-
Widyanuklida Vol.5 No.2, Desember 2004: 34-38
APLIKASI METODE ELEMEN HINGGA PADA
MASALAHGELOMrnANGELEKTROMAGNET
SutrasnoPusdiklat Badan Tenaga Nuklir Nasional
ABSTRAKAPLIKASI METODE ELEMEN HINGGA PADA MASALAH GELOMBANG
ELEKTROMAGNET. Pada makalah ini dijelaskan salah satu penerapan
metodeelemen hingga pada persoalan elektromagnet dengan
electromagnetic analysis program(EMAP). EMAP merupakan kode program
pemodelan elemen hingga tiga dimensiberbasis elemen tetrahedral
skalar yang dapat digunakan untuk menghitung distribusimedan
elektromagnet pada struktur tiga dimensi sederhana. Metode
Galerkinditerapkan pada elemen tetrahedral skalar untuk memperoleh
penyelesaian pendekatan.
Kode program EMAP ini dibuat dalam bahasa C. Konfigurasi masukan
yangdiberikan ke EMAP berupa file berbentuk teks dan numerik, dan
menghasilkankeluaran dengan format yang sarna dengan input. Output
dari kode programmerupakan sekumpulan numerik yang merupakan
titik-titik koordinat dan kuat medanlistrik pada tiap titik
koordinat pada domain komputasi. Data numerik relatip sulituntuk
diinterpretasi sehingga diperlukan program bantu untuk mengubah
data numeriktersebut menjadi bentuk grafik. Perangkat lunak Jandel
Sigma Plot 3.0 digunakanuntuk memvisualkan data numerik tersebut.
Sedangkan paket program pengolah dataMicrosoft Excell versi 7.0
digunakan agar format output yang dihasilkan oleh kodeprogram
sesuai dengan format lunak Jandel Sigma Plot 3.0
Eksperimen numerik dilakukan untuk mengetahui distribusi medan
Iistrik padapemandu gelombang (waveguide) persegi empat. Mode TM
digunakan untukmengetahui perambatan gelombang elektromagnet di
dalam waveguide tersebut.
ABSTRACTAPPLICA TION OF FINITE ELEMENT METHOD ON
ELECTROMAGNETIC
PROBLEMS. This paper reports on an application of the finite
element method toanalyze electromagnetic problems using
ElectroMagnetic Analysis Program or EMAP.EMAP is a three
dimensional finite element modelling code. This finite
elementmethod is based on the nodal element that can be used to
solve field distribution in asimple three dimensional structures.
The Galerkin method is employed to formulate theMaxwell equation in
the tetrahedral elements.
The source code of EMAP is written in the C programming
language. The codereads the input configuration in as an ASCII text
file, and provides output in the sameform. Out put from the source
code consists of a listing of the nodal coordinates andelectric
field strength at each node. These numerical data are not easily
understood, soa post processing is needed to manipulate them into a
graphical output. To do so, thedata are rearranged by the
spreadsheet Microsoft Excell, and then plotted by JandelSgma Plot
3.0 for a visualization.
A number of experiments is carried out to investigate the
electric field strengthdistribution in the computation domain. The
TM mode are chosen to illustrate wavepropagation in a rectangular
waveguide.
Kata Kunci : Metode elemen hingga, gelombang elektromagnet
34
-
PENDAHULUANMetode elemen hinggga merupakan
salah satu metode numerik untukmemperoleh penyelesaian
pendekatansuatu persamaan differensial parsial danmasalah nilai
batasnya (1]. Secara umum,persamaan differensial dan rnasalah
nilaibatas dapat diselesaikan dengan metodeGalerkin atau metode
Ritz. Secaramatematis, metode Galerkin lebih mudahdari metode Ritz.
Metode Ritzmemerlukan pengetahuan tentangvariational calculus untuk
memperolehpenyelesaian pendekatan. Secara umum,metode Galerkin
banyak digunakan untukmenyelesaikan sistem persamaandifferensial,
khususnya persamaan yangmempunyai turunan pertama. Metodeelemen
hingga menerapkan metodeGalerkin untuk menyelesaikan
persamaandifferensial pada suatu subdomain atauelemen. Sebuah
domain komputasi tigadimensi tersusun dari sekumpulansubdomain atau
elemen tiga dimensi,sehingga pendekatan metode elemenhingga
Galerkin dapat digunakan untukmenyelesaikan persamaan differensial
diseluruh domain komputasi tersebut.
Perambatan gelombangelektromagnet melalui suatu mediummerupakan
salah satu fenomena fisisyang mempunyai bentuk
persamaandifferensial, sehingga metode elemenhingga dapat digunakan
untukmemodelkan persamaan differensal ini.Pemodelan dapat dilakukan
denganmenggunakan elemen skalar atau elemenvektor. Elemen skalar
digunakan jikagelombang elektromagnet merambat padamedium homogen,
sedangkan elemenvektor dapat diterapkan baik padamedium homogen
maupun non-homogen(2].
Meskipun konsep matematis metodeelemen hingga lebih
kompleksdibandingkan metode lain misalnyametode beda hingga, tetapi
metode ini
Sutrasno, Aplikasi Metode Elemen Hingga ...
berkembang pesat karena kemampuannyauntuk menganalisis persoalan
yangmempunyai bentuk geometri rumit (3].
Perkembangan teknologi komputer,metode komputasi numerik dan
sistemdesain berbantuan komputer atau CADsangat menunjang
perkembangan metodeelemen hingga. Sejalan denganperkembangan
teknologi komputer, makapada saat ini kode perhitungan elemenhingga
telah dikembangkan untuk sistemkomputer mikro. Kode program
EMAP,yang ditulis dalam bahasa C, dapatdigunakan untuk menganalisis
distribusimedan elektromagnet pada struktur tigadimensi yang
homogen dengan kondisibatas tertutup, misalnya
pemandugelombang.
Waveguide merupakan salah satukomponen sistem telekomunikasi
yangdigunakan untuk mengirimkangelombang elektromagnet, misalnya
seratoptik dan microstrip line. Secara umum,geometri waveguide
berbentuk persegiempat atau silinder. Secara matematis,waveguide
persegi empat banyakdigunakan untuk mempelajarikarakteristik
waveguide.
HINGGAMETODE ELEMENMETODE GALERKIN
Penerapan metode elemen hinggauntuk menyelesaikan
persamaandifferensial dan masalah nilai batas dapatdilakukan dengan
metode pendekatan,misalnya metode Galerkin. Metodeelemen hingga
Galerkin digunakanmenyelesaikan persamaan Maxwell padasuatu domain
dengan pendekatan padatiap elemen. Secara matematis, masalahnilai
batas pad a domain n dapatdidefinisikan dalam bentuk
persamaansebagai berikut :
~¢=fdengan
35
-
t; = operator differensial¢ =variabel yang akan dicari
penyelesaiannyaf = fungsi eksitasi.
Pada persoalan gelombangelektromagnet, persamaan
differensialadalah persamaan Helmholtz:
1 2VX (-V x E) - kO&rE = - jkoZoJu,
denganV = operator differensialE = variabel yang akan dicari
penyelesaiannyaJ = sumber medan elektromagnet
atau fungsi eksitasie, permitivitas relatip medium
perambatanp" = permeabilitas relatip medium
perambatank; = bilangan gelombangZ; = impendansi intrinsik
medium
perambatan.Metode Galerkin
mentransformasikan persamaandifferensial menjadi persamaan
aljabaryang dapat diselesaikan secara numerik. .
Persamaan Gelombang Elektromagnetpada waveguide persegi em
pat
Pada keadaan tidak ada sumberarus dan mediumnya
homogen,persamaan gelombang dapat ditulis :
Dalam sistem koordinatkartesian, persamaan gelombang dalambentuk
vektor dapat direduksi menjaditiga persamaan gelombang
skalarHelmholtz. Penyelesaian persamaangelombang elektromagnet
harusmemenuhi persamaan Maxwell danpersyaratan nilai batasnya.
Bentuk
36
Widyanuklida Vol. 5 No.2, Desember 2004: 34-38
geometri waveguide persegi empat dapatdilihat pada gambar I.
Pada dindingwaveguide berlaku suatu kondisi batastertentu yang
memungkinkan perambatangelombang pada konfigurasi atau
modetertentu.
z a
Gambar 1. Waveguide Persegi Empat
Sesuai dengan model waveguide persegiempat dimana dinding
pembatasnyabersifat penghantar sempurna makakondisi batas medan
listrik pada dindingtersebut adalah :
E,(O!> x !> a,Y = O,z) = E,(O!> x !> a,Y = b,z) =
0
E,(O s x S a,Y = O,z) = E,(O !> x S a,Y = b,z) = 0
E.(x = 0,0 S Y S b,z) = Ey(x = a,O S Y S b,z) = 0
E,(x = O,O!> Y S b,z) = E,(x = a,O s Y s b,z) = 0
Pada kondisi batas ini terlihat bahwakomponen tangensial medan
listrikbernilai not pada dinding-dindingwaveguide. Penyelesaian
persamaangelombang di dalam waveguide harusmemenuhi persamaan
Maxwell danmasalah nilai batasnya. Jika diasumsikanbahwa gelombang
elektromagnetmerambat pada arah Z positip, makakonfigurasi medan
listrik pada waveguideadalah (I):
-
Sutrasno, Aplikasi Mctode Elemen Hingga '"
PE-OGRAM EMAPEMAP merupakan program pemodelanelemen hingga yang
dapat digunakanuntuk memodelkan distribusi medanelektromagnet pad a
domain tiga dimensidengan kondisi batas tertutup. Kodeprogram ini
menggunakan metodeGalerkin untuk memformulasikan elementetrahedral
skalar dengan fungsipolinomial orde pertama.
Algoritma ProgramProses diskritisasi domain volumemenghasilkan
sejumlah heksahedral yangtersusun dari lima buah elementetrahedral.
Tiap elemen tetrahedralmenghasilkan matriks tetrahedral.Sedangkan
matriks heksahedral tersusundari lima matriks tetrahedral.
Matriksglobal merupakan gabungan seluruhmatriks heksahedral, yang
menghasilkanpersamaaan aljabar. Dengan kondisi batasyang ada,
persamaan matriks dapat ditulisdalam bentuk :
[A][x] = [b]A merupakan matriks sparse yangsimetris berukuran N
x N, sedangkan [x]dan [b] adalah matriks kolom. Matriks
[x]merupakan matriks yang akan dicaripenyelesaiannya, sedangkan
matriks bdiketahui dari input. Penyelesaianpersamaan matriks terse
but menghasilkankoefisien-koefisien yang menyatakandistribusi medan
listrik di seluruh domainkomputasi.
HASIL NUMERIKMasukanWaveguide persegi empat yangmerupakan model
perhitunganmempunyai dimensi lebar yang searahsumbu X 18 satuan sel
, tinggi searahsumbu Y dengan 8 satuan sel, danpanjang searah sumbu
Z 20 satuan sel.Satu sel merupakan sebuah elemenheksahedral.
Diasumsikan bahwagelombang yang merambat pada mediumperambatan
mempunyai konstantadielektrik 1.0 dengan frekuensigelombang 16 GHz
pada mode dominanTMII.
KeluaranKonfigurasi output yang dihasilkanberbentuk teks atau
numerik yangmerupakan nilai distribusi medan listrikdi dalam
waveguide persegi empat.Grafik distribusi medan listrik pada
sisidepan, atas dan samping waveguidepersegi empat.
KESIMPULANEMAP merupakan program elemen
hingga Galerkin tiga dimensi berbasiselemen tetrahedral skalar
yang dapatdigunakan untuk memodelkan persamaangelombang skalar.
EMAP didisain untukmenghitung distribusi medan listrik
padakonfigurasi tiga dimensi berbentukpersegi empat dengan kondisi
batastertutup (Closed boundary).
Pemodelan dilakukan denganmenggunakan waveguide persegi
empatpada mode TM II. Data eksperimen
37
-
numerik menunjukan bahwa distribusimedan Iistrik Ez dan Ex pada
dinding atasdan bawah adalah nol, begitu puladistribusi medan
listrik E, dan E, padadinding samping.
EMAP dapat dimanfaatkan sebagaialat bantu pendidikan untuk
mempelajarimetode elemen hingga, karena relatipmudah untuk
dipelajari dan digunakan.
REFERENCE[1]. Jin, J., " The Finite Element
Method in Electromagnetics", JohnWilley and Sons, Inc., New
York,1993.
[2]. Gerrit Mur, "Edge Element, theiradvantages and
theirdisadvantages," IEEE Trans. Onmagnetics., Vo1.30,
No.5,September 1994.
[3]. E. Akin , "Finite Elements forAnalisis and Design,"
AcademicPress, Inc., London, 1994.
[4]. Website: ftp.emclab.umr.ed[5]. Arkadan, "a Graduate Course
on
Finite Elements Analysis forElectromagnetic Application, "IEEE
Trans. On Education., Vol.36, No.2, May 1993.
[6]. Webb, "Edge Elements and whatthey can do for you," IEEE
Transon Magnetics., Vol. 29, No.2,March 1993.
[7]. Silvester, P.P., R.L. Ferrari,"Finite Elements for
ElectricalEngineers," Cambridge UniversityPress, Cambridge,
1990.
[8]. Huebner, E.A. Thornton, "TheFinite Element
MethodforEngineers," John Willey andSons, Inc. New York, 1982.
[9]. Balanis, C.A., "AdvancedEngineering Electromagnetics,"John
Willey and Sons, Inc., NewYork,1989.
[10]. Boyse et aI, "A Scalar and VectorPotential Formulation
Finite
38
Widyanuklida Vol. 5 No.2, Desember 2004: 34-38
Element Solution to Maxwell'sEquations," IEEE Trans. onMicrowave
Theory andTechniques., March 1992.
[11]. Gerrit Mur, "The Finite ElementModelling of Three
DimensionalElectromagnetic Fields UsingEdge and Nodal Elements,"
IEEETrans. on Antennas andPropagation., Vo1.41, No.7, July1993.
[12]. L. Volakis, "Some Finite ElementPreprocessing Algorithms
forElectromagnetic Scattering," IEEETrans. on Antennas
andPropagation., Vo1.35, No.3, June1993.
[13]. Laroussi, G.I. Costache, "FiniteElement Method Applied to
EMCProblem," IEEE Trans. onElectromagnetic Compatibility.,Vo1.35,
No.2, May 1993.
[14]. G. Mur, "Compatibility Relationsand the Finite Element
Formulationof Electromagnetic FieldProblems," IEEE Trans.
onMagnetics., Vo1.30, No.5,September 1994.
[15]. F.Collino and P. Joly, "NewAbsorbing Boundary Conditions
of3D Maxwell's Equations," IEEETrans. on Magnetics., Vol.3l,No.3,
May 1995.
[16]. Miano, C. Serpico, L. Verolino, F.Villone, "Numerical
Solution ofthe Maxwell Equations inNonlinear Media," IEEE Trans.
onMagnetics., Vo1.32, No.3, May1996.
[17]. Stupfel, R. Mittra, "NumericalAbsorbing Conditions for
theScalar and Vector WaveEquations," IEEE Trans. onAntennas and
Propagation.,Vo1.44, No.7, July 1996.