1 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran
Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR
AUTORES: DIEGO DIAS PINHEIRO E FILLIPE LUCCHIN PAUKNER ORIENTAO:
PROF. DR. JEAN PATRIC DA COSTA PATO BRANCO, JULHO 2014. 2 Ministrio
da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran Engenharia
Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR SUMRIO
1.INTRODUO
......................................................................................................
4 2.INICIALIZANDO O AMBIENTE MATLAB
............................................................. 6
3.CONCEITOS E COMANDOS FUNDAMENTAIS NO MATLAB
............................ 8 3.1 Operaes Matemticas, Relacionais
e Expresses Lgicas .......................... 10 3.2 Calculadora
Cientfica
......................................................................................
12 3.3 Formatos
Numricos........................................................................................
13 3.4 Funes Matemticas
......................................................................................
14 4.VETORES....
.......................................................................................................
18 4.1 Criando Vetores com Elementos Espaados de um Fator Constante
............. 19 4.2 Criando Vetores Especificando o Primeiro e
ltimo Termo; e em Seguida o Nmero de Termos.
...............................................................................................
20 4.3 Referncia a um Elemento do Vetor
................................................................ 21
4.3.1 Dois Pontos (:) Referenciando Elementos de Vetor
.................................. 22 4.4 Adicionando Elementos AO
Vetor
...................................................................
23 5. MATRIZES.......
.....................................................................................................
25 5.1 Referncia a um Elemento da Matriz
............................................................... 26
5.1.1 Dois pontos (:) Referenciando elementos da
matriz.................................. 27 5.2 Adicionando
Elementos a uma
Matriz..............................................................
28 5.3 Eliminando Termos de uma Matriz
..................................................................
29 5.4 Matrizes Elementares
......................................................................................
29 5.5 Operaes Bsicas com Matrizes
...................................................................
30 5.5.1 Adio e Subtrao
...................................................................................
31 5.5.2 Multiplicao
.............................................................................................
32 3 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran
Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 5.5.3
Transposta
................................................................................................
35 5.5.4 Inversa
......................................................................................................
36 5.5.5 Exponenciao
..........................................................................................
36 5.5.6 Determinante
.............................................................................................
37 5.6 Funes Nativas do Matlab com Vetores
........................................................ 39
6.POLINMIOS..
.......................................................................................................
44 6.1 Anlise Polinomial
...........................................................................................
44 6.1.1 Comando Polyval
......................................................................................
45 6.1.3 Multiplicao de Polinmios
......................................................................
46 6.1.4 Diviso de Polinmios
...............................................................................
46 6.1.5 Razes do Polinmio
.................................................................................
47 6.1.6 Calculo
......................................................................................................
48 7.GRFICOS...
......................................................................................................
50 7.1Comando - PLOT
.........................................................................................
50 7.1.1Comando Subplot
..................................................................................
54 7.2Comando
POLAR.........................................................................................
56 7.3Histogramas
.................................................................................................
57 8.PROGRAMAO .M
..........................................................................................
58 8.1Algoritmos .m
...............................................................................................
58 8.2Funo Disp e Fprintf
...................................................................................
61 4 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran
Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR
1.INTRODUO OMATLAB(MatrixLaboratory),foicriadoem1970porCleveMolerna
UniversidadedoNovoMxico,comointuitodeforneceraosseusalunosde
matemtica,asbibliotecasdeclculonumricoporeledesenvolvidasutilizandoo
fortran.Deumsoftwaredelaboratriodematrizes,tornou-seumsoftwarede
computaonumrica,deanliseedevisualizaodedados,podendofuncionar como
uma calculadora ou como uma linguagem de programao cientfica.Em
ambientes universitrios, o MATLAB converteu-se em uma ferramenta
bsicaparaprofessoresealunos,tornando-seumricoapoioemdisciplinascomo
lgebralinear,sistemaslineares,sistemasdecontrole,processamentodesinais,
entre outras disciplinas que compem as grades curriculares de
variados cursos de
graduao.OMATLABpossuiumambientedesimulaodeaplicaestotalmente
orientadoparaoperaesqueimpliquememclculosmatemticoscomplexoscom sua
visualizao grfica. possvel desfrutar da anlise numrica, clculo
matricial e processamento de sinais em um meio onde as solues dos
problemas matemticos so propostos de forma clara e objetiva, sem
necessidade de fazer uso de tcnicas de programao avanada.
Almdisso,nestepoderososoftwaredispem-setambmdeumamplo
conjuntodeprogramasdeapoioespecializado,denominadosToolboxes,que
otimizamotemponecessriopararealizarrotinas,umavezqueousuriopoder
utilizar funes pr-definidas. Estes Toolboxes cobrem praticamente
todas as reas
principaisnouniversodaengenharia,destacando-seentreelasatoolboxde
processamentodeimagens,sinais,controlerobusto,estatstica,anlisefinanceira,
clculo matemtico simblico, redes neurais, lgica fuzzy, identificao
de sistemas, simulao de sistemas dinmicos, entre outros.
OMATLABainda trabalhacomouminterpretador decdigo, de maneira
quenonecessriocompilaroscdigosdesenvolvidosparaele,osquaisso
executados em a medida que so lidos pelo programa. 5 Ministrio da
Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica
UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR PROPSITO DA APOSTILA
AUTFPRdispedelicenasinstitucionaisutilizadasparaoensinoem
diferentesdisciplinasdoscursosdegraduaoeps-graduao.Aversodo
MATLABabordadaaquinessaapostilaa2013a.Porm,versesanteriores
possuemtambmasferramentasnecessriasparaosestudosabordadosnessa
apostila. O softwareMATLAB um programaabrangente. Por esse motivo,
invivel
abordartodasasparticularidadesemumsmaterial.Opropsitodessaapostila
primeiramenteapresentarosfundamentosbsicosdoMATLAB.Umavez
consolidadoessesfundamentos,osestudantesserocapazesdeaprofundarem
tpicos mais avanados, muitas vezes recorrendo apenas ao menu Help
do prprio MATLAB. Os principais objetivos dessa apostila so tambm
impulsionar e fundamentar os estudos da ferramenta MATLAB, a partir
de noes bsicas. Bom Estudo! Estematerialtrata-sedeumaApostila
IntroduoaoMATLAB,elaborado pelo acadmico de engenharia eltrica
DiegoDiasPinheiroemsuaprimeira verso,atualizadopelomestrandoem
EngenhariaEltricaFillipeLucchin Paukner erevisado pelo Prof. Dr.
Jean Patric da Costa. 6 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica
Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL
DO PARANPR 2.INICIALIZANDO O AMBIENTE MATLAB
UmavezinicializadooMATLAB,aparecerajanelaprincipal,composta
dequatropequenasjanelas:CommandWindow,CurrentFolder,Workspace,
Command History. Esse o modo de abertura padro (default) do Matlab.
A verso do software utilizada para a elaborao da apostila o
Matlab2013a, portanto, para
terocontroledajanelaprincipal,bastaprocurarnabarradeferramentaspor
EnvironmentLayoutShowemarcaroudesmarcarasopes.Afigura1 apresenta as
quatro principais janelas de inicializao. Figura 1 - Janela Inicial
do MATLAB. CommandWindow:AprincipaljaneladoMATLAB.ativadasemprequeo
software inicializado. Nesta janela, o prompt padro(>>)
exibido na tela e, a partir deste ponto, o MATLAB espera as
instrues do usurio. 7 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica
Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL
DO PARANPR Current Folder: Exibe os arquivos presentes no diretrio
ou na pasta desejada; Workspace: Disponibiliza informaes sobre as
variveis e dados em uso; Command History: Apresenta o histrico dos
comandos mais recentes digitados
najanelaCommandWindow.Podesertilquandoprecisorepetiruma
sequnciadecomandosoulocalizarumasintaxedecomandousada
anteriormente. OutrajanelaimportanteoEditorM-files,nabarradeMenus
acessando New Script. Muitas vezes, tentar resolver um determinado
problema no MATLAB digitando muitos comandos seguidos
demasiadamente trabalhoso. E na janela Command Window cada vez que
a tecla Enter pressionada, o comando digitado executado. Dessa
maneira, caso deseje-se digitar comandos variados no
CommandWindownecessrioutilizarocomandoShiftEnter.Seforem
necessriasmodificaesoucorreesemumdeterminadocomandodasrie
executadaeosresultadosgeradosporelesafetaremcomandosemumacerta
sequnciaencadeada,todaasequnciadecomandodeveserselecionadae
executadanovamentenalinhadopromptdajanelaCommandWindow,isto,um
comando de srie deve ser chamado e executado outra
vez.UmaformadiferentedeexecutaroalgoritmonoMATLABcriandoum
arquivocomumalistadecomandos,salv-lae,ento,rodaroarquivo.Quandoo
arquivoexecutado,alistadecomandovaisendoprocessadanaordememque est
listada no arquivo. Caso seja necessrio realizar alguma modificao
na lista de comandos, basta modificar o algoritmo, salv-lo e
executar novamente. Os arquivos
criadoscomessepropsitosodenominadosrotinas,M-filesouscriptfiles.Na
sequnciaserorealizadasalgumasrotinas,paramelhorentendimentodo
funcionamento do software. A figura 2 apresenta a janela Editor,
onde os scripts M-files so gerados. 8 Ministrio da Educao
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UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR Figura 2 - Janela
Editor. 3.CONCEITOS E COMANDOS FUNDAMENTAIS NO MATLAB Observaes
quando ao uso da janela Command Window: Para digitar um comando, o
cursor deve ser posicionado junto aoprompt de comando (>>).
ParaqueocomandosejaexecutadobastarapertarateclaEnter,mas apenas o
ltimo comando ser executado.Vrios comandos podem ser digitados na
mesma linha, para realizar esse feito, basta separ-los por vrgulas.
Quando a tecla Enter for pressionada, os comandos so executados,
sucessivamente da esquerda para direita.
Oscomandosaindapodemserdigitadosemlinhaseparadasdesdeque separados
pelo comando Shift Enter. 9 Ministrio da Educao Universidade
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TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR Os comandos digitados so armazenados
em um buffer de comandos, no
qualpode-senavegarusandoasteclasseta-para-cimaeseta-para-baixo . Os
comandos terminados com ponto e vrgula ; no exibem as variveis
derespostanatela.Essecomandotilquandoaimpressodo
resultadonatelanointeressa,ouquando aimpressomuitoextensa
como,porexemplo,umamatriz100x100.Apesardaimpressoser suspensa, o
comando executado pelo programa.Deve-se tomar cuidado com as
declaraes de variveis, as quais devem
seriniciadascomletrasenopodemconterespaosoucaracteresde pontuao. O
mesmo tambm faz a distino entre as letras minsculas e maisculas
(case-sensitive).
Asvariveispodemserredefinidasaqualquermomento,bastando
apenasatribu-lasumnovovalor.Asmesmaspodemserexcludasdo espao de
trabalho usando o comando clear, Por exemplo: clear nome_da_varivel
Exclui somente a varivel especificada; clear ou clear all Exclui
todas as variveis do espao de trabalho; clc Limpa a tela Command
Window. Oscomandosdeajudasomuitoteis,atparaosusuriosmais
experientes,poisessescomandosensinamcomoutilizardeterminadas funes
ou comandos, Por exemplo:
helpaformamaissimplesdeconseguirajudacasovocsaiba exatamente o
tpico a respeito do qual necessita de informaes. lookfor Fornece
ajuda fazendo uma busca em toda a primeira linha dos
tpicosdeajudaeretornandoaquelesquecontmaspalavras-chaves
quevocespecificou.Omaisimportantequeapalavra-chaveno precisa ser um
comando no MALTAB. 10 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica
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DO PARANPR 3.1 OPERAES MATEMTICAS, RELACIONAIS E EXPRESSES LGICAS
NoMATLABasexpressesseguemaordemmatemtica potenciao, seguida
damultiplicao ou diviso, que por sua vez so seguidas
pelasoperaesdeadioousubtrao.Osparntesespodemserusadospara alterar
esta ordem. Neste caso, os parnteses mais internos so avaliados
antes dos mais externos. A tabela 1 apresenta as operaes bsicas.
Tabela 1 - Operaes Bsicas. OPERAO SMBOLO EXEMPLO Adio+3+1
Subtrao-32 Diviso/4/2 Multiplicao*3*3 Potenciao^3^3
Notequeoespaonalinhadecomandonoconsideradodurantea execuo do
algoritmo. Umaexpressosedizlgicaseosoperadoressolgicoseos
operandossorelaesouvariveisdotipolgico.Osoperadoresrelacionais
realizamcomparaesentrevaloresdomesmotipo.Osoperadoresrelacionais
utilizados pelo MATLAB so apresentados na tabela 2. Tabela 2
Operaes Relacionais. Operador RelacionalDescrio >Maior que
>=Maior Igual a 7 >= 3 ans = 1 >> 2==1 ans = 0 12
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Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 3.2
CALCULADORA CIENTFICA
AprimeiraformadeseutilizaroMATLABouamaneiramaissimples
comocalculadoracientfica,atravsdadigitaodecomandosdiretamentenoseu
promptdajanelaCommandWindowepressionandoateclaEnter.OMATLAB calcula
as expresses emite uma resposta ans e exibe o resultado numrico na
linha
seguinte.Noquadro1sodemonstradosalgunsexemplos,decomoutilizaro
MATLAB como calculadora. >> 3+6/3 ans = 5 >> (7+3)/2
ans = 5 >> 2^3/4 ans = 2 >> 3^(1/2)+2^0.8 ans = 3.4732
>> 3^1/2+2^0.8 ans = 3.2411 Quadro 1 Calculadora Cientfica 13
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Nota-se que o resultado da operao no MATLAB foi atribudo varivel
ans.possvelatribuirnomesaessaauxiliar,oquadro2apresentacomo
realizado a atribuio de valores a variveis. Quadro 2 Calculadora
Cientfica 3.3 FORMATOS NUMRICOS possvel controlar o formato segundo
o qual o MATLAB exibe os dados na tela. Caso nenhum formato esteja
definido, se o resultado for um nmero inteiro,
sermostradooprprio.Quandoumresultadoumnmeroreal,oprograma
mostraoresultadocomumaaproximaodeatquatrocasasdecimais.Seos
dgitossignificativosestiveremforadestafaixa,serapresentadooresultadoem
formadenotaocientfica.Porm,pode-sepr-definirumformatodiferente
utilizando os seguintes comandos, apresentado na tabela 4. Tabela 4
- Formatos Padronizados ComandoDescrio format
short4dgitosdecimais(formato default) Ex: 23.2000 format long16
dgitos decimais >> a = 4, b=5, c = 7, d = 2 a = 4 b = 5 c = 7
>> resultado = (a+b+c)/3 resultado = 5.3333 14 Ministrio da
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UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR Ex: 23.2000000000000000
format short e5 dgitos mais expoente Ex: 2.3200e+1 format long e16
dgitos mais expoente Ex: 2.320000000000000e+1 format ratExibe no
formato Racional Ex: 116/5 format bank 2 dgitos decimaisEx: 23.20
3.4 FUNES MATEMTICAS
OMATLABpossuiumabibliotecaimensadefunes.Umafuno
caracterizadaporumnomeeumargumentoentreparnteses.Porexemplo,a funo
que calcula o valor absoluto de um varivel abs(a). O nome da funo
abs eoargumentoa.Funestambmpodemserincludasnoargumentodeoutras
funes, assim como em
expresses.Atabela5apresentaumalistadefuneselementares,mostrandoao
lado como utilizar essas funes. Tabela 5 - Funes Matemticas.
FunoDescrioExemplo abs(x)Valorabsolutooumdulodeum nmero complexo
>> y = abs(-12) y = 12 cos(x)Cosseno do argumento x >>
y = cos(pi/4) y = 0.7071 acos(x) Arco cosseno>> y = acos(2/3)
y = 0.8411 15 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal
do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO
PARANPR sin(x)Seno do argumento x>> y = sin(pi/3) y = 0.8660
asin(x)Arco Seno >> y = asin(1/3) y = 0.3398 tan(x)Tangente
do argumento x >> y = tan(pi/4) y = 1.0000 atan(x)Arco
Tangente>> y = atan(5/8) y = 0.5586 exp(x)Exponenciale x
constante matemtica neperiana >> y = exp(3) y = 20.0855
20.0855 angle(x)ngulo de um nmero complexo>> x = 2+3i;
>> y = angle(y) y = 0.9828 real(x)Parte real de um nmero
complexo>> y = real(x) y = 2 imag(x)Parteimaginriadeumnmero
complexo >> y = imag(x) y = 3 conj(x)Conjugado
Complexo>> y = conj(x) y = 2.0000 - 3.0000i log(x)Logaritmo
natural >> y =log(3) 16 Ministrio da Educao Universidade
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TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR y = 1.0986 log10(x)Logaritmo na base
10>> y =log10(5) y = 0.6990 sqrt(x)Raiz quadrada de x>>
y = sqrt(18) y = 4.2426 lcm(x,y)Mnimo mltiplo comum de x e
y>> x = 4, y = 18; >> z = lcm(x,y) z = 36 gcd(x,y)Mximo
divisor comum de x e y>> x = 4, y = 18; >> z =
gcd(x,y)z = 2 Porfim,observa-seaindaqueoMATLAButilizaopontoparacasa
decimaleavrgulaficareservadaparafunesespeciais.Comoporexemplo
definio de vetores.
importantesalientarqueoMATLABcalculaasfunessin,cosetan
paravariveisemradianos.Casoqueirautilizarngulosemgraus,deve-seutilizar
as funes sind, cosd, tand, ou os arcos asind, acosd e atand. Com
base no que foi apresentado at ento, tem-se o seguinte exemplo a
ser resolvido: Exemplo de Aplicaes no Matlab 1. Um determinado
objeto que est submetido a uma temperatura inicialT0 colocado
noinstantedet=0,dentrodeumcongeladortemperaturaconstanteTs.A variao
de temperatura do objeto determinado pela seguinte lei:
17 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran
Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR
OndeTatemperaturadoobjetoemumtempotqualquerekumaconstante. Com base
nas informaes, considere uma lata de refrigerante na qual
encontra-se
aumatemperaturade39,7C.Emseguida,colocadadentrodeumcongelador
ondeatemperatura2,7C.DetermineatemperaturadalataemgrausCelsius,4
horas aps a lata ser colocada no congelador. Considere a constante
k = 0,35. Teste Resolva os problemas a seguir utilizando a janela
Command Window. 1. Calcule: a)
; b)
c)
2.Declareasvariveisxezcomox=3.1ez=8.Determineovalorda expresso:
a)
3. No tringulo retngulo mostrado na figura 3, a = 10cm e c =
4cm. Determine o
valordocatetoadjacentebutilizandooTeoremadePitgoraseemseguida
determine o ngulo em graus.Dica: Declare as variveis inicialmente.
ac >> T0 = 39.7; k = 0.35; t = 4; Ts = 2.7; >> T = Ts +
(T0 - Ts)*exp(-k*t) T = 11.8241 b 18 Ministrio da Educao
Universidade Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica
UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 4. A distncia d de um
ponto (x0,y0) funo da reta expressa por Ax+By+C = 0 dada por:
Determine a distncia do ponto(3,-2) reta 2x + 5y 8 = 0.Dica:
Declare as variveis A,B,C,x0,y0, na sequncia calcule d.
5.AintensidadeMdeumterremotonaescalaRichterdadapelaseguinte
equao:
.OndeEaenergialiberadapelotremoreE0=104,4
Joulesumaconstante(energialiberadaemumtremordeterradereferncia).
Determinequantasvezesaenergialiberadaemumterremotode7.2naescala
Richter maior do que um terremoto 5.3 nessa mesma escala.
4.VETORESOMATLABinicialmentetinhacomopropsitodetrabalharcom
manipulaes de matrizes, sendo esta a essncia dosoftware. Observa-se
que um escalarumamatrizdedimenso1x1equeumvetorumamatrizquepossui
somente uma linha ou uma coluna. A maneira mais fcil de introduzir
pequenas matrizes no MATLAB uma
listaexplcita.Paracriarumavarivelondearmazenadaumamatriz,basta
escrever os elementos da matriz entre colchetes, onde os elementos
de uma mesma linha da matriz separados por vrgula ou espao e as
colunas separadas por ponto e vrgulas. Qualquer lista de nmeros
pode ser tratada como um vetor. Por exemplo, a tabela 6 apresenta o
crescimento populacional que podem ser utilizados para criar duas
listas de nmeros: uma referente a anos e outra da populao. Cada
lista pode
serconsideradascomosendoconstitudasdeentradas,elementosdeumvetor,
organizados em linha ou coluna. 19 Ministrio da Educao Universidade
Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE
TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR Tabela 6 - Crescimento Populacional.
Ano1984198619881990199219941996 Populao (milhes)
127130136145158178221 O quadro 3 apresenta a criao dos vetores da
tabela 6 no MATLAB.
Eparadeclararumamatriznosoftware,segueamesmaideiados
vetores,pormo;indicaaprximalinha.Porexemplo,oquadro4ilustracomo
armazenar a matriz K.
4.1CRIANDOVETORESCOMELEMENTOSESPAADOSDEUMFATOR CONSTANTE Os
vetores acima tiveram seus elementos definidos um a um. No entanto
vetorespodemserconstitudosespecificando-sevaloresiniciais,incrementose
finais, o quadro 5 apresenta este modo, onde foi definido um vetor
A variando de 2 a 7 (de um em um) e outro indo de 0 a 15, mas de
trs em trs. >> K = [1 2 3;4 5 6] K = 1 2 3 4 5 6 Quadro 4
Criando uma Matriz >> Ano = [1984 1986 1988 1990 1992 1994
1996]; >> Populacao = [127 130 136 145 158 178 221]; Quadro 3
Criando Vetores 20 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica
Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL
DO PARANPR
Portanto,pode-sedefinirumvetorutilizandoapenasovalordoprimeiro
termo,oespaamentoentrecadatermoeovalordoltimotermo,bastandopara
isso, separ-los por dois pontos ':' . 4.2 CRIANDO VETORES
ESPECIFICANDO O PRIMEIRO E LTIMO TERMO; E EM SEGUIDA O NMERO DE
TERMOS.Um vetor cujo o primeiro elemento i, o ltimo elemento f e o
nmero de elementos n, pode ser criado por meio do comando
linspace(i,f,n) (O MATLAB determina o incremento/decremento
correto). Alguns exemplos so apresentados no quadro 6.
Ocomandolinspacesemoltimoelementoforneceumvetorde100
elementoscomopadro.Otamanhodovetorpodeserverificadocomocomando
length, como no exemplo abaixo: >> A = 2:7, B = 0:3:15 A = 2
3 4 5 6 7 B = 0 3 6 91215 Quadro 5 Vetores >> V =
linspace(1,38,7) V = 1.00007.1667 13.3333 19.5000 25.6667 31.8333
38.0000 >> W = linspace(3,0.1,5) W =
3.00002.27501.55000.82500.1000 Quadro 6 Comando linspace 21
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maneira similar o comandologspace(i,j,n) fornece n elementos entre
10i e 10j. A ausncia do terceiro argumento, n, fornece 50 elementos
entre 10i e 10j. 4.3 REFERNCIA A UM ELEMENTO DO VETOR
Elementosemumvetorpodemserreferenciados(endereados)
individualmenteou emsubgrupos,isto,tilquandonecessrio
redefinirapenas
umdoselementosougrupodeelementosdeumvetorouusarovalordeum
elementoespecficoemclculos,ouainda,quandoelementosemsubgruposso
usados para redefinir uma nova varivel. Realizar referncia a um
elemento de um vetor indicar a posio que ele ocupa na linha ou
coluna desse vetor. Para um vetor x, x(k) referencia o elemento na
posiok.Aprimeiraposio,maisesquerdadovetor,anmero1.Por exemplo, se o
vetor x possui cinco elementos: [x] = 12 32 45 67 19 Ento, x(2) =
32, x(5) = 19 e x(1) = 12. Um nico elemento do vetor, x(k) pode ser
usado como uma varivel. Por exemplo, possvel mudar ovalor desse
elemento atribuindo-lhe um novo valor na
posiodesejada.Pararealizaressefeito,bastadigitarx(k)=novovalor.Alguns
exemplos: >> c = linspace(1,10); >>
comprimento_do_vetor = length(c) comprimento_do_vetor = 100 22
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Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 4.3.1
Dois Pontos (:) Referenciando Elementos de Vetor possvel
referenciar uma faixa de elementos dentro de um vetor, isso
realizado atravs do comando :. Para um vetor a(:) Referencia todos
os elementos do vetor a (na linha ou coluna do vetor). a(x:y)
Referencia os elementos entre as posies x e y do vetor a. Exemplo:
>> y = [3 21 62 12 78 56 48 99] y = 321621278564899 >>
y(4) ans = 12 >> y(7) ans = 48 >> z = y(1)+y(8) z = 102
>> w = sqrt(y(3))+y(1)^3-y(2) w = 13.8740 >> a = [1 4
-9 23 24 7] a = 1 4-92324 7 >> b = a(2:5) b = 4-92324 23
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Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 4.4
ADICIONANDO ELEMENTOS AO VETOR
Oselementospodemseradicionadosatribuindo-sevaloresaosnovos
elementosdovetor.Porexemplo,seumvetorpossui6elementos,pode-se
aumenta-loatribuindo
valoresaoselementos7,8,eassimpordiante.Seumvetor possui n elementos
e um novo valor atribudo ao elemento cuja a referncia n+4
oumaior,oMATLAB,encarrega-sedeatribuirzerosaoselementosposicionados
entre o ltimo elemento original e o novo elemento terminal do
vetor. Exemplos: Funo Descrio Exemplo mean(A)Se A um vetor, retorna
o valor mdio dos elementos do vetor >> A = [1 4 3 8 5] A = 1
4 3 8 5 >> mean(A) >> v = [1 5 3 -9 5] v = 1 5 3-9 5
>> v(6:12) = linspace(8,20,7) v = 1 5 3-9 5 8101214161820
>> w = [ 2 5 3 7] w = 2 5 3 7 >> w(6) = 99 w = 2 5 3 7
099 >> q (4) = -0.9 q = 0 0 0 -0.9000 24 Ministrio da Educao
Universidade Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica
UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR ans = 4.2000 B = max(A)
[d,n] = max(A) SeAumvetor,Brecebero maiorelementodeA.SeA
umamatriz,Bumvetorlinha contentoomaiorelementoem cada coluna de A
SeAumvetor,drecebeo maiorelementodeAenindica aposiodesseelementono
vetor. >> A = [1 4 3 -11 9 8 51] A = 1 4 3 -11 9 851>>
B = max(A) B = 51 >> [d,n] = max(A) d = 51 n = 7 C = min(A)
[d,n] = min(A) Semelhantefunomax(A), masretornaomenorelemento de A
Semelhante a [d,n] = max(A) Para o menor elemento de A. >> A
= [-11 4 0 8] A = -11 4 0 8 >> B = min(A) B = -11 >>
[d,n] = min(A) d = -11 n = 1 sum(A)Se A um vetor, retorna a soma
dos elementos do vetor >> A = [1 2 3 4]; >> sum(A) ans
= 10 sort(A)SeAumvetor,ordenaos elementosdeAnaordem >> A = [
3 2 1 7 6] A = 25 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica
Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL
DO PARANPR crescente3 2 1 7 6 >> sort(A) ans = 1 2 3 6 7
std(A)SeAumvetor,retornao desviopadrodoselementos do vetor >>
A = [1 -3 4 5 2 -7] A = 1-3 4 5 2-7 >> std(A) ans = 4.5461
dot(a,b)Determinaoprodutoescalarde doisvetoresaeb.Osvetores
podemsertantolinhaquanto coluna >> a = [1 3 4] a = 1 3 4>
>> b = [5 8 1] b = 5 8 1 >> dot(a,b) ans = 33
cross(a,b)Determinaoprodutovetorialde doisvetoresaeb(axb).Os dois
vetores devem possuir trs elementos. >> cross(a,b) ans =
-2919-7 5. MATRIZES O conhecimento das tcnicas de manipulao de
matrizes fundamental
poisdadosimportadosparaoespaodetrabalhodoMATLABsotratadoscomo
matrizes. Alm disso, exercem um papel importante na lgebra linear e
so usadas na engenharia (e em outras cincias) para descrever muitas
grandezas fsicas. 26 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica
Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL
DO PARANPR Asentradasdeumamatrizpodemconternmerosouexpresses
matemticas(formadasdenmeros,variveisdeclaradasefunes).
necessariamenteimportantequetodasaslinhaspossuamamesma
quantidadedeelementos.Casoumelementonalinhacontenhaovalorzero,ele
deve ser
digitado.Aslinhasdasmatrizestambmpodemserdefinidasatravsdos
comandos utilizados anteriormente para se definir vetores linha.
Por exemplo: 5.1 REFERNCIA A UM ELEMENTO DA MATRIZ
Aposioderefernciadeumelementoemumamatrizdefinida especificando-se o
nmero da linha e da coluna que o elemento ocupa. Declarando uma
matriz qualquer N, sendo a mesma N(m,n) faz referncia ao elemento
na linha m e na coluna n. Por exemplo, dada uma matriz:
Ento, N(2,3) = -0.9 e N(3,1) = 6.
Assimcomonosvetores,possvelalterarovalordeapenasum elemento da
matriz atribuindo-lhe um novo valor. A seguir, so apresentados
alguns exemplos com a manipulao das posies dos elementos da matriz.
>> A = [a-c, b*sqrt(c);sin(b/c) a^3/tan(a/b)] A = -7.8000
23.2164 0.5943 66.6158 >> A =[1:4;linspace(2,8,4);5:5:20] A =
1 2 3 4 2 4 6 8 5101520 27 Ministrio da Educao Universidade
Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE
TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 5.1.1 Dois pontos (:) Referenciando
elementos da matriz Para uma matriz: A(:,n) Referencia os elementos
da matriz A em todas as linhas da coluna n. A(n,:) Referencia os
elementos da matriz A em todas as colunas da linha n. A(m:n,:)
Referencia os elementos da matriz A em todas as colunas entre as
linhas m e n. A(:,m:n) Referencia os elementos da matriz A em todas
as linhas entre as colunas m e n. A(m:n,k:l) Referencia os
elementos da matriz A entre as linhas m e n e as colunas k e l.
Exemplos: N = 4.24563.78873.27740.1592 4.67003.71570.85591.3846
3.39371.96113.53020.2309 >> M = N(3,4) M = 0.2309 >> O
= N(3,3) - N(1,4) O = 3.3711 >> A = rand(4,6) A =
0.09710.95020.76550.44560.27600.1190
0.82350.03440.79520.64630.67970.4984
0.69480.43870.18690.70940.65510.9597
0.31710.38160.48980.75470.16260.3404 >> B = A(:,6) B = 0.1190
0.4984 0.9597 0.3404 28 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica
Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL
DO PARANPR 5.2 ADICIONANDO ELEMENTOS A UMA MATRIZ
Conformeovetor,linhasecolunaspodemserinseridasemumamatriz
previamentedeclarada.Issofeitoatribuindosevaloresnovosaoselementos
situados nas linhas e colunas da matriz. Exemplos: >> M = [ 1
3 4; 1 4 5] M = 1 3 4 1 4 5 >> M(3,:) = [ 2 6 9] M = 1 3 4 1
4 5 2 6 9 >> C = A(3,:) C =
0.69480.43870.18690.70940.65510.9597 >> D = A(1:2,:) D =
0.09710.95020.76550.44560.27600.1190
0.82350.03440.79520.64630.67970.4984 >> E= A(:,3:5) E =
0.76550.44560.2760 0.79520.64630.6797 0.18690.70940.6551
0.48980.75470.1626 >> F = A(3:4,1:2) F = 0.69480.4387
0.31710.3816 29 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal
do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO
PARANPR 5.3 ELIMINANDO TERMOS DE UMA MATRIZ Um termo ou um grupo de
elementos em uma varivel declarada pode(m)
serapagada(s)atribuindovazioaesseelemento.Issofeitousando-secolchetes
sem nenhum espao ou caractere entre eles. Apagando o(s) elemento(s)
desejados. Exemplos: 5.4 MATRIZES ELEMENTARES Tabela 7 - Matrizes
Elementares. Tipo de MatrizDescrioExemplo Matriz
IdentidadeCriaumamatrizquadrada comnlinhasencolunas,
cujoselementosda diagonalprincipalso iguais a 1 e os demais so 0
>> A = eye(3) A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Matriz
NulaCriaumamatrizmxn, cujos os elementos so os >> B =
zeros(3,2) B = >> A = rand(2,3) A = 0.89090.54720.1493
0.95930.13860.2575 >> A(:,3) = [] A = 0.89090.5472
0.95930.1386 >> N(:,5) =[12 21] N = 1 3 4 512 5 4 3 121 30
Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran
Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR
nmeros 0.00 00 0 0 Matriz UnidadeCriaumamatrizmxn, cujos os
elementos so os nmeros 1. >> c = ones(2,3) c = 1 1 1 1 1 1
Matriz AleatriaCria uma matriz com nmeros randmicos >> D =
rand(2,3) D = 0.42180.79220.6557 0.91570.95950.0357 5.5 OPERAES
BSICAS COM MATRIZES
OMATLABcontmdoistiposdiferentesdeoperaesaritmticas.As
operaesaritmticasmatriciaissodefinidaspelasregrasdelgebraLinear.As
operaes aritmticas com arrays (conjuntos) so efetuadas elemento por
elemento.
Ocaracteredepontodecimal.distingueasoperaesmatriciaisdasoperaes com
arrays. No entanto, como as operaes matriciais e com arrays so
iguais para soma e para a subtrao, o par de caractere . + e . - no
so utilizados para estas operaes.As operaes bsicas com matrizes no
MATLAB so as seguintes: Adio; Subtrao; Multiplicao; Transposta;
Inversa; Exponenciao; Determinante. 31 Ministrio da Educao
Universidade Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica
UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 5.5.1 Adio e Subtrao
Aadioeasubtraodematrizessoindicadas,respectivamente,por
+e-.Assimcomonamatemtica,asoperaessodefinidasapenasseas matrizes
apresentarem as mesmas dimenses n x
n.Aadioeasubtraotambmsodefinidasseumdosoperadores for
umescalar,ouseja,umamatriz1x1.Nestecaso,oescalaradicionadoou
subtrado de todos os elementos do outro operador.Exemplos: 1)Operao
de Matriz com Escalares 2)Operaes de Adio e Subtrao de Matrizes
>> A A = 3.0000 -2.00005.6000 1.0000 21.00009.0000 >> B
= A-2 B = 1.0000 -4.00003.6000 -1.0000 19.00007.0000 >> C =
3.3+A C = 6.30001.30008.9000 4.3000 24.3000 12.3000 >> A = [
3 -2 5.6; 1 21 9] A = 3.0000 -2.00005.6000 1.0000 21.00009.0000
>> B = [1 3 -6;0.6 4 -31] B = 1.00003.0000 -6.0000
0.60004.0000-31.0000 32 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica
Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL
DO PARANPR 5.5.2 Multiplicao A operao de multiplicao (*) executada
no MATLAB de acordo com
asregrasdelgebralinear,ouseja,seAeBsoduasmatrizes,aoperaoA*B tem
sentido se, e somente se, o nmero de colunas da matriz A for igual
ao nmero de linhas da matriz B. O resultado uma matriz que possui o
nmero de linhas da matriz A com o nmero de colunas da matriz B.Dois
vetores podem ser multiplicados um pelo outro apenas se possurem o
mesmo nmero de elementos e se um dos vetores for um vetor linha e
outrovetor coluna.Exemplos: 1)Operao com escalares >> A = [1
4;1 3.7;0.9 -1.2] A = 1.00004.0000 1.00003.7000 0.9000 -1.2000
>> B = pi*A B = 3.1416 12.5664 3.1416 11.6239 2.8274 -3.7699
>> C = A+B C = 4.00001.0000 -0.4000 1.6000 25.0000-22.0000
>> D = A-B D = 2.0000 -5.0000 11.6000 0.4000 17.0000 40.0000
33 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran
Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR
2)Operao de Multiplicao de Matrizes >> A = [-1 5; 6 8; 9 1.8]
A = -1.00005.0000 6.00008.0000 9.00001.8000 >> B = [0.6 3.5
7;-9 3 -12] B = 0.60003.50007.0000 -9.00003.0000-12.0000 >> C
= A*B C = -45.6000 11.5000-67.0000 -68.4000 45.0000-54.0000
-10.8000 36.9000 41.4000 >> D = [1 2.8;5 7] D = 1.00002.8000
5.00007.0000 >> E = [3 1;4 9] E = 3 1 4 9 >> F = D*E F
= 14.2000 26.2000 43.0000 68.0000 >> G = E*D G = 8.0000
15.4000 49.0000 74.2000 >> 34 Ministrio da Educao
Universidade Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica
UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR OBS: O produto F = D*E
no igual ao produto G = E*D. 3)Operao de Multiplicao de Matrizes
Elemento a Elemento OBS: Este tipo de operao realizada utilizando-
se um ponto (.) antes do operador de multiplicao(*). >> E =
[3 1;4 9] E = 3 1 4 9 >> F = D*E F = 14.2000 26.2000 43.0000
68.0000 >> G = E*D G = 8.0000 15.4000 49.0000 74.2000
>> A = [1 2;2 1] A = 1 2 2 1 >> B = [2 3;3 2] B = 2 3 3
2 >> C= A.*B C = 2 6 6 2 35 Ministrio da Educao Universidade
Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE
TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 5.5.3 Transposta
DadaumamatrizAdeordemmxn,amatriztranspostaser representada por At
de ordem n x m. Essa ordem invertida significa que para realizar a
transformao de um matriz para uma matriz transposta, basta trocar
os elementos das linhas pelo das colunas. Para obter a matriz
transposta no MATLAB, basta utilizar o apstrofo ,
indicaatranspostadeumamatriz.CasoamatrizAforcomplexaaoperao,
almderealizaratransposiotambmrealizaoconjugadodosnmeros complexos.
Exemplos: >> A = [ 1 2 3;4 5 6; 7 8 9] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9
>> B = A' B = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 >> C C = 1.0000 +
2.0000i 0.0000 + 1.0000i 3.0000 - 7.0000i-1.0000 + 1.0000i >>
D = C' D = 1.0000 - 2.0000i 3.0000 + 7.0000i 0.0000 -
1.0000i-1.0000 - 1.0000i 36 Ministrio da Educao Universidade
Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE
TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 5.5.4 Inversa
UmamatrizBamatrizinversadamatrizAseoprodutodessasduas matrizes a
matriz identidade (supondo que possvel multiplicar as duas
matrizes). Ambasasmatrizesdevemserquadradase
amultiplicaodevecomutar,isto,a ordem BA ou AB no importante.
Obviamente, se B a inversa de A, naturalmente A ser inversa de B.
NoMATLAB,ainversadeumamatrizpodeserobtidaelevandoa matriz potncia 1
ou utilizando a funo inv().Exemplo: 5.5.5 Exponenciao
AexpressoA^nelevaAn-simapotnciaedefinidaseAmatriz
quadradaenumescalar.Senuminteiromaiordoque1,aexponenciao executada
como mltiplas multiplicaes. >> A = [3 -1;2 9] A = 3-1 2 9
>> B = A^-1 B = 0.31030.0345 -0.06900.1034 >> B =
inv(A) B = 0.31030.0345 -0.06900.1034 37 Ministrio da Educao
Universidade Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica
UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR
Aexponenciaoporelementoentrematrizesdefinidademaneira similar
multiplicao por elemento, ou seja, A.^n = aij bij. 5.5.6
Determinante A determinante de uma matriz uma funo matricial, que
associa a cada matriz quadrada a um escalar. Esta funo permite
determinar se a matriz possui ou no inversa. Exemplo: >> A =
[1 3;8 9] A = 1 3 8 9 >> B = A^7 B = 4389625 5665125
1510700019496625 >> B = A.^7 B = 12187 2097152 4782969
>> A = [ 1 23 8; 12 -9 0; 4 31 0.9] A = 1.0000 23.00008.0000
12.0000 -9.0000 0 4.0000 31.00000.9000 >> B = det(A) B =
3.0075e+03 38 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal
do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO
PARANPR Exemplo de Aplicaes do Matlab 2. Usando operaes matriciais
para resolver o seguinte sistema de equaes lineares. 2x - 7y + 8z=
11 3x + y 3z= 5 -8x + 9y z = 0
Utilizandoasregrasdelgebralinearmostradasanteriormente,osistemade
equaes acima pode ser rescrito na forma matricial Ax = B:
>> A = [2 -7 8;3 1 -3;-8 9 -1] A = 2-7 8 3 1-3 -8 9-1
>> B = [11;5;0] B = 11 5 0 >> xyz = A\B xyz = 4.2727
4.2448 4.0210 >> xyz = inv(A)*B xyz = 4.2727 4.2448 4.0210 39
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Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 5.6
FUNES NATIVAS DO MATLAB COM VETORES FunoDescrioExemplo mean(A)Se A
um vetor, retorna o valor mdio dos elementos do vetor >> A =
[1 4 3 8 5] A = 1 4 3 8 5 >> mean(A) ans = 4.2000 B = max(A)
[d,n] = max(A) SeAumvetor,Brecebero maiorelementodeA.SeA
umamatriz,Bumvetorlinha contentoomaiorelementoem cada coluna de A
SeAumvetor,drecebeo maiorelementodeAenindica aposiodesseelementono
vetor. >> A = [1 4 3 -11 9 8 51] A = 1 4 3 -11 9 851>>
B = max(A) B = 51 >> [d,n] = max(A) d = 51 n = 7 C = min(A)
[d,n] = min(A) Semelhantefunomax(A), masretornaomenorelemento de A
Semelhante a [d,n] = max(A) Para o menor elemento de A. >> A
= [-11 4 0 8] A = -11 4 0 8 >> B = min(A) B = -11 >>
[d,n] = min(A) d = -11 40 Ministrio da Educao Universidade
Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE
TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR n =1 sum(A)Se A um vetor, retorna a
soma dos elementos do vetor >> A = [1 2 3 4]; >> sum(A)
ans = 10 sort(A)SeAumvetor,ordenaos elementosdeAnaordem crescente
>> A = [ 3 2 1 7 6] A = 3 2 1 7 6 >> sort(A) ans = 1 2
3 6 7 std(A)SeAumvetor,retornao desviopadrodoselementos do vetor
>> A = [1 -3 4 5 2 -7] A = 1-3 4 5 2-7 >> std(A) ans =
4.5461 dot(a,b)Determinaoprodutoescalarde doisvetoresaeb.Osvetores
podemsertantolinhaquanto coluna >> a = [1 3 4] a = 1 3 4>
>> b = [5 8 1] b = 5 8 1 >> dot(a,b) ans = 33
cross(a,b)Determinaoprodutovetorialde doisvetoresaeb(axb).Os dois
vetores devem possuir trs >> cross(a,b) ans = -2919-7 41
Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran
Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR
elementos. Exemplo de Aplicao no MATLAB 3. A figura a seguir
apresenta trs foras sendo aplicadas em um suporte. Determine a fora
total (ou resultante) aplicada ao suporte. 3020143xyF2 = 500NF1 =
400NF3 = 700N Uma fora uma grande vetorial, ou seja, uma grandeza
fsica que possui
mdulodireoesentido.Nosistemadecoordenadascartesianas,umvetor
bidimensional F pode ser escrito em suas componentes de acordo
com:
Onde F o mdulo do vetor F; o ngulo medido relativamente ao eixo
x, Fx e Fy so as componentes de F nas direes x e y,
respectivamente; e i e j so
osvetoresunitriosnasdireesxey,respectivamente.Sendoconhecidasas
componentes Fx e Fy, pode se determinar F e .
42 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran
Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR A
fora resultante aplicada ao suporte obtida adicionando-as foras
individuais que agem sobre o suporte. A seguir, vejamos uma soluo
do problema no MATLAB. >> F1 = 400;F2 = 500;F3 = 700;
>> alfa1 = -20*pi/180;alfa2 = 30*pi/180;alfa3 = 37*pi/180;
>> F1xy = F1*[cos(alfa1) sin(alfa1)] F1xy = 375.8770
-136.8081 >> F2xy = F2*[cos(alfa2) sin(alfa2)] F2xy =
433.0127250.0000 >> F3xy = F3*[-cos(alfa3) sin(alfa3)] F3xy =
-559.0449421.2705 >> Ftxy = [F1xy(1)+F2xy(1)+F3xy(1)
F1xy(2)+F2xy(2)+F3xy(2)] Ftxy = 249.8449534.4625 >> F_total =
sqrt(Ftxy(1)^2+Ftxy(2)^2) F_total = 589.9768 >> angle_total =
atan(Ftxy(2)/Ftxy(1)) angle_total = 1.1335 >>
angle_total_graus = angle_total*180/pi angle_total_graus = 64.9453
43 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran
Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR
Exemplo de Aplicao no MATLAB 4.
Ocoeficientedeatritocintico()podeserdeterminado
experimentalmentemedindo-seomdulodaforanecessriaparamoveruma massa
m sobre uma superfcie com atrito. QuandoF medido e sendo conhecidos
os valores de m, o coeficiente de atrito cintico pode ser
determinado por:
Umconjuntodeseis medidasmostradonatabelaabaixo.Determineo
coeficiente de atrito por medida e a respectiva mdia no
experimento. m Fatrito Medida 123456 Massa (kg)245102050 Fora
(N)12.523.53061117294 >> Massa = [2 4 5 10 20 50] Massa = 2 4
5102050 >> Forca = [12.5 23.5 30 61 117 294] Forca = 12.5000
23.5000 30.0000 61.0000117.0000294.0000 >> g = 9.8 g = 9.8000
>> mi = Forca./(Massa*g) mi =
0.63780.59950.61220.62240.59690.6000 >> mi_medio = mean(mi)
mi_medio = 0.6115 44 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica
Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL
DO PARANPR 6.POLINMIOSO MATLAB traz uma srie de comando para
realizar a anlise polinomial,
almdemeiosdeavaliarospolinmioseseucomportamento.Polinmios
normalmente aparecem em aplicaes em Engenharia e nas Cincias em
geral por constiturem bons modelos na representao de sistemas
fsicos. 6.1 ANLISE POLINOMIAL
PolinmiossorepresentadosnoMATLAB,atravsdevetores,onde
cadaelementodovetorcorrespondeaumdoscoeficientesdopolinmio.Como
exemplo tem-se o seguinte polinmio:
Sexassumirvaloresescalares,pode-seescreverdaseguinteformano
MATLAB: Afunoprettyacima,temoobjetivodeorganizarafunodesejada, sem
interferir em seu valor. Se x for um vetor ou uma matriz deve-se
escrever: >> fx = 2*x^3-5.1*x^2+x-9 fx = 2*x^3 - (51*x^2)/10
+ x - 9 >> pretty(fx)
2
351 x 2 x- ----- + x - 910 >> fx = 2*x.^3-5.1*x.^2+x-9 fx
= 2*x^3 - (51*x^2)/10 + x - 9 45 Ministrio da Educao Universidade
Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE
TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 6.1.1 Comando Polyval
Ovalordeumpolinmioparaum dadopontoxpodeseravaliadopelo funo
polyval. Exemplo:
6.1.2 Adio e Subtrao de Polinmios
Asoperaesdeadioesubtraodepolinmiosdemesmograu simples, basta operar
os vetores correspondentes: >> a = [2 -5.1 1 -9] a = 2.0000
-5.10001.0000 -9.0000 >> f = polyval(a,[1 2 3]) f =
-11.1000-11.40002.1000 >> a =[2 -3 8] a = 2-3 8 >> x =
0:0.5:2 x = 00.50001.00001.50002.0000 >> gx = polyval(a,x) gx
= 8 7 7 810 >> x =[1 8 2]; >> y =[1 -1 5]; >> z =
x+y z = 2 7 7 46 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica
Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL
DO PARANPR Quandoospolinmiosdiferememgraunecessriocompletaros
termos do que tem menor grau para operar os vetores com soma e
subtrao: 6.1.3 Multiplicao de Polinmios
Amultiplicaopolinomialefetuadapormeiodocomandoconv(que realiza a
convoluo entre dois conjuntos). A multiplicao de mais de 2
polinmios requer o uso repetido de conv. Exemplo: 6.1.4 Diviso de
Polinmios Edemaneirasimilaradivisofeitacomocomandodeconv,que
retorna duas sadas, o resultado e o resto da diviso. >> x =[1
8 2 8] x = 1 8 2 8 >> y = [0 y] y = 0 1-1 5 >> z = y-x
z = -1-7-3-3 >> a = [3 4 5]; %3x^2+4x+5 >> b = [5 1 -7
9]; %5x^3+x^2-7x+0 >> c = conv(a,b) c = 1523 8 4
145%15x^5+23x^4+8x^3+4x^2+x+45 47 Ministrio da Educao Universidade
Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE
TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 6.1.5 Razes do Polinmio
Obterasrazesdeumpolinmio,ouseja,osvaloresparaosquaiso polinmio
igual a zero, um problema comum em muitas reas do conhecimento,
comopor exemplo,acharasrazes de equaesqueregem odesempenho de um
sistemadecontroledelevitadormagntico,ouaindarespostademotorCC,e
analisando a estabilidade de um filtro digital.
Seafuno(x)forumpolinmiodegraun,amesmaterexatamenten razes. Estas n
razes podem conter mltiplas razes ou razes
complexas.NoMATLAB,umpolinmiorepresentadoporumvetorlinhadosseus
coeficientesemordemdecrescente.Observequeostermoscomcoeficientezero
tmdeserincludos.Dadaestaforma,asrazesdopolinmiosoencontradas
utilizando-se o comando roots do MATLAB. Exemplos:
Arecprocaverdade.Quandotem-seasrazesdeumpolinmio
possvelreconstru-lo.NoMATLAB,ocomandopolyencarregadodeexecutar
>> [p,r] = deconv(b,a) p = -1.3333 -0.2222 r = 0 03.8889
-2.1111 >> p = [-1 1 2 -3 5]; >> r = roots(p) r =
-1.8235 + 0.0000i 1.9280 + 0.0000i 0.4478 + 1.1053i 0.4478 -
1.1053i 48 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do
Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR
essatarefa.Ondeoargumentodocomandoovetorcontendoasrazesdo polinmio
que deseja-se determinar. Exemplo
As razes da funo acima so: 2+i, 2-i e -2. Testes Determine as
razes dos seguintes polinmios: a)
b)
6.1.6 Calculo
Emalgunscasoprecisa-seutilizarumavarivelsimblica,aqual
chamaremosdex,paradefinircomosendoqualquervariveldodomnio,ouseja,
uma varivel contnua. Para isso existe o comando syms. >> r =
[2+i 2-i -2]' r = 2.0000 - 1.0000i 2.0000 + 1.0000i -2.0000 +
0.0000i >> p = poly(r) p = 1-2-310 49 Ministrio da Educao
Universidade Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica
UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR ComandoDescrioExemplo
limit(f(x),x,a)Calculaolimitedafuno f(x),ondetendeparao termo a.
>> syms x >> fx = 2*x^2+3*x-8 fx = 2*x^2 + 3*x 8
>> a = 5 a = 5 >> limit(fx,x,a) ans = 57
diff(f(x),x,n)Calculaaderivadada funof(x),ondenindica a ordem da
derivao >> fx = 2*x^2+3*x-8 fx = 2*x^2 + 3*x - 8 >>
diff(fx,x,2) ans = 4 int(f(x),x)Calculaintegrais indefinidas
>> fx = 2*x^2+3*x-8 fx = 2*x^2 + 3*x 8 >> int(fx,x) ans
= (x*(4*x^2 + 9*x - 48))/6 >> pretty(ans)
int(f(x),x,a,b)Calcula integrais definidas
>> int(fx,x,0,pi) ans = pi*(pi*((2*pi)/3 + 3/2) - 8) 50
Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran
Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 7.
GRFICOS AconstruodegrficosnoMATLABmaisumadasfacilidadesdo
sistema.Atravsdecomandossimplespode-seobtergrficosbidimensionaisou
tridimensionais com qualquer tipo de escala e coordenada. Alguns
comandos frequentes para plotar grficos bidimensionais so:
ComandoDescrio plotPlotar linear loglogGrfico em escala logartmica
semilogxGrfico em escala semi logartmica (eixo x) semilogyGrfico em
escala semi logartmica (eixo y) FillDesenhar polgono 2D polarGrfico
em coordenadas polares stem Grfico de sequncia discreta
stairsGrfico em degrau barGrficos de barras
hist.HistogramaroseHistograma em ngulo compassGrfico em forma de
bssola feather Grfico em forma de pena fplotGrfico da funo comet
Grfico com trajetria de cometa 7.1COMANDO - PLOT
Ocomandoplotocomandomaiscomumparaplotagemdedados bidimensionais
Exemplo:
SeYumvetor,plot(Y)produzumgrficolineardoselementosdeYversoso
ndicedoselementosdeY.Porexemplo,paraplotarosnmeros
[0.0,0.48,0.84,1.0,0.91,0.6,0.14]: 51 Ministrio da Educao
Universidade Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica
UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR Exemplo: Plotar a funo
x+1 1 2 3 4 5 6 700.10.20.30.40.50.60.70.80.91-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
3 4 5051015202530>> Y = [0.0 0.48 0.84 1.0 0.91 0.6 0.14] Y =
00.48000.84001.00000.91000.60000.1400 >> plot(Y) >> x
=-5:0.5:5; >> y = x.^2+1; >> plot(x,y) 52 Ministrio da
Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica
UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR
possvelplotarmaisqueumafunonomesmogrfico.Existemdois modos: um
atravs do comando plot e outro atravs do comando hold.
Porexemplo,plotarasfunessen(x),cos(x)ecos(3x),nomesmo grfico:
AindaseriapossvelutilizarocomandoHoldon,parafazercomqueos plots
sejam realizados no mesmo grfico: 0 2 4 6 8 10 12
14-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81>> x = 0:pi/100:4*pi;
>> a = sin(x); >> b = cos(x); >> c = cos(3*x);
>> plot(x,a,x,b,x,c) x = 0:pi/100:4*pi; a = sin(x); b =
cos(x); c = cos(3*x); figure (1); plot(x,a,'r') hold on;
plot(x,b,'b') plot(x,c, 'k') 53 Ministrio da Educao Universidade
Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE
TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR Para acrescentar informaes aos
grficos existem alguns comandos que permitem realizar tarefas, os
quaisso apresentados na tabela a seguir:ComandoDescrio
title(Nome_do_Titulo)Ttulo do grfico xlabel(xxxxx)Ttulo do eixo x
axis[(xmin xmax ymin ymax)]Limita o grfico legend(-----)Inclui
legenda no grfico text(x,y,texto desejado)Adiciona texto em algum
lugar especfico do grfico gtext(texto desejado)Adiciona texto com a
posio escolhida pelo mouse grid onLinhas de grade
Almdettulos,legendas,designaodoseixos(title,legend,
xlabel,ylabel),pode-sedefinirmaispropriedadesgrficas,alterando:cores,estilos
de linhas, estilos de
marcadores.Acoreoestilodalinhaeotipodemarcadorparapontosdedadosna
linha podem ser selecionado pelo uso de uma cadeia de caractere de
atributos aps os vetores x e y da funo do plot. Na tabela abaixo so
apresentados os principais comandos paraalterar cores, marcadores e
estilos de linhas dos grficos. CorMarcadoresEstilo da Linha
yAmarelo.Ponto-Slido mrosa (magenta) Crculo:Pontilhado cAzul
(ciano)xX-.Ponto Trao rVermelho+Mais--Tracejado gVerde*Asterisco
bAzulsQuadrado wBrancovTringulo para baixo kPreto^Tringulo para
cima 54 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do
Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR
ppentgono
Oexemploaseguirmostraumsinalsendoplotado,utilizandoalgunscomandos
auxiliares. 7.1.1Comando Subplot possvel colocar mais de um
conjunto de eixos em uma mesma figura,
criandoassimmltiplosdiagramas.Ossubdiagramassocriadospelocomando 0
5 10 15-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Funo Seno
Amorteciday(t)Tempo(s)>> t = 0:0.01:15; >> r =
exp(-0.1*t).*sin(2*t); >> plot(t,r,'g.') >> title('Funo
Seno Amortecida') >> ylabel('y(t)'); >>
xlabel('Tempo(s)'); >>grid on; 55 Ministrio da Educao
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UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR
subplot(i,j,k),ondeirepresentaonmerodelinhasejonmerodecolunasek
indica a posio do grfico.
Plotarasfunessen(x)ecos(x),comx=-pi:pi/20:pi,namesmajanela mas em
grficos separados, utilizando o comandosubplot para dividir a
janela em dois subgrficos.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1-0.500.51Grfico1-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4-1-0.500.51Grfico2>> x = -pi:pi/20:pi; >> a = sin(x);
>> b = cos(x); >> subplot(211) >> plot(x,a);
>> title('Grfico_1'); >> grid on; >> subplot(212)
>> plot(x,b); >> title('Grfico_2'); >> grid on;
56 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran
Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 7.2
COMANDO POLAR OMATLABcontmumafunochamapolar(theta,r)quedestinadaa
plotar grficos nas coordenadas polares. Exemplo: Cardiide A
Cardiide pode ser expressa atravs de coordenadas polares:
Utilizando o comando polar, grafique a Cardiide:
1234302106024090270120300150330180 0Cardioide em Coordenadas
Polares>> theta = 0:pi/50:2*pi; >> r =
2*(1+cos(theta)); >> polar(theta,r,'y+'); >>
title('Cardioide em Coordenadas Polares') 57 Ministrio da Educao
Universidade Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica
UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 7.3
HISTOGRAMASUmhistogramaumdiagramaquemostraadistribuiodevaloresem um
conjunto de dados. Para criar um histograma, a faixa de valores em
um conjunto de dados dividida em grupos regularmente espaados, e o
nmero de valores de
dadosquedistribuememcadagrupodeterminado.Acontagemresultantepode
ser representada em um diagrama como funo do nmero do grupo.Alguns
das snteses para gerar histogramas so: hist(y), cria um histograma
com 10 grupos igualmente espaados. hist(y,n), cria um histograma
com n grupos igualmente espaados. Exemplo: Dicas teis: O Comando
'print -dmeta' pode ser utilizado no Command Window para exportar
uma figura em alta qualidade para a rea de transferncia. O Comando
'figure(n)' criar uma figura nova no qual o plot ser gerado. -3 -2
-1 0 1 2 3051015202530Histograma>> y = randn(100,1); >>
hist(y) >> title(Histograma) 58 Ministrio da Educao
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UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 8.PROGRAMAO .M A
utilizao da janela Command Window excelente para a realizao de
pequenosclculosmatemticos,porpermitiravisualizaoinstantneados
resultadosdosclculosrealizados,maspodesetornarinvivelquandoseest
trabalhandocomclculosmaiscomplexos.Muitasvezestentarresolverum
determinadoproblemanoMATLABdigitandomuitoscomandosconsecutivospode
sertrabalhosoouatmesmoimpraticvel.Seforemnecessriasmodificaesou
correes em um determinado comando da srie executada e os resultados
gerados por eles afetarem comandos em uma certa sequncia encadeada,
toda a sequncia
decomandosdeveserselecionadaeexecutadanovamentenalinhadopromptda
janelaCommandWindow,ouseja,ocomandodasriedeveserchamadoe executado
todo de uma vez. Uma formadiferentedeexecutarcomandos noMATLAB
primeirocriar um arquivo com uma lista de comandos, salv-la e, ento
rodar o arquivo. Quando o
arquivoexecutado,alistadecomandosexecutadanaordememqueesto
listadasnoarquivo.Casosejanecessriascorreesoualteraesnessearquivo,
basta abri-lo, modificar os comandos ou a sequncia lgica de
interesse, salv-lo e
testaronovoarquivo.Osarquivoscriadoscomessepropsitosodenominados
rotinas, m-files ou script files. Observa-se tambm que o smbolo (%)
utilizado para
inserircomentriosnocdigodeprogramaoosquaisnosoexecutadospelo
compilador.importantesalientarqueonomedoarquivo.mnopodeconter
espaos. 8.1 ALGORITMOS .M Quando uma rotina executada, as variveis
usadas nos clculos dentro
doarquivodevemserinicializadasafimdeotimizarotempodeexecuodo
algoritmo. Alm disso, algumas observaes devem ser levadas em conta
quanto ao uso para elaborao do algoritmo: 59 Ministrio da Educao
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RotinaumasequnciadecomandosdoMATLAB(tambmdenomida programa); Quando
uma rotina testada, o MATLAB executa os comandos na ordem em que
eles foram escritos; Quando uma rotina possui um comando que gera
uma sada, a mesma exibida na janela Command Window;
Ousoderotinasbastanteconveniente,porqueelaspodemser reeditadas e
executadas muitas vezes;
possveldigitare/oueditarrotinasemqualquereditordetextoe,em seguida,
col las no editor do MATLAB. As rotinas do MATLAB so denominas
M-files, porque lhes so atribudas extenses .m quando salvadas.
Exemplos de programas .m:
1)Oprogramaaseguirefetuaoclculodamdiadasnotasdeprovasdeum
alunoduranteosemestre,permitindoaousurioaentradadecadanotadas
provas e retornando a situao do aluno. % Esta rotina calcula a mdia
das provas. % A nota das provas so atribudas as variveis nota por
meio do comando input % Notas da Provas do Acadmico prova1 =
input('Nota da Prova 1: '); prova2 = input('Nota da Prova 2: ');
prova3 = input('Nota da Prova 3: ');
%Mdia das Provas media_final = (prova1+prova2+prova3)/3
if (media_final > 70) disp('Aprovado - Parabens'); else
disp('Exame'); prova_exame = input('Nota do Exame: '); nota_final =
(prova_exame + media_final)/2 if(nota_final > 50) disp('Aprovado
- Exame'); else disp('Reprovado'); end end 60 Ministrio da Educao
Universidade Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica
UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR 2)Efetua o clculo de
lanamento de um projtil. 3)Divisor de Tenso Quando resistores so
conectados para formar um circuito
srie,aquedadetensoemcadaumdelespodeserdeterminadaspelaregra do
divisor de tenso:
Onde Vn, Rn,Reqe Vs so respectivamente a queda de tenso sobre o
resistor n, a resistncia do resistor,a resistncia equivalente ou
total e a tenso da fonte. A potncia dissipada em cada resistor dada
por:
A figura abaixo apresenta um circuito com sete resistores
conectados em srie. VsR1 R2 R3R4R5 R6 R7 Para calcular a queda de
tenso e a potncia dissipada em cada resistor
deumcircuitosriecomseteresistoresdesenvolveu-seumscriptdeMATLAB,o
qualpermitequeousurioinsiraemumvetorovalordafontedetensoea % Este
algoritmo calcula o alcance do lanamento do projetil % dados a
velocidade inicial e o ngulo de lancamento.
v = 1500;% Velocidade inicial em Km/h teta = 30; % ngulo (em
graus) vms = v*1000/3600; % Velocidade inicial em m/s t =
vms*sin(30*pi/180)/9.8; d = vms*cos(30*pi/180)*2*t/1000;
fprintf('O projtil foi lanado a %2.2f graus, com velocidade
inicial %4.2f Km/h \n e atingira o solo a uma distncia de %g
km',teta,v,d) 61 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica
Federal do Paran Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL
DO PARANPR
resistnciadecadaresistor.Oprogramaexibirumatabelacomasresistncias
listadasnaprimeiracoluna,aquedadetensonasegundacolunaeapotncia
dissipadanaterceiracoluna.Apsatabela,oprogramadeveexibiracorrenteno
circuito e a potncia total dissipada. Sugesto de valores do
circuito: Vs = 24V, R1 = 20, R2 = 14, R3 = 12, R4 = 18, R5 = 8, R6
= 15, R7 = 10 8.2 FUNO DISP E FPRINTF
Ocomandodispmostraovalordasvariveisnatela.Aindapossvel utiliz-lo
para combinar frases com variveis alfanumricas. Para que isso
acontea, % Este programa calcula a queda de tenso em cada resistor
em um circuito % em srie Vs = input('Tenso da fonte do circuito
eltrico: '); for i=1:7 Resistores = input('Valores dos resistores
como elementos de um vetor.\n '); Rn(1,i) = [Resistores]; end Req =
sum(Rn);
Vn = Rn*Vs/Req; Pn = Rn*Vs^2/Req^2;
i = Vs/Req;
Potencia_Total = Vs*i;
Tabela = [Rn',Vn',Pn'];
disp('') disp('ResistnciaTenso Potncia') disp('(Ohms)(Volts)
(Watts)') disp('') disp(Tabela) disp('')
fprintf('A corrente no circuito e %.3f Amps',i) fprintf('\n A
potncia total dissipada no circuito e %.3f Watts',Potencia_Total)
62 Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran
Engenharia Eltrica UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR
interessantecombinarocomandodispcomocomandonum2strqueconvertem
valores numricos em valores alfanumricos. O comando num2str
converte qualquer
nmero(oumatriz)emumacadeiadecaractere,mantendooformatodos
elementos, j o comando int2srt converte primeiro os valores
inteiros, para s ento transform-los em caracteres.
Ocomandofprintfumdosmtodosmaissimplesdesadadedados.
Comelepossvelcombinarfrasescomvariveisnumricasdedimenso1,ou seja,
um escalar ou um elemento da matriz.Exemplo:
Acimaoqueestentreaspasaparecerparaousurio,ositensonde
aparecem%dserosubstitudospelasvariveis,respeitando-seaordememque
aparecem.Ainda,%dsignificaquesapareceraparteinteiradexey.Existem,
ainda, os seguintes comandos: %dExibe o valor como inteiro %eExibe
o valor no formato exponencial %f Exibe o valor em ponto flutuante
%gEscolhe o mais curto entre ponto flutuante e exponencial Frase =
[O valor de e^13 :num2srt(exp(13))]; Disp(frase) x = 2; y = 5;
fprintf(O x vale %d, enquanto y vale %d,X,Y) 63 Ministrio da Educao
Universidade Tecnolgica Federal do Paran Engenharia Eltrica
UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARANPR REFERNCIAS
HANSELMAN,D;LITTLEFIELD,B;MATLAB Verso EstudanteGuiadoUsurio Verso
4. MAKRON Books do Brasil. So Paulo,1997.
NoesBsicasdeUtilizaoeProgramaoemMatlab,CursodeMatemtica, Programa
de Educao Tutorial, Universidade Federal de Santa Maria, 2008
Frederico Ferreira Campos Filho, Apostila de Matlab. Departamento
de Cincia da Computao, ICEX, UFMG.
PETENGENHARIAELTRICAUFSM;IntroduoaoMATLAB.SantaMaria,2007.
Disponvel em :http://www.ufsm.br/petee/
http://www.mathworks.com/help/matlab