Sesión3 Metodos Cuantitativos

ECONOMETRATema 1Elementos basicos

Etapas en la preparacin de un informe de investigacin

Econometra GeneralLa econometra puede ser definida como el anlisis cuantitativo de fenmenos econmicos reales, basados en el desarrollo simultneo de la teora y la observacin, relacionados mediante mtodos apropiados de inferenciaT. C. KoopmansP. A. Samuelson

IntroduccinEntonces, la econometra es una amalgama de teora econmica, economa matemtica y estadstica econmicaLa teora econmica hace afirmaciones de naturaleza cualitativaLa economa matemtica se encarga de expresar las afirmaciones de la teora econmica en forma de ecuacionesLa estadstica econmica se ocupa de la recoleccin, organizacin, procesamiento y presentacin de la informacin econmica

MetodologaPlanteamiento de la teora o de la hiptesis.Especificacin del modelo matemtico de la teoraEspecificacin del modelo economtricoObtencin de datosEstimacin de los parmetros del modelo economtricoPrueba de hiptesisPronstico, evaluacin de los resultadosUtilizacin del modelo

Un ejemplo tomado de la economaEl saldo en la cuenta corriente de la balanza de pagos de un pas est relacionado positivamente con el crecimiento de la economa de su principal socio comercial, con el tipo de cambio y negativamente con el crecimiento de la economa nacionalAdems, el tipo de cambio de un pas est relacionado positivamente con las expectativas de los especuladores en el mercado cambiario y negativamente con el diferencial de tasas de inters interna y externa

Especificacin del modelo matemtico.Ecuacin del saldo en cuenta corrienteNX=(XfYf)+(X)-IMyYNX son las exportaciones netas (Exportaciones-Importaciones)XfYf son las exportaciones que dependen del crecimiento de la economa del extranjeroX son las exportaciones que dependen del tipo de cambioIMyY Son las importaciones asociadas con el crecimiento de la economa nacional

Especificacin del modelo matemticoEcuacin del tipo de cambio=0-r(r-rf)o Valor del tipo de cambio que depende de las expectativas de los especuladores del mercado cambiario.r tipo de cambio asociado con el diferencial de tasas de intersr tasa de inters interna.rf tasa de inters del extranjero

Especificacin del modeloEcuacin del saldo en cuenta corriente de la balanza de pagosEn su forma generalY=0+ 1X1+ 2X2 + 3X3+eEn su forma especficaNX=(XfYf)+(X)-IMyY+eEcuacin del tipo de cambioEn su forma generalY=0+ 1X1+eEn su forma especfica=0-r(r-rf)+e

Especificacin del modeloHiptesis acerca del valor esperado para los parmetros de la ecuacin del saldo en cuenta corriente de la balanza de pagosEn su forma general00; 1>0; 2>0; 30; En su forma especfica (completar)=0-r(r-rf)+e

Obtencin de datosEn este ejemplo se trabajar, para efectos prcticos con la ecuacin del tipo de cambio solamente.La informacin relevante para este caso se encuentra en sitio web del Banco de Informacin Econmica de INEGI (BIE)http://www.inegi.gob.mx/inegi/default.aspx

Estimacin de los parmetros del modelo para el tipo de cambio Una vez adaptados los datos estadsticos a la forma especfica del modelo se recomienda como primer paso el anlisis grfico de los datosPosteriormente utilizar el anlisis de regresin para estimar los parmetros del modelo

Finalmente.Prueba de hiptesisPronstico, evaluacin de los resultadosUtilizacin del modelo

ECONOMETRA FINANCIERA. Tema 1Modelo de regresinEstimacin de parmetros

Relacin entre variablesAnlisis de correlacin

Relacin entre variablesEl anlisis de la relacin entre variables tiene como punto de inicio el anlisis de la relacin entre dos variables

Ayuda a entender la naturaleza de la relacin entre dos variablesRelacin lineal positiva

Relacin entre variablesSin relacin

Relacin lineal negativa Existe una relacin entre el IQ y la importancia de la religinEvidencia estadstica: relacin negativa

El coeficiente de correlacinMide el grado en que dos variables estn relacionadas entre sEl coeficiente de correlacin poblacional es (Ro)El coeficiente de correlacin muestral es rEl valor de r se encuentra entre -1 (correlacin negativa perfecta) y 1 (correlacin positiva perfecta) -1r1

El estimador del coeficiente de correlacin muestral es

AudiChryslerNo.XY13616,54223666,01334506,30644055,30753776,26864905,46173775,94084126,02794306,262104667,041115937,560127639,847

XYX2Y2

Relacin entre variablesAnlisis de regresin

Anlisis exploratorio de datos

Calidad de los datosQue los datos provengan de una fuente confiable.Datos macroeconmicosBanco de MxicoInstituto Nacional de Estadstica y Geografs (BIE)Asociacin Mexicana de la Industria AutomotrizBanco MundialComisin Econmica para Amrica Latina y el CaribeDeben ser relevantesSistema de Informacin AgroalimentariaComisin para la Investigacin y Defensa de las HortalizasDeben ser consistentesDeben ser oportunos

Patrones de datos en series de tiempoEstacionarios. Es la variacin de la serie alrededor de su mediaTendencias. La tendencia es el componente de largo plazo que representa las variaciones de la serie en periodos largos de tiempoEstacionales. Es el componente de variacin de la serie en los mismos periodos de tiempo dentro de un aoCclicos. Es el componente de oscilacin de la serie alrededor de la tendencia. Refleja los cambios en los periodos econmicos

Patrones de datosAnlisis grfico

Patrones de datos con anlisis de autocorrelacin

Correlograma

Utilidad del anlisis de autocorrelacinEl anlisis grfico

Cuando una serie tiene tendencia el coeficiente de autocorrelacin es alto y posteriormente desciende lentamenteSi la serie es estacional el patrn de autocorrelacin se repite durante un intervalo de tiempo durante un ao

DesfaseACFTLBQ10.78914013.28178.1120.7172578.05325.7730.6992996.50466.6440.6464945.27587.4650.6497924.85709.9660.6048194.18816.4870.5679733.70910.7580.5353743.33994.8190.5278013.161076.81100.5047992.921152.10

Si los datos son aleatorios el patrn de autocorrelacin no muestra un comportamiento definido y los coeficientes de Autocorrelacin muestran de manera aleatoria signos positivos y negativosDesfase ACF T LBQ 1 -0.562612 -8.79 78.19 2 0.003145 0.04 78.19 3 0.143980 1.76 83.35 4 -0.186821 -2.26 92.08 5 0.175363 2.07 99.81 6 -0.089594 -1.04 101.83 7 0.065770 0.76 102.93 8 -0.085068 -0.98 104.77 9 0.110330 1.27 107.88 10 -0.068439 -0.78 109.08 11 -0.290746 -3.31 130.85 12 0.597510 6.52 223.22 13 -0.359714 -3.38 256.85 14 0.036981 0.33 257.20 15 0.039992 0.36 257.62 16 -0.128517 -1.15 261.97 17 0.207185 1.85 273.32 18 -0.179088 -1.58 281.84 19 0.142459 1.24 287.25 20 -0.119881 -1.04 291.10 21 0.127850 1.10 295.50 22 -0.075556 -0.65 297.05 23 -0.245822 -2.11 313.46 24 0.491937 4.14 379.49

Cuando la serie tiene un componente estacional, el coeficiente de autocorrelacin salta en el mismo periodo de tiempo en el intervalo de un ao

Anlisis de correlacin para ventas de automviles para 24 rezagosRezagoACFEstadstico TEstadstico Q1-0.562612-8.7978.1920.0031450.0478.1930.143981.7683.354-0.186821-2.2692.0850.1753632.0799.816-0.089594-1.04101.8370.065770.76102.938-0.085068-0.98104.7790.110331.27107.8810-0.068439-0.78109.0811-0.290746-3.31130.85120.597516.52223.2213-0.359714-3.38256.85140.0369810.33257.2150.0399920.36257.6216-0.128517-1.15261.97170.2071851.85273.3218-0.179088-1.58281.84190.1424591.24287.2520-0.1198811.04291.1210.127851.1295.0522-0.075556-0.65297.0523-0.245822-2.11313.46240.4919374.14379.49

El modelo de regresin simpleSupuestos del modelo clsico de regresin

IntroduccinEl origen histrico del trmino regresinLa interpretacin modernaTrata del estudio de la relacin de una variable dependiente con respecto a una o ms variables independientes con el propsito de estimar o predecir el valor promedio poblacional de la primera, dados los valores fijos del resto de las variablesEn esta versin moderna de la regresin interesa la dependencia estadstica entre variables de naturaleza aleatoria

Naturaleza de la informacin para el anlisis de datosTipos de datosSeries de tiempo. Conjunto de observaciones sobre los valores que toma una variable econmica en intervalos regulares de tiempo (subndice t)Series de corte transversal. Son datos de una o ms variables recolectadas en un mismo periodo de tiempoSeries combinadas. Estas series tienen elementos de corte transversal y de series de tiempoDatos de panel. Son los datos de las encuestas de ingreso gasto donde se toman datos de una unidad familiar a intervalos regulares de tiempo

Supuestos del modelo clsico de regresin El modelo de regresin es lineal en los parmetrosLos valores de X son fijos en muestreos repetidos. Se supone que los valores de X son no estocsticosEl valor promedio del trmino de error es igual a ceroHomoscedasticidad o igual varianza de ui. Dado el valor de X, la varianza del trmino de error es una constante igual a

Supuestos del modelo clsico de regresin No existe autocorrelacin entre dos y cualquiera de los trminos de error ui, uj ijLa covarianza entre el trmino de error y la variable explicativo es ceroEl nmero de observaciones n debe ser mayor que el nmero de parmetros a estimarNo todos los valores de X deben ser iguales en una muestra dadaEl modelo de regresin est correctamente especificado, es decir, no hay sesgo de especificacinNo existe multicolinealidad perfecta entre las variables explicativas

Precisin de los estimadores de MCODado que la estimacin de los parmetros de la regresin dependen de los datos muestrales, es necesario contar con una medida de la precisin de la estimacin.Se requiere entonces calcular la varianza y el error estndar de la estimacin, como una medida de la confiabilidad de los estimadores

Modelo de regresin con dos variables: EstimacinUno de los mtodos de estimacin de la FRP a partir de la FRM es el de Mnimos Cuadrados OrdinariosComo la FRP no es observable directamente, se estima a travs de la FRM:(^ significa estimado)

Estimacin de parmetrosEl procedimiento parte de que el mtodo de MCO busca construir una lnea de ajuste que pase lo suficientemente cerca de todos los puntos para que la suma de los errores al cuadrado sea un mnimo. Se trata deComo la funcin de regresin (muestral) esSumatoria y elevar al cuadrado

Estimacin de parmetrosSe trata deDerivando parcialmente la ecuacin anterior con respecto a cada uno de los estimadores , igualando a cero , dividiendo por dos y aplicando sumatoria se obtienen las siguientes ecuaciones

Estimacin de parmetrosSimplificando se obtieneResolviendo para 2 1)2)Resolviendo para 1

Estimacin de parmetrosEntonces los estimadores de MCO se obtienen...La pendiente de la regresinEl interceptoUna forma alternativa de calcular la pendiente de la regresin es en su forma de desviaciones

Propiedades numricas de los estimadores de MCOEstn expresados en trminos de cantidades observables que se obtienen de una muestraSon estimadores puntuales, es decir, dada la muestra, cada estimador proporciona un solo punto del parmetro poblacionalSi se conoce el valor de los estimadores es posible obtener la funcin de regresin muestral.La recta de regresin que se obtiene a partir de la FRPPasa a travs de la media muestral de X y YEl valor medio de la Y estimada es igual al valor medio de la Y observadaEl valor promedio de los residuos es igual a 0Los residuos no estn correlacionados con el valor predicho de YiLos residuos no estn correlacionados con Xi

Modelo de regresin simpleIdeas bsicas

La funcin de regresin poblacional (FRP)El significado del trmino linealEspecificacin estocstica de la FRPEl significado de la perturbacin estocsticaLa funcin de regresin muestral (FRM)

El objetivo principal en el anlisis de regresin lineal es estimar la FRPA partir de la FRMQue se puede expresar comoO de acuerdo con la interpretacin moderna de la regresin y de la FRP

Modelo de regresin con dos variables: EstimacinUno de los mtodos de estimacin de la FRP a partir de la FRM es el de Mnimos Cuadrados OrdinariosComo la FRP no es observable directamente, se estima a travs de la FRM:(^ significa estimado)

Supuestos del modelo clsico de regresin El modelo de regresin es lineal en los parmetrosLos valores de X son fijos en muestreos repetidos. Se supone que los valores de X son no estocsticosEl valor promedio del trmino de error es igual a ceroHomoscedasticidad o igual varianza de ui. Dado el valor de X, la varianza del trmino de error es una constante igual a

Supuestos del modelo clsico de regresin No existe autocorrelacin entre dos y cualquiera de los trminos de error ui, uj ijLa covarianza entre el trmino de error y la variable explicativo es ceroEl nmero de observaciones n debe ser mayor que el nmero de parmetros a estimarNo todos los valores de X deben ser iguales en una muestra dadaEl modelo de regresin est correctamente especificado, es decir, no hay sesgo de especificacinNo existe multicolinealidad perfecta entre las variables explicativas

Precisin de los estimadores de MCODado que la estimacin de los parmetros de la regresin dependen de los datos muestrales, es necesario contar con una medida de la precisin de la estimacin.Se requiere entonces calcular la varianza y el error estndar de la estimacin, como una medida de la confiabilidad de los estimadores

Varianza y error estndar de los estimadoresLa varianza de la pendiente de la regresin esEl error estndar de la pendiente de la regresin esLa varianza del intercepto de la regresin esEl error estndar del intercepto de la regresin es

La varianza residual y el error estndar de la regresin

Propiedades de los estimadores de MCO: Teorema de Gauss-MarkovSe dice que un estimador es el Mejor Estimador Lineal Insesgado (MELI) siEs funcin lineal de una variable aleatoria, tal como la variable dependiente Y en el modelo de regresinSu valor promedio o esperado es igual al valor verdadero del estimadorTiene varianza mnima, es decir es un estimador eficienteEntonces, dados los supuestos del modelo clsico de regresin lineal, los estimadores de mnimos cuadrados, dentro de la clase de estimadores lineales insesgados tienen varianza mnima, es decir son MELI

El coeficiente de determinacin r2 Bondad de ajuste del modeloUna vez estimados los coeficientes de regresin y algunas de sus propiedades, se trata de conocer la bondad de ajuste de la recta de regresin ajustada a un conjunto de datosLa medida de la bondad de ajuste de la recta de regresin muestral al conjunto de los datos lo proporciona el coeficiente de determinacinr2 en el caso de un modelo de dos variablesR2 en el caso de un modelo de tres o ms variables

Clculo del coeficiente de determinacinSe tiene queO en su forma de desviacionesElevando al cuadrado y aplicando sumatoriaSimplificandoSuma total de cuadradosSuma explicada de cuadradosSuma de residuos al cuadrado

EntoncesLa suma total de cuadrados es igual a la suma explicada ms la suma de los residuos, es decirSTC=SEC+SRCDividiendo todo por la STC

Como el coeficiente de determinacin mide la proporcin o el porcentaje de la variacin total en Y explicada por el modelo de regresin, entonces

Propiedades de r2 y el coeficiente de correlacinEs una cantidad no negativaSus limites son 0r21El coeficiente de correlacin es una medida del grado de asociacin entre dos variables, se puede obtener como la raz cuadrada del coeficiente de determinacin

Propiedades del coeficiente de correlacinSu valor se encuentra entre -1r-1Es simtrico, es decir el coeficiente de correlacin ryx es igual al de rxySi X e Y son estadsticamente independientes, el coeficiente de correlacin es ceroAunque es una medida de asociacin lineal entre dos variables, no expresa necesariamente una relacin causa efecto

Ejemplo numricoEvaluar la relacin terica establecida entre el tipo de cambio del peso frente al dlar norteamericano y el diferencial de tasas de inters entre los Certificados de la Tesorera y la Tasa de inters preferencial del Tesoro Norteamericano.

ECONOMETRA FINANCIERA. Prueba de hiptesis y estimacin de intervalos

El propsito de la inferenciaEn econometra, adems de encontrar el valor puntual de los estimadores se utiliza esa informacin para aproximarse al verdadero valor de los parmetros poblacionales del modeloAqu la inferencia estadstica es til para Construir intervalos de confianza para las estimaciones Formular pruebas de hiptesis

Se requiereConsiderar que los supuestos acerca de las distribuciones de probabilidad de los estimadoresDependen de los supuestos que se formulen sobre la distribucin de probabilidad del trmino de error uiEsto se debe a que:

Supuestos de normalidadMediaE(ui)=0VarianzaE(ui2)=2CovarianzaCov (u1, u2)=0En resumen:u~N(0,2)El trmino de error est normalmente distribuido con media cero y varianza igual a 2

Bajo el supuesto de normalidadLos estimadores de MCO adquieren las siguientes propiedadesSon insesgados, esto quiere decir que:Son eficientes es decir tienen varianza mnimaSon consistentes, esto significa que cuando el tamao de la muestra aumenta, el estimador se aproxima a su verdadero valor poblacional

Bajo el supuesto de normalidadEst distribuido normalmente conMedia VarianzaEs decir:

Bajo el supuesto de normalidadEst distribuido normalmente conMedia VarianzaEs decir:

Bajo el supuesto de normalidad2 Est distribuida de acuerdo con la distribucin ji-cuadrada (2) con n-2 grados de libertadLos estimadores estn distribuidos independientemente de 2

Bajo el supuesto de normalidad La estimacin de intervalos de confianza ayuda a estimar que tan cerca se encuentra el estimador del verdadero parmetro poblacionalSe trata de encontrar valores crticos tales que la probabilidad que el intervalo aleatorio estimado contenga al verdadero parmetro poblacional sea 1-Bajo el supuesto de normalidad de los estimadores se sigue que:Dado que es informacin muestral se utiliza la distribucin t-student , entonces el intervalo quedaReordenando

Inferencia estadsticaIntervalos de confianzaLa forma que toman los intervalos de confianza para los estimadores es la siguiente.Para el intercepto de la funcin:Lmite inferiorLmite superiorPara la pendiente de la funcin 2

Inferencia estadsticaPruebas de hiptesisPermiten verificar si los resultados del estudio economtrico realizado son compatibles con alguna teora o con estudios previos La teora y/o los estudios previos hacen afirmaciones acerca del valor de los parmetros del modeloEl objetivo de las pruebas de hiptesis es establecer si esas afirmaciones son ciertas o falsasDos mtodos para prueba de hiptesisMtodo del intervalo de confianzaMtodo de prueba de significancia

Inferencia estadsticaIntervalos de confianzaLa forma que toman los intervalos de confianza para los estimadores es la siguiente.Para la pendiente de la funcin:Lmite inferiorLmite superiorNivel de confianza Es el nivel de significancia

Inferencia estadsticaPruebas de hiptesisLa afirmacin que se estudia o se somete a prueba se conoce comoHiptesis nula: H0Rechazar esta hiptesis implica aceptar otra llamada Hiptesis alternativa: H1Dos procedimientos para aceptar o rechazar la hiptesis nula:Enfoque del intervalo de confianzaEnfoque del nivel de significancia

Prueba de hiptesisMtodo del intervalo de confianzaSe postula que (por ejemplo): H0: 2=0 H1 : 2 0 Se calculaEl lmite inferiorEl lmite superior

Regla de decisin:Se construye un intervalo de confianza para 2 con un nivel de confianza de 1-. Si 2 bajo H0 se encuentra dentro de este intervalo de confianza no se rechace H0 pero si est fuera del intervalo, rechace H0

Prueba de hiptesisMtodo de prueba de significanciaLa prueba tRecordar que bajo el supuesto de normalidad: Si el valor del verdadero 2 es especificado bajo H0 se puede calcular el valor de t y utilizarse como estadstico de prueba y el intervalo resulta entonces:

*2 es el valor de 2 bajo H0-t/2 y t/2 son los valores crticos de t obtenidos de la tabla, para un nivel de significancia /2 y n-2 grados de libertad

Prueba de hiptesisMtodo de prueba de significanciaEl intervalo construido con el 95 por ciento de confianza representa la regin de aceptacin de H0Si el valor del estimador se encuentra fuera de dicho intervalo se rechaza H0Una regla de decisin alterna es comparar el valor del estadstico de prueba calculado y compararlo contra el estadstico t de la tabla ySi tcalc>t/2 entonces se rechaza H0

Anlisis de regresin y Anlisis de varianza

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