FI4184 -- Pengenalan Metode Elemen Hingga

FI4148 22 Oktober 2013 1

Pengenalan Metode Elemen Hingga(Finite Element Method)

Sparisoma Viridi* dan SuprijadiPhysics Department,Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesha 10, Bandung 40132, Indonesia*[email protected]

FI4148 22 Oktober 2013 2

Outline

• Finite Element Method• Syarat batas• Formulasi untuk LDE• Jenis FEM• Kasus 1-d pegas• Kasus 1-d batang• Piranti lunak

FI4148 22 Oktober 2013 3

Finite Element Method

• FEM adalah suatu metode numerik untuk menyelesaikan sebuah persamaan diferensial atau integral (Dixit, ?).

• FEM didasari pada ide dalam membangun obyek kompleks atas satuan sederhana atau membagi obyek kompleks atas satuan-satuan kecil yang mudah ditangani (Liu, 2003).

URI http://www.iitg.ernet.in/engfac/rtiwari/resume/usdixit.pdf [20131018.1403].URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].

FI4148 22 Oktober 2013 4

Finite Element Method (cont.)

• Analisis FE pada suatu permasalahan bersifat sangat skematis sehingga dapat dibagi-bagi menjadi kumpulan langkah logis yang dapat diimplementasikan pada suatu komputer digital dan dapat digunakan pada berbagai permasalahan hanya dengan mengganti data masukannya untuk program komputer (Reddy, 1988).

URI http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lim/albores_b_mi/capitulo7.pdf [20131018.1356].

FI4148 22 Oktober 2013 5

Finite Element Method (cont.)

• FEM dapat diterapkan pada permasalahan-permasalahan, seperti struktur, transfer panas, dan aliran fluida (?, ?).

URI http://homepages.cae.wisc.edu/~me232/lecture_notes/fea.pdf [20131018.1358].

FI4148 22 Oktober 2013 6

Syarat batas

• Terdapat dua jenis syarat batas: syarat batas esensial (SBE) dan syarat batas natural (SBN).

• SBE adalah mencukupi untuk menyelesaikan persamaan diferensial secara lengkap.

• SBN berupa turunan waktu lebih tinggi suku-suku dan tidak mencukupi untuk menyelesai-kan persamaan diferensial, masih membutuh-kan setidaknya satu SBE.

URI http://www.iitg.ernet.in/engfac/rtiwari/resume/usdixit.pdf [20131018.1403].

FI4148 22 Oktober 2013 7

Syarat batas (cont.)

• Bila terdapat persamaan diferensial 0 < x < L

yang dapat dipecahkan secara lengkap bila – u(0) dan u(L) diketahui atau– u(0) dan du/dx |x = L diketahui

URI http://www.iitg.ernet.in/engfac/rtiwari/resume/usdixit.pdf [20131018.1403].

0

Bdx

duA

dx

d

FI4148 22 Oktober 2013 8

Syarat batas (cont.)

• Manakah yang merupakan syarat batas esensial?

• Manapula yang merupakan syarat batas natural?

FI4148 22 Oktober 2013 9

Formulasi untuk LDE

• Linear differential equation (LDE) dapat memiliki bentuk

di mana u adalah vektor variabel utama per-masalahan (fungsi koordinat) yang didekati dengan fungsi aproksimasi, L operator dife-rensial, dan q vektor fungsi yang diketahui.

0 qLu

FI4148 22 Oktober 2013 10

Formulasi untuk LDE (cont.)

• Terdapat dua formulasi populer FEM, yaitu Galerkin dan Ritz.

• Dalam formulasi Galerkin, variabel utama diaproksimasi dengan suatu fungsi kontinu dalam elemen yang ditinjau.

• Saat ue atau nilai hasil fungsi aproksimasi di-substitusikan, akan diperoleh residu R

RqLu e

FI4148 22 Oktober 2013 11


• Idealnya R = 0 di manapun, yang berarti nilai hasil aproksimasi menjadi nilai sebenarnya.

• Dikarenakan sulit untuk memperoleh residu sama dengan nol pada semua titik, maka yang dibuat nol adalah residual yang diberi bobot

dengan w adalah fungsi bobot.

0D

wRdA

FI4148 22 Oktober 2013 12


• Untuk mengurangi kebutuhan pada diferen-siabilitas fungsi aproksimasi, persamaan sebe-lumnya dintegralkan per bagian untuk men-distribusikan kembali order turunan dalam w dan R.

• Dalam formulasi Galerkin, fungsi bobot dipilih memiliki bentuk yang sama dengan fungsi aproksimasi untuk ue.

FI4148 22 Oktober 2013 13


• Fungsi aproksimasi ada suatu fungsi aljabar.• Dengan demikian, biasanya

dengan [N] adalah matriks fungsi bentuk (shape functions) dan {une} adalah derajat kebebasan dari nodal.

nee uNu

FI4148 22 Oktober 2013 14

Jenis FEM

• Elemen (garis) 1-d

• Kasus: pegas, batang, pipa,

URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].

FI4148 22 Oktober 2013 15

Jenis FEM (cont.)

• Elemen (bidang) 2-d

• Kasus: membran, pelat, kulit, ..

FI4148 22 Oktober 2013 16

Jenis FEM (cont.)

• Elemen (ruang) 3-d

• Kasus: medan 3d, seperti temperatur, perpindahan, tegangan, aliran, kecepatan aliran, ..

FI4148 22 Oktober 2013 17

Kasus 1-d pegas

“Everything important is simple”

• Satu elemen pegas:– Dua noda– Dua nodal perpindahan– Dua noal gaya– Satu konstanta pegas (stiffness)


FI4148 22 Oktober 2013 18

Kasus 1-d pegas (cont.)

• Hukum Hooke

dengan lij adalah panjang normal pegas.

ijjijiij klxxxxkF sign

FI4148 22 Oktober 2013 19


• Kasus pada i dengan pegas teregang

• Kasus pada i dengan pegas tertekan

0 ijjiij klxxkF

0 ijjiij klxxkF

FI4148 22 Oktober 2013 20


• Kasus pada j dengan pegas teregang

• Kasus pada j dengan pegas tertekan

0 jiijji klxxkF

0 jiijji klxxkF

FI4148 22 Oktober 2013 21


• Umumnya suku sign(xi – xj) k lij menjadi ‘hi-lang’ dalam penyusunan persamaan diferen-sial karena hanya merupakan konstanta.

• Transformasi koordinat, misalnya pada

jiij

jijiij

ijjiij

kukuF

kxlxkF

klxxkF

FI4148 22 Oktober 2013 22


• Atau dapat pula ui dan uj dihitung relatif dari posisinya kesetimbangannya, yaitu xi0 dan xj0.

• Arti dari ui dan uj terhadap posisi kesetim-bangan ini lebih sering digunakan.

• Hubungannya adalahui(t) = xi(t) – xi0

uj(t) = xj(t) – xj0

FI4148 22 Oktober 2013 23


jii uukf

ijj uukf

FI4148 22 Oktober 2013 24


• Kedua persamaan sebelumnya menjadi

j

i

j

i

f

f

u

u

kk

kk

0

j

i

j

i

f

f

u

u

kk

kk

0 fKu

FI4148 22 Oktober 2013 25


211 uukf

233 uukf

32122 uukuukf

FI4148 22 Oktober 2013 26


3

2

1

3

2

1

22

2211

11

0

0

f

f

f

u

u

u

kk

kkkk

kk

0 fKu

22

2211

11

0

0

kk

kkkk

kk

K

FI4148 22 Oktober 2013 27



33

3322

2211

11

kk

kkkk

kkkk

kk

K

FI4148 22 Oktober 2013 28


FI4148 22 Oktober 2013 29


2414 uukf

3221244212 uukuukuukf

5332323 uukuukf

3535 uukf

2141 uukf

FI4148 22 Oktober 2013 30


• Matriks kekakuan (stiffness matrix)

33

11

3322

124214

44

000

000

00

0

000

kk

kk

kkkk

kkkkkk

kk

K

FI4148 22 Oktober 2013 31

Kasus 1-d batang

• Perpindahan u(x)

• Regangan ε(x)

• Tegangan σ(x)

FI4148 22 Oktober 2013 32

Kasus 1-d batang (cont.)

• Hubungan regangan-perpindahan

• Hubungan tegangan-regangan

dx

du

E

FI4148 22 Oktober 2013 33


• Fungsi bentuk linier (linear shape functions)

• Dengan demikian

1iN

jNL

x

10

jjii uNuNuxu

FI4148 22 Oktober 2013 34


• Atau

• Hubungan sebelumnya akan memberikan

di mana B adalah elemen matriks regangan-perpindahan.

Nu

j

iji u

uNNu

BuuN

dx

d

dx

du

FI4148 22 Oktober 2013 35


• Selanjutnya

LLL

NNd

d

dx

dNN

dx

d

dx

djiji

/1/1111

NB

BuEE

FI4148 22 Oktober 2013 36


• Energi strain

• Energi yang tersimpan dalam batang

uBBu

BuBu

TT

TTT

V

VV

dV

dVdVU

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1 VEVU

FI4148 22 Oktober 2013 37


• Kerja oleh dua gaya nodal adalah

• Sistem konservatif

fuT2

1

2

1

2

1 jjii ufufW

WU

FI4148 22 Oktober 2013 38


• Kembali ke Ku + f = 0, dapat diperoleh

yang merupakan matriks kekakuan.

uBBf T

V

dV

V

dVBBK T

FI4148 22 Oktober 2013 39


• Untuk kasus ini

11

11

/1/1/1

/1

0

L

EA

AdxLLEL

L

dV

L

V

BBK T

FI4148 22 Oktober 2013 40


110

132

022

L

EAK


FI4148 22 Oktober 2013 41

Kasus lain: 2-d dan 3-d

• Lebih kompleks untuk dibahas dalam satu kali perkuliahan.

• Dapat dipelajari dengan menggunakan sumber-sumber yang ada di internet.

• Untuk kasus 1-d pun terdapat permasalahan lain yang dapat dibahas.

FI4148 22 Oktober 2013 42

Piranti lunak

• ABAQUS• FEM• COMSOL

FI4148 22 Oktober 2013 43

Piranti lunak (cont.)

URI http://www.math.chalmers.se/~torbjrn/M3/IntroductionToCOMSOLMultiphysics.pdf [20131021.1038].

FI4148 22 Oktober 2013 44

Terima kasih

FI4184 -- Pengenalan Metode Elemen Hingga

Education