metode elemen hingga itn malang tentang beam elements

APLIKASI BEAM ELEMENTS

Metode pengumpulan dan prosedur pemecahan masalah dalam elemen batang ( beam element) di perlihatkan dengan contoh illustrative berikut.

Contoh 1 prosedur umum

Dengan menggunkaan 2 elemen batang sebagai model dari struktur batang, diperlihatkan pada gamabar (5.6), tentukan bentuk pembengkokan / lengkungan, gaya reaksi dan momen – momen, dan gaya geser serta diagaram momen lengkung.

Pertama kita mengidealkan batang dengan menggunkan 2 batang elemen seperti yang ditunjukkan gamabr 5.6b. system secara keseluruhan memiliki 3 titik node dan 6 derajat kebebasan. Unutk merumuskan system secara keseluruhan , kita pertama – tama harus merumuskannya secara satu persatu.

Untuk elemen 1-2, kita mendapatkan :

Untuk elemen 2-3, kita mendapatkan :

Harus diingat bahwa Y’s dan M’s adalah gaya internal dan momen internal. Ketika kedua persamaan kekakuan elemen disusun, jumlah dari setiap gaya internal atau momen – momen pada setiap titik node adalah sama dengan beban luar P’s yang bereaksi pada titik node yang dama seperti yang ditunjukkan gamabr 5.6b sehingga.

Ini harus selalu diingat bahwa defleksi v dan rotasi θ pada setiap titik node, masih sama seperti pada rangakain tersebut masih menjadi satu kesatuan. Dengan pemahaman terhadap dua aturan dasar, metode pengumpulan adalah sangat mudah untuk menjumlahkan Y’s dan M’s seperti pada persamaan 5.35. persamaan unutk Y’s dan M’s diberikan pada persamaan 5.33 dan 5.34.

Kotak dengan garis putus-putus adalah dua matrik kekakuan elemen. Bagain tersebut terdapat ketentuan kekakuan yang dihasilkan dari superposisi atas beberapa ketentuan pada dua matriks kekakuan elemen secara individual.

Kita mendapatkan 3 pendukung batasan keadaan :

Dan kondisi pembebanan eksternal sebagai berikut

Berdasarkan 3 batasan keadaan (5.37), kita menyusun kembali persamaan 5.36 yaitu v1, θ1, v3 (atau P1, P2, P3) menjadi satu. Pertama kita menyusun kembali rangkaian pada baris- barisnya.

Kemudian kita menyusun kembali rangkain pada kolum – kolumnya:

Sekarang kita menpunyai 6 persamaan yang dapat mentelesaikan 6 bagian yang tidak diketahui, 3 pada setiap sisi persamaan . mengalikan dengan persaman 5.40 memberikan

Dan

Perlu dicatat bahwa persamaan (5.41) dapat diperoleh dengan mencoret baris pertama, kedua, dan keempat, begitu jjuga dengan kolum – kolum pada system matriks kekakuan pada persamaan 5.36. sehingga kita tidak perlu melalui proses membosankan menyusun kembali baris dan kolum unutk memperoleh persamaan yang sederhana. Dalam teori konventional, batas constraint – constraint menambah jumlah derajat kebebasan dan rumitnya masalh yang timbul sebagai akibat banyaknya persamaan ayng muncul. Dalam metode elemen hingga batas constraint dapat mengurangi jumlah derajat kebebasan dan akibatnya mempermudah masalah dengan berkurangnya persamaan yang muncul.

Persamaan 5.41 dapat dipecahkan dengan metode invers matriks. Metode adjoint memberikan hasil sebagai berikut.

Persamaan 5.37 dan 5.43 memberikan solusi untuk ke enam derajat kebebasan. Kurva defleksi dari batang ditunjukkan oleh gamabr 5.7. pada titik ini jika kita ingin tahu defleksi pada titik tertentu, kita

dapat mensubtitusikan nilai koordinat titik dan nilai node derajat kebebasan ke dalam persamaan perpindahan elemen (5.6).