Modelo Lineal Multifactorial de Aproximación

7/25/2019 Modelo Lineal Multifactorial de Aproximacin

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Modelo lineal multifactorial/multicriterio deaproximacin para la resolucin de problemas de

optimizacin complejosVersin 0.0

Camilo Bernal

15 de enero de 2016


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ndice

1. Introduccin 1

2. Presentacin del modelo 22 . 1 . P r e - pr o c e s am i e nt o d e l a i n f o r m ac i n d e e n tr a d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 . 2 . C o n s tr u c c i n d e l m o d e l o l i ne a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3. Ejemplo bsico de aplicacin 4

3 . 1 . M o d e l o l i ne a l c o n ve n c i on a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 . 2 . M o d e l o p l a nt e a do c o n l a m e t o d o lo g a p r op u e s ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

A. Solucin del modelo lineal convencional usando GLPK y MathProg en la plataforma GNU/Linux 10

B. Solucin del modelo lineal con la metodolga propuesta usando GLPK y MathProg en la plataforma

GNU/Linux 13

C. Plantilla en LibreOffice Calc para el pre-procesamiento multicriterio de los factores 16

D. Macros en LibreOffice Calc para el pre-procesamiento multicriterio de los factores 17

I


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1. Introduccin

L o s m o d e l o s d e o p t i m i z a c i n l i n e a l u s u a l m e n t e c o n s i d e r a n u n n i c o f a c t o r p a r a e n c o n t r a r l a s o l u c i n i d e a l . E s c o m n

q u e s e p r e t e n d a m i n i m i z a r c o s t o s , m a x i m i z a r u t i l i d a d e s o r e d u c i r t i e m p o s a l m n i m o , e n t r e o t r o s . S e c o n s i d e r a a d e m sq u e l a i n f o r m a c i n e s o b j e t i v a , d e t e r m i n i s t a y c o m p l e t a .

E s t o s s u p u e s t o s c o n t r a s t a n c o n l a s c o n d i c i o n e s q u e c o m n m e n t e n o s p r e s e n t a e l m u n d o r e a l , d o n d e e n m u c h o s c a s o s

l a t o m a d e d e c i s i o n e s i n v o l u c r a l a c o n s i d e r a c i n d e m l t i p l e s f a c t o r e s s i m u l t n e a m e n t e , y d o n d e l a i n f o r m a c i n q u e

p o s e e m o s f r e c u e n t e m e n t e e s u n a m e z c l a d e o b j e t i v i d a d c o n s u b j e t i v i d a d e s1, p o s e e u n a l t o c o m p o n e n t e p r o b a b i l s t i c o

y c a s i s i e m p r e e s i m p e r f e c t a e i n c o m p l e t a .

A fi n d e l i d i a r c o n p r o b l e m a s m s c e r c a n o s a l m u n d o r e a l , e n e s t e d o c u m e n t o s e p r e s e n t a u n a p r o p u e s t a q u e p r e t e n d e

a ad i r u n p r e- p ro c e sa mi e nt o a l a i n fo r ma c i n d e e nt r ad a c o n l o c u al s e i nt e nt a c a mb i ar l a d i re c ci n d e l g r ad i en te

e n e l m ov i mi e nt o d e b sq u ed a d e u n p ti m o e n e l e s pa c io n - di me n si o na l c o nv ex o q u e r e pr e se nt a u n m o de l o d e

p r o g r a m a c i n l i n e a l c o n v e n c i o n a l . E l c a m b i o e n l a d i r e c c i n d e l g r a d i e n t e s e d e b e a q u e y a n o s l o s e c o n s i d e r a u n

n i c o f a c t o r e n l a t o m a d e d e c i s i o n e s , s i n o q u e a h o r a s e i n t e n t a t o m a r e n c o n s i d e r a c i n m l t i p l e s f a c t o r e s d e m a n e r as i m u l t n e a , t o m a n d o e n c u e n t a l a s a p r e c i a c i o n e s s u b j e t i v a s d e l e x p e r t o q u e c o n s t r u y e e l m o d e l o .

E l p r e - pr o c e s am i e nt o d e l a i n f o rm a c i n d e e n t ra d a i m p li c a u n r a n q ue o m u lt i - f ac t o ri a l y m u lt i - c ri t e ri o , d o n d e c a d a

c r i t e r i o h a d e t e n e r u n p e s o p o n d e r a d o . S e b u s c a a d e m s q u e l a c o n s t r u c c i n y c o m p r e n s i n d e l o s m o d e l o s l i n e a l e s

s e m a nt e ng a t a n s i m p le c o mo s e a p o s i bl e , p a r a e s ti mu l ar e l u s o d e e s ta m e to d ol o g a . S e c o ns i de r a q u e e s te e s u n

m o d e lo d e a p r ox i m a ci n p o r q ue l a i n f or m a ci n d e e n t ra d a e s i m p e rf e c t a y l a p o n d e ra c i n d e l o s f a c t o r es i n vo l u cr a

l a s u b j e t i v i d a d d e l e x p e r t o .

1La informacin subjetiva no puede ser despreciada, pues hace parte del acerbo de conocimientos que se acumulan en el subconsciente

y que van siendo perfeccionados sin que nos demos cuenta de ello

1


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2. Presentacin del modelo

2.1. Pre-procesamiento de la informacin de entrada

2.1.1. Elementos del modelo

C: C on ju nt o d e c ri te ri os u sa do s p ar a l a t om a d e d ec is io ne s

F: C on ju nt o d e f ac to re s a se r c on si de ra do s s eg n lo s c ri te ri os (C)

P O: C on ju nt o d e p o nd er ac io ne s p ar a l os c ri te ri os us ad os (C)

V: C on ju nt o d e va lo ra ci on es (s ub j et iva s u ob j et iva s) da da s a ca da fa ct or (F) s e g n e l c r i t e r i o (C)

P U: Co nj unto d e pu nt aj es o bte nid os p or c ad a fac tor (F) d e a cu er do a l os c ri te ri os (C) y s u r es p ec ti va

p o n d e r a c i n (P O)

I: ndi ce q ue i de nt ifi ca l os cr it er io s

J: nd ic e q ue i de nt ifi ca l os f ac to re s

2.1.2. Construccin del modelo

E l p u n t a j e (P U) p a r a l o s d i v e r s o s f a c t o r e s s e o b t i e n e u s a n d o l a s i g u i e n t e e x p r e s i n :

P Uj =

I

V

ji P Oi i I , j J (1)

Donde:

P Uj: P unta je ob te ni do p or e l f ac tor j

Vji

: Va lo ra ci n n or ma li za da d el f ac to rj s e g n e l c r i t e r i o i

P Oi: Po nd er ac i n d ad a a l c ri te ri oi

P a r a n o r m a l i z a r l a v a l o r a c i n d e l o s f a c t o r e s , s e d i v i d e l a v a l o r a c i n d e c a d a f a c t o r s e g n u n c r i t e r i o e n t r e l a s u m a

d e l a s v a l o r a c i o n e s d e t o d o s l o s f a c t o r e s s e g n e s e m i s m o c r i t e r i o . E s t o s e p u e d e e x p r e s a r a s :

V

ji = Vji

IVjii I , j J (2)

Donde:

Vji

Val oraci n normal i zada del factorj s e g n e l c r i t e r i o i

Vji Val oraci n del factorj s e g n e l c r i t e r i o i

2


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2.2. Construccin del modelo lineal

E l m o d e l o m a t e m t i c o d e p r o g r a m a c i n l i n e a l s e p u e d e d e fi n i r d e l a f o r m a :

Minimizar/Maximizar Z=

JP Uj X

s u j e t o a :

G (x X) = B (B R)

Donde:

Z: V a l o r q u e t o m a l a f u n c i n o b j e t i v o d e l a c u a l s e b u s c a o b t e n e r e l m n i m o o m x i m o v a l o r , s e g n s e a e l c a s o .

P Uj: P u n t a j e o b t e n i d o p o r e l f a c t o rj

X: C o n j u n t o d e v a r i a b l e s q u e c o n f o r m a n e l p r o b l e m a p l a n t e a d o

G: C o n j u n t o d e f u n c i o n e s d e r e s t r i c c i n q u e e s t n d a d a s e n t r m i n o s d e u n s u b c o n j u n t o d e X y q u e d e b e n s a t i s f a c e r

u n v a l o r B

B: C o n j u n t o d e v a l o r e s q u e d e b e s a t i s f a c e r e l c o n j u n t o d e r e s t r i c c i o n e s G

3


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3. Ejemplo bsico de aplicacin

S u p o n g a q u e s e d e s e a a d q u i r i r l o s a l i m e n t o s p a r a u n r e s t a u r a n t e e s c o l a r . L o s a l i m e n t o s a d q u i r i d o s t i e n e n u n o s v a l o r e s

n ut r ic i on a le s d a do s y e x is t e u n p r es u pu e st o l i mi t ad o p a ra s u a d qu i si c i n . S e d e b e p r ep a ra r u n n m e ro s u fic i en ted e p o r c i o n e s a fi n d e s a t i s f a c e r l a d e m a n d a , n o s e p u e d e n a d q u i r i r m s d e 5 l i b r a s d e c a d a a l i m e n t o y e s n e c e s a r i o

c o m p r a r p o r l o m e n o s 3 l i b r a s d e c a r n e y u n a l i b r a d e l o s o t r o s a l i m e n t o s . L a s t a b l a s 1, 2, 3, 4, muestran l a i nformaci n

n u tr i c io n a l, l o s c o s to s y e l p r e su p u e s to .

C u a dr o 1 : I n f o rm a c i n n u tr i c io n a l - g r a mo s / [l i b ra d e a l i me n to ] ( F i ct i c io )

Alimento Vitamina A Vitamina B Vitamina C Calcio Fsforo Protena

Fri jol 1, 1 1 0 2 4 4Arroz 1 0,7 0 1,4 0 2

Poll o 1 1 1, 8 1 3 4Cerdo 1 1 1 1 2 4,5

Naranja 2, 3 2 6 0 0 3,2

Espinaca 2 2,2 5 0 0 2,3Coliflor 2 2 3 0 0 0,1Maz 1 0 2, 1 0 1 2,3

Trigo 2 1 1 1,1 2 2,1Avena 2, 7 0,3 1, 8 1 2 1,9

Lenteja 3 0 1 1 2 6Spaghetti 1 1 1 1 1 2

Fuente: El aboraci n propi a

C u a dr o 2 : R e q u er i m ie n to s n u t ri c i on a l e s - g r a mo s / p o rc i n ( F i ct i c io )

Nutriente Cantidad

Vitami na A 34Vi tamina B 1Vitami na C 52

Cal ci o 23Fsf oro 10

Prote na 60Fuente: El aboraci n propi a

4


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C u a d r o 3 : C o s t o d e a l i m e n t o s - $ / L i b r a ( F i c t i c i o )

Alimento Costo ($)

Frij ol 3200Arroz 1600

Poll o 5000Cerdo 4500

Naranja 2200Espi naca 800

Col iflor 1500Ma z 2350

Trigo 2300Avena 1600

Lenteja 3100Spaghetti 2800


C u a dr o 4 : P r e s up u e s to y D e m an d a ( F i c ti c i os )

Presupuesto ($) 40.000Demanda (Porciones) 680


E l p r o b l e m a c o n s i s t e e n p r e p a r a r e l n m e r o s u fi c i e n t e d e p o r c i o n e s q u e c u m p l a n c o n l o s r e q u e r i m i e n t o s n u t r i c i o n a l e s

s i n e x c e d e r e l p r e s u p u e s t o d i s p o n i b l e .

3.1. Modelo lineal convencional

3.1.1. Elementos del modelo

X: C o n j u n t o d e l o s a l i m e n t o s a a d q u i r i r ( l i b r a s )

NI, K: C o n j u n t o d e n u t r i e n t e s a p o r t a d o s p o r l o s a l i m e n t o s ( g r a m o s )

RN: C o n j un t o d e r e q u er i m ie n to s n u t ri c i on a l es p o r p o r c i n ( g r am o s )

CA: C o n j u n t o d e c o s t o s d e l o s a l i m e n t o s ( $ )

P: P r e s u p u e s t o d i s p o n i b l e p a r a l a a d q u i s i c i n d e a l i m e n t o s ( $ )

D: D e m a n d a d e a l i m e n t o s ( P o r c i o n e s )

MAXA: C a n t i d a d m x i m a d e c a d a a l i m e n t o ( L i b r a s )

MINC: C a n t i d a d m n i m a d e c a r n e ( L i b r a s )

MINO: C a n t i d a d m n i m a d e l o s o t r o s a l i m e n t o s ( L i b r a s )

I: C o n j u n t o d e n d i c e s q u e i d e n t i fi c a n l o s a l i m e n t o s

K: C o n j u n t o d e n d i c e s q u e i d e n t i fi c a n l o s n u t r i e n t e s

5


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3.1.2. Construccin del modelo

MinimizarZ=

Icai xi ca CA, x X, i I

S u j e t o a :

Ini, k xi rnk D n N, i I , k K, x X, rn RN (Requeri mi entos nutri ci onal es)

Icai xi P ca CA, i I , x X (Presupuesto di sponi bl e)

xi MAXA x X, i I (Li bras mxi mas)

Ixi MINC, i | i {P ollo, C erdo} , x X ( C a nt i d ad m ni m a de c a rn e )

Ixi MINO, i | i / {P ollo, Cerdo} , x X ( C a nt i d ad m n i ma d e o t r o s a l i me n to s )

X Z+ ( L a c a n t i d a d d e a l i m e n t o e s u n e n t e r o p o s i t i v o )

3.2. Modelo planteado con la metodologa propuesta

L a g r a n v e n t a j a d e l a m e t o d o l o g a p r o p u e s t a e s q u e p e r m i t e c o n s i d e r a r m l t i p l e s f a c t o r e s s i m u l t n e a m e n t e y c a m b i a r

a s e l g r a d i e n t e e n e l p r o c e s o d e b s q u e d a d e l p t i m o . S u p o n g a q u e l o s a n a l i s t a s d e l r e s t a u r a n t e e s c o l a r e n c o n t r a r o n

q u e e l m o d e l o c o n v e n c i o n a l n o r e p r e s e n t a t o d a l a s i t u a c i n d e l p r o b l e m a r e a l , p u e s s e h a l l a r o n 4 f a c t o r e s a d i c i o n a l e s

:

Espacio: E l e s pa c io d i sp o n ib l e p a ra a lm a ce n ar l o s a l im e nt o s e s m uy l i mi t ad o , a s q u e s e r a d e se a bl e q u e l o s

a l i m e n t o s a d q u i r i d o s n o o c u p e n d e m a s i a d o e s p a c i o .

Gustos: L o s c o m e n s a l e s e s t a b a n d e j a n d o m u c h a c o m i d a e n e l p l a t o . S e h i z o u n a e n c u e s t a y s e d e s c u b r i q u e

l o s c o m e n s a l e s p r e fi e r e n m s u n o s a l i m e n t o s q u e o t r o s , y s e d e s e a d a r l e i m p o r t a n c i a a e s t o .

Duracin: L a d u ra c i n d e l o s a l im e nt o s d i fie r e e nt r e u n o s y o t ro s . E s d e se a bl e q u e s e a d qu i er an a l im e nt os

c o n m a y o r d u r a c i n ( a n t e s d e e x p i r a r ) .

Tiempo de coccin: E l t i em p o d e c o c ci n e s d i fe r en te p a ra l o s d i ve r so s a l im e nt o s. S e r a d e se a bl e a d qu i ri r

a l i m e n t o s q u e s e p u e d a n c o c i n a r e n m e n o s t i e m p o

3.2.1. Pre-procesamiento de la informacin de entrada

U s a nd o l a i n f o rm a c i n d e l a s u b - s ec c i n 2. 1 y c o n a y u d a d e u n a p l a n t i l l a c o n s t r u i d a e n L i b r e O ffi c e ( V e r A n e x o s C

y D) , s e c o n s t r u y l a s i g u i e n t e t a b l a p a r a o b t e n e r u n c o e fi c i e n t e g l o b a l ( m u l t i f a c t o r i a l ) p a r a c a d a f a c t o r ( a l i m e n t o ) :

6


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C u a d r o 5 : P r e - p r o c e s a m i e n t o d e l a i n f o r m a c i n d e e n t r a d a


D e a c ue r do a l os r e su l ta d os o b te n id o s e n l a t a bl a 5, l a e s p i n a c a y e l c o l i fl o r s o n d o s d e l o s a l i m e n t o s q u e d e b e r a n

e l i m i n a r s e , p u e s n o a p o r t a n a l a n u e v a f u n c i n o b j e t i v o . E s t a t a b l a m u e s t r a a d e m s q u e e l g u s t o d e l o s c o m e n s a l e s

e s u n c r i t e r i o d e s e a b l e d e m u c h a i m p o r t a n c i a p a r a l o s a n a l i s t a s , y e l c r i t e r i o n o d e s e a b l e m s i m p o r t a n t e e s e l c o s t o

d e l o s a l i m e n t o s . E l n m e r o c o r r e s p o n d i e n t e a l a c o l u m n a d e l p u n t a j e s e r e l c o e fi c i e n t e g l o b a l ( m u l t i - d i m e n s i o n a l )

q u e s e u s a r e n l a f u n c i n o b j e t i v o (P Ui).

3.2.2. Construccin del modelo multifactorial

MaximizarY =

IP Ui xi x X, i I

S u j e t o a :

Ini, k xi rnk D n N, i I , k K, x X, rn RN (Requeri mi entos nutri ci onal es)

Icai xi P ca CA, i I , x X (Presupuesto di sponi bl e)

xi MAXA x X, i I (Li bras mxi mas)

Ixi MINC, i | i {P ollo, C erdo} , x X ( C a nt i d ad m ni m a de c a rn e )

Ixi MINO, i | i / {P ollo, Cerdo} , x X ( C a nt i d ad m n i ma d e o t r o s a l i me n to s )

X Z+ ( L a c a n t i d a d d e a l i m e n t o e s u n e n t e r o p o s i t i v o )

E n e s t e n u e v o m o d e l o , P Ui r e p r es e n ta e l p u n ta j e g l o ba l ( m ul t i fa c t or i a l/ m ul t i cr i t er i o ) p a r a c a d a f a c t or .

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Conclusiones

A d i fe r en c ia d e u n m o de l o l in e al c o nv en c io n al , e l m to d o p r op u es t o p e r mi t e t o ma r d e ci s io n es t e ni e nd o e n

c u e nt a m lt i p le s f a c t or e s y m lt i p le s c r i te r i os s i mu l t n e a m en t e , a d e m s d e m e z cl a r i n f o rm a c i n o b j e t iv a ys u b j e t i v a , a c e r c a n d o e l p r o c e s o d e t o m a d e d e c i s i o n e s a s i t u a c i o n e s d e l m u n d o r e a l .

E l m o d e l o p r o p u e s t o p u e d e p e r m i t i r e l a b o r d a j e d e p r o b l e m a s d e o p t i m i z a c i n m u y c o m p l e j o s ( p o r a p r o x i m a -

c i n ) s i n a u m e n t a r s i g n i fi c a t i v a m e n t e l a c o m p l e j i d a d m a t e m t i c a e n l a e t a p a d e m o d e l a m i e n t o n i l a c o m p l e j i d a d

c o m p u t a c i o n a l e n l a e t a p a d e r e s o l u c i n .

8


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Referencias

[ Li nux, 2014] Wi ki pedi a: La enci cl opedi a l i bre. GN U /Li nux. http: //es. wi ki pedi a. org/wi ki /GN U /Li nux?ol di d=78087514.

F e c h a d e a c c e s o : 1 1 n o v 2 0 1 4 .

[ S. _ Li bre, 2014] Wi ki pedi a: La enci cl opedi a l i bre. Software l i bre. http: //es. wi ki pedi a. org/wi ki /Software_ l i bre?ol di d=78063707.

F e c h a d e a c c e s o : m i 1 2 n o v 2 0 1 4 .

[ M a rk h o ri n , 2 0 1 0a ] M a k h or i n , A n d r e w . G N U L i n ea r P r o gr a m mi n g K i t - R e f e re n c e M a n u a l . D e p a r t me n t f o r A p p li e d

Informati cs, Moscow A vi ati on Insti tute, Moscow, Russi a. 2010.

[ M a rk h o ri n , 2 0 1 0b ] M a k h or i n , A n d r e w . M o d e l i n g L a n g u a ge G N U M a t h P r og - L a n gu a g e R e f e r e n c e f o r G L P K V e r-

s i o n 4 . 4 5. D e p a rt m e nt f o r A p p li e d I n f o rm a t ic s , M o s co w Av i a ti o n I n s ti t u t e, M o s co w , R u ss i a . 2 0 1 0.

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A. Solucin del modelo lineal convencional usando GLPK y MathProg en

la plataforma GNU/Linux

Problem: ConvencionalRows: 31

Columns: 12 (12 integer, 0 binary)

Non-zeros: 108

Status: INTEGER OPTIMAL

Objective: costo_alimento = 56450 (MINimum)

No. Row name Activity Lower bound Upper bound

------ ------------ ------------- ------------- -------------

1 costo_alimento

56450

2 req_nut[Vitamina_A]

47 34

3 req_nut[Vitamina_B]

28 1

4 req_nut[Vitamina_C]

52.1 52

5 req_nut[Calcio]

23.2 23

6 req_nut[Fosforo]

32 10

7 req_nut[Protena]

70.3 60

8 pres_disp 56450 60000

9 max_lib[Frijol]

2 5

10 max_lib[Arroz]

5 5

11 max_lib[Pollo]

0 5

12 max_lib[Cerdo]

3 5

13 max_lib[Naranja]

1 5

14 max_lib[Espinaca]

5 515 max_lib[Coliflor]

1 5

16 max_lib[Maiz]

1 5

17 max_lib[Trigo]

2 5

18 max_lib[Avena]

10


13/28

5 5

19 max_lib[Lenteja]

1 5

20 max_lib[Spaghetti]1 5

21 min_car 3 3

22 min_otr[Frijol]

2 1

23 min_otr[Arroz]

5 1

24 min_otr[Naranja]

1 1

25 min_otr[Espinaca]

5 1

26 min_otr[Coliflor]

1 127 min_otr[Maiz]

1 1

28 min_otr[Trigo]

2 1

29 min_otr[Avena]

5 1

30 min_otr[Lenteja]

1 1

31 min_otr[Spaghetti]

1 1

No. Column name Activity Lower bound Upper bound

------ ------------ ------------- ------------- -------------

1 x[Frijol] * 2 0

2 x[Arroz] * 5 0

3 x[Pollo] * 0 0

4 x[Cerdo] * 3 0

5 x[Naranja] * 1 0

6 x[Espinaca] * 5 0

7 x[Coliflor] * 1 0

8 x[Maiz] * 1 0

9 x[Trigo] * 2 0

10 x[Avena] * 5 0

11 x[Lenteja] * 1 0

12 x[Spaghetti] * 1 0

Integer feasibility conditions:

KKT.PE: max.abs.err = 1.69e-15 on row 7

max.rel.err = 1.20e-17 on row 7

11


14/28

High quality

KKT.PB: max.abs.err = 0.00e+00 on row 0

max.rel.err = 0.00e+00 on row 0

High quality

End of output

12


15/28

B. Solucin del modelo lineal con la metodolga propuesta usando GLPK

y MathProg en la plataforma GNU/Linux

Problem: PropuestoRows: 31

Columns: 12 (12 integer, 0 binary)

Non-zeros: 106

Status: INTEGER OPTIMAL

Objective: puntaje_global = 27.14 (MAXimum)

No. Row name Activity Lower bound Upper bound

------ ------------ ------------- ------------- -------------

1 puntaje_global

27.14

2 req_nut[Vitamina_A]

46.9 34

3 req_nut[Vitamina_B]

29 1

4 req_nut[Vitamina_C]

54.9 52

5 req_nut[Calcio]

23.1 23

6 req_nut[Fosforo]

30 10

7 req_nut[Protena]

69.7 60

8 pres_disp 59850 60000

9 max_lib[Frijol]

1 5

10 max_lib[Arroz]

5 5

11 max_lib[Pollo]

1 5

12 max_lib[Cerdo]

2 5

13 max_lib[Naranja]

1 5

14 max_lib[Espinaca]

5 515 max_lib[Coliflor]

1 5

16 max_lib[Maiz]

1 5

17 max_lib[Trigo]

1 5

18 max_lib[Avena]

13


16/28

5 5

19 max_lib[Lenteja]

1 5

20 max_lib[Spaghetti]4 5

21 min_car 3 3

22 min_otr[Frijol]

1 1

23 min_otr[Arroz]

5 1

24 min_otr[Naranja]

1 1

25 min_otr[Espinaca]

5 1

26 min_otr[Coliflor]

1 127 min_otr[Maiz]

1 1

28 min_otr[Trigo]

1 1

29 min_otr[Avena]

5 1

30 min_otr[Lenteja]

1 1

31 min_otr[Spaghetti]

4 1

No. Column name Activity Lower bound Upper bound

------ ------------ ------------- ------------- -------------

1 x[Frijol] * 1 0

2 x[Arroz] * 5 0

3 x[Pollo] * 1 0

4 x[Cerdo] * 2 0

5 x[Naranja] * 1 0

6 x[Espinaca] * 5 0

7 x[Coliflor] * 1 0

8 x[Maiz] * 1 0

9 x[Trigo] * 1 0

10 x[Avena] * 5 0

11 x[Lenteja] * 1 0

12 x[Spaghetti] * 4 0

Integer feasibility conditions:

KKT.PE: max.abs.err = 4.08e-15 on row 7

max.rel.err = 3.76e-17 on row 5

14


17/28

High quality

KKT.PB: max.abs.err = 0.00e+00 on row 0

max.rel.err = 0.00e+00 on row 0

High quality

End of output

15


18/28

C. Plantilla en LibreOffice Calc para el pre-procesamiento multicriterio

de los factores

E n l a fi g u r a 1 s e m u e s t r a l a p l a n t i l l a u s a d a .

F i g u r a 1 : P l a n t i l l a d e l a h e r r a m i e n t a


S i d e s e a c a m b i a r l a p l a n t i l l a p u e d e h a c e r l o , p e r o a s e g r e s e d e u s a r l a s m i s m a s c e l d a s p a r a e s c r i b i r l a s e t i q u e t a s , p u e sd e o t r o m o d o t e n d r a q u e c a m b i a r l a s m a c r o s p a r a e v i t a r i n c o n s i s t e n c i a s .

16


19/28

D. Macros en LibreOffice Calc para el pre-procesamiento multicriterio de

los factores

A c o nt in ua c i n s e p r es e nt a n t o da s l a s m ac r os e s cr i ta s p a ra a p li c ar e l m o de l o. E l l e ng u aj e e s B a si c , c o n a l gu n as

p e c u l i a r i d a d e s m n i m a s . E n e s e n c i a e s e l m i s m o l e n g u a j e q u e u s a E x c e l p a r a s u s m a c r o s .

R EM * * ** * B A SI C * * ** *

S u b M a i n

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

S u b S e l e c ci o n a r ( c o lu m na , f i la )

r em s e le c ci o na r u na c e ld a p or p o si c i n

ThisComponent.CurrentController.Select(CP(columna ,fila))

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

F u n c ti o n N C r i te r i o s

N C r i t er i o s = C P ( 1 , 5 ). V a l u e

E n d F u n c ti o n

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

F u n c ti o n N F a c to r e s

N F a c to r e s = C P ( 1 , 4 ). V a l u e


r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

F u nc t io n C P ( c ol u mn a a s i n te ge r , f il a a s i n te g er ) a s o b je c t

O b ti e ne u na c e ld a p or p o si c i n

D im H o ja a s o b je c t

H o j a = T h i s C om p o n e n t . S h e et s ( 0 )

C P = H o ja . g e t C e l l B y P o s it i o n ( c o l um n a , f i l a )

17


20/28


r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

F u nc t io n C N ( ra n go a s s t ri n g )

O b ti e ne u na c e ld a p or n o mb r e

D im H o ja a s o b je c t


C N = H o ja . g e t C e l l R a n g e By N a m e ( r a n g o )


r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

S u b B o r ra r ( c o l u m n a a s i n te g er , f i l a a s i n t e ge r )

B o rr a u na c e ld a r e fe r en c i ad a p or p o si c i n

C P ( c o lu m na , f i la ) . S t r i n g = " "

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

S ub E l im i na r R ( ci , f i , c f , f f )

E l im i na u n r an go , t e ni e nd o l as r e fe r en c ia s d e i n ic i o y f in p or p o si c i n

D i m C e l l R a ng e A d d r es s A s N e w c o m . s un . s t a r . t a b l e . C e l l R an g e A d d re s s


C e l l R a ng e A d d r es s . S h e e t = 0

C e l l R a ng e A d d r es s . S t a r t C o l u mn = c i

C e l l R a ng e A d d r es s . S t a r t R o w = f i

C e l l R a ng e A d d r es s . E n d C o l u m n = c f

C e l l R a ng e A d d r es s . E n d R o w = f f

Hoja.removeRange (CellRangeAddress , com. sun.star. sheet.CellDeleteMode .UP)

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

S ub B o rr a rR ( c i , f i , c f , f f )

B o rr a r u n r a ng o d a do p or p o si c io n

F or c ol um na = c i T o c f

F or f il a = fi T o f f

18


21/28

Borrar(columna , fila)

Next

Next

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

S ub A CO ( c o lu m na a s i n te g er )

A n ch u ra d e c o lu m na p ti m a

T h i s C om p o n e n t . S h e et s ( 0 ) . C o l u mn s ( c o l u m n a ) . O p t i m al W i d t h = T r ue

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

S ub A CP ( c o lu m na a s i n te g er )

A n c h u ra d e c o l u mn a p r e d e t er m i n a da

T h i s C om p o n e n t . S h e et s ( 0 ) . C o l u mn s ( c o l u m n a ) . W i dt h = 4 0 0 0

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

S u b G e n e r a r_ f a c t o re s

G e ne r a l as e t iq u et a s p a ra l os f a ct o re s

F ac to r = 1

F or f i la = 1 1 t o 1 0+ N F a ct o re s

C P (0 , F i la ) . S t ri n g = " F a ct o r # " + F a ct o r + " :"

C P ( 0 , F i l a ) . C e l l B a c k C ol o r = 1 0 0 6 64 3 1

F ac to r = F ac to r + 1

Next

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

S u b G e n e r a r_ c r i t e r io s

G e ne r a l as e t iq u et a s p a ra l os c r it e ri o s c o ns i d er a do s

C r it e ri o = 1

F or c o lu m na = 1 t o N C ri t er i os

C P ( Co lu mn a , 1 0) . S t ri n g = " C r i te r io # " + C r it e ri o

19


22/28

C P ( C o lu m na , 9 ) . C e l l B ac k C o l or = 1 6 7 5 08 4 8

C P ( C o lu m na , 1 0 ) . C e l l Ba c k C o l or = 1 0 0 6 64 3 1

C ri te ri o = C ri te ri o + 1

Next

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

S u b R e l l en a r

P on e v a lo r es p r ed e te r m in a do s a l a v a lo r ac i n d e c ad a f a ct o r

F or f i la = 1 1 T o 1 0+ N F a ct o re s

F or c o lu m na = 1 T o N C ri t er i os

C P ( C o lu m na , F i l a ) . V a lu e = 1

NextNext


C P ( c o lu m na , 9 ) . V a lu e = 1

Next

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

S u b C a l c u l ar _ P u n t aj e

r em P e rm i te c a lc u la r l os p u nt a je s

P o ne r e t iq u et a s d e t o ta l es

C P (0 , 1 1 + N F ac t or e s ) . St r in g = " T O TA L - F A CT O R "

C a l c u la r t o t al d e f a c t o r e s


T o ta l C = 0 . 00

F or f il a = 1 1 T o 1 0 + N Fa ct or es

T o t a lC = T o t a lC + C P ( c o lu m n a , f i l a ) . V a lu e

Next

C P ( c o lu m na , 1 1 + N F a c t or e s ) . V a l u e = T o t al C

Next

C a l c u la r p u n t aj e s


P P = 0 .0 0


P o n d e ra c i o n = C P ( c o lu m n a , 9 ) . V a lu e

D e n o m in a d o r = C P ( c o lu m n a , 1 1 + N F a c t or e s ) . V a l u e

I f D en om in ad or > 0 T he n

P P = P P + C P ( co lu m na , f i la ) . V a lu e / D e no m in a do r * P o nd e ra c io n

20


23/28

E nd I f

Next

I f P P > 0 T h e n

C P ( N Cr i te r io s + 1 , f i la ) . V a lu e = P PElse

C P ( N Cr i te r io s + 1 , f i la ) . V a lu e = 0

E nd I f

Next

C a l c u la r p o r c e nt a j e s

P To t = 0 .0


P T ot = P T ot + C P ( N Cr i te r io s + 1 , f i la ) . V a lu e

Next


If P To t > 0 T he n

C P ( N Cr i te r io s + 2 , f i la ) . V a lu e = C P ( N Cr i te r io s + 1 , f i la ) . V al u e / P To t * 1 0 0. 0Else

C P ( N Cr i te r io s + 2 , f i la ) . V a lu e = C P ( N Cr i te r io s + 1 , f i la ) . V a lu e * 1 0 0. 0

E nd I f

Next

C a l c u la r p o r c e nt a j e s a c u m u la d o s

P Ac um = 0 .0


P A Cu m = P A cu m + C P ( N Cr i te r io s + 2 , f il a ) . V al u e

C P ( N Cr i te r io s + 3 , f il a ) . V al u e = P A cu m

Next

r e m p o n e r e t i q u et a s

f il a = 1 0

C P ( N C r i t er i o s + 1 , f i l a ) . S t ri n g = " P u n t a je "

C P ( N C r i t er i o s + 2 , f i l a ) . S t r i n g = " % "

C P ( N Cr i te r io s + 3 , f i la ) . S t ri n g = " % A c um u la d o "

C a mb i ar e l c o lo r d e f o nd o

C P ( N C r i t er i o s + 1 , f i la - 1 ). C e l l B a c k C o lo r = 1 6 7 5 08 4 8



C P ( N C r i t er i o s + 1 , f i l a ) . C e l l Ba c k C o lo r = 1 0 0 6 64 3 1



C P (0 , f i la + N F ac t or e s + 1 ). C e l l Ba c kC o lo r = 1 0 06 6 43 1

r em O r de n ar l os d a to s p or p u nt a je d e m ay o r a m e no r

Ordenar

r em C a lc u la r % A c u m ul a do

P o r c e nt a j e = C P ( N C r i t er i o s + 2 , 1 1 ) . V a lu e

C P ( N C r i t er i o s + 3 , 1 1 ) . V a lu e = P o r c en t a j e

F or f il a = 1 1 T o 9 + N Fa ct or es

V l r _ a nt e r i o r = C P ( N C r i t er i o s + 3 , f i l a ) . V al u e

21


24/28

P o r c e nt a j e = C P ( N C r i t er i o s + 2 , f i l a + 1 ). V a l u e

C P ( N C r i t er i o s + 3 , f i la + 1 ) . V a l u e = V l r _ a n te r i o r + P o r c e nt a j e

Next

r em O p ti m iz a r a n ch u ra d e c o lu m na sF or c ol um na = 1 T o N Cr it er io s + 3

ACO(columna)

Next

Poner_encabezados

Resaltar_puntaje

Seleccionar(1,4)

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

S u b A g r e g a r_ c r i t e r io s

S i rv e p ar a a g re g ar m s c r it e ri o s d e a n l i si s

r em B o ra r e t iq u et a s d e P u nt a je y P o rc e nt a je s

F or c ol um na = N Cr it er io s + 1 T o N Cr it er io s + 3

Borrar(columna , 10)

Next

r em B o rr a r P u nt a je y P o rc e nt a je s


F or c ol um na = N Cr it er io s + 1 T o N Cr it er io s + 3

Borrar(columna ,fila)

Next

Next

N C Ag r eg a r = i nt ( I n p ut B ox ( " I n gr e se # c r it e ri o s a a g re g ar " , " A g re g ar c r it e ri o s " , 1 ))

r em l i mi t ar e l n me r o d e c r it e ri o s a a g re g ar

I f N CA gr eg ar > 5 T he n

N C Ag r eg a r = 5

E nd I f

r em P o ne r e t iq u et a s y p o nd e ra c i n d e n u ev o s c r it e ri o s

N u ev o _ cr i te r io = N C ri t er i os + 1

F or c o lu m na = N C ri t er i os + 1 T o N C ri t er i os + N C Ag r eg a r

C P ( c o lu m na , 1 0 ). S t r i n g = " C r i t e r io # " + N u e v o _c r i t e r io

C P ( c o lu m na , 1 0 ). C e l l B a c k C o lo r = 1 0 0 6 64 3 1

C P ( c o lu m na , 9 ) . V a lu e = i n t ( 1 )

C P ( c o lu m na , 9 ) . C e l l Ba c k C o l or = 1 6 7 5 0 84 8

N u e vo _ cr i te r i o = N u ev o _c r i te r io + 1

Next

r e m R e l l e n a r N u e vo c r i t er i o

F or c o lu m na = N C ri t er i os + 1 T o N C ri t er i os + N C Ag r eg a r


C P ( c o lu m na , f i l a ) . V a l ue = 1

22


25/28

Next

r em A c tu a li z ar N me r o d e c r it e ri o s

C P (1 , 5 ). V a lu e = N C ri t er i os + N C Ag r eg a r

Next

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

S u b Q u i t a r _c r i t e r io s

P e rm i te q u it a r c r it e ri o s d e a n l i si s

N C Q u it a r = i n t ( I n p ut B o x ( " C u n to s C r i t er i o s D e s ea q u i t ar ? " , " Q u i t a r c r i t e r i o s " , 1 ) )

I f N C Qu i ta r > = N C ri t er i os T h en

N C Q u it a r = N C r it e r io s - 1

E nd I fr em B o rr a r e t iq u et a s d e p u nt a je y p o rc e nt a je s

f il a = 1 0

B o r r ar ( N C r i t e r i o s + 1 , f i la )



r e m Q u i t a r e n c a b ez a d o d e c r i t e ri o s e l i m i na d o s

F o r C o l u mn a = N C r i t er i o s T o N C r it e r io s - N C Q u i t ar + 2 S t e p - 1

C P ( C o lu m na , f i l a ) . S t ri n g = " "

Next

r em C a mb i ar n me r o d e c r it e ri o s

C P ( 1 ,5 ). V a l ue = N C ri t er i os - N C Qu i ta r

r em Q u it a r r e ll e no d e c o lu m na s

F o r C o l u mn a = N C r i t er i o s + 4 T o N C r it e r io s - N C Q u i t ar + 2 S t ep - 1

F or F il a = 9 T o 1 1+ N F ac to re s

Borrar(Columna , Fila)

Next

Next

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

S u b A g r e g a r_ f a c t o re s

D a l a p o si b il i da d d e a g re g ar m s e l em e nt o s p a ra a n al i za r

N F A g re g a r = i n t ( I n p u tB o x ( " C u n t os F a c t or e s D e s ea a g r e ga r ? " , " A g r e ga r f a c t or e s " , 1 ) )

r em l i mi t ar e l n me r o d e f a ct o re s a a g re g ar

I f N FA gr eg ar > 5 T he n

N F Ag r eg a r = 5

E nd I f

23


26/28

r e m a g r e ga r e t i q ue t a

N Fa ct or = N Fa ct or es + 1

F or f il a = 1 1 + N Fa ct or es T o 1 0 + N Fa ct or es + N FA gr eg ar

C P (0 , f i la ) . S t ri n g = " F a ct o r # " + N F ac t or + " :"C P ( 0 , f i la ) . C e l l B a c k C ol o r = 1 0 0 6 64 3 1

N Fa ct or = N Fa ct or + 1

Next

r e m a g r e ga r r e l l en o

F or f il a = 1 1 + N Fa ct or es T o 1 0 + N Fa ct or es + N FA gr eg ar


C P ( c o lu m na , f i l a ) . V a l ue = 1

Next

Next

r em m o di f ic a r e l n me r o d e f a ct o re s

C P ( 1 ,4 ). V a l ue = N F ac t or e s + N F Ag r eg a r

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

S u b Q u i t a r _f a c t o r es

Q u i t a e l e m en t o s

N F Q u it a r = i n t ( I n p ut B o x ( " C u n to s F a c t or e s D e s ea q u i ta r ? " , " Q u i ta r f a c t or e s " , 1 ) )

r em L i mi t ar e l n me r o d e f a ct o re s a q u it a r

I f N F Qu i ta r > = N F ac t or e s T he n

N F Qu i ta r = N F ac t or e s - 1

E nd I f

r em B o rr a r l a f il a c o r re s po n d ie n te

F or f il a = 1 1 + N Fa ct or es T o 1 0 + N Fa ct or es - N FQ ui ta r + 1 S te p - 1

F or c ol um na = 0 T o N Cr it er io s + 3

Borrar(columna ,fila)

Next

Next

r em m o di f ic a r e l n me r o d e f a ct o re s

C P ( 1 ,4 ). V a l ue = N F ac t or e s - N F Qu i ta r

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

S u b L i m p i ar _ T o d o

L i mp i a t o da l a p l an t il l a

EliminarR(1,9,101,109)

EliminarR(0,11,0,111)

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27/28

D e vo l ve r u n a n ch o p r e de t er m in a d o a l as c o lu m na s

F or C ol um na = 1 T o 2 1

ACP(Columna)

Next

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

S u b E m p e za r

G e ne r a e l e s qu e ma p a ra e m pe z ar a i n tr o du c ir v a lo r es

Limpiar_Todo

Generar_factores

Generar_criterios

Rellenarr e m P o n e r e n c a b ez a d o s

Poner_encabezados

E nd S ub

r e m * - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -* - * - * - * - * - * -* - * - * - * - * -

s u b O r d e na r

U sa e l D i sp a tc h er d e O p en O ff i ce p a ra o r de n ar l os d a to s p or p u nt a je

r e m - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -

r e m d e f in e v a r i ab l e s

d im d o cu m en t a s o b je c t

d im d i sp a tc h er a s o b je c t

r e m - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -

r em g et a c ce s s t o t he d o cu m en t

d o c u me n t = T h i s C om p o n e n t . C u r r e n tC o n t r o ll e r . F r a m e

d i s p a tc h e r = c r e a t e Un o S e r v ic e ( " c o m . s u n . s t ar . f r a m e . D i s p a t c hH e l p e r " )

r em A g re g ar m s c o sa s

N F a c to r e s = C P ( 1 , 4 ). V a l u e

N C r i t er i o s = C P ( 1 , 5 ). V a l u e

F a c to r _ or d en a m ie n t o = N C ri t er i os + 2

r e m - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -

d i m a r g s 1 ( 0 ) a s n e w c o m . s un . s t a r . b e a ns . P r o p e r t y V a lu e

a r g s1 ( 0 ) . N a m e = " T o P o i nt "

a r g s1 ( 0 ) . V a l u e = " $ A $ 1 1 "

d i s p a tc h e r . e x e c u t e D is p a t c h ( d o c um e nt , " . u n o : G o T oC e l l " , " " , 0 , a r g s1 ( ) )

r e m - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -


a r gs 2 ( 0) . N am e = " B y "

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a r gs 2 ( 0) . V a lu e = 1

d i s p a tc h e r . e x e c u t e D is p a t c h ( d o c um e nt , " . u n o : G o R i g h tT o E n d O f Da t a S e l " , " " , 0 , a r g s2 ( ) )

r e m - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -

d i m a r g s 3 ( 0 ) a s n e w c o m . s un . s t a r . b e a ns . P r o p e r t y V a lu ea r gs 3 ( 0) . N am e = " B y "

a r gs 3 ( 0) . V a lu e = 1

d i s p a tc h e r . e x e c u t e D is p a t c h ( d o c um e nt , " . u n o : G o D o w n To E n d O f D at a S e l " , " " , 0 , a r g s3 ( ) )

r e m - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -


a r g s4 ( 0 ) . N a m e = " B y R o w s "

a r g s4 ( 0 ) . V a l u e = t r u e

a r g s4 ( 1 ) . N a m e = " H a s H e a de r "

a r g s4 ( 1 ) . V a l u e = t r u e

a r g s4 ( 2 ) . N a m e = " C a s e S e n s it i v e "

a r g s4 ( 2 ) . V a l u e = f a l se

a r g s4 ( 3 ) . N a m e = " N a t u r a l So r t "a r g s4 ( 3 ) . V a l u e = f a l se

a r g s4 ( 4 ) . N a m e = " I n c l u d e A tt r i b s "

a r g s4 ( 4 ) . V a l u e = t r u e

a r g s4 ( 5 ) . N a m e = " U s e r D e f I nd e x "

a r gs 4 ( 5) . V a lu e = 0

a r gs 4 ( 6) . N am e = " C o l1 "

a r g s4 ( 6 ) . V a l u e = F a c t o r _ or d e n a m i en t o

a r g s4 ( 7 ) . N a m e = " A s c e n d i ng 1 "

a r g s4 ( 7 ) . V a l u e = f a l se

d i s p a tc h e r . e x e c u t e D is p a t c h ( d o c um e nt , " . u n o : D a t aS o r t " , " " , 0 , a r g s4 ( ) )

e nd s ub

26

Modelo Lineal Multifactorial de Aproximación

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