Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&planes Mohr 3D (∠σ) ∠Mesures de R´ esum´ e Module #8b Transformation des contraintes et des d´ eformations 2D-3D : Cercle de Mohr (CIV1150 - R´ esistance des mat´ eriaux) Enseignant: James-A. Goulet D´ epartement des g´ enies civil, g´ eologique et des mines Polytechnique Montr´ eal Sections 8.5-8.10 – R. Craig (2011) Mechanics of Materials, 3rd Edition John Wiley & Sons. P. L´ eger (2006) Notes de cours: Chapitre 8 Polytechnique Montr´ eal. Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montr´ eal 8b – Cercle de Mohr | V1.1 | CIV1150 – R´ esistance des mat´ eriaux 1 / 52
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Module #8b Transformation des contraintes et des ... Mohr 2D (\˙) ˙& planes Mohr 3D (\˙) \ Mesures de R esum e Module #8b Transformation des contraintes et des d eformations 2D-3D
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Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Module #8bTransformation des contraintes et desdeformations 2D-3D : Cercle de Mohr
(CIV1150 - Resistance des materiaux)
Enseignant: James-A. Goulet
Departement des genies civil, geologique et des mines
Polytechnique Montreal
Sections 8.5-8.10 – R. Craig (2011)Mechanics of Materials, 3rd EditionJohn Wiley & Sons.
P. Leger (2006)Notes de cours: Chapitre 8Polytechnique Montreal.
Enseignant: J-A. Goulet Polytechnique Montreal
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Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Rappel Module 8a
Mise en contexte (Rappel Module 8a)
Contrainte dans la barre?
σ =F
A
Contrainte dans la structure?
Requiert l’analyse descontraintes principales en 2D-3D
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Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Rappel Module 8a
Rappel Module 8a
Formules rotation du systeme d’axe
σn =(σx+σy
2
)+(σx−σy
2
)cos 2θ + τxy sin 2θ
τnt = −(σx−σy
2
)sin 2θ + τxy cos 2θ
Module 8b : cercle de Mohr→ methode graphique pour calculer :
σn, τnt︸ ︷︷ ︸contraintesnormales ettangentielles
, σ1, σ2, θp︸ ︷︷ ︸contraintesprincipales
, τs1, θs︸ ︷︷ ︸cisaillement
maximal
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Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Formulation mathematique
Formules rotation du systeme d’axe
Formules rotation du systeme d’axe
σn − σavg . =(σx−σy
2
)cos 2θ + τxy sin 2θ
τnt = −(σx−σy
2
)sin 2θ + τxy cos 2θ
R =
√(σx−σy
2
)2+ τ2
xy
(σn − σavg .)2 + τ2nt =
(σx−σy
2
)2+ τ2
xy
= R2
(σn − σavg .)2 + τ2nt = R2︸ ︷︷ ︸
Cercle!
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Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Representation graphique
Representation graphique – Cercle de Mohr
(σn − σavg .)2 + τ2nt = R2
Rayon du cercle:
R =
√(σx−σy
2
)2+ τ2
xy
Centre du cercle:
σavg . =σx+σy
2
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Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Construction du cercle de Mohr
Cercle de Mohr ++
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Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Construction du cercle de Mohr
Cercle de Mohr ++
σ
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8b – Cercle de Mohr | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 8 / 52
Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Construction du cercle de Mohr
Cercle de Mohr ++
σ
τ
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8b – Cercle de Mohr | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 8 / 52
Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Construction du cercle de Mohr
Cercle de Mohr ++
σ
τ
X : σx , τxyθxx = 0
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Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Construction du cercle de Mohr
Cercle de Mohr ++
σ
τ
X : σx , τxyθxx = 0
Y : σy ,−τxyθxy = 90o
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Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Construction du cercle de Mohr
Cercle de Mohr ++
σ
τ
X : σx , τxyθxx = 0
Y : σy ,−τxyθxy = 90o
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Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Construction du cercle de Mohr
Cercle de Mohr ++
σ
τ
X : σx , τxyθxx = 0
Y : σy ,−τxyθxy = 90o
C
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8b – Cercle de Mohr | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 8 / 52
Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Construction du cercle de Mohr
Cercle de Mohr ++
σ
τ
X : σx , τxyθxx = 0
Y : σy ,−τxyθxy = 90o
C
σavg . =σx+σy
2σx−σy
2
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8b – Cercle de Mohr | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 8 / 52
Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Construction du cercle de Mohr
Cercle de Mohr ++
σ
τ
X : σx , τxyθxx = 0
Y : σy ,−τxyθxy = 90o
C
2× 90o
σavg . =σx+σy
2σx−σy
2
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Construction du cercle de Mohr
Cercle de Mohr ++
(σn−σavg .)2+τ2nt = R2
R =
√(σx−σy
2
)2+ τ2
xy
σ
τ
X : σx , τxyθxx = 0
Y : σy ,−τxyθxy = 90o
C
R
σavg . =σx+σy
2σx−σy
2
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Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Construction du cercle de Mohr
Cercle de Mohr ++
σ
τ
X : σx , τxyθxx = 0
Y : σy ,−τxyθxy = 90o
C
R
σavg . =σx+σy
2σx−σy
2
2θxn
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Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Construction du cercle de Mohr
Cercle de Mohr ++
σ
τ
X : σx , τxyθxx = 0
Y : σy ,−τxyθxy = 90o
C
R
σavg . =σx+σy
2σx−σy
2
T : σt , τtnθxn + 90o
N : σn, τntθ = θxn
2θxn
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8b – Cercle de Mohr | V1.1 | CIV1150 – Resistance des materiaux 8 / 52
Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Construction du cercle de Mohr
Cercle de Mohr ++
tan 2θp1 =τxyσx−σy
2
σ
τ
X : σx , τxyθxx = 0
Y : σy ,−τxyθxy = 90o
C
R
σavg . =σx+σy
2σx−σy
2
P2 : σP2 P1 : σP1
2θxp1
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Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Construction du cercle de Mohr
Cercle de Mohr ++
σ
τ
X : σx , τxyθxx = 0
Y : σy ,−τxyθxy = 90o
C
R
σavg . =σx+σy
2σx−σy
2
S1 : τs1
S2 : τs2
P2 : σP2 P1 : σP12θxp2
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Introduction Mohr 2D (∠σ) σ&ε planes Mohr 3D (∠σ) ∠ε Mesures de ε Resume
Construction du cercle de Mohr
Etapes de construction du cercle de Mohr
1. Identifier les contraintes (±) agissant sur l’element dans le
repere X − Y++
( ! τ + si rotation anti-horaire )
2. Tracer les axes ( ! meme echelle & τ + vers le bas)
3. Marquer les points X : (σx , τxy ) et Y : (σy , τyx = −τxy )
4. Tracer le segment XY , et marquer le centre C
5. Tracer le cercle de centre C et passant par X et Y
6. N(σn, τnt) : Rotation de X vers N dans le meme sens pour lecercle de Mohr et l’element ( ! angle θ double sur le cercle)
7. σ principales P(σ1, 0) : σ1 = σavg . + R, σ2 = σavg . − R