1 BAB I PENGANTAR LOGIKA INFORMATIKA Dalam bidang informatika, logika informatika merupakan matakuliah yang wajib dikuasai sebelum anda mendalami mata kuliah yang lain. Hal itu dikarenakan materi yang dipelajari dalam logika informatika akan digunakan penerapannya pada mata kuliah yang lain seperti algoritma pemrograman dan mata kuliah yang lain khususnya berhubungan dengan pemrograman. Sejarah Logika Informatika Logika pertama kali dikemukakan oleh Aristoteles, pada abad 4 SM. Ia merumuskan logika dengan cara menuliskan argumen/pendapat yang akan bisa dibuktikan kebenarannya yang disebut dengan silogisme. Sebuah contoh silogisme (disebut silogisme Barbara): Premis : Semua A adalah B. Premis : Semua B adalah C. Konklusi : Semua A adalah C. Sejak itu, banyak pemikir yang menemukan konsep-konsep lain tentang logika tetapi masih berkisar pada pemikiran Aristoteles, sampai pada paruh terakhir abad 19 dengan tokoh-tokoh baru dengan pemikiran-pemikiran baru yaitu: No. Nama/Tahun Pemikiran 1. Augustus De Morgan(1806-1871) Induksi Matematika, Hukum Ekuivalensi Logika De Morgan 2. George Boole(1815-1871) Aljabar Boole 3. Giuseppe Peano(1858-1932) Penemu istilah logika matematika dan teori himpunan 4. Emil L Post(1897-1954) Tabel Kebenaran 5. Ludwig JJ Wittgenstein(1889- 1951) Tabel Kebenaran 6. John Venn(1834-1923) Diagram Venn 7. Henry M Sheffer(1882-1964) NAND, NOR Dan masih banyak tokoh-tokoh lain.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
BAB I
PENGANTAR LOGIKA INFORMATIKA
Dalam bidang informatika, logika informatika merupakan matakuliah yang wajib
dikuasai sebelum anda mendalami mata kuliah yang lain. Hal itu dikarenakan materi
yang dipelajari dalam logika informatika akan digunakan penerapannya pada mata kuliah
yang lain seperti algoritma pemrograman dan mata kuliah yang lain khususnya
berhubungan dengan pemrograman.
Sejarah Logika Informatika
Logika pertama kali dikemukakan oleh Aristoteles, pada abad 4 SM. Ia
merumuskan logika dengan cara menuliskan argumen/pendapat yang akan bisa
dibuktikan kebenarannya yang disebut dengan silogisme.
Sebuah contoh silogisme (disebut silogisme Barbara):
Premis : Semua A adalah B.
Premis : Semua B adalah C.
Konklusi : Semua A adalah C.
Sejak itu, banyak pemikir yang menemukan konsep-konsep lain tentang logika
tetapi masih berkisar pada pemikiran Aristoteles, sampai pada paruh terakhir abad 19
dengan tokoh-tokoh baru dengan pemikiran-pemikiran baru yaitu:
No. Nama/Tahun Pemikiran 1. Augustus De Morgan(1806-1871) Induksi Matematika, Hukum
Ekuivalensi Logika De Morgan
2. George Boole(1815-1871) Aljabar Boole 3. Giuseppe Peano(1858-1932) Penemu istilah logika matematika dan
teori himpunan
4. Emil L Post(1897-1954) Tabel Kebenaran 5. Ludwig JJ Wittgenstein(1889-
1951) Tabel Kebenaran
6. John Venn(1834-1923) Diagram Venn 7. Henry M Sheffer(1882-1964) NAND, NOR Dan masih banyak tokoh-tokoh lain.
2
Arti Logika Informatika
Pada masa Aristoteles, logika merupakan satu bahasan dalam ilmu tertua di dunia,
yaitu Filsafat. Baru pada masa-masa berikutnya logika masuk ke berbagai bidang ilmu-
ilmu yang lebih muda seperti ilmu hitung/matematika, dan kini komputer/informatika.
Dari arti katanya dalam bahasa Yunani, yaitu logike/logos yang berarti ilmu/pikiran,
logika bisa diartikan sebagai perkataan sebagai manifestasi dari pikiran manusia. Atau,
logika adalah ilmu yang mempelajari (jalan) pikiran yang diungkapkan dalam bahasa.
Arti logika menurut bahasan logika modern, terdapat banyak versi. Dua versi dari definisi
logika adalah:
1. Ilmu pengetahuan yang berkaitan dengan prinsip-prinsip dari penalaran argumen
yang valid.
2. Studi tentang kriteria-kriteria untuk mengevaluasi argumen-argumen dengan
menentukan mana yang valid dan tidak valid, dan membedakan antara argumen
yang baik dan tidak baik.
Sedangkan logika informatika sendiri, dapat diartikan sebagai:
1. Aturan-aturan logika yang menggunakan kaidah-kaidah tertentu dalam informatika
yang dipergunakan untuk membuktikan validitas suatu argumen.
2. Aturan-aturan logika yang menggunakan kaidah-kaidah tertentu dalam matematika
yang dipergunakan untuk membuktikan validitas suatu argumen dalam bidang
informatika.
Argumen dan Silogisme
Argumen
Adalah usaha untuk mencari kebenaran dari suatu pernyataan berupa kesimpulan dengan
berdasarkan pada kebenaran dari satu kumpulan pernyataan yang disebut premis-premis.
Silogisme
Logika berawal dari pertanyaan-pertanyaan yang paling mendasar di kehidupan ini.
Silogisme Aristoteles, menurutnya, adalah suatu argumen yang terbentuk dari
pernyataan-pernyataan dengan salah satu atau keempat bentuk berikut:
1. Semua A adalah B. (universal affirmative)
2. Tidak A adalah B. (universal negative)
3. Beberapa A adalah B. (particular affirmative)
4. Beberapa A adalah tidak B. (particular negative)
3
Huruf A dan B diatas menggantikan suatu kata benda, misalnya ‘manusia’, ‘cuaca’, dan
sebagainya yang disebut terms of syllogism atau pokok dari silogisme.
Suatu silogisme yang berbentuk sempurna (well-formed syllogism) adalah silogisme yang
memiliki dua buah premis dan satu kesimpulan, dimana setiap premis memiliki satu
pokok(term) bersama dengan kesimpulan dan satu lagi pokok bersama dengan premis
lainnya.
Contoh sebuah silogisme sempurna:
Premis : Semua A adalah B.
Premis : Semua B adalah C.
Konklusi : Semua A adalah C.
(Pada premis pertama, A sama dengan A pada kesimpulan, dan ia juga memiliki B yang
sama dengan B pada premis kedua.)
Manfaat Logika Informatika
Logika informatika digunakan dalam semua bidang pada ilmu informatika. Dari
pembuatan konsep, penulisan software hingga cara kerja hardware. Contoh beberapa
manfaat logika informatika:
1. Membuat program.
Contoh, struktur IF-THEN...ELSE dalam bahasa Pascal
IF kondisi THEN
Statemen1
ELSE
Statemen2;
2. Database.
Contoh, mencari daftar mahasiswa Informatika UNSOED angkatan 2008 yang
nilai IPK-nya 4.
3. Cara kerja komputer(mesin).
Level logika pada komputer. Masing-masing level komputer menggunakan level
logika yang berbeda(dari logika elektronik 0 dan 1 hingga logika manusia dalam
bahasa pemrograman tingkat tinggi) tetapi semua bekerja berdasar prinsip-prinsip
logika.
4
Gambaran level logika yang berlaku sesuai dengan bahasa pemrograman yang
digunakan:
Studi kasus: Search Engine Google.
Search engine google menggunakan prinsip logika dalam pencariannya.
Contoh:
1. Menggunakan operator AND. Diwakili dengan tanda + .
Pencarian akan ’teknik+informatika’ di Google akan menghasilkan data yang
terdiri dari teknik dan informatika.
5
2. Menggunakan operator OR Pencarian dengan ketentuan ’teknik OR informatika’. Hasil pencarian akan menampilkan kata teknik saja atau informatika saja.
3. Menggunakan operator NOT Pencarian dengan ketentuan teknik NOT informatika, dilambangkan dengan ’teknik –informatika’ akan menghasilkan pencarian akan kata ’teknik’ saja, yang tidak mengandung kata ’informatika’.
6
BAB II
ALJABAR PROPOSISI
Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, edangkan kalimat adalah
kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam
matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan
dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat
menerangkan dan disebut juga proposisi.
Semesta Pembicaraan
Semesta pembicaraan adalah keseluruhan obyek yang dibicarakan.
Contoh:
• Pada kehidupan sehari-hari
• Pada ilmu hitung
• Pada astronomi
• Pada Informatika
• Dll
Pada himpunan dapat di gambarkan sebagai berikut :
Bahasa adalah rangkaian simbol-simbol yang diucapkan atau ditulis menurut aturan-
aturan tertentu.
Contoh:
• I watch TV till 12 o’clock last night.
ا()أ •
• Geef mij maar nasi goreng met een gebakken ei
Wat sambal en wat kroepoek en een goed glas bier erbij.
• Bonjour! Je m’appelle Hesti.
• Guten tag! Mein Name ist Hesti.
S
7
• Konnichiwa.
Kalimat Deklaratif
Kalimat Deklaratif /Pernyataan/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau
salah tetapi tidak keduanya.
Contoh :
1. Yogyakarta adalah kota pelajar (Benar).
2. 2+2=4 (Benar).
3. Semua manusia adalah fana (Benar).
4. 4 adalah bilangan prima (Salah).
5. 5x12=90 (Salah).
Tidak semua kalimat berupa proposisi
Contoh :
1. Dimanakah letak pulau bali?.
2. Pandaikah dia?.
3. Andi lebih tinggi daripada Tina.
4. 3x-2y=5x+4.
5. x+y=2.
Validitas Argumen
Argumen adalah suatu pernyataan tegas yang diberikan oleh sekumpulan proposisi
P1, P2, .........,Pn yang disebut premis (hipotesa/asumsi) dan menghasilkan proposisi Q
yang lain yang disebut konklusi (kesimpulan). Secara umum di notasikan dengan
Argumen disebut benar apabila telah memenuhi syarat:
1. Konklusi/hasil kesimpulan dari argumen tersebut benar setelah melalui suatu
proses observas/dapat dibuktikan.
2. Langkah-langkah penalaran sesuai dengan hukum-hukum logika.
8
Premis :
• Jika hari ini cerah saya bermain futsal.
• Saya bermain futsal.
Kesimpulan: Hari ini cerah.
Argumen ini kuat karena:
1. Kesimpulan yg diambil benar.
2. Langkah penalaran tepat.
Semantik-Sintaks :
• Jika hari ini cerah saya bermain futsal.
• Saya bermain futsal.
Kesimpulan: Hari ini cerah.
Yang diperhatikan dalam logika hanyalah bentuk kalimat/sintaks-nya saja. Isi/arti
kalimat/semantik bukan merupakan bahasan.
Contoh Semantik-Sintaks
– Dia tidak kaya dan tidak bahagia.
– Menjadi miskin berarti menjadi tak bahagia.
– Seseorang tak pernah bahagia jika dia kaya.
– Dia miskin tetapi bahagia.
– Jika dia tak dapat kaya maka bahagia.
– Jika dia tidak bahagia maka ia miskin.
– Jika dia tak miskin dan tak bahagia maka ia kaya.
– Menjadi kaya berarti sama seperti menjadi bahagia.
– Dia miskin atau jika tidak maka dia kaya dan tak bahagia.
– Jika dia tidak miskin, maka dia bahagia.
SOUND ARGUMENT
POLA:
Semua X adalah Y
Beberapa Y adalah Z
Maka beberapa X adalah Z
9
Contoh Argumen kuat:
• Semua Toyota adalah mobil Jepang.
• Beberapa mobil Jepang dibuat di Indonesia.
• Maka beberapa Toyota dibuat di Indonesia.
UNSOUND ARGUMENT
Pola :
Semua X adalah Y
Beberapa Y adalah Z
Maka beberapa X adalah Z
Contoh 1 :
Semua Toyota adalah mobil.
Beberapa mobil adalah Porche.
Maka beberapa Toyota adalah Porche.
Contoh 2 :
Semua angkatan 2008 mengambil kuliah login.
Beberapa mahasiswa yang mengambil login adalah angkatan 2007.
Maka beberapa mahasiswa angkatan 2008 adalah angkatan 2007.
Dibuat di
Indonesia
S:Mobil Jepang
T S
Mobil
T
P
10
Proposisi Atomik dan Majemuk
Dilihat dari kompleksitasnya, proposisi terdiri dari proposisi :
1. Proposisi atomik adalah proposisi yang tidak dapat dipecah-pecah menjadi beberapa
proposisi lagi.
2. Proposisi majemuk adalah proposisi yang terdiri dari beberapa proposisi atomik.
Contoh :
• Hari hujan.
• Jika hari hujan maka saya berangkat kuliah.
• Menonton konser Kangen Band.
• Saya tidur atau menonton konser Kangen Band.
• Ada bug.
• Masukannya salah.
• Ada bug dan masukannya salah.
• Setiap orang Indonesia pintar.
• Jack pintar, demikian juga Jen.
• Jack dan Jen sama-sama pintar.
• Mike pintar dan nilai-nilainya bagus.
• Ralph pintar atau rajin.
Kata-kata Penghubung Kalimat
Dalam menggabungkan proposisi atomik menjadi sebuah proposisi majemuk,
diperlukan sebuah kata penghubung/perangkai kalimat.
• DAN
• ATAU
• BUKAN
Mhsw Ambil Login
2008
2007
11
• JIKA
• JIKA DAN HANYA JIKA
SIMBOL ARTI BENTUK
⌐ atau ‾ Tidak/Bukan/Not/Negasi Tidak...
Λ Dan/And/Konjungsi ...dan...
V Atau/Or/Disjungsi ...atau...
=> Implikasi Jika...maka...
⌠ Biimplikasi ...jika dan hanya jika...
Contoh Penggunaan kata penghubung :
Proposisi atomik A: Hari ini hujan.
Dan proposisi atomik B: Hari ini mendung.
N PROPOSISI SMBL
1. Hari ini hujan A
2. Hari ini mendung B
3. Hari ini tidak hujan ⌐A
4. Hari ini tidak mendung ⌐B
5. Hari ini hujan dan mendung A Λ B
6. Hari ini hujan atau mendung A V B
7. Hari ini tidak hujan tetapi mendung ⌐A Λ B
8. Jika hari ini hujan maka akan mendung A=>B
9. Hari ini hujan jika dan hanya jika hari mendung A⌠B
Tabel Kebenaran
Tabel kebenaran adalah tabel nilai yang mendefinisikan nilai kebenaran
keseluruhan kalimat berdasarkan nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.
Negasi :
Negasi suatu pernyataan P adalah pernyataan baru yang bernilai salah jika P benar dan
bernilai benar jika P bernilai salah.
notasi negasi P adalah ∼P
12
P ~P
T F
F T
Misal : P adl “x lebih kecil dari 5” , negasinya adl :
1. Tidak( lah benar ) x lebih kecil dari 5
2. x tidak lebih kecil dari 5
3. x lebih besar atau sama dengan 5
Konjungsi
Konjungsi dari dua pernyataan P dan Q ditulis P∧Q (dibaca P and Q) adalah suatu
pernyataan yang bernilai benar jika kedua komponennya, yaitu p dan q, bernilai benar,
dan akan bernilai salah jika salah satu komponennya bernilai salah.
Tabel kebenarannya adalah :
P Q P ΛΛΛΛ Q
T T T
T F F
F T F
F F F
Perhatikan bahwa walaupun menggunakan istilah ”dan”, dua kalimat yang dihubungkan
tidak harus mempunyai hubungan. Misal : “Yogyakarta ibukota propinsi DIY dan 112
habis dibagi 2”, dalam logika di pandang sebagai suatu pernyataan yang sah Selanjutnya
pandang :
1. P : Ali dan Budi duduk dikelas 2
2. Q : Ali dan Budi bersaudara
P merupakan konjungsi sedang Q bukan.
Disjungsi
Disjungsi (inklusif) dari dua pernyataan P atau Q ditulis P∨Q (dibaca P atau Q)
adalah suatu pernyataan yang bernilai benar jika salah satu kom ponennya, yaitu p atau q,
bernilai benar, dan ber nilai salah jika kedua komponennya bernilai salah
Tabel kebenarannya adalah :
P Q P V Q
13
T T T
T F T
F T T
F F F
Implikasi
Implikasi dua pernyataan P dan Q adalah P → Q yang dibaca “ Jika P maka Q ”.
Pernyataan implikasi disebut juga pernyataan bersyarat Suatu implikasi P → Q bernilai
salah jika P benar dan Q salah, dan bernilai benar jika yang lain
Tabel kebenarannya adalah :
P Q P => Q
T T T
T F F
F T T
F F T
Dalam pernyataan P → Q, P disebut anteseden dan Q disebut konsekuen.
Perhatikan kalimat dibawah ini :
Jika Anda mengendarai mobil maka anda harus memakai sabuk pengaman.
Jika Anda masuk kawasan pabrik, maka Anda harus mengenakan tanda pengenal
• Seseorang yang mengendarai mobil dan memakai sabuk pengaman tentunya
tidak menyalahi aturan (benar, sebab P= benar, Q = benar),
• orang yang mengendarai mobil tidak pakai sabuk pengaman jelas menyalahi
aturan (salah ,sebab P = benar, Q = salah);
• Orang yang naik gerobak dan memakai sabuk pengaman tidak menyalahi aturan
(benar, sebab P=salah, Q=betul), dan
• Orang yang naik gerobak tidak memakai sabuk pengaman tak menyalahi aturan
(benar, sebab P=Salah, Q=salah)
Pernyataan lain daripada “ Jika P maka Q “
adalah :
1. Q jika P
2. P hanya jika Q
3. Q merupakan sarat perlu untuk P
4. P merupakan sarat cukup untuk Q
Contoh :
14
1. Tuliskan kalimat dibawah ini dengan simbol logika
a. Saya akan berlibur ke Bali hanya jika saya lulus ujian
b. Sarat perlu agar 273 habis dibagi 3 adalah 273 merupakan bilangan prima
c. Saya akan memberi anda uang apabila saya lulus ujian atau saya mendapat hadiah
TTS
Jawab
a. P = saya berlibur ke Bali, Q = Saya lulus ujian
Kalimatnya menjadi : P � Q
b. P = 273 habis dibagi 3, Q = 273 merupakan bilangan prima
Kalimatnya menjadi : P � Q
c. P = Saya memberi Anda uang, Q = Saya lulus ujian, dan
R = saya mendapat hadiah TTS
Kalimatnya menjadi : (Q ∨ R) � P
2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan dibawah ini :
a. Jika Jakarta bukan ibukota RI, maka 9 juga bukan
bilangan prima
b. 2+2 = 2x2 hanya bila 2 =0
c. 2<3 merupakan syarat cukup untuk 2x2 < 3x3
Jawab :
a. Benar, karena anteseden salah (Jakarta bukan ibu
kota RI)
b. Salah, karena anteseden (2+2 = 2x2) benar sedangkn
konsekuennya (2 = 0 ) salah
c. Benar, karena konsekuennya (2x2 ,3x3) benar
Bi-Implikasi
BI-Implikasi dua pernyataan P dan Q adalah P↔Q yang dibaca “ P jika dan hanya
jika Q ” (disingkat P bhb Q) . Pernyataan Bi-implikasi bernilai benar jika P dan Q
keduanya bernilai sama, sedangkan jika nilai nilai P tidak sama dengan nilai Q maka nilai
pernyataan tersebut salah.
Tabel kebenarannya adalah :
15
P Q P <=> Q
T T T
T F F
F T F
F F T
Suatu pernyataan bentuk bi-implikasi dapat disajikan dengan :
1. P merupakan sarat perlu dan cukup untuk Q
2. P ekuivalen dengan Q
Contoh
X merupakan bilangan gasal bhb X habis dibagi 3
Jawab :
Misal P = X merupakan bilangan gasal
Q = X habis dibagi 3
Kalimatnya : P ↔ Q
Ekuivalen
Dua kalimat disebut ekuivalen(secara logika) jika dan hanya jika keduanya mempunyai
nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran masing-masing kalimat
penyusunnya.
Jika A dan B adalah kalimat-kalimat yang ekuivalen, maka dituliskan A ≡B (atau A�B).
Jika A ≡B maka B ≡A juga.
Contoh 1 :
Tentukan apakah kalimat dibawah ini ekuivalen:
• -(-A) dengan A
• -(A Λ B) dengan -A Λ-B
• A=>B dengan –A V B
Buat tabel kebenaran untuk membuktikannya
A ~A ~(~A)
16
T F T
F T F
Contoh 2 :
Tentukan apakah kalimat dibawah ini ekuivalen:
• -(-A) dengan A, terbukti –(-A) ≡A
• -(A ΛB) dengan -A Λ-B
• A=>B dengan –A V B
Buat tabel kebenaran untuk membuktikannya
A B A ΛΛΛΛB ~ (A ΛΛΛΛB) ~A ~B ~ A ΛΛΛΛ~B
T T T F F F F
T F F T F T F
F T F T T F F
F F F T T T T
Contoh 3 :
Tentukan apakah kalimat dibawah ini ekuivalen:
• -(-A) dengan A, terbukti –(-A) ≡A
• -(A ΛB) ≡-A Λ-B, (tidak terbukti)
• A=>B dengan –A V B
Buat tabel kebenaran untuk membuktikannya
A B A => B ~A ~A V B
T T T F T
T F F F F
F T T T T
F F T T T
Terbukti A => B ≡ ~A V B
Hukum-hukum Ekuivalensi Logika :
1. Hukum Komutatif:
17
• p Λq ≡ q Λp,
• P V q ≡ q V p.
2. Hukum Asosiatif:
• (p Λq) Λr ≡ p Λ(q Λr),
• (p V q) V r ≡ p V (q V r)
3. Hukum Distributif:
• p Λ(q V r) ≡ (p Λq) V (p Λr),
• p V (q Λr ) ≡ (p V q) Λ(p V r)
4. Hukum Identitas:
• p ΛT ≡ p,
• p V F ≡p
5. Hukum Ikatan:
• p V T ≡ T,
• p ΛF ≡F
6. Hukum Negasi:
• p v ⌐p ≡T,
• P ^ ⌐p ≡F.
7. Hukum Negasi Ganda:
• ⌐(⌐)p ≡p
8. Hukum Idempoten:
• p^p ≡p,
• pvp ≡p
9. Hukum De Morgan:
• ⌐(p^q) ≡⌐p v ⌐q
• ⌐(pvq) ≡⌐p ^ ⌐q
10. Hukum Absorbsi:
• p v (p^q) ≡ p,
• p ^ (p v q) ≡ p
11. Negasi T dan F:
• ⌐T ≡ F, ⌐F ≡ T
12. Hukum Implikasi:
• p=>q ≡ ⌐p v q
18
13. Hukum Kontraposisi:
• p=>q ≡⌐q => ⌐p,
14. Hukum Biimplikasi:
• ⌐T ≡F,
• p �q ≡ (p=>q) ^(q=>p)
15. Negasi Q, Sama Dengan P
• (pΛq) v (p^⌐q) ≡p,
• (pvq) ^ (pv⌐q) ≡p,
16. Negasi P, Sama Dengan Q
• (pΛq)v(⌐p^q) ≡q,
• (pvq) ^ (⌐pvq) ≡q,
Penyederhanaan
Contoh : Sederhanakan bentuk
• ⌐(⌐A ^ B)^(AvB) ≡ (⌐(⌐A)v ⌐B) ^ (AvB)
≡ (Av ⌐B) ^ (AvB)
≡ Av( ⌐B ^B)
≡ AvF
≡ A
• -(Av-B)v(-A^-B) ≡ -A
• -(Av-B)v(-A^-B) ≡ (-A^-(-B))v(-A^-B)
≡ (-A^B)v(-A^-B)
≡ -A^(Bv-B)
≡ -A^T
≡ -A
• (pvF)^(pv-p) ≡ p^(pv-p)
≡ p^T
≡ p
• -p =>-(p=>-q) ≡ --pv-(p=>-q)
≡ --pv-(-pv-q)
≡ --pv(--p^--q)
≡ pv(p^q)≡p
19
Tautologi, Kontradiksi dan Contingent
Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (True) tidak peduli
bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya, sebaliknya
kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (False), tidak peduli
bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.
Dalam tabel kebenaran, suatu tautologi selalu bernilai True pada semua barisnya
dan kontradiksi selalu bernilai False pada semua baris. Kalau suatu kalimat tautologi
diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya akan menghasilkan True,
sebaliknya kontradiksi akan selalu bernilai False.
Jika pada semua nilai kebenaran menghasilkan nilai F dan T, maka disebut formula
campuran (contingent).
Contoh :
1. Tunjukkan bahwa pV(¬p) adalah tautologi!
P ¬P P V (¬P)
T T T
T F T
F T T
F F T
2. Tunjukkan bahwa (pVq) V [(¬p) ∧ (¬q)] adalah tautologi!
p q ¬p ¬q ¬p ∧∧∧∧ ¬q (pVq) V [(¬p) ∧∧∧∧ (¬q)]
T T T F F T
T F F T F T
F T T F F T
F F F T T T
3. Tunjukkan bahwa (pVq) ∧ [(¬p) ∧ (¬q)] adalah kontradiksi!
p q ¬p ¬q ¬p ∧∧∧∧ ¬q (pVq) ∧∧∧∧ [(¬p) ∧∧∧∧ (¬q)]
T T T F F F
T F F T F F
F T T F F F
F F F T T F
20
4. Tunjukkan bahwa [(p ∧ q) => r] => p adalah contingent!
p q r p ∧∧∧∧ q (p ∧∧∧∧ q) => r [(p ∧∧∧∧ q) => r] => p
T T T T T T
T T F T T T
T F T F F T
T F F F F T
F T T F T F
F T F F T F
F F T F T F
F F F F T F
KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
“Jika hari ini mendung maka Rafif membawa payung”
contoh konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi di atas :
Misal p : hari ini mendung
q : Rafif membawa payung
maka kalimatnya menjadi p => q atau jika menggunakan operator dan maka p => q
ekuivalen(sebanding/≈) dengan ¬p v q. Sehingga :
1. Konvers : q => p ≈ ¬q v p
Kalimat :
• Jika Rafif membawa payung maka hari ini mendung (q => p)
• Rafif tidak membawa payung atau hari ini mendung (¬q v p)
2. Invers : ¬p => ¬q ≈ p ∧¬q
Kalimat :
• Jika Rafif tidak membawa payung maka hari ini tidak mendung (¬p => ¬q)
• Rafif membawa payung dan hari ini tidak mendung (p ∧¬q)
4. Kontraposisi : ¬q => ¬p ≈ q v ¬p
Kalimat :
• Jika hari ini tidak mendung maka Rafif tidak membawa payung (¬q =>¬p)
• hari ini mendung atau Rafif tidak membawa payung dan (q ∧ ¬p)
21
Inferensi Logika
Nilai kebenaran suatu argumen ditentukan sebagai berikut :
“ Suatu argumen P1,P2,…………,,Pn _ Q dikatakan benar (valid) jika Q bernilai benar
untuk semua premis yang benar dan argumen dalam keadaan selain itu dikatakan salah
(invalid/fallacy)”.
Dengan kata lain, suatu argumen dikatakan valid apabila untuk sembarang pernyataan
yang disubtitusikan ke dalam premis, jika semua premis benar maka konklusinya juga
benar. Sebaliknya jika semua premis benar tetapi konklusinya ada yang salah maka
argumen tersebut dikatakan invalid (fallacy).
Jadi suatu argumen dikatakan valid jika dan hanya jika proposisi P1∧P2∧........∧Pn) |- Q
adalah sebuah Tautologi.
Contoh :
1. Premis
P1 : Jika Office dan Delphi diperlukan maka semua orang akan belajar computer
P2 : Office dan Delphi diperlukan
Konklusi
Q : Semua orang akan belajar computer
Jika ditulis dalam bentuk notasi logika
Misal p : Office dan Delphi diperlukan
q : Semua orang belajar computer
Maka argumen diatas dapat ditulis :
p => q, p |- q (valid)
2. Misal p : Saya suka kalkulus
q : Saya lulus ujian kalkulus
Maka argumen p _ q, p _ q dapat ditulis
P1 : Jika saya suka kalkulus, maka saya akan lulus ujian kalkulus
P2 : Saya lulus ujian kalkulus
∴ Saya lulus ujian kalkulus (valid)
Untuk mengetahui suatu argumen apakah valid atau tidak maka dapat dilakukan langkah-
langkah sebagai berikut :
1. Tentukan premis dan konklusi argument
2. Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua premis dan konklusi.
3. Carilah baris kritis yatitu baris diman semua premis bernilai benar.
22
4. Dalam baris kritis tersebut, jika nilai kesimpulan semuanya benar maka argumen
tersebut valid. Jika diantara baris kritis tersebut ada baris dengan nilai konklusi
salah maka argumen tersebut tidak valid.
Sistem Pembuktian / Penarikan Kesimpulan
A. MODUS PONEN
Modus ponen atau penalaran langsung adalh salah satu metode inferensi dimana jika
diketahui implikasi ” Bila p maka q ” yang diasumsikan bernilai benar dan
antasenden (p) benar. Supaya implikasi p_q bernilai benar, maka q juga harus bernilai
benar.
Modus Ponen : p => q , p |- q
atau dapat juga ditulis
p => q p ______ ∴ q Contoh :
Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10 Digit terakhir suatu bilangan adalah 0 ____________________________________ ∴ Bilangan tersebut habis dibagi 10
B. MODUS TOLLENS
Bentuk modus tollens mirip dengan modus ponen, hanya saja premis kedua dan
kesimpulan merupakan kontraposisi premis pertama modus ponen. Hal ini
mengingatkan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya.
Modus Tollens : p => q, ¬q |- ¬p
Atau dapat juga ditulis
p => q ¬q _______ ∴ ¬p Contoh :
Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10 Suatu bilangan tidak habis dibagi 10 ____________________________________ ∴ Digit terakhir bilangan tersebut bukan 0
23
C. PENAMBAHAN DISJUNGTIF (ADDITION)
Inferensi penambahan disjungtif didasarkan atas fakta bahwa suatu kalimat dapat
digeneralisasikan dengan penghubung ”v”. Alasannya adalah karena penghubung ”v”
bernilai benar jika salah satu komponennya bernilai benar. Misalnya saya mengatakan
”Langit berwarna biru” (bernilai benar). Kalimat tersebut tetap akan bernilai benar
jika ditambahkan kalimat lain dengan penghubung ”v”. Misalnya ”Langit berwarna
biru atau
bebek adalah binatang menyusui”. Kalimat tersebut tetap bernilai benar meskipun
kalimat ”Bebek adalah binatang menyusui”, merupakan kalimat yang bernilai salah.
Addition : p _(pÚq) atau q _ (pÚq)
Atau dapat ditulis
p atau q ____ ____ ∴ pvq ∴ pv q Contoh :
Simon adalah siswa SMU ______________________________ ∴Simon adalah siswa SMU atau SMP
D. PENYEDERHAAN KONJUNGTIF (SIMPLIFICATION)
Inferensi ini merupakan kebalikan dari inferensi penambahan disjungtif. Jika
beberapa kalimat dihubungkan dengan operator ”∧”, maka kalimat tersebut dapat
diambil salah satunya secara khusus (penyempitan kalimat).
Simplification : (p∧q) |- p atau (p∧q) |- q
Atau dapat ditulis
p∧q atau p∧q ____ ____ ∴ p ∴ q Contoh :
Langit berwarna biru dan bulan berbentuk bulat __________________________________________________ ∴ Langit berwarna biru atau ∴ Bulan berbentuk bulat
E. SILOGISME DISJUNGTIF
Prinsip dasar Silogisme Disjungtif (Disjunctive syllogism) adalah kenyataan bahwa
apabila kita dihadapkan pada satu diantara dua pilihan yang ditawarkan (A atau B).
24
Sedangkan kita tidak memilih/tidak menyukai A, maka satu-satunua pilihan adalah
memilih B. Begitu juga sebaliknya.
Silogisme Disjungtif : pv q, ¬p |- q dan pvq, ¬q |- p
Atau dapat ditulis
p v q atau pvq ¬p ¬q ____ ____ ∴ q ∴ p Contoh :
Saya pergi ke mars atau ke bulan Saya tidak pergi ke mars __________________________ ∴ Saya pergi ke bulan
F. SILOGISME HIPOTESIS (TRANSITIVITY)
Prinsip silogisme hipotesis adalah sifat transitif pada implikasi. Jika implikasi p=>q
dan q=>r keduanya bernilai benar, maka implikasi p=>r bernilai benar pula.
Transitivity : p=>q , q=>r |- p=>r
Atau dapat ditulis
p=>q q=>r _____ ∴ p=>r Contoh :
Jika hari hujan maka tanahnya menjadi berlumpur Jika tanahnya berlumpur maka sepatu saya akan kotor ____________________________________________
∴ Jika hari hujan maka sepatu saya akan kotor.
G. KONJUNGSI
Jika ada dua kalimat yang masing-masing benar, maka gabungan kedua kalimat
tersebut dengan menggunakan penghubung ”∧” juga bernilai benar.
Konjungsi
p q ____ ∴ p∧q
H. DILEMA
25
Kadang-kadang, dalam kalimat yang dihubungkan dengan penghubung ”v”, masing-
masing kalimat dapat mengimplikasikan sesuatu yang sama. Berdasarkan hal itu
maka suatu kesimpulan dapat diambil.
Dilema :
pvq p=>r q=>r _____ ∴r
26
BAB III
KUANTIFIKASI
Dalam Bab ini akan mempelajari konsep dasar konstanta, variabel, kalimat
terbuka, kuantor dan ingkaran kalimat sebagai konsep penalaran dalam logika
informatika.
Variabel dan Konstanta
Variabel adalah simbol yang menunjukan suatu anggota yang belum spesifik dalam
semesta pembicaraan. Sedangkan konstanta adalah simbol yang menunjukan suatu
anggota tertentu (yang sudah spesifik) dalam semesta pembicaraan. Untuk dapat
berbicara tentang anggota tertentu dari semestanya, diperlukan suatu simbol atau tanda
yaitu suatu nama dari anggota tersebut.
Contoh 1 :
Misalnya ada pernyataan “Niken”, “Ais”, “Aji” adalah nama orang, dimana
semestanya adalah himpunan orang-orang. Jika semestanya himpunan bilangan-bilangan,
maka angka 5, angka 211 adalah suatu simbol untuk bilangan-bilangan yang disajikan.
Simbol seperti itu disebut Konstanta. Jadi konstanta adalah suatu simbol atau tanda yang
diucapkan atau ditulis untuk menunjukkan tentang anggota tertentu dari semestanya.
Jika hendak berbicara tentang anggota sembarang dari semestanya, maka
diperlukan suatu tanda-tanda lain dari konstanta. Tanda demikian yang dimaksud adalah
variabel (atau perubah). Jadi variabel adalah suatu simbol atau tanda yang digunakan
untuk menunjuk pada anggota sembarang dari semesta pembicaranya.
Contoh 2 :
Misalnya semesta pembicaranya terdiri atas mereka yang kuliah pada sebuah
universitas (perguruan tinggi) maka kata “mahasiswa” menunjuk pada anggota
sembarang dari semesta pembicaranya.
Contoh 3 :
Pehatikan beberapa pernyataan berikut:
(a). Manusia makan nasi
(b). Manusia memakai sepatu
(c). 4 + x = 7
(d). p < 5
27
Suatu pernyataan mempunyai nilai benar atau salah tergantung pada kesesuaian
kalimat tersebut dengan keadaan sesungguhnya. Bernilai benar jika keadaan
sesungguhnya sesuai dengan realita yang ada, jika sebaliknya bernilai salah. Pernyataan
seperti ini biasanya disebut pernyataan faktual.
Jika pernyataan (a) manusia diganti Tony, maka pernyataannya menjadi “Toni
makan nasi”. Pernyataan ini jelas bernilai benar saja atau salah saja, tergantung
realitasnya. Demikian juga untuk pernyataan (b) akan menjadi pernyataan “Tony
memakai sepatu” pernyataan ini akan menjadi jelas nilainya, yaitu benar atau salah
tergantung realitasnya.
Pada pernyataan (c) jika x diganti 3, akan bernilai benar. tetapi jika x diganti 4 akan
bernilai salah. Demikian juga untuk pernyataan (d) jika p diganti “0 atau 1, atau 2, atau 3,
atau 4” akan bernilai benar untuk semesta pembicaraan himpunan bilangan cacah, tetapi
jika semestanya himpunan bilangan asli, maka pernyataan akan bernilai salah.
Kata-kata “manusia”, “x” , “p” pada pernyataan diatas disebut variabel. Sedangkan
pengganti katanya yaitu “Tony”, “3”, “4”, dan “0,1,2,3,4” disebut konstanta.
Jika semesta pembicaranya bilangan-bilangan maka variabel yang dimaksudkan
adalah variabel numerik. Dalam hal ini, variabel adalah tanda-tanda, yang biasanya
dipilih huruf kecil dari abjad “x”, “y” dan seterusnya.
Kalimat terbuka
Pernyataan-pernyataan dalam contoh 3 di atas disebut kalimat (pernyataan)
terbuka. Jika variabel dalam kalimat terbuka sudah diganti dengan konstanta yang sesuai,
maka pernyataan yang terjadi dikatakan sebagai pernyataan tertutup.
Pernyataan terbuka adalah suatu pernyataan yang memuat variabel, dan jika
variabel tersebut diganti konstanta yang sesuai dengan semestanya maka pernyataanya
akan bernilai benar saja atau salah saja. Jadi pernyataan terbuka merupakan pernyataan
yang belum mempunyai nilai kebenaran, belum bernilai benar atau salah.
Misalkan pernyataan terbuka ini dengan simbol/notasi “p(x)”. Huruf ”p”, “q” ,
....dan seterusnya disini hanyalah sebuah simbol/notasi dalam pengkajian suatu sifat,
hanya untuk mempermudah dalam pembicaraan selanjutnya. Misalnya: “p (x)” ini
merupakan kalimat terbuka, dan diucapkan sebagai “obyek x mempunyai sifat p”.
Variabel yang terdapat dalam rangkaian tanda “p(x)” disebut variabel bebas. Disini
“p(x)” , tidak bernilai benar atau salah. Pernyataan ini disebut pernyataan terbuka.
28
Agar pernyataan terbuka “p(x)” ini mempunyai nilai salah atau benar (yaitu
menjadi pernyataan deklaratif), maka jika perlu semua variabel bebas di dalamnya diganti
dengan suatu konstanta. Ada cara yang lazim digunakan untuk merubah pernyataan
terbuka ini menjadi pernyataan deklaratif, yaitu dengan membubuhkan suatu kuantor.
Yang dimaksud kuantor disini adalah kuantor universal atau kuantor eksistensial di depan
pernyataan “p(x)”.
Kuantor
Cara lain untuk mendapat kalimat deklaratif dari suatu pernyataan adalah dengan
menggunakan kuantor, yaitu menentukan kuantifikasi obyeknya
Ada dua jenis kuantor yaitu :
1. Kuantor universal (∀)
2. Kuantor eksistensial (∃)
Contoh :
• Setiap laki-laki harus wajib militer
• Ada beberapa laki-laki yang tidak wajib militer
Ditulis sebagai berikut :
• Untuk setiap x, jika x laki-laki maka x harus wajib militer
• Terdapat x sehingga x laki-laki dan x tidak wajib militer.
Kuantor pernyataan
Jika p adalah menunjukkan sifat “laki-laki” dan q menunjukkan sifat “wajib militer”,
maka kalimat tersebut dapat ditulis :
1. (∀x)p(x)→q(x)
dan
2. (∃x)p(x) ∧ q(x)
Secara umum :
Kuantor universal selalu diikuti dengan bentuk Implikasi dan Kuantor eksistensial selalu
diikuti dng bentuk konjungsi
Hubungan Kuantor ∀ dan ∃
Pandang contoh sebagai berikut :
Pernyataan p : “Setiap peserta kuliah Logika informatika mendapat nilai A”
Ingkarannya :
29
~p adalah : “Tidak setiap peserta kuliah logika informatika mendapat nilai A”
atau boleh dikatakan : “ Ada peserta kuliah logika informatika mendapat nilai tidak A
(mis B)”
Jika dua pernyataan tersebut ditulis dengan kuantor dan semesta pembicaraannya adalah
semua peserta kuliah logika informatika, maka kalimat pertama :
p : (∀x)A(x)
( A adalah sifat mendapat nilai A)
dan yang kedua (neg) :
~p : (∃x)A(x)
Negasi kuantor
Hubungan antara kuantor universal dengan kuantor eksistensial
E1 : ( ∀ x ) p ( x ) ≡ ( ∃ x ) p ( x )
E2 : ( ∃ x ) p ( x ) ≡ ( ∀ x ) p ( x )
E3 : (∀x)p(x)→q(x) ≡ (∃x)p(x) ∧ q(x)
E4 : (∃x)p(x) ∧ q(x) ≡ (∀x)p(x)→q(x)
Jika suatu predikat menyangkut lebih dari satu obyek, misalnya p(x,y), maka perlu
dibicarakan suatu pernyataan dengan lebih dari satu kuantor. Kombinasi kuantor yang
mungkin untuk predikat p(x,y) adalah :
(∀x)(∀y)p(x,y) ; (∀x)(∃y)p(x,y) ; (∃x)(∀y)p(x,y)
(∃x)(∃y)p(x,y) ; (∀x)(∀y)p(x,y) ; (∃x)(∀y)p(x,y)
(∀x)(∃y)p(x,y) ; (∃x)(∃y)p(x,y)
Didapat rumusan sbb :
1. (∀x) (∀y) p(x,y) ↔ (∀y) (∀x) p(x,y)
2. (∀x) (∀y) p(x,y) → (∃y) (∀x) p(x,y)
3. (∃y) (∀x) p(x,y) → (∀x) (∃y) p(x,y)
4. (∀x) (∃y) p(x,y) → (∃y) (∃x) p(x,y)
5. (∃x) (∃y) p(x,y) ↔ (∃y) (∃x) p(x,y)
Ingkaran kalimat
Negasi dari “Semua manusia tidak kekal” adalah “tidak benar bahwa semua
manusia tidak kekal ” atau “Beberapa manusia tidak kekal”. Jika p(x) adalah manusia
(=x) tidak kekal, maka “Semua manusia adalah tidak kekal” atau ∀x p( x ) bernilai benar
30
dan “beberapa manusia tidak kekal” atau ∃x p( x ) bernilai salah.
Jadi ingkaran dari kuantor universal (∀x) p(x) dinyatakan dengan simbol logika :
• Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya,
disebut literal.
Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal,
yaitu x, y, dan z’.
Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.
Penyelesaian:
93
x y z f(x, y, z) = xy z’
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
Komplemen Fungsi
1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan
Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah
Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka
f ’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’
= x’ + (y’z’ + yz)’
= x’ + (y’z’)’ (yz)’
= x’ + (y + z) (y’ + z’)
Aplikasi Aljabar Boolean
2. Rangkaian Digital Elektronik
94
Gerbang AND Gerbang OR Gerbang NOT (inverter)
Contoh. Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian logika.
Jawab: (a) Cara pertama
(b) Cara kedua
y
xxy
y
xx+ y x'x
x'
x
yxy
x
yx'y
xy+x'y
x'
xyx
y
x'y
xy+x'y
95
(b) Cara ketiga
Gerbang turunan
Gerbang NAND Gerbang XOR
Gerbang NOR Gerbang XNOR
x
y(xy)'
x
y(x+y)'
x
y+x y
x
y+(x y)'
x
y(x+y)'
x
y(x + y)' ekivalen dengan
x
y(x + y)'
x + y
x'
xy
x y
x'y
xy+x'y
96
Penyederhanaan Fungsi Boolean
Contoh. f(x, y) = x’y + xy’ + y’
disederhanakan menjadi
f(x, y) = x’ + y’
Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:
1. Secara aljabar
2. Menggunakan Peta Karnaugh
3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)
1. Penyederhanaan Secara Aljabar
Contoh:
1. f(x, y) = x + x’y
= (x + x’)(x + y)
= 1 ⋅ (x + y )
= x + y
2. f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’
x'
y'x'y' ekivalen dengan
x'
y'x' + y' ekivalen dengan
x
y(xy)'
97
= x’z(y’ + y) + xy’
= x’z + xz’
3. f(x, y, z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’)
= xy + x’z + xyz + x’yz
= xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z
98
DAFTAR PUSTAKA
1. Introduction to Logic, Patrick Suppes, D. Van Nostrand Company, Inc., Canada, 1959.
2. Set Theory and Logic, Robert R. Stoll, Eurasia Publishing House Ltd, New Delhi, 1976.
3. Logika Informatika, Setiadji, Graha Ilmu, Yogyakarta, 2007. 4. Logika Matematika untuk Ilmu Komputer, F.Soesianto dan Djoni Dwijono, Penerbit Andi, Yogyakarta, 2006.