/ 2
τ=θ
−σ σ
( )
2
xx yy 2
max xymin
xx yy
x´x´ 22
−⎛ ⎞σ σ+σ σ
= ± +σ ⎜ ⎟ τ⎜ ⎟⎝ ⎠
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 17
Tensões PrincipaisSecundárias num plano
Considere-se um sistema de eixos ortogonal Oxyz e determinem-se asequações de transformação para as componentes x´x´, yý´, z´z´,
relativamente a um novo sistema de eixos coordenados Oxý´z´ obtidos a
partir dos primeiros por rotação em relação ao eixo dos zz.
x´x´ yy yy xyxx xx1 1) )cos2 sen2( (2 2
= + + − θ + θσ σσ σ σ τ
yy xxx´y´ xysen2 cos2
2
−σ σ= θ + θτ τ
xx yy xx yyy´y´ xycos2 sen2
2 2
+ −σ σ σ σ= − θ − θσ τ
O=O´
z=z´
x yx´
θ
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 18
Tensões PrincipaisSecundárias
Da equação que fornece a tensão de corte ou tangencial se seconsiderar esta tensão nula obtém-se o ângulo θ p que é talque:
( )
22 xy
p
xx yy
tgτ
θ
σ σ
=
−Tendo em conta que tg2θ p=tg(2θ p+π) pode dizer-se queexistem duas direcções Ox´e Oy´ mutuamente ortogonais que
satisfazem a condição de ser τxy=0. Para estas duas direcções éfácil verificar que ∂σx´x´/ ∂θ=0 e ∂σy´y´/ ∂θ=0 .As direcçõesassim definidas dizem-se direcções principais secundárias.
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 19
Tensões PrincipaisSecundárias
As Tensões normais correspondentes, Tensões PrincipaisSecundárias são:2
xx yy 2
1 xy
2
xx yy 22 xy
xx yy
22
xx yy22
−⎛ ⎞σ σ+σ σ
= + +σ ⎜ ⎟ τ⎜ ⎟⎝ ⎠
−⎛ ⎞σ σ+σ σ= − +σ ⎜ ⎟ τ⎜ ⎟
⎝ ⎠
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 20
Circulo de Mohr para o
Estado Plano de Tensão
xx yy xx yy
x´x´ xycos2 sen22 2
+ −σ σ σ σ= + θ + θσ τ yy xxx´y´ xysen2 cos22−σ σ= θ + θτ τ
xx yy xx yyx´x´ xycos2 sen22 2
+ −σ σ σ σ− = θ + θσ τ
xx yy
x´y´ xysen2 cos22
−σ σ= − θ + θ
τ τ
Estas Equações Podem ser Escritas com a Forma
Elevando ao quadrado as duas expressões, adicionando e simplificando,obtém-se:
2 2xx yy xx yy2 2x´x´ x´y´ xy
2 2+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ σ σ σ− + = +σ τ τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 21
Circulo de Mohr para oEstado Plano de Tensão
Uma vez que as tensões no sistema de eixos Oxy são conhecidas e astensões no sistema de eixos Ox´y´ são desconhecidas e variáveis, a
equação anterior é equivalente à equação de um circulo no plano σ,τ.
2 2
xx yy xx yy2 2x´x´ x´y´ xy2 2
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ σ σ σ− + = +σ τ τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ou ( )
22 2x´y´a bx´x´− + =σ τ
ondexx yy
2xx yy 2
xy
a OC2
b R 2
σ
+σ σ= =
−⎛ ⎞σ= = + τ⎜ ⎟
⎝ ⎠
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 22
Circulo de Mohr para oEstado Plano de Tensão
σ
) ,( A xy xx τσ
O C
θ p2
) ,( B xy yy τ−σ
2OC a
yy xx σ+σ==
τ+⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ−σ 2 xy
yy xx2
2
xx yy
2
xx yy 2xy
a OC2
b R 2
σ
+σ σ= =
−⎛ ⎞σ= = + τ⎜ ⎟⎝ ⎠
σ1σ2
τ
E F
GA
B
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 23
Mudança de Eixos usandoa Construção de Mohr
α2θ p
Aθ
O C
y
x
x´
y´
θ
xxσ
xyτ xxσ
xyτ
yyσ
xx yy
2
+σ σ
x´x´σ
x´y´τ
x´x´ x´y´( , )σ τB
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 24
Círculos de Mohr 3D
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 25
Tensões Normal numaFaceta com normal n
σ≥σ≥σ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σ
σσ
123
3
2
1
sendo
00
0000
σ=
σ=σ=
3zz
2yy
1xx
nT
nTnT
nnnT 2z32y2
2x1n σ+σ+σ=
Tensão NormalnnnT 2z
23
2y
22
2x
21
2 σ+σ+σ=Tensão T
1nnn 2z2y2x =++
(1) (2)
(3)
As equações (1),(2),(3) constituem um
sistema de equações por solução doqual se pode determinar ascomponentes de n
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 26
Componentes de n –normal à faceta
))((
)(TTT
n
))((
)(TTTn
))((
)(TTT
n
3231
2121n2t
2n2
z
2123
1313n2t
2n2
y
1312
3232n2t
2n2
x
σ−σσ−σ
σσ+σ+σ−+
=
σ−σσ−σ
σσ+σ+σ−+=
σ−σσ−σ
σσ+σ+σ−+
= Considere-se a 1ª equação, passando o denominador para o 1ºmembro e adicionando a ambos osmembros da equação ,obtém-se
( )σ+σ 322
4
1
( )[ ] ( ) ( )( ) σσ−σ−σσ−σ+σ+σ==+σ+σ− 322x3121322
412
121
2t322
1n
2nR com R TT
( )[ ] ( ) ( )( ) σσ−σ−σσ−σ−σ+σ==+σ+σ− 132y3221132
412
222
2t132
1n
2nR com R TT
( )[ ] ( ) ( )( ) σσ−σ−σσ−σ+σ+σ==+σ+σ− 122z3231212
412
323
2t212
1n
2nR com R TT
Procedendo de igual modo com as outras duas equações, obtém-se
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Círculos de Mohr
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Valores Limites dos Raios
[ ])(R )( 3221
113221 σ+σ−σ≤≤σ−σ
[ ] )(R )( 3121231212 σ−σ≤≤σ+σ−σ
[ ]σ−σ+σ≤≤σ−σ 3212132121 )(R )(
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Problemas Propostos -Círculo de Mohr
1) Considere um estado de tensão plano cujas componentes das
tensões são:
a)Desenhe um elemento de dimensões infinitesimais, dx e dy e
represente as tensões a actuarem no elemento. b)Desenhe o círculo de Mohr correspondente ao estado de tensão
referido.c)Indique no círculo de Mohr os pontos A e B que correspondem ao
estado de tensão que se obtém nas direcções x´ e y´ que fazem 40ºno sentido dos ponteiros do relógio com o sistema de eixos inicial.d)Determine o tensor das tensões no sistema de eixos Ox´y´e) Determine as tensões principais.
i jσ = ⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
80 60
60 20
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Problemas Propostos -Circulo de Mohr
2) Desenhe os círculos de Mohr para os estados de tensão seguintes:
σ
Tracção simples
σ=100MPa
a)
corte puro
b) τ=10MPa
Tracção em duasdirecções
σ
c) σ
σ
σ
τ
σ
d) σ
σ
σ σ
e) σ
σ
σ
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Problemas Propostos -Circulo de Mohr
3) Considere o estado de tensão seguinte:100 50 20
50 80 50
20 50 40
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦a) Determine as Tensões Principais
b) Desenhe os círculos de Mohr
c) Determine as tensões tangenciais máximas
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Problemas Propostos -Circulo de Mohr
3. Considere o Estado Plano de tensão e num ponto do sólido considere que otensor das tensões é
50 30MPa
30 80
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.0) a) Determine o tensor das tensões no ponto, num sistema de eixos que se
obtém rodando de 30º, em torno do eixo dos zz no sentido contrário ao dos ponteirosdo relógio, o sistema de eixos inicial.(1.0) b) Determine as Tensões Principais e a tensão de corte máxima.
Utilize a Construção de Mohr
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Problemas Propostos -Circulo de Mohr(4)
4. O campo de Tensões num corpo sólido elástico,homogéneo e isotrópico é definido pelas seguintescomponentes:
( )120 2 , 100 2 e 100 2 yy xy xy xz zx z y z yσ τ τ τ τ
= − = = − = =As restantes componentes do Tensor das Tensões são nulas.
a) Mostre que tal campo de Tensões está necessariamente
associado a um campo de forças de Volume uniforme e paralelo ao eixo dos yy.
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Problemas Propostos -Circulo de Mohr(4 cont)
b) Determine as Tensões principais nos pontos A(0,√2/2, -√2/2)e B=(0 ,-√2/2, √2/2) , e as respectivas direcções.
c) Desenhe os círculos de Mohr correspondentes ao estado de
Tensão no ponto C =(0 ,√2/2, √2/2) .d) À volta do ponto B, desenhe um paralelepípedo elementar defaces paralelas aos planos cartesianos e, sobre cada uma das
faces represente as tensões correspondentes.