METODOS CUANTITATIVOS

Facultad de estudios a distancia

BLOQUEDESARROLLO DE PENSAMIENTO

Y MÉTODOS CUANTITATIVOS

GUÍA DE ESTUDIO

ALEJANDRO BERNAL SALAZARMatemático con Maestría en Docencia e Investigación

Universitaria y Especialización en Matemática Aplicada

Bogotá D.C., Julio de 2010

Facultad de Estudios a Distancia-FED

© Universidad EANCarrera 11 No. 78-47

Bogotá D.C., Colombia

Marzo de 2009

Prohibida la reproducción parcial o total de esta guia sin autorización de la Universidad EAN

La edición de este material estuvo a cargo de la oficinaGestión y Divulgación del Conocimiento

Vicerrectoría de Investigaciones

Decano Facultad de Estudios a DistanciaMarco Elías Contreras B.

RevisiónDenise Caroline Argüelles Pabón

Diseño, diagramación, armada Alcira Casas Borja

Guía de estudio Desarrollo de Pensamiento y Métodos Cuantitativos

Contenido

Página

Introducción............................................................................................................

1. Justificación......................................................................................................

2. Competencias a desarrollar.............................................................................

2.1 Competencia global....................................................................................

2.2 Competencias básicas................................................................................

2.3 Competencias transversales.......................................................................

2.4 Competencias nucleares............................................................................

2.5 Estrategias de aprendizaje para el desarrollo de competencias................

3. Metodología de estudio..................................................................................

3.1 Modelo de aprendizaje...............................................................................

3.1.1 Períodos de trabajo independiente...................................................

3.1.2 Tutoría telefónica y/o virtual.............................................................

3.1.3 Aula virtual.......................................................................................

3.1.4 Materiales básicos de estudio..........................................................

3.1.5 Encuentro presencial........................................................................

4. Recomendaciones para el desarrollo del bloque........................................... 4.1 Recomendaciones generales.................................................................... 4.2 Para el estudio de cada unidad................................................................. 4.3 Para plantear sus dudas........................................................................... 4.4 Para realizar los ejercicios de cálculo...................................................... 4.5 Para participar en los foros....................................................................... 4.6 Para las sesiones por elluminate live........................................................ 4.7 Recomendaciones para los trabajos relacionados con las actividades de aprendizaje........................................................................

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5. Descripción del bloque............................................................................................

5.1 Trabajo de aplicación al entorno empresarial....................................................

5.1.1 0bjetivo....................................................................................................

5.1.2 Producto a entregar................................................................................

5.1.3 Criterios de evaluación del trabajo de aplicación...................................

5.1.4 Proyectos sugeridos...............................................................................

5.2 Cronograma......................................................................................................

5.3 Foros temáticos................................................................................................

5.4 Guías y criterios de evaluación........................................................................

6. Actividades de evaluación....................................................................................

Guía de Trabajo No. 1..........................................................................................


Guía de Trabajo No. 3...........................................................................................




Bibliografía................................................................................................................

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La unidad de estudio de Desarrollo del pensamiento y Métodos Cuantitativos, se desarrolla a través de una serie de actividades que el estudiante debe abordar y que tienen el propósito de estudiar temas básicos de las matemáticas y estadística.

La guía inicia con el estudio del pensamiento matemático desde tres puntos de vista: el pensamiento algebraico, quizás el más común en las personas activas intelectualmente y que a diario solucionan problemas relacionados con las matemáticas; el pensamiento aritmético, el cual permite realizar cálculos y estimaciones cuando se desarrollan proyecciones de un evento en estudio y finalmente, el pensamiento lógico encargado del razonamiento y la reflexión que facilita la obtención de conclusiones y la toma de decisiones cuando se analizan una serie de proposiciones.

En la guía también se aborda con un enfoque práctico el estudio de la estadística descriptiva, se analiza cada una de sus partes y se lleva al estudiante en un viaje claro, conciso y práctico de los diferentes conceptos estadísticos como son las tablas de datos de los diferente tipos de frecuencia, las medidas de tendencia central y de dispersión; como una antesala a las aplicaciones que este aplicará en los diferentes investigaciones que debe realizar durante el desarrollo del bloque, lo que contribuirá al desarrollo de las competencias planteadas.

La guía de estudio se ha estructurado a partir de una serie de guías de trabajo en las que se indica al estudiante la manera como debe abordar el estudio de los diferentes contenidos, los tiempos de dedicación, así como, los recursos y actividades de aprendizaje.

intRodUCCiÓn

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La propuesta de actividades de aprendizaje lleva al estudiante a la apropiación de los temas tratados de una forma práctica y coherente con su mundo laboral ya que se presentan diversas situaciones problémicas cuya solución requiere un modelamiento matemático apropiado.

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La tecnología ha sido parte integrante de la vida humana por miles de años. Durante muchos siglos las ideas que han surgido a partir de los conceptos científicos, se expresaban en términos y aplicaciones sencillos, que requerían solamente una matemática rudimentaria. Bastaba con saber manejar los números enteros, las fracciones, junto con las cuatro reglas de la aritmética.

A mediados del siglo XVIII se empezaron a formalizar los razonamientos y aplicaciones, y a desarrollarlos en teorías y lenguajes mucho más formales. Esto creó la necesidad de expresar relaciones en ideas, de complejidad creciente, de una manera automática. Hacia mitad del siglo XIX algunos autores comenzaron a usar la matemática para elaborar sus teorías. Descubrieron que muchas de sus ideas acerca del espacio se podían formular de forma más efectiva usando lenguaje matemático, que incluía símbolos algebraicos, diagramas, gráficos y el uso de varias variables. En verdad, el uso del lenguaje matemático, ha hecho posible la introducción de conceptos muy importantes en la ingeniería, en las ciencias administrativas y económicas, mucho más sofisticados y de teorías cada vez más complejas que permiten modelar diversas situaciones del mundo real.

Como se puede apreciar, hoy en día es esencial para un estudiante en cualquier programa académico, una comprensión sólida de las matemáticas, sobre todo el manejo y representación, de los fenómenos relacionados con él y la incertidumbre, En particular la forma de representación de dichos fenómenos que siempre de alguna forma dependen del tiempo, del azar y la probabilidad, es decir de sistemas dinámicos continuos, discretos o probabilísticos.

1. JUStiFiCACiÓn

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Para esto, la Facultad de Estudios a Distancia proyecta que sus estudiantes obtengan una formación matemática clara, precisa, que ayude en la toma de decisiones de su práctica laboral; por tal motivo que se ha elaborado este documento que le permitirá recordar y aprender conceptos matemáticos que son los pilares para la solución de problemas relacionados con su entorno.

La formación basada en procesos de aprendizaje autónomo requiere de dos prerrequisitos: la convicción de lo que se quiere aprender y la autoconfianza de que sí se pueden alcanzar las metas propuestas.

Bajo esta perspectiva, el diseño de las guías de trabajo y de las actividades de aprendizaje a partir de las cuales se desarrollará el bloque, están diseñadas para facilitar al estudiante el proceso aprendizaje autónomo de la materia, ya que lo lleva de la mano en el desarrollo de conceptos, en la solución de ejercicios y le proponen otros, ya sea que estén en la actividad o en el texto guía, los cuales amplían el aprendizaje de cada tema.

El buen desarrollo de las guías por parte del estudiante, manteniendo siempre una disciplina de aprendizaje continua y firme, dan sentido a los objetivos que se pretenden alcanzar en esta rama de la formación de la carrera administrativa.

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2.CoMPetenCiAS A deSARRoLLAR

Competencias

La acción del pensamiento requiere de un conjunto de competencias que el estudiante debe desarrollar y aplicar en su vida diaria. En este sentido, el bloque de Desarrollo del Pensamiento y Métodos Cuantitativos, facilita el desarrollo de las competencias interpretativas, argumentativas y propositivas presentes en la solución de problemas modelados matemáticamente.

Bajo esta perspectiva, en el bloque de Desarrollo del Pensamiento y Métodos Cuantitativos se desarrollaran diversos niveles de competencias, las cuales se justifican no sólo en la disciplina sino en el modelo educativo de la Universidad EAN. A continuación se describen.

2.1 Competencia global

En una sociedad cambiante y exigente, el estudio de las matemáticas es una necesidad importante para que los estudiantes de las diferentes carreras puedan describir, construir y comunicar ideas, usarlas como herramienta poderosa para analizar y resolver problemas, y quedar fascinados con los patrones que ellas abarcan y exponen. En resumen, resulta necesario identificar aspectos del

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quehacer matemático que los estudiantes deben desarrollar, en su experiencia de aprendizaje se busca la comprensión, interpretación, inferencia, elaboración y resolución de problemas. Se acepta que en el proceso de aprender la disciplina, los estudiantes necesitan desarrollar una disposición y formas de pensar donde constantemente indaga y examina diferentes tipos de relaciones, y plantea conjeturas, utiliza distintos sistemas de representación, para establezcan conexiones, empleen diversos tipos de argumentos, comuniquen y transfieran sus resultados a otras áreas del conocimiento.

2.2 Competencias básicas

Comunicativas

Manejo del lenguaje matemático.

• Interpretar, argumentar y proponer ideas de forma clara y correcta por medio del lenguaje escrito.

• Canalizar clara y comprensiblemente ideas y opiniones hacia los demás por intermedio del lenguaje hablado.

• Interpretar y comunicase con propiedad en una segunda lengua.

• Lograr la atención activa de un auditorio.

• Expresar ideas empresariales en forma oral o escrita.

Cognitivas/ meta cognitivas

Desarrollo de estructuras conceptuales de la matemática que les permita a los estudiantes formular, plantear, transformar y solucionar problemas que requieran del conocimiento de cómo, cuándo y por qué del uso de conceptos, procedimientos y razonamientos para su resolución.

Interpretativas

Se refieren a la capacidad para comprender, analizar, organizar e interpretar información textual o gráfica, lo que permite realizar una transferencia del lenguaje

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formal al lenguaje propio de las matemáticas y recíprocamente, básicas en la solución de problemas.

Argumentativas

Tienen que ver con la capacidad de elaborar, decidir, planear, plantear, enfocar y justificar posibles soluciones en cualquier situación problémica del mundo laboral; se relacionan con las competencias interpretativas, ya que es una consecuencia de estas e igual de importante en la solución de problemas.

2.3 Competencias transversales

Empresariales

• Actuar con independencia.• Tener una alta orientación hacia el logro.• Crear recursos e ideas de negocios innovadores.• Actuar estratégicamente. • Construir relaciones que faciliten el logro de proyectos.

Investigativas

• Distinguir las etapas de la formulación de un problema.

• Reconocer la importancia de la aplicación de ciertos momentos en la solución

de problemas.

• Usar las etapas en el proceso de solución de problemas.

• Interpretar la realidad y proponer nuevos argumentos.

• Recopilar, sistematizar y procesar datos cuantitativa y cualitativamente.

• Producir y aplicar conocimientos en la práctica profesional.

• Identificar, plantear y resolver problemas.

• Formular y gestionar proyectos.

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Sociohumanísticas

• Actuar éticamente comprometido con los actos.

• Compromiso con la conservación del medio ambiente.

• Actuar en contextos profesionales con un enfoque culto y humanista.

• Conocer y aprender de otras realidades culturales.

• Tener proyectos y planes para alcanzarlos. Tecnológicas

Conoce y utiliza herramientas de base tecnológica.

• Manejar protocolos de comunicación y etiqueta digital en la red.

• Proponer el uso apropiado de nuevas tecnologías.

• Gestionar proyectos que generan valor agregado al conocimiento.

• Comunicarse estratégicamente haciendo uso de la tecnología.

• Solucionar problemas utilizando recursos informáticos.

2.4 Competencias nucleares

Disciplinares

Mega competencias

• Capacidad de análisis y síntesis.

• Capacidad de gestión de la información.

• Capacidad de organizar y planificar.

• Resolución de problemas.

• Toma de decisiones.

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Indicadores de logro

El estudiante del bloque de Desarrollo del Pensamiento y Métodos Cuantitativos debe estar en capacidad de:

• Expresar ideas matemáticas hablando, escribiendo, demostrándolas y representándolas visualmente.

• Entender, interpretar y juzgar ideas matemáticas presentadas en forma escrita, oral o visual.

• Utilizar vocabulario matemático, notaciones y estructuras para representar ideas, describir relaciones y modelar situaciones.

• Poner en orden la información existente y extraer de ella conocimientos fundamentales, en forma reflexiva y creadora.

• Realizar preguntas, utilizando una información dada y elaborar conjeturas.

• Realizar todos los aspectos de la resolución de problemas.

• Aplicar diferentes herramientas tecnológicas.

• Preguntar, indagar y consultar en diferentes fuentes, con el fin de incrementar su espíritu investigativo.

• Reconocer y aplicar las propiedades de los diferentes sistemas numéricos.

• Interpretar la información suministrada y transferirla a cualquier tipo de lenguaje con el fin de procesarla para enunciar conclusiones.

• Argumentar soluciones a problemas relacionados con las temáticas desarrolladas.

• Aplicar los conceptos matemáticos para proponer soluciones a problemas de optimización.

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• Proponer modelos matemáticos a partir de funciones en una o dos variables que describan un comportamiento económico.

• Conocer y aplicar operaciones con las derivadas parciales de funciones.

• Identifica funciones de varias variables, su clasificación y sus diferentes operaciones.

• Graficar funciones a partir de los criterios vistos.

• Interpretar gráficas y aplicarlas para elaborar informes que tengan significación económica actual.

• Aplicar las derivadas e integrales en la solución de problemas modelados por funciones marginales.

• Manejar y aplicar las herramientas estadísticas.

• Desarrollar un pensamiento investigativo que de perfil a su profesión.

• Evidenciar a través de las actividades de aprendizaje tanto grupales como individuales, los principios y valores inherentes en su desarrollo como ser humano y como ser comunitario en bien de su entorno.

El ambiente virtual presenta un enorme potencial de mejora en la calidad de la evaluación, tradicionalmente centrada en el recuento de la información y esporádicamente, en su aplicación en contextos limitados. Este abre estos contextos, respondiendo contundentemente a la demanda de los empleadores, consistente en las competencias necesarias para solucionar problemas, la capacidad para aprender de forma permanente y la adquisición de conocimientos y destrezas específicas de su sector.

Aunque se han propuesto tres tipos de evaluación: la cognitiva, por desempeño y por carpetas. Con relación a estas se ha destacado la segunda porque se centra en un aprendizaje complejo, implica pensamiento de orden superior, desarrolla destrezas en la solución de problemas, estimula rangos amplios de respuestas activas, conlleva tares exigentes, que se desarrollan en varias etapas y requiere tiempo y esfuerzo del estudiante.


Primer nivel

• El estudiante reconoce símbolos matemáticos y los usa adecuadamente.

• Utiliza el razonamiento inductivo para reconocer patrones y formular conjeturas.

• Analiza situaciones para hallar propiedades y estructuras comunes.

• Identifica ejemplos válidos y no válidos.

• Comprende su realidad con base en la aplicación de conocimientos matemáticos.

• Plantea modelos matemáticos que contribuyen a conocer y mejorar su entorno.

• Desarrolla trabajos en grupo y se desempeña como constructor y facilitador de metas colectivas.

• Comprende, interpreta y transforma su realidad con base en la aplicación de conocimientos matemáticos.

Segundo nivel

• Interpreta correctamente la comunicación tanto verbal como visual de los demás.

• Comunica sus ideas a los compañeros de clase.

• Utiliza el razonamiento para el desarrollar argumentos posibles de enunciados matemáticos.

• Utiliza el razonamiento proporcional y espacial para resolver problemas.

• Utiliza el razonamiento deductivo para verificar una conclusión, juzgar la validez de un argumento y construir argumentos válidos.

• Identifica y generaliza ejemplos válidos y no válidos.

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• Utiliza modelos, diagramas y símbolos para representar diferentes situaciones.

• Pasa de un modo de representación a otro.

• Compara y contrasta conceptos.

Tercer nivel

• Conoce y usa adecuadamente el lenguaje formal de las matemáticas.

• Realiza escritos matemáticos.

• Formula, resuelve, comprueba e interpreta problemas.

• Generaliza soluciones.

• Revisa y reflexiona sobre sus propios pensamientos y actuar matemático.

• Utiliza el software “DERIVE” en el trazado y análisis de funciones en una y varias variables.

• Utiliza las herramientas del EXCEL para graficar y realizar operaciones con funciones.

• Los estudiantes navegarán en Internet accediendo a información que le permita complementar su aprendizaje en matemáticas.

• Planteará problemas y a través de ellos se mirará la capacidad del estudiante para la búsqueda de posibles soluciones mediante talleres sobre resolución de problemas el estudiante descubrirá y aplicará las diferentes etapas en la resolución de los mismos.

• El análisis, la creatividad y la capacidad de síntesis se evidenciarán en la medida que el estudiante resuelva problemas.

• Plantea y soluciona problemas que requiere el uso de funciones y derivadas en varias variables.

• Desarrolla, aplica y soluciona problemas que requiere la integración.

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2.5 Estrategias de aprendizaje para el desarrollo de competencias

Una vez expuestas las ideas generales y los énfasis que se notan como prioritarios, es pertinente exponer las acciones que guían las actividades. Estas acciones pueden ser abordadas a lo largo de las seis guías en diversas tareas con el fin de favorecer el desarrollo de las competencias planteadas y de alcanzar los logros establecidos. Las estrategias de aprendizaje son:

• Lectura del fundamento teórico de cada actividad, tantas veces como sea necesario, hasta comprender la teoría.

• Seguimiento riguroso a cada ejercicio resuelto en las actividades del texto guía, que ayudan al estudiante a entender los temas pues ofrecen descripciones paso a paso de los procedimientos y propiedades importantes, con ejemplos ilustrativos resueltos. Posteriormente el estudiantes deberá hacer uso del CD-ROM tutorial para realizar una práctica adicional con soluciones guiadas.

• Usar el sitio web específico para el texto del estudiante:

• Math.college.hmco.com/students para encontrar recursos específicos para el texto.

• Usar el software libre llamado Proyecto Descartes cuya dirección es: http://www.cnice.mecd.es/Descartes.

• Resolución de los ejercicios propuestos en cada actividad teniendo en cuenta los resueltos y aplicando los temas matemáticos apropiados.

• Utilización de las funciones estadísticas de Excel y su graficador, para los temas de regresión lineal y cuadrática.

• Confrontación de los resultados en el programa Derive (la Universidad EAN posee licencia para la utilización de éste software) en los temas de límites, derivadas e integrales. Recuerde que el CD-ROM tutorial también trae una calculadora graficadora que realiza los mismos procesos que Derive.

Usar el software libre llamado Proyecto Descartes cuya dirección es: http://www.cnice.mecd.es/Descartes para el desarrollo de las diferentes unidades, se

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pretende que el estudiante desarrolle las acciones del pensamiento a través de las competencias interpretativas, argumentativas y propositivas y para tal propósito, se han elaborado seis guías de trabajo, cada una de las cuales incluye una serie de actividades que apuntan al estudio de los temas centrales:

¡ATENCIÓN NOTA IMPORTANTE!

Como requisito para abordar el bloque es necesario tener un buen manejo de los conceptos aritméticos y algebraicos fundamentales. De no ser así, se recomienda repasar muy atentamente el capítulo 0 del texto guía y realizar cuantas veces sea necesario las prácticas adicionales con soluciones guiadas en CD-ROM, hasta lograr una asimilación de los conceptos mencionados.

Esperamos que la división presentada de los temas en unidades, permita una mayor facilidad en el estudio de las herramientas que requiere el profesional para afrontar las complejas decisiones que debe tomar a diario. Por lo tanto, para el desarrollo del mismo se han dispuesto diversos recursos, los cuales se enuncian a continuación.

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Para la realización de la mayor parte de las actividades es necesario y útil emplear las ayudas que la tecnología nos brinda, hay que tener propiedad en el manejo de la herramienta derive, y Excel, por lo que se necesita de unas indicaciones básicas que les permita trabajar con estas herramientas. Para ello es indispensable estar pendientes de las primeras tutorías y de los materiales del aula o impresos que el tutor facilitará para dicha tarea.

3.1 Modelo de aprendizaje

Para el desarrollo del bloque es importante que recuerde el modelo de aprendizaje que se ha dispuesto.

3.1.1 Períodos de trabajo independiente

Se constituyen en el espacio donde el estudiante asume su proceso formativo a partir de las orientaciones que el tutor le entrega a través de la guía. Entre las actividades que realiza se pueden mencionar: lecturas, exploración de información, identificación de dudas, trabajos en equipo, proyectos, preparación de evaluaciones, elaboración de trabajo, etc.

3.METODOLOGÍA DEESTUDIO

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Como parte central del proceso de aprendizaje se plantea el desarrollo de un conjunto de actividades donde es necesario poner en evidencia acciones que permitan el dominio conceptual y temático. También en algunas de estas se requiere del dominio previo de las ideas allí expuestas. Por lo anterior es indispensable la comunicación con los compañeros y con el tutor para asegurar el desarrollo de todas las situaciones planteadas.

3.1.2 Tutoría telefónica y/o virtual

La tutoría busca atender las dudas específicas que el estudiante tenga y que surgen de su proceso de aprendizaje. En este sentido, vale la pena aclarar que estas no constituyen espacios de obligatorio contacto o asistencia por parte del estudiante. El estudiante puede comunicarse telefónicamente o asistir de manera presencial.

Es importante tener en cuenta que las tutorías se prestarán a lo largo del desarrollo del bloque, en el calendario acordado, para optimizarlas es muy importante que el estudiante revise cuidadosamente su inquietud y trate de formularla a su tutor en la forma más claramente posible, con el fin de poder atenderlo eficazmente. A través del aula virtual, por el foro de preguntas y respuestas, el estudiante podrá contactar permanentemente a su tutor para plantearle sus inquietudes.

3.1.3 Aula virtual

El estudiante tendrá la posibilidad de interactuar de manera permanente con contenidos, su tutor y compañeros a través del aula virtual que es un ambiente de aprendizaje que simula las condiciones de un salón de clases, por cuanto permite la comunicación permanente entre los participantes y el acceso a diferentes contenidos.

Aproveche la interacción que le posibilita este medio. Además de encontrar información adicional con referencias sobre diversos aspectos de las temáticas del bloque, también se ofrece la posibilidad de interactuar con los demás compañeros y con el tutor en forma permanente. Así mismo, registrar nuestros descubrimientos, apoyar el estudio con problemas resueltos, hacer debates y discusiones que contribuyen a un aprendizaje duradero, útil y particularmente socializado a través de dicho recurso. Esperamos un alto grado de participación activa en el aula.

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Procure familiarizarse cada vez más con el lenguaje matemático, para ello debe leer muy bien la teoría y tener claros los conceptos. Además, cada vez que haga una consulta, realícela utilizando dicho lenguaje. Tenga en cuenta las temáticas, los tiempos y el número de foros de discusión. Recuerde que su participación debe ser oportuna, concreta y concisa.

Finalmente, es importante que dedique por lo menos 30 minutos diarios al trabajo académico en el aula virtual, para revisar los materiales indicados en cada unidad de estudio, ellos han sido seleccionados con especial cuidado para apoyar y complementar el desarrollo de los contenidos en cada unidad. Participar en los foros y demás actividades de aprendizaje propuestas en el aula virtual.

3.1.4 Materiales básicos de estudio

Los materiales de estudio son aquellos recursos que se han dispuesto para facilitarle el acceso a los contenidos del bloque. En este sentido, se describen a continuación los que corresponden a esta unidad de estudio.

Vale la pena aclarar que es necesaria la interacción con las fuentes de información que presentan los conocimientos objeto de aprendizaje. Para lograr una buena interacción con el conocimiento se deben dedicar dos horas diarias a la lectura y abordaje de los materiales de estudio.

• Guía de estudio

Se constituye en la bitácora del estudiante, en su ruta de aprendizaje dado que en ella se incluyen todas las orientaciones necesarias para el desarrollo del bloque. Debe tenerla siempre a mano y leerla con mucho detenimiento y en forma completa.

Guía de estudio

• Bernal Alejandro. Guía de estudio bloque de desarrollo de pensamiento y métodos cuantitativos. Bogotá: Universidad EAN, Julio de 2010.

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• Textos guía

Son aquellos a partir de los cuales se realizará el desarrollo conceptual básico del bloque. En este caso se contará con dos, los cuales se relacionan a continuación.

- Harshbarger R. Reynolds J. (2004): Matemáticas aplicadas a la administración, economía y ciencias sociales. México:Mc Graw Hill, séptima edición.

- Bejarano, Hernán. (2007): Estadística aplicada. Bogotá. D.C.: Universidad EAN.

La matemática de Harshbarger, trae el compendio temático del bloque en lo que respecta al cálculo y dentro de él algunas aplicaciones del mismo a conceptos de probabilidades. Posee un desarrollo sistemático de las diferentes unidades incluyendo ejemplos ilustrativos para cada uno de ellos, proposición de ejercicios de mecanización, problemas de aplicación y una ventaja importante es que posibilita el uso de la tecnología para la solución de secciones de ejercicios específicos.

3.1.5 Encuentro presencial

El encuentro presencial es el espacio para la interacción, socialización y confrontación de saberes, así como para la valoración de los mismos. Por lo tanto:

- Socialiceremos el resultado de la actividad de aprendizaje individual.

- Describiremos los acuerdos o desacuerdos más significativos del grupo frente a los resultados presentados del trabajo individual.

- Elaboraremos un trabajo de aplicación realizado en el grupo o individual para presentar a la plenaria en forma creativa (presentación en Power Point, esquemas, gráficas, mapas conceptuales, etc.) y presentaremos las conclusiones del grupo.

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- Comentaremos la experiencia del grupo durante la realización del ejercicio ¿Qué dificultades tuvieron? ¿Qué aspectos se facilitaron? ¿Qué importancia tiene el tema en su actividad profesional?

- Presentaremos las dificultades durante el módulo, en la guía, en el texto, en el aula virtual, para realizar las respectivas modificaciones en los siguientes ciclos.

4. Recomendaciones generales

4.1 Recomendaciones generales

Para un satisfactorio proceso es importante leer la guía de estudio varias veces con el fin de tener muy claras las competencias, logros e indicadores del bloque que el bloque persigue.

Es importante tener presente que, a partir de la inducción se cuenta con nueve semanas que se deben aprovechar para hacer el repaso de los temas de álgebra que como se sabe, corresponden a los conocimientos previos (capítulo 0 texto guía), necesarios para el adecuado desarrollo del bloque. Para este repaso tenga en cuenta:

• Usar el CD-ROM tutorial para realizar una práctica adicional con soluciones guiadas.

• Usar la calculadora de CD-ROM para comprobar sus resultados y familiarizarse con el lenguaje de la máquina.

• Usar el software libre llamado Proyecto Descartes cuya dirección es: http://www.cnice.mecd.es/Descartes y los respectivos talleres ahí dispuestos.

• Usar textos de álgebra elemental actualizados, preferiblemente con aplicaciones a las ciencias económicas y administrativas. Entre otros: Álgebra intermedia de David Gustafson, Thomson editores; álgebra y trigonometría de Stanley Smith y otros, Addison Wesley.

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• Leer muy bien el concepto, definiciones y ejemplos de cada tema.

• Hacer ejercicios por tema, aumentando cada vez el grado de dificultad de los mismos.

• Anotar las dudas y plantear preguntas en las tutorías.

• No se trata de aprenderse de memoria todo el texto, sino de tener claros los conceptos y poder realizar ejercicios por sí mismo.

4.2 Para el estudio de cada unidad

• Estudiar los temas que abarca cada unidad de manera crítica en el sentido que confronte sus conocimientos previos o intuitivos con los nuevos presentados, saque sus conclusiones y los discuta con el tutor o grupo de trabajo, a fin de clarificarlos y apropiarse de los mismos.

• Leer muy bien la teoría correspondiente e ir desarrollando ejercicios aumentando cada vez más el grado de dificultad y realizando las pruebas propuestas del texto guía con el fin de auto evaluar sus progresos.

• Escribir las preguntas y plantearlas en la tutoría correspondiente, o, enviar las preguntas al foro de preguntas y respuestas.

• Aproveche todos los recursos brindados por la Facultad de Estudios a Distancia de la Universidad EAN (aula virtual, asesoría telefónica, foro de preguntas y respuestas, tutorías presenciales, biblioteca virtual), no deje pasar esta oportunidad.

• Realice estudio tanto individual como grupal, ya que al trabajar en grupo se pueden confrontar las diversas interpretaciones sobre un mismo tema.

• Al desarrollar los problemas debe hacerse preguntas sobre el problema, elegir algún método de solución, aplicar el método elegido e interpretar la solución obtenida con sus palabras.

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4.3 Para plantear sus dudas

• Procure no hacer comentarios como: no entiendo ningún ejercicio. Identifique claramente y de forma precisa en dónde se encuentra la dificultad, por ejemplo ¿Cómo aplicar el concepto en una situación específica?

• Trate de resolver la pregunta y escriba los pasos empleados. Muestre al tutor y a sus compañeros a través del aula o en tutorías, en qué paso se presenta la dificultad.

• Procure familiarizarse cada vez más con el lenguaje matemático, para ello debe realizar mucha lectura de enunciados que son traducidos al lenguaje matemático, revisar las notaciones que utilizan los textos en ejercicios y aplicaciones.

4.4 Para realizar los ejercicios de cálculo

• Estudie muy bien la teoría haciendo énfasis en los conceptos y ejemplos dados.

• Debe leer muy bien el enunciado asegurándose de su comprensión y utilice el software complementario para su solución.

• Haga la interpretación del proceso empleado y de la solución lograda en el contexto del problema.

• No se conforme con la solución, realice la interpretación. Recuerde: lo más importante en la matemática aplicada es la interpretación.

• Participe activamente en los foros y en las tutorías presenciales o telefónicas.

4.5 Para participar en los foros

• Es ideal ingresar con frecuencia al foro para leer los aportes de los compañeros y realizar los propios.

• Cuide su redacción y ortografía así como no cometer errores de digitación.

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• Procure participar a conciencia y no simplemente por cumplir.

• Las lecturas que se sugieren en cada foro son el soporte del mismo. Léalas con cuidado y establezca su punto de vista.

• Acuda a las sesiones de chat y de tablero en línea que serán informadas por medio del aula virtual.

4.6 Para las sesiones por elluminate live

• Debe estar atento a la información que se publica en el aula acerca de las fechas de realización de la video conferencia.

• Recuerde usar en sus participaciones el lenguaje matemático.

• Procure ser breve y claro para que todos alcancen a participar.

• En el momento de iniciar el chat el tutor indica en qué salón vamos a trabajar.

• Verifique que el audio y video este funcionando correctamente.

• Revise el instructivo publicado en material de apoyo.

4.7 Recomendaciones para los trabajos relacionados con las actividades de aprendizaje

• Se deben conformar en lo posible equipos de estudio y trabajo.

• Cada integrante debe participar activamente en la elaboración de las actividades haciendo aportes en todo momento.

• Para la realización de las actividades es necesario el uso del Excel y/o el derive, software del que se tendrá ilustración básica para su manejo.

• Envíe los trabajos a través del aula virtual en la fecha indicada en Word 2007. Después de las fechas acordadas no se aceptan los trabajos bajo las mismas condiciones iniciales.

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5.DEScrIpcIónDELbLOqUE

La Facultad de Estudios a Distancia para el desarrollo de las diferentes unidades, procura que el estudiante desarrolle las acciones del pensamiento a través de las competencias interpretativas, argumentativas, comunicativas y para tal propósito, se han elaborado seis guías de trabajo, cada una de las cuales incluye una serie de actividades que dirigen al estudio de los temas centrales:

Guía 1: Desarrollo del pensamiento matemáticoGuía 2: Funciones especiales y algebra de matricesGuía 3: Funciones exponenciales y logarítmicas Guía 4: DerivadasGuía 5: Integrales y Funciones de dos o más variablesGuía 6: Introducción a la probabilidad y estadística descriptiva.

En la Guía 1 sobre pensamiento matemático se ofrece una breve revisión de los conceptos que se usarán a lo largo de la guía y contienen los distintos tipos de pensamiento: pensamiento lógico, razonamiento matemático y pensamiento numérico, algebraico; se desarrollan actividades que apuntan al desarrollo de cada uno. El estudiante debe consultar en Internet algunas direcciones que tratan sobre el tema en cuestión, se realizan enlaces con el texto guía que aclaran aún más los temas y permiten realizar aplicaciones en cada uno de los pensamientos.

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El pensamiento lógico se estudia en la guía y la parte de aritmética y geometría se estudian en el texto guía, que contiene una revisión de los conceptos algebraicosque usaremos durante todo el módulo; se inicia con conjuntos y números reales y el sistema numérico que se empleará en el texto, luego se introducen los exponentes y radicales, las expresiones algebraicas y las operaciones entre ellas, la factorización y simplificación de las mismas.

Luego observaremos, que es posible resolver una amplia variedad de problemas empresariales, de ciencias sociales y económicas usando ecuaciones y sus gráficas para estudiar costos, ventas, ofertas y demandas. Investigaremos la solución de las ecuaciones lineales y estudiaremos los conceptos de función dominio y el rango y sus diferentes notaciones, plantearemos ecuaciones gráficas y sistemas y sus diferentes aplicaciones así como el análisis de los usos de las calculadoras de graficación.

Para encontrar recursos de estudio en línea, visite:

math.college.hmco.com/students y sigan los vínculos hacia el sitio web del libro de texto de Harshbarger/ Reynolds.

En la Guía 2 Funciones especiales y algebra de matrices, se desarrollan los temas de otros tipos de funciones, incluyendo funciones de identidad, constantes, recíprocas, de potencia, de valor absoluto, funciones definidas por partes, funciones cuadráticas, de polinomio y racionales.

Las aplicaciones empresariales estarán dirigidas a ver los principios que rigen el equilibrio del mercado y el análisis del punto de equilibrio aplicando funciones que no son lineales, como las funciones cuadráticas.

En las empresas se puede recopilar y almacenar o analizar varios tipos de datos como una parte regular de sus procedimientos de registro para ello las matrices y sistemas de ecuaciones lineales con sus respectivas aplicaciones, desigualdades lineales para una variable, desigualdades lineales para dos variables y programación lineal: métodos gráficos; nos permitirán analizarlos y tomar decisiones empresariales.

La Guía 3 sobre funciones exponenciales y logarítmicas, las cuales ofrecen modelos para muchas aplicaciones que a primera vista no parecen tener relación

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alguna y para ello analizaremos sus descripciones, propiedades, gráficas y la relación inversa especial entre estas dos funciones. Veremos algunas aplicaciones económicas y administrativas de las mismas.

Independientemente de que en su carrera use los negocios o no, como consumidor, necesita entender cómo se calcula el interés sobre las inversiones y los préstamos, por eso las matemáticas financieras, y el estudio del: interés simple, interés compuesto, valor futuro de las anualidades, valor presente de las anualidades, nos proporcionarán cierta comprensión de los métodos usados para determinarlos.

La Guía 4 trata sobre derivadas de funciones, se inicia con el estudio de límites, funciones continuas, tasas de cambio promedio e instantánea, fórmulas de las derivadas y uso de las fórmulas de las derivadas, derivadas de orden superior, aplicaciones en la empresa y la economía.

Las aplicaciones siempre nos llevan a que los procesos mentales exigidos los direccionemos a comprender mejor los fenómenos de cambio que permanentemente nos aquejan en el medio laboral. Aquí nos ponemos en contacto con actividades que nos ayudan a entender los temas antes mencionados.

La Guía 5 se centra en el tema de integrales. Cuando tenemos la derivada de una función y deseamos saber la procedencia de tal resultado, estamos ante la operación inversa a la derivación, es precisamente la integración. Múltiples son sus aplicaciones y en particular nosotros las aplicamos en el ámbito empresarial en conceptos como excedentes del consumidor y del productor para luego estudiar la integración de funciones involucradas en el crecimiento y decrecimiento con modelos exponenciales. Terminamos esta guía con funciones de dos o más variables, diferenciación parcial y aplicaciones de las funciones de dos variables en la empresa y economía.

Por último, la Guía 6 Introducción a la probabilidad y estadística descriptiva, y se desarrolla los conceptos fundamentales de la estadística descriptiva, como son las diferentes tipos de variables estadísticas, los frecuencias y sus respectivas distribuciones, las representaciones de series de datos por medio, de tablas de distribución de frecuencias, las diferentes tipos de representaciones, graficas como son los diagramas de barras, los histogramas de frecuencia, los polígonos de frecuencia y los diagramas circulares, finalmente se analizarán las diferentes

30


medidas estadísticas las cuales permiten obtener conclusiones de una serie de datos.Estos temas se pueden complementar con el texto básico de estadística deBejarano y con la consulta de direcciones web como descartes.

En todas las guías se sugiere estudiar muy detalladamente la teoría y desarrollaruna serie de ejercicios, realizando un entrenamiento previo de auto evaluación deconceptos y ejercicios en el CD-ROM, entregado con el texto guía.

5.1 Trabajo de aplicación al entorno empresarial

La Facultad de Estudios a Distancia-FED de la Universidad EAN, consciente que la actividad de investigación hace parte de las competencias que se deben evidenciar y que el bloque de Desarrollo del Pensamiento y Métodos Cuantitativos es una herramienta para que los estudiantes identifiquen aplicaciones de la disciplina en la conceptualización y resolución de problemas de la actividad profesional para la cual se forma el estudiante.

Atendiendo este principio y teniendo en cuenta la diversidad de intereses de los estudiantes en las diferentes carreras en los cursos del área, el tema de investigación es de libre elección, aunque de acuerdo a las características de la población de determinados grupos, el profesor puede sugerir un tema sobre el cual giren las investigaciones o incluso asignar el problema a los grupos.

La mayor parte de los proyectos de investigación en el bloque de Desarrollo del Pensamiento y Métodos Cuantitativos pasan por unas mismas fases, sin embargo, ante las necesidades determinadas por las características del proyecto, el tutor es autónomo de plantear unos productos especialmente pensados para el desarrollo coherente.

5.1.1 0bjetivo

Documentar una aplicación del bloque de Desarrollo del Pensamiento y Métodos Cuantitativos en la conceptualización o la resolución de problemas propios de la carrera del estudiante, mediante la elaboración de un informe con la descripción y explicación de la aplicación de las matemáticas elegida.

31


5.1.2 Producto a entregar:

Informe con: Título de la investigación, resumen, abstract (resumen en otro idioma), palabras claves (no es necesaria su definición), introducción, objetivos, marco teórico, explicación de la aplicación de las matemáticas elegida, conclusiones, referencias bibliográficas.

5.1.3 Criterios de evaluación del trabajo de aplicación

La evaluación del informe acude a los siguientes criterios:

• Propiedad intelectual del texto presentado.

• Presentación adecuada del documento. El documento debe ser realizado en computador, con un estilo adecuado para un documento académico formal, empleando editor de ecuaciones y de gráficos para mejorar la presentación.

• Organización de la información en escrito. Los aspectos que debe contener el informe deben estar organizados de modo tal que con su articulación se constituya un argumento que justifique, presente las generalidades del proyecto, exponga y ejemplifique los conceptos y procedimientos involucrados con la aplicación de las matemáticas elegida.

• Profundidad del marco teórico. Los conceptos y procedimientos expuestos en el marco teórico han de ser necesarios y suficientes para comprender y explicar la aplicación de las matemáticas elegida. Además deben estar expuestos con un grado de formalidad y rigor acorde con trayectoria académica de los estudiantes.

• Profundidad en explicación de la aplicación de las matemáticas elegida. El grado de formalidad y rigor en la descripción y explicación de la aplicación elegida debe estar acorde con su complejidad y la trayectoria académica del estudiante. Además, debe la explicación de la aplicación acudir a ejemplos claros y reales, para no reducir su complejidad a situaciones ficticias que no se presentan en la actividad profesional del administrador.

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Proyecto texto guía Página

Recaudación de fondos

Apalancamiento operativo y riesgo empresarial

Imposición tributaria

Transporte

Administración de empresas agrícolas

Reinversión de la ganancia

Optimización en la empresa

Establecimiento de precios

Oferta y demanda

Planeación del retiro

132

193

268

339

383

445

660

731

830

909

Sugerencias:

• Determinar una aplicación de las matemáticas en la conceptualización o resolución de problemas propios de la carrera.

• Elegir un conjunto de libros, artículos y páginas web en las que se estudie la aplicación de las matemáticas elegida.

• Presente durante las tutorías posibles informaciones susceptibles del análisis cuantitativo. Esto facilita las orientaciones para trabajo final y su sustentación.

• Procurar involucrar la mayor cantidad de conceptos relacionados con el bloque. Estos deben manejarse con seguridad y certeza.

• Es imprescindible el uso de algún tipo de aplicación tecnológica que agilice procesos de modelación y cálculo para el análisis (Derive, Excel entre otros).

• Se debe presentar trabajo ante la plenaria en el encuentro presencial preferiblemente en Power Point.

5.1.4 Proyectos sugeridos

33


Primera y segunda semana

Tercera semana

Cuarta semana

Quinta y sexta semana

Séptima y octava semana

Novena semana

Décima semana

Pensamiento matemático, conjuntos, los números reales, exponentes, radicales y exponentes racionales, operaciones con expresiones algebraicas, factorización, fracciones algebraicas, solución de ecuaciones lineales en una variable, funciones, funciones lineales, gráficas y utilerías de graficación, resolución de sistemas de ecuaciones lineales, aplicaciones de las funciones en la empresa y la economía.

Ecuaciones cuadráticas, aplicaciones empresariales de las funciones cuadráticas, matrices, multiplicación de matricial, inverso de una matriz cuadrada, aplicaciones de las matrices, desigualdades lineales para una variable, desigualdades lineales para dos variables, programación lineal: métodos gráficos.

Funciones exponenciales, funciones logarítmicas, aplicaciones económicas y administrativas, interés simple, interés compuesto, valor futuro de las anualidades, valor presente de las anualidades, préstamos y amortización.

Límites, funciones continuas, tasas de cambio promedio e instantánea, fórmulas de las derivadas, regla del producto y del cociente, regla de la cadena, uso de las fórmulas de las derivadas, derivadas de orden superior, aplicaciones en la empresa y la economía, máximos y mínimos relativos, concavidad, optimización en la empresa y economía, derivadas de funciones logarítmicas, derivadas de funciones exponenciales, diferenciación implícita, tasas relacionadas, aplicaciones a la empresa y la economía.

La integral indefinida, regla de la potencia, integrales que involucran funciones exponenciales y logarítmicas, aplicaciones de la integral indefinida en la empresa, área bajo una curva, la integral definida: el teorema fundamental del cálculo, área entre dos curvas, aplicaciones de las integrales definidas en la empresa y economía, integración por partes, integrales impropias y sus aplicaciones, funciones de dos o más variables, diferenciación parcial, aplicaciones de las funciones de dos variables en la empresa y economía.

Probabilidad: oportunidad, uniones e intersecciones de eventos, probabilidad condicional, árboles de probabilidad y fórmula de Bayes, experimentos de probabilidad binomial, descripción de datos, distribuciones discretas de probabilidad: toma de decisiones.

Trabajo de aplicación al entorno empresarial.

5.2 Cronograma

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Primer foro

Las competencias.(Consulte el calendario del foro)

Segundo foro

Aplicación de las matemáti-cas: en aspectos de la vida cotidiana y en las diferen-tes ciencias. Los modelos matemáticos para simular situaciones reales.

PreguntaS a reSolver

• ¿Cuáles son las competencias propuestas para este módulo?

• ¿Cuáles son sus estrategias de aprendizaje para el desarrollo de las competencias propuestas?

• ¿Cómo revisará los indicadores de logro?

PreguntaS a reSolver

Estos son algunos ejemplos de aplicaciones de las matemáticas:

En mercadeo: tratando de definir el precio de un producto.En Administración de empresas: resolviendo el requerimiento de recursos para poder cumplir con la demanda.En negocios internacionales: creación de un plan de exportación. En economía: el uso de la econometría para pronosticar la tasa de cambio. Y otros usos: medición de distancias por medio de láser, la epidemiología ocupacional, la clasificación de las proteínas, la bioinformática, el diseño de semiconductores lógicos, la nanotecnología, el riesgo de inundaciones, el análisis de negocios, los pronósticos de ventas, el estudio de la productividad de una compañía, el estudio del medio ambiente, estudios de cáncer, la oceanografía física, el procesamiento de imágenes, el diagnóstico médico, la evolución, la elaboración de códigos, la criminología, las redes neuronales y algoritmos genéticos y la estadística.

Teniendo en cuenta que las matemáticas son de gran ayuda para simular y resolver situaciones, en el foro plantee alguna problemática que presente la compañía en la que labora y trate de resolverla por medio del uso de modelos matemáticos.

También se puede simular alguna situación que sirva para poder entender el comportamiento de los individuos o acontecimientos. Por ejemplo: explicación del comportamiento delictivo y que esta información sirva para tomar acciones correctivas a futuro.

5.3 Foros temáticos

35


Ejemplo:

El individuo puede seguir cualquiera de estas dos conductas para obtener ingreso:

Cometer delito: utilidad esperada del individuo con probabilidad de delinquir:

UE = PD * {[ X(D) * (1- PC) ]+ [ PC *DU(P) ]} PD = probabilidad que la persona cometa delito.D = gravedad del delito.X(D) = cantidad de dinero percibido por cometer delito.PC = probabilidad de ser capturado por la fuerza policial.(1-PC) = probabilidad de no ser capturado por la fuerza policial. P = magnitud de la pena.DU(P) = desutilidad por ser capturado por la fuerza policial.

No cometer delito: Utilidad esperada del individuo por trabajar y no cometer delito:

[1- PD] * Y Y = ingreso laboral.[1- PD] = probabilidad que la persona no cometa un delito.

La utilidad esperada del individuo como resultado de las conductas que puede seguir:

UE = PD * {[ X(D) * (1- PC) ]+ [ PC *DU(P) ]} + [1- PD] * Y

anSwer the following queStionS

1. In making decisions do you use a mathematical process?

2. In your work experience, what is the importance of mathematics?

3. Considers that it should remove its mathematical topics pensul academic?

4. MEN known position against the above?

third forum

Math in my professión

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actividad valor (%) fecha de entrega

Guía 1

Guía 2

Guía 3

Guía 4

Guía 5

Guía 6

Participación en los foros

virtuales

Trabajo de aplicación al

entorno empresarial*

Evaluación final escrita **

Fin de semana 2

Fin de semana 3

Fin de semana 4

Fin de semana 6

Fin de semana 8

Fin de semana 9

Ver programación aula virtual

Fin de semana 10

Encuentro presencial

6%

6%

6%

9%

9%

9%

12%

18%

25%

5.4 Guías y criterios de evaluación

Con el fin de repartir el trabajo que debe realizar el estudiante para dar cumplimento con los propósitos de aprendizaje, se ha realizado una distribución para la entrega de las diferentes actividades de aprendizaje, que se evaluarán de acuerdo a las competencias anteriormente nombradas.

Nota

• (*) Trabajo de aplicación al entorno empresarial está dividido en dos partes: una primera el producto a entregar (artículo) y la segunda que es la sustentación ante la plenaria. Para los estudiantes que por circunstancias mayores no puedan asistir al encuentro presencial deberán sustentar telefónicamente en la fecha y horario indicado por el tutor.

• (**)La evaluación final escrita, para los estudiantes que por circunstancias mayores no puedan asistir al encuentro presencial deberán presentar un examen extemporáneo en la fecha y hora indicada por el tutor en el aula virtual.

• En los ejercicios propuestos en cada sección aparecerá una parte opcional que podrá presentarse para promediar con la actividad correspondiente para subir la nota correspondiente.

37


38


1GUÍADETrAbAJO

DESArrOLLODELpEnSAMIEnTOMATEMáTIcO

Periodo de realización

• Primera y segunda semana.

Contextualización

La solución de problemas de razonamiento lógico es una forma útil en la búsqueda del desarrollo del pensamiento lógico en las personas. La solución de estos problemas debe pasar por las etapas de lectura colectiva, discusión de los conceptos involucrados, identificación de los elementos y de las relaciones que se dan entre ellos, búsqueda de soluciones, ejecución de la solución y control de la situación.

En la mayoría de los casos las soluciones de problemas de razonamiento lógico no necesitan de operaciones aritméticas convencionales, sino de la elaboración de procesos de clasificación, ordenación, agrupación, etc. Así como del establecimiento o búsqueda de simetría o de patrones generalizadores que darán cuenta de datos o valores que no tenemos en los problemas. Se infiere información a partir de datos que ya se conocen, mediante el ejercicio de algunas operaciones lógicas; es decir, es necesario realizar inferencias lógicas.

Emplee soluciones gráficas; al menos represente gráficamente las condiciones del problema, obteniendo así una importante herramienta de análisis para poder cumplir con la tarea o resolver el problema.

6.AcTIvIDADES DEEvALUAcIón

39


Temas de estudio

• Pensamiento lógico.

• Pensamiento matemático.

• Evolución del pensamiento lógico matemático.

• Utilidad del pensamiento lógico matemático.

• Las matemáticas en la empresa.

• Estrategias para resolver problemas.

Preguntas que orientan el desarrollo de la guía

Al finalizar el estudio de la guía el estudiante estará en capacidad de responder los siguientes interrogantes:

• ¿Qué relación existe entre la lógica y la matemática?

• ¿En qué consiste el pensar bien?

• ¿Cómo describir la analogía entre la deducción algebraica y las reglas silogísticas?

• ¿Cuáles son los elementos y componentes de un razonamiento lógico y de un argumento?

• ¿Qué diferencias existen entre ideas, juicios, raciocinio?

• ¿A qué conduce la solución de una tabla de verdad?

40


• ¿En cada actividad que realizamos, cuáles son los procesos de pensamiento que permanentemente estamos desarrollando?

• ¿Ha pensado por qué las operaciones matemáticas que conocemos se realizan como hoy las hacemos? ¿Siempre se hicieron de esa manera? ¿Qué evolución han tenido?

• ¿Utiliza con significado las letras para representar diversas situaciones o problemas?


El estudiante al finalizar el estudio de la guía demuestra que:

• Analiza y resuelve problemas de observación, argumentando claramente sus soluciones.

• Identifica y describe, tanto oral como por escrito, diferencias y semejanzas y las aplica al resolver situaciones propuestas.

• Explica fórmulas que escribe como expresiones generales de secuencias o situaciones en donde hay patrones generalizadores.

• Muestra coherencia entre lo que expresa y su acción con los problemas a resolver.

Estrategias que se deben utilizar

• Detallar los dibujos y buscar estrategias de observación que permitan encontrar detalles que no son lógicos en ellos.

• Use casos particulares (dibujos o secuencias numéricas) para describir verbalmente, luego por escrito, utilizando simbología adecuada, y finalmente expresarlos utilizando el lenguaje formal del álgebra.

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• Escriba posibles respuestas y sométalas a riguroso cuestionamiento hasta comprobar que sí soluciona la situación problémica.

Parte I: Pensamiento lógico y razonamiento matemático

Esta sección tiene por objeto dar una descripción elemental de las reglas y símbolos que se emplean en el razonamiento lógico. No es una exposición de tipo filosófico ni formal de la lógica, pero si estudiaremos los métodos de demostración matemática.

Elementos de lógica elemental

Lenguaje simbólico

Una de las mayores dificultades en analizar el rigor matemático en una demostración es el hecho que debemos comunicar nuestras ideas a los demás empleando el lenguaje ordinario, el cual está lleno de ambigüedades; las palabras tienen varios significados, alguno de ellos son muy vagos y a veces es difícil decidir si determinada línea de razonamiento es aceptable o no.

Una de las metas fundamentales de la lógica es eliminar estas ambigüedades, aclarando cómo se construyen tales proposiciones (sintaxis), evaluando el concepto de verdad y estableciendo reglas específicas de inferencia por medio de las cuales tal argumento puede ser juzgado como válido o no.

Para ello estudiaremos la construcción de proposiciones y su valor verdad. El primer paso es examinar las partes que conforman una proposición. Consideremos la frase “uno más uno es dos” o simbólicamente “1 + 1 = 2”, sabemos que este resultado es verdadero en la aritmética ordinaria. Pero si consideramos la frase “1 + 1 = 10” en la aritmética binaria es verdadera, pero en la ordinaria no lo es. Esto muestra que la verdad en matemáticas es una “verdad relativa” al modelo matemático que se considere.

Las frases simples que forman las proposiciones fundamentales no son suficientes ni siquiera para expresar una mínima parte en la terminología matemática. Nos damos cuenta que cuando expresamos nuestras ideas por medio de frases compuestas intervienen conectivos (semántica) como “no”, “y”, “o”, “si... entonces...”, “... si y sólo si...”, con lo cual logramos dos objetivos: el primero, enriquecer el lenguaje,

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admitiendo nuevas proposiciones fundamentales, y segundo, dando métodos para asignar los valores de verdad a tales proposiciones.

Para el estudio de la lógica proposicional se tienen en cuenta solamente aquellos enunciados que en un contexto establecido, o en una teoría podamos afirmar si son verdaderos o falsos. Por ejemplo de la frase “llegaron tarde”, “la tierra es un satélite de la luna”, “dos es un número primo”, son ejemplos de proposiciones simples que en un contexto establecido, podemos afirmar que son verdaderos o falsos.

Tenemos hasta ahora un conjunto de proposiciones y un conjunto de valores de verdad (verdadero=1, falso=0), tal que a cada proposición de le asignamos un único valor de verdad

V(p) Representada p 1 usualmente por: 1 0 0

Brevemente, observemos los conectivos lógicos y las tablas de verdad que se dan a continuación:

ó conectivo conectivo conectivo

no “y” “and” “o” condicional bicondicional

El conectivo “no”: si p es una proposición fundamental, se puede negar de varias maneras; por ejemplo, la frase “las matemáticas son fáciles” entonces negación es la frase “las matemáticas no son fáciles”, (escriba a otras formas de negarla), si no se desea especificar la frase de la cual se habla, entonces se designa por p y su negación no p, o, p p

P P 1 0 0 1

{ },....s,r,q,pp =

{ }0,1V =

( )pv

¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔

¬

¬

43


Ejemplo:

p:= “Hoy está lloviendo”

¬ p = “Hoy no está lloviendo”, o, “no es cierto que hoy este lloviendo”

El conectivo “y”:si p y q son dos proposiciones simples se acepta la frase “p y q”

Como una frase compuesta, y se designa por . .El valor de verdad se resu-me en la siguiente tabla:

P Q P Q

1 1 1

1 0 0 0 1 0

0 0 0

Ejemplo:

p := “Dos es un número par” Q := “Tres es un número primo”

P Q= “dos es un número par y tres es un número primo”, cuyo valor de verdad es verdadero.

El conectivo “o”: si p o q son dos proposiciones simples se acepta la frase “ p o q” como una frase compuesta, y se designa por p q. El valor de verdad se resume en la siguiente tabla:

qp ∧

∧

∧

∨

44


P Q P Q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Ejemplo:

p := “Dos es un número par” Q := “Tres es un número primo”P Q= “dos es un número par o tres es un número primo”, cuyo valor de verdad es verdadero.

Resumiendo los resultados hasta ahora obtenidos podemos afirmar que a partir del conjunto original de proposiciones simples hemos formado un nuevo conjunto, aceptando la combinación de proposiciones del conjunto original, que se pueden formar empleando los conectivos , ¬. Los elementos del último conjunto se llaman proposiciones compuestas. Podemos tener ahora proposiciones compuestas del tipo y el valor de verdad es de acuerdo con la exten-sión natural de las hipótesis anteriores.

Tautología: al verificar los valores de verdad de una proposición tenemos que: si la proposición es siempre verdadera, independiente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen, esta proposición es una tautología; si la proposición siempre es falsa tenemos una contradicción y cuando puede ser verdadera o falsa la proposición es indeterminada.

∨

∨

( ) rVqp ∧

∧ ∨

45


Otros conectivos lógicos:

Condicional “ “ Usamos la frase “si p entonces q” por la abreviación , otras frases que comúnmente se consideran equivalentes son: “p implica q”, “p solamente si q”, “ p es suficiente para q” y “p es necesario para q”. Y su tabla de verdad es:

P Q P ⇒ Q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Ejemplo:

P:= ganas el cicloQ:= te regalo un carroP ⇒ Q:= si ganas el ciclo entonces te regalo un carro; esta proposición no se cumple cuando se gana el ciclo y no se da el carro, es decir, cuando P. es verda-dera y Q es falsa.

Bicondicional “ ⇔ “ Es el operador lógico... si y sólo si..., usamos la abreviación p ⇔ q . Y se expresa de diferentes maneras, entre ellas tenemos: “si P entonces Q., y recíprocamente, si Q entonces P”, “P si Q, y sólo entonces”, “P es necesario y suficiente para Q” y la tabla de verdad es la siguiente:

P Q P ⇔ Q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⇒ qp ⇒

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Condiciones de suficiencia y necesidad

Dada la implicación H ⇒ T que llamamos implicación directa, existen otras tres implicaciones, obtenidas por permutaciones o negaciones del antecedente y consecuente:

Un razonamiento deductivo es válido si no es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.

No es un secreto que las matemáticas tienen sus raíces en la naturaleza, la expresión que mejor la define es “ la matemática es una forma de pensar” dado que su estructura es esencialmente una serie de razonamientos en los que se aplican los elementos de la lógica desde los puntos de vista inductivo y deductivo.

En todos los momentos de nuestra vida, estamos verificando proposiciones, por lo que necesitamos para actuar o asegurar los resultados de actividades posteriores. Las conclusiones que se obtienen con base en la unificación de un número finito de casos pueden ser erróneas o equívocas y por lo tanto hay que tomar muchas precauciones, de tal manera que se tenga seguridad de los resultados, pues ninguna conclusión que saquemos de la experiencia es totalmente segura.

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Cuando se obtienen conclusiones de la manera anterior se dice que se ha hecho una inducción. La inducción es un método de razonamiento utilizado frecuentemente en las ciencias físicas, naturales y sociales para afirmar la verdad de una proposición tomando como fundamento la verificación de un número finito de casos. El razonamiento inductivo es lógicamente aceptable sólo con algunas restricciones.

Existe otro tipo de razonamiento lógico, llamado deducción, mediante el cual la verdad de una conclusión, no se fundamenta en la observación de un número limitado de casos, sino que es el fruto de un razonamiento lógico. Este es el tipo de verdades que acepta la matemática.

La inducción y la deducción son métodos de razonamiento complementarios.

Los elementos que constituyen la estructura de la matemática son de dos tipos: conceptos y proposiciones-relaciones que se refieren a esos conceptos.

A su vez cada uno de tales elementos da origen a un proceso, así:

El encadenamiento de conceptos constituye el proceso de conceptualización; clasificado en conceptos individuales, los cuales se refieren a objetos particulares, ejemplo: recta, conjunto, punto, vida. Y conceptos específicos, los cuales se refieren al conjunto de objetos que tienen propiedades comunes, ejemplo número real, número primo, número par.

El encadenamiento o combinación lógica entre proposiciones y relaciones que hace posible el paso de unas a otras constituye el proceso de demostración.

Los tipos de conceptualización fundamentales dentro de la matemática son: definiciones y postulados. Una definición es un juicio que establece con precisión los límites del concepto. En toda definición es indispensable conocer el significado de las palabras que se usan, pues de lo contrario acabamos en círculos viciosos o ambigüedades, como ocurre frecuentemente al buscar palabras en el diccionario.

En la estructura de la matemática debemos evitar los círculos viciosos, es decir, definiciones ambiguas. Los términos que se utilizan en cada definición matemática han de ser conocidos de antemano, y puesto que debieron ser definidos con

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anterioridad, se tendría un proceso regresivo indefinido. Evitamos esto, utilizando algunos términos que aceptamos arbitrariamente como conocidos y a los que llamaremos términos no definidos o primitivos.

Son términos primitivos en matemática: conjunto, punto, recta, plano, siguiente de, estar entre, etc. con los términos primitivos, o palabras matemáticas indefinidas, definiremos cualquier otra palabra matemática en función de estas, además de las palabras comunes del idioma, las cuales no tienen significación matemática especial.

Con los términos tanto definidos como primitivos pueden formarse en algunos enunciados o proposiciones primitivas que se aceptan como verdaderas y se llaman postulados o axiomas; que es una proposición inicial o primitiva que aceptamos como verdaderas y se acepta sin demostración.

Algunos ejemplos de postulados o axiomas en la matemática son los siguientes:

- Hay una recta y sólo una que pasa por dos puntos distintos.

- La probabilidad de un evento es siempre menor o igual que uno.

- Todo número natural tiene su sucesor, que es otro número natural.

- Para todo par de números naturales a nivel se verifica que:

Cuando se han establecido los términos no definidos, los definidos y un sistema de postulados o axiomas, puede continuarse adelante en la construcción y ampliación del conocimiento matemático.

Se definen entonces nuevos términos y se formulan proposiciones o enunciados los cuales se estructuran sistemáticamente con los anteriores y jamás entran o conducen a contradicciones. Con los elementos anteriormente descritos, funcionando como premisas, el matemático procede a la formulación de proposiciones y relaciones cuya verdad o falsedad debe probarse mediante el uso de algunas reglas lógicas. Tales proposiciones o relaciones se llaman teoremas.

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Un teorema es toda proposición que se puede demostrar utilizando otros elementos conocidos y algunas reglas de la lógica.

En aritmética por ejemplo, son teoremas las siguientes proposiciones:

- El producto de dos números enteros impares, es un entero impar.

- es un número irracional.

- Si a y b son dos números reales tales que a x b = 0 entonces

a = 0, ó b = 0

Se llama demostración a la combinación o enlace de dos o más proposiciones para obtener nuevas proposiciones y relaciones cuya validez establece como consecuencia de aquellas.

La demostración consta de tres partes:

1. Los fundamentos empleados como base la demostración.

2. La proposición cuya validez se trata de probar.

3. El procedimiento empleado para lograr que la proposición quede demostrada.

Generalmente la estructura de la demostración se expresa por medio de la implicación H → T donde:

a. Se acepta que H es verdadera (hipótesis) y está constituida por los términos no definidos, definiciones, postulados y proposiciones o relaciones anteriormente establecidas.

b. Se establece una sucesión de afirmaciones que son combinaciones de los elementos de H los cuales determinan que H implica a T.

c. Se afirma que T (tesis) es verdadera.

2

50


Observación: toda demostración es un proceso eminentemente creado dentro del conocimiento científico, y la conexión entre H y T. Para obtener H no es única, no hay procedimientos establecidos y por consiguiente ha de ser descubierta.

Ejemplo: consideremos el teorema “si un triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos” (teorema de Pitágoras).

La hipótesis está constituida por algunos teoremas de proporcionalidad previamente demostrados, la ley distributiva de la multiplicación respecto a la adición de reales y las propiedades fundamentales de los triángulos rectángulos.

La tesis es: el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.

Para introducirlos al estudio de los métodos de demostración y los esquemas correspondientes es importante señalar algunos de los razonamiento deductivos válidos que constituyen reglas de inferencia.

Establecemos primero las premisas y luego debajo de una línea horizontal la conclusión:

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1. Ley de Modus ponens

P ⇒ Q P Q Ejemplo:

P:= x es múltiplo de 9

P ⇒ Q:= Si x es múltiplo de 9 entonces x es múltiplo de 3

A partir de estas dos afirmaciones podemos concluir que

Q:= x es múltiplo de 3

2. Ley del Modus tollens

P ⇒ Q

¬ Q

¬ P

Ejemplo:


Q:= x no es múltiplo de 3


P:= x no es múltiplo de 9

3. Ley del silogismo hipotético

p ⇒ q

q ⇒ r

p ⇒ r

52


Ejemplo:


Q ⇒ R:= Si x es múltiplo de 9 entonces x es múltiplo de 3


P ⇒ R := Si x es múltiplo de 18 entonces x es múltiplo de 3

Actividades de aprendizaje

Desarrolle los siguientes problemas de lógica con base a la teoría estudiada, lo que permitirá desarrollar un buen pensamiento lógico.

Situación problema 1

”En la gran etapa: Concarneau-Chateaulin, en la costa Ménez-Kerveyen, tenemos seis hombres a la cabeza. Son …”

El relator deportivo se confunde y mezcla corredores, números, marcas y nacionalidades. ¿Usted debe ayudarlo a terminar esta nota? Sabemos que:

• Este grupo comprende seis hombres, todos de nacionalidades diferentes: alemán, inglés, belga, español, italiano y francés.

• Tres marcas patrocinan a los corredores, cada una de ellas a dos: Clas, Banesto y Festina.

Se tiene la siguiente información:

a. El número 1 y el alemán son dos corredores que llevan los colores de la marca Clas.

b. El número 5 y el belga llevan los dos los de la marca Banesto.

c. El español y el número 3 llevan los dos los de la marca Festina.

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Guía de estudio Desarrollo de Pensamiento y Métodos CuantitativosFacultad de Estudios a Distancia-FED

d. Los corredores números 2 y 6 sacaron ventaja a la entrada del circuito de l’Aulne, mientras que el español se quedó.

e. El italiano y el francés se adelantaron 30 segundos al número 3 en la tercera vuelta de este circuito.

f. El número 2 y el alemán debieron abandonar, ambos, después de una caída.

g. Finalmente, el número 1 ganó el sprint final frente al italiano.

Complete el cuadro con la información 1= (verdadero), 0= (falso) y la justificación del argumento como aparece en el ejemplo y diga el orden correcto de los seis hombres a la cabeza de la etapa.


Después de una dura mañana en la Facultad de Informática, Álvaro, Daniel, Paco, Enrique, Carmen y Luis se encuentran en el comedor. Sabemos que:

a. Daniel, Carmen y el aficionado al pescado aprecian el vino blanco.

b. Paco mira con envidia a las personas que eligieron jabalí y pato a la naranja.

c. Álvaro y Daniel están situados frente a los que degustan la tortilla de patata y el pato a la naranja.

alemán belga eSPañol franceS ingléS italiano

1 0(a)+(b)

23456

54


d. Álvaro, Paco y Enrique han elegido cada uno un plato de carne.

¿Quién ha pedido el bistec? ¿Y los caracoles?

Situación problema 3 Los señores Pérez, Blanco y Cano son los tres candidatos que obtuvieron la mayor cantidad de votos en las últimas elecciones en el de La Garrafa. El resultado fue muy ajustado: el que llegó a la cabeza aventaja al segundo en un voto y éste al tercero en otro voto. Los tres practican deportes diferentes (atletismo, natación y senderismo) y tienen una bebida favorita diferente: café, zumo de naranja y té. Con la siguiente información se trata de encontrar la clasificación de cada candidato, su deporte y su bebida favorita:

a. El señor Cano, gran aficionado al café, aventajó a Blanco por un solo voto.b. El aficionado al zumo de naranja, que no soporta el senderismo, obtuvo un

voto más que el bebedor de té.c. El señor Pérez adora la natación.

Complete el cuadro y deduzca las posiciones de cada candidato:


PueStoS dePorteS bebidaS

1 2 3 a n s t c z

Candidatos

P1

(c)

B

C


Lina, Adriana y Claudia viven en apartamentos contiguos; Claudia vive en el medio. Trabajan como química, abogada y contadora, pero no necesariamente en ese orden. La abogada sacan a pasear el perro de Claudia al salir esta a

55


vacaciones; la química golpea la pared del apartamento de Lina si la televisión suena muy alto.

¿Cuál es la profesión de cada una de ellas? Trate de organizar de manera sistemática la información. Elabore una matriz como se indica y descarte las incompatibilidades, de acuerdo a la información del problema.

Sección

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

caPítulo 0. concePtoS algebraicoS

tema

Conjuntos

Los números reales

Exponentes

Radicales y exponentes racionales

Operaciones con expresiones alge-braicas

Factorización

Fracciones algebraicas

ejercicioS a entregar

Págs. 8-9: 52 y 56.

Pág 15: 47

Págs. 20-21: 68.

Pág. 27: 70

Realice el ejercicio nota sobre tecnología página 33 y compruebe los resultados con los del libro. (No se debe entregar en el trabajo, pero debe rea-lizarlo para empezar un manejo básico del Excel)Pág. 35: 71

Pág 42:61

Pág. 49: 62

nombre/oficio lina adriana claudia

química

contadora

abogada

Parte II Pensamiento numérico, aleatorio y variacional

Del libro Matemáticas aplicadas a la administración, economía y ciencias sociales de Harshbarger Ronald, Reynolds James. Séptima edición. Mc Graw Hill. México 2004.

Estudie muy detalladamente la teoría de este capítulo y desarrolle los ejercicios propuestos:

56


Sugerencia:

Haga un entrenamiento previo de auto evaluación de conceptos y ejercicios en el CD-ROM.

Condiciones de presentación

Esta guía de estudio debe ser presentada con los enunciados y el desarrollo de los ejercicios propuestos en formato Word 2007.

Fecha de envío

Envíe el desarrollo de las actividades de aprendizaje solicitadas en esta guía, el día programado en el aula virtual hasta las 11:00 pm a través del aula virtual. Consulte el calendario para ver la fecha exacta. (Fin de la segunda semana).

Sección

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

caPítulo 1. ecuacioneS y funcioneS linealeS

tema

Solución de ecuaciones lineales en una variable

Funciones

Funciones lineales

Gráficas y utilerías de graficación

Resolución de sistemas de ecuacio-nes lineales

Aplicaciones de las funciones en la empresa y la economía


Pág. 66: 42

Pág. 80: 51.

Pág. 91: 57.

Pág. 101: 41 y 51.

Pág. 113: 36

Pág.123: 24.

57


6.2FUncIOnESESpEcIALESyALGEbrADEMATrIcES

Período de realización

• Tercera semana.

Contextualización

Continuamos haciendo un estudio sobre las funciones en general y las funciones lineales en particular también analizaremos otro tipo de funciones incluyendo la resolución de ecuaciones con prácticas con métodos de factorización y el uso de la fórmula cuadrática.

Continuaremos nuestro estudio resolviendo sistemas de ecuaciones lineales mediante las matrices que nos permitirán resolver diversos problemas, mediante la recopilación almacenamiento y análisis de diversos tipos de datos como un procedimiento de registro en forma tabular.

Finalizar hemos este capítulo con una aplicación de programación lineal útil para resolver problemas de distribución de recursos limitados entre varias actividades de la mejor manera posible, como una herramienta de aplicación y optimización de recursos, sin extendernos en el método simplex.

Una estrategia muy útil para abordar los problemas y resolverlos es mediante la siguiente estrategia:

2GUÍADETrAbAJO

58


• Leer y releer el problema hasta comprender los hechos que presenta, revisar muy bien ¿qué información nos proporciona?, ¿qué vocabulario presenta?, ¿qué pregunta se pretende resolver?

• Formular una ecuación o un sistema de ecuaciones nombrando claramente las variables que representan la pregunta que deseamos resolver. Luego se expresan todas las cantidades que intervienen en términos de las variables definidas.

• Resolver la ecuación planteada anteriormente, aplicando las propiedades de las desigualdades y las propiedades de las operaciones que intervienen en ellas.

• Verificar que los resultados responden a la pregunta del problema y sacar conclusiones, que nos permitan tomar decisiones.

Temas de estudio

- Ecuaciones cuadráticas.

- Aplicaciones empresariales de las funciones cuadráticas.

- Matrices.

- Multiplicación de matrices.

- Inversa de una matriz cuadrada.

- Aplicaciones de las matrices.

- Desigualdades lineales para una variable.

- Desigualdades lineales para dos variables.

- Programación lineal: métodos gráficos.

59



Al finalizar el estudio de esta guía el estudiante estará en capacidad de dar respuesta a los siguientes interrogantes:

- ¿Cuáles son las diferencias sustanciales entre las ecuaciones y las desigualdades?

- ¿Cómo utilizar las ecuaciones para resolver desigualdades?

- ¿Cuándo estamos frente a un problema de ecuaciones y cuándo con un sistema de ecuaciones?

- ¿Qué tipo de situaciones podemos representar haciendo uso del concepto de matrices?

- ¿Cómo usamos el álgebra matricial para resolver sistemas de ecuaciones?

- ¿Cuál es la estructura general de una ecuación de segundo grado y su respectiva solución?


Al finalizar el estudio de la guía del estudiante demuestra que:

- Usa correctamente términos nuevos dentro de un contexto matemático- Interpreta gráficas.

- Analiza situaciones para hallar propiedades y estructuras comunes.

- Identifica ejemplos válidos y no válidos.


60


- Comprende su realidad con base en la aplicación de conocimientos matemáticos.

- Plantea modelos matemáticos que contribuyen a conocer y mejorar su entorno.

- Desarrolla trabajos en grupo y se desempeña como constructor y facilitador de metas colectivas.


- Interpreta correctamente la comunicación tanto verbal como visual de los demás.

- Utiliza modelos, diagramas y símbolos para representar diferentes situaciones

- Pasa de un modo de representación a otro.

- Compara y contrasta conceptos.

- Formula, resuelve, comprueba e interpreta problemas.

- Generaliza soluciones.

- Revisa y reflexiona sobre sus propios pensamientos y actuar matemático.

- Utiliza el software “DERIVE” en el trazado y análisis de funciones en una variable.

- Utiliza las herramientas del EXCEL para graficar y realizar operaciones con funciones.

61


Material básico de estudio

- Harshbarger R. Reynolds J. (2004): Matemáticas aplicadas a la administración, economía y ciencias sociales. México:Mc Graw Hill, séptima edición. Capítulos 2, 3 y 4.

- Consulte los textos bibliográficos.

Estudie minuciosamente la teoría de este capítulo y elabore ejercicios propuestos. Se recomienda un entrenamiento previo de auto evaluación de conceptos y ejercicios en el CD-ROM.


Sección

2.1

2.3

3.1

3.2

3.4

caPítulo 2. funcioneS eSPecialeS

tema

Ecuaciones cuadráticas

Aplicaciones empresariales de las funciones cuadráticas

Matrices

Multiplicación de matrices

Inversa de una matriz cuadrada


Pág. 144: 60 y 61

Pág. 162: 31.

Pág. 207: 38.

Pág. 219: 55 y 59.

Pág. 249: resuelva en Excel el ejercicio No. 64

caPítulo 3. matriceS

Sección tema ejercicioS a entregar

62


Notas rápidas

Ecuaciones en una variable

Pensemos en una ecuación como una balanza en equilibrio. Si se agregan 15 a cada plato de la balanza, el equilibrio no se altera.

Sección

4.1

4.2

4.3

caPítulo 4. deSigualdadeS y Programación lineal

tema

Desigualdades lineales para una variable

Desigualdades lineales para dos variables

Programación lineal: métodos gráficos


Pág. 276: 44

Pág. 285: 34

Pág. 297: 43

63


Obtención de ecuaciones a partir de problemas verbales

Es necesario “traducir” una proposición verbal en una ecuación.

El primer paso es representar a la cantidad desconocida por una variable, x “el peso anterior”

Así: x+15 = 68 representa la situación problémica inicial.

Pregunta hecha por la ecuación: “Qué número más 15 da 68”

Igualdades

53x15156815X

=−=−

=+

Si se resta 15 de ambos miembros de una ecuación del resultado es una ecuación equivalente

Y la ecuación se ha resuelto

64


La ecuación 2x + y = 5 se llama ecuación lineal en las variables x y y porque su gráfica en el plano xy es una recta.

Una ecuación de la forma: a1x1 + a2x2 + ... + an xn = b es una ecuación lineal en n-variables, donde a1,a2 ,...an, son los coeficientes y b es una constante numérica real.

La ecuación 3x2 - 2 = 8 no es una ecuación lineal ya que uno de los términos, es de grado dos.

Sistema lineal

El sistema lineal es la agrupación de ecuaciones lineales de la siguiente forma:

1)

2)

3) Donde x1 ,x2 ,x3 son las incógnitas.

Representación de un sistema de ecuaciones en forma de matriz

Estas ecuaciones se pueden representar mediante matrices, que son números ordenados en filas y columnas.

Fila 1 →

Columna ↑

Para obtener una matriz tomaremos los valores que tiene cada término de la ecuación y los ordenamos en fila, por ejemplo:

1xx2x3 321 =++

3x4x2x2 321 −=++

12xx3x 321 =−+−

126795431

65


Tomamos la primera ecuación 3x1 + 2x2 + x3 = 1 y sus valores son: 3, 2, 1 y 1 respectivamente.

Ubicamos los valores dentro de los paréntesis al igual que las incógnitas y los recursos como se ve:

↑

Ya obtuvimos una matriz muy pequeña, ahora vamos a construir una matriz más grande. Por ejemplo la de tres ecuaciones:

1)

2)

3) Y realizamos los mismos pasos anteriores pero ahora los valores de la segunda ecuación las ubicamos debajo de los valores de la primera y así con los siguientes.

Al introducir los valores los signos también tiene que estar, si son negativos.

( ) ( )1xxx

*123

3

2

1

=

Valoresde la ecuación

↓

Incógnitas

Recursos

↑

1xx2x3 321 =++

2x4x2x2 321 −=++

1xx3x 321 =−+−

−=

−− 121

xxx

*131422123

3

2

1

Valores de la ecuación 1

↓↓↓ ↓↓

↑

←←←←

←

←

→

→

Columnas



Valores negativos

Incógnitas

Filas

Recurso de la ecuación 1



66


Si A es una matriz cualquiera

y X es la matiz columna de incógnitas

Entonces al producto de AX es la matriz:

Luego si B es la matriz columna de recursos y hacemos que AX=B

Vemos que esta expresión coincide con el sistema de ecuaciones lineales

−−

=

4513541264537864

A

=

4

3

2

1

xxxx

X

−−+

+++

+++

+++

=

4321

4321

4321

4321

x4x5xx3x5x4xx2x6x4x5x3x7x8x6x4

X*A

−

=

−−+

+++

+++

+++

3121

x4x5xx3x5x4xx2x6x4x5x3x7x8x6x4

4321

4321

4321

4321

3x4x5xx31x5x4xx22x6x4x5x31x7x8x6x4

4321

4321

4321

4321

=−−+

=+++

=+++

=+++

67


Por lo tanto la forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales está dado por AX=B

En la matriz identidad su diagonal principal son solo unos (1) y los demás son ceros por ejemplo:

La matriz inversa de A es una matriz A-1 que cumple con: A * A-1 = A-1 * A = I Donde I es la matriz identidad.

Retomando la definición de matriz AX=B para obtener la solución aplicamos la matiz inversa de esta manera A-1 * A * X = A-1 * B y como A-1 * A = I por definición de inversa de una matriz, luego tenemos que: X= A-1 * B

Entonces si A es invertible, el sistema AX = B tiene una solución única X = A-1 *B

ADVERTENCIA

No todas las matrices tienen inversa por tanto necesitamos conocer una herramienta que nos permita ver si una matriz tiene inversa o no.

El siguiente teorema nos da la solución.

Teorema: Sea A una matriz no nula, si el determinante det A ≠0, entonces A es una matriz invertible.

1000010000100001

Diagonal solo son unos

Matriz deincógnitas

Solució del sistema

68


El determinante de una matriz 2 x 2 es el número

Ejemplo:

Consideremos

luego det (A) = 2 x 1 - ( -1) x 1 = 3

Por tano el determinante es diferente de cero y la matriz tiene inversa.

http://thales.cica.es/rd/recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html

Pasos para el manejo de matrices en Excel

Escriba en las casillas los valores o incógnitas. Por ejemplo

cxbdxadcba

Adet −==

−=

1112

A

0Adet3Adet ≠⇒=

−− 4513541264537864

69


Para hallar la inversa de la matriz seleccione un número de casillas igual al de la matriz, luego vamos para fórmula, escogiendo la biblioteca de matemáticas y trigonometría.

70


Luego damos clip en Minversa

Y nos aparece el siguiente cuadro

71


Lea lo que dice ese cuadro. Después en la parte que dice matriz seleccione el cuadro donde escribimos la matriz inicial para poder hallar la inversa a ella.

72


Luego le damos aceptar y obtenemos la respuesta en la casilla seleccionada. Para ver la inversa de la matriz inicial en matrices seleccionamos desde la casilla donde tenemos nuestro resultado y completamos las casillas de la matriz, después damos F2 y el paso a seguir será: CTRL+ MAYUS+ENTER

Llegando nuestra matriz inversa.

73


“Compruebe estos resultados”

Recordemos que X= A-1 *B luego:

Seleccionamos otra casilla y vamos a las formulas, en matemáticas y trigonometría y seleccionando a Mmult (multiplicación de matrices).

Nos aparece el siguiente cuadro:

74


Y damos clic en matriz 1, seleccionamos la matriz inversa, la que hayamos anteriormente. Luego damos clic en la matriz 2 y escogemos la matriz de recursos.

Matriz inversa

Matriz de recursos

Luego le damos aceptar y obtenemos la respuesta en la casilla seleccionada. Para ver la inversa de la matriz inicial en matrices seleccionamos desde la casilla donde tenemos nuestro resultado y completamos las casillas de la matriz, después damos f2 y el paso a seguir será: CTRL+ MAYUS+ENTER

75


LLEGANDO A RESOLVER LAS INCOGNITAS DE LA MATRIZ

Las matrices aparecen por primera vez en el año 1850, por J.J. Sylvester. Comenzó su desarrollo teórico debido al matemático W.R. Hamilton en 1853.

En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.



76


Fecha de envío

Envíe el desarrollo de las actividades de aprendizaje solicitadas en esta guía, el día programado en el aula virtual hasta las 11:00 pm a través del aula virtual. Consulte el calendario para ver la fecha exacta. (Fin de la tercera semana).

77


6.3FUncIOnESExpOnEncIALESyLOGArÍTMIcAS


• Cuarta semana.

Contextualización

Estudiaremos funciones exponenciales y logarítmicas las cuales ofrecen modelos para muchas aplicaciones financieras y en general de las ciencias sociales para estudiar el crecimiento de organizaciones o poblaciones o del dinero... analizaremos los diferentes contextos y aplicaciones que ellas presentan.

Una parte importante, que se debe estudiar a fondo, son las propiedades tanto de la función exponencial como las propiedades de los logaritmos las cuales nos permitirán resolver ecuaciones usando la relación inversa de estas dos funciones.

Luego estudiaremos el interés simple que en ocasiones usamos para préstamos a corto plazo, y el interés compuesto usado en cuentas de ahorro, pago de intereses de préstamos, planes de ahorro y métodos usados en el pago de deudas.

3GUÍADETrAbAJO

78


Temas de estudio

- Funciones exponenciales.

- Funciones logarítmicas.

- Aplicaciones económicas y administrativas.

- Interés simple.

- Interés compuesto.

- Valor futuro de las anualidades.

- Valor presente de las anualidades.



- ¿Cuál función modela el crecimiento del dinero?

- ¿Cuál función modela el decaimiento del volumen de las ventas?

- ¿Cómo se aplican estas funciones, logarítmico si exponenciales en áreas administrativas y científicas?

- ¿Cómo resolver una ecuación que presente exponenciales o logaritmos?

- ¿Cuándo usar un interés simple y cuando un interés compuesto?

- ¿Cómo hallar un valor futuro, un valor presente?

79




- Interpreta gráficas.


- Identifica ejemplos válidos y no válidos.




- Plantea modelos matemáticos que involucran funciones exponenciales y logarítmicas que contribuyen a conocer y mejorar su entorno.


- Utiliza modelos, diagramas y símbolos para representar diferentes situaciones.





80



- Utiliza el software “DERIVE” en el trazado y análisis de funciones exponenciales y logarítmicas.

- Utiliza la herramienta de Excel para encontrar el valor presente, el valor futuro, la función pago.

- Utiliza las herramientas del EXCEL


- Harshbarger R. Reynolds J. (2004): Matemáticas aplicadas a la administración, economía y ciencias sociales. México:Mc Graw Hill, séptima edición. Capítulos 5 y 6.



Estudie la teoría de este capítulo y desarrolle los ejercicios que aparecen a continuación.

Sugerencia:


81




Fecha de envío

Envíe el desarrollo de las actividades de aprendizaje solicitadas en esta guía, el día programado en el aula virtual hasta las 11:00 pm a través del aula virtual. Consulte el calendario para ver la fecha exacta. (Fin de la cuarta semana).


Pág. 353: 41 y 42.

Pág. 366: 52

Pág. 377: 21 y 25.

Pág. 394: 19

Pág. 408: 22 y 42.

Pág. 419: 24

Págs. 429-430: 6 y 14.

tema

Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Aplicaciones económicas y adminis-trativas

Interés simple

Interés compuesto

Valor futuro de las anualidades

Valor presente de las anualidades

Sección

5.1

5.2

5.3

6.1

6.2

6.3

6.4

caPítulo 6. matemáticaS financieraS

caPítulo 5. funcioneS exPonencialeS y logarítmicaS


82


6.4DErIvADAS


• Quinta y sexta semana.

Contextualización

Comenzamos esta guía de estudio con el estudio del cálculo en donde el primer concepto fundamental es el del límite, seguido de la continuidad de una función, para llegar a uno de los conceptos más importantes del cálculo: la derivada.

Estudiaremos las diferentes técnicas para encontrar las derivadas de una función, se les dará una interpretación y sacaremos conclusiones en problemas prácticos de optimización en contextos económicos, sociales y de la vida real.

A partir de la derivada, revisaremos funciones y criterios que nos permitan decidir en qué valores de la función obtendremos mayores beneficios, reduciremos costos, encontraremos las más altas producciones, el mejor rendimiento del trabajador, la variación de los indicadores de consumo frente a un aumento o disminución de precios etc.

4GUÍADETrAbAJO

83


Temas de estudio

- Límites.

- Funciones continuas.

- Tasas de cambio promedio e instantánea.

- Fórmulas de las derivadas, regla del producto y del cociente, regla de la cadena.

- Uso de las fórmulas de las derivadas, derivadas de orden superior.

- Aplicaciones en la empresa y la economía.

- Máximos y mínimos relativos.

- Concavidad.

- Optimización en la empresa y economía.

- Derivadas de funciones logarítmicas, derivadas de funciones exponenciales Diferenciación implícita.

- Tasas relacionadas.

- Más aplicaciones a la empresa y la economía.



84


- ¿Qué sucede con una de las variables relacionadas cuando nos aproximamos a un valor no permitido?

- ¿Qué concepto del cálculo nos permite observar esas tendencias?

- ¿Por qué es importante saber si una función es continua en un punto o no?

- ¿Qué significa la derivada en un punto?

- ¿Cómo determino si un punto es un máximo o un mínimo de una función?

- ¿Qué significa optimizar una función?

- ¿Qué ventajas tendremos en el análisis y toma de decisiones con relación a las variables económicas que manejamos?






- El estudiante reconoce símbolos matemáticos y los usa adecuadamente.

- Usa correctamente términos nuevos dentro de un contexto matemático.


85








- Utiliza el software “DERIVE” en el trazado y análisis de funciones usando las derivadas.

- Utiliza la herramienta de Excel para encontrar el valor el valor de la pendiente de la recta tangente a una curva mediante la definición de derivada.



- Harshbarger R. Reynolds J. (2004): Matemáticas aplicadas a la administración, economía y ciencias sociales. México:Mc Graw Hill, séptima edición. Capítulos 9,10 y 11.


86



Estudie la teoría y los ejemplos del capítulo, luego realice las actividades propuestas.

Sugerencia:


Sección

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

9.6

9.7

9.8

caPítulo 9. derivadaS

tema

Límites

Funciones continuas

Tasas de cambio promedio e instantánea

Fórmulas de las derivadas

Regla del producto y del cociente

Regla de la cadena

Uso de las fórmulas de las derivadas

Derivadas de orden superior


Pág. 574: 61

Pág. 586-587: 50 y 56.

Pág. 603: 45 y 50.

Pág. 614-615: 46 y 49.

Pág. 622-623: 47 y 53.

Pág. 629: 38

Pág. 635: 40 y 42

Pág. 642: 43

87


Notas rápidas

Derivadas

El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno y otro país.

Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la velocidad de un móvil.

Recibe el nombre de recta secante cualquier recta que pase por dos puntos diferentes de una curva.


Pág. 679: 62

Pág. 691: 39

Págs. 701- 702: 16 y 30.

Pág. 742: 47

Pág. 748: 36 y 41.

Pág. 759: 56

Pág. 764: 20

tema

Máximos y mínimos relativos

Concavidad

Optimización en la empresa y economía

Derivadas de funciones logarítmicas

Derivadas de funciones exponenciales

Diferenciación implícita

Tasas relacionadas

Sección

10.1

10.2

10.3

11.1

11.2

11.3

11.4

caPítulo 11. continuación de laS derivadaS

caPítulo 10. aPlicacioneS de laS derivadaS


88


En la figura se representa gráficamente una recta L secante a una curva:

Como al conocer la pendiente de una recta y un punto de ella, la recta queda completamente determinada, se tiene que el problema de trazar una recta tangente a una curva dada, por un punto de ésta, se reduce a encontrar la pendiente dicha recta.

Consideremos la gráfica de una curva con ecuación y = f (x) donde f es una función continua.

Se desea trazar la recta tangente en un punto (x0,y0) dado de la curva. Sea PQ la recta secante que pasa por los puntos P(x0,y0) y Q (x,y) de la curva.

89


La pendiente de esta secante, denotada m está dada por:

Si tomamos al punto P como punto fijo y movemos al punto Q a través de la curva hacia P, entonces la posición de la recta secante se acerca a la posición de la recta tangente. O sea que la recta secante tiene una posición límite, esta posición es la recta tangente.

En otras palabras, la pendiente de la recta tangente a la curva en P es el límite de la pendiente de la recta secante, si el límite existe. Luego nos queda:

Entonces, dada una función y = f(x), la derivada mide la variación de y, cuando hay una pequeña variación de x.

La definición de la derivada de la función y = f (x), es:

donde h = x - x0

Por lo tanto, para que exista la derivada de una función en un punto, tiene que existir ese límite. Cuando no existe este límite, se dice que la función no es derivable en ese punto.

Por ejemplo: Dada f(x) = x3 - 2x encontrar su derivada.

( ) ( )0

0

0

0

xxxfxf

xxyym

−−

=−−

=

( ) ( ) ( )0

0

xxxfxflimxf

−−

=

( ) 0xx 0 →−

( ) ( ) ( )h

xfhxflimxf −+=

0h→

90


Solución:

Métodos de derivación

Realizar una derivada a partir de la definición, puede convertirse en un proceso algebraico laborioso, por ello, los métodos de diferenciación (teoremas) nos proporcionarán técnicas de fácil aplicación para encontrar la derivada de una función.

• Derivada de una constante

Si f(x) = k, k es cualquier número, entonces

f´ (x) = 0 Demostración:

La derivada de una constante es igual a cero.

( ) ( ) ( )h

xfhxflimxf −+=

0h→ Definición de límite

( ) ( ) [ ]

2x32hxh3x3lím

hh2hxh3hx3lím

h

x2xhx2hxlim

222

32233

−=−++=

−++=

−−+−+

0h→ 0h→

0h→

0h→ 0h→( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0h0lim

hkklim

hkf0kflim

hxfhxflimxf

=

=

−

−+=

−+=

0h→ 0h→

91


• Derivada de la función idéntica

Si f(x) = x entonces f´ (x) = 1

Demostración:

Regla de la suma

Si f y g son funciones diferenciables en x tales que h (x) = f(x) + g (x) entonces h´(x) = f´ (x) + g´ (x).

Ejemplos:

h (x) = 5x2 + 4x luego h´(x) = 10 x + 4

f (x) = 8x7 + x - 5 luego f´(x) = 56x6 - 5x - 6

Regla del producto:

Si f y g son funciones diferenciables en x tales que h (x) = f (x) * g (x) entonces h´ (x) = f´(x) g (x) + f (x) g´(x)

En forma compacta

(uv)´ = u´v + u´ v

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1hhlim

hxhxlim

hxhxflim

hxfhxflimxf

=

=

−+

−+=

−+=

0h→ 0h→

0h→ 0h→

92


Ejemplo: encuentre la derivada de f(x) = (8x2 -1) (- x4 +2)

Solución:

Aplicando producto (uv)´ = u´v + u´ v

• Derivada de un cociente:

Si f y g son funciones diferenciables en x tales que

entonces

En forma compacta

Ejemplo:

Considere

Aplicando

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x32x4x48

x4x32x32x16

x4*1x82xx16

2x1x82x1x8xh

35

355

324

4242

−+−=

+−+−=

−++−=

+−−++−−=

Haga los cálculos correspondientes

( ) ( )( ) ( ) 0xg,xgxfxh ≠=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2xg

xgxfxgxfxh −=

2vúvvu

vu −

=

( )1xx3x5xf

2

+−

=

2vúvvu

vu −

=

´

´

93


La regla de la cadena es una de las reglas más útiles ya que permite derivar funciones de funciones (composiciones de funciones).

Se expresa así:

Una forma intuitiva de verla es considerar la función f como una función de un “algo” y derivar respecto a ese “algo” olvidándonos de los detalles o su estructura interior

Ejemplo: Considere

sea

Así, reemplazando u tenemos

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )22

2

2

2

22

1x3x10x5xf

1x1x3x51x3x10xf

1x´1xx3x51x´x3x5xf

+−+

=

+−−+−

=

++−−+−

=

( )( )dxdg*

dgdfxgf

dxd

=

Realizando cálculos algebraicos

dxdu

dudy

dxdyTomandox5x2y 2 =−=

( )u2

1dudyderivandouuy5x4

dxduluegox5x2 2 ==−=−

( )5x4u2

1dxdy

−=

( )5x4x5x22

1dxdy

2−

−=

94


La segunda derivada de una función es la derivada de la primera derivada deNotaciones:

La enésima derivada se obtiene como un proceso repetitivo, derivando la anterior.

Ejemplo: considere f (x) = 6x3 + 3x2 - 5x + 8 encuentre la quinta derivada.

Solución:

Sitios de interés

• Consulte el aula virtual



Fecha de envío

Envíe el desarrollo de las actividades de aprendizaje solicitadas en esta guía, el día programado en el aula virtual hasta las 11:00 pm a través del aula virtual. Consulte el calendario para ver la fecha exacta. (Fin de la sexta semana).

( ) ´ý,dxyd,

dxfd,fDx´´f 2

2

2

22

( ) ( ) ( )xfy nn =

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0xf0xf36x´´´f

6x36x´´f5x6x18xf

54

2

===

+=−+=

95


6.5InTEGrALESyFUncIOnESDEDOSOMáSvArIAbLES


• Séptima y octava semana.

Contextualización

En esta guía usaremos la integración para encontrar funciones de costo total, dada la información sobre los costos marginales y los costos fijos, análogamente, las utilidades marginales, los ingresos marginales, al integrar estas funciones es posible encontrar una función aproximada que nos defina, el costo total, el ingreso, la función de utilidad.

Además pronosticarémos el crecimiento o decaimiento a partir de expresiones que dan razones de cambio, por ejemplo podemos determinar ecuaciones para el tamaño de una población con base en la tasa de crecimiento, y podemos determinar el volumen o flujo de caja de una empresa.

Usaremos el teorema fundamental del cálculo para calcular una integral definida que nos dará la aproximación del valor total, el valor presente y el valor futuro de un flujo de ingreso continuo.

Finalmente abordaremos el cálculo defunciones de dos o más variables para analizar costos, conjuntos, funciones de utilidad, funciones de producción; y utilizaremos las derivadas parciales para encontrar el costo, la productividad y la demanda marginal así como otras razones de cambio.

5GUÍADETrAbAJO

96


Temas de estudio

- La integral indefinida.

- Regla de la potencia.

- Integrales que involucran funciones exponenciales y logarítmicas.

- Aplicaciones de la integral indefinida en la empresa.

- Área bajo una curva.

- La integral definida: el teorema fundamental del cálculo.

- Área entre dos curvas.

- Aplicaciones de las integrales definidas en la empresa y economía.

- Integración por partes.

- Integrales impropias y sus aplicaciones.

- Funciones de dos o más variables.

- Diferenciación parcial.

- Aplicaciones de las funciones de dos variables en la empresa y economía.



97


- ¿Qué es un anti derivada?

- ¿Qué es la integral indefinida?

- ¿Qué propiedades tiene la integral?

- ¿Cómo comprobar una integral?

- ¿Cómo realizar una sustitución en una integral?

- ¿Cómo encontrar soluciones particulares de ecuaciones diferenciales usando condiciones iniciales dadas?

- ¿Cómo encontrar en el área exacta bajo una curva?

- ¿Cómo usar el teorema fundamental del cálculo?






- El estudiante reconoce símbolos matemáticos y los usa adecuadamente.



98








- Utiliza el software “DERIVE” en el trazado y análisis de funciones usando las integrales.

- Utiliza el software “DERIVE” en el trazado y análisis de funciones de varias variables.

- Utiliza la herramienta de Excel para encontrar aproximaciones de la integral.



- Harshbarger R. Reynolds J. (2004): Matemáticas aplicadas a la administración, economía y ciencias sociales. México: Mc Graw Hill, séptima edición. Capítulos 12, 13 y 14.


99



Estudie muy detalladamente la teoría de este capítulo y desarrolle los ejercicios que aparecen a continuación.

Sugerencia:



Pág. 789: 44.

Pág. 798: 49 y 50.

Pág. 808: 47.

Pág. 816: 21.

Pág.842: 34.

Pág. 852: 46.

Pág. 863: 40, 42.

Pág. 885: 33.

Pág. 894: 44.

Pág. 873: 13 y 14.

tema

La integral indefinida

Regla de la potencia

Integrales que involucran funciones exponenciales y logarítmicas

Aplicaciones de la integral indefinida en la empresa

Área bajo una curva

La integral definida: el teorema fundamental del cálculo

Área entre dos curvas

Aplicaciones de las integrales definidas en la empresa y economía

Integración por partes

Integrales impropias y sus aplicaciones

Sección

12.1

12.2

12.3

12.4

13.1

13.2

13.3

13.4

13.6

13.7

caPítulo 13. ingtegraleS definidaS

caPítulo 12. integraleS indefinidaS


100


Notas rápidas

Función

Una función F se dice anti derivada de una función f en un intervalo, si F´(x)=f(x) para todo x en el intervalo.

Ejemplo: si f(x) = 2x - 3 una anti derivada suya es F (x) = x2 - 3x ya que F´ (x) = f(x) para todo x.

Si F es una anti derivada de la función f en un intervalo, entonces la familia de todas las anti derivadas de f en el intervalo está dada por F(x)+c, donde c es cualquier constante (numero), y todas las anti derivadas de f se obtienen dando valores a c, y se nota como:

Algunas reglas de integración

• Si k es un número cualquiera, la integral de k por la función es igual a por la integral de la función.

Sección

14.1

14.2

caPítulo 14. funcioneS de doS o máS variableS

tema

Funciones de dos o más variables

Diferenciación parcial


Pág. 917: 23

Pág. 926: 45

( ) ( ) CxFdxxf +=∫

( ) ( )dxxfkdxxfk ∫=∫

101


• La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de las funciones.

• La integral de la resta de dos funciones es igual a la resta de las integrales de las funciones.

Otras fórmulas

Las integrales

Integrales especiales

Nuestro problema ahora es ¿Cómo calcular áreas bajo curvas o entre curvas?

Antes de ver los teoremas fuertes del cálculo integral vamos a dar una pequeña introducción de cómo se fue desarrollando la integral.

Grafiquemos una función y=f(x) en un intervalo [a, b] mostrando el área que hay bajo la curva en ese intervalo.

( ) ( )[ ] ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxf ∫+∫=+∫

( ) ( )[ ] ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxf ∫−∫=−∫

1n,c1n

xdxx

ycxdx

1nn −≠+

+=∫

+=∫

+

[ ]

[ ] cxlndxx1.

alnadxa.

cedxe

xx

xx

+=∫

=∫

+=∫

102


Si mantenemos fijo el extremo izquierdo (a) del intervalo [a, b] y variamos el extremo derecho (b), obviamente cambiará el valor del área. Entonces el área bajo la curva será una función del valor del extremo derecho del intervalo.

Si llamamos x al extremo derecho del intervalo, entonces área =A(x).

103


Como se muestra en las imágenes, el valor del área sombreada es una función de x, A(x).

Teorema Fundamental del Cálculo

Sea F(x) una anti derivada de f(x), entonces:

Esta es la fórmula para encontrar una integral definida, es decir, ahora contamos con una herramienta que nos permite calcular la integral.

Ejemplo:

Calcular

Solución:

( ) ( ) ( )aFbFdxxfb

a−=∫

xdx221∫

( )

32122

21

222

2x2xdx2xdx2

222

1

221

21

=

−=

−−=

=∫=∫

104




Fecha de envío

Envíe el desarrollo de las actividades de aprendizaje solicitadas en esta guía, el día programado en el aula virtual hasta las 11:00 pm a través del aula virtual. Consulte el calendario para ver la fecha exacta (Fin de la octava semana).

105


6.6InTrODUccIónALAprObAbILIDADyESTADÍSTIcADEScrIpTIvA


• Novena semana.

Contextualización

En la actualidad se requieren estar analizando diferentes tipos de información con el fin de obtener conclusiones para tomar decisiones en los diferentes momentos en que se esté realizando un trabajo, en ellos, encontraremos eventos probables y otros azarosos, para lo cual necesitaremos realizar otro tipo de razonamientos y sus pronósticos implican el uso de la probabilidad.

Luego abordaremos, la estadística descriptiva, que nos permitirá tomar un conjunto de datos de una fuente con el propósito de aprender acerca de la misma. La estadística descriptiva la utilizan las empresas para resumir datos referentes a la efectividad de la publicidad, los costos de producción, las ventas, los salarios y las ganancias. En este estudio se incluye la representación gráfica de los datos, las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión.

6GUÍADETrAbAJO

106


Temas de estudio

- Probabilidad: oportunidad.

- Uniones e intersecciones de eventos.

- Probabilidad condicional.

- Arboles de probabilidad y fórmula de Bayes.

- Experimentos de probabilidad binomial.

- Descripción de datos.

- Distribuciones discretas de probabilidad: toma de decisiones.



- ¿Qué es una probabilidad?

- ¿Qué es un espacio muestral?

- ¿Qué es un evento dependiente?

- ¿Cómo usar árboles de probabilidad para resolver problemas?

- ¿Cómo utilizar técnicas de conteo para resolver problemas de probabilidad?

- ¿Cómo construir tablas de frecuencia he visto programas de frecuencia para conjuntos de datos?

107


- ¿Cómo encontrar la moda de un conjunto de valores?

- ¿Cómo encontrar la mediana y la media, el rango y la varianza la variación estándar de un conjunto de datos.











- Utiliza el software “DERIVE” en el trazado y análisis de funciones usando las integrales.

- Utiliza la herramienta de Excel para la estadística descriptiva.


108


Materiales básicos de estudio

- Harshbarger R. Reynolds J. (2004): Matemáticas aplicadas a la administración, economía y ciencias sociales. México:Mc Graw Hill, séptima edición. Capítulos7 y 8.



Estudie muy detalladamente la teoría de este capítulo y desarrolle los siguientes ejercicios:

Sugerencia: haga un entrenamiento previo de auto evaluación de conceptos y ejercicios en el CD-ROM.


Pág. 458: 39 y 41.

Pág. 466: 40 y 41.

Pág. 476: 45 y 46.

Pág. 484: 26 y 27.

tema

Probabilidad: oportunidad

Uniones e intersecciones de eventos

Probabilidad condicional

Arboles de probabilidad y fórmula de Bayes

Sección

7.1

7.2

7.3

7.4

caPítulo 7. introducción a la Probabilidad

109




Fecha de envío

Envíe el desarrollo de las actividadesde aprendizaje solicitadas en esta guía,el día programado en el aula virtual hasta las 11:00 pm a través del aula virtual. Consulte el calendario para ver la fecha exacta. (Fin de la novena semana).


Pág. 517: 16 y 20.

Ficha de resumen bibliográfico, elaboración de mapa conceptual o de un cuadro sinóptico del Capítulo 1 de estadística descriptiva del libro de Estadística aplicada de Hernán Bejarano Barrera.

Estos son algunos requisitos para la elaboración de la ficha de resumen:

• Datos bibliográficos.• Palabras clave.• Definiciones- conceptos básicos.• Resumen.• Comentarios.

Realice los siguientes ejercicios (libro de estadísti-ca aplicada): Pág 31: actividad 1, Pág 53: actividad 2. Pág. 86: actividad 3.

Pág. 538: 35 y 38.

tema

Experimentos de probabilidad binomial

Descripción de datos

Distribuciones discretas de probabili-dad: toma de decisiones

Sección

8.1

8.2

8.3

caPítulo 8. temaS adicionaleS de Probabilidad: deScriPción de datoS

110


bIbLIOGrAFÍA

• Apóstol Tom. Cálculo. Volumen II. Segunda edición. Editorial Reverté. 1996.

• Arya, Jagdish C. Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía.• D.C.: International Thomson editores S.A, segunda edición.

• Haeussler, E. (2008): Matemáticas para administración y economía. México:

• Hoffmann, Lawrence. Bradley, Gerald. (2001): Cálculo para administración, economía y ciencias sociales. Bogotá: McGraw Hill, séptima edición.

• Hughs Deborah – Hallett y Otros. Cálculo en varias variables. Segunda edición. Editorial Wiley – Cecsa. 2001.

• Larson, Hostetler y Edwars Calculo I y II. Octava Edicion. Editorial Houghton – Miflin. 2006.

• Leithold Louis. El Cálculo, Séptima edición. Editorial Oxford – Cecsa. 2001.

111


• Purce, Varberg y Rigdon. Calculo. Octava edición. Editorial Prentice Hall. 2000.

• Ross Sheldon A first Course in probability. Editorial Prentice Hall. 2005. • Shenik Al. Cálculo y Geometría Analítica. Primera Edición. Editorial Trillas.

1997.

• Smith T. Robert y Minton B. Roland. Cálculo Tomo II. Primera Edición Octava edición. Editorial Mc Graw Hill. 2001.

• Soler Francisco. Núñez Reinaldo. Aranda Moisés. (2002): Fundamentos de cálculo con aplicaciones a ciencias económicas y administrativas. Bogotá: ECOE ediciones.

• Stewart James, Cálculo conceptos y contexto. Primera edición. Thomson Learning. 2001.

• Swokowski Earl. Calculo con geometría analítica. Editorial Iberoamérica. 1997.

• Tan Soo Tang. (2002): Matemáticas para administración y economía. Bogotá.

• Thomas B. George, Jr Cálculo una y varia variables. Undécima edición. Editorial Pearson. 2007.

BASE DE DATOS

EBSCO HOST

112


Textos de consulta

• Larson, Hostetler y Edwars Calculo I y II. Octava Edición. Editorial Houghton – Miflin. 2006.

• Thomas B. George, Jr Cálculo una y varias variables. Undécima edición. Editorial Pearson. 2007.

• Stewart James, Cálculo conceptos y contexto. Primera edición. Thomson Learning. 2001.

e - libro

Direcciones de Internet recomendadas

Tema: Integrales inmediatas, integración por partes: http://www.okmath.com/catego2.asp?clave=11

Fuente: casos elaborados en la Vicerrectoría de Investigación

Direcciones de Internet recomendadas

• Tema: Integrales inmediatas, integración por partes: http://www.okmath.com/catego2.asp?clave=11

• Tema: Descomposición en fracciones simples http://www.okmath.com/Catego3.asp?clave=138

• Tema: Cálculo de integrales http://www.biopsychology.org/apuntes/calculo/calculo.htm

• Tema: resumen métodos de integración http://mx.geocities.com/dicalculus/es/metodos.pdf

• Tema: Integral definida. Área bajo la curva http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0244-01/ed99-0244-01.htm}

Sitios de Internet recomendados

113


113


• http://www.geocities.com/Colosseum/Stadium/4014/

• http://webs.sinectis.com.ar/acoda/apuntes.html

• http://www.montevideo.com.uy/u/calculus/ind_prob.htm

• http://usuarios.tripod.es/manuelnando/

• http://www.ine.es/tempus/glosario/welcome.htm

• http://www.ine.es/cgi/opcion.pl?0=glosario&L=0

• http://www.vitutor.com/algebralineal.html

• http://www.cortland.edu/flteach/stats/glos2-sp.html

• http://www.isftic.mepsyd.es/w3/Descartes/index.html

• http://www.isftic.mepsyd.es/w3/Descartes/index.html

• http://www.geocities.com/matematica_y_fisica/problemas.html

• http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Tfuncele1/marco_funele.htm

• http://www.eumed.net/cursecon/3/Equilibrios.htm

• http://personal.redestb.es/javfuetub/analisis/calculo/derivada.htm

METODOS CUANTITATIVOS

Documents