LOGRO DE APRENDIZAJEManeja el sustento terico prctico de los
componentes temticos del rea curriculares de su especialidad
acadmicaCAPACIDADES DE LA DIMENSION PEDAGOGICA4.1. Imprime un
manejo educativo cientfico al proceso enseanza y aprendizaje.4.2.
Maneja contenidos de las disciplinas relacionadas con su
especialidad.SESIONES DE APRENDIZAJE: SESIN 01 Lgica
proposicionalSESIN 02 Sistemas numricos.EJES TRANSVERSALES
COMPRENSION LECTORA EDUCACIN INCLUSIVA E INTERCULTURALIDAD EDUCACIN
INC INCL LUSIVA. USIVA. F FOR ORM MACI ACI N N T TICA ICA Y Y M MO
ORA RAL L. .3LGICA PROPOSICIONALla Lgica me salva del
aburrimientoCONTENIDOS APRENDIZAJES ESPERADOS
INDICADORESCuantificadoresexistencialy universalTablas de verdad de
proposiciones compuestas Relacinentrelalgicay los conjuntosLos
argumentos y su estructura Analizalastablasdeverdadde proposiciones
compuestas. Determina la relacin entre la lgica y los conjuntos
Define argumentos y su estructura Aplicalaspropiedadesdelalgica
proposicional en situaciones diversas, propuestos en el material
impreso. Infiereaplicacionesdelaequivalenciae implicacinlgicaenel
tratamientodelos contenidosmatemticospropuestosenun listado de
problemas.7 1( p q ) ( p q )p q) ( pq) pppppI. I. S SI IT TU UA AC
CI I N N P PR RO OB BL LE EM M T TI IC CA AResuelva cada uno de los
siguientes tems:1.Dados los siguientes enunciados:a)La tierra es
plana. b) 17 + 38 = 21.3.LGICA DE
PROPOSICIONESLalgicadeproposicioneseslapartems elemental de la
lgica moderna o matemticaoformal. Estudialas relaciones
existentesentreproposicionesconsideradas
comountodo,sinpenetrarensuestructura interna.c) x >y 9
.d)AlianzaLimaes campenenlapresente temporada de ftbol
profesional.e)Hola como estas?f) Lava la ropa por favor.Cules son
proposiciones? Por qu?2.Determine si las expresiones:a)La
proposicin es una oracin aseverativadelaquetienesentidodecir que es
verdadera o falsa.Ejemplos:a)La ciudad de Trujillo es la capital
del departamentodeLaLibertad.(Esuna proposicin
verdadera)b)Eltomoesunamolcula.(Esunab)(q )proposicin Falsa)c) q (
pson tautologas, contradicciones o contingencia:II. II. D DE ES SA
AR RR ROLL OLLO O DE DE C CO ONT NTE ENIDO NIDO T TE E RICO RICO
LGICA1.DEFINICINLa lgica es la disciplina que trata de
mtodosderazonamiento.Enunnivel elemental,lalgicaproporcionareglasy
tcnicas paradeterminar siesonovlido un
argumentodado.Elrazonamientolgicose emplea en matemtica para
demostrar teoremas; en ciencias de la computacin
paraverificarsisononocorrectoslos programas; en lasciencias fsicay
naturales, parasacarconclusionesdeexperimentos;y en las ciencias
sociales y en la vida cotidiana,pararesolverunamultitudde
problemas.2.LENGUAJEEl lenguaje, en sentido estricto,es un sistema
convencional designos,esdecir,unconjunto desonidos y grafas
consentido, sujeto auna determinada articulacininterna.Sirvepara
afirmaronegar(oracionesaseverativas o declarativas); expresar
deseos (oraciones desiderativas);formularpreguntas(oraciones
interrogativas); expresar sorpresa o admiracin (oraciones
exclamativas o admirativas) eindicarexhortacin,mandatoo
prohibicin(oracionesexhortativas o imperativas).c)2esunnmero primo.
(Esunaproposicinverdadera)d)Todas lasavesvuelan.(Esunaproposicin
falsa)Expresiones lingsticas que no son proposicionesLas oraciones
interrogativas,las exhortativasoimperativas,lasdesiderativas y
lasexclamativasoadmirativasnoson proposiciones porque ninguna de
ellas afirmaoniegaalgoy,porlotanto,noson verdaderas ni falsas.
Asimismo,las oracionesdubitativas,ascomolosjuicios
devalornoobstanteafirmaralgosu verdad o falsedad no puede ser
establecida.Ejemplos:a)Elcuadrilteroesunpolgonodecuatro lados.
(Esproposicin verdadera)b)Qu eslalgica? (No es proposicin porque
esunaoracin interrogativa)c)Debemoshonraranuestroshroes. (No
esproposicinporqueesunaoracin imperativao
exhortativa)d)PorJpiter!Casimesacolalotera!(No esprop
osicinporqueesunaoracinexclamativaoadmirativa)e)
Quizlluevamaana.(Noesproposicin porque es una oracin
dubitativa)f)Valentn es bueno.(No es proposicin porque constituye
un juicio de valor).En conclusin:Toda proposicines una oracin
aseverativa, pero no toda oracin aseverativa es una
proposicin.5EjemplosSon pseudoproposiciones :a)El tringulo es
inteligente.b)Alejandro es un nmero racional.Son funciones
proposicionales:c)3x + 7 = 16.d)x es la capital del Per.L a s
descripciones i n definidas No son proposiciones.e)El principal
sospechoso de los atentados
del11desetiembrede2001enlosEstadosUnidos.f)
ElactualPresidentedelaRepblicadelPer.En
conclusindentrodeUunsubconjuntode elementos que hacen verdadera a
la proposicin p (abril, junio, setiembreynoviembre) y un
subconjunto de elementosquehacenfalsaalaproposicin p (enero,
febrero, marzo,mayo,julio,agosto, octubre y
diciembre).Encasodequesetrate dedosproposiciones abiertas py q cada
una de ellas definir dentro delreferencialunsubconjuntodeelementos
que la verifica, definindose as cuatro regiones.UA
BIIIProposicinesunaoracinoenunciado declarativo carente
deambigedad, quees verdadera ofalsa, pero nunca lasdos
cosasDonde:IIIsimultneamente.Laveracidadofalsedaddeunenunciado
sellamasuvalordeverdad.Los trminos verdaderoofalsoseconsiderancomo
atributos de una proposicin, excluyndose deellostodainterpretacin
filosfica.4.LAS PROPOSICIONES Y LOS CONJUNTOSDado unconjunto
referencial cualquiera U,una proposicinabiertapdefinirunsubconjunto
(eventualmente vaco) de elementos que hacen a la proposicin
verdaderayotrosubconjunto(complemento delanterior) de elementos que
hacen ala proposicin falsa. Es decir, podemos diferenciar los
elementos de Uendosconjuntosdisjuntos,uno formado por loselementos
queverificanapyotroporlos que no la verifican.Elementos que
noUverifican a pElementos que verifican a pPor ejemplo, siU tiene
por elementos los
mesesdelaoypeslaproposicinabiertaelmesxtiene30das,podemos
distinguirI. Elementos que verifican tanto a p como a q.
II.Elementos que verifican solo p.III. Elementos que verifican solo
q.IV.Elementosqueno verificannipni q.Las regiones I y II renen a
todos los elementos que verifican py las regiones Iy III a todos
los que verifican q.Nota:Enadelanteusaremoslanotacinp,q,r,... etc.
para referirnos indistintamente a
proposicionesabiertasocerradas,quedando claro su significado en el
contexto.5.CLASES DE PROPOSICIONESLas proposiciones pueden
separarse en simples (o atmicas) y compuestas (o
moleculares).A.Lasproposicionesatmicas(simpleso elementales)
carecen de conjunciones gramaticales
tpicasoconectivas(y,o,si...entonces, si y slo si) o del adverbio de
negacin no.Ejemplos:1.San Marcos es la universidad ms antigua de
Amrica.2.Llueve.3.7 es un nmero primo.Las proposiciones atmicas
pueden clasificarse en predicativas y relacionales.p q p q1 11 00
00 01000a)Las proposiciones predicativas constan de sujeto y
predicado. Ejemplos:1.El nmero 2 esprimo.2.Carlos Marx f ue
elcreador delMaterialismo
Dialctico.3.GregorioMendeleselpadredelaGentica.b)Las
proposicionesrelacionales constan de dos o ms sujetos vinculados
entre s.Ejemplos:1.MargaritaeshermanadeLuzElena. (relacin de
parentesco)2.La seleccin Nacional jug un partido intenso con su
similar de Chile.(relacin de accin.)3.Vallejo y Maritegui fueron
contemporneos. (relacin de tiempo)B.Proposiciones
moleculares,llamadas tambin compuestas o coligativas
contienenalgunaconjuncingramatical
tpicaoconectivaoeladverbionegativono.Ejemplos:1.Lalgicaylamatemticasonciencias
formales.2.El tiempo es absoluto o es relativo.3.
Sidosngulosadyacentesformanun par lineal, entonces son
suplementarios.4.Estenmeroesparsiyslosies divisible por
dos.5.ElIncaGarcilasodelaVeganoesuncronista puneo.6.Hacecalor
ytengoganasdeir a laplaya.7.Tengo hambre, fro y no consigo un
taxi.8.Siunnmero esdivisiblepor2ypor3,es divisible por
6.Lasproposicionesmoleculares,segnel tipo de conjuncin quellevan,
se clasificanen conjuntivas, disyuntivas,
condicionalesybicondicionales;sillevan
eladverbiodenegacinnosellaman negativas.a)La s p r o p o s i c i o
n e s c o n j u n t i v a sll e v a nl ac o n j u n c i n
copulativay, o sus expresiones equivalentes comoe, pero, aunque,
aun cuando,tanto... como..., sino, ni... ni, sin embargo, adems,
etc.Ejemplos:1. Elnmerodosespar,peroelnmero tres es
impar.2.Ricardoesinteligente,
sinembargoesflojo.3.Tantoelpadrecomoelhijoson melmanos.4.La materia
ni se crea ni se destruye.5.Ir a verte aunque llueva.6.Ingresar
alauniversidad auncuandono apruebe el examen de admisin.7.Per as
como Ecuador son pasesdemcratas.8.El tomo posee neutrones,
protonestambin electrones.Nota: Existenalgunostrminos de conjuncin
que merecen una mencin particular:Noslolamatemtica esprecisasino
tambin universal: p q El ser Leninista es compatible con el
serMarxista:p q Lalunaesunsatlitenoobstantegiraalrededor de la
tierra: p qUnaproposicinconjuntivaesverdadera cuando todos sus
componentes son verdaderos. Esfalsacuandoporlomenos uno de sus
componentes es falsop q p qVV F FVF V FVF F
Fb)Lasproposicionesdisyuntivas llevan la conjuncin disyuntivao, o
sus expresiones equivalentescomou,ya...
ya,bien...bien,ora...ora,sea...sea,y/o,
etc.Enespaolladisyuncin'o'tienedos sentidos:unoinclusivoo dbil y
otro exclusivo o fuerte. La proposicin
disyuntivainclusivaadmitequelasdos alternativassedenconjuntamente.
La proposicin disyuntiva exclusiva no
admitequelasdosalternativasseden conjuntamente.Ejemplos:Son
proposiciones disyuntivas inclusivas o dbiles:1.Alfredo es to o es
sobrino.2.Rosa est viva o est muerta.8p q p q1 11 00 00 01110p q p
q1 11 00 00 00110p q p VV F FVF V FVF V Vq p q p q1 1 11 0 00 0 10
0 13.PeryEcuadorsepondrnde acuerdo salvo que intervenga EE.UU.Nota:
Cuando aparece una disyuncin al lado de un conjuntor o viceversa,
la frmula lgica ser un Disyuntor dbil.
Ejemplo:1.Lasavesposeenpicoexceptoque tambin alas: p v q2.Los
nmeros son reales y/ocomplejos: p v q.Una proposicin disyuntiva es
falsa cuando todos suscomponentesson falsos. Es verdadera cuando
por lo menos uno de sus componentes es verdaderop q p qVV F FVF V
FVV V FSon proposiciones disyuntivas ex clusivas o f u er t es1.Jos
es profesor o es estudiante.2.Juana es soltera o es casada.3.Eres
campen o subcampen.4.O estudias o
trabajas.Nota:Algunosdisyuntoresincluyentes puedenvenir acompaados
de las palabras:slo,nicamente,solamente. Dando mayor fuerza al
inclusor transformndolo en
exclusor.Ejemplo:1.Esteaoviajaralextranjerosalvo que slo viaje a
Lima: p v q2.A menos que solamente seasIngeniero, sers matemtico: p
v qUna proposicin Bidisyuntiva es verdadera cuando sus componentes
tienenvaloresdiferentes.Esfalsosisus componentes tienen valores
iguales.c)Las proposicionescondicionales llevan laconjuncin
condicional compuesta si... entonces...,o sus expresiones
equivalentescomo si,siempre que, con tal que,
puestoque,yaque,porque,cuando,de,amenosque,anoserque,salvoque, slo
si, solamente si.Ejemplos:1.Si es joven, entonces es rebelde.2.Es
herbvoro si se alimenta de plantas.3.Elnmerocuatroesparpuestoquees
divisible por dos.4.Se llamaisscelessiempreque el tringulo tenga
dos lados iguales.5.De salir el sol iremos a la playa.6.La fsica
relativista fue posible porque existi la mecnica
clsica.Todaproposicincondicionalconstade dos elementos: antecedente
y consecuente.Laproposicinquesigue alapalabrasisellamaantecedentey
laquesiguealapalabra entoncesse denomina consecuente.Toda
proposicin implicativa es condicional,peronotodaproposicin
condicionalesimplicativa.Enefecto, slo las
proposicionescondicionales que son tautologas son
implicativas.Finalmente, en toda proposicin condicional
elconsecuente escondicin necesariadel antecedente y el antecedente
escondicinsuficientedel consecuente. Por ejemplo, en la
proposicincondicionalsiloscuerpos secalientan,entoncessedilatan,el
consecuentesedilatanescondicin necesaria del antecedente se
calientan y elantecedentese calientanescondicinsuficientedel
consecuente se dilatan.Una proposicin condicional solo es falsa
cuando el antecedente es verdadero y elconsecuente falso. En los
dems casos la proposicin ser verdadera.p q p qVV F FVF V FFV V Fp
pVFFVp p1001p q p VV F FVF V FVF F Vp q p q1 11 00 00 01001d)L a s
proposiciones bicondicionales llevan la conjuncin compuesta ...sy
slo si..., o sus expresiones equivalentes comocuandoyslocuando,
si..., entoncesysloentonces...,etc.
Ejemplos:1.Esfundamentalistasiyslosies talibn.2.Habr cosecha cuando
y slo cuando llueva.3.Siaprueboelexamendeadmisin,entonces y slo
entonces ingresar a la
universidad.Lasproposicionesbicondicionalesse caracterizan porque
establecen dos condicionales, perodesentidoinverso. Por ejemplo, la
proposicin bicondicionaleltringuloesequilterosiyslosi
tienetresladosiguales establece dos condicionales
desentidoinverso:si es tringuloequiltero, entoncestiene tres
ladosigualesysieltringulo tiene tresladosiguales,entonceses
equiltero.Entodaproposicinbicondicional el antecedente
escondicinnecesariay suficiente del consecuente y el consecuente
escondicinnecesariay suficiente del antecedente.Una proposicin
Bicondicional es verdaderacuandosuscomponentesson iguales.Es falsa
si sus componentes tienen valores diferentes.qe)Lasproposiciones
negativasllevanel adverbio de negacin no, o sus
expresionesequivalentescomonunca, jams, tampoco, no es verdad que,
no es cierto que, es falso que, l e falta, carece de, sin, etc.
Ejemplos:1.Nunca he odo esa msica.2.Jamshe visto al vecino.3.Es
imposible que el tomo sea molcula.4.Es falso que el juez sea
fiscal.5. Al pap de Oscar le falta carcter.Si una proposicin es
verdadera, su negacin ser falsa y viceversaEn resumenp q p q p q p
q p q p q p q p / qV V V V F V V F VV F F V V F F F FF V F V V V F
F FF F F F F V V V VRegla prctica:VVVF FFV FFFVFVVV , FFVV VF , F
FF6.EL LENGUAJE FORMALIZADO DE LA LGICA
PROPOSICIONALExistendostiposfundamentalesdelenguajes: elnatural
yelformalizado. El lenguaje natural eselusadoenlavidafamiliar,
enlavida cotidiana.Ellenguajeformalizadoesel
lenguajeusadoenlaactividadcientfica.Slo
sirveparaformularconocimientos.Esun
lenguajeespecializado.Pertenecenaeste lenguaje, el lgico y el
matemtico.Ellenguajelgicosedenominaformalizado
porquesupropiedadmsimportante eslade revelar la forma o estructura
de las proposiciones e
inferencias.Ellenguajeformalizadoconstadedosclases de signos:
variables proposicionales y operadores o conectores lgicos.a)Las
variables proposicionales representan a cualquier proposicin
atmica.Sonletrasminsculas delalfabeto castellano p, q, r, s,
etc.b)Los operadores lgicos adems de enlazar o conectar
proposiciones establecen determinadasoperacionesentreellas.Son de
dos clases: didicos y el mondico. Los operadores didicos tienen un
doblealcance: hacialaizquierda yhacia laderecha,esdecir,afectan
ados variables. Y son los siguientes:El conjuntivo: representa a la
conjuncin y. Su smbolo es .El disyuntivo: representa a laconjuncino
. Puedeserinclusivoyexclusivo. El smbolo del inclusivo es; el del
exclusivo es . El condicional: representa a laconjuncin compuesta
si... entonces.Su smbolo es . Elbicondicional:representaa
laconjuncincompuestasiyslosi. Su smbolo es .
Negacinconjunta:representaalaspartculas ni...ni. Su smbolo es .
Negacin alterna: representa a laexpresinnoono.Susmbolo es / .
Eloperador mondico esel Negativo y tieneunsoloalcance:
hacialaderecha, es decir, afecta a una sola variable. Es el
operadordelanegacin.Representaal adverbionegativono.Susmboloes , .
7.FORMALIZACIN DE
PROPOSICIONESFormalizarunaproposicinsignificaabstraer
suformalgica,esdecir,representarla simblicamente.Ejemplo 1.
Formalizar laproposicin:YaqueInicialesunniveleducativotanto
comolaprimariaosecundaria,porelloes gratuito y no es educacin
superiorResolucinPaso 1Identificamosproposicionessimples y le
asignamos variables en orden alfabtico.p: Inicial es un nivel
educativo.q: La primaria es un nivel educativo.r: La secundaria es
un nivel educativo. s: Inicial es gratuito.t: Inicial es educacin
superior.Paso 2Identificamos la estructuraformalYaqueptantocomoqor,
por ello s y no tPaso 3Escribimos la formula lgica
(Formalizacin):[p (q r )] (s t )10Ejemplo 2. Dadas las
proposiciones:p: El dos es nmero primoq: Los nmeros pares no son
primos.r: Todo nmero elevado al cuadrado es siempre positivo .
Encontrar el valor de verdad de:[(p q) r ] [(qr ) p]ResolucinPaso
1Definimoselvalordeverdaddecada proposicin.p: V q: F r: VPaso
2Asignamos el valor de verdad a las variables[(p q) r ] [(qr ) p]V
F V F V V Paso 3Aplicamoslasreglasdelosconectoresde acuerdo a su
jerarqua.[(p q) r ] [(qr ) p]V F V F V V F VV VVEl valor de verdad
es V (verdadero)8.DEFINICIN TABULAR DE FRMULAS MOLECULARES
COMPLEJASLas frmulas o esquemas moleculares complejascontienen
dosomsoperadores distintos o dos o ms veces el mismo
operador.Paradefinirtabularmente frmulasmoleculares
complejassedebenobservar lossiguientes
pasos:1.Dadalafrmulamolecularcomplejase
establecelajerarquaentresusoperadores a travs de los signos de
agrupacin:~ [( p q) (~ q ~p)]2.Seconstruyelasmatricessecundarias
que correspondenalasdelosoperadoresdep q ~ [(p q) (~q ~p )]V V V V
F V FV F V F V F FF V V V F V VF F F F V V Vp q (p q) (p q)1 1 1 1
11 0 0 1 10 1 0 1 10 0 0 1p q (p q) (p q)1 1 1 0 01 0 1 0 00 1 1 0
00 0 0 0p q (p q) (p q)1 1 1 1 11 0 1 0 00 1 1 0 00 0 0
1menorjerarquaaplicandosusrespectivas definiciones:1.TAUTOLOGICOS.
Si su matriz principal est conformado solo de valores
verdaderos.Ejemplo3. Se construye, finalmente, la matriz
principalque corresponde a la del operador
demayorjerarquaaplicandoladefinicin correspondiente
alasmatricesdelos operadores que la siguen en jerarqua:p q ~ [(p q)
(~q ~p )]V V F V V F V FV F V V F V F FF V F V V F V VF F V F F V V
V5 3 2 4 3 4La matriz principal(5),se ha obtenido
aplicandoladefinicin deloperadornegativoa los valores de la matriz
2. La matriz 2 se obtuvo aplicandoladefinicindeloperadorconjuntivo
a losvalores delas matrices 3.La matriz 3del lado izquierdo se ha
obtenido aplicando la definicin deloperador disyuntivoinclusivoa
losvaloresdepyq.Lamatriz3dellado derecho
sehaobtenidoaplicandoladefinicin deloperadorcondicional
alosvaloresdelas matrices 4. La matriz 4 del lado izquierdo se ha
obtenidoaplicandoladefinicindeloperador
negativoalosvaloresdeqylamatriz 4del
ladoderecho,aplicandoladefinicin del operador negativo a los
valores de p.Ahora es tu
oportunidad:Construirlatabladeverdaddelsiguiente esquema
molecular:[(pq) (q r)] (p r)Nota: La matriz principal es:
VVVVVVVV9.CLASIFICACIN DE LAS FRMULAS MOLECULARES POR SU MATRIZ
PRINCIPALLastablasdeverdadnospermitenclasificar0Matriz
principalLasfrmulasmolecularestautolgicasson llamadas
tambinleyeslgicas.2.CONTRADICTORIOS. Si ensumatriz principal todos
los valores son falsos. Ejemplo1Matriz
principal3.CONTINGENTES.Siensumatrizprincipal aparece por lo menos
unvalorverdadero y un falso.Ejemplo0Matriz
principalNota:Unafrmulaproposicionalservlidasi
esTautolgicaysedirqueesfalsaentoda interpretacin si es
contradictoria.10.IMPLICANCIA Y EQUIVALENCIA LGICASe llama
Implicancia lgica (o simplementeIMPLICACIN)atodacondicionalpq que
seaunaTAUTOLOGA,yentalcasoa lacondicional se le denota porp q
.Ejemploalasfrmulas
moleculares,atendiendoasumatrizprincipal,entautolgicas,
consistentesEl esquema: (p q ) q1] p es unay
contradictorias.implicacin lgica.
Verifcalo!11SellamaEquivalencialgica(osimplementeEQUIVALENCIA)atodabicondicional
p qqueseaunaTAUTOLOGA, yentalcasoala condicional se le denota porp
q .Ejemplo(pq) (pq)(pq)(pq)(p) (pq)(pq) (pq)El esquema:p ( p q ) p
es unaEXPORTACIN(pq)rp(qr)equivalencia lgica. Verifcalo!11.LEYES
DEL LGEBRA PROPOSICIONAL DOBLE NEGACIONp ( p) p [ ( p)]LEYES DE
D`MORGAN (p q) p q (p q) p qp q ( p q)p q ( p q)CONMUTACIN( , , /,
, , )(p q) (q p) (pq)(qp)CONTRAPOSICIN (,,, )(pq) ( q p) (p q) ( q
p)ASOCIACIN ( , , , )(p q r) [p q] [p (q r)](p q r s) [(p q)
(rs)]DISTRIBUCINp (q r) (p q)(p r)p(q r) (p q)(p r)ABSORCINp (p q)
p p (p q) p qp (p q) p p (p q) p qIMPLICADORp q pq pq (p
q)BIIMPLICADOR(pq) (pq)(pq) (pq) (p q)( p q)DISYUNTOR
EXCLUYENTE(pq) ( pq)(pq)( p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q )1]( p q ) p
qp T ) ( q T )p ( q q ) ) (q( p p ) )p q ) ( pq ) ( q p ) ( q p )q
) ( p q ) (pq ) ( pq )q ) ( p q ) (pq
))))))))))))MUTACINp(qr)q(pr)LEY DE EXPANSINp [p(s s)] pq [p (pq)]
p [p(t t)]pq[q(pq)] IDEMPOTENCIApp ppp p COMPLEMENTO pp 0pp
1IDENTIDADESp1 p p00p11p0pEjemploDemostrar queResolucinEn efecto
tenemos que: ( ( ( ( p ( pTarea.Justifiquecadaunodelospasos
realizadosteniendoencuentalasleyesdel lgebra
proposicional.12.CUANTIFICADORESLasexpresiones todoyexiste
sedenominancuantificadores.En el lenguaje matemtico:La palabra todo
(o sus equivalentes) en unaproposicin indica que cualquier elemento
que12p q ( p q )1]]]]]]Usamos laspalabrasPara referirnos a TODOPor
ejemploTodoTodos los insectosalados tienen 6 patas.Ninguno Ningn
lugar est lejosCualquieraCualquiermltiplode6puede dividirse por
3.No hayNo hay mamferosacuticos.Nadie Nadie es perfecto.Los /
LasLas cmaras digitalesutilizan bateras.Usamos laspalabrasPara
referirnos a que EXISTEal menos unoPor ejemploExisteExisten
hombresdaltnicos.Un / UnosUnos pancitos tienenqueso.Alguno /
AlgunosAlgunos mamferos tienen alas.HayHay algunos sitios deacampe
donde no se puede hacer fuego..se elija dentro del conjunto posee
la propiedad. Elsmboloqueseutilizaparatodoes (se lee para todo ).
Lapalabraexiste
(osusequivalentes)enunaproposicinindicaquehaydentrodel conjunto
almenosunelementoqueposeela propiedad.Puedeseruno,varios,oincluso
todos.Elsmboloquese utilizaparaexiste es(selee existe).Por
ejemploCmo podemos demostrar que una afirmacin que
tieneuncuantificador es verdadera o
falsa?Porejemplo:LaafirmacinTodolosperros sonblancos esfalsa.cmolo
sabemos? Basta con mostrar un perro que no sea
blanco.LaafirmacinTodonmeromltiplode6es paresverdadera.Paramostrar
queestoes cierto, dado que no hay posibilidades de revisar uno por
uno todos losmltiplos de6, hay que recurrir auna demostracin
general, a un razonamiento deductivo que
nospermitaevidenciarquelaafirmacines cierta.En este casoes
sencillo, porque para que un nmero sea mltiplo de 6, debe ser a la
vez mltiplo de3y de2.Alsermltiplode2
espar.Porlotantolaafirmacinesciertaparacualquier mltiplo de 6.C CT
TI IV VI ID DA AD DE ES S D DE E A AP PL LI IC CA ACI CI N
NEstimado alumno,considerando la parte terica desarrollada,
resuelva cada una de los tems propuestos acontinuacin01.Si ( p q )
( pp )(r s ) q1] esverdadera,culessonlosvaloresdeverdad de las
proposiciones s, p, r y q?Redactarlasproposicionesdelcuadroenla
forma Todo... o Existe..., porEjemplo: Algunos mamferos tienen alas
se escribir como Existe un mamfero que tiene alasEl valor de verdad
de las proposicionescategricasComotodaproposicin,lasproposiciones
categricas (las que contienen cuantificadores)poseen un valor de
verdad (esdecir,puededecirsedeellasqueson Verdaderas o Falsas). En
algunos casos decirdeunaproposicinqueesverdaderao falsa es
sencillo. Para la proposicinLlueve , basta con mirarporla
ventanapara decidir.( p q) ( p q )p q )rq ) rp
))))))))02.Indicarelresultadodelamatrizprincipaldel
esquema03.Demostrar que es una equivalencia lgica04.Sabiendo
quelaproposicin pesverdadera,enculdelossiguientes casosessuficiente
dichainformacinparadeterminarelvalorde verdad de las siguientes
proposiciones?a) ( p q) (b) ( q p )c) ( pd) ( p q ) ( r13rq ) q1]p
( q r )1] ( q p ) ( p r )1]q p) ( p q )1]( p q )r )1] {
p ( q r )1]
p ( qqqqqqqqqqqqqqq05.Si
( s p ) r 1] ( p q )es verdadero y a) x A, y A, x2+ 3y< 12( p
q ) esfalsa,determinelosvaloresde verdad de p , q y s06.Demostrar
que las siguientes proposiciones son leyes lgicas (tautologas)a)( p
q ) qb) xA,yA /x2+3y< 12c) xA / yA,x2+ 3y
x1], x < 0] [x / x x]/x
06.Laproposicin:Sihayhumedad,entonceslas plantas crecen, es
equivalente a:a)Las plantas crecen y hay humedad.b)Si las plantas
no crecen, no hay humedad. c)No hay humedad y las plantas
crecen.d)Las plantas no crecen y hay humedad.e)Todas las
anteriores.07.Delafalsedad de: ( p , deducir el valor de verdad de
los esquemas:a) (p q) qb)
(c) ( p r ) ( p q ) 08.Simplificar:a) b)1.Venero B., J. Armando
(2004). MatemticaBsica. Ediciones GEMAR, Lima Per.2.
VeneroB.,J.Armando(2004).Introduccinal Anlisis Matemtico. Ediciones
GEMAR, Lima Per.3.Moth,KartJ.(1987).IntroduccinalaLgica.Grupo
Editorial Iberoamericana.Mxico D.F.4.
AsociacinFondodeInvestigadoresyEditores (2006).lgebrayprincipios
delanlisis Tomo I yII.SegundaEdicin,Lumbreras editores S.R.L., Lima
Per.5. Asociacin FondodeInvestigadores yEditores
(2006).Aritmtica:Anlisisdelnmeroysus aplicaciones. Segunda Edicin,
Lumbreras editores S.R.L., Lima Per.c)
( p q) ( p q )1] ( p r )09.CuntasFycuntasVtienelamatrizdel
esquema despus de simplificarlo?10.Indicar el valor de verdad de:a)
x b) x 2c) x ) 0) xy xy > 0d)[x e)[x f)x A AC CT TI IV VI ID DA
AD DE ES S D DE E EX EXT TE EN NS SI I N NInvestigue sobre la
aplicacin de la Lgica difusa y loscircuitoslgicos enelModelamientoe
interpretacin de situaciones de nuestra vida diaria.V VI. I. R RE
EF FE ER RE EN NC CI IA AS S BIB BIBL LIO IOG GR RA AF FI IC CA AS
S15SISTEMAS NUMRICOSUnavez lepreguntarona Einstein,
Culeslavelocidad delsonido?Ysterespondi: Nolos, procuronocargarmi
memoriacondatosquepuedo encontrarencualquiermanual,
yaqueelgranvalordela educacinsuperiornoconsiste
enatiborrarsededatos,sino enprepararelcerebroa
pensarporsupropiacuentay as llegar a conocer algo que no figure en
los librosA. Einstein.CONTENIDOS APRENDIZAJES ESPERADOS
INDICADORESRelaciones entre los sistemasnumricos: N, Z, Q y RInters
simple ycompuesto Demuestraaxiomasyteoremas sobre nmeros reales.
Identificayaplicaaxiomasy teoremas de nmeros reales
Resuelvesituacionesproblemticasentorno aplicando los axiomas y
teoremas de losnmeros reales.
Resuelveeinterpretaproblemasfinancierosaplicando
lasecuacionesdeinterssimple y compuesto.16 OOpopppond d in
iiiiiiiiiiiS SI ITU TUA ACI CI N N P PR RO OB BL LE EM M T TI IC CA
AAnalizalapropuesta deformacin delsistema de
nmerosrealesyfundamentelanecesidadde
ampliarcadaconjuntonumricoconargumentos
vlidosyconfiables,ysiesposibleconejemplosde la vida
cotidiana.Ubicacin de en la recta
numricaLosnmerosirracionalesnosonnumerables, es
decir,entrecualquierpardeirracionalesexisten infinitos nmeros
irracionales.Variosdelosnmerosirracionalesseubican geomtricamente
del siguiente modo:Operacin deSustracci-Operacin de2Operacin
de1divisin con cifrasdivisin parcial.ecimales iferentes e
determinadas.2 -1 01 2-Representacin de una parte de la
unidad.-Operacin de divisin con cifras decimales
peridicosObservaqueelnmeroirracional 2 resultaserla hipotenusa del
tringulo rectngulo cuyos catetos miden 1. Haciendo centro en 0, se
traza
unIarcocuyoradiocoincideconlalongituddelaHipotenusa.LainterseccindelarcoconlarectanumricapermiteubicarenellaalosnmerosD
DE ES SA AR RR ROLL OLLO OD DE EL LC CO ON NT TE ENIDO NIDOT TE E
RICO RICO CI CIE EN NT T F FICO ICOEnelsigloVA.C.,losgriegos
pitagricos, buscando la longitud de la diagonal de un cuadrado
delado uno,descubrieron otraclase denmerosdistintosalosnaturalesya
losirracionales 2 y2CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES ( )Es el conjunto
de los nmeros racionales e irracionales.Es decir:
GRAFICAfraccionarios,lesparecitanpocorazonablelo Q Rque obtuvieron
que le llamaron irracional. ZNILas racesque nopueden expresarse
exactamente mediante nmeros racionales representan nmeros
irracionales y reciben elnombrederadicales.Porejemplo: 3; 5; 11 ,
son radicales.CONJUNTO DE NMEROS
IRRACIONALESAlosnmerosdecimalescuyapartedecimal es infinita no
peridica, tales como:LA RECTA NUMRICA REALEsaquellarectageomtrica
dondeexisteuna correspondenciabiunvoca(unoauno)entrelos
puntosdelarectayelconjuntodelosnmeros reales.(+) POSIT
IVOS21,41421356 2..., (pi) 3,141592653 5.. ., se lesdenomina Nmeros
Irracionales. Todos los 5-22-1 - 1 0211 2 53+
nmerosirracionalesformalelConjuntodelosNmeros
Irracionales.Losmsclebresnmerosirracionalesson identificados
mediante smbolos. Algunos deestos son:Pi:3,141592653
5...NmeroNeperiano:e2,718281 8...-3-2 2 2 2(-) NEGAT
IVOSSeobservaquelarepresentacin delosnmeros
irracionalesenlarectanumrica, determinala completitud,
esdecir,queacadanmerorealle correspondeunoyslounpuntodelarectaycada
punto de la recta es conjunto es continuo, esNmero ureo: 1 +25
1,61803398...decir, no existe ningn vaco entre sus elementos.17y
0000000000000000SISTEMA DE NMEROS REALESEs elconjunto provisto de
dos operaciones: adicin(+)ymultiplicacin ()yunarelacinde orden( y (
x> y) ( x < y)A AC CT TI IV VI ID DA AD DE ES S D DE E A AP
PL LI IC CA ACI CI N N5.Sean:x , y, entonces:Estimado colega,x x x
y ( x + y) ( x y) 0y ( x + y) ( x y) 0 y ( x + y) ( x y) < 0y (
x + y) ( x y) > 0considerando la parte terica desarrollada,
resuelva cada una de los tems propuestos a continuacin6. x ,
ytriangular)x + y , (Desigualdad01. a, b , demostrar que: ab a + b
.2MXIMO ENTERODadounnmerorealx,sellamaelMXIMO ENTERO DEL NMERO REAL
x,alnmero enterodenotado por xyqueeselMAYORDETODOSLOENTEROS
QUESONMENORESO IGUALES AL NMERO REAL x.02. a, b, c , demostrar
que:a2 + b2 + c2 ab + ac + bc .03.Demostrar que:a + bSia < b
entoncesa