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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE UFCGCENTRO DE ENGENHARIA ELTRICA E INFORMTICA CEEIUNIDADE ACADMICA DE ENGENHARIA ELTRICA UAEE
PROGRAMA DE EDUCAO TUTORIAL PETTUTOR: EDMAR CANDEIA GURJO
MINI-CURSO:
ANLISE E SIMULAO DE CIRCUITOS
ELTRICOS NO AMBIENTEMATLAB1 Edio
AUTORES: Edson Porto da Silva (PET-Eltrica/UFCG)
Felipe Vigolvino Lopes (PET-Eltrica/UFCG)
Nustenil Segundo de M. L. Marinus (PET-Eltrica/UFCG)
Outubro de 2008
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---------------------------------------------------------------AULA 1
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1. APRESENTAOO MATLAB, ao contrrio do que muita gente pensa, um software
destinado a realizar clculos com matrizes (MATLAB = MATrix LABoratory) e no
uma linguagem de programao. O seu uso bastante abrangente, sendo utilizado em
vrios meios industriais e acadmicos, por permitir a realizao de aplicaes ao nvel
da anlise numrica, de anlise de dados, clculos matriciais, processamento de sinais,
construo de grficos, otimizao de funes, entre outras, abordando uma banda larga
de problemas cientficos e de engenharia.
O uso do MATLAB se torna bastante simples, pois os seus comandos so
bastante prximos da forma como escrevemos expresses algbricas, permitindo assim
a resoluo de problemas numricos em apenas uma frao do tempo que se gastaria
para escrever um programa semelhante numa linguagem de programao clssica.
1.1)AMBIENTE DO MATLABO prompt do MATLAB o padro >>. O prompt >> significa que o
MATLAB est esperando um comando do utilizador, sendo comumente chamando
de prompt de comando. Todos os comandos devem ser finalizados teclando-se
.
O comando mais importante do MATLAB o help, onde exibe todos os
comandos e smbolos sintticos disponveis. O comando help nome fornece informaes
sobre o comando nome. Como exemplo, faa:
>>help plotAperte e veja o que aparece.
2. INTRODUOComo foi dito anteriormente, o MATLAB trabalha com matrizes numricas,
podendo conter elementos complexos. Quando usamos apenas um escalar, estamos na
verdade usando uma matriz 1x1.
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2.1) SINTAXE
As duas principais terminaes do MATLAB so: a vrgula (,) e o ponto-e-
vrgula (;). Quando um comando terminado com vrgula seu resultado expresso na
tela e atribudo varivel do sistema ans (de answer, ou resposta), enquanto que, com aterminao ponto-e-vrgula o resultado do comando no expresso na tela. Quando a
terminao uma vrgula, esta pode ser suprimida. Para continuar um comando na outra
linha, basta usar a terminao trs pontos (...). Para fazer comentrios, usa-se o sinal de
por cento (%) no incio da linha.
EXEMPLO 1: Digite:
>>5 + 6,
>>5 + 6
>>5 + 6;
>>% 5 + 6
>>5+ ...
6
Para inicializar uma varivel, basta fazer, por exemplo, a = 5
OBS: O MATLAB faz distino entra maiscula e minscula.
Algumas regras devem ser seguidas para nomear variveis. Os nomes de
variveis devem ser nomes iniciados por letras e no podem conter espaos nem
caracteres de pontuao. Assim, modificando o exemplo 1:
EXEMPLO 2:
Digite:
>>A = 5;
>>B = 6
>>A + B,
>>A + B
>>A + B;
>>% A + B
>>A+ ...
B
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2.2) CONSTANTES
O MATLAB tambm possui vrias variveis predefinidas, algumas listadas
abaixo:
ans varivel usada para os resultados. pi nmero eps - menos nmero tal que, quando adicionado a 1, cria um nemro
maior que 1 no computador.
inf significa infinito NaN no um nmero, por exemplo, 0/0. i e j unidade imaginria (-1_) nargin nmero de argumentos de entrada de uma funo. nargout nmero de argumentos de sada de uma funo. realmin menor nmero que o computador pode armazenar. realmax maior nmero que o computador pode armazenar.
2.3) INFORMAES SOBRE A REA DE TRABALHO
Para listar as variveis existentes no espao de trabalho, basta usar o comando
who ou whos. O comando clear limpa o espao de trabalho, extinguindo todas asvariveis.
EXEMPLO 3:
Digite:
>>A = 8;
>>a = 6;
>>A
>>a>>who
>>clear
>>a
>>A
2.4) OPERAES BSICAS
Para realizar as quatro operaes bsicas da matemtica, usamos os smbolos+, -, * e / para soma, subtrao, multiplicao e diviso, respectivamente.
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Para se calcular um nmero elevado a outro, usa-se o smbolo ^. Assim para o
clculo da raiz quadrada podemos usar (nmero)^(1/2) ou apenas usar o comando
sqrt(nmero).
OBS:As expresses so avaliadas, primeiramente, da esquerda pra direita,
com a potncia tendo a mais alta prioridade, seguida pela multiplicao e diviso, que
tem igual precedncia, e por ltimo vem a adio e subtrao, que possuem o mesmo
peso. Para alterar essa ordem, usamos parnteses, sendo os mais internos avaliados
antes dos mais externos.
Parnteses tambm so teis para calcular expresses grandes e seu uso
incorreto pode gerar erros. Por exemplo,
>> 9^1/2 = 4.5
>> 9^(1/2) = 3
EXEMPLO 4:
Digite:
>> a = 5 + 7*(5+9) - (6+8)/(5-3)
>> b = 4 - (6 - (8/(9+7))*4) - sqrt(7+9) + (5+1)^(7+1) - 6^8
>> total = a+b
2.5) MATRIZES
Para criar uma varivel que armazena uma matriz, basta escrever os
elementos da matriz entre colchetes [...], sendo que os elementos de uma mesma linha
so separados por vrgulas ou por espaos e as linhas so separadas com o uso de ponto-
e-vrgula ou por quebra de linha. Por exemplo, para escrever a matriz:
A =
9
63
8
52
7
41
Fazemos :
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
Ou
>> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]
Ou
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>> A = [1 2 3
4 5 6
7 8 9]
Para acessar qualquer elemento de uma matriz, fazemos
NomedaMatriz(linha,coluna). Por exemplo:
>>A(2,3) = 6
Para se ter os elementos de uma coluna da matriz, fazemos NomedaMatriz(: ,
coluna). Por exemplo:
A(:,2) =
8
52
Para se ter os elementos de uma linha da matriz, fazemos NomedaMatriz(linha
, :) Por exemplo:
A(2,:) = [ 4 5 6 ].
As operaes envolvendo matrizes so semelhantes s operaes com
escalares.
SOMA: A + B
SUBTRAO: A B
PRODUTO: A*B (Deve obedecer a regra do produto de matrizes)
TRANSPOSTA: A
MULTIPLICAO POR UM ESCALAR: n*A (n escalar) POTNCIA: A^k (k um escalar)
2.5.1) ADIO E SUBTRAO
A adio e subtrao de matrizes so indicadas, respectivamente, por "+" e "-".
As operaes so definidas somente se as matrizes possurem as mesmas dimenses.
EXEMPLO 5:
>> A = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ];>> B = [ 9 8 7 ; 6 5 4 ; 3 2 1 ];
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Como A e B tem as mesmas dimenses, a operao pode ser realizada.
>> Subtracao = A - B
Subtracao =
-8 -6 -4
-2 0 2
4 6 8
>> Soma = A + B
Soma =
10 10 10
10 10 10
10 10 10
As operaes de adio e subtrao tambm so definidas se um dos
operadores for um escalar, ou seja, uma matriz 1x1. Neste caso, o escalar adicionado
ou subtrado de todos os elementos do outro operador. Por exemplo:
>>x = [ -1 0 2];
>> y = x 1
y =
-2
-1
1
2.5.2) MULTIPLICAO
A multiplicao de matrizes indicada por "*". A multiplicao x*y definida
somente se a segunda dimenso de x for igual primeira dimenso de y. A
multiplicao:
>> x'* y
ans =4
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Naturalmente, um escalar pode multiplicar ou ser multiplicado por qualquer
matriz.
>> pi*x
ans =
-3.1416
0
6.2832
2.5.3) DIVISO
A diviso de matrizes requer especial ateno, pois existem dois smbolos para
diviso de matrizes no MATLAB "\" e "/". Se A uma matriz inversvel quadrada e b
um vetor coluna (ou linha) compatvel, ento A\b e b\A correspondem
respectivamente multiplicao esquerda e direita da matriz b pela inversa da matriz
A, ou inv(A)*b e b*inv(A), mas o resultado obtido diretamente:
X = A\b a soluo de A*X = b
X = b/A a soluo de X*A = b
2.5.4) POTENCIAO
A expresso A^p eleva A p-sima potncia e definida se A matriz
quadrada e p um escalar. Se p um inteiro maior do que um, a potenciao calculada
como mltiplas multiplicaes. Por exemplo,
>> A^3
ans =
279 360 306
684 873 684
738 900 441
2.6) OPERAES Elemento por elemento
O termo operaes com conjuntos utilizado quando as operaes aritmticas
so realizadas entre os elementos que ocupam as mesmas posies em cada matriz
(elemento por elemento). As operaes com conjuntos so efetuadas como as operaes
usuais, utilizando-se os mesmos caracteres ("*", "/", "\", "^" e " ") precedidos por um
ponto "." (".*", "./", ".\", ".^" e " . ").
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2.6.1) ADIO E SUBTRAO
Para a adio e a subtrao, as operaes com conjuntos e as operaes com
matrizes so iguais. Deste modo os caracteres "+" e "-" so empregues do mesmo modo
e considerando as mesmas restries de utilizao.
2.6.2) MULTIPLICAO E DIVISO
A multiplicao de conjuntos indicada por .* . Se A e B so matrizes com
as mesmas dimenses, ento A.*B indica um conjunto cujos elementos so
simplesmente o produto dos elementos individuais de A e B. Por exemplo, se:
>> x = [1 2 3]; y = [4 5 6];
>> z = x .* y
z =
4 10 18
As expresses A./B e A.\B formam um conjunto cujos elementos so
simplesmente os quocientes dos elementos individuais de A e B. Assim,
>> z = x.\ y
z =
4.0000 2.5000 2.0000
2.6.3) POTENCIAO
A potenciao de conjuntos indicada por .^. A seguir so mostrados
alguns exemplos utilizando os vetores x e y. A expresso:
>> z = x .^ y
z =
1 32 729A potenciao pode usar um escalar.
>> z = x.^2
z =
1 4 9
Ou, a base pode ser um escalar.
>> z = 2.^[x y]
z =2 4 8 16 32 64
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2.7) NMEROS COMPLEXOS
O MATLAB trabalha de forma eficiente com nmeros complexos. Como foi
citada anteriormente, a unidade imaginria representada por i ou j. Dessa forma, para
escrever um nmero complexo basta fazer:>> z= 3 + 4*i
ou
>> z= 3 +4*j
Este nmero complexo se encontra na forma retangular. Podemos tambm
representar na forma polar, da seguinte forma:
>> w= r * exp(i*theta)>> w = 5*exp(i*pi)
Onde r a magnitude etheta o ngulo.
Para se obter matrizes complexas, usamos as duas formas mostradas abaixo:
>> A= [1 2; 3 4]+i*[5 6;7 8]
e>> A= [1+5*i 2+6*i; 3+7*i 4+8*i]
Estas duas formas produzem o mesmo resultado.
Se i ou j forem usados como variveis, de forma que tenham seus valores
originais modificados, uma nova unidade complexa dever ser criada e utilizada de
maneira usual:
>>ii=sqrt(-1);
>> z = 3 + 4*ii
Para se obter o mdulo e o ngulo de um nmero complexo, basta usar as
funes abs(x) e angle(x), respectivamente.
Assim, para z = 3 + 4j, temos
>> z = 3 + 4j
>>abs(z) = 5
>>angle(z) = 0.9273
OBS: importante observar que o MATLAB s trabalha com radianos.
Para transformar para graus basta multiplicar o ngulo por 180/pi.
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3. MANIPULAO DE VETORES E MATRIZES
3.1) GERAO DE VETORES
3.1.1) Para gerar vetores, podemos usar o caractere :.
Podemos fazer:
>> x = 1:10
x =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Percebemos que foi gerado um vetor com de 1 at 10, com incremento de uma unidade.
3.1.2)Podemos usar outros incrementos diferentes da unidade, fazendo:>> x = 1 : 2 : 10
ans =
1 3 5 7 9
Muitas vezes til usar incrementos negativos.
>> z = 6: -1: 1
z =
6 5 4 3 2 1
3.1.3)Com a funo linspace, podemos gerar vetores linearmente espaados.
>> linspace(1, 10, 5)
ans =
1.0000 3.2500 5.5000 7.7500 10.0000
Cria um vetor linearmente espaado de 1 a 10 com 5 elementos.
3.1.4)Outras funes teis so dadas abaixo:
logspace(x1, x2, k) cria um vetor com espaamento logaritmo de x1 at x2
com k elementos.
eye(n,m) gera uma matriz identidade nxm.
ones(n,m) gera uma matriz com elementos unitrio nxm.
zeros(n,m) gera uma matriz nxm com elementos nulos.
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rand(n,m) gera uma matriz nxm com elementos aleatrio com distribuio
uniforme entre 0 e 1.
4. FUNESO MATLAB tem diversas funes pr-definidas, onde a maioria pode ser
usada da mesma que seria escrita matematicamente. Algumas dessas funes so
listadas abaixo:
abs(x) - valor absoluto de x.
cos(x) cosseno de x.
acos(x) - arco cosseno de x.
sin(x) seno de x.asin(x) - arco seno de x.
tan(x) tangente de x.
atan(x) - arco tangente de x.
exp(x) - exponencial de x.
gcd(x,y) mximo divisor comum de x e y.
lcm(x,y) - mnimo mltiplo comum de x e y.
log(x) - logaritmo de x na base e.log10(x) - logaritmo de x na base 10.
rem(x,y) - resto da diviso de x por y.
sqrt(x) - raiz quadrada de x.
5. GRFICOSUma das principais ferramentas que o MATLAB proporciona a sua grande
facilidade para gerar grficos.
Abaixo, listamos algumas funes para manipulao de grficos. plot(x, y) gera um grfico linear. X o vetor que contm os pontos do eixo das
abscissas e y so os pontos do eixo das ordenadas.
semilogx (x,y) - gera um grfico em escala semi-logaritmica(eixo x). x o vetor
que contm os pontos do eixo das abscissas e y so os pontos do eixo das
ordenadas.
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semilogy (x,y) - gera um grfico em escala semi-logaritmica(eixo y). x o vetor
que contm os pontos do eixo das abscissas e y so os pontos do eixo das
ordenadas.
title(texto) dar ttulo ao grfico gerado.
xlabel(texto) nomeia o eixo x.
ylabel(texto) nomeia o eixo y.
grid cria linhas imaginrias no grfico gerado
legend(texto) cria uma legenda para o grfico.
Podemos tambm escolher a cor do grfico gerado, colocando mais um
argumento na funo que gerou o grfico (plot, semilogx, semilogy, etc).
Por exemplo,
plot (x, y, r) cria um grfico vermelho (o novo argumento r, de red =
vermelho).
Para gerar vrios grficos, adicionamos novos valores na funo que gerou o
grfico e escolhemos a cor de cada grfico.
Por exemplo,
plot(x1, y1, r, x2, y2, b, x3, y3, g) gera trs grficos (x1, y1), (x2, y2) e
(x3, y3) com cores vermelho, azul e verde, respectivamente.
Esses grficos so gerados na mesma janela (mesmo eixo), mas se quisermos gerar
grficos em janelas diferentes, comum se usar a funofigure (numero).
Por exemplo,
figure(1), plot(x1, y1)
figure(2), plot(x2, y2).
Assim, sero gerados dois grficos em janelas diferentes, ou seja, figura 1 (x1,y1) e
figura 2 (x2, y2).
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EXEMPLO 6:
>> t = 0 : pi/10 : 4*pi;
>> y = sin(t);
>> figure(1), plot(t,y,'r'), xlabel('Eixo x'), ylabel('Eixo Y'), grid, title('Funo Seno')
Fig. 1 Grfico plotado no exemplo 6
EXEMPLO 7:>> z = log(t)
>>figure(2),plot(t,z,'b'), xlabel('Eixo x'), ylabel('Eixo Y'), grid, title('Funo Logaritmo')
Fig. 2 Grfico plotado no exemplo 7
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EXEMPLO 8:
>> w = exp(t);
>>figure(3),plot(t,w,'g'),xlabel('Eixo x'),ylabel('Eixo Y'), grid, title('Funo Exponecial')
Fig. 3 Grfico plotado no exemplo 8
EXEMPLO 9:
>> plot(t, y, 'r',t,z,'b'), xlabel('Eixo x'), ylabel('Eixo Y'), grid, title('Funes: Seno elogaritmica'), legend('Seno', 'Logaritmo')
Fig. 4 Grfico plotado no exemplo 9
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---------------------------------------------------------------AULA 2
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6.CARACTERSTICAS DOS CONSTITUINTESBSICOS DOS CIRCUITOS ELTRICOS
Os elementos bsicos que constituem os circuitos eltricos so os resistores, os
indutores, os capacitores e as fontes de alimentao. Cada um desses elementos tem um
comportamento bem definido com relao a determinadas grandezas eltricas, ou
variao destas. Em outras palavras, cada um desses elementos tem uma caracterstica
prpria que relaciona, por exemplo, a corrente e a tenso em seus terminais.
Para uniformizar, de forma prtica, a anlise dos sistemas que so constitudos
por circuitos eltricos, busca-se as relaes lineares entre as grandezas de estudo e as
caractersticas dos componentes presentes.
Deve-se observar que a linearidade, por vezes, est restrita ao modelo anlise
que se segue. Desse modo, o comportamento real dos componentes pode no seguir
estritamente o modelo linear, passando este a ser apenas uma aproximao do que
realmente acontece no componente, ou circuito.
Nos itens a seguir, temos uma breve descrio dos elementos citados que
auxiliar o entendimento de como dos mtodos que podem ser usados na anlise de
circuitos com o MATLAB.
6.1) O RESISTOR
O resistor o componente mais simples de um circuito eltrico. Sua ltima
finalidade apenas a de dissipar potncia. A propriedade que quantifica a capacidade de
dissipao de potncia de um resistor denominada resistncia eltrica. A resistncia
eltrica, para cada resistor, uma constante que relaciona linearmente a tenso e a
corrente nos terminais do componente. Dessa forma, para um resistor, as grandezas
eltricas que se relacionam de forma linear so a tenso e corrente nos seus terminais.
Essa relao mais conhecida como Lei de Ohm e expressa como: iRV .= , onde V e
i so, respectivamente, a tenso e a corrente nos terminais do componente e R o valor
da sua resistncia, cuja unidade de medida o Ohm. A mesma relao se mantm entre
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os fasores de tenso V e corrente I para a anlise do regime permanente senoidal, no
domnio da freqncia: IV =R .
Figura 5 - Smbolos eltricos para o resistor
Fig. 6 - Relao linear entre V e i para um resistor com R = 20 Ohms.
6.2 ) O CAPACITOR
O capacitor o componente dos circuitos que tem a propriedade de acumular
energia em um campo eltrico. A capacidade que um dado capacitor tem para
armazenar energia quantificada por um atributo do mesmo denominado capacitncia
eltrica. A capacitncia uma constante que relaciona a carga acumulada pelo capacitor
e a tenso sobre seus terminais. Sua unidade de medida o faraday (F), onde 1 faraday
= 1 columb/1 volt.
Assim, para um capacitor de capacitncia C, tm-se as duas mais importantes
relaes:V
QC = e
dt
dVCi = . Portanto, no capacitor as grandezas que se relacionam de
forma linear so: a carga acumulada e a tenso nos terminais e, por conseqncia, a
corrente e a derivada da tenso com relao ao tempo. Para a anlise do regime
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permanente senoidal, no domnio da freqncia, temos a seguinte relao entre os
fasores tenso e corrente no capacitor: IV 1 =Cj
.
Fig. 7 - Smbolo eltrico do capacitor
Fig. 8 - Relao entre i e dV/dt para um capacitor com C = 10uF
6.3) O INDUTOR
De forma anloga ao capacitor, o indutor um outro elemento do circuito
capaz de armazenar energia em um campo. A diferena que o indutor armazena
energia em um campo magntico. O parmetro que descreve numericamente a
capacidade de um indutor armazenar energia denominado de indutncia, que tem o
henry como unidade de medida.
Dado um indutor de indutncia L, percorrido por uma corrente i, segue-se que
a tenso V entre os seus terminais ser dada por:
dt
diLV .= . A proporcionalidade entre a
tenso e a variao da corrente a relao linear mais importante de um indutor, do
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ponto de vista da anlise de circuitos. Para circuitos em regime permanente senoidal, no
domnio da freqncia, temos a seguinte relao entre os fasores tenso e corrente no
indutor: IV = Lj .
Fig. 9 - Smbolo eltrico do indutor
Fig. 10 - Relao entre V e di/dt para um indutor com L = 50mH
6.4) FONTES DE ALIMENTAO
As fontes de alimentao so as entidades presentes no circuito com a
finalidade de fornecer energia aos componentes passivos, por esse motivo recebem a
denominao de componentes ativos. As fontes podem ser classificadas de vrias
formas: fonte de corrente ou de tenso, DC ou AC, dependente ou independente.
O funcionamento de um circuito est diretamente relacionado com os tipos de
fonte nele presentes. Por conseguinte, a forma de anlise escolhida para um determinado
sistema tambm depende de quais tipos de fonte nele esto presentes. Por exemplo,
quando se quer avaliar o comportamento de regime de um sistema alimentado por
fontes senoidais, a representao fasorial das grandezas a mais adequada.
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7 FORMAS DE REPRESENTAO DOSCIRCUITOS NA LINGUAGEM DO MATLAB
A ferramenta que geralmente se usa para reproduzir os parmetros e as
equaes dos circuitos na linguagem do MATLAB o arquivo M-file. Um M-file
um arquivo de texto, salvo no computador com a terminao ".m", que contm um uma
seqncia de comandos que pode ser executada pelo MATLAB. Exemplificaremos a
seguir a melhor maneira de se passar os dados de circuito para um M-file.
7.1) UM CIRCUITO RESISTIVO COM ALIMENTAO DC
Observe o circuito resistivo simples mostrado na figura 7:
Fig. 11 - Exemplo de circuito resistivo
A partir desse circuito obtemos o seguinte sistema de equaes lineares, cujas
incgnitas so as correntes no circuito:
=
=
=++
0321
233223
21231)41(
iii
VViRiR
VViRiRR
Observe que as equaes foram escritas de forma literal. A vantagem de
escrever as equaes dos circuitos na forma literal que, mesmo que os valores dos
resistores e das fontes mudem, elas continuaro vlidas. Dessa forma, poupa-se trabalho
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se for necessrio analisar o desempenho do circuito para diversos valores dos
componentes. Em seguida, temos o mesmo sistema na notao matricial:
=
+
0
23 21
3
21
111
230 0341 VV VV
i
ii
RRRRR
Uma vez que as operaes no MATLAB so de caracterstica matricial, ao se
representar o sistema linear na forma de igualdade de matrizes BIA = , foi dado o
passo final para a representao do problema na linguagem do mesmo. Temos a seguir
o texto do cdigo presente no arquivo M-file gerado para anlise desse circuito:
A sada gerada pelo MATLAB nopromptde comando, ao se executar o M-
file com o cdigo mostrado anteriormente, mostrada no retngulo interno ao retngulo
com o trecho de cdigo.
7.2) UM CIRCUITO EM REGIME SENOIDAL
O conceito de fasor de extrema importncia na anlise de circuitos no regime
senoidal, j que a maioria das grandezas ter forma ( ) )cos(tg += tA , onde A a
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amplitude, a freqncia angular e a fase de g(t). O fasor G da grandeza g(t)
definido pela relao seguinte:
===+= AGeAGeeAtAtg jtjj }Re{)cos()(
Dessa forma, podemos entender um fasor como sendo um nmero complexo
que guarda informao sobre a amplitude e o ngulo de fase de uma grandeza senoidal.
Suponha agora que necessitamos encontrar o fasor da corrente que circula no
circuito a seguir, em regime senoidal.
Fig. 12 - Exemplo de circuito em regime senoidal
Novamente, seguimos passos semelhantes aos realizados no exemplo anterior.
Primeiramente determinamos as expresses literais, em termos de fasores, que o circuito
deve obedecer. So elas:
IV
IIXV
I1
IXV
010V
LL
cc
s
=
==
==
=
R
LjjCj
j
R
)(
VI
I)(VVVVV
s
sLcs
CL
CLR
jXjXR
jXjXR
+=
+=++=
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Deste modo, como o problema consiste em apenas determinar o fasor da
corrente no circuito, no M-file devem constar apenas os parmetros do circuito e a
ltima expresso para o fasor da corrente. Desse modo, temos a seguir o texto do cdigo
presente no M-file gerado para a resoluo desse problema:
Sada nopromptdo MATLAB:
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---------------------------------------------------------------AULA 3
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8 - ANLISE DE CIRCUITOS ELTRICOSCom o avano da tecnologia, sentiu-se a necessidade da realizao da anlise de
circuitos eltricos mais complexos. Em geral, so adotados mtodos apropriados para
anlise de circuitos os quais possibilitam, de forma simplificada, a obteno das
correntes e tenses verificadas ao longo do circuito.
Dentre estes mtodos, os mais conhecidos so o mtodo das tenses de n e o
mtodo das correntes de malha. Neste mini-curso sero explanados estes mtodos e, em
seguida, considerando as variaes possveis dos circuitos em questo, sero transcritos,para o prompt do MATLAB, os comandos necessrios para que seja possvel a
verificao das correntes e tenso de forma precisa atravs das potencialidades desta
ferramenta matemtica.
8.1) MTODO DAS TENSES DE N
O objetivo deste mtodo obter equaes que descrevam o comportamento das
tenses no circuito as quais so conhecidas como Equaes das tenses de n. Estasequaes co-relacionam as tenses dos ns dos circuitos possibilitando uma anlise
adequada no mesmo.
Para tanto, um procedimento simples deve ser seguido. Veja:
1. Desenhar o circuito de forma que os ramos no se cruzem facilitando assim a
assinalao dos ns essenciais as quais so os ns que possuem trs ou mais
elementos ligados;2. Escolher um dos trs ns essenciais como n de referncia. Embora qualquer
um dos ns essenciais possa ser escolhido como referncia, geralmente
existe um n mais indicado para tal funo;
3. Nomear as tenses nos ns essenciais assinalados;
4. Calcular as correntes que saem de cada um dos ns considerados em funo
das tenses dos ns do circuito;
5. Considerando a lei de Kirchhoff, igualar a zero a soma das correntes que
saem de cada n essencial;
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6. A partir do passo 5, so obtidas as equaes das tenses de n. Sendo assim,
tem-se um sistema linear em que as variveis so as tenses de n do
circuito. Portanto, basta resolver este sistema linear da forma que lhe for
mais conveniente.
8.2) MTODO DAS TENSES DE N + FONTES DEPENDENTES
Em vrios casos, so encontradas fontes dependentes nos circuitos eltricos.
Estas fontes possuem um comportamento que depende de valores assumidos por
grandezas como correntes ou tenses em diferentes pontos do circuito.
Muitas vezes, a primeira impresso que se tem a de que a existncia de fontes
dependentes complica por demais a soluo do circuito eltrico, porm, para tanto, basta
seguir o mesmo procedimento para o caso de circuito sem fontes dependentes e ento
adicionar as equaes impostas pela presena da fonte dependente s equaes das
tenses de n encontradas.
EXEMPLO 1 -Determinar as correntes aI, bI e cI .
Fig 13 - Circuito Usado para ilustrar o mtodo das tenses de n.
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Figura 9.34 pg 298
( ) 2,216,102,01,1
021
10
6,10
1
21
211
jVjV
j
VVV
N
+=+
=+
++
0
5
20
5
21
2
2212=
+
+
+
xIV
j
V
j
VV
N
21
:
21
j
VVI
mas
x+
=
( )
( )
( )
+=
+
+
=++
0
2,216,10
6,08,45
12,01,1
:
06,08,45
:)2(
2
1
21
j
V
V
j
j
Assim
VjV
ndoSubstituin
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SOLUO:
80,1640,681 jV = V
26682 jV = V
AjILogo
a 68,184,6:
=
AjIb 92,1144,1 =
AjIc 6,132,5 +=
No MATLAB:
8.3) MTODO DAS CORRENTES DE MALHA
Um outro mtodo bastante utilizado na anlise de circuitos eltricos oMtodo
das correntes de malha. A corrente de malha pode ser definida como sendo uma
corrente que existe apenas no permetro de uma nica malha. Sendo assim, percebe-se
que este mtodo se aplica apenas a circuitos em que as malhas no possuem outras
malhas em seu interior. Desta forma, ao longo da anlise por este mtodo, a lei de
Kirchhoff automaticamente satisfeita uma vez que em qualquer um dos ns docircuito, a corrente de malha que entra no n a mesma que sai.
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Portanto, para solucionar circuitos atravs deste mtodo das correntes de malha,
deve-se seguir o seguinte procedimento:
1. Utilizar setas as quais indicaro o sentido das correntes de malha do circuito.
prefervel que se utilize o mesmo sentido para todas as malhas;
2. Calcular as tenses sobre os componentes da malha em anlise considerando
a corrente resultante nos ramos comuns a duas malhas e dando um sentido
preferencial para a corrente da malha em anlise;
3. Considerando a lei de Kirchhoff, igualar a zero a soma das tenses da malha
fechada em questo;
4. A partir do passo 3, so obtidas as equaes necessrias para anlise das
correntes de malha. Sendo assim, tem-se um sistema linear em que as
variveis so as correntes de malha do circuito. Portanto, basta resolver este
sistema linear da forma que lhe for mais conveniente.
8.4) MTODO DAS CORRENTES DE MALHA + FONTES
DEPENDENTES
Quando existem fontes dependentes no circuito em anlise, basta seguir o
mesmo procedimento para o caso de circuito sem fontes dependentes e ento adicionar
as equaes impostas pela presena da fonte dependente s equaes das correntes de
malha obtidas.
EXEMPLO 2 -Determinar as correntes de malha indicadas no circuito a seguir.
Fig 14 - Circuito Usado para ilustrar o mtodo das correntes de malha.
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Fig. 9.36 pg. 299
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( ) ( )( )( ) ( ) 15016121413
150161221
1
21
211
=
=++
IjIj
IIjIj
Malha
( )( ) ( ) 039311612
2
212 =+++
xIIjIIj
Malha
21
:III
mas
x =
( ) ( ) 013261627:)2(
21 =++ IjIj
malhadoSubstituin ( ) ( )
( ) ( )
=
++
0
150
13261627
16121413
:
2
1
I
I
jj
jj
Assim
SOLUO:
52261 jI = A
58242 jI = A
No MATLAB:
8.5) CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THVENIN E NORTONEm diversos casos, durante a anlise dos circuitos eltricos, o objetivo obter o
comportamento em pontos especficos do circuito. Ao ligar um forno em casa, no
estamos preocupados com os efeitos sobre a tenso nas outras tomadas, ou seja, o nosso
interesse limita-se a um par de terminais.
A teoria sobre anlise de circuitos eltricos no domnio da freqncia apresenta
mtodos que facilitam bastante os procedimentos de soluo dos mesmos uma vez que
permitem uma fcil simplificao dos circuitos. Os circuitos equivalentes de Thvenin eNorton so circuitos simplificados que tm mesmo funcionamento do ponto de vista do
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par de terminais de interesse. Desta forma, pode-se afirmar que qualquer circuito
eltrico composto por elementos lineares pode ser representados pelos seus respectivos
circuitos equivalentes de Thvenin e Norton.
Para determinar o circuito equivalente de Thvenin, deve-se seguir o seguinte
procedimento:
1. Calcular a tenso de circuito aberto ThV entre os terminais a e b de
interesse;
2. Colocar uma fonte de corrente de 1A entre os terminais a e b e em
seguida calcular a tenso sobre esta mesma fonte ccV , curto-circuitando as
fontes de tenso e abrindo os circuito nas fontes de corrente;
3. Calcular a resistncia de Thvenin atravs da expresso cccc
Th VV
Z 1
== ;
Assim, obtm-se o seguinte circuito equivalente de Thvenin:
Fig 15 Circuito equivalente de Thvenin
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Fig. 9.25 pg. 295
O circuito equivalente de Norton formado por uma fonte independente de
corrente NI em paralelo com uma resistncia NR . Considerando que este circuito
equivalente pode ser obtido a partir do circuito equivalente de Thvenin, deve-se seguiro seguinte procedimento para obteno do circuito de Norton:
1. Calcular o circuito equivalente de Thvenin segundo o procedimento
especificado anteriormente;
2. Realizar transformao da fonte de tenso para fonte de corrente. Veja que
neste caso, a resistncia de Thvenin igual resistncia de Norton.
Assim, obtm-se o circuito equivalente de Norton mostrado a seguir:
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Fig 16 Circuito equivalente de Norton
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Fig. 9.25 pg. 295
EXEMPLO 3 -Determinar o circuito equivalente de Thvenin e em seguida, calcular
a corrente por um resistor de 1 inserido entre os terminais a e b.
Fig 17 Circuito para anlise de circuitos equivalentes
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Fig 9.27 pg. 295 Exemplo 9.9
1a transformao(tenso - corrente): )(31,124 ParalelojZAjI +==
Paralelo das impedncias: ( ) ( ) +=+= 4,28,139//31 jjjZ
2a transformao de fonte(corrente-tenso): )(4,28,1,1236 SriejZVjV +==
Srie das impedncias: ( ) ( ) +=+++= 326,02,04,28,1 jjjZ
Assim:
( ) ( )[ ]Aj
jj
jI 08,156,1
191032
12360 +=
++
=
Calculando o circuito equivalente de Thvenin teramos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) +=+=
=+==
84,263,232//1910
84,1812,3608,156,119101910 0jjjZ
VjjIjV
Th
Th
Ento, adicionando o resistor de 1 , teramos uma corrente de AjI 05,865,31 = .
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No MATLAB:
8.6) O PRINCPIO DA SUPERPOSIO
Ao longo deste material, foram vistos diversos tipos de circuitos. Dentre os
circuitos apresentados, possvel perceber que o nmero de fontes de tenso e/ou
corrente que alimentam os circuitos varia bastante. Num sistema eltrico de potncia,
por exemplo, existem vrios geradores atuando na alimentao das cargas, fato este que
evidencia a necessidade do engenheiro de conhecer os melhores caminhos para anlise
de um circuito com mais de uma fonte de alimentao.
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Geralmente, a soluo de circuitos com mltipla alimentao torna-se bastante
complexa, fato este que evidencia a necessidade de mtodos que possam simplificar o
procedimento de anlise do circuito.
De acordo com James W. Nilson e Susan A. Riedel, 2003, segundo o princpio
da superposio, nos casos em que um sistema linear excitado ou alimentado por
mais de uma fonte de energia, a resposta total a soma das respostas a cada uma das
fontes agindo separadamente. Entretanto, em alguns casos o uso do princpio da
superposio pode dificultar a soluo do problema, de forma que mais indicado para
circuitos que possuem fontes independentes de tipos distintos (CA e CC).
EXEMPLO 4 - Determinar as correntes indicadas no circuito a seguir atravs do
princpio da superposio.
Fig 18 Princpio da superposio
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Fig. 4.62 pg. 106
Substituindo inicialmente a fonte de corrente por um circuito aberto, temos:
VV
VVV
30
04236
120
1
111
=
=+
++
Aii
Ai
Ai
Logo
56
30
103
30
156
30120
:
43
2
1
==
=
==
=
=
Substituindo agora a fonte de tenso por um curto-circuito, temos:
VV
VVLogo
VVV
Tambm
VVVV
24
12:
01222
:
0263
4
3
434
4333
=
=
=++
=
++
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AV
i
AVV
i
AV
i
AV
i
Ento
64
24
4
62
2412
2
4
3
12
3
26
12
6
:
44
433
32
31
=
==
=+
=
=
=
==
==
=
Aiii
Aiii
Aiii
Aiii
165
1165
6410
17215
444
333
222
111
==
+
=
=+=
+
=
==
+
=
=+=
+
=
No MATLAB:
---------------------------------------------------------------AULA 4
---------------------------------------------------------------
9 - RESPOSTAS DOS CIRCUITOS RL E RC A UM
DEGRAUDidaticamente, circuitos RL e RC alimentados por fontes contnuas so bastante
utilizados em disciplinas que envolvem o estudo de circuitos eltricos. Sendo assim,
neste tpico, explicitaremos a anlise destes circuitos evidenciando seu comportamente
sempre visando uma implementao do modelo atravs do MATLAB.
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Cada circuito eltrico tem um comportamento distinto quando submetido
aplicao brusca de uma tenso ou corrente. Este comportamento conhecido como
resposta a um degrau.
Neste caso, no exame da resposta dos circuitos RL e RC a um degrau, possvel
verificar o comportamento destes circuitos durante a fase em que a energia est sendo
armazenada no indutor ou capacitor.
Resposta de um Circuito RL a um degrau
Para este caso, a energia inicial do circuito expressa como um valor inicial da
corrente circulante pelo indutor, ou seja, ( )0i . Portanto, o objetivo desta anlise obter
expresses para a corrente no circuito e para as tenses entre os terminais do indutor
durante seu carregamento.
Ento temos:
Fig 19 Resposta a um degrau de um circuito RL
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Fig. 7.16 pg. 204
Logo:
dtR
Vi
L
Rdi
dtR
Vi
L
Rdt
dt
di
R
Vi
L
R
L
VRi
dt
di
dt
diLRiV
S
S
SS
S
=
=
=
+=
+=
( )
( )t
L
R
RVI
RVti
tdL
R
RVi
id
dtL
R
RVi
di
Assim
S
S
ti
I
t
S
S
=
=
=
0
0
ln
:
0
( )t
L
R
S
S
e
RVI
RVti
Logo
=
0
:
( )( )tLRSS e
R
VI
R
Vti
+= 0
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Considerando ento que a tenso nos terminais do indutor dada por
dt
diLv = ( ) ( )tLRS e
R
VIL
Rv
= 0
As equaes acima demonstradas do suporte para as anlises do circuito
proposto. A seguir, exemplos de circuito RL alimentado por fonte CC resolvido
analiticamente e atravs do MATLAB.
Resposta de um Circuito RC a um degrau
Para o caso de um circuito RC, a energia inicial do circuito expressa como um
valor inicial da tenso sobre o capacitor, ou seja, ( )0V . Sendo assim, o objetivo desta
anlise obter expresses para a corrente no circuito e para as tenses entre os terminais
do capacitor durante seu carregamento.
Ento tomemos como exemplo:
Fig 20 Resposta a um degrau de um circuito RC
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Fig. 7.21 pg. 207
Logo:
( )
( )dtIRvRC
dv
IRvRCRC
v
C
I
dt
dvC
I
RC
v
dt
dv
IR
v
dt
dvC
SCC
SCCSC
SCC
SCC
.1
.1
=
==
=+
=+
( )
( ) ( )( )
tRCIRV
IRtv
tdRCIRv
dv
Assim
S
SC
ttv
VSC
C
1..ln
1
.
:
0
00
=
=
( ) ( )
( )
tRC
S
SC eIRV
IRtv
Ento1
0 .
.
:
=
( ) ( )t
RCSSC eIRVIRtv
1
0 ..
+=
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Considerando ento que a corrente circulante pelo capacitor dada por
=dt
dvCi C ( ) ( ) =
tRC
S eIRVCRC
ti1
0 .1
( )t
RCS e
R
VIti
10
=
As equaes acima demonstradas do suporte para as anlises do circuito
proposto. A seguir, exemplos de circuito RC alimentado por fonte CC resolvido
analiticamente e atravs do MATLAB.
10 - RESPOSTA A NATURAL E A UM DEGRAU DE
UM CIRCUITO RLC SRIE E PARALELOA compreenso do funcionamento de circuitos RLC srie ou paralelo de
grande relevncia uma vez que, seu comportamento apresenta caractersticas semlhantes
a inmeros fenmenos abordados na engenharia eltrica. A resposta de circuitos deste
tipo apresentam oscilaes at entrarem em regime, oscilaes estas semelhantes aos
verificados em fenmenos de desligamento de transformadores, transitrios em sistemas
de potncia, controle de motores, entre outros.
As oscilaes verificadas nas respostas destes circuitos a um degrau podem ser
classificadas como:
1. Super-amortecidas2. Sub-amortecidas3. Criticamente amortecidasA forma assumida pela resposta do circuito RLC, seja ele paralelo ou srie,
depende dos valores da freqncia de Neper ( ), a qual reflete o efeito da resistncia
no circuito, e da freqncia angular de ressonncia ( 0 ). Assim, dependendo dos
valores destas freqncias, as solues destes circuitos variam, apresentando diferentes
comportamentos de amortecimento. Portanto, a seguir, apresentado um procedimento
simplificado para a obteno da soluo destes circuitos. Veja:
1. Verificar os valores de e de 0
2. Verificar as condies a seguir:
a. Se 202 > Superamortecido - A tenso ou corrente chega ao
valor final sem oscilaes;
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b. Se 202
< Subamortercido - A tenso ou corrente oscila antes
de chegar ao valor final;
c. Se 202
= Criticamente amortecido - A tenso ou corrente
oscila antes de chegar ao valor final;
3. Dependendo da classificao do amortecimento a partir do tpico anterior,
utilizar as equaes apresentadas na Tabela 1 como resposta do sistema.
Amortecimento Equao da Resposta NaturalEquaes dos coeficientes -
Resposta Natural
Superamortecido ( ) tsts eAeAtx 21 21 += ( ) 210 AAx +=
Subamortecido ( ) ( ) tdd etBtBtx += sincos 21
( )
( )
220
21
1
:
0
0
=
+=
=
d
d
onde
BBdtdx
Bx
Criticamente
amortecido( ) ( ) teDtDtx += 21
( )
( ) 21
2
0
0
DDdt
dx
Dx
=
=
Amortecimento Equao da Resposta a um DegrauEquaes dos coeficientes
Resposta a um degrauSuperamortecido ( ) tstsf eAeAXtx
2121 ++= ( ) 210 AAXx f ++=
Subamortecido ( ) ( ) tddf etBtBXtx ++= sincos 21
( )
( )
220
21
1
:
0
0
=
+=
+=
d
d
f
onde
BBdt
dx
BXx
Criticamenteamortecido
( ) ( ) tf eDtDXtx
++= 21
( )
( ) 21
2
0
0
DDdt
dx
DXx f
=
+=
Equao caracterstica:
RLC srie e paralelo02 20
2=++ ss
Razes 20
221, =ss
Tabela 1 Equaes das respostas de um circuito RLC em paralelo ou em srie
Sendo assim, utilizando o procedimento descrito, possvel solucionar os
circuitos a seguir. No MATLAB, as curvas podem ser evidenciadas.
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EXEMPLO 5 -Determinar a expresso de ( )tiL paraR=400, sabendo que a energia
inicial do circuito zero e que em t=0s, uma fonte de corrente de I=24mA ligada ao
circuito.
Fig 21 Resposta a um degrau de um circuito RLC paralelo
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exemplos 8.6, 8.7 e 8.8 pg. 256 e 257
Valor inicial de Li :
Energia inicial zero, ento .00 AiL =+
Valor inicial dedt
diL :
Energia inicial zero, ento ( ) .00 =+dt
diL
Verificando o tipo de amortecimento:
824
9
812
0
1025/105254002
10
2
1
/10162525
101
==
==
=
==
sradRC
sradLC
Ento, temos uma resposta do sistema superamortecida, pois 202
> .
Razes:
srads
srads
/80000103105
/2000010310544
2
441
==
=+=
Expresso:
( ) tstsfL eAeAIti 21 21 ++=
Mas:
( )( )
=
=
=+=
=++=
mAA
mAA
AsAsdt
diAAIi
L
fL
8
32
00
00
2
1
2211
21
Logo:
( ) stmAeeti ttL 0,832248000020000
+=
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 10-3
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025Grfico do tempo versus corrente no indutor
Tempo(s)
Correntenoindutor(A)
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11 - POTNCIA COMPLEXAExistem inmeros conceitos envolvidos no estudo de potncias em circuitos
senoidais, porm, no intuito de facilitar o entendimento desta anlise trataremos apenas
da potencia complexa a qual traz informaes suficientes sobre a potncia dos circuitoseltricos em anlise.
A potncia complexa, expressa em volt-ampre(VA), dada pela soma entra a
potncia ativa (unidade W) com a potncia reativa (unidade var) multiplicada porj.
jQPS +=
Uma das vantagens de se utilizar a potncia complexa nas anlises, que esta
permite uma anlise geomtrica, na qual originado o tringulo de potncia. Veja:
Fig 22 - Tringulo de potncia
Fonte: Wikipdia
A relao entre a potncia til do circuito (potncia ativa) e a potncia total do
circuito(potncia aparente) denominada fator de potncia. Sendo assim, o cosseno do
ngulo equivalente ao valor do fator de potncia do circuito em questo.
Ento, considerando que tratam-se de potencias em circuitos senoidais, ento as
potncias sero dadas por:
22
:
sincos
QPS
onde
SQSP
+=
=
=
Fasorialmente, teramos que a potncia aparente dada por:
= SS
Analiticamente, a potncia pode ser demonstrada a partir das expresses da
corrente e da tenso a seguir:
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J temos conhecimento dos valores das correntes de malha do circuito. Perceba que as
correntes que passam pelas fontes de tenso so 1I e 2I respectivamente.
52261 jI = A
58242 jI = A
Assim, temos que:
( ) ( )
( ) ( )
VAS
OujS
jS
jS
IVS
oindepfonte
indepfonte
oindepfonte
oindepfonte
indepfonteindepfonte
56,1167,8720
78003900
52260150
52260150
_
_
_
*_
*1__
=
+=
+=
=
=
( ) ( )
( ) ( )
VAS
Ou
jS
jjS
jIIIMas
jIS
IVS
odepfonte
depfonte
depfonte
x
xdepfonte
depfontedepfonte
91,4056,15482
1014011700
58246239
62:
582439
_
_
_
21
*_
*2__
=
+=
=
==
=
=
Plotando os diagramas fasoriais no MATLAB, temos:
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---------------------------------------------------------------AULA 5
---------------------------------------------------------------10 - RESOLUO DE CIRCUITOS NO AMBIENTE MATLAB
EXERCCIO 1 -Determinar as potncias associadas s trs fontes do circuito.
Fig 23 - Mtodo das tenses de n
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exerccio 4.7 pg. 83
RESPOSTAS: WPWPWP AiV 80,144,150 5350 1 ===
EXERCCIO 2 - Determinar ( )tv para fontes de tvs sin100= V e tIs cos10= A,
sendo skrad/50= .
Fig 24 Mtodo das tenses de n
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exerccio 9.17 pg 299
RESPOSTA: ( ) ottv 57,7150000cos62,31 = V
EXERCCIO 3 Determinar as potncia fornecidas pelas fontes de tenso.
Fig 25 - Mtodo das Correntes de Malha com fonte dependente
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Fig. 4.12 pg. 89
RESPOSTA:o
jI 95,307,29229 =+= A
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EXERCCIO 4 - Determinar I atravs do mtodo das malhas.
Fig 26 - Mtodo das correntes de malha
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exerccio 9.18 pg. 300
RESPOSTA: ojI 95,307,29229 =+= A
EXERCCIO 5 -Determinar 0v atravs do mtodo da superposio.
Fig 27 Princpio da superposio
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exemplo 4.13 pg. 107
RESPOSTA: 240 =v V
EXERCCIO 6 - Em t=0s, a chave passa da posio a para a posio b.
Determinar plotar ( )ti e ( )tv em funo de t.
Fig 28 Respostado circuito RL
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exemplo 7.5 pg.205 fig. 7.19
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EXERCCIO 7 - Em t=0s, a chave passa da posio a para a posio b.
Determinar plotar ( )ti e ( )tvC em funo de t.
Fig 29 Resposta a um degrau de um circuito RC
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exemplo 7.7 pg.209 fig. 7.25
EXERCCIO 8 -Em t=0s, a fonte I=24mA ligada. Determinar a expresso de ( )tiL ,
para R=400, 500 e 625. Em seguida plot-la no MATLAB.
Fig 30 Resposta a um degrau de um circuito RLC paralelo
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exemplos 8.6, 8.7 e 8.8 pg. 256 e 257
RESPOSTAS: ( ) ( ) stpmAeeti ttL 0/,832248000020000
+=
( ) ( ) stpmAeteti ttL 0/,24960000244000040000
=
( ) ( ) ( ) stpmAteteti ttL 0/,24000sin3224000cos24243200032000
=
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE UFCGCENTRO DE ENGENHARIA ELTRICA E INFORMTICA CEEIUNIDADE ACADMICA DE ENGENHARIA ELTRICA UAEE
PROGRAMA DE EDUCAO TUTORIAL PET
TUTOR: EDMAR CANDEIA GURJO
MINI-CURSO:
ANLISE E SIMULAO DE CIRCUITOSELTRICOS NO AMBIENTEMATLAB
1 Edio
RESOLUO EXERCCIOS
AUTORES: Felipe Vigolvino Lopes (PET-Eltrica/UFCG)
Outubro de 2008
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EXERCCIO 1 -Determinar as potncias associadas s trs fontes do circuito.
Fig 23 - Mtodo das tenses de n
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exerccio 4.7 pg. 83
clearclc%---------------------------------------------------------------- %MINI-CURSO DE SIMULAO DE CIRCUITOS ELTRICOS NO AMBIENTE MATLAB%----------------------------------------------------------------
fprintf('\nEXERCCIO 1\n')Vf=50;If=5;R1=6;R2=8;R3=2;R4=4;%Sistema Linear - A.x = B:A = [((4/R1)+(1/R2)+(1/R3)) -(1/R3);-((3/R1)+(1/R3)) ((1/R3)+(1/R4))];B = [(4*Vf/R1);(If-(3*Vf/R1))];V=A\B;%Tenses:V1=V(1);V2=V(2);%Potncias:i1=((Vf-V1)/6);P50v=Vf*i1;P3i1=(V1-V2)*3*i1;P5A=V2*If;%Escrevendo as respostas:fprintf('Tenses:\n')fprintf('V1 = %.2fV\n',V1)fprintf('V2 = %.2fV\n',V2)fprintf('Potncias:\n')fprintf('P50V = %.2fW\n',P50v)fprintf('P3i1 = %.2fW\n',P3i1)fprintf('P5A = %.2fW\n',P5A)
RESPOSTAS: WPWPWP AiV 80,144,150 5350 1 ===
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EXERCCIO 2 - Determinar ( )tv para fontes de tvs sin100= V e tIs cos10= A,
sendo skrad/50= .
Fig 24 Mtodo das tenses de n
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel,
Exerccio 9.17 pg 299
clearclc%---------------------------------------------------------------- %MINI-CURSO DE SIMULAO DE CIRCUITOS ELTRICOS NO AMBIENTE MATLAB%----------------------------------------------------------------
fprintf('\nEXERCCIO 2\n')%Conversores de fase:rad=pi/180;graus=180/pi;%Fontes:tetaV=-90*rad;%(cos(a-90)=sin(a))tetaI=0*rad;Vf=100*(cos(tetaV)+sin(tetaV)*i);If=10*(cos(tetaI)+sin(tetaI)*i);%Componentes:R1=5;R2=20;L=100e-6;C=9e-6;%Freqncia Angular:w=50e3;%Operador s:s=w*i;%Expresso fasorial para V:V=((Vf/R2)+If)/((1/R1)+(1/R2)+(s*C)+(1/(s*L))); %Tenses:Vmod=abs(V);VfaseRad=angle(V);VfaseGraus=VfaseRad*graus;%Escrevendo as respostas:fprintf('Tenso V(t):\n')fprintf('v(t) = %.2fcos(%.3fwt %+.2f)V\n',Vmod,w,VfaseGraus)
dt=10e-7;tmax=1e-3;t=[0:dt:tmax];v=Vmod*cos((w.*t+VfaseRad));Vs=abs(Vf)*sin(w.*t);Is=abs(If)*cos(w.*t);plot(t,v,t,Vs,t,Is),gridtitle('grfico - Exerccio 2')xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Amplitudes')legend('Tenso v(t)','Fonte de tenso','Fonte de corrente')
RESPOSTA: ( ) ( )ottv 57,7150000cos62,31 = V
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EXERCCIO 3 Determinar as potncia fornecidas pelas fontes de tenso.
Fig 25 - Mtodo das Correntes de Malha com fonte dependente
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Fig. 4.12 pg. 89
clearclc%---------------------------------------------------------------- %MINI-CURSO DE SIMULAO DE CIRCUITOS ELTRICOS NO AMBIENTE MATLAB%----------------------------------------------------------------
fprintf('\nEXERCCIO 3\n')%FontesVf1=25;Vf2=10;%Componentes:R1=2;R2=5;R3=3;R4=1;
R5=14;%Sistema Linear: (A.x = B)A=[(R1+R2) (-R2) (-R1);(-R2) (R2+R3+R4) (-R3);(-R1) (2*R3) ((-2*R3)+R1+R5)];B=[(Vf1-Vf2);(Vf2);(0)];I=A\B;I1=I(1);I2=I(2);I3=I(3);%Potncias:Vphi=R3*(I2-I3);Vdep=(-3*Vphi);P25V=Vf1*I1;P10V=Vf2*(I2-I1);Pdep=Vdep*I3;%Escrevendo as respostas:fprintf('Potncias:\n')fprintf('P25V = %.2f W\n',P25V)fprintf('P10V = %.2f W\n',P10V)fprintf('Pdep = %.2f W\n',Pdep)
RESPOSTA: ojI 95,307,29229 =+= A
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EXERCCIO 4 - Determinar I atravs do mtodo das malhas.
Fig 26 - Mtodo das correntes de malha
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exerccio 9.18 pg. 300
clearclc%---------------------------------------------------------------- %MINI-CURSO DE SIMULAO DE CIRCUITOS ELTRICOS NO AMBIENTE MATLAB%----------------------------------------------------------------
fprintf('\nEXERCCIO 4\n')%Conversores:rad=pi/180;%FontesVfmod=33.8;VfFasegraus=0;VfFaseRad=VfFasegraus*rad;Vf=Vfmod*(cos(VfFaseRad)+sin(VfFaseRad)*i);%Componentes:R1=1;R2=3;R3=2;XL=2*i;XC=-5*i;%Sistema Linear: (A.x = B)A=[(R1+R2+XL+XC) -(R2+XC);((0.75*R3*XC)-(R2+XC)) (R2+R3+XC-(0.75*R3*XC))];B=[(Vf);(0)];I=A\B;I1=I(1);I2=I(2);%Escrevendo as respostas:fprintf('Corrente(Retangular):\n')fprintf('I = %.2f %+.2fA\n',real(I1),imag(I1))fprintf('Corrente(Polar):\n')fprintf('I = %.2f/_%+.2fA\n',abs(I1),angle(I1)*inv(rad))
RESPOSTA: ojI 95,307,29229 =+= A
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EXERCCIO 5 -Determinar 0v atravs do mtodo da superposio.
Fig 27 Princpio da superposio
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exemplo 4.13 pg. 107
clearclc%---------------------------------------------------------------- %MINI-CURSO DE SIMULAO DE CIRCUITOS ELTRICOS NO AMBIENTE MATLAB%----------------------------------------------------------------
fprintf('\nEXERCCIO 5\n')%FontesVf=10;If=5;%Componentes:R1=5;R2=20;R3=10;%Sistema Linear: (A.x = B)for caso=1:2
if caso==1A=[(inv(R1)+inv(R2)) (-0.4);(0) (inv(R3)+0.4)];B=[(0);(If)];V=A\B;v0(1)=V(1);vA(1)=V(2);
endif caso==2
A=[(inv(R1)+inv(R2)) (-0.4);(0) (1+(0.4*R3))];B=[(Vf/R1);(0)];V=A\B;v0(2)=V(1);vA(2)=V(2);
endend%Tenso:V0=sum(v0);VA=sum(vA);%Escrevendo as respostas:fprintf('Corrente:\n')fprintf('IA = %.2f A\n',(Vf-V0)/R1)fprintf('Tenses:\n')fprintf('V0 = %.2f V\n',V0)fprintf('VA = %.2f V\n',VA)
RESPOSTA: 240 =v V
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EXERCCIO 7 - Em t=0s, a chave passa da posio a para a posio b.
Determinar plotar ( )ti e ( )tvC em funo de t.
Fig 29 Resposta a um degrau de um circuito RC
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel,
Exemplo 7.7 pg.209 fig. 7.25
clearclc%---------------------------------------------------------------- %MINI-CURSO DE SIMULAO DE CIRCUITOS ELTRICOS NO AMBIENTE MATLAB%---------------------------------------------------------------- fprintf('\nEXERCCIO 7\n')%Tempo:tmax=1;dt=10e-7;t=[0:dt:tmax];%FontesVs=90;Vf=40;R=400e3;R1=60;R2=20;C=0.5e-6;%Condies iniciais:V0=(R1/(R1+R2))*-Vf;%Divisor de tenso%Transformao de fonte(Tenso-Corrente):Is=Vs/R;%Corrente iL pelo indutor:vC=(Is*R)+(V0-(Is*R))*exp((-1/(R*C)).*t);%Tenso vL sobre o indutor(iC=C*dvC/dt):iC=C*((-1/(R*C))*(V0-(Is*R))*exp((-1/(R*C)).*t)); %Plotando:figure(1),plot(t,iC),gridlegend('Corrente iC(A)',0)xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Amplitude(A)')title('Grfico da corrente - no Capacitor')figure(2),plot(t,vC),gridlegend('Tenso vC(V)',0)xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Amplitude(V)')title('Grfico da tenso - no Capacitor')
RESPOSTAS:
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EXERCCIO 8 -Em t=0s, a fonte I=24mA ligada. Determinar a expresso de ( )tiL ,
para R=400, 500 e 625. Em seguida plot-la no MATLAB.
Fig 30 Resposta a um degrau de um circuito RLC paralelo
Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exemplos 8.6, 8.7 e 8.8 pg. 256 e 257clearclc%--------------------------------------%MINI-CURSO DE SIMULAO DE CIRCUITOS
% ELTRICOS NO AMBIENTE MATLAB%--------------------------------------fprintf('\nEXERCCIO 8\n')%Valores dos componentes e fontes:If=24e-3; %Fonte de correnteR=[400 625 500]; %ResistnciaC=25e-9; %CapacitnciaL=25e-3; %Indutncia
%Tempo mximo de simulao:tmax=0.4e-3;dt=10e-8;%Vetor tempo:
t=[0:dt:tmax];%Nmero de pontos:TAM=length(t);
%Criando vetores:iL=zeros(1,TAM);didt=zeros(1,TAM);
%Condies iniciais:iL(1)=0;didt(1)=0;
%Varificando tipo de resposta:w0=sqrt(1/(L*C));for k=1:3
alfa(k)=1/(2*R(k)*C);%Eq. Caracterstica:poly=[1 (2*alfa(k)) (w0^2)];S=roots(poly);s2(k)=S(1);%Usando -b-sqrt(delta)/2as1(k)=S(2);%Usando -b+sqrt(delta)/2a
%Identificao do tipo de amortecimento:alfaAux = (alfa(k)^2);w0Aux = (w0^2);if alfaAux > w0Aux
caso(k)=1;%Superamortecidoend
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if alfaAux < w0Auxcaso(k)=2;%Subamortecido
endif alfaAux == w0Aux
caso(k)=3;%Criticamente amortecidoend
endfor k=1:3
if caso(k)==1%Obtendo coeficientes:a=[1 1;s1(k) s2(k)];b=[(iL(1)-If);didt(1)];A=a\b;A1=A(1);A2=A(2);
%Simulao dos pontos:for tempo=1:TAM
iL(tempo)=(If+A1*exp(s1(k)*t(tempo))+A2*exp(s2(k)*t(tempo))); endiL1=iL;
endif caso(k)==2
%Obtendo coeficientes:wd=sqrt((w0^2)-(alfa(k)^2));a=[1 0;(-alfa(k)) wd];b=[(iL(1)-If);didt(1)];B=a\b;B1=B(1);B2=B(2);
%Simulao dos pontos:for tempo=1:TAMiL(tempo)=If+(B1*cos(wd*t(tempo))+B2*sin(wd*t(tempo)))*exp((-
alfa(k))*t(tempo));endiL2=iL;
endif caso(k)==3
%Obtendo coeficientes:a=[0 1;1 (-alfa(k))];b=[(iL(1)-If);didt(1)];D=a\b;D1=D(1);
D2=D(2);
%Simulao dos pontos:for tempo=1:TAMiL(tempo)=(If+(D1*t(tempo)*exp((-
alfa(k))*t(tempo)))+(D2*exp((-alfa(k))*t(tempo)))); endiL3=iL;
endend
%Escrevendo as respostas:fprintf('\nRazes - R=400ohm:\n')fprintf('s1 = %.3f\n',s1(1))fprintf('s2 = %.3f\n',s2(1))
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fprintf('Coeficientes:\n')fprintf('A1 = %.3f\n',A1)fprintf('A2 = %.3f\n',A2)fprintf('\nRazes - R=625ohm:\n')fprintf('s1 = %.3f\n',s1(2))fprintf('s2 = %.3f\n',s2(2))
fprintf('Coeficientes:\n')fprintf('B1 = %.3f\n',B1)fprintf('B2 = %.3f\n',B2)fprintf('wd = %.3f rad/s\n',wd)fprintf('alfa = %.3f rad/s\n',alfa(2))fprintf('\nRazes - R=500ohm:\n')fprintf('s1 = %.3f\n',s1(3))fprintf('s2 = %.3f\n',s2(3))fprintf('Coeficientes:\n')fprintf('D1 = %.3f\n',D1)fprintf('D2 = %.3f\n',D2)
%Plotar graficos:plot(t,iL1,t,iL2,t,iL3),gridlegend('Caso - R=400ohm','Caso - R=625ohm','Caso - R=500ohm',0)title('Grfico da corrente no indutor versus tempo')xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Corrente no indutor(A)')
FORMA ALTERNATIVA:
Trata-se de uma resoluo mais objetiva. Porm, para os usurios de menor
experincia, torna-se uma resoluo de compreenso mais difcil.
clearclc%--------------------------------------%MINI-CURSO DE SIMULAO DE CIRCUITOS% ELTRICOS NO AMBIENTE MATLAB%--------------------------------------fprintf('\nEXERCCIO 8\n')%Valores dos componentes e fontes:If=24e-3; R=[400 625 500]; C=25e-9; L=25e-3;%Tempo mximo de simulao:tmax=0.4e-3; dt=10e-8; t=[0:dt:tmax];%Condies iniciais:iL(1)=0; didt(1)=0;%Varificando tipo de resposta:w0=sqrt(1/(L*C));for k=1:3
alfa(k)=1/(2*R(k)*C);%Eq. Caracterstica:poly=[1 (2*alfa(k)) (w0^2)];S=roots(poly);s2(k)=S(1);%Usando -b-sqrt(delta)/2as1(k)=S(2);%Usando -b+sqrt(delta)/2a
%Identificao do tipo de amortecimento:alfaAux = (alfa(k)^2);w0Aux = (w0^2);if alfaAux > w0Aux
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%Superamortecidoa=[1 1;s1(k) s2(k)];b=[(iL(1)-If);didt(1)];A=a\b;A1=A(1);A2=A(2);
%Simulao dos pontos:iL1=(If+A1*exp(s1(k).*t)+A2*exp(s2(k).*t)); endif alfaAux < w0Aux
%Subamortecido%Obtendo coeficientes:
wd=sqrt((w0^2)-(alfa(k)^2));a=[1 0;(-alfa(k)) wd];b=[(iL(1)-If);didt(1)];B=a\b;B1=B(1);B2=B(2);%Simulao dos pontos:iL2=If+(B1.*cos(wd.*t)+B2.*sin(wd.*t)).*exp((-alfa(k)).*t);
endif alfaAux == w0Aux
%Criticamente amortecido%Obtendo coeficientes:
a=[0 1;1 (-alfa(k))];b=[(iL(1)-If);didt(1)];D=a\b;D1=D(1);D2=D(2);%Simulao dos pontos:iL3=(If+(D1.*t.*exp((-alfa(k)).*t))+(D2*exp((-alfa(k)).*t)));
endend%Escrevendo as respostas:fprintf('\nRazes\n')fprintf('R=400.00ohm: R=625.00ohm: R=500.00ohm:\n')fprintf('s1=%.2f s1=%.2f s1=%.3f\n',s1(1),s1(2),s1(3))fprintf('s2=%.2f s2=%.2f s2=%.3f\n',s2(1),s2(2),s2(3))fprintf('Coeficientes:\n')fprintf('A1 = %.2f B1 = %.2f D1 = %.2f\n',A1,B1,D1)fprintf('A2 = %.2f B2 = %.2f D2 = %.2f\n',A2,B2,D2)fprintf('Freqncias auxiliares:\n')fprintf(' wd = %.2f rad/s\n',wd)fprintf('alf= %.2f rad/s alf= %.2f rad/s alf= %.2frad/s\n',alfa(1),alfa(2),alfa(3))
%Plotar graficos:plot(t,iL1,t,iL2,t,iL3),grid
legend('Caso - R=400ohm','Caso - R=625ohm','Caso - R=500ohm',0)title('Grfico da corrente no indutor versus tempo')xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Corrente no indutor(A)')
3o MTODO COM ENTRADA DE DADOS
Neste caso, possvel entrar, atravs do prompt, com o valor da resistncia.
clearclc%--------------------------------------%MINI-CURSO DE SIMULAO DE CIRCUITOS% ELTRICOS NO AMBIENTE MATLAB%--------------------------------------fprintf('\nEXERCCIO 8\n')
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%Valores dos componentes e fontes:R = input('Valor da resistncia do circuito:\nR = ');If=24e-3; C=25e-9; L=25e-3;%Tempo mximo de simulao:tmax=0.4e-3; dt=10e-8; t=[0:dt:tmax];%Condies iniciais:
iL(1)=0; didt(1)=0;%Varificando tipo de resposta:w0=sqrt(1/(L*C));
alfa=1/(2*R*C);%Eq. Caracterstica:poly=[1 (2*alfa) (w0^2)];S=roots(poly);s2=S(1);%Usando -b-sqrt(delta)/2as1=S(2);%Usando -b+sqrt(delta)/2a
%Identificao do tipo de amortecimento:alfaAux = (alfa^2);
w0Aux = (w0^2);if alfaAux > w0Aux%Superamortecidofprintf('\nCaso: Superamortecido\n')fprintf('\nRazes - R=400ohm:\n')fprintf('s1 = %.3f\n',s1)fprintf('s2 = %.3f\n',s2)a=[1 1;s1 s2];b=[(iL(1)-If);didt(1)];A=a\b;A1=A(1);A2=A(2);%Simulao dos pontos:
iL=(If+A1*exp(s1.*t)+A2*exp(s2.*t)); endif alfaAux < w0Aux
%Subamortecidofprintf('\nCaso: Subamortecido\n')fprintf('s1 = %.3f\n',s1)fprintf('s2 = %.3f\n',s2)%Obtendo coeficientes:wd=sqrt((w0^2)-(alfa^2));a=[1 0;(-alfa) wd];b=[(iL(1)-If);didt(1)];B=a\b;B1=B(1);
B2=B(2);%Simulao dos pontos:iL=If+(B1.*cos(wd.*t)+B2.*sin(wd.*t)).*exp((-alfa).*t);
endif alfaAux == w0Aux
%Criticamente amortecidofprintf('\nCaso: Criticamente amortecido\n')fprintf('s1 = %.3f\n',s1)fprintf('s2 = %.3f\n',s2)%Obtendo coeficientes:a=[0 1;1 (-alfa)];b=[(iL(1)-If);didt(1)];D=a\b;D1=D(1);
D2=D(2);%Simulao dos pontos:
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iL=(If+(D1.*t.*exp((-alfa).*t))+(D2*exp((-alfa).*t))); end%Plotar graficos:plot(t,iL),gridtitle('Grfico da corrente no indutor versus tempo')xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Corrente no indutor(A)')
RESPOSTAS:
( ) ( ) stpmAeeti ttL 0/,832248000020000
+=
( ) ( ) stpmAeteti ttL 0/,24960000244000040000
=
( ) ( ) ( ) stpmAteteti ttL 0/,24000sin3224000cos24243200032000
=
0 1 2 3 4
x 10-4
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Tempo(s)
Correntenoindutor(A)
Grfico da corrente no indutor versus tempo
Caso - R=400ohm
Caso - R=625ohm
Caso - R=500ohm
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---------------------------------------------------------------REFERNCIAS
---------------------------------------------------------------
[1] Nilsson & Riedel, "Circuitos Eltricos", 6a edio, Ed. LTC Livros tcnicos e cientficos, 2003;
[2] Duane Hanselman & Bruce Littlefiled, MATLAB 6 - Curso
Completo, Ed. Prentice Hall, 2003;
[3] Mathworks Inc. Student Edition of MATLAB Version 5 for
Windows. Prentice Hall,Upper Saddle River,New Jersey, 1997;
[4] Hunt, B. R.; Lipsman, R. L.; Rosenberg, J. M.;A Guide To MATLAB
for Beginners and Experience Users. Cambridge, 1995.
[5] Gaspar, P. D.; Santo, A. E.; APONTAMENTOS DE MATLAB -
Introduo ao MATLAB. Universidade da Beira Interior, Editora
Abril 2002.
[6] Santos, R. J.. Introduo ao MATLAB.Universidade Federal de Minas
Gerais. 2005
[7] http://www.mathworks.com/
[8] http://pt.wikipedia.org/wiki/MATLAB
Esta apostila foi desenvolvida por alunos do PET Eltrica/UFCG:
Aula 1:
Autor: Nustenil Segundo de M. L. Marinus
Aula 2: