Modelo en el espacio de estados Definiciones: Un modelo en el
espacio de estados observa, en el tiempo, las transformaciones de
energa que suceden al interior de un circuito, y no solo la relacin
salida a entrada. Por esto se nombra a una variable como estado
cuando sta describe la energa, como ocurre con el voltaje en una
capacidad o la corriente en una bobina. El mtodo divide un modelo
de orden n en n ecuaciones de orden uno; cada una llamada ecuacin
de estado. En el lado izquierdo de esta ecuacin est la derivada del
estado; en la derecha, una combinacin lineal de todos los estados y
la fuente. La ley de Ohm de la capacidad e inductancia, en forma
diferencial, es la forma ms rpida de comenzar a calcular la ecuacin
de estado, pues ya incluye la variacin, o derivada del estado. Una
vez se escriben las ecuaciones sigue el recopilarlas en forma
matricial. Por ltimo se escribe la ecuacin de salida; esta es una
combinacin lineal entre los estados y la fuente, la cual permite
observar cualquier parmetro del circuito. De izquierda a derecha en
el modelo aparece: un vector columna, con la variacin de los
estados; este, igualado a la matriz del sistema A (en ella est la
informacin en cuanto a la conexin entre los elementos),
multiplicada por el vector columna de estados. A esto se le suma el
vector de entrada B, multiplicado por la fuente. En la ecuacin
inferior est la salida, igualada al vector fila de salida C, el
cual es multiplicado por el vector de estado. Por ltimo, se suma
una constante d (la cual describe la influencia directa de la
fuente sobre la salida), multiplicada por la fuente.
Caractersticas: Cuando se trata de circuitos de orden dos o tres,
resulta conveniente realizar el diagrama de estados, en el cual el
eje X es un estado, el Y otro, y segn sea el caso, Z uno ms.
Resultan curvas que permiten observar el comportamiento del
circuito de manera general, sin preocuparse por la variacin
temporal, de lo cual, por ejemplo, se desprende el concepto de
atractor. En segundo orden, cuando no hay fuentes, (0,0) es un
atractor, debido a que cualquier condicin inicial del estado uno y
dos se dirige a cero siempre, por la disipacin de la energa en las
resistencias. Es posible transformar el modelo en el espacio de
estados a una funcin de transferencia o ecuacin diferencial, aunque
con esto se pierda la visin interna del circuito. Asimismo, de la
funcin de transferencia o ecuacin diferencial se puede pasar al
espacio de estados, pero por lo general resultan estados sin
sentido fsico. Esto implica que el juego de estados no es nico:
existen muchas representaciones en el espacio de estados para un
circuito, algunas de las cuales pueden estar formadas por estados
con sentido matemtico y no fsico.
Espacio de estado
2.1 Introducci n oLa teora cl sica de control, basada
principalemente en la transformada de Laplace, proporciona
herramientas efectivas a para el an lisis, modelado y control de
sistemas din micos, utilizando un enfoque muy sencillo y de f cil
aplicaci n. La transa a a o formada de Laplace permite analizar
sistemas utilizando una serie de reglas algebraicas en lugar de
trabajar con ecuaciones diferenciales. Lo anterior simplica
grandemente el an lisis pero lleva a las siguientes limitantes: a
No proporciona informaci n sobre la estructura fsica del sistema. o
Solo es v lida para sistemas lineales con una entrada y una salida
e invariantes en el tiempo. a No proporciona informaci n de lo que
pasa dentro del sistema. o Se necesita que las condiciones
iniciales del sistema sean nulas. Ning n sistema din mico de inter
s cumple con todos estos requisitos, esto es: Los sistemas din
micos reales presentan no u a e a linealidades, pueden tener m s de
una entrada o m s de una salida, sus par metros cambian en el
tiempo y las condiciones a a a iniciales no siempre tienen un valor
de cero. Afortunadamente, para muchos sistemas es posible
considerar esas limitaciones, trabajar sobre una condici n de inter
s, linealizar y utilizar las ventajas de la teora cl sica de
control. Sin embargo, muchas o e a veces es de inter s conocer de
un sistema algo m s que su relaci n entrada salida. Ya sea por la
complejidad del sistema e a o din mico o por el tipo de an lisis
resulta muchas veces necesario conocer la m xima informaci n
posible del sistema para ser a a a o utilizada en su estudio o
control. En estos casos es muy com n el uso del m todo en espacio
de estado. El m todo en espacio u e e de estado es considerado la
piedra angular de la teora de control moderna. La representaci n es
espacio de estado presenta o las siguientes ventajas: Aplicable a
sistemas lineales y no lineales. Permite analizar sistemas de m s
de una entrada o m s de una salida. a a Pueden ser sistemas
variantes o invariantes en el tiempo. Las condiciones iniciales
pueden ser diferentes de cero. Proporciona informaci n de lo que
pasa dentro del sistema. o Resultados sencillos y elegantes.
Figura 1: Modelado y funci n de transferencia o A continuaci n
se denen algunos conceptos. o Sistema. Es un conjunto de elementos
que act an juntos en un n determinado. Tambi n se entender como una
relaci n u e a o entre entradas y salidas. Sistema determinista. Un
Sistema es determinista, si a cada entrada le corresponde una y
solo una salida. 1
Sistema monovariable. Es aquel que solo tiene una entrada y una
salida. Si el sistema tiene m s de una entrada o m s de una a a
salida se llamar sistema multivariable. a Sistema causal o no
anticipatorio. Es aquel que su salida para cierto tiempo t1 , no
depende de entradas aplicadas despu s e de t1 . Obs rvese que la
denici n implica que un sistema no causal es capaz de predecir
entradas futuras, por lo tanto la e o causalidad es una propiedad
intrnseca de cualquier sistema fsico. Sistema din mico. Es aquel
cuya salida presente depende de entradas pasadas y presentes. Si el
valor de la salida en t1 a depende solamente de la entrada aplicada
en t1 , el sistema se conoce como sistema est tico o sin memoria. a
La salida de un sistema est tico permanece constante si la entrada
no cambia. a En un sistema din mico la salida cambia con el tiempo
aunque no se cambie la entrada, a menos que el sistema ya se a
encuentre en estado estable. Sistema invariante en el tiempo. Es
aquel que tiene par metros jos o estacionarios con respecto al
tiempo, es decir, sus a caractersticas no cambian al pasar el
tiempo o dicho de otra forma, sus propiedades son invariantes con
traslaciones en el tiempo.
2.2 Representaci n por medio del espacio de estado oLa principal
ventaja de la representaci n en espacio de estado es que es posible
el an lisis de cualquier sistema din mico, o a a no importa si es
no lineal, lineal, variante en el tiempo o invariante en el tiempo,
tampoco hay restricciones en el n mero de u variables, tanto
internas, perturbaciones, entradas o salidas. Con la representaci n
en espacio de estado tenemos la capacidad o de conocer y controlar
en cierta medida la din mica interna de un sistema y su respuesta.
Este m todo principia con la a e selecci n de las variables de
estado, las cuales deben de ser capaces en conjunto de determinar
las condiciones de la din mica o a del sistema para todo tiempo.
Pueden existir varias representaciones en variables de estado para
un sistema. En forma general, un sistema visto en espacio de estado
tiene la siguiente forma x = f (x, t) + g (x, t) u (1)
o donde x n ,u m ,x = dx , f y g son generalmente mapeos suaves
de clase C (una excepci n pueden ser los sistemas dt con
discontinuidades). El vector x representa las variables de estado y
el vector u representa el control. A la ecuaci n (1) se le o llama
ecuaci n del espacio de estado. Para realizar la representaci n en
espacio de estado de un sistema din mico, se necesita o o a
manipular las ecuaciones del modelo que lo representa, de tal forma
que se pueda obtener la raz n de cambio respecto al o tiempo de
cada variable de estado seleccionada. A continuaci n se dene la
terminologa b sica empleada en espacio de estado: o a Concepto de
estado. El estado de un sistema al tiempo t0 es la cantidad de
informaci n que junto con una entrada u[t0 , ) o nos permite
determinar el comportamiento del sistema de manera unica para
cualquier t t0 . Estado. El estado de un sistema din mico es el
conjunto m s peque o de variables (denominadas variables de estado)
tales a a n que el conocimiento de esas variables en t = t0 ,
conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t > t0 ,
determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier
tiempo t > t0 . Variables de estado. Son las variables que
constituyen el conjunto m s peque o de variables que determinan el
estado de a n un sistema din mico. Si se requieren al menos n
variables (x1 , x2 , , xn ) para describir completamente el
comportamiento a de un sistema din mico, se dice que el sistema es
de orden n. Nota: A veces por comodidad, suele usarse la palabra
estaa dospara referirse a las variables de estado. Por ejemplo,
-uno de los estados no se puede medir-, en lugar de decir, -una de
las variables de estado no se puede medir.-. Esto a veces es
confuso y no es totalmente correcto. Vector de estado. Las n
variables de estado forman el vector de estado, que generalmente es
un vector columna de dimensi n o [n 1]. Donde n es el n mero de
variables de estado. u Cuando se trata de sistemas lineales
invariantes en el tiempo, la ecuaci n (1), se transforma en: o x(t)
= Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) (2) (3)
donde A,B,C y D representan matrices con elementos constantes.
Las ecuaciones (2) y (3) representan en forma general un sistema
din mico lineal invariante en el tiempo, la ecuaci n (2) representa
la din mica del estado, mientras que la ecuaci n a o a o
2
(3) es la ecuaci n de salida del sistema. Las ecuaciones (2) y
(3) en forma desglosada se ven o x1 (t) a11 a12 . . . a1n x1 (t)
b11 b12 . . . b1m x2 (t) a21 a22 . . . a2n x2 (t) b21 b22 . . . b2m
= . + . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn
(t) y1 (t) y2 (t) . . . yp (t) an1 c11 c21 . . . cp1 an2 c12 c22 .
. . cp2 . . . ann ... ... .. . c1n c2n . . . xn (t) x1 (t) x2 (t) .
. . xn (t) bn1 d11 d21 . . . dp1 bn2 d12 d22 . . . dp2 ... ... ...
.. . ... bnm d1m d2m . . . dpm
u1 (t) u2 (t) . . . um (t) u1 (t) u2 (t) . . . um (t)
=
+
. . . cpn
Las ecuaciones (2) y (3) tienen la ventaja de que es posible
manipularlas utilizando solo las propiedades del algebra lineal.
Una de las caractersticas princiales de la representaci n en
espacio de estado es que no es unica para cada sistema a re o
presentar. Un sistema din mico puede tener varias representaciones
en espacio de estado. En algunas representaciones, las a variables
de inter s pueden estar m s accesibles para medici n y/o control. A
cada representaci n en espacio de estado tame a o o bi n se le
llama realizaci n. La multiplicidad de realizaciones para cualquier
sistema, puede ser ilustrada por el hecho que de e o una realizaci
n en espacio de estado dada es posible obtener otra por medio de un
cambio de variables. Sea el sistema: o x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) =
Cx(t) + Du(t) se aplica el cambio de variables x(t) = T x(t), donde
T es una matriz no singular y x(t) son las variables de estado
nuevas. La nueva realizaci n queda: o x x(t) = T 1 AT x(t) + T 1
Bu(t) = A(t) + B(t) y(t) = CT x(t) = C x(t) Como es posible
encontrar innidad de matrices T que no sean singular, entonces es
claro una multiplicidad de realizaciones para el mismo sistema. Las
matrices relacionadas por: A = T 1 AT se dice que son similares.
Por este motivo a la transformaci n hecha anteriormente se le llama
transformaci n de similaridad. o o Con lo visto hasta ahora podemos
deducir lo siguiente: El concepto de estado se aplica a cualquier
tipo de sistema. La elecci n de las variables de estado no es
unica. o El estado de un sistema es una cantidad que puede o no
tener un signicado fsico. El estado de un sistema puede consistir
de un conjunto nito o innito de n meros. u
2.3 Obtenci n de las ecuaciones de estado o2.3.1 Modelado en
espacio de estadoLa representaci n en espacio de estado puede ser
derivada desde las ecuaciones diferenciales que representan a un
sisteo ma, o desde cualquier arreglo de ecuaciones diferenciales
aunque estas no representen ning n sistema. Por otra parte, si se u
desconoce o no se tiene el modelo matem tico (ecuaciones
diferenciales) de un sistema, ser necesario obtenerlo por medio a a
de las leyes o teoras (fsicas, qumicas, monetarias, etc.) que
gobiernan su comportamiento. Una procedimiento muy com n para
obtener el espacio de estado es el siguiente: u 1. Identicar
completamente el sistema. Conocer el sistema, que es lo que hace,
cuales son sus variables, su comportamiento, su interrelaci n al
exterior, etc. o 3
2. Identicar las leyes o teoras que gobiernan el comportamiento
del sistema. Leyes de termodin mica, Leyes din micas, a a segunda
ley de Newton, Ley de voltajes y corrientes de Kirchoff, Ley de
Ampere, Ley de Ohm, Ley de Boyle, etc. 3. Denir las ecuaciones
diferenciales que representen el comportamiento del sistema. Aqu se
empieza a formular el modelo matem tico. El grado de complejidad
depender de que tan elmente se espera que el modelo matem tico a a
a represente el comportamiento del sistema y de las necesidades de
simulaci n, medici n o control. Los pasos 1,2,3 son o o b sicos de
cualquier modelado. a 4. Seleccionar las variables de estado. Son
las variables mnimas que determinan el comportamiento din mico del
siste a ma. Si se escogen menos de las necesarias, el espacio de
estado no representa todo el comportamiento del sistema, si se
denen m s, la representaci n en espacio de estado es redundante. a
o 5. Encontrar la din mica de cada estado. Es decir, encontrar la
raz n de cambio respecto al tiempo de cada variable de a o estado
(su derivada). 6. Desplegar el arreglo de las din micas del estado
como en la ecuaci n (1) o como el arreglo de las ecuaciones (2)-(3)
a o si las ecuaciones son lineales o linealizadas. Ejemplo 2.1.
Represente por medio de espacio de estado el sistema mec nico
esquematizado en la gura 2. Donde u(t) es a la fuerza aplicada, b
es el coeciente de fricci n viscosa, k es la constante del resorte.
La fuerza del resorte se considera o proporcional a la posici n
y(t) y la fuerza del amortiguador es proporcional a la velocidad
y(t). o
Figura 2: Sistema mec nico (masa, resorte, amortiguador). a
soluci n. Utilizando la segunda ley de newton, se obtiene la ecuaci
n de sumatoria de fuerzas: o o ma = f uerzas
masa acelaracin = f uerza aplicada f uerza resorte f uerza
amortiguador o m(t) = u(t) by(t) ky(t) y Se desea conocer la posici
n y la velocidad de la masa para todo tiempo. Por esa raz n, esas
variables se denen como las o o variables de estado. x1 (t) = y(t),
x2 (t) = y(t) La representaci n ser entonces de segundo orden (n =
2). Si solo interesara conocer la posici n, tambi n se escogeran
dos o a o e variables de estado, ya que la misma ecuaci n
diferencial nos indica una doble derivada. Si solo se escogiera la
posici n como o o variable de estado, no se representara totalmente
el comportamiento del sistema. El siguiente paso es determinar las
din micas del estado. Para la variable de estado x1 (t) , su
derivada es la variable de a estado x2 (t) x1 (t) = x2 (t) Mientras
que la derivada del estado x2 (t) se obtiene de la ecuaci n de
sumatorias de fuerzas: o m(t) = u(t) by(t) ky(t) y mx2 (t) = u(t)
bx2 (t) kx1 (t) x2 (t) = b 1 k x1 (t) x2 (t) + u(t) m m m
4
Finalmente se agrupan las dos ecuaciones de estado: x1 (t) = x2
(t) k x2 (t) = m x1 (t) como la representaci n es lineal, se puede
indicar en matrices o x1 (t) x2 (t) = 0 k m 1 b m x1 (t) x2 (t) +
01 m b m x2 (t)
+
1 m u(t)
u(t)
Ejemplo 2.2 Represente por medio de espacio de estado, el
circuito RL de la gura 3(a).
Figura 3: Circuitos RL y RC de los ejemplos 2.2 y 2.3 Soluci n.
Utilizando la ley de voltajes de Kirchoff, se tiene o V1 (t) =
i(t)R + L di(t) dt
Se propone solo una variable de estado, ya que la ecuaci n
diferencial que lo representa es de primer orden ( solo existe un o
elemento din mico en el circuito). Se dene a la corriente i(t) como
la variable de estado, por tener de manera explcita su a derivada.
Entonces se tiene: di(t) R 1 = i(t) + V1 (t) dt L L y si se dene
x(t) = i(t), u(t) = V1 (t) R 1 x(t) = x(t) + u(t) L L Ejemplo 2.3
Represente por medio de espacio de estado, el circuito RC de la
gura 3(b). Soluci n. Utilizando la ley de voltajes de Kirchoff, se
tiene o V1 (t) = i(t)R + Vc (t) la ecuaci n anterior muestra una
variable de entrada (V1 (t)) y dos variables internas del circuito
(i(t) y Vc (t)). No est presente o a de manera explcita ninguna de
las derivadas con respecto al tiempo de estas variables. Se
reformula (conociendo que el capacitor es el elemento din mico) la
ecuaci n como: a o V1 (t) = i(t)R + 1 C i(t)dt
Se dene x(t) = i(t)dt como la unica variable de estado, u(t) =
V1 (t), y la salida (y(t)) como el voltaje en el capacitor. La
representaci n queda: o 1 1 x(t) = CR x(t) + R u(t) y(t) =1 C
x(t)
2.3.2 De la funci n de transferencia a espacio de estado oUn m
todo muy com n es el m todo de salida de integradores. Se obtendr n
las variables de estado integrando sucesivae u e a mente la funci n
de transferencia. o Suponga la siguiente funci n de transferencia o
Y (s) b1 s2 + b2 s + b3 = 3 U (s) s + a1 s2 + a2 s + a3 5
Como primer paso, se cruzan los denominadores y numeradores
entre ambas partes de la ecuaci n. Las variables en Laplace o (Y
(s),U (s)) se cambian directamente a variables en el tiempo (y, u)
s3 y + a1 s2 y + a2 sy + a3 y = b1 s2 u + b2 su + b3 u s3 y + a1 s2
y b1 s2 u + a2 sy b2 su + a3 y b3 u = 0 Se realiza la primera
integraci n, se toma una s como factor com n en la parte izquierda
de la ecuaci n o u o s s2 y + a1 sy b1 su + a2 y b2 u + a3 y b3 u =
0 se dene lo que queda dentro del par ntesis en (4) como la primera
variable de estado (x1 ) e x1 = s2 y + a1 sy b1 su + a2 y b2 u
ahora la ecuaci n (4) queda: o sx1 + a3 y b3 u = 0 x1 = a3 y + b3 u
(6) La ecuaci n (6) es la primera ecuaci n de estado. El
procedimiento se repite, ahora se realiza la segunda integraci n,
de la o o o ecuaci n (5) se toma s como factor com n o u x1 = s(sy
+ a1 y b1 u) + a2 y b2 u se dene lo que queda dentro del par ntesis
en (7) como la segunda variable de estado (x2 ) e x2 = sy + a1 y b1
u ahora la ecuaci n (7) queda: o x1 = sx2 + a2 y b2 u x2 = x1 a2 y
+ b2 u (9) La ecuaci n (9) es la segunda ecuaci n de estado. El
procedimiento se repite, ahora se realiza la tercera y ultima
integraci n o o o (por ser una funci n de transferencia de tercer
orden). De la ecuaci n (8) se toma s como factor com n o o u x2 =
s(y) + a1 y b1 u se dene lo que queda dentro del par ntesis en (10)
como la tercera variable de estado (x3 ) e x3 = y y la ecuaci n
(10) queda: o x2 = sx3 + a1 y b1 u x3 = x2 a1 x3 + b1 u Con las
ecuaciones (6),(9),(12) y (11), se obtiene la representaci n en
espacio de estado o x1 = a3 x3 + b3 u x2 = x1 a2 x3 + b2 u x3 = x2
a1 x3 + b1 u y = x3 El resultado puede expresarse en forma
matricial x1 0 x2 = 1 x3 0 (12) (11) (10) (8) (7) (5) (4)
0 a3 x1 b3 0 a2 x2 + b2 u 1 a1 x3 b1 x1 y = 0 0 1 x2 x3 6
2.3.3 Transformada de Laplace de representaciones en espacio de
estadoEs posible obtener la transformada de Laplace a partir de una
representaci n en espacio de estado. Este procedimiento o est
limitado a sistemas lineales invariantes en el tiempo, una entrada,
una salida, con condiciones iniciales iguales a cero. a Suponga una
representaci n lineal en espacio de estado de la forma (2)-(3) o
x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Aplicando la transformada
de Laplace a las ecuaciones (13)-(14) se obtiene: sX(s) x0 = AX(s)
+ BU (s) Y (s) = CX(s) + DU (s) realizando algunas modicaciones en
(15)-(16) (sI A) X(s) = x0 + BU (s) X(s) = (sI A) Y (s) = C (sI A)1
1
(13) (14)
(15) (16)
x0 + (sI A)1
1
BU (s)
x0 + C (sI A)
BU (s) + DU (s)
Si las condiciones iniciales son iguales a cero, x0 = 0,
entonces Y (s) = C (sI A) o como normalmente se escribe: G(s)
=1
B + D U (s)
Y (s) 1 = C (sI A) B + D U (s)
(17)
G(s) en (17) es la funci n de transferencia del sistema, es una
matriz cuyos elementos son funciones racionales. Tiene tantas o las
como salida tiene el sistema y tantas columnas como entradas. Se
vuelve a comentar que para tener signicado con la transformada de
Laplace de un sistema, se reduce a una entrada y una salida. Si
este es el caso, G(s) es una matriz de 1 1 (escalar). Otro m todo
usado para obtener la funci n de transferencia a partir de un
modelo en espacio de estados lineal (una entrada-una e o salida) es
por medio de su representaci n gr ca utilizando bloques
integradores, bloques sumadores y bloques multiplicao a dores.
Ejemplo 2.4. Obtenga la funci n de transferencia del siguiente
modelo en espacio de estado, a)utilizando la f rmula (17)y b) o o
por medio de su representaci n gr ca. o a x1 = x2 x2 = 5x1 7x2 + 2u
y = x1 Soluci n. a) o Y (s) 1 = C (sI A) B + D U (s) A= (sI A)1
0 1 5 7
,
B=1
0 2 = 1 0
,
C= s 1 5 s+7 s+7 5
1
01
, =
D=0 1 s2 + 7s + 5 0 2 s+7 5 1 s
=
s 0 0 s
0 1 5 7
Y (s) 1 = 2 U (s) s + 7s + 5
1 s
Y (s) 2 = 2 U (s) s + 7s + 5 b) Resolver utilizando su
representaci n gr ca. Se usa un bloque integrador por cada ecuaci n
diferencial, se coloca primero o a o el bloque integrador de la
variable x2 por estar m s directa a la entrada o control a 7
Figura 4: Bloques integradores Del sistema se observa que la
derivada de x1 es x2 , por lo que se unen el nal del bloque a la
izquierda con el principio del bloque a la derecha (ver gura 4).
Mientras que la derivada de x2 es igual a sumatoria de tres
elementos. Utilizando dos puntos de suma y tres bloques
multiplicadores, se tiene
Figura 5: Diagrama a bloques, ejemplo 2.4 Ahora, utilizando las
reglas de reducci n de bloques se obtiene la respuesta esperada o Y
(s) 2 = 2 U (s) s + 7s + 5
2.4 Soluci n de la ecuaci n de estado de un sistema lineal o
oUna vez que se dene o dise a una representaci n en espacio de
estado, se dispone de dos formas de an lisis, el Cualitativo n o a
y el Cuantitativo, el primero se reere a las caractersticas y
cualidades que tiene el sistema, mientras que el segundo se reere
al valor num rico que poseen las variables de estado. En esta secci
n trabajaremos sobre el an lisis cuantitativo. Nos e o a
enfocaremos a la soluci n en el tiempo de las variables de estado
de sistemas lineales, primero sistemas homog neos escalares o e y
vectoriales, despu s con excitaci n externa. e o
Figura 6: Soluci n del estado. o Soluci n para una representaci
n escalar o o Sea el sistema Homog neo escalar e x(t) = ax(t)
suponga que la soluci n de (18) es de la forma o x(t) = b0 + b1 t +
b2 t2 + b3 t3 + la derivada con respecto al tiempo de (19) es de la
forma x(t) = b1 + 2b2 t + 3b3 t2 + sustituyendo (19) y (20) en (18)
se tiene b1 + 2b2 t + 3b3 t2 + = a b0 + b1 t + b2 t2 + b3 t3 + (20)
(19) (18)
8
igualando los coecientes con las mismas potencias de t b1 b2 b3
bk sustituyendo estas igualdades en (19) se tiene 1 1 3 3 x(t) = b0
+ ab0 t + a2 b0 t2 + a b0 t + 2 23 x(t) = ahora, utilizando la
igualdad
= ab0 = 1 ab1 = 1 a (ab0 ) = 1 a2 b0 2 2 2 1 = 1 ab2 = 1 a 1 ab1
= 1 2 a3 b0 3 3 2 3 1 1 k = k abk1 = k! a b0
1 3 3 1 1 a t + + ak tk b0 1 + at + a2 t2 + 2 23 k!
eat =k=0
1 k k a t k!
y considerando que
b0 = x(0) en t = 0
la soluci n para el sistema (18) es o x(t) = eat x(0) Soluci n
para una representaci n vectorial o o Sea el sistema homog neo
vectorial e x(t) = Ax(t) donde x(t)T = [x1 , x2 , , xn ] y A es una
matriz de dimensi n n n. Suponga que la soluci n para (21) es o o
x(t) = b0 + b1 t + b2 t2 + b3 t3 + , donde b = vectores columna
derivando (22) y sustituyendo en (21) b1 + 2b2 t + 3b3 t2 + = A b0
+ b1 t + b2 t2 + b3 t3 + Se igualan coecientes con las mismas
potencias de t b1 b2 b3 bk sustituyendo estos coecientes en (22) 1
x(t) = b0 + Ab0 t + A2 b0 t2 + 2 1 1 x(t) = I + At + A2 t + + Ak tk
+ 2 k! utilizando la igualdad eAt = 1 k k k=0 k! A t ,
(21)
(22)
= Ab0 1 1 = 2 Ab1 = 2 A2 b0 1 1 = 3 Ab2 = 23 A3 b0 1 1 = k Abk1
= k! Ak b0
b0
y b0 = x(0), en t = 0, se tiene x(t) = eAt x(0) (23)
donde x(0)T = [x1 (0), x2 (0), , xn (0)], eAt se le llama la
matriz exponencial. Se puede obtener la matriz exponencial
aplicando la transformada de Laplace a (21) L {x(t) = Ax(t)} sX(s)
x(0) = AX(s) (sI A) X(s) = x(0) X(s) = (sI A)1
x(0)
9
y aplicando transformada inversa de Laplace se obtiene x(t) = L1
(sI A)1
x(0)
(24)
Igualando (23) y (24) se tiene que la matriz exponencial se
puede obtener por eAt = L1 (sI A) Ejemplo 2.6. Encontrar la matriz
exponencial para el siguiente sistema x1 x2 Soluci n o1 1
(25)
=
0 1 3 4
x1 x21 1
eAt = L1 (sI A) (sI A)1
=
s 0 0 s
0 1 3 41
= = L1
s 1 3 s+4s+4 (s+1)(s+3) 3 (s+1)(s+3)
=
s2
1 + 4s + 3
s+4 3
1 s
eAt = L1 (sI A) eAt =
1 (s+1)(s+3) s (s+1)(s+3)
3 t 1 e3t 2e 2 3 t 2 e + 3 e3t 2
1 t 1 e3t 2e 2 1 t 2 e + 3 e3t 2
x(t) = eAt x(0)
2.5 Valores propios y vectores propios2.5.1 Introducci n oLos
conceptos de valores propios y vectores propios son de gran
utilidad en el an lisis en espacio de estado de sistemas a
lineales. Parten de la idea de encontrar escalares que representen
los efectos de una transformaci n lineal del tipo o Y = AX es
decir, encontrar escalares de proporcionalidad,tal que AX = X
(26)
donde X, Y n son vectores de la misma dimensi n, A es una matriz
que mapea el vector X en Y , y son escalares. o Todo vector X que
satisfaga la ecuaci n (26) se llama un vector propio de A que
pertenece al valor propio . El conjunto de o todos los vectores que
satisfagan (26) se le llama espacio propio del valor propio . La
ecuaci n (26) tiene soluci n no trivial o o (X = 0) si |I A| = 0
(27) el polinomio igualado a cero que se obtiene de la ecuaci n
(27) se llama ecuaci n caracterstica de la matriz A, es de la
forma: o o n + a1 n1 + a2 n2 + + an1 + an = 0 y las races de la
ecuaci n caracterstica son los valores propios correspondientes a
A. Los t rminos eigenvalor y eigenvector o e o valor caracterstico
y vector caracterstico o autovalor y autovector, es com n
utilizarlos en lugar de valores propios y vec u tores propios.
Cualquier matriz cuadrada tiene al menos un valor propio. Todo
valor propio de una matriz, tiene las siguientes dos propiedades:
Multiplicidad algebraica. Es el orden de como raz de la ecuaci n
caracterstica, por ejemplo en el polinomio caracterstico o 3 + 72 +
15 + 9 = ( + 3)2 ( + 1) = 0 el valor propio = 3 tiene multiplicidad
algebraica 2, mientras que el valor propio = 1 tiene multiplicidad
algebraica 1. Multiplicidad geom trica.La multiplicidad geom trica
de un valor propio es la dimensi n del espacio propio generado. e e
o 10
2.5.2 Teorema de Cayley-HamiltonToda matriz es un cero de su
ecuaci n caracterstica. o 1 2 Ejemplo 2.7 Sea la matriz A = , su
polinomio caracterstico es 4 3 P () = |I A| = Entonces P (A) = 1 2
4 32
1 2 4 3 1 4 2 3 1 0
= 2 4 5
4
5
0 1
=
0 0
0 0
2.5.3 Matrices DiagonalizablesMatrices diagonales. Una matriz
cuadrada es diagonal si todos sus elementos no diagonales son nulos
y algunos o todos sus elementos diagonales pueden ser nulos. Por
ejemplo 9 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 4 0 0 3 0 0 0 9 0 0 7 0 0 9 0 0 0 9
Matrices diagonalizables. Una matriz cuadrada A es diagonalizable
si existe una matriz no singular M tal que D = M 1 AM sea una
matriz diagonal. En este caso se dice que A es similar
(transformada bajo similitud) a una matriz diagonal D. De hecho,
una matriz cuadrada de n n es diagonalizables si tiene n vectores
propios linealmente independientes (La obtenci n de vectores
propios se ver en el pr ximo tema). Al diagonalizar una matriz se
simplican muchos de sus o a o c lculos y operaciones, sin embargo
no todas las matrices son diagonalizables, afortunadamente existe
otra transformaci n a o bajo similitud llamada forma de Jordan que
puede ayudar a simplicar operaciones (ver 2.5.5).
2.5.4 C lculo de valores propios y vectores propios aAlgoritmo
de diagonalizaci n o
Paso 1.Hallar el polinomio caracterstico P () de A Paso 2.
Hallar las races de P () (los valores propios de A) Paso 3. Para
cada valor propio de A, construir P = A I o P = I A y encontrar una
base para el espacio de soluci n P X = 0. Los vectores vi de la
base son los vectores propios linealmente independiente de o A
pertenecientes a i . Paso 4. Construir la matriz M = [v1 |v2 | |vn
] con todos los vectores propios obtenido en el paso 3. Si el rango
de M es pleno, entonces la matriz A es diagonalizable, es decir 1 2
= M 1 AM = .. . n donde es la matriz diagonal de valores propios de
A, y M se le llama la matriz modal. Ejemplo 2.8 Encuentre los
valores propios y vectores propios de A = Paso 1. El polinomio
caracterstico es |I A| = 1 2 4 3 = 2 4 5 = ( 5)( + 1) 1 4 2 3
11
Paso 2. ( 5)( + 1) = 0, las races 1 = 5 y 2 = 1, son los valores
propios de A Paso 3. El vector propio v1 correspondiente a 1 se
obtiene restando este valor propio a los elementos diagonales de A
P = A I = y resolviendo el sistema homogeneo PX = 0 4 2 4 2 x y = 0
0 o 4x + 2y = 0 o 2x y = 0 se elige x = 1 entonces y = 2 asi v1 =
4x 2y = 0 1 2 1 4 2 3 5 0 0 5 = 4 2 4 2
donde la elecci n de x = 1 es arbitraria. o De la misma forma se
obtiene el vector propio v2 correspondiente a 2 P = A I =
resolviendo el sistema homogeneo PX = 0 2 4 2 4 x y = 0 0 o 2x + 2y
= 0 o x + y = 0 se elige x = 1 entonces y = 1 asi v2 = 4x + 4y = 0
M= v1 v2 = 1 1 2 1 1 1 1 4 2 3 1 0 0 1 = 2 4 2 4
Paso 4. La matriz modal es
a manera de comprobaci n, se obtiene la matriz diagonal de
valores propios: o 1 1 3 3 1 1 1 2 = M 1 AM = 4 3 2 1 1 2 3 3 lo
cual concuerda con el resultado en el paso 2. Ejemplo 2.9 Encuentre
los valores propios y vectores propios de A = Paso 1. El polinomio
caracterstico es |I A| = +2 6 5 +3 2 6 5 3
=
5 0 0 1
= 2 + 5 + 36
Paso 2. ( + 2.5 + 5.454356i)( + 2.5 5.454356i) = 0, las races 1
= 2.5 + 5.454356i y 2 = 2.5 5.454356i, son los valores propios de A
Paso 3. El vector propio v1 correspondiente a 1 se obtiene restando
este valor propio a los elementos diagonales de A P = A I = 2 6 5 3
2.5 + 5.454356i 0 0 2.5 + 5.454356i PX = 0 0.5 5.454356i 6 5 0.5
5.454356i x y = 0 0 o [0.5 5.454356i] x 6y = 0 5x + [0.5 5.454356i]
y = 0 = 0.5 5.454356i 6 5 0.5 5.454356i
y resolviendo el sistema homogeneo
Nota: Las ecuaciones del sistema homog neo anterior son
equivalentes, de hecho, para que un sistema de ecuaciones hoe mog
neo tenga soluci n no nula se deben de tener m s inc gnitas que
ecuaciones. Se toma la primer ecuaci n y se resuelve: e o a o o
[0.5 5.454356i] x 6y = 0 se elige x = 1 entonces y = 0.08333
0.909059i asi v1 = 12 1 0.08333 0.909059i
donde la elecci n de x = 1 es arbitraria. o De la misma forma se
obtiene el vector propio v2 correspondiente a 2 P = A I = 2 6 5 3
2.5 5.454356i 0 0 2.5 5.454356i PX = 0 x = y = 0.5 + 5.454356i 6 5
0.5 + 5.454356i
y resolviendo el sistema homogeneo 0.5 + 5.454356i 6 5 0.5 +
5.454356i Se toma la primer ecuaci n y se resuelve: o [0.5 +
5.454356i] x 6y = 0 Paso 4. La matriz modal es M= v1 v2 = 1 1
0.08333 0.909059i 0.08333 + 0.909059i se elige x = 1 entonces y =
0.08333 + 0.909059i asi v2 = 1 0.08333 + 0.909059i 0 0 o [0.5 +
5.454356i] x 6y = 0 5x + [0.5 + 5.454356i] y = 0
a manera de comprobaci n, se obtiene la matriz diagonal de
valores propios: o = M 1 AM = 0.5 0.04583492i 0 + 0.550019104i 0.5
+ 0.04583492i 0 0.550019104i = 2 6 5 3 1 1 0.08333 0.909059i
0.08333 + 0.909059i
2.5 + 5.454356i 0 0 2.5 5.454356i
lo cual concuerda con el resultado en el paso 2.
2.5.5 Forma de Jordan Como se coment al nal de la secci n 2.5.3,
la diagonalizaci n de matrices es una herramienta muy util en
algebra lineal o o o aunque no siempre es posible. Sin embargo, es
posible transformar por similitud cualquier matriz cuadrada a una
forma casi diagonal llamada forma de Jordan. En general, una matriz
en forma de Jordan se representa como: J1 0 0 . . 0 ... ... . J(A)
= . .. .. . . . 0 . 0 0 Jn donde cada elemento Ji es un bloque de
Jordan de la forma 1 0 0 1 . .. . . . Ji = . . . 0 0
0 0 .. . . ..
..
. 0
0 0 . . . . . . 1
los elementos de la diagonal del bloque de Jordan son los
valores propios de la matriz A tomando en cuenta la multiplicidad
algebraica de cada valor propio. Justo arriba de la diagonal los
elementos tienen valor 1 y 0 en los dem s elementos. a Ejemplo
2.10. Encontrar la matriz de Jordan asociada a la matriz 2 2 1 0 A
= 0 1 1 2 2 13
Soluci n La matriz A tiene el polinomio caracterstico o ( + 1)2
( + 3) = 0 La multiplicidad algebraica de 1 = 1 es 2 y de 2 = 3 es
1. A n no se conoce la multiplicidad geom trica de 1 , puede u e
ser uno o dos (La multiplicidad geom trica siempre es menor o igual
a la multiplicidad algebraica). La matriz de Jordan puede e ser
alguna de estas dos: 1 1 0 1 0 0 0 0 a) 0 1 b) 0 1 0 0 3 0 0 3 Es
la primera (a) si la multiplicidad geom trica del valor propio 1 es
uno (Solo se forma un bloque de Jordan de dimensi n e o 2 2). Es la
segunda opci n (b) si la multiplicidad geom trica del valor propio
1 es dos. En este caso el valor propio 1 o e tiene dos bloques de
Jordan de dimensi n 1 1. o Para conocer la multiplicidad geom
trica, es necesario obtener el(los) vectores propios asociados a 1
. Utilizando la sece ci n 2.5.4 se realizan los siguientes pasos. o
1 2 1 0 0 A 1 I = 0 1 2 1 (A 1 I) v1 = 0 x 1 1 2 1 0 0 0 y = 0 v1 =
0 z 1 1 2 1 El espacio propio es de dimensi n uno, por lo tanto la
matriz de Jordan es: o 1 1 0 0 J = 0 1 0 0 3 Denir la matriz en
forma can nica de Jordan es solo la primera parte de la soluci n.
Lo siguiente es encontrar una matriz T o o que transforme por
similutud a la matriz A a una forma can nica de Jordan. A partir de
la forma de Jordan J ya obtenida y o de los vectores base est ndard
del cuerpo complejo C a 0 0 1 e3 = 0 e2 = 1 , e1 = 0 , 1 0 0 se
multiplica por separado J con cada uno de los vectores base st
ndard a 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 = 0 0 0 = 0 ; 0 1 0 1
= 1 ; 0 1 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 1 3 y se obtiene Je1 = 1 e1 Je2
= 1 e2 + e1 Je3 = 2 e3 nota : 1 = 1; 2 = 3 Utilizando la estructura
obtenida, se dene Av1 = 1 v1 (A 1 I) v1 = 0 Av2 = 1 v2 + v1 (A 1 I)
v2 = v1 Av3 = 2 v3 (A 2 I) v3 = 0
donde v1 y v3 son vectores propios de la matriz A y v2 es un
vector propio generalizado asociado a 1 . Ya se cuenta con v1 (al
inicio del problema), se obtiene ahora v2 (A 1 I) v2 = v1 1 2 1 x 1
0 0 0 y = 0 1 2 1 z 1 14
una posible solici n para v2 es o 1 v2 = 0.5 1 Para v3 se
procede igual que para v1 (A 2 I) v3 = 0 1 2 1 x 0 0 2 0 y = 0 1 2
1 z 0 una posible solici n para v3 es o 1 v3 = 0 1 Entonces, con
los vectores v1 ,v2 y v3 la matriz de transformaci n T queda o 1 1
1 T = 0 0.5 0 1 1 1 Vericando J = T 1 AT 0.5 2 0.5 2 2 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0.5 0 = 0 1 0 J = 0 2 0.5 0 0.5 1 2 2 1 1 1 0 0 3
2.5.6 Criterios para determinar estabilidad por medio de los
valores propiosLa estabilidad de un sistema lineal representado en
espacio de estados, puede ser determinada por las races de la
ecuaci n o caracterstica de su matriz de realimentaci n (matriz A).
o Ejemplo 2.9 Determine si es estable el sistema representado por
x1 = x2 x2 = 20x1 5x2 + u Soluci n. La matriz de realimentaci n (A)
es o o A= la ecuaci n caracterstica se obtiene de: o |I A| = 2 + 5
+ 20 = 0 las races de la ecuaci n caracterstica (los valores
propios) son o 1 = 2.5 + j3.7081 y 2 = 2.5 j3.7081 ambos valores
propios tienen parte real negativa, por lo tanto el sistema es
estable. 0 1 20 5
15