Metode Elemen Hingga

METODE ELEMEN HINGGA

MODUL AJAR METODE ELEMEN HINGGA

i

PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-Nya dalam penyelesaian modul ajar

Metode Elemen Hingga ini. Mata kuliah Metode Elemen Hingga memiliki 2 mata kuliah prasyarat yaitu Matematika Teknik I dan

Mekanika Kekuatan bahan II. Tujuan dari perkuliahan ini adalah agar mahasiswa mampu menjelaskan konsep dasar metode

elemen hingga dan memformulasikan problem teknik dalam model serta dapat menyelesaikan pemodelan problem tersebut

dalam struktur, frame, shell/plat pada matra garis, 2D, 3D. Materi dalam modul ini disampaikan dengan ringkas, sehingga

pembaca tetap diharapkan mempelajari buku-buku yang telah

dijadikan sumber pustaka dari modul ini. Penghargaan dan ucapan terima kasih yang sebesar-

besarnya kami sampaikan kepada semua pihak yang telah membantu dalam suksesnya penulisan modul ini. Semoga amal

baik semua pihak yang terlibat dalam kegiatan ini diterima oleh Allah SWT, dan semoga modul ini bisa memberikan kontribusi

dalam pendidikan nasional.

Malang, Desember 2014

Dr.Eng. Moch. Agus Choiron

Dr.Eng. Anindito Purnowidodo Khairul Anam, MSc.


ii

DAFTAR ISI

PENGANTAR i

DAFTAR ISI ii

BAB I. PENDAHULUAN 1

BAB II. METODE KEKAKUAN/PERPINDAHAN 11

BAB III. PERSAMAAN DAN MATRIK KEKAKUAN UNTUK

STRUKTUR 31

BAB IV. KEMIRINGAN DAN LENDUTAN PADA BATANG 63

BAB V. DEFLEKSI/LENDUTAN (SPECIAL CASES) 74

BAB VI. STRUKTUR 89

DAFTAR PUSTAKA

RPKPS


Dr.Eng. Moch. Agus Choiron, Dr.Eng. Anindito P dan Khairul Anam, MSc. Teknik Mesin UB

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Sejarah Pekembangan Metode Elemen Hingga

Metode Elemen Hingga, selanjutnya disebut sebagai MEH, adalah metode

numerik yang digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam bidang

rekayasa atau pun bidang fisik lainnya. Permasalahan-permasalahan dalam bidang

rekayasa yang dapat dipecahkan dengan metodei ini adalah meliputi analisa

struktur, analisa tegangan, perpindahan panas dan masa, dan medan

elektromagnetik.

Permasalahan-permsalahan yang melibatkan bentuk geometri, kondisi

pembebanan dan sifat mekanik material yang komplek tidak mungkin untuk

dipecahkan dengan menggunakan persamaan atau rumus matematis yang biasanya

disebut dengan penyelesaian analitis. Penyelesaian analitis ini umumnya

memerlukan penyelesaian persamaan deferensial parsial. Oleh karena itu, metode

numerik seperti MEH adalah metode yang banyak digunakan untuk memecahkan

permasalahan-permasalahan yang komplek tersebut. Hasil yang diperoleh dengan

menggunakan metode MEH ini adalah berupa harga pendekatan dari sejumlah

titik atau node pada kontinum bodi. Maka dalam pemodelan di dalam MEH, suatu

bodi dibagi menjadi beberapa bodi atau unit yang lebih kecil yang disebut dengan

elemen, yang mana elemen-element tersebut saling berhubungan dengan elemen

lain pada titik-titik simpul elemen atau dikenal dengan node. Proses pembagian ini

disebut dengan diskritisasi.

Perkembangan penggunaan MEH dimulai pada masa-masa perang dunia II,

sekitar tahun 1940 an. Pada tahun 1941, Hrennikoff dan McHenry (1943)

menggunakan elemen satu dimensi berupa elemen garis, yang sekarang dikenal

sebagai elemen batang, untuk menganalisa tegangan pada suatu struktur.

Selanjutnya, Courant mengenalkan interpolasi atau fungsi, dan metode kekakuan

atau metode perpindahan baru dikembangkan pada tahun 1947 oleh Levy. Metode

ini sangat menjanjikan dan berguna untuk analisa statika pada struktur pesawat.

Pada masa-masa tersebut dilakukan secara manual atau tanpa menggunakan alat



2

bantu seperti pada masa saat ini. MEH menjadi semakin populer untuk digunakan

setelah dikembangkannya prosesor kecepatan tinggi pada komputer.

Analisa dua dimensi menggunakan MEH pertama kali dikenalkan oleh

Tuner dan kawan pada tahun 1956. Mereka berhasil menurunkan matrik untuk

element truss, element batang, dan elemen-elemen untuk analisa kasus-kasus dua

dimensi seperti element segitiga dan segi empat pada kondisi tegangan bisang.

Disamping itu, Tuner dan kawan-kawan mengenalkan prosedur yang dikenal

sebagai metode kekakuan langsung ( direct stiffness method ) dan matrik

kekakuan struktrur. Bersama dengan perkembangan teknologi komputer, hasil

kerja dari Tuner dkk menjadi perintis perkembangan persamaan kekakuan elemen

hingga yang diekspresikan dalam notasi matrik. Istilah metode elemen hingga

pertama kali dikenalkan oleh Clough pada tahun 1960 ketika elemen-elemen

segitiga dan segi empat digunakan untuk analisa tegangan bidang (plane stress).

Selanjutnya semenjak itu dikembangkan elemen-elemen yang berbentuk tiga

dimensi seperti tetrahedral. Umumnya sebagian besar perkembangan elemen

hingga pada tahun 1960 an sesuai untuk regangan dan perpindahan kecil pada

perilaku material elastis dengan beban statis. Meskipun demikian untuk kasus

defleksi yang besar dan analisa termal dikembangkan oleh Turner. Sedangkan

untuk kasus-kasus non linier dipelopori oleh Gallagher. Disamping itu, Gallagher

dan Padlog juga berhasil mengembangkan MEH untuk memecahkan kasus-kasu

bukling pada tahun 1963. Sedangkan untuk kasus viskoelastisitas dikembangkan

oleh Zienkiewicz pada tahun 1968.

Pada era 1970-an, dipelopori oleh Belytschko, MEH mampu

menyelesaikan kasus-kasus pada struktur yang mengalami deformasi besar dan

non linier. Hal ini meningkatkan kemampuan MEH untuk menyelesaikan

problem-problem pada struktur. Semenjak awal perkembangan MEH sampai saat

ini banyak mengalami kemajuan yang pesat, dan hampir semua analisa tegangan,

defleksi dan deformasi di dalam perancangan struktur menggunakan metode MEH

terutama untuk geometri dan kondisi beban yang komplek. Bahkan MEH sudah

merupakan mata kuliah wajib yang harus ditempuh oleh mahasiswa yang belajar

bidang rekayasa. Saat ini penggunaan dan penelitian MEH yang masih relatif baru

adalah dalam bidang bioengineering. Dalam bidang ini penggunaan MEH masih



3

menemukan banyak kesulitan seperti permodelan untuk material dan geometri

yang non linier serta tingkat kompleksitas yang relatif lebih tinggi dibanding pada

bidang rekayasa. Meskipun demikian saat ini banyak usaha dilakukan untuk

meningkatkan kemampuannya dalam menyelesaikan masalah dalam berbagai

bidang rekayasa.

1.2 Matrik

Penguasaan metode perhitungan dengan menggunakan matrik adalah

sangat perlu di dalam memformulasikan rumus kekakuan elemen dengan

sederhana, menyelesaikan dengan cara manual (long hand solution) dari berbagai

permasalahan, dan yang penting adalah metode perhitungan dengan menggunakan

matrik sangat penting digunakan di dalam pemrograman komputer untuk

menyelesaikan perhitungan numeris. Pada sub bab ini diingatkan kembali secara

singkat tentang matrik dan notasinya yang umumnya digunakan dalam MEH.

Disarankan bagi pembaca yang tidak mengenal metode matrik untuk mempelajari

terlebih dahulu.

Matriks adalah suatu kumpulan bilangan yang diatur di dalam kolom dan

baris sehingga membentuk segi empat siku-siku. Bilangan bilangan di dalam segi

empat tersebut sering disebut disebut dengan elemen atau unsur. Dimensi matrik

dinyatakan dengan ordo yang menyatakan banyaknya baris ( arah horizontal) dan

banyaknya kolom (arah vertikal) dalam suatu matrik. Jadi suatu matrik yang

mempunyai baris berjumlah m dan kolom berjumlah n maka matrik tersebut

berordo m x n. Sebagai contoh adalah matrik gaya F, yang akan juga digunakan

untuk mendiskripsikan suatu komponen gaya dalam elemen, terdiri dari gaya-gaya

pada masing-masing node atau simpul (F1x, F1y, F1z, F2x, F2y, F2z,…….., Fnx, Fny,

Fnz). Komponen-komponen gaya tersebut beraksi pada node (1,2,3,….., n ) yang

juga mengakibatkan perpindahan (displacement) pada masing-masing node (d1x,

d1y, d1z, d2x, d2y, d2z,…….., dnx, dny, dnz). Ke dua matrik tersebut dapat dinyatakan

sebagai berikut.



4

nz

ny

nx

z

y

x

z

y

x

F

F

F

F

F

F

F

F

F

FF

.

.

][ 2

2

2

1

1

1

nz

ny

nx

z

y

x

z

y

x

d

d

d

d

d

d

d

d

d

dd

.

.

][ 2

2

2

1

1

1

(1-1)

Tanda subskrip disebelah kanan F dan d mengidentifikasikan nomer node dan

arah dari gaya dan perpindahan. Misalnya, F1x adalah menunjukkan komponen

gaya pada node 1 dan mempunyai arah yang sama dengan sumbu X. Matrik pada

persamaan 1-1 disebut dengan matrik kolom yang mempunyai ordo m x 1. Tanda

kurung [ ] digunakan dalam buku ini untuk menandakan matrik kolom. Sehingga

seluruh komponen gaya dan perpindahan di dalam kolom matrik dapat

disimbulkan, masing-masing, sebagai [F] dan [d], sedangkan simbol F dan d

dengan garis diatasnya menyatakan matrik secara umum artinya dapat berupa

matrik kolom atau matrik segi empat.

Penggunaan matrik segi empat siku-siku secara umum dalam buku ini

dinyatakan dengan simbol { }. Sebagai contoh matrik untuk menyatakan koefisien

kekakuan elemen dan global, masing-masing disimbolkan sebagai {k} dan {K}

dan dinyatakan seabagai berikut.

mnmm

n

n

kkk

kkk

kkk

kk

...

...

...

...

...

...

21

22221

11211

(1-2)

mnmm

n

n

KkK

KKK

KKK

KK

...

...

...

...

...

...

21

22221

11211



5

Pada buku ini akan dipelajari bahwa besar gaya global pada node F dan

perpindahan global pada node d tergantung dari harga matrik kekakuan global K,

dan dinyatakan sebagai berikut .

dKF (1-3)

Persamaan 1-3 disebut persamaan kekakuan global . Dengan mensubtitusi

persamaan 1-2 ke dalam persamaan 1-3 menjadi.

nz

y

x

mnmm

n

n

d

d

d

KkK

KKK

KKK

F

.

.

.

...

...

...

...

...

...

1

1

21

22221

11211

(1-4)

Pembahasan matrik kekakuan pada berbagai jenis elemen akan dilakukan

pada bab selanjutnya. Disamping itu juga akan ditunjukkan suatu prosedur atau

urutan bagaimana menyusun matrik kekakuan global K pada berbagai jenis

struktur dan bagaimana cara mengetahui suatu perpindahan d pada tiap node.

Untuk mengetahui itu maka penyelesaiannya dialkuakn dengan menggunakan

metode martik. Jika jumlah nodenya sedikit, maka ordo matriknya juga akan kecil,

sehingga dapat diselesaikan dengan cara manual (long hand solution). Akan tetapi

jika jumlah nodenya banyak dan perpindahannya lebih dari satu arah, ke arah x, y

dan z , maka konsekuensinya ukuran matriknya akan besar, sebagai contoh jika

ada 100 node dan arah gaya ke semua arah (x,y,z) kita pertimbangkan, maka

matrik kolom gaya F akan mempunyai berjumlah 300 baris, dan untuk matrik

perpindahan d mempunyai dimensi yang sama dengan matrik gaya. Selanjutnya

matrik kekakuan global mempunyai dimensi 300 X 300. Jika ini terjadi maka

penyelesain secara manual sangat tidak efektif dan efisien. Oleh karena itu, untuk

menyelesaikannya, dapat menggunakan bantuan komputer.

1.3 Peranan Komputer

Telah disebutkan bahwa komputer sangat berperan besar dalam operasi

penyelesaian persamaan dalam MEH. Sebelum pengunaan komputer, meskipun

sudah diketahui sebelumnya bahwa metode matrik dan MEH dapat digunakan



6

untuk menyelesaikan persoalan-persoalan komplek, tetapi penggunaannya tidak

praktis dan memerlukan waktu yang sangat lama. Kondisi ini berubah semenjak

tahun 1950-an, yang mana pada waktu itu mulai dikembangkan komersial

komputer generasi pertama oleh IBM. Bahkan pada saat ini dengan bantuan

personal komputer sudah dapat menyelesaikan ribuan persamaan dengan waktu

yang sangat singkat dalam hitungan menit. Di samping itu sekarang sudah banyak

dikembangkan program-program komputer berbasis elemen hingga. Diantara

program – program tersebut bahkan dapat dieksekusi melalui personal komputer

(PC) dengan satu processor saja, misalnya prgram ANSYS, Algor, Abaqus,

MARC , SAP2000 dan lain-lain. Dengan bantuan kapasitas dan kecepatan memori,

kemampuan PC dapat ditingkatkan kemampuannya dalam menyelesaikan

persoalan dangan jumlah ribuan varibale tidak diketahui.

1.4 Prosedur Umum MEH

Ada dua pendekatan langsung yang digunakan di dalam MEH untuk

menyelesaikan persoalan-persoalan pada mekanika struktur. Pendekatan pertama

adalah yang disebut dengan metode gaya atau fleksibelitas. Pada metode ini

menggunakan gaya internal sebagai harga yang tidak diketahui dan selanjutnya

dipecahkan. Metode yang kedua disebut sebagai metode perpindahan atau

kekakuan yang mengasumsikan perpindahan pada node sebagai harga yang tidak

diketahui dan selanjutnya dipecahkan. Dari kedua metode ini, metode kekakuan

atau perpindahan banyak digunakan, karena formulasinya lebih sederhana untuk

analisa struktur. Oleh karena itu di dalam buku ini hanya menerangkan metode

kekauan atau perpindahan saja.

Perlu diingat bahwa ada 8 langkah utama di dalam melakukan analisa

dengan menggunakan MEH. Langkah-langkah tersebut meliputi :

Langkah ke 1. Memilih jenis elemen dan diskritisasi

Di dalam langkah ini bodi kontinum dibagi menjadi elemen-elemen yang

terdiri dari beberapa node. Proses ini disebut diskritisasi. Sebelumnya, kita

harus bisa menentukan jenis elemen yang sesuai untuk memodelkan kondisi

fisik sebenarnya. Di dalam pendiskritan ini, memungkinkan ukuran elemen

berbeda sesuai dengan kondisi geometri dari suatu struktur. Gambar 1.1



7

menunjukkan contoh dari diskritisasi dari suatu bodi dengan elemen. Gbr. 1.1a

menunjukkan suatu bodi poros yang belum dibagi menjadi elemen-elemen, dan

Gbr 1.1b menunjukkan diskritisasi dari bodi poros dengan elemen.

a). Bodi poros

b). Diskritisasi bodi poros

Gambar 1-1. Contoh diskritisasi

Pemilihan jenis suatu elemen dan dimensi (satu, dua atu tiga dimensi) pada saat

melakukan analisa dengan menggunakan MEH tergantung dari beberapa faktor

misalnya, kondisi pembebanan. Pemilihan ini harus dilakukan dengan tepat

oleh seorang analisis atau disainer. Di samping itu, sering dijumpai untuk suatu

kasus tertentu ada jenis elemen yang paling sesuai untuk menyelesaikan suatu

kasus tersebut. Yang dimaksud sesuai disini adalah keakurasian hasil, efisiensi

dan efektifitas yang berkenaan dengan pemrograman pada komputer. Untuk hal

ini,maka pengalangaman dari seorang analisis atau disainer sangat menentukan

hasil dari analisa. Gambar 1-2 berikut menunjukkan contoh dari beberapa jenis

elemen. Gbr 1-2a adalah jenis elemen yang digunakan untuk merepresntasikan

beam atau batang. Untuk Gbr 1-2b adalah contoh elemen dua dimensi yang

mana node terletak pada masing-masing sudutnya atau dapat juga terdapat

node tambahan diantara sudut-sudutnya. Elemen jenis ini biasa digunakan

untuk menganalisa tegangan atau regangan bidang. Gbr 1-2c menunjukkan

contoh elemen 3 dimensi sederhana berbentuk tetrhedral dan hexahedral.



8

a). Elemen sederhana dengan 2 node.

b). Elemen Segitiga dengan 3 node dan 6 node

c). Elemen sederhana 3 dimensi berbentuk tetrahedral dan hexahedral

Gambar 1-2 Contoh jenis elemen

Langkah ke 2. Memilih fungsi perpindahan

Pada langkah ini kita menentukan fungsi perpindahan di dalam elemen. Fungsi

mendifinisikan harga perpindahan dari tiap-tiap node dan jenis fungsi tersebut

tergantung dari jumlah node yang digunakan di dalam elemen. Jenis fungsi

yang sering digunakan adalah fungsi linier, kwadratik dan kubik polynomial.

Jenis fungsi tersebut sering digunakan karena tidak rumit atau sederhana untuk

memformulasikan elemen. Fungsi polinomial bisa didapat dengan

menggunakan segitiga Pascal yang ditunjukkan pada Gambar 1-3.

Gambar 1-3 Segitiga Pascal untuk Polinimial

1 2

1 2

3

x

y

1 2

3 4

5 6

7 8

x

y

z

1

2

3

4

linier

kwadratik

kubik



9

Langkah ke 3. Mendefinisikan hubungan antara regangan/perpindahan dan

tegangan/regangan

Hubungan regangan/ perpindahan dan tegangan/regangan adalah sangat

penting untuk menurunkan tiap-tiap rumus elemen hingga. Untuk kasus

deformasi elastis (kecil) pada satu dimensi, misalnya, pada arah x dengan

perpindahan u, dinyatakan dengan strain, x, sebagai berikut.

dx

dux (1-5)

Selanjutnya hubungan tegangan dan regangan dapat dinyatakan sesuai dengan

hukum Hook, yang ditunjukkan pada rumus 1-6, yang mana x menyatakan

tegangan ke arah sumbu x dan E adalah modulus elastisitas.

xx E (1-6)

Langkah ke 4 Menurunkan rumus dan matrik kekakuan elemen

Ada beberapa metode untuk menurunkan rumus dan kekakuan suatu elemen,

yaitu yang pertama adalah metode kesetimbangan langsung (Direct

Equilibrium Method). Menurut metode ini, kekakuan matrik dan rumus elemen

yang berhubungan dengan gaya dan perpindahan pada node diperoleh dengan

menggunakan kondisi kesetimbangan gaya. Karena rumus ini sederhana dan

mudah, maka digunakan untuk menurunkan matrik kekakuan dan rumus

elemen untuk elemen-elemen garis atau satu dimensi, misalanya untuk elemen

pegas atau batang. Metode selanjutnya adalah metode untuk menurunkan

rumus elemen dan matrik kekakuan untuk elemen-elemen dua dimensi dan tiga

dimensi. Metode yang digunakan dikenal sebagai metode energi [35].

Penggunaan dari metode-metode tersebut akan ditunjukkan pada bab-bal

selanjutnya.

Langkah ke 5. Menggabungkan rumus elemen untuk mendapat rumus global dan

menentukan kondisi batas.

Pada langkah ini, rumus untuk satu elemen yang diturunkan pada langkah 4,

digbung menjadi rumus global. Rumus global ini mencakup seluruh node yang

ada pada suatu bodi.



10

Langkah ke 6. Menyelesaikan atau memecahkan derajat kebebasan yang tidak

diketahui.

Rumus 1-7 menunjukkan rumus kekakuan global dengan jumlah derajat

kebebasan sebanyak n. Di sini kita mencari harga-harga d yang tidak diketahui,

dan menentukan harga d sebagai kondisi batas. Contoh kondisi batas, misalnya

pada suatu node memodelkan suatu jenis tumpuan jepit, maka perpindahan

pada node tersebut ke arah sumbu x, y, z mempunyai harga nol. Sehingga kita

bisa menentukan harga d pada node tersebut. Untuk mencari harga d yang tidak

diketahui kita bisa menggunakan beberapa metode eleiminasi seperti metode

Gauss, atau iterasi Gauss-Seidel. Untuk menyelsaikan jumlah node yang

banyak atau dimensi matrik yang besar maka penyelesain menggunakan

program computer adalah efektif.

nnnnn

n

n

d

d

d

KkK

KKK

KKK

F

.

.

.

...

...

...

...

...

...

2

1

21

22221

11211

(1-7)

Langkah ke 7. Menghitung harga tegangan dan regangan pada elemen

Setelah dapat mengetahui harga-harga perpindahan pada masing masing node

pada langkah ke 6, maka selanjutnya harga regangan dan tegangan dapat

diketahui.

Langkah ke 8. Menginterprestasikan hasil

Pada langkah ini kita bisa melakukan analisa hasil pada model untuk

menentukan dimana terjadi tegangan atau regangan yang terbesar pada model.

Dari sini kita bisa mengambil keputusan misalnya, bahwa suatu struktur

mempunyai kekuatan atau tidak karena kondisi suatu pembebanan tertentu.



11

BAB II

METODE KEKAKUAN/PERPINDAHAN

2.1 Difinisi Matrik Kekakuan

Untuk memahami metode kekakuan, maka familiar dengan matrik

kekakuan adalah hal yang sangat penting. Matrik kekakuan k’ atau {k}

didefinisikan sebagai suatu matrik sedemikian rupa sehingga f’= k

’d

’ untuk suatu

elemen, yang mana k’ menunjukkan matrik kekakuan untuk koordinat lokal (x

’, y

’,

z’) yang berhubungan dengan node d

’ atau [d] untuk gaya-gaya f

’ atau [f] yang

bekerja pada satu elemen. Gambar 2.1 menunjukkan suatu elemen pegas satu

dimensi dengan 2 node yang ditinjau dari koordinat lokal (x’, y

’, z’) atau koordinat

global (x, y, z)perbedaan koordinat lokal dan global pada suatu elemen.

Gambar 2.1 Koordinat lokal dan global

2.2 Penurunan Matrik Kekakuan untuk Elemen Pegas

Dengan menggunakan pendekatan kesetimbangan langsung, di sini

diterangkan bagaimana menurunkan matrik kekakuan untuk elemen pegas satu

dimensi dengan asumsi pegas tersebut mengikuti hukum Hook dan gaya yang

bekerja hanya pada satu arah saja. Langkah-langkah yang digunakan untuk

menurunkan matrik kekakuan adalah sesuai dengan langkah-langkah yang

diterangkan di Bab I.

Langkah ke 1. Memilih Jenis Elemen

Sesui dengan yang kita ketahui pada langkah ini, jenis elemen pegas kita pilih.

Gambar 2.2 menunjukkan jenis elemen pegas yang mempunyai dua node

dengan panjang awal atau jarak awal antar node sebesar L. Sedangkan k adalah

1

2

x’

y’

z’

x

y

z



12

konstanta material pegas. Jika elemen pegas tersebut dikenakan beban sebesar

T, maka masing masing node akan mengalami perpindahan sebesar d’1x dan

d’2x.

Gambar 2.2. Elemen pegas yang diberi beban T

Langkah ke 2. Memilih fungsi perpindahan

Di sini kita menentukan fungsi matematis untuk merepresentasikan bentuk

elemen yang terdeformasi. Karena sangat sulit untuk mendapat solusi eksak,

maka dapat didekati dengan fungsi yang sering digunakan, yaitu polinomial.

Karena elemen pegas menahan gaya aksial saja ke arah atau paralel dengan

sumbu x’, maka derajat kebebasanya atau perpindahan pada koordinat lokal

adalah d’1x dan d

’2x. Di sini perpindahannya sesuai dengan fungsi u’ pada

masing-masing node. Selanjutnya kita tentukan fungsi perpindahan u’ ke arah

aksial sepanjang elemen pegas. Karena perpindahannnya diasumsikan linier

maka ;

'' 21 xaau (1-8)

Perlu diingat bahwa biasanya jumlah koefisien a adalah sama dengan jumlah

derajat kebebabasan elemen. Untuk kasus elemen pegas ini, jumlahnya adalah

dua, yaitu ke arah aksial atau paralel sumbu x’ saja pada masing-masing node.

Jika persamaan (1-8) dinyatakan dalam bentuk matrik maka :

2

1}'1{'a

axu (1-9)

Selanjutnya kita dapat mengekspresikan u’ sebagai fungsi perpindahan d’1x dan

d’2x dengan cara mengevaluasi u’ pada tiap node. Pertama kita tentukan kondisi

batasnya misalkan pada node 1 adalah x’= 0 dan selanjutnya x’=L pada node 2,

harga L adalah jarak antara node (Gbr.2.2). Sehingga kita dapat menentukan

harga masing-masing koefisien sebagai berikut;

k 1 2

L

2 1

x’

x’

T T

d’2x d’1x



13

1

1

'

121 ')0(' adxaau x (1-10a)

LadLaadLu xx 2

'

121

'

2)(' (1-10b)

Sehingga harga a2 adalah,

L

dda xx

'

1

'

22

(1-11)

Dengan mensubtitusi masing-masing koefisien ke persamaan (1-8) maka u’

dapat dinyatakan sebagai berikut

'''

1

'

2'

1 xL

dddu xx

x

(1-12)

Jika persamaan (1-12) dinyatakan dalam bentuk matrik menjadi sebagai berikut

'

2

'

1}''

1{'x

x

d

d

L

x

L

xu atau

'

2

'

121 }{'

x

x

d

dNNu (1-13)

Di sini L

xN

'11 dan

L

xN

'2 (1-14)

Persamaan (1-14) ini disebut dengan fungsi bentuk, karena N mengekspresikan

bentuk fungsi perpindahan yang telah diasumsikan di koordinat x’pada elemen.

Jika diasumsikan linier, Gbr. 2.3 menunjukkan fungsi bentuk untuk masing-

masing node. Gambar tersebut menunjukkan bahwa pada saat N1= 1 pada node

1 maka pada node 2, N2= 0 dan jika N2= 1 pada node 2 maka N1= 0 pada node

1. Untuk sembarang posisi pada koordinat belaku hubungan N1+ N2 = 1. N

juga disebut fungsi interpolasi, karena dengan cara mengintepolasikan, maka

kita dapat memperoleh harga diantara harga node sesuai dengan fungsinya.

Gambar 2.3. Fungsi bentuk masing-masing node

L

2 1

x’

'' 21 xaau

x’

d’1x d’

2x

L

xN

'11

L

xN

'2

1

0

0



14

Langkah ke 3. Menentukan hubungan tegangan dan regangan

Gambar 2.4 menunjukkan elemen pegas yang mengalami perpanjangan

(elongasi) atau terdeformasi disebabkan oleh gaya T. Besar elongasi sebesar

d’1x kearah kiri (negatif) dan d

’2x kearah kanan (positif) sepanjang sumbu x’.

Gambar 2.4. Perpanjangan pada elemen pegas

Besar dari elongasi adalah ;

'

1

'

2)0(')(' xx dduLu (1-15)

Untuk elemen pegas hubungan gaya dan perpindahan (elongasi) dapat

langsung dinyatakan sebagai berikut.

kT (1-16)

dengan mensubtitusi persamaan (1-15) ke persamaan (1-16), maka kita dapat

hubungan sebagai berikut.

'

1

'

2 xx ddkT (1-17)

Langkah ke 4. Menurunkan matrik kekakuan elemen

Selanjutnya kita turunkan matrik kekakuan elemen pegas. Dengan merujuk

pada Gbr.2.4, sesuai dengan arah beban dan prinsip keseimbangan, maka dapat

didapat ;

Tf x '

'1 Tf x '

'2 (1-18)

Dengan mesubtitusikan persamaan (1-18) didapat :

'

'1

'

'2

'

'1 xxx ddkfT

'

'1

'

'2

'

'2 xxx ddkfT (1-19)

atau dapat ditulis kembali sebagai berikut ;

'

'2

'

'1

'

'1 xxx ddkf

'

'1

'

'2

'

'2 xxx ddkf (1-20)

k 1 2

L

2 1

x’

x’

T T

d’2x d’1x



15

Jika persamaan (1-20) dinyatakan dalam bentuk matrik, menjadi seperti bentuk

dibawah ini.

'

'2

'

'1'

'2

'

'1

x

x

x

x

d

dkkkk

f

f (1-21)

Dari persamaan (1-21) didapat matrik k’ yang merupakan matrik kekakuan

lokal. Jika kita perhatikan matrik tersebut adalah simetris yang mana jumlah

kolom dan baris sama ( m = n ).

kkkk

k ' (1-22)

Langkah ke 5. Menggabungkan rumus elemen lokal menjadi rumus global

Prinsip pada langkah ini adalah menjumlahkan masing-masing kekakuan tiap

elemen dan gaya tiap elemen sedemikian rupa atau dinyatakan sebagai berikut’.

N

e

ekK1

)(' dan

N

e

efF1

)(' (1-23)

Langkah ke 5 ini dijelaskan lebih detail pada sub-bab selanjutnya

Langkah ke 6. Menghitung perpindahan node

Pada langkah ini harga perpindahan dapat diketahui setelah diberikan kondisi

batas, seperti tumpuan, pada persamaan-persamaan yang telah disusun pada

langkah sebelumnya, sehinnga kita dapat menyelesaikan persamaan

[F]={K}[D] secara simultan.

Langkah ke 7. Menghitung gaya-gaya pada elemen

Setelah perpindahan dapat diketahui haragnya,maka dengan cara subtitusi

kembali pada persamaan (1-20), maka gaya pada masing masing elemen dapat

diketahui.

2.3. Penggabungan Elemen Pegas

Struktur-struktur seperti truss, frame dan kontruksi jembatan, terdiri dari

komponen-komponen struktur yang saling berhubungan satu dengan yang lainnya.

Untuk menganalisanya maka, kekakuan seluruh struktur yang terdiri dari elemen-

elemen harus ditentukan terlebih dahulu. Oleh karena itu di sini ditunjukkan

bagaimana menyusun matrik kekakuan global (seluruh struktur) yang terdiri dari

kekakuan lokal. Gbr. 2.5 menunjukkan dua elemen pegas yang saling

berhubungan, dan sesuai dengan langkah 5, matrik kekakuan global akan disusun.



16

Gambar 2.5. Gabungan dua elemen pegas

Dengan menggunakan persamaan (1-21), maka dapat disusun untuk tiap elemen

sebagai berikut;

Elemen 1

)1(

'3

)1(

'1'

'3

'

'1

x

x

x

x

d

dkkkk

f

f (1-24)

dan untuk elemen 2 adalah;

)2(

'2

)2(

'3'

'2

'

'3

x

x

x

x

d

dkkkk

f

f (1-25)

Selanjutnya, karena ke dua elemen tersebut terhubung pada node 3, maka berlaku

hubungan sebagai berikut ;

xxx ddd 3

)2(

'3

)1(

'3 (1-26)

Hubungan pada persamaan (1-26) disebut kontinyuitas atau syarat kompatibelitas .

Kembali ke Gbr.2.5, terlihat bahwa karena node 3 adalah menghubungkan eleven

1 dan 2, maka gaya yang bekerja pada node 3 berlaku hubungan seperti berikut ini

)2(

'3

)1(

'33 xxx ffF (1-27)

Selanjutnya pada node 1 dan 2 adalah ;

)2(

'22 xx fF dan )1(

'11 xx fF (1-28)

Dengan mensubtitusikan persamaan (1-24)-(1-26) ke dalam (1-27) dan (1-28),

maka didapatkan persamaan berikut ini.

)2(

'22

)2(

'32

)1(

'31

)1(

'11

)2(

'3

)1(

'33 xxxxxxx dkdkdkdkffF

)2(

'22

)2(

'32

)2(

'22 xxxx dkdkfF (1-29)

)1(

'31

)1(

'11

)1(

'11 xxxx dkdkfF

1

f2x

2

k1

k2

1

2

3

f3x



17

Jika dalam bentuk matrik,

)1(

'1

)2(

'2

'3

11

22

1221

1

2

3

0

x

x

x

x

x

x

d

d

d

kk

kk

kkkk

F

F

F

(1-30)

Persamaan (1-30) dapat diatur sedemikian rupa sehingga bisa berurutan dari node

1 sampai ke node 3.

'3

'2

'1

2121

22

11

3

2

1

0

0

x

x

x

x

x

x

d

d

d

kkkk

kk

kk

F

F

F

(1-31)

Persamaan (1-31) dapat disederhanakan sebagai berikut ;

dKF (1-32)

yang mana [F] disebut matrik gaya global pada masing-masing node, [d] disebut

sebagai matrik perpindahan global dan {K} disebut matrik kekakuan global.

2.4. Penggabungan Matrik Kekakuan dengan Superposisi (Metode

Kekakuan Langsung)

Metode Kekakuan Langsung sering digunakan karena lebih mudah untuk

menyusun matrik kekakuan global. Metode ini berdasarkan superposisi pada tiap

elemen pada suatu struktur . Merujuk pada persamaan (1-24) dan (1-25) yang

mana masing-masing elemen kekakuannya adalah sebagai berikut ;

(1-33)

Pada rumus (1-33) simbol perpindahan d diletakkan pada masing-masing baris

dan kolom pada matrik k, untuk menunjukkan masing-masing derajat kebebasan

pada tiap-tiap node sesuai dengan harga k-nya.

Karena sistem pegas pada Gbr. 2.5 mempunyai 3 derajat kebebasan atau 1

derajat kebebasan pada masing-masing node, maka matrik kekakuan untuk

'3'1 xx dd

'3

'1

11

111

x

x

d

d

kk

kkk

'2'3 xx dd

'2

'3

22

222

x

x

d

d

kk

kkk



18

masing-masing elemen dapat dinyatakan dalam matrik yang berdimensi 3 x 3,

maka persamaan (1-33) menjadi sebagi berikut ini;

Untuk Elemen 1 ;

(1-34)

Untuk Elemen 2 ;

(1-35)

Sesuai dengan kaidah kesetimbangan gaya maka gaya-gaya yang bekerja di tiap-

tiap node pada persamaan (1-34) dan (1-35), menghasilkan resultan gaya ( gaya

global), seperti berikut ini.

x

x

x

x

x

x

x

F

F

F

f

ff

f

3

2

1

)2(

'3

)2(

'2)1(

'3

)1(

'1 00 (1-36)

Selanjutnya dengan mensubtitusikan persamaan (1-34) dan (1-35), maka

didapatkan persamaan di bawah ini.

x

x

x

x

x

x

x

x

x

F

F

F

d

d

d

k

d

d

d

k

3

2

1

)2(

'3

)2(

'2

)2(

'1

2

)1(

'3

)1(

'2

)1(

'1

1

110

110

000

101

000

101

(1-37)

Atau dapat dinyatakan sebagai persamaan di bawah ini

x

x

x

x

x

x

F

F

F

d

d

d

kkkk

kk

kk

3

2

1

3

2

1

2121

22

11

0

0

(1-38)

Dari persaman (1-38) dapat membuktikan bahwa dengan 3 derajat kebebasan

maka akan terdapat matrik kekakuan global, K, yang berdimensi 3 x 3, dan

mempunyai matrik kolom perpindahan dan gaya global yang masing-masing

jumlah barisnya sama dengan jumlah derajat kebebasan sistem (struktur) dalam

hal ini dua pegas yang ditunjukkan di dalam Gbr. 2.5. Perlu dicatat bahwa kunci

'3'2'1 xxx ddd

)1(

'3

)1(

'2

)1(

'1

)1(

'3

)1(

'2

)1(

'1

1

101000101

x

x

x

x

x

x

f

f

f

d

d

d

k

'3'2'1 xxx ddd

)2(

'3

)2(

'2

)2(

'1

)2(

'3

)2(

'2

)2(

'1

2

110110

000

x

x

x

x

x

x

f

f

f

d

d

d

k



19

dari penyusunan persamaan kekakuan (1-38) adalah menggabungkan kekakuan

tiap-tiap elemen, k, menjadi kekakuan global, K. Untuk menyusun matrik K secara

efisien dan efektif dapat dilakukan secara langsung menjumlahkan nilai k pada

masing node (Metode Kekakuan Langsung). Untuk itu kita tulis kembali matrik k

pada masing-masing elemen dari persamaan (1-33). Seperti dinyatakan

sebelumnya karena jumlah derajat kebebasannya adalah 3, maka matrik K pasti

berdimensi 3 x 3, oleh karena itu kita langsung bisa membuat matrik dengan

dimensi tersebut. Selanjut perhatikan masing-masing sel ( ditunjukkan dengan

anak panah ) pada masing masing matrik k untuk masing masing elemen yang

disusun kembali pada matrik K sesuai dengan sel nya, seperti dicontohkan pada

Gbr. 2.6 berikut ini.

Gambar 2.6, Cara mengisi sel pada matrik K dari matrik k

2.5. Kondisi Batas

Agar supaya persamaan kekakuan global (1-4) dapat diselesaikan maka

suatu struktur, misalnya pegas pada Gbr.2.5, harus mempunyai kondisi batas.

Kondisi batas, dalam kasus ini adalah tumpuan. Jika struktur tersebut tidak

mempunyai kondisi batas maka harga diterminan dari K menjadi singular, yaitu

harga diterminannya adalah nol, dan tidak mempunyai matrik invers. Ini berarti

struktur tersebut tidak stabil. Ada dua jenis kondisi batas , yaitu, kondisi batas

homogen dan non homogen. Kondisi batas homogen terjadi pada tumpuan yang

harga perpindahannya nol. Sedangkan untuk non homogen jika perpindahannya

mempunyai harga tertentu atau tidak nol.

Untuk mengilustrasikan kondisi batas homogen, kita merujuk pada Gbr.

2.5 dan persamaan kekakuan global, (1-38), yang telah kita turunkan sebelumnya.

'3'1 xx dd

'3

'1

11

111

x

x

d

d

kk

kkk

'2'3 xx dd

'2

'3

22

222

x

x

d

d

kk

kkk

xxx ddd 321

x

x

x

d

d

d

3

2

1

2121

22

11

0

0

kkkk

kk

kk

K



20

Dari Gbr. 2.5, dapat kita ketahui bahwa kondisi batas pada node 1 atau pada

tumpuan, mempunyai harga perpindahan nol, sehingga persamaan (1-38), menjadi

sebagai berikut.

x

x

x

x

x

F

F

F

d

d

kkkk

kk

kk

3

2

1

3

2

2121

22

11 00

0

(1-39)

Jika dijabarkan maka persamaan (1-39) menjadi,

xxx Fdkdk 13121 00

xxx Fdkdk 2322200 (1-40)

xxx Fdkkdkk 3321221 0

sesuai dengan Gbr. 2.5 harga F1x tidak diketahui, sedangkan harga F2x dan F3x

diketahui.

Jika rumus ke dua dan ke tiga pada persamaan (1-40) dirubah ke bentuk matrik

maka,

x

x

x

x

F

F

d

d

kkk

kk

3

2

3

2

212

22 (1-41)

Dari persamaan (1-39) dan (1-41) diketahui bahwa pada baris dan kolom ke satu

pada matrik K pada persamaan (1-39) adalah berharga nol, hal ini terjadi karena

pada baris ke satu matrik d merupakan kondisi batas (pada tumpuan, perpindahan

berharga nol). Sehingga selanjutnya kita dapat menentukan harga perpindahan

pada node 2 dan 3, sebagai berikut.

x

x

x

x

x

x

F

F

kk

kkk

F

F

kkk

kk

d

d

3

2

11

112

3

2

1

212

22

3

2

11

111

(1-42)

Jika harga perpindahan d2x dan d3x dapat ditentukan dari persamaan (1-42), maka

besar gaya pada node 1, yaitu F1x dapat dihitung dengan mensubtitusikan

perpindahan tersebut pada persamaan pertama pada (1-40).

xxx Fdkdk 13121 00 atau xx Fdk 131 (1-43)

Dari uraian ini dapat disimpulkan bahwa untuk kondisi batas homogen, baris dan

kolom pada matrik K yang mempunyai harga perpindahannya nol dapat

dihilangkan .



21

Selanjutnya dimisalkan pada node 1 ( tumpuan ) pada Gbr.2.7 mempunyai

harga perpindahan tertentu, maka kondisi batas struktur tersebut dikatakan tidak

homogen. Misalkan pada node 1, mempunyai harga perpindahan, d1x = L.

Gbr.2.7. Kondisi batas non homogen

Karena kondisi batasnya tidak berharga nol, maka persamaan kekakuan dalam

bentuk matrik (1-38) dapat ditulis kembali dan menjadi persamaan berikut ini.

x

x

x

x

x

F

F

F

d

dL

kkkk

kk

kk

3

2

1

3

2

2121

22

11

0

0

(1-44)

Selanjutnya persamaan dibawah ini hasil penjabaran dari persamaan (1-44).

xxx FdkdLk 13121 0

xxx FdkdkL 232220 (1-45)

xxx FdkkdkLk 3321221

Besar harga gaya pada node 1, F1x, adalah besar gaya pada saat node 1 telah

berpindah sebesar L. Karena besar gaya pada masing-masing node 2 dan 3

diketahui sebesar F2x dan F3x, maka rumus ke dua dan ke tiga pada persamaan

dapat diselesaikan untuk mendapatkan harga d2x dan d3x. Selanjutnya dari

persamaan (1-45) menjadi sebagai berikut.

xxx FdkdkL 232220 (1-46)

xxx FdkkdkLk 3321221

dan selanjutnya untuk menyederhanakan, yang mengandung variabel L dipindah

pada sisi kanan persamaan.

xxx Fdkdk 23222 (1-47)

1

f2x

2

k1

k2

1

2

3

f3x

L



22

LkFdkkdk xxx 1332122

Jika dinyatakan dalam bentuk matrik, menjadi ;

LkF

F

d

d

kkk

kk

x

x

x

x

13

2

3

2

212

22 (1-48)

Dari sini harga d2x dan d3x dapat ditentukan , sehingga dengan menggunkan rumus

pertama persamaan (1-43) harga F1x, dapat diketahui. Dari uraian penyelesaian

pada kondisi batas non homogen, dapat disimpulkan bahwa kolom dan baris

pertama matrik K dan baris pertama pada matrik d yang berhubungan dengan

kondisi batas tidak dapat dihapus karena merupakan perkalian dengan harga lebih

besar dari nol dan hasilnya harus dipindah ke ruas kanan sebelum kita

menyelesaikan perpindahan yang tidak diketahui (d2x dan d3x).

Contoh 2.1

Suatu rangkaian pegas seperti ditunjukkan pada Gbr 2.8, mempunyai harga

konstanta pegas k1= 2000 N/m, k2 = 4000 N/m dan k3 = 6000 N/m dan diberi

beban P = 10 000 N pada node 4, tentukan ;

a. Matrik kekakuan global,

b. Besar perpindahan pada node 3 dan 4,

c. Gaya reaksi pada node 1 dan 2

d. Gaya-gaya yang bekerja pada masing-masing pegas

Gambar 2.8. Rangakian pegas dengan beban P

1

2

k1

k2

1

4

3

P

3

2

K3

x



23

a). Untuk menyusun matrik kekakuan global, terlebih dahulu kita susun matrik

kekakuan tiap tiap elemen pegas dengan merujuk pada persamaan (1-33)

sebagai berikut :

Dengan menggunakan model superposisi dan Gbr. 2.6 kita mendapatkan matrik

kekakuan global seperti di bawah ini.

600040004000600004000400020000200060000600000200002000

K

4321

(1-49)

b).Karena gaya global berhubungan dengan kekakuan dan perpindahan global,

maka sesuai persamaan (1-38), didapatkan hubungan sebagai berikut ;

x

x

x

x

x

x

x

x

d

d

d

d

F

F

F

F

4

3

2

1

4

3

2

1

600040004000600004000400020000200060000600000200002000

(1-50)

Dengan menggunakan prinsip penyelesaian kondisi batas homogen, yang mana

harga perpindahan pada node 1, d1x = 0 dan pada node 2, d2x = 0, baris pertama

dan kedua, kolom pertama dan kedua dapat dihilangkan sehingga persamaan

kekakuan diatas dapat disederhanakan sebagi berikut;

x

x

d

d

4

3

600040004000400040002000

100000

(1-51)

Dari sini kita bisa mendaptakan harga d3x = 10/11 m dan d4x = 15/11 m ;

c).Untuk mendapatkan gaya global yang bekerja pada tiap node, maka persamaan

(1-50) dapat digunakan kembali dan mensubtitusikan harga d3x dan d4x yang

telah diketahui harganya.

31

31

20002000200020001

k

43

43

40004000400040002

k

24

24

60006000600060003

k

4321



24

11

1511

1000

600040004000600004000400020000200060000600000200002000

4

3

2

1

x

x

x

x

F

F

F

F

(1-52)

Dengan operasi perkalian matrik pada persamaan (1-52) maka harga gaya

global pada masing-masing node adalah ;

(1-53)

Elemen 1

11

100

2000200020002000

3

1

x

x

f

f (1-54)

Atau jika disederhanakan.

Nf x11

200001

Nf x

11

200003

Elemen 2

11

1511

10

4000400040004000

4

3

x

x

f

f (1-55)

Nf x11

200003

Nf x

11

200004

Elemen 3

011

15

6000600060006000

2

4

x

x

f

f (1-56)

Nf x11

900004 Nf x

11

900002

Contoh 2.2

Gambar 2-9 menunjukkan rangkaian elemen pegas, tentukan (a) Matrik kekakuan

global, (b) Perpindahan pada node 3 dan 4, (c) Gaya-gaya global, (d) Gaya local

pada masing-masing elemen. Node 1 adalah tetap sedangkan node 4 mempunyai

NF x11

900002

NF x11

1100004

NF x11

200001

NF x 03



25

perpindahan sebesar L = 0,2 m. Konstanta pada semua elemen pegas adalah

sama, k = 100 kN/m.

a).Pertama terlebih dahulu kita susun matrik kekakuan tiap-tiap elemen pegas (1-

33) sebagai berikut :

Sehingga matrik kekakuan global dapat ditentukan di bawah ini.

(1-57)

Gambar 2.8. Rangakian pegas dengan perpindahan L

b).Dengan menggunakan persamaan (1-38), gaya global dapat ditentukan sebagai

berikut ;

2.0

0

100010000100100100100100100100100001000100

00

3

2

4

1

x

x

x

x

d

d

F

F

(1-58)

Selanjutnya persamaan (1-58) dijabarkan dan jika diubah kedalam bentuk

matrik menjadi seperti persamaan (1-59)

1

2

k1

k2

1

2

3

F2x

3

4

K3

L

31

31

1001001001001

k

23

23

1001001001002

k

42

42

1001001001003

k

4321

100010000100100100100100100100100001000100

K

4321



26

x

x

d

d

3

2

200100100200

020

(1-59)

Sehingga harga perpindahan pada node 2, 3 dan 1 dapat ditentukan

md x15

22 md x

15

13

c). Selanjutnya dengan mensubtitusi harga-harga perpindahan yang sudah

diketahui ke persamaan (1-58) untuk menentukan gaya-gaya global.

2.015

115

20

100010000100100100100100100100100001000100

4

3

2

1

x

x

x

x

F

F

F

F

(1-60)

15

1001

xF 02 xF 03 xF

15

1004 xF

d) Gaya local pada masing-masing elemen

Elemen 1

15

10

100100100100

3

1

x

x

f

f (1-61)

Nf x15

1001

Nf x

15

1003

Elemen 2

15

215

1

100100100100

2

3

x

x

f

f (1-62)

Nf x15

1003

Nf x

15

1002

Elemen 3

2.015

2

100100100100

4

2

x

x

f

f (1-63)

Nf x15

1002

Nf x

15

1004



27

2.6. Pendekatan Energi Potensial

Salah satu metode alternatif untuk menurunkan rumus elemen dan matrik

kekakuan elemen adalah berdasarkan prinsip energi potensial minimum. Prinsip

ini lebih sesuai untuk menurunkan rumus elemen yang lebih komplek yang

mempunyai lebih banyak derajat kebebasan, seperti untuk elemen plain stress atau

strain, tegangan aksis simetri, elemen plat bending dan elemen untuk kondisi tiga

dimensi. Energi potensial minimum hanya sesuai untuk menurunkan rumus untuk

kasus material elastis dan buku ini hanya membahas untuk kasus-kasus pada

permodelan material elastis.

Energi potensial, Pe, dari struktur merupakan fungsi dari perpindahan.

Pada elemen hingga perpindahan ini terjadi pada node dari suatu elemen dan

dinyatakan sedemikian rupa sehingga nee dddPP ,......,, 21 . Jika Pe

diminimalkan terhadap perpindahan maka akan menghasilkan kondisi setimbang.

Untuk elemen pegas, maka akan dihasilkan persamaan ''' dkf seperti yang

diturunkan pada sub-bab sebelumnya.

Total energi potensial didefinisikan sebagai jumlah energi regangan dalam,

U, dan enegi potensial yang disebabkan oleh gaya luar ;

UPe (1-64)

Energi regangan dalam, U, adalah kapasitas gaya internal atau tegangan untuk

melakukan kerja yang mengakibatkan terjadinya regangan di dalal struktur.

Sedangkan energi potensial yang disebabkan oleh gaya luar, , adalah body force,

gaya traksi permukaan dan gaya yang bekerja pada node untuk melakukan kerja

sehingga terjadi deformasi pada struktur.

Kembali pada hubungan linier antara gaya dan perpindahan pada pegas,

yaitu F = k.x , yang mana k adalah konstanta pegas dan x adalah perpindahan.

Perubahan (diferensial) usaha/kerja dalam atau energi regangan, dU, untuk

perpindahan yang sangat kecil pada pegas adalah gaya dikali dengan perubahan

perpindahan dimana gaya bekerja, dan dinyatakan sebagai berikut;

FdxdU (1-65)



28

dari persamaan pegas kita tahu bahwa gaya dinyatakan sebagai F = k.x dan jira

hubungan ini disubtitusikan ke persamaan (1-65), maka menghasilkan hubungan

di bawah ini.

xdxkdU . (1-66)

Maka total energi regangannya adalah :

xdxkU

x

.0

atau FxxxkxkU2

1.

2

1.

2

1 2 (1-67)

Persamaan ini menunjukkan bahwa besar total energi remangan adalah luas area

dibawah kurve gaya-perpindahan, seperti ditunjukkan pada Gbr. 2.9.

Gambar 2.9. Hubungan perpindahan dan gaya pada pegas

Jika energi potensial yang disebabkan oleh gaya luar adalah = - F.x dan

dengan mensubtitusikan persamaan (1-67) maka persamaan (1-64) menjadi;

xFxkPe ..2

1 2 (1-68)

Selanjutnya kita perhatikan contoh 3 berikut ini untuk memahami konsep dari

prinsip energi minimum dengan menganalisa pegas dengan satu derajat kebebasan.

Dari contoh ini ditunjukkan bahwa kondisi setimbang dari pegas adalah pada saat

energinya minimum.

Contoh 2.3

Dimisalkan ada pegas dengan konfigurasi seperti ditunjukkan pada Gbr.2.10

Gambar 2.10. Pegas yang diberi beban F

k

F

x

F

x

k

F= 2000 N

k= 500 N/m 2 1

x



29

Untuk mengevaluasi energi potencial pada pegas tersebut maka kita dapat

menggunakan persamaan (1-68).

xFxkPe ..2

1 2

Untuk memudahkan maka selanjutnya kita subtitusikan harga perpindahan, x,

misalnya antara – 5 sampai dengan 13, dan selanjutnya dapat kita plot dalam

kurve hubungan Pe dan x, seperti dalam Gbr.2.11. Dari gambar tersebut dapat

diketahui harga minimum dari petensial energi, yang mengindikasikan juga bahwa

pada kondisi tersebut terjadi kesetimbangan. Dari sini dapat diketahui bahwa

kondisi potensial enegi minimum terjadi pada perpindahan, ketika x = 4 m

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

x, perpindahan, m

En

erg

i p

ote

ns

ial, N

.m

Gambar 2.11. Hubungan antara energi potensial, Pe , dan perpindahan, x .

Untuk mengetahui harga energi potensial minimum dapat dilakukan dengan cara

menurunkan persamaan energi potensial sebagai berikut;

0

x

Pe (1-69)

02000500.

..2

1 2

xFxk

x

xFxk

x

Pe (1-70)

Sehingga x = 4 m, dan selanjutnya harga ini disubtitusikan kembali ke persamaan

(1-68) untuk mendapatkan harga Energi potensial Pe = -4000 N.m.



30

Dengan menggunakan prinsip energi potensial minimum maka kita dapat

menurunkan rumus matrik kekakuan dari elemen pegas. Dari Gbr. 2.10 yang

mana suatu elemen pegas yang dikenai beban F, maka harga energi potensialnya

dapat dinyatakan sebagai berikut ini;

'

2

'

2

'

1

'

1

2'

1

'

22

1xxxxxxe dfdfddkP (1-71)

Yang mana '

1

'

2 xx dd adalah deformasi dari elemen pegas, dan jika persamaan (1-

71) dijabarkan maka menjadi;

'

2

'

2

'

1

'

1

2'

1

'

1

'

2

2'

2 22

1xxxxxxxxe dfdfddddkP (1-72)

Dengan menggunakan prinsip energi potensial minimum, maka persamaan (1-72)

diturnkan secara parsial sesuai dengan masing-masing node nya, menjadi sebagai

berikut ini;

0222

1

1

'

1

'

1

'

2

xxx

e fddkx

P

(1-73)

0222

1

2

'

2

'

1

'

2

xxx

e fddkx

P

Jika disederhanakan menjadi

'

1

'

2

'

1

'

1

'

2 xxxxx fddkddk

(1-74)

'

2

'

2

'

1

'

1

'

2 xxxxx fddkddk

Atau jika dinyatakan dalam bentuk matrik, sebagai berikut ;

'

2

'

1'

2

'

1

x

x

x

x

f

f

d

dkkkk

(1-75)

Dari persamaan diketahui bahwa matrik kekakuan yang diturunkan dengan

menggunakan prinsip energi potensial minimum mempunyai hasil yang sama

dengan hasil yang didapat dengan menggunakan metode langsung.



31

BAB III

PERSAMAAN DAN MATRIK KEKAKUAN UNTUK STRUKTUR

Pada Bab II dijelaskan bagaimana menurunkan rumus elemen dan matrik

kekakuan pada elemen pegas dengan satu derajat kebebasan. Pada Bab III ini akan

dijelaskan bagaimana menurunkan rumus dan matrik kekakuan elemen lebih dari

satu derajat kebebasan pada koordinat lokal atau global di suatu struktur

berdasarkan metode kekakuan langsung. Pertama akan dijelaskan penurunan

rumus dan matrik kekakuan batang atau truss elastis dengan menggunakan

tahapan yang telah dijelaskan pada Bab II. Karena elemen pada struktur arahnya

tidak selalu paralel dengan suatu arah tertentu yang telah kita tentukan, maka

perlu suatu cara untuk mentransformasikan vektor dari koordinat lokal ke

koordinat global dengan menggunakan konsep matrik transformasi. Dengan

matrik transformasi, kita dapat mengekspresikan matrik kekakuan ke sembarang

arah pada koordinat global. Selanjutnya dijelaskan juga bagaimana menyusun

matrik kekakuan untuk truss pada ruang atau tiga dimensi.

3.1. Matrik Kekakuan Elemen Batang Pada Koordinat Lokal

Gambar 3.1 menunjukkan suatu struktur truss 2 dimensi, yang mana jika

salah satu batang truss yang ditunjukkan dengan anak panah, dapat ditinjau

dengan dua sistem koordinat, yaitu koordinat global (sumbu X-Y) dan koordinat

lokal (x’-y’). Diasumsikan batang truss tersebut mempunyai arah dengan sudut α

terhadap koordinat global dan mempunyai panjang L dengan luas penampang A

konstan. Karena gaya yang bekerja pada tiap batang truss, T, adalah selalu paralel

dengan arah batang, maka arah T berhimpit dengan arah sumbu x’(koordinat

lokal).

Dalam menganalisa beban pada struktur, dalam hal ini adalah truss,

dengan menggunakan Metode Elemen Hingga, setiap batang pada truss dianggap

sebagai satu elemen yang mempunyai arah orientasi yang berbeda-beda . Oleh

karena itu pertama kita menurunkan rumus elemen dan matrik kekakuan pada

salah satu batang atau elemen seperti ditunjukkan pada Gbr. 3.1. Tahapan yang

kita gunakan adalah tahapan-tahapan yang telah diterangkan pada Bab II.



32

Gambar 3.1. Beban pada batang truss

Pertama kita perhatikan pada Gbr. 3.1 sebelah kiri yang menunjukkan

detail dari salah satu batang dari truss yang mana batang tersebut mempunyai

koordinat lokal x’-y’ dan mempunyai arah terhadap koordunat global X-Y. Jika

kita asumsikan batang tersebut adalah suatu elemen yang mempunyai satu derajat

kebebasan pada masing-masing node nya, maka dengan cara yang sama pada

penurunan rumus elemen dan matrik kekakuan elemen pegas dapat digunakan.

Oleh karena itu langkah-langkah umum yang terdiri dari 7 langkah seperti

dijelaskan pada Bab II dapat digunakan.

Elemen batang pada Gbr. 3.1 diasumsikan mempunyai luas penampang. A.

Konstan dan panjang awal, L, dan perpindahan pada masing-masing node

dinotasikan sebagai d’1x, dan d’2x yang terdapat pada masing-masing ujung

elemen. Sesuai dengan prinsip hukum Hook dan hubungan tegangan, , /regangan,

, dapat dinyatakan sebagai persamaan dibawah ini.

xx E . (3-1)

yang mana E adalah modulus elastisitas, dan regangan didapat dari hubungan

sebagai berikut;

'

'

dx

du xx (3-2)

Yang mana u’ adalah perpindahan sepanjang sumbu x’. Jika gaya yang bekerja

pada batang adalah sebesar T, maka berlaku hubungan sebagai berikut;

'. xAT konstan (3-3)

Untuk menurunkan matrik kekakuan batang pada truss maka ada beberapa

hal yang harus diasumsikan, yaitu;

Y

X

x'

y'

f’2x , d’2x

f’1x , d’1x

L

α

T

T



33

1.Batang pada truss tidak dapat menahan gaya geser atau momen bending, yaitu ;

0',0',0' 1'2'1 mff yy dan 0'2 m

2. Perpindahan kearah sumbu y’ dianggap kecil sekali atau tidak ada

3. Berlaku hukun hooke

Berikut ini adalah 7 langkah prosedur yang digunakan untuk menurunkan

matrik kekakuan pada statu batang truss, sesuai ditunjukkan pada Gbr.3.1 kiri. Di

sini kita akan menurunkan berdasarkan koordinat local, x’-y’.

Langka 1. Menentukan jenis elemen

Menentukan jenis elemen, yaitu elemen batang dan notasinya pada masing-

masing node pada masing-masing ujungnya seperti ditunjukkan pada Gbr.3.1.

Langkah 2. Menentukan fungsi perpindahan

Karena elemen batang yang kita gunakan untuk merepresentasikan batang truss

adalah linier maka, hubungan perpindahan linier sepanjang sumbu x’ adalah

sebagai berikut;

'' 21 xaau (3-4)

Selanjutnya dengan menggunakan cara yang sama seperti ditunjukkan pada

persamaan (2-8) sampai dengan (2-14), maka persamaan (3-4) dapat ditulis

kembali seperti di bawah ini.

xxx dx

L

ddu 1

12 ''''

'

(3-5)

Jika dinyatakan dalam bentuk matriz dan fungsi bentuknya maka;

'

2

'

121 }{'

x

x

d

dNNu (3-6)

yang mana :

L

xN

'11 dan

L

xN

'2

Langkah 3. Mendefinisikan hubungan regangan-perpindahan dan tegangan-

regangan

Diketahui bahwa regangan dapat dinyatakan seperti persamaan berikut ini.

L

dd

dx

du xxx

12 ''

'

' (3-7)



34

dan hubungan tegangan dan regangan dinyatakan sebagai berikut ini

xx E . (3-8)

Langkah 4. Menurunkan matrik kekakuan elemen

Kita mengetahui dari pelajaran dasar statika bahwa gaya yang bekerja pada

truss diteruskan atau didistribusikan ke masing-masing batang searah atau

behimpit dengan batang, sehingga besar gaya yang bekerja pada suatu batang

truss, T adalah :

xAT . (3-9)

atau dengan mennggunakan persamaan (3-7) dan (3-8) persamaan (3-9) dapat

dinyatakan sebagai;

L

ddAET xx 12 ''

(3-10)

Jika merujuk pada Gbr.3.1 dan sesuai dengan sumbu x’-y’, maka f’1x = -T,

sehingga persamaan (3-10) dapat ditulis kembali sebagai;

L

ddAEf xx

x21

1

''' (3-11)

dan karena f’2x = T , dengan cara yang sama dapat kita dapat;

L

ddAEf xx

x12

2

''' (3-12)

Jika persamaan (3-11) dan (3-12) diekspresikan dalam bentuk matrik maka,

menjadi bentuk matrik sperti berikut ini.

x

x

x

x

d

d

L

AE

f

f

2

1

2

1

'

'

11

11

'

' (3-13)

Karena f’=k’d’ , maka kita dapat menentukan matrik kekakuan lokal, k’, yaitu;

11

11'

L

AEk (3-14)

Persamaan pada rumus (3-14) menunjukkan bahwa harga k’pada elemen pegas

analog dengan AE/L pada elemen batang.

Langkah 5. Penggabungan rumus elemen untuk mendapat rumus global

Penggabungan matrik kekakuan dari masing-masing elemen untuk menjadi

matrik kekakuan global telah diterangkan pada Bab II, yang mana

penggabungan hanya dapat dilakukan jika masing-masing elemen tersebut



35

ditinjau dari sistem koordinat yang sama, dalam kasus ini, misalnya, koordinat

lokal tiap-tiap elemen paralel atau behimpit dengan koordinat global. Pada

kasus batang pada struktur truss yang mana masing-masing batang dianggap

sebagai suatu elemen dan arah orientasi masing-masing elemen bervariasi

sesuai dengan koordinat lokal masing-masing elemen. Oleh karena itu untuk

menggabung matrik kekakuan lokal menjadi global, masing-masing elemen

harus ditransformasikan terlebih dahulu sesuai dengan orientasi koordinat

global. Cara transformasi tersebut diterangkan pada sub bab selanjutnya.

Berikut persamaan di bawah ini ditulis kembali seperti pada Bab II untuk

menggabungkan masing-masing rumus kekakuan elemen menjadi rumus global.

N

e

ekK1

)(' dan

N

e

efF1

)(' (3-15)

Langkah 6. Menentukan perpindahan pada masing-masing node

Pada langkah ini perpindahan pada masing-masing node dapat diketahui

dengan cara memecahkan persamaan kekakuan global dKF secara simultan

dengan cara menentukan dan mensubtitusikan kondisi batas pada persamaan

tersebut.

Langkah 7. Menentukan gaya-gaya pada elemen

Selanjutnya setelah kita bisa mengetahui perpindahan pada masing-masing

node, gaya pada masing-masing dapat ditentukan.

Contoh 3.1

Gambar 3.2 menunjukkan suatu struktur yang terdiri dari tiga batang yang

masing mempunyai panjang L1,2,3 = 2 m. Luas penampang A1,2 = 0,01 m2 untuk

batang satu dan dua. Batang satu dan dua terbuat dari bahan yang sama dengan

modulus elatisitas E1,2 = 20x106 N/m

2, sedangkan batang ketiga mempunyai E3 =

10x106 N/m dengan luas penampang A3 = 0,02 m

2. Node 1 dan 2 tertanam pada

dinding atau mempunyai perpindahan nol. Tentukan matrik kekakuan global dan

perpindahan pada node 2 dan 3, jika pada node 2 diberi beban F = 2000 N.



36

Gambar 3.2. Struktur tiga batang

a) Dengan menggunakan persamaan (3-14) matrik kekakuan untuk masing-

masing elemen batang dapat ditentukan sebagai berikut.

Elemen 1

1111

101111

2

10.20.01,0

1111

' 56

11)1(

L

EAk N/m (3-16)

Elemen 2

1111

101111

2

10.20.01,0

1111

' 56

22)2(

L

EAk N/m (3-17)

Elemen 3

1111

101111

2

10.10.02,0

1111

' 56

33)3(

L

EAk N/m (3-18)

Setelah matrik kekakuan untuk masing-masing elemen dapat ditentukan maka,

selanjutnya kita gabungkan untuk mendapatkan matrik kekakuan global.

Dengan menggunakan cara seperti pada persamaan (2-38) dan Gbr. 2.6 maka

didapat matrik kekakuan global seperti ditunjukkan pada persamaan (3-19).

Karena mempunyai 4 derajat kebebasan maka matrik kekakuannya adalah

berdimensi 4x4.

110011110

011110011

105K N/m (3-19)

b) Dari persamaan (3-19), maka kita dapat menentukan perpindahan global pada

masing masing node .

1

2

3

4

1

2

3

3

y

x

F



37

x

x

x

x

x

x

x

x

d

d

d

d

F

F

F

F

4

3

2

1

5

4

3

2

1

11001210

01210011

10 N/m (3-20)

Dan jika kondisi batas disubtitusikan ke persamaan maka persamaan (3-20)

menjadi;

0

0

11001210

01210011

10

00

20000

3

25

x

x

d

dN/m (3-21)

Karena mempunyai kondisi batas yang homogen maka persamaan (3-21) dapat

diubah menjadi persamaan berikut ini;

x

x

d

d

3

25

2112

100

2000N/m (3-22)

Dengan menyelesaikan persamaan (3-22) dengan cara simultan maka didapat

harga perpindahan dari node 2 dan 3.

mXd x

2

2 103

4 mXd x

2

3 103

2 (3-23)

3). Untuk dapat mengetahui rekasi-reaksi yang terjadi pada node 1 dan 4 maka

hasil pada persamaan (3-23) disubtitusikan kembali pada (3-20) dan menjadi;

0

103

2

103

40

11001210

01210011

102

2

5

4

3

2

1

X

X

F

F

F

F

x

x

x

x

(3-24)

Dan jika dijabarkan maka,

NF x

352

1 10.3

4100010.

3

40

NF x

3522

2 10.210010.3

2.110.

3

4.20

(3-25)

NF x 010010.3

2.210.

3

4.10 522

3

NF x

352

4 10.3

210010.

3

2.100



38

3.2. Transformasi Vektor Dua Dimensi

Untuk menganalisa suatu komponen dalam struktur biasanya kita akan

mininjaunnya dari salah satu sistem koordinat, yaitu lokal atau global. Karena

arah orientasi dari koordinat lokal belum tentu sama dengan koordinat global

maka jika pengamatan dilakukan berdasarkan salah satu sistem koordinat, yaitu

lokal atau global, maka salah satu dari sistem koordinat tersebut harus

ditransformasikan ke koordinat yang lainnya. Untuk memahami transformasi

vektor, Gbr.3.3 menunjukkan suatu titik d yang dapat ditinjau dari dua sistem

koordinat, misalkan koordinat x’-y’ yang mewakili koordinat lokal dan koordinat

X-Y mewakili koordinat global.

Gambar 3.3. Suatu posisi, titik d, yang ditinjau dari dua sistem koordinat

Cara mentransformasi suatu perpindahan atau posisi suatu node elemen

yang ditinjau dari koordinat yang satu ke koordinat lainnya adalah sebagai berikut.

Misalkan suatu vektor d yang ditunjukkan pada Gbr.3.4 tidak berhimpit pada

salah satu koordinat, sehingga vektor d dapat dinyatakan sebagai berikut;

'' '' jdidjdidd yxyx (3-26)

Yang mana unit vektor pada masing-masing sumbu dinotasikan sebagai i dan i’

pada masing-masing sumbu X dan x’, sedangkan j dan j’ pada masing-masing

sumbu Y dan y’ . Sehingga berdasarkan Gbr. 3.4 persamaan (3-26) dapat

dinyatakan juga sebagi berikut;

'sin'cos'' ididid yxx (3-27)

'cos'sin'' jdjdjd yxy

sehingga ;

sincos' yxx ddd (3-28)

cossin' yxy ddd

d

x'

y'

Y

X



39

Dan jika dinyatakan dalam bentuk matrik menjadi ;

y

x

y

x

y

x

d

d

CS

SC

d

d

d

d

cossin

sincos

'

' (3-29)

Yang mana cosC dan sinS . Persamaan (3-29) menghubungkan

perpindahan, d, berdasarkan koordinat lokal dan koordinat global pada suatu node

dengan dua derajat kebebasan (perpindahan ke arah x’ dan y’).

Matrik

CS

SCdisebut matrik transformasi.

Gambar 3.4. Hubungan antara koordinat lokal dan global pada vektor d

3.3. Matrik Kekakuan Global

Rumus transformasi (3-29) digunakan untuk mendapatkan rumus matrik

kekakuan global dari elemen batang. Pada dasarnya untuk mendapatkan rumus

matrik kekakuan global dari struktur, langkah pertama yang harus dilakukan

adalah mendapat rumus matrik kekakuan masing-masing elemen berdasarkan

koordinat global dan selanjutnya menggabungkannya. Untuk memudahkan kita

tulis kembali rumus hubungan kekakuan berdasarkan koordinat lokal seperti

dinyatakan dalam persamaan (3-13) adalah

x

x

x

x

d

d

L

AE

f

f

2

1

2

1

'

'

11

11

'

' (3-30)

atau dapat dinyatakan sebagai f’ = k’d’

Jika ditinjau dari koordinat global maka orientasi dari persamaan (3-30) bisa

mempunyai arah sembarang relatif terhadap koordinat global. Oleh karena itu

langkah pertama adalah menghubungkan koordinat lokal dan global untuk

masing-masing elemen dengan persamaan transfromasi.

d

x'

y'

dy

dx X

Y

dy' dx'

α



40

Untuk memudahkan, seperti telah kita ketahui bahwa, persamaan untuk

kekakuan berdasarkan koordinat global pada elemen batang dengan dua node

dengan dua derajat kebebasan dapat dinyatakan sebagai berikut;

y

x

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

k

f

f

f

f

2

2

1

1

2

2

1

1

(3-31)

atau f=kd

yang mana f, k dan d adalah matrik gaya, kekakuan dan perpindahan berdasarkan

koordinat global. Telah diketahui bahwa persamaan transformasi untuk node 1

dan 2 pada arah x’ adalah ;

sincos' 11'1 yxxddd (3-32)

sincos' 22'2 yxxddd

Jika dinyatakan dalam bentuk matrik maka ;

y

x

y

x

x

x

d

d

d

d

SC

SC

d

d

2

2

1

1

'2

'1

00

00

'

' (3-33)

Atau dapat dinyatakan dTd *'

T* adalah matrik transformasi ,

SC

SCT

00

00*

Dengan cara yang sama seperti mentransformasikan pindahan, maka untuk gaya

adalah;

y

x

y

x

x

x

f

f

f

f

SCSC

f

f

2

2

1

1

'2

'1

0000

'

' (3-34)

Atau fTf *'

Dari persamaan (3-30) kita mengetahui bahwa persamaan kekakuan untuk

koordinat lokal adalah ;

''' dkf (3-35)

Dan jika persamaan (3-33) disubtitusikan ke dalam (3-35) maka menjadi;

dTkf *'' (3-36)



41

Jika persamaan (3-34) disubtitusikan ke dalam (3-36), maka kita dapat

menghubungkan gaya global dan lokal pada masing-masing node;

dTkfT *'* (3-37)

Tetapi untuk mendapat persamaan akhir yang menghubungkan gaya global dan

lokal pada masing-masing node, maka T* harus diinverse terlebih dahulu. Untuk

matrik T* harus dimodifikasi terlebih dahulu untuk menjadi matrik bujursangkar.

Oleh karena itu, kita harus menjabarkan matrik f’,d’ dan k’ sedemikian rupa

sehingga konsisten dengan penggunaan koordinat global. Berdasarkan persamaan

transformasi (3-29), maka dTd *' , jika dinyatakan dalam bentuk matrik

menjadi sebagi berikut;

y

x

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

CSSC

CSSC

d

d

d

d

2

2

1

1

'2

'2

'1

'1

0000

0000

'

'

'

'

(3-38)

Yang mana

CSSC

CSSC

T

0000

0000

*

Dengan cara yang sama kita dapat menjabarkan untuk fTf *'

Karena gaya dan perpindahan dijabarkan, maka matrik k’ harus dijabarkan

juga, jika persamaan (3-30) matrik k’ nya dijabarkan menjadi sebagai berikut;

'2

'2

'1

'1

'2

'2

'1

'1

'

'

'

'

0000010100000101

'

'

'

'

y

x

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

L

AE

f

f

f

f

(3-39)

Karena harga f’1y’ dan f’2y’ adalah berharga nol maka pada persamaan (3-39) baris

yang berhubungan dengan f’1y’ dan f’2y’ pada matrik k’ juga berharga nol.

Selanjutnya persamaan (3-37) dapat ditulis kembali tetapi T, f dan d telah

dijabarkan, sebagai berikut;

dTkfT *'* (3-40)

Jika ruas kiri dan kanan masing masing dikalikan dengan inverse T*, yaitu, T*-1

,

maka menjadi;

dTkTf *'* 1 (3-41)



42

Dan telah dibuktikan bahwa TTT ** 1 , yang mana TT * adalah transpose dari

*T , sehingga persamaan (3-41) dapat ditulis sebagai;

dTkTf T *'* (3-42)

Maka dari persamaan (3-42) di dapat harga k global untuk satu elemen, yaitu;

*'* TkTk T (3-43)

Jika matrik T*dari persamaan (3-38) dan matrik k’ lokal yang telah dijabarkan

pada persamaan (3-39) disubtitusikan pada persamaan (3-43) maka didapat matrik

k global sebagai berikut;

2

2

22

22

Ssimetri

CSC

SCSS

CSCCSC

L

AEk (3-44)

Selanjutnya setelah matrik kekakuan berdasarkan koordinat global untuk elemen,

persamaan (3-44), telah diketahui, maka matrik kekakuan untuk seluruh elemen

atau struktur dapat dilakukan dengan cara menggabungkan matrik kekakuan

masing-masing elemen dengan cara superposisi (kekakuan langsung) seperti

diterangkan pada sub bab 2.4 atau sebagai berikut;

KkN

e

e 1

(3-45)

yang mana K adalah matrik kekakuan global untuk struktur dan k(e)

matrik

kekakuan tiap elemen berdasarkan koordinat lokal dan N adalah jumlah total

elemen. Dengan cara yang sama, maka untuk gaya adalah;

FfN

e

e 1

(3-46)

Karena matrik K menghubungkan matrik F dan d untuk seluruh elemen atau

struktur, maka;

KdF (3-47)

Contoh 3.2 berikut menerangkan bagaimana mentransformasi matrik kekakuan

lokal menjadi global.



43

Contoh 3.2

Suatu elemen batang dari struktur truss seperti ditunjukkan pada Gbr. 3.5

mempunyai arah relatif terhadap sumbu x-y sebesar 60o. Jika batang mempunyai

luas penampang A=0.04 m, panjang L = 6 m dan modulus elastisitas E = 20 x 109

N/m2, tentukan matrik kekakuan global berdasarkan sumbu x-y.

Gambar 3.5. Elemen batang ditinjau dari koordinat lokal dan global

Untuk menghadapi permasalahan seperti ini, yang mana derajat kebebasannya

adalah satu. Maka kita bisa langsung menggunakan persamaan (3-44). Sehingga

kita dapat matrik k, sebagi berikut ;

o60 5.060cos oC 87.060sin oS

2

2

22

22

Ssimetri

CSC

SCSS

CSCCSC

L

AEk

76.0

435.025.0

76.0435.076.0

435.025.0435.025.0

6

10204.0 9

simetri

xxk

3.4. Tegangan Pada Batang di Bidang 2 Dimensi

Untuk mengetahui tegangan yang bekerja pada elemen batang pada truss,

maka kita harus menentukan terlebih dahulu gaya yang bekerja pada statu batang.

Karena elemen batang pada truss mempunyai satu derjat kebebasan, maka

persamaan (3-30) yang menunjukkan hubungan gaya dan perpindahan ditinjau

dari koordinat lokal.

x'

x

y

60o



44

x

x

x

x

d

d

L

AE

f

f

2

1

'2

'1

'

'

11

11

'

' (3-48)

Telah diketahui bahwa tegangan yang bekerja pada suatu batang karena adanya

gaya aksial adalah dapat dinyatakan sebagai berikut ini :

A

f x '1' (3-49)

Dari persamaan (3-48) dapat diketahui bahwa;

x

x

xd

d

L

AEf

2

1

'1'

'11' (3-50)

Jika persamaan (3-50) disubtitusikan ke persamaan (3-49), menjadi ;

x

x

d

d

L

E

2

1

'

'11 (3-51)

Atau

'11 dL

E (3-52)

Dan karena telah diketahui bahwa dTd *' , maka persamaan (3-52) dapat

dinyatakan sebagai berikut;

dTL

E*11 (3-53)

Dan jika disederhanakan menjadi;

dCdTL

E'*11 (3-54)

Yang mana

SC

SC

L

ET

L

EC

00

0011*11'

Sehingga C’

SCSCL

EC ' (3-55)

Contoh 3.3

Misalkan suatu batang miring 60o terhadap sumbu x, yang mempunyai

luas penampang A, panjang L dan modulus elastisitas E. Jika perpindahan pada

masing-masing node berdasarkan koordinat global sudah dapat ditentukan,



45

sehingga d1x=0.25, d1y=0.01, d2x= 0.35 dan d2y=0.5 mm. Tentukan besar tegangan

pada batang tersebut.

Gambar 3.6. Suatu batang dengan sudut 60o terhadap sumbu x

Untuk menyelesaikan soal ini, maka kita bisa menggunakan persamaan (3-

54), yaitu;

5.0

35.0

01.0

25.0

'

2

2

1

1

d

SCSCL

E

d

d

d

d

SCSCL

EdC

y

x

y

x

(3-56)

3.5. Penyelesaian Truss Dua Dimensi

Telah diketahui dari ilmu statika dasar bahwa truss adalah suatu struktur

yang terdiri dari beberapa batang yang disusun sedemikina rupa, yang mana

ujung-unjungnya saling berhubungan satu dengan yang lain dan disambung

dengan pasak. Gaya-gaya yang bekerja pada truss diteruskan pada batang-batang

truss dan arahnya paralel dengan arah masing-masing batang dimana gaya

tersebut bekerja. Karena arah batang mempunyai arah relatif terhadap batang yang

lain, maka dalam menganalisa gaya pada tiap-tiap batang, kita perlu meninjau

pada salah satu sistem koordinat sebagai referensi peninjauan. Oleh karena itu

semua arah gaya, tegangan, perpindahan dan regangan harus ditransformasikan

sesuai dengan arah referensi yang telah kita pilih. Berikut ini adalah contoh

bagaimana kita menyelesaikan persoalan pada suatu truss dua dimensi sederhana.

Contoh 3.4

Gambar 3.5 menunjukkan suatu truss yang terdiri dari tiga elemen, yang mana

pada salah satu ujung dari masing-masing batangnya ditumpu dengan pasak dan

pada ujung yang lain pada batang-batang tersebut disambung dengan pasak dan

x'

x

y

60o

1

2



46

menerima beban kearah bawah sebesar 1000 N. Tentukan perindahan kearah x

dan y dan tegangan pada masing-masing batang. Modulus elastisitas batang E =

200 x 105 N/m

2 dan luas penampang dari batang adalah A= 0,04 m

2. Panjang dari

masing-masing batang ditunjukkan dalam gambar.

Gambar 3.5. Truss

Untuk memudahkan, maka pertama kita tentukan dulu harga C dan S pada

masing-masing elemen. Tabel 3.1 menunjukkan harga C dan S pada masing-

masing elemen.

Tabel 3.1. Harga C dan S

No

Elemen Node

Sudut

C S C2 S2 CS

1 1-2 90 0 1 0 1 0

2 1-3 0 1 0 1 0 0

3 1-4 -45 -0.707 -0.707 0.5 0.5 0.5

Selanjutnya kita tentukan matrik kekakuan untuk masing-masing elemen dengan

menggunkan persamaan (3-44).

Elemen 1

yxyx dddd 2211

1010

0000

1010

0000

10

1020004.0 5

2

2

22

22

1 xx

Ssimetri

CSC

SCSS

CSCCSC

L

AEk (3-57)

45o

10 m

10 m

10 m

1

2

3

4 1000 N

x

y



47

Elemen 2

yxyx dddd 3311

0000

0101

0000

0101

10

1020004.0 5

2

2

22

22

2 xx

Ssimetri

CSC

SCSS

CSCCSC

L

AEk (3-58)

Elemen 3

yxyx dddd 4411

5.05.05.05.0

5.05.05.05.0

5.05.05.05.0

5.05.05.05.0

10

1020004.0 5

2

2

22

22

3 xx

Ssimetri

CSC

SCSS

CSCCSC

L

AEk

(3-59)

Setelah matrik kekakuan global, k(e)

, untuk masing-masing elemen dapat

disusun, maka langkah selanjutnya adalah menggabungnya dengan cara

superposisi atau metode kekakuan langsung seperti ditunjukkan pada Gbr.2.6

untuk mendapat matrik kekakuan struktur K global.

yxyxyxyx dddddddd 44332211

5.05.000005.05.0

5.05.000005.05.0

00000000

00010001

00001010

00000000

5.05.000105.15.0

5.05.001005.05.1

108 8xK

y

x

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

d

d

d

d

4

4

3

3

2

2

1

1

(3-60)

Selanjutnya setelah berhasil menyusun matrik K struktur, selanjutnya dengan

menggunakan persamaan kekakuan global yang menghubungkan antara gaya

global dan perpindahan global, KdF .



48

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

d

d

d

d

x

F

F

F

F

F

F

F

F

4

4

3

3

2

2

1

1

4

4

4

3

3

2

2

1

1

5.05.000005.05.0

5.05.000005.05.0

00000000

00010001

00001010

00000000

5.05.000105.15.0

5.05.001005.05.1

108 (3-61)

0

0

0

0

0

0

5.05.000005.05.0

5.05.000005.05.0

00000000

00010001

00001010

00000000

5.05.000105.15.0

5.05.001005.05.1

108

1000

0

4

4

3

3

2

2

1

1

4

4

4

3

3

2

2

1

1

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

d

d

d

d

x

F

F

F

F

F

F

F

F

(3-62)

Selanjutnya setelah persamaan kekakuan dapat disusun adalah mencari

perpindahan pada node 1 dan gaya-gaya yang bekerja pada masing-masing node.

Dari persamaan tersebut diketahui bahwa kondisi batasnya adalah homogen, maka

kolom dan baris yang berhubungan dengan perpindahan nol (kondisi batas

berharga nol) dapat dieliminasi, shingga harga perpindahan pada node 1 dapat

diketahui. Oleh karena itu rumus (3-62) setelah di eleminasi baris dan kolomnya

menjadi;

y

x

d

dx

1

14

5.15.0

5.05.1108

1000

0 (3-62)

Jika dijabarkan menjadi ;

yx ddx 11

4 5.05.11080

yx dd 11 5.05.10 xy dd 11 3

dan

yx ddx 11

4 5.15.01081000

xxx dxddx 1

8

11

4 1085.15.01081000

mxd x

4

1 10125 mxd y

4

1 10375



49

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (3-54), tegangan pada tiap-tiap

batang dapat ditentukan.

0

0

10375

10125

101010

10200'

4

4

5

2

2

1

1

1 x

x

x

d

d

d

d

SCSCL

EdC

y

x

y

x

2345

4

4

51 /1075103751020

0

0

10375

10125

10101020 mNxxxxx

x

x

2345

4

4

52 /1025101251020

0

0

10375

10125

01011020 mNxxxxx

x

x

0

0

10375

10125

707.0707.0707.0707.010204

4

53 x

x

x

23

4453

/107.70707.0100000

500707.02001037510125707.01020

mNxx

xxxxxx

3.6. Transformasi Matrik Kekakuan Untuk Batang Pada Tiga Dimensi

(Ruang)

Karena batang yang digunakan untuk menyusun truss tidak selalu bisa

diasumsikan pada bidang datar atau dua dimensi, tetapi sering juga dijumpai

bahwa batang pada truss mempunyai arah atau orientasi dalam tiga dimensi. Oleh

karena itu, untuk meninjau elemen dengan koordinat lokal ke koordinat global,

perlu ditransformasi seperti diterangkan pada sub bab sebelumnya.

Untuk mentransformasikan koordinat lokal ke global pada ruang tiga

dimensi, lebih mudah jika suatu batang pada truss dinyatakan dengan vektor,

seperti ditunjukkan pada Gbr. 3.6. Dalam gambar tersebut ditunjukkan bahwa

statu batang dengan panjang L dan mempunyai dua node dapat ditinjau dari



50

koordinat lolal x’y’z’ atau koordinat global xyz. Batang tersebut mempunyai arah

orientasi yang berhimpit dengan sumbu x’ yang mempunyai sudut α, β dan γ

masing-masing terhadap sumbu x, y dan z. Seperti diterangkan pada bab

sebelumnya, untuk melakukan operasi transformasi maka kita harus menentukan

terlebih dahulu matrik T*. Oleh karena itu, langkah pertama adalah menurunkan

matrik transformasi T*, sehingga dTd *' .

Gambar 3.6 Batang dalam koordinat tiga dimensi

Vektor d adalah suatu vektor yang mempunyai arah sembarang, jika vektor

tersebut ditinjau dari koordinat lokal atau global maka berlaku hubungan sebagai

berikut;

dd ' (3-63)

Yang mana d’ adalah vektor d ditinjau dari koordinat lokal dan d ditinjau dari

koordinat global, dan selanjutnya persamaan (3-63) dapat dijabarkan sebagai

berikut;

kdjdidkdjdid zyxzyx '''''' (3-64)

Yang mana i’, j’ dan k’, masing-masing adalah unit vektor pada koordinat lokal

x’y’z’ dan i, j, dan k adalah unit vektor pada koordinat global xyz. Karena batang

pada Gbr.3.6 berhimpit dengan x’, maka hal ini identik dengan proyeksi vektor d

terhadap sumbu x’. Maka dengan melakukan operasi dot produk pada masing-

masing ruas pada persamaan (3-64) akan didapat hubungan sebagi berikut.

'.'.'.''.'''.'''.' ikdijdiidikdijdiid zyxzyx (3-65)

'.'.'.00' ikdijdiidd zyxx

x

x' y'

z'

y

z

α

β

γ

1

2 L

d



51

Berdasarkan Gbr.3.6 dan difinisi dari operasi dot produk, maka didapat hubungan

seperti dibawah ini.

xl C

L

xxii

cos'. 2

yCL

yyij

cos'. 12

zCL

zzik

cos'. 12

Yang mana dari gambar tersebut diketahui bahwa ;

22

2

2

2

2 lll zzyyxxL

Dan Cx, Cy dan Cz masing-masing adalah proyeksi i’ terhadap sumbu i, j dan k.

Sehingga persamaan (3-65) dapat dinyatakan sebagai berikut;

zzyyxxx CdCdCdd ' (3-66)

Dengan menggunkan persamaan (3-66), kita dapat menyatakan secara eksplisit

hubungan dTd *' dalam bentuk matrik untuk node 1 dan 2 adalah sebagai

berikut ini;

z

y

x

z

y

x

zyx

zyx

x

x

d

d

d

d

d

d

CCC

CCC

d

d

2

2

2

1

1

1

'2

'1

000

000

'

' (3-67)

Maka diari persamaan ini diketahui bahwa ;

zyx

zyx

CCC

CCCT

000

000*

Dari persamaan (3-43) diketahui bahwa matrik kekakuan yang merujuk

pada koordinat global adalah *'* TkTk T . Maka dengan menggunakan T* pada

persamaan (3-67), matrik kekakuan yang merujuk pada koordinat global menjadi

sebagai berikut;



52

zyx

zyx

z

y

x

z

y

x

CCC

CCC

l

AE

C

C

C

C

C

C

k000

000

11

11

0

0

0

0

0

0

(3-68)

Jika disederhanakan menjadi ;

2

2

2

22

22

22

z

zyy

zxyxx

zzyzxz

zyyyxzyy

zxyxxzxyxx

CSimetri

CCC

CCCCC

CCCCCC

CCCCCCCC

CCCCCCCCCC

L

AEk (3-69)

Contoh 3.5

Gambar 3.7 menunjukkan truss tiga dimensi yang terdiri dari 3 batang dan

4 node. Masing-masing batang dijepit di dinding sedemikian rupa dengan nomer

node 1, 2 dan 3. Beban F = 1000 N dikenakan pada node 4. Luas penampang

masing-masing batang 1, 2 dan 3 adalah sama yaitu A= 0,04 m2 dan E = 200 x 10

5

N/m2. Tentukan tegangan yang bekerja pada masing-masing batang.

Gambar 3.7 Trus tiga dimensi

Sebelum menentukan matrik k untuk masing-masing elemen maka kita perlu

menentukan panjang L pada masing-masing batang dengan cara sebagi berikut;

F = 1000 N

(0,0,0)

(5,0,0)

(0,5,-5)

(0,5,0)

(0,5,5)

(0,-5,0) 1

2

3

4

2

1

3

X

Y Z



53

250552222

2

2

2

2

2

1 lll zzyyxxL

355552222

3

2

3

2

3

2 lll zzyyxxL

355552222

4

2

4

2

4

3 lll zzyyxxL

Elemen 1

Harga Cx, Cy dan Cz dapat ditentukan sebagai berikut ;

xl C

L

xxii

2

1

25

5'.

1

2

yCL

yyij

2

1

25

5'.

1

12

zCL

zzik

0

25

0'.

1

12

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (3-69), matrik k(1)

dapat ditentukan.

zyxzyx dddddd 222111

0000000569.56569.560569.56569.560569.56569.560569.56569.560000000569.56569.560569.56569.560569.56569.560569.56569.56

1k

Elemen 2

xl C

L

xx

3

1

35

52

3

yCL

yy

3

1

35

52

13

zCL

zz

3

1

35

52

13


485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30

485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30

485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30

2k



54

Elemen 3

xl C

L

xx

3

1

35

53

4

yCL

yy

3

1

35

53

14

zCL

zz

3

1

35

53

14


485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30485.30

485.30485.30485.30485.30485.30485.30

3k

Untuk memperoleh K struktur, kita dapat mensuperposisikan matrik k dari masing

–masing elemen batang. Karena struktur tersebut mempunyai 4 node dan tiap

node mempunyai 3 derajat kebebasan, maka matrik K struktur berdimensi 12 x 12.

z

dy

dx

dz

dy

dx

dz

dy

dx

dz

dy

dx

d444333222111

49.3049.3049.3000000049.3049.3049.30

49.3049.3049.3000000049.3049.3049.30

49.3049.3049.3000000049.3049.3049.30

00049.3049.3049.3000049.3049.3049.30

00049.3049.3049.3000049.3049.3049.30

00049.3049.3049.3000049.3049.3049.30

000000000000

000000057.5657.56057.5657.56

000000057.5657.56057.5657.56

49.3049.3049.3049.3049.3049.3000097.6000

49.3049.3049.3049.3049.3049.30057.5657.56054.1174.4

49.3049.3049.3049.3049.3049.30057.5657.5604.454.117

K

Selanjutnya dengan menggunakan rumus persamaan kekakuan global, maka

didapat persamaan sebagai berikut;



55

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

49.3049.3049.3000000049.3049.3049.30

49.3049.3049.3000000049.3049.3049.30

49.3049.3049.3000000049.3049.3049.30

00049.3049.3049.3000049.3049.3049.30

00049.3049.3049.3000049.3049.3049.30

00049.3049.3049.3000049.3049.3049.30

000000000000

000000057.5657.56057.5657.56

000000057.5657.56057.5657.56

49.3049.3049.3049.3049.3049.3000097.6000

49.3049.3049.3049.3049.3049.30057.5657.56054.1174.4

49.3049.3049.3049.3049.3049.30057.5657.5604.454.117

3

3

2

0

1000

0

4

4

4

3

2

2

zd

yd

xd

F

F

F

F

xF

xF

F

F

xF

z

y

x

y

z

y

Karena kondisi batasnya adalah homogen, maka kita dapat menghilangkan baris

dan kolom yang berhubungan karena berharga nol, sehingga rumus persamaan

kekakuan global dapat disederhanakan menjadi seperti dibawah ini.

z

y

x

d

d

d

1

1

1

97.6000054.1174.404.454.117

010000

Dan jika dijabarkan menjadi;

yx dd 11 4.454.1170 yx dd 11 54.1174.41000

zd197.600

Dengan cara subtitusi maka didapat harga –harga perpindahan pada node 1, yaitu

d1x, d1y, d1z.

md x 32.01 md y 54.81 dan md z 01

Dengan menjabarkan persamaan (3-54) untuk tiga dimensi maka

persamaan untuk tegangan yang bekerja pada elemen batang dalam tiga dimensi

yang mempunyai node 1 dan 2 adalah;

z

y

x

z

y

x

zyxzyx

d

d

d

d

d

d

CCCCCCL

E

2

2

2

1

1

1

(3-70)

Dengan menggunakan persamaan (3-70), maka tegangan yang bekerja pada

masing-masing batang dapat ditentukan, yaitu;



56

265

1 /1006.25

000054.832.0

02

1

2

10

2

1

2

1

5

10200mNx

x

265

2 /1098.18

000054.832.0

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

5

10200mNx

x

265

3 /1098.18

000054.832.0

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

5

10200mNx

x

3.7. Tumpuan Miring

Pada suatu kasus, tumpuan suatu struktur bisa mempunyai arah orientasi

tertentu terhadap sembarang koordinat global atau dengan kata lain tumpuan

tersebut membentuk sudut dengan koordinat global. Gbr. 3.8 menunjukkan contoh

dari tumpuan miring dengan sudut tertentu terhadap koordinat global. Dalam

gambar tersebut ditunjukkan suatu truss dengan 3 batang elemen dan 3 node. Pada

node 3 ditumpu dengan tumpuan membentuk sudut α terhadap koordinat global.

Gambar 3.8. Struktur dengan tumpuan miring

1 2

3

x

y

x' y'

α



57

Untuk menghadapi persoalan seperti ini, pertama kita perhatikan bahwa

pada node 3, arah gaya yang bekerja sesuai dengan arah dari koordinat lokalnya

maka pada node tersebut perlu transformasi arah gaya dari koordinat global ke

koordinat lokal. Oleh karena itu rumus trasnformasi pada persamaan (3-29) dapat

digunakan, dan untuk memudahkan maka ditulis kembali sebagai berikut ;

y

x

y

x

y

x

d

d

CS

SC

d

d

d

d

3

3

3

3

'3

'3

cossin

sincos

(3-71)

atau

33'3 dtd

Yang mana

cossin

sincos'3t

Untuk transformasi global pada struktur dapat dinyatakan sebagai;

dTd I' (3-72)

Atau

'dTd T

I (3-73)

Matrik TI , untuk kasus struktur pada Gbr. 3.8 adalah matrik transformasi 6 x 6.

yxyxyx dddddd 332211

cossin0000

sincos0000

001000

000100

000010

000001

IT (3-74)

Karena pada node 1 dan 2 arah-arah gayanya paralel dengan koordinat global,

maka pada diagonal pada matrik TI berharga 1. Akan tetapi pada node 3, seperti

ditunjukkan dengan lingkaran pada persamaan (3-74), harus ditransformasikan,

sehingga pada baris dan kolom mempunyai harga identik dengan harga matrik t

pada persamaan (3-71).

Dengan menggunakan matrik pada persamaan (3-74), maka persamaan (3-

73) dapat ditulis kembali dalam bentuk matrik sebagai berikut;

Node 3



58

'3

'3

'2

'2

'1

'1

3

3

2

2

1

1

cossin0000

sincos0000

001000

000100

000010

000001

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

(3-75)

Untuk gaya yang bekerja pada masing-masing node maka dapat juga

ditransformasikan dengan cara seperti pada persamaan (3-34), yaitu;

fTf I' (3-76)

Dan telah kita ketahui bahwa gaya sesuai dengan koordinat global dapat

dinyatakan dalam persamaan kekakuan, yaitu ;

dKf (3-77)

Jika kedua sisi dikalikan dengan TI, maka persamaan (3-77) menjadi;

dKTfT II (3-78)

Jika dinyatakan dengan matrik, maka ruas kiri pada persamaan (3-78) adalah

sebagai berikut;

'3

'3

'2

'2

'1

'1

3

3

2

2

1

1

cossin0000

sincos0000

001000

000100

000010

000001

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

(3-79)

Karena nilai gaya berdasarkan koordinat lokal dan global pada node 1 dan 2

adalah sama maka persamaan (3-79) dapat disederhanakan sebagai berikut;

33

'

3 ftf (3-80)

Selanjutnya dengan mensubtitusikan persamaan (3-73) ke persamaan (3-78),

'dTKTfT T

III (3-81)

Karena ruas kiri pada persamaan (3-78) adalah sama dengan persamaan (3-79),

maka didapat hubungan sebagai berikut;



59

'3

'3

2

2

1

1

'3

'3

2

2

1

1

y

x

y

x

y

x

T

II

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

d

d

TKT

F

F

F

F

F

F

(3-82)

Yang mana telah kita ketahui bahwa nilai perpindahan pada node 1 dan 2 jika

ditinjau dari koordinat global dan lokal adalah sama.

Contoh 3.6

Gambar 3.8 menunjukkan truss dua dimensi yang terdiri dari 3 batang dan 3 node.

Node 1 ditumpu dengan engsel dan node 3 ditumpu dengan jenis tumpuan roll.

Sedangkan pada node 2 diberi beban sebesar F = 2000 N. Tumpuan roll pada

node 2 membentuk sudut α = 450. Luas penampang masing-masing batang 1, 2

dan 3 adalah sama yaitu A= 0,04 m2 dan E = 200 x 10

5 N/m

2. Tentukan

perpindahan pada node 2 .

Gambar 3.9. Struktur dengan tumpuan miring

Untuk menyelesaikan persoalan seperti ini, maka kita dapat mnggunkan prosedur

yang sama pada contoh soal 3.2. Pertama kita tentukan terlebih dahulu harga

matrik kekakuan k pada masing-masing elemen batang, selanjutnya dengan cara

superposisi kita gabung untuk mendapatkan matrik kekakuan global K. Sebelum

1 2

3

x

y

x' y'

α 5 m

5 m

1

2 3

F = 2000 N



60

menyusun matrik kekakuan, kita identifikasi dulu arah orientasi masing-masing

batang, seperti ditunjukkan pada tabel 3.2.

Tabel 3.2. Harga C dan S

No

Elemen Node

Sudut

C S C2 S2 CS

1 1-2 0 1 0 1 0 0

2 2-3 90 0 1 0 1 0

3 1-3 45 0.707 0.707 0.5 0.5 0.5

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (3-44) matrik k untuk masing-

masing elemen dapat disusun.

Elemen 1

yxyx dddd 2211

00000160160000016016

10

0000010100000101

1016 441Xk

Elemen 2

yxyx dddd 3322

16016000001601600000

10

101000001010

0000

1016 442Xk

Elemen 3

yxyx dddd 3311

24242424

24242424

24242424

24242424

2/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/1

443 101028 Xk

Selanjutnya dengan cara superposisi matrik kekakuan K global dapat ditentukan

sebagai berikut;

yxyxyx dddddd 332211

2424022

220022

404000

000404

220022

2204224

1044

XK



61

Setelah matrik K global dapat ditentukan, maka dengan menggunakan

persamaan (3-82) harga gaya-gaya pada masing-masing node dapat ditentukan.

Untuk lebih memudahkan kita tentukan matrik KTI , yaitu;

Harga α = -45O.

2424022

220022

2202222022

2202222022

220022

2204224

104

2424022

220022

404000

000404

220022

2204224

104

100000

010000

00

2

1

2

100

00

2

1

2

100

000010

000001

4

4

X

XKTI

dan

242222222

220022

22040022

22004022

220022

222222224

104

100000

010000

00

2

1

2

100

00

2

1

2

100

000010

000001

2424022

220022

2202222022

2202222022

220022

2204224

104

4

4

X

XT

ITKIT

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (3-82), maka persamaan

kekakuan struktur bisa kita susun sebagai berikut.

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

d

d

F

F

F

F

F

F

X

3

3

'2

'2

1

1

4

3

3

'2

'2

1

1

242222222

220022

22040022

22004022

220022

222222224

104



62

Dan dengan mensubtitusikan kondisi batas, maka persamaan diatas menjadi ;

yd

xdX

xF

yF

yF

xF

3

0

0

'2

0

0

242222222

220022

22040022

22004022

220022

222222224

104

2000

3

'2

0

1

1

4

Karena kondisi batas adalah homogen maka didapat ;

yd

xd

X

3

'2

2422

224104

4

20000

, maka mmx

d 35,10'2

dan

mmy

d 64,143

Dan gaya-gaya global yang bekerja pada masing-masing tumpuan dapat dilakukan

dangan mensubtitusikan harga-harga '2x

d dan y

d3

pada persamaan kekakuan

struktur.



63

BAB IV

KEMIRINGAN DAN LENDUTAN PADA BATANG

4.1. Kekakuan Batang

Pada sub bab ini diterangkan bagaimana menurunkan matrik kekakuan

untuk elemen batang sederhana (simple beam). Telah kita ketahui dari statika

struktur, bahwa yang dimaksud dengan batang sederhana adalah suatu batang

memanjang yang ditumpu pada kedua ujungnya dan menerima beban tranversal

atau melintang sehingga menghasilkan efek bending atau tekuk sebagai reaksi dari

rotasi dan efek aksial. Berubahan bentuk tekuk atau lendutan (deformasi bending)

diukur dari perpindahan transversal atau melintang dan besar sudut rotasi pada

batang, seperti ditunjukan dengan garis putus-putus pada Gbr. 4-1. Sehingga

derajat kebebasan pada batang sederhana ini adalah perpindahan melintang dan

rotasi.

Gambar 4.1 menunjukkan elemen batang sederhana yang terdiri dari dua

node dan mempunyai panjang L. Elemen batang tersebut mempunyai koordinat

lokal axial x’ dan transversal atau lintang y’. Karena ada dua derajat kebebasan

dalam kasus ini, yaitu, perpindahan transversal atau lintang dan rotasi pada

masing-masing nodenya, maka perindahan lintang dinyatakan dengan diy dan

rotasi dinyatakan dengan Фi. Sedangkan gaya dan momen lokal pada masing-

masing node, masing-masing dinyatkan sebagai fiy’ dan mi’.

Gambar 4.1 menunjukkan elemen batang sederhana

Telah kita ketahui dari statika bahwa dalam beam sederhana dapat

menerima beban terpusat P, beban merata w(x) dan kopel C [ ]. Selanjutnya

dapat diketahui bahwa beban-beban tersebut menyebabkan terjadinya lendutan

(deflection), y dan kemirangan (slope) dy/dx pada beam, dan dapat kita ketahui

gaya vertikal atau gaya lintang V(x) yang bekerja pada bagian beam. Di samping

2 1

1’,m1’

y'

x'

2’,m2’

f1y’,d1y’ f2y’,d2y’ L



64

itu, kita dapat mengetahui besar moment pada tiap bagian beam, M(x). Sesuai

dengan dasar-dasar statika, hubungan antara moment, gaya lintang terhadap

defleksi dan kemiringan pada beam dinyatakan sebagai berikut;

yDeflection (4-1a)

dx

dySlope (4-1b)

2

2

dx

ydEIxMMoment (4-1c)

3

3

dx

ydEI

dx

dMxValGayaVertik (4-1d)

4

4

dx

ydEI

dx

dVxwBeban (4-1e)

Rumus (4-1) berlaku dengan asumsi harga modulus elastisitas E dan momen

inersia I adalah konstan.

Selanjutnya sesuai dengan prosedur penurunan persamaan dan matrik

kekakuan pada bab sebelumnya, maka disini kita turunkan untuk kasus elemen

beam.

1. Memilih jenis elemen

Elemen yang kita gunakan adalah elemen batang yang ditunjukkan pada

Gbr.4.1.

2. Menentukan fungsi perpindahan

Karena elemen beam/batang yang ditunjukkan pada Gbr.4.1 mempunyai

total 4 derajat kebebasan, yaitu , perpindahan transversal atau vertikal diy dan

rotasi atau kemiringan Фi pada masing-masing node, maka fungsi perpindahan

yang dipilih adalah fungsi kubik yang ditunjukkan pada rumus (4-2) berikut

ini.

43

2

2

3

1 ''')'(' axaxaxaxv (4-2)

Selanjutnya fungsi )'(' xv dinyatakan sebagai fungsi derajat kebebasan pada

masing-masing node yang terdiri dari 1’,d1y’2’ dan d2y’ sebagai berikut ;

4'1)0(' adv y (4-3a)

31 ''

)0('a

dx

dv (4-3b)



65

43

2

2

3

1'2)(' aLaLaLadLv y (4-3c)

32

2

12 23''

)('aLaLa

dx

Ldv (4-3d)

Selanjutnya dengan menggunakan empat persamaan (4-3), konstanta a1

sampai dengan a2 dapat ditentukan dan kemudian disubtitusikan kembali ke

persamaan (4-2), maka ;

'11

2

21'2'12

3

212'2'13

''

'''213

'''12

'

y

yyyy

dx

xL

ddL

xL

ddL

v

(4-4)

dan jika disederhanakan sesuai dengan parameter perpindahan dan rotasi

(kemiringan) maka persamaan (4-4) menjadi sebagai berikut;

'''1

'3'21

'''2'1

'3'21

'

2

223

3'2

23

3

1

3223

3'1

323

3

LxLxL

dLxxL

LxLxLxL

dLLxxL

v

y

y

(4-5)

Jika dinyatakan dalam bentuk matrik menjadi;

'' dNv (4-6a)

yang mana ;

'

''

2

'2

1

'1

y

y

d

d

d (4-6b)

dan

323

31 '3'21

LLxxL

N

3223

32 ''2'1

LxLxLxL

N (4-6c)

LxxL

N 23

33 '3'21

223

34 ''1

LxLxL

N



66

3. Mendefinisikan hubungan regangan/perpindahan dan tegangan/regangan

Regangan arah aksial pada bidang dua dimensi dapat dinyatakan sebagai

hubungan sebagai berikut ;

'

'',''

dx

duyxx (4-7)

yang mana du’ adalah fungsi perpindahan keaarah x’. Jika merujuk pada Gbr.

4.2 yang menunjukkan terjadinya perubahan bentuk beam, maka hubungan

perpindahan arah aksial dan tranversal dapat dinyatakan sebagai ;

'

'''dx

dvyu (4-8)

yang mana dv’ adalah fungsi perpindahan kearah y’. Sehingga persamaan (4-

7) dapat dinyatakan sebagai;

2

2

''

''','dx

vdyyxx (4-9)

Gambar 4.2 Perubahan bentuk beam setelah diberi beban

Sesuai dengan dasar-dasar persamaan beam maka hubungan perpindahan

transversal atau vertikal beam terhadap momen dan gaya vertikal atau gaya

geser dapat dinyatkan sebagai berikut ;

D

C

A

B dv’/dx’=Ф’

-y’ dv’/dx’=Ф’

x’,u’

y’,v’

A

B C

D



67

2

2

'

'''

dx

vdEIxMMoment (4-10)

dan

3

3

'

'''

dx

vdEI

dx

dMxValGayaVertik (4-11)

4. Menurunkan rumus dan matrik kekakuan

Dengan mensubtitusikan persamaan (4-4) ke persamaan (4-10) dan (4-11)

maka kita mendapatkan persamaan gaya dan momen pada masing-masing

node (fiy’ dan mi’).

'612'612'

0'0' 2'21'133

3

'1 LdLdL

EI

dx

vdEIVf yyy

. '26'46'

0'0'' 2

2

'21

2

'132

2

1 LLdLLdL

EI

dx

vdEIMm yy (4-12)

'612'612'

'' 2'21'133

3

'2 LdLdL

EI

dx

LvdEILVf yyy

'46'26'

''' 2

2

'21

2

'132

2

2 LLdLLdL

EI

dx

LvdEILMm yy

Jika dinyatakan dalam bentuk matrik maka;

'

'

4626612612

2646612612

'

'

2

'2

1

'1

22

22

3

2

'2

1

'1

y

y

y

y

d

d

LLLLLL

LLLLLL

L

EI

m

f

m

f

(4-13)

Sehingga harga k’ adalah

22

22

3

4626612612

2646612612

'

LLLLLL

LLLLLL

L

EIk

Selanjutnya setelah dapat kita tentukan harga k’, maka langkah selanjutnya

adalah sama seperti penjelasan pada bab sebelumnya. Berikut ini ditunjukkan

contoh bagaimana menggabung matrik kekakuan tiap-tiap elemen menjadi

matrik kekakuan global.



68

Contoh 4.1

Gambar 4.3 Beam sederhana

Dengan menggunakan persamaan (4-13), maka matrik kekakuan untuk masing-

masing elemen dapat disusun.

Elemen 1

'' 2'21'1 yy dd

4626612612

2646612612

' )1( EIk (4-14)

Elemen 2

'' 3'32'2 yy dd

4626612612

2646612612

' )2( EIk (4-15)

Dengan menggunakan superposisikan persamaan (4-14) dan (4-15), maka matrik

kekakuan global K menjadi sebagai berikut.

''' 3'32'21'1 yyy ddd

46260061261200

26802661201261200264600612612

EIK (4-16)

Maka persamaan kekakuan global dapat disusun berdasarkan persamaan (4-16),

dan menjadi;

1 2

1

2

3

100 N m

100 N

1 m 1 m

y

x



69

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

46260061261200

26802661201261200264600612612

y

y

y

y

y

y

d

d

d

EI

M

F

M

F

M

F

(4-17)

Dengan mensubtitusikan kondisi batas, maka persamaan (4-17) menjadi ;

00

00

46260061261200

26802661201261200264600612612

100100

2

2

3

3

1

1

y

y

y

dEI

M

F

M

F

(4-18)

Karena kondisi batasnya homogen, maka;

2

2

80012

100100

yd

EI (4-19)

Dan jika dijabarkan maka persamaan (4-19) menjadi sebagai berikut;

EId y

6

502

EI2

252 (4-20)

Dengan menggunkan persamaan (4-18), (4-19) dan (4-20) maka ;

NF y 251 ; NmM 251 ; NF y 1753 ; NmM 753

4.2. Beban Merata

Gambar 4.4a menunjukkan suatu beam dengan beban merata dan ditumpu

dengan tumpuan jepit pada kedua ujungnya. Karena tumpuan jepit mampu

menerima momen dan gaya, maka dengan menggunakan prinsip-prinsip statika

tak tentu, gaya reaksi dan moment pada masing-masing tumpuan tersebut dapat

ditentukan, dan mempunyai harga seperti ditunjukkan dengan diagram bebas pada

Gbr. 4.4b.



70

a.) Beban merata dengan tumpuan jepit dikeduaujungnya

b) Reaksi pada masing-masing tumpuan

Gambar 4.4 Beban merata beam

Jika masing-masing tumpuan pada diagram bebas Gbr.4.4b dianggap

sebagai node, maka beban equivalen pada beam yang disebabkan oleh beban

merata dapat dinyatakan seperti pada Gbr. 4.5. Beban equivalen pada masing-

masing node atau tumpuan adalah beban yang mempunyai efek yang sama

(defleksi ataupun rotasi) pada beam jika diberi beban merata seperti pada Gbr.4.4.

Ada tidaknya efek tergantung dari jenis tumpuan pada masing-masing node. Dari

Gbr 4.5 dapat disimpulkan bahwa masing-masing node pada elemen garis yang

mewakili beam dapat menerima gaya ataupun momen jika node-node tersebut

mewakili tumpuan jepit dan besar defleksi dan rotasi adalah berharga nol.

Gambar 4.5 Beban ekivalen beban merata dengan tumpuan jepit di kedua

tumpuannya

Oleh karena metode kekakuan langsung berdasarkan kondisi pada node

maka kita harus dapat mengidentifikasi gaya, momen, rotasi dan deflrksi pada

node. Secara umum, untuk kondisi beban terpusat maupun terdistribusi dapat

dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut;

0FKdF (4-21)

W (N/m)

L

2

wl

2

wl

12

2wl

12

2wl

2

wl

2

wl

12

2wl

12

2wl 1 2



71

yang mana F adalah gaya-gaya pada tiap-tiap node, F0 adalah gaya-gaya

equivalen pada masing-masing node, dan Kd adalah gaya efektif yang bekerja

pada node.

Contoh 4.2

Gambar 4.6a menunjukkan suatu kantiliver dengan beban yang

terdistribusi, dan pada Gbr.4.6b menunjukkan tegangan equivalen yang terpusat

pada tiap-tiap node untuk beam dengan beban merata. Beban equivalen terpusat

tersebut adalah semua beban yang memungkinkan dapat diterima pada node.

a. Kantilever dengan beban merata

b. Beban equivalen pada masing-masing node.

Gambar 4.6. kantiliver beam

Dengan menggunakan persamaan (4-21), harga F0 yang merupakan gaya

equivalent dapat ditentukan dengan merujuk pada Gbr 4.6b, sebagai berikut ;

12

2

12

2

2

2

0

wl

wl

wl

wl

F (4-22a)

Besar beban F0 akan memberikan rotasi dan defleksi yang sama dengan beban

merata pada masing-masing node. Oleh karena itu, pertama-tama kita misalkan

bahwa harga gaya atau beban global adalah F = 0, sehingga berlaku ;

KdF 0 (4-22b)

2

wl

2

wl

12

2wl

12

2wl

1 2

l



72

Sehingga harga d dapat ditentukan dangan menggunkan persamaan (4-13) ;

2

2

1

1

22

22

3

2

2

4626612612

2646612612

12

2

12

2

y

y

d

d

LLLLLL

LLLLLL

L

EI

wl

wl

wl

wl

(4-22c)

Selanjutnya kita subtitusikan kondisi batas, karena pada node 1 adalah tumpuan

jepit maka harga perpindahan dan rotasi adalah nol ( 011 yd ), sehingga

persamaan (4-22c) disederhanakan menjadi;

2

2232 46

612

12

2

yd

lll

L

EI

wl

wl

(4-22d)

Dengan meniverse matrik K pada persamaan (4-22d), maka harga matrik d dapat

ditentukan sebagai berikut ;

12

246

6122

1

2

3

2

2

wl

wl

lll

EI

Ld y

(4-22e)

EI

wlEI

wl

wl

wl

lll

EI

L

wl

wl

lll

lEI

ld y

6

8

12

26332

6

12

212664

12

1.

3

4

2

2

2

2

2

3

2

2

Setelah harga perpindahan dan rotasi dapat diketahui pada persamaan (4-22e),

maka selanjutnya harga-harga ini disubtitusikan ke persamaan (4-21), dan jika

dijabarkan menjadi sebagi berikut ini;

12

2

12

2

6

84626

6126122646612612

2

2

3

41

1

22

22

2

2

1

1

wl

wl

wl

wl

EI

wlEI

wl

d

LLLLLL

LLLLLL

EI

M

F

M

Fy

y

y

(4-22f)



73

Karena pada node 1 adalah tumpuan jepit maka harga perpindahan dan

rotasi adalah berharga nol sehingga persamaan (4-22f) menjadi;

12

2

12

2

6

8

00

4626612612

2646612612

2

2

3

4

22

22

2

2

1

1

wl

wl

wl

wl

EI

wlEI

wl

LLLLLL

LLLLLL

EI

M

F

M

F

y

y

002

12

2

12

2

12

2

12

52

2

2

2

2

2

2

2

1

1wlwl

wl

wl

wl

wl

wl

wl

wl

wl

M

F

M

F

y

y

(4-22g)



74

BAB V

DEFLEKSI/LENDUTAN (SPECIAL CASES)

Dalam perencanaan suatu bagian mesin atau struktur selain perhitungan

tegangan (stress) yang terjadi akibat beban yang bekerja, besarnya lenturan

seringkali harus diperhitungkan. Hal ini disebabkan walaupun tegangan yang

terjadi masih lebih kecil daripada tegangan yang diijinkan oleh kekuatan bahan,

bisa terjadi besar lenturan akibat beban yang bekerja melebihi batas yang diijinkan.

Keadaan demikian dapat menyebabkan kerusakan yang serius pada bagian mesin

seperti :

a. Keretakan pada bahan

b. Bantalan pada poros yang berputar cepat rusak.

c. Bidang kontak antara roda-roda gigi menjadi tidak sempurna.

Besarnya lenturan yang terjadi pada suatu bagian mesin terutama tergantung

kepada beberapa faktor sbb.

a. Sifat kekakuan bahan (modulus elastisitas)

b. Posisi batang terhadap beban dan dimensi batang, yang biasanya

ditunjukkan dalam besaran momen inertia batang.

c. Besarnya beban yang diterima

Lenturan pada suatu batang dapat terjadi akibat adanya beban gaya geser atau

momen lentur. Lenturan akibat beban geser umumnya sangat kecil dibandingkan

dengan lenturan akibat beban momen. Lenturan akibat beban geser biasanya

hanya diperhitungkan untuk batang yang sangat pendek, sehingga proporsi

terhadap lenturan yang terjadi karena beban momen menjadi cukup berarti.

Penyelesaian kasus lenturan dapat digunakan dengan metode analitis,

eksperimental maupun dengan metode numerik.

5.1. Metode Analitis dengan Metode Castigliano

Metode ini merupakan metode yang paling banyak dipakai untuk pemecahan

masalah lenturan yang terjadi pada suatu struktur atau batang. Metode ini

dikembangkan oleh seorang insinyur Italia bernama Alberto Castigliano pada



75

tahun 1873. Teori dasar metode ini dikembangkan berdasarkan perhitungan besar

energi yang tersimpan didalam suatu batang akibat beban yang bekerja padanya.

Prinsip kekekalan energi dapat dipakai sebagai dasar pembahasan metode ini,

yaitu energi input harus selalu sama dengan output ditambah energi yang hilang

dan lain-lain. Pada suatu batang yang terbebani energi inputnya adalah kerja yang

dilakukan oleh beban, sedang outputnya adalah energi yang tersimpan didalam

batang karena batang tidak melakukan kerja.

Teori dasar dari metode Castigliano, yang secara umum dapat dijabarkan

sebagai : "Apabila energi strain yang tersimpan didalam batang dapat

dinyatakan dalam fungsi gaya-gaya yang bekerja padanya, turunan partial

fungsi tsb. terhadap salah satu gaya adalah sama dengan lenturan yang

terjadi pada titik bekerjanya gaya tersebut."

Besar lenturan (yi) yang terjadi pada suatu titik dimana bekerja gaya Pi adalah :

yi = iP

U

= EI

1 dx

P

MM

L

i

0

(5-1)

5.2. Pemodelan Kasus Lendutan (Elemen Beam) dengan MEH

Lendutan batang dijelaskan dalam elemen beam sebagai fungsi

perpindahan v(x). Fungsi differensial dari kesetimbangan elemen beam dalam

kondisi tidak mengalami pembebanan yaitu :

4

4

x

v

= 0

Gambar 5.1. Model elemen beam 2 node

y, v

Y1, v1

L x, u

Y2, v2

M1, 1

M2, 2

E I 2 1



76

Solusi pendekatan yang dipilih adalah fungsi polinomial cubic :

v(x) = a1 + a2 x + a3 x2 + a4 x

3 (5-2)

konstanta a1, a2, a3 dan a4 dapat dicari dengan memanfaatkan persamaan kondisi

batas yang ada pada node.

v = v1 dan x

v

= 1 pada x = 0

v = v2 dan x

v

= 2 pada x = L (5-3)

Sehingga didapatkan persamaan perpindahan titik node dengan konstanta yang

akan dicari dalam bentuk matrik sebagai berikut :

2

2

1

1

v

v

=

2

32

2210

1

0010

0001

LL

LLL

4

3

2

1

a

a

a

a

Matrik konstanta dapat dicari dengan invers yaitu :

4

3

2

1

a

a

a

a

= 3

1

L

LL

LLLL

L

L

22

323

000

000

22

3

3

2

2

1

1

v

v

dan dimasukkan kembali pada fungsi polinomial cubic (2) sehingga :

v(x) = v1 + x 1 - 2

23

L

xv1 -

L

x 221 +

2

23

L

x v2 -

L

x 22 + 3

32

L

xv1 + 2

3

L

x1 - 3

32

L

xv2 +

2

3

L

x2

dibentuk menjadi rumusan akhir berikut :

v(x) = N1(x) v1 + N2(x) 1 + N3(x) v2 + N4(x) 2

dengan :

N1(x) = 1 – 3

2

L

x+ 2

3

L

x

N2(x) = x – 2

L

x 2+

2

3

L

x

N3(x) = 3

2

L

x- 2

3

L

x



77

N4(x) = –

L

x 2+

2

3

L

x (5-4)

N1(x), N2(x), N3(x) dan N4(x) adalah Shape Function.

Persamaan stiffness dari elemen beam didapat dengan menggunakan teorema

Castigliano yaitu :

Fi = iq

U

(5-5)

Dengan : Fi = nodal force / moment

U = strain energy

q = perpindahan / rotasi nodal dof

i = jumlah dof

Strain energy elemen beam dengan uniform cross section adalah :

U = 2

IE2

0

2

2

L

x

vdx (5-6)

Sehingga dibutuhkan differensial terhadap shape function untuk memenuhi

persamaan di atas.

2

2

x

v

= N1

’’(x) v1 + N2

’’(x) 1 + N3

’’(x) v2 + N4

’’(x) 2 (5-7)

dengan : N1’’ (x) = -

2

6

L+ 12

3L

x

N2’’ (x) = -

L

4+ 6

2L

x

N3’’ (x) =

2

6

L- 12

3L

x

N4’’ (x) = -

L

2+ 6

2L

x (5-8)

Dengan memasukkan persamaan 5-7 ke dalam teorema castigliano, maka

diperoleh :

Yi = iv

U

=

2

IE

L

i x

v

vx

v

0

2

2

2

2

2 dx

= E I L

0

( N1’’(x) v1 + N2

’’(x) 1 + N3

’’(x) v2 + N4

’’(x) 2 ) N1

’’(x) dx



78

= k11 v1 + k12 1 + k13 v2 + k14 2

dengan : k11 = E I L

0

N1’’(x) N1

’’(x) k12 = E I

L

0

N1’’(x) N2

’’(x)

k13 = E I L

0

N1’’(x) N3

’’(x) k14 = E I

L

0

N1’’(x) N4

’’(x)

diambil contoh untuk menghitung k11 yaitu :

k11 = E I

L

L

x

0

2

3212

L

6- dx =

4L

IEL

L

x

0

2

32 48

L

x72-36x

= 12 3L

IE

Dengan prosedur yang sama maka dapat dirumuskan persamaan stiffness yaitu :

2

2

1

1

M

Y

M

Y

= L

IE

46

26

612612

26

46

612612

22

22

LL

LLLL

LL

LLLL

2

2

1

1

v

v

atau dalam simbol : {F} = [K] {d}

Contoh 5.1

Hitung displacement di titik 2 pada kasus beam di bawah ini.

2L

EI 2EI

PL P

L



79

Model Elemen hingga dapat digambarkan sebagai berikut:

Persamaan {F} = [K] {d} didefinisikan sesuai informasi kasus, sehingga:

][k& ][k

][

21

3

3

2

2

1

1

assemblyglobalK

M

Y

M

Y

M

Y

3

3

2

2

1

1

v

v

v

Masukkan harga pembebanan (Y2 = -P, M2 = PL dan M3=0) dan harga

displacement kondisi batasnya (v1 = 1 = v3 = 0), sehingga:

][k& ][k

][

0

21

3

1

1

assemblyglobalK

Y

PL

P

M

Y

3

2

2

0

0

0

v

Dihitung [k] lokal masing-masing elemen [k]1 dan [k]2

2211 vv

3322 vv

L

EIk 1

4

612

26

4

612612

2

22

LLsimetri

L

LLLL

2

2

1

1

v

v

L

EIk 2

4

33

23

4

3333

2

22

LLsimetri

L

LLLL

3

3

2

2

v

v

Y1, v1 Y3, v3

M1, 1 M3, 3

2E I 2 1 3

Y2, v2

M2, 2

2L L

E I



80

Assembly [k]1 dan [k]2 menjadi elemen kekakuan global [K]G

332211

L

EIK G

2

2

4

33

23

44

3336312

0026

4

00612612

2

222

22

LL

L

LLLLLL

L

LLLL

Dimasukkan ke persamaan {F} = [K] {d} sehingga:

0

3

1

1

Y

PL

P

M

Y

L

EI

2

2

4

33

23

44

3336312

0026

4

00612612

2

222

22

LL

L

LLLLLL

L

LLLL

3

2

2

0

0

0

v

0

PL

P

L

EI

2

2

4

28

33152 LLL

3

2

2

v

3

2

2

v

=EI

L

276

3

2

22

111

3951

301828

L

LL

LL

0

PL

P

3

2

2

v

=EI

PL

276

3

L

L9

3310

v1

1

v2

2

v3

3



81

Contoh 5.2

Hitung lendutan di tengah batang kasus berikut.

Model Elemen hingga dengan menggunakan 2 elemen dapat digambarkan berikut:

Kasus ini merupakan kasus simetri sehingga bisa dimodelkan dengan ½ bagian.

Model Elemen hingga dapat disederhanakan dengan minimal 1 elemen saja.


][k1

2

2

1

1

M

Y

M

Y

2

2

1

1

v

v

Masukkan harga displacement kondisi batasnya (v1 = 2 = 0), sehingga

penyelesaian matrik bisa dikurangi ukurannya menjadi:

2

2

1

1

M

Y

M

Y

2/L

EI

4

1248

212

4

12481248

2

22

LLsimetri

L

LLLL

0

0

2

1

v

L/2 EI

p(x) = -p

L/2

Y3, v3 Y1, v1

M1, 1 M3, 3

2E I 2 1 3

Y2, v2

M2, 2

E I

L/2 L/2

Y1, v1

M1, 1

2 1

Y2, v2

M2, 2

E I

L/2



82

dan di kasus ini beban merata perlu ditranformasikan dulu menjadi beban

ekuivalen node, dimana:

M1 = dx

L

x

L

xxp

L

2

0

3

32

44. = 48

2Lp

Y2 = dx

L

x

L

xp

L

2

0

32

1612. = 4

Lp

Sehingga :

2

1

Y

M

EI

L

48

3

2

4812

124

LL

L

2

1

v

2

1

v

=

EI

PL

24

3

16

511

Contoh 5.3

Hitung lendutan di ujung batang kasus berikut.

Model Elemen hingga dapat menggunakan minimal 1 elemen.


][k1

2

2

1

1

M

Y

M

Y

2

2

1

1

v

v

p(x) = -p

L

x

P0

EI

L

Y1, v1

M1, 1

2 1

Y2, v2

M2, 2

E I

L



83

Masukkan harga displacement kondisi batasnya (v2 = 2 = 0), sehingga

penyelesaian matrik bisa dikurangi ukurannya menjadi:

2

2

1

1

M

Y

M

Y

L

EI

4

612

26

4

612612

2

22

LLsimetri

L

LLLL

0

0

1

1

v

dan di kasus ini beban merata perlu ditranformasikan dulu menjadi beban

ekuivalen node, dimana:

Y1 = dx

L

x

L

x

L

xpL

0

32

0 231. = 20

3 0 Lp

M1 = dx

L

x

L

xx

L

xpL

0

3

32

0 2. = 30

2

0 Lp

Sehingga :

1

1

M

Y

L

EI

46

6122

L

LL

1

1

v

1

1

v =

EI

L

12

3

2

126

64

LL

L

30

20

3

2

0

0

Lp

Lp

= EI

Lp 3

0

24

130

L

Contoh 5.4

a). Data Kasus :

Lebar Plat = 20 mm

Panjang dan Tebal Plat

Plat 1 : Panjang = 637 mm, dan Tebal = 4 mm

Plat 2 : Panjang = 650 mm, dan Tebal = 3 mm

Besar Pembebanan

P = 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000 dan 1100 gr

Jarak pengukuran data = 10 mm pada tiap-tiap lokasi pengambilan data

(A-B, B-C, C-D, E-F dan sisa jarak pada F-G)



84

Posisi Pembebanan yaitu di ujung batang

Gambar 5.2. Model Kasus dan Jarak Lokasi Pengambilan Data

b) Komparasi yang dilakukan adalah dengan :

1. Ekperimental dengan cara mengukur lenturan

2. Metode Analitis dengan Metode Castigliano

3. Metode Numerik dengan Metode Elemen Hingga

Penyelesaian

a. Ekperimental dengan cara mengukur lenturan

Data lendutan diukur dengan dial indicator dapat dilihat pada tabel berikut:

Tabel 5.1. Data Lendutan untuk plat 1 (L = 637 mm, t = 4 mm)

P (gr) LOKASI PENGAMBILAN DATA LENDUTAN (mm)

A B C D E F G

200 0,22 1,4 2,535 4,29 6,27 8,2 8,39

300 0,35 1,935 3,74 6,42 9,16 12,5 12,63

400 0,595 2,595 4,96 8,415 11,985 16 16,72

500 0,74 3,195 6,19 10,515 14,89 19,88 20,74

600 0,815 3,775 7,38 12,46 17,855 23,82 24,98

700 1,325 4,34 8,535 14,44 20,78 27,585 29

800 1,535 4,92 10,765 16,385 23,615 31,49 33,115

900 1,685 5,575 11 18,43 26,4 35,249 37,6

1000 1,9 6,19 12,17 20,425 29,32 38,96 40,81

1100 2,7 6,76 13,475 22,36 32,1 42,57 44,905

Tabel 5.2. Data Lendutan untuk plat 2 (L = 650 mm, t = 3 mm)

P (gr) LOKASI PENGAMBILAN DATA LENDUTAN (mm)

A B C D E F G

200 0,9 3,325 6,525 10,62 15,5 20,085 22,01

300 1,35 4,655 9,755 15,575 22,28 29,5 32,26

P L

x

C B A D E F G

y



85

b. Metode Analitis dengan Metode Castigliano

Gambar 5.3. Model potongan untuk perhitungan metode Castigliano

Sumbu koordinat diambil pada ujung bebas, sehingga momen yang

bekerja pada jarak x adalah,

M = - Px

Turunan partial fungsi momen terhadap gaya P adalah

M/P= -x

EI.y = L

0

(Px2) dx =

3

3LP

Sehingga lenturan yang terjadi pada P adalah : y = EI

LP

3

3

Dengan memasukkan data variasi pembebanan (P), Modulus Elastisitas

bahan (E = 19,5 x 103 MPa) dan momen inersia (I), maka dapat ditabulasikan

hasil perhitungan lendutan pada ujung batang (di titik G) sebagai berikut :

400 1,78 6,05 12,18 20,735 28,935 38,93 42,49

500 2,235 7,495 15,2 25,23 36,385 48,115 52,56

600 2,67 8,735 18,4 30,05 43,12 57,39 62,56

700 2,96 10 21,33 34,9 50 66,36 72,35

800 3,2 11,27 24,2 39,59 56,93 75,36 82,08

900 3,71 12,68 27,07 44,33 63,755 84,22 91,58

1000 4,05 14,11 29,595 48,97 70,125 92,52 100,81

1100 4,46 15,345 32,715 53,655 76,645 101,23 109,86

P

y

x

x



86

Tabel 5.3. Hasil perhitungan dengan metode Castigliano

P (gr) Lendutan Plat 1 Lendutan Plat 2

200 8,2845 20,8642

300 12,4267 31,2963

400 16,5689 41,7284

500 20,7111 52,1605

600 24,8534 62,5926

700 28,9956 73,0247

800 33,1378 83,4568

900 37,2800 93,8889

1000 41,4223 104,3210

1100 45,5645 114,7531

c. Metode Elemen Hingga dengan bantuan Ansys.

Pemodelan dilakukan dengan menggunakan elemen beam, yaitu elemen

garis dengan 2 node dan masing-masing node memiliki 2 dof yaitu translasi

(dalam bentuk lendutan) dan rotasi (dalam bentuk slope). Meshing Kasus dibuat

dengan cara manual, yaitu pada masing-masing lokasi pengukuran data dibuat

node, sehingga total dipakai sejumlah 7 buah elemen dan 8 node.

Gambar 5.4. Pemodelan metode elemen hingga

Tabel 5.4. Hasil perhitungan dengan Ansys untuk plat 1

P (gr) LOKASI PERHITUNGAN DATA LENDUTAN (mm)

A B C D E F G

200 0.29022 1.0968 2.3236 3.8744 5.6530 7.5635 8.2845

300 0.43534 1.6452 3.4853 5.8115 8.4796 11.345 12.427

400 0.58045 2.1936 4.6471 7.7487 11.306 15.127 16.569

500 0.72556 2.7420 5.8089 9.6859 14.133 18.909 20.711

600 0.87067 3.2904 6.9707 11.623 16.959 22.690 24.853

700 1.0158 3.8388 8.1325 13.560 19.786 26.472 28.996

3 2 1 4 5 6 7

Y1, v1

M1, 1

Y2, v2

M2, 2

Y3, v3

M3, 3

Y4, v4

M4, 4

Y5, v5

M5, 5

Y6, v6

M6, 6

Y7, v7

M7, 7

Y8, v8

M8, 8



87

800 1.1609 4.3872 9.2942 15.497 22.612 30.254 33.138

900 1.3060 4.9356 10.456 17.435 25.439 34.036 37.280

1000 1.4511 5.4840 11.618 19.372 28.265 37.817 41.422

1100 1.5962 6.0324 12.780 21.309 31.092 41.599 45.564

Tabel 5.5. Hasil perhitungan dengan Ansys untuk plat 2

P (gr) LOKASI PERHITUNGAN DATA LENDUTAN (mm)

A B C D E F G

200 0.70275 2.6591 5.6410 9.4207 13.770 18.462 20.864

300 1.0541 3.9886 8.4615 14.131 20.655 27.692 31.296

400 1.4055 5.3181 11.282 18.841 27.540 36.923 41.728

500 1.7569 6.6477 14.103 23.552 34.425 46.154 52.160

600 2.1083 7.9772 16.923 28.262 41.311 55.385 62.593

700 2.4596 9.3067 19.744 32.972 48.196 64.615 73.025

800 2.8110 10.636 22.564 37.683 55.081 73.846 83.457

900 3.1624 11.966 25.385 42.393 61.966 83.077 93.889

1000 3.5138 13.295 28.205 47.104 68.851 92.308 104.32

1100 3.8651 14.625 31.026 51.814 75.736 101.54 114.75

Pembahasan

Secara umum hasil perhitungan dengan metode Castigliano dan metode

elemen hingga mempunyai karakteristik data yang cukup dekat dengan data

pengujian seperti tampak pada grafik berikut. Dimana makin besar pembebanan

semakin besar pula lendutan yang terjadi.

Hasil perhitungan dengan metode Castigliano dan metode elemen hingga

mempunyai hasil yang sama, dikarenakan perumusan elemen beam dikembangkan

dari teorema Castigliano. Yang beda hanya sebatas pendekatan jumlah angka

dibelakang koma, karena metode elemen hingga merupakan metode numeric yang

memiliki hasil mendekati eksak.



88

Gambar 5. Hasil pengukuran dan perhitungan lendutan

Hasil yang didapatkan metode elemen hingga memiliki kelebihan yaitu

dapat memplot besar lendutan pada tiap node sepanjang batang tergantung dari

jumlah elemen yang dipakai. Sedangkan metode Castigliano hanya dapat memplot

hasil 1 harga lendutan untuk setiap kali perhitungan. Dari hal tersebut telah

dilakukan verifikasi penggunaan metode elemen hingga untuk terapan kasus

lendutan dengan hasil yang cukup baik.

Perbedaan hasil pengukuran lendutan (eksperimen) dengan perhitungan

yakni metode Castigliano (mewakili solusi dengan mathematic modelling) dan

metode elemen hingga (mewakili solusi dengan numerical modelling) disebabkan

hal-hal sebagai berikut :

1. Pada solusi dengan mathematic dan numerical modelling masih

menggunakan asumsi-asumsi sebagai berikut :

- Batang dianggap homogen dan isotropic.

- Pembebanan dianggap murni statis.

2. Pada waktu pengujian terjadi kemungkinan penyimpangan dalam

pengukuran data sebagai berikut :

- Pembebanan tidak dapat dijamin halus, sehingga dapat muncul

sedikit hentakan/bergoyang.

Kondisi batang yang sudah tidak lurus lagi.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 200 400 600 800 1000 1200

LE

ND

UT

AN

(m

m)

PEMBEBANAN (gr)

GRAFIK BEBAN - LENDUTAN UNTUK PLAT 1

HASIL PENGUJIAN

METODE CASTIGLIANO

METODE ELEMEN HINGGA



89

BAB VI

STRUKTUR

Pada bab terdahulu dijelaskan bagaimana menurunkan rumus-rumus dan

matrik kekakuan pada beam sederhana, yang mana pada beam tersebut dapat

dianggap satu elemen atau lebih dari satu, dan mempunyai arah orientasi yang

paralel dengan koordinat global atau juga mempunyai arah tertentu terhadap

koordinat global. Pada kenyataan, suatu struktur tidak hanya tersusun dari satu

beam saja tetapi lebih dari satu beam dan mempunyai arah orientasi yang berbeda-

beda dalam satu kesatuan. Struktur tersebut dalam ilmu statika disebut sebagai,

truss, frame dan grid. Oleh karena itu, dalam bab ini akan diterangkan bagaimana

menurunkan rumus dan matrik kekakuan pada struktur truss, frame dan grid.

6.1. Elemen Beam 2-D Arah Orientasi Sembarang

Gambar 6.1 menunjukkan suatu beam yang membentuk kemiringan atau

arah tertentu terhadap koordinat X-Y sebesar α, sehingga beam paralel dengan

sumbu X’-Y’. Jika koordinat X-Y diasumsikan sebagai koordinat global dan X’-Y’

adalah koordinat lokal maka untuk menghubungkan perpindahan lokal dab global

dapat digunakan persamaan (3-29). Untuk memudahkan, persamaan tersebut kita

tulis kembali sebagai berikut;

y

x

y

x

y

x

d

d

CS

SC

d

d

d

d

cossin

sincos

'

' (6-1)

Gambar 6.1. Beam yang membentuk kemiringan

L α

X

Y X’

Y’

1

2

d'2y

d'1y

'2

'1



90

Dengan menggunakan rumus ke dua transformasi (6-1), jika efek aksial

pada beam diasumsikan tidak ada, maka hubungan perpindahan dan rotasi lokal

pada tiap-tiap node terhadap perindahan dan rotasi global dapat dinyatakan

sebagai berikut;

2

2

2

1

1

1

2

'2

1

'1

10000000000001000000

'

'

y

x

y

x

y

y

d

d

d

d

CS

CS

d

d

(6-2)

Sehingga matrik transformasi dapat didefinisikan sebagai berikut:

10000000000001000000

*CS

CS

T (6-3)

Persamaan 6-2 menindikasikan bahwa rotasi tidak bervariasi atau konstan

terhadap sistem koordinat, baik global maupun lokal, sehingga rotasi ’1= 1 dan

momen m’1 = m1 dapat dianggap sebagai vektor yang searah dengan normal

bidang X-Y atau X’-Y’ , artinya arahnya searah dengan sumbu Z’=Z. Oleh karena

itu momen tidak terpengaruh dengan perubahan arah orientasi bidang X-Y.

Persamaan matrik kekakuan global dapat diperoleh dengan

mensubtitusikan persamaan (6-3) sebagai T* dan k’ pada persamaan (4-13) ke

dalam persamaan (3-43), *'* TkTk T . Sehingga diperoleh matrik kekakuan

global seperti di bawah ini.

222111 yxyx dddd

2

2

2

22

22

22

3

4

612

61212

2664

612126126121261212

L

LCCSimetri

LSSCS

LLCLSL

LCCSCLCCLSSCSLSSCS

L

EIk (6-4)

Persamaan (6-4) adalah persamaan kekakuan global yang tidak meliputi

efek dari beban aksial pada batang. Berikut ini adalah penurunan rumus

persamaan matrik kekakuan global meliputi efek dari beban aksial. Gambar 6.2



91

menunjukkan batang dengan beban aksial. Sehingga tiap elemen mempunyai 3

derajat kebebasan yaitu, iixiy dd ',, '' .

Gambar 6.2. Gaya aksial lokal yang beraksi pada batang

Untuk efek aksial dapat kita gunakan persamaan (1-13), yaitu;

x

x

x

x

d

d

L

AE

f

f

2

1

2

1

'

'

11

11

'

' (6-5)

Jika efek aksial diperhitungkan maka persamaan (6-5) dapat dikombinasikan

dengan persamaan (4-13) yang mana hanya terdiri dari efek shear dan bending

momen saja, untuk memudahkan ditulis kembali seperti berikut ini.

'

'

4626612612

2646612612

'

'

2

'2

1

'1

22

22

3

2

'2

1

'1

y

y

y

y

d

d

LLLLLL

LLLLLL

L

EI

m

f

m

f

(6-6)

Maka setelah dikombinasikan maka menghasilkan;

'2

'2

'2

'1

'1

'1

222

222

2222

11

222

222

2222

11

'2

'2

'2

'1

'1

'1

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

y

x

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

LCLCLCLC

LCCLCC

CC

LCLCLCLC

LCCLCC

CC

m

f

f

m

f

f

(6-7)

yang mana L

AEC 1 dan

32L

EIC

Dari persamaan (6-7) dapat diketahui matrik k’ , yaitu ;

f'2x

f'1x

L α

X

Y X’

Y’

1

2

d'2y

d'1y

'2

'1



92

2

22

2

22

2222

11

2

22

2

22

2222

11

'

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

LCLCLCLC

LCCLCC

CC

LCLCLCLC

LCCLCC

CC

k (6-8)

Dengan mengkombinasikan persamaan (6-1) dan (6-2) maka, koordinat lokal dan

global dapat dihubungkan dengan persamaan berikut ini.

2

2

2

1

1

1

'

2

'

2

'

2

'

1

'

1

'

1

1000000000

00000001000000

0000

y

x

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

CS

SC

CS

SC

d

d

d

d

(6-9)

Sehingga dapat diketahui bahwa matrik transformasi yang meliputi efek gaya

aksial lokal adalah ;

1000000000

00000001000000

0000

CS

SC

CS

SC

T (6-10)

Dengan menggunakan persamaan yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya

bahwa untuk menghubungkan matrik kekakuan lokal dan global adalah

menggunakan hubungan seperti dibawah ini;

TkTk T ' (6-12)

Sehingga dengan mensubtitusi persamaan (6-8) dan (6-10) ke dalam persamaan

(6-12) maka didapat matrik kekakuan global yang meliputi effek gaya aksial.



93

I

C

L

IC

L

IAS

S

L

ICS

L

IAS

L

IACSimetri

IC

L

IS

L

II

C

L

IC

L

IASCS

L

IAC

L

IC

L

IAS

S

L

ICS

L

IAS

L

IACS

L

ICS

L

IAS

L

IAC

x

L

Ek

4

62

2

122

6

2

122

2

122

266

4

62

2

122

2

1262

2

122

6

2

122

2

1226

2

122

2

122

(6-13)

Contoh 6.1

Gambar 6.3 menunjukkan suatu frame yang dijepit pada node 1 dan 4.

Frame tersebut mendapat gaya horizontal sebesar 1000 N pada node 2 dan

moment sebesar 500 N.m pada node 3. Global koordinat dan panjang dari masing-

masing batang ditunjukkan pada gambar. Diasumsikan untuk semua elemen,

harga E = 100 GPa., A = 0,04 m2 dan I= 0,0002 m

4

Gambar 6.3 Frame 2 dimensi

Untuk menyelesaikan ini maka, langkah pertama adalah menyusun matrik

kekakuan tiap elemen dengan menggunakan persamaan (6-13) dan rotasi

berlawanan dengan arah jarum jam diasumsikan positif.

10 m

5 m

5 m

1

2

3

4

1

2

3

F =1000 N

M =500 Nm

y

x



94

Elemen 1

090CosC 190SinS

222111 yxyx dddd

80001201200120

04000000400000

120024120024

40001208000120

04000000400000

120024120024

4101k

Elemen 2

2

1315cos C 2

1315sin S

333222 yxyx dddd

1600240240800240240

24040096399042404009640048

24039904400962403990440096

8002402401600240240

24040096399042404009639904

24040048400962403990440096

4102k

Elemen 3

0270CosC 1270 SinS

444333 yxyx dddd

160002408000480

08000000800000

240096004800192

800048016000480

08000000800000

48001924800192

104k



95

Selanjutnya matrik kekakuan struktur mempunyai dimensi 12x12 karena struktur

ini mempunyai 4 node dan pada masing-masing node mempunyai 3 derajat

kebebasan.

111 ydxd 222 ydxd 333 ydxd 444 ydxd

160002408000480000000

08000000800000000000

240096004800192000000

80004803200240240800240240000

0800000240120096399042404009640048000

480019224039904402882403990440096000

0008002402402402403604000120

000240400963990424080096399040400000

00024040048400963603990440120120024

00000040001208000120

00000004000000400000

000000120024120024

410k

Dengan menggunakan hubungan F=Kd, maka;

4

2

4

3

2

3

2

2

2

1

1

1

160002408000480000000

08000000800000000000

240096004800192000000

80004803200240240800240240000

0800000240120096399042404009640048000

480019224039904402882403990440096000

0008002402402402403604000120

000240400963990424080096399040400000

00024040048400963603990440120120024

00000040001208000120

00000004000000400000

000000120024120024

40

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

1

yd

xd

yd

xd

yd

xd

yd

xd

M

yF

xF

M

yF

xF

M

yF

xF

M

yF

xF

Selanjutnya kondisi batas disubtitusikan pada persamaan diatas, dan menjadi

sebagai berikut;

0

0

0

3

2

3

2

2

2

0

0

0

160002408000480000000

08000000800000000000

240096004800192000000

80004803200240240800240240000

0800000240120096399042404009640048000

480019224039904402882403990440096000

0008002402402402403604000120

000240400963990424080096399040400000

00024040048400963603990440120120024

00000040001208000120

00000004000000400000

000000120024120024

401

000

5000000

1000000

yd

xd

yd

xd



96

Karena kondisi batasnya homogen maka disederhanakan menjadi:

3

3

3

2

2

2

4

3200240240800240240

240120096399042404009640048

24039904402882403990440096

800240240240240360

24040096399042408009639904

24040048400963603990440120

10

5000000

1000

y

x

y

x

d

d

d

d

Sehingga didapat nilai-nilai sebagai berikut;

13.62 xd 115.02 yd rad110.12 285.63 xd 078.03 yd

rad483.03

6.2. Tumpuan Miring

Gambar 6.4 menunjukkan suatu frame dengan salah tumpuannya

membentuk kemiringan terhadap koordinat global. Untuk menyelesaikan ini maka

node pada tumpuan dapat ditransfomasikan dari koordinat global ke lokal dengan

menggunkan persamaan (6-9), dan untuk salah satu node dapat kita tulis kembali

sebagai berikut.

1

1

1

'1

'1

'1

10000

y

x

y

x

d

d

CSSC

d

d

(6-14)

Gambar 6.4 Frame dengan tumpuan miring

Selanjutnya dengan dengan menggunakan persamaan (3-81)

'dTKTfT T

III (6-15)

atau jika dijabarkan akan menjadi sebagai berikut;

F

Y

X X’

Y’

α

1 2

3



97

3

'3

'3

2

2

2

'1

1

1

3

'3

'3

2

2

2

1

1

1

'

'

y

x

y

x

y

x

T

II

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

d

d

TKT

M

F

F

M

F

F

M

F

F

(6-16)

6.3. Grid

Berbeda dengan frame atau truss, pada grid, beban yang bekerja

mempunyai arah tegak lurus dengan bidang grid. Gambar 6.5 menunjukkan

contoh arah beban dari grid.

Gambar 6.5 Beban tegak lurus pada bidang struktur, disebut grid.

Selanjutnya matrik kekakuan dan rumus elemen untuk grid dijabarkan.

Karena bentuk dan arah beban sedemikian rupa, maka derajat kebebasan yang

dapat terjadi pada masing-masing node pada elemen grid dapat diidentifikasikan,

seperti ditunjukkan pada Gambar 5.6, yang mana derajat kebebasan pada masing-

masing node, yaitu d’1y menyatakan defleksi ke arah sumbu y , ’ix dan ’iz

adalah putaran torsi masing-masing terhadapsumbu x dan y, f'iy adalah gaya

vertikal pada masing-masing node dan untuk gaya aksial f'ix=0 , m'iz dan m'ix

adalah momen terhadap masing-masing sumbu x dan z.

x

y

z

F1

F2



98

Gambar 6.6 Elemen grid dengan derajat kebebasan pada masing-masing node

Untuk menurunkan matrik kekakuan lokal pada elemen grid, maka kita

harus memperhitungkan pengaruh torsi ke dalam matrik kekakuan dasar batang.

Untuk memudahkan disini kita tulis kembali rumus matrik kekakuan dasar sesuai

dengan rumus (4-13).

22

22

3

4626

6126122646

612612

LLLL

LLLLLL

LL

L

EIk

(6-17)

L

x'

y'

z'

1 2

f'1y , d’1y f'2y , d’2y

m'1z , ’1z

m'1x , ’1x m'2x , ’2x

m'2z , ’2z



DAFTAR PUSTAKA

Grandin, Hartley. Jr. “Fundamentals of The Finite Element

Method”. Mac Millan Publishing Company.

Yang, T.Y. “Finite Element Structural Analysis”. Prentice Hall

International Series.

Bathe, Klaus-Jurgen. “Finite Element Procedurs”. Prentice Hall

International Editions.

Zienkiewicz, O.C. “The Finite Element Method”. London:

Mc.Graw-Hill.

Zahavi Eliahu. “The Finite Element Method in Machine Design”.

New York: Prentice-Hall International Editions.

R., Thomas J. Hughes. “The Finite Element ethod”. Prentice Hall

Inc.

Cook, Robert D. “Concepts and Aplications of Finite Element

Analysis”. New York: John Willey & Sons Inc.

Knight, Charles E. “The Finite Element Method in Mechanical

Design”. PWS Kent Publishing Company.

Soeharjo. “Analisis Numerik”. Surabaya: ITS.

Triatmojo, Bambang. “Metode Numerik”. Bandung: ITB.

Munif, A. “Penguasaan dan Penggunaan Metode Numerik”.

Scheid, Fracis. “Theory and Problems of Numerical Analysis”.

New York: Mc.Graw-Hill. Inc.

Atkinson, Kendall. “Elementary Numerical Analysis”. New York:

John Willey & Sons.

Atkinson, Kendall. “An Introduction to Numercial Analysis”. New

York: John Willey & Sons.

Tejo Sutikno. “Aljabar Matrik”.



RENCANA PROGRAM DAN KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER ( RPKPS )

( Lembar 1 )

MATA KULIAH : METODE ELEMEN HINGGA Kode Mata Kuliah : TKM 4204

SEMESTER : GENAP

JUMLAH SKS : 3 ( W )

DOSEN : -

PRASYARAT : TKM 4111, 4202

KOMPETENSI YANG DIHARAPKAN DAPAT DICAPAI OLEH PESERTA ( TIU DAN TIK )

Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa dapat :

1 Menjelaskan konsep dasar metode elemen hingga dan memformulasikan problem teknik dalam model.

2 menyelesaikan pemodelan problem teknik dalam struktur, frame, shell/plat pada matra garis, 2D, 3D.

PUSTAKA YANG DIGUNAKAN

1 Reddy J. N., "An Introduction to the Finite Element Method", Second Edition, Mc Graw-Hill, Inc.

2 Zienkiewicz O. C. and Taylor R. L., "The Finite Element Method", Fifth Edition, Vol 1-3, Butterworth-Heinemann.

3 Team pengajar Metode Elemen Hingga Universitas Brawijaya, Diktat Metode Elemen Hingga.

4 Grandin, Hartley. Jr. “Fundamentals of The Finite Element Method”. Mac Millan Publishing Company.

5 Yang, T.Y. “Finite Element Structural Analysis”. Prentice Hall International Series.



RENCANA PROGRAM DAN KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER ( RPKPS )

( Lembar 2 )

PERTEMUAN

KE (1)

POKOK BAHASAN

(2)

SUB POKOK BAHASAN (3)

JENIS KEGIATAN

PEMBELAJARAN (4)

BENTUK TUGAS (5)

BOBOT NILAI (6)

TAKSONOMI

(7)

1 2 3 4 5 6

1

BAB I. PENDAHULUAN

- Penjelasan materi, referensi dan sistem penilaian

Kuliah v v

-

Sejarah Perkembangan Metode Elemen Hingga

Kuliah v v

- Peranan Komputer Kuliah v v

2

- Prosedur Umum Metode Elemen Hingga

Kuliah v v

- Matrik Kuliah v v



BAB II. METODE KEKAKUAN/ PERPINDAHAN

- Definisi Matrik Kekakuan

Kuliah v v

3

- Penurunan Matrik Kekakuan untuk Elemen Pegas

Kuliah v v

- Penggabungan Elemen Pegas

Kuliah v v

4

-

Penggabungan Matrik Kekakuan dengan Superposisi (Metode Kekakuan Langsung)

Kuliah v v

- Kondisi Batas Kuliah

Problem solving mandiri *) v v v

- Pendekatan Energi Potensial

Kuliah Problem solving

mandiri *) v v v

5 QUIZ I : Materi BAB I dan II *)

6 BAB III. PERSAMAAN DAN MATRIK

- Matrik Kekakuan Elemen Batang pada Koordinat Lokal


mandiri *) v v v



KEKAKUAN UNTUK STRUKTUR

- Transformasi Vektor 2 Dimensi

Kuliah v v v

- Matrik kekakuan Global


mandiri *) v v v

7

- Tegangan pada Batang di Bidang 2 Dimensi


mandiri *) v v v

- Penyelesaian Truss 2 Dimensi


mandiri *) v v v

8

-

Transformasi Matrik Kekakuan untuk Batang pada 3 Dimensi (ruang)


mandiri

*) v v v

- Tumpuan Miring Kuliah


9 BAB IV. KEMIRINGAN DAN LENDUTAN PADA BATANG

- Kekakuan Batang Kuliah


10 - Beban Merata Kuliah




11 QUIZ I : Materi Bab III dan IV *)

12 BAB V. DEFLEKSI/ LENDUTAN (SPECIAL CASES)

- Metode Analitis dengan Metode Castigliano

Kuliah v v

13 -

Pemodelan Kasus Lendutan dengan Metode Elemen Hingga


Studi Perbandingan

mandiri *) v v v

14 BAB VI. STRUKTUR

- Elemen Beam 2-D Arah Orientasi Sembarang


mandiri *) v v v

- Tumpuan Miring Kuliah v v

- Grid Kuliah v v

15

BAB VII. SOFTWARE BERBASIS METODE ELEMEN HINGGA

- Pemanfaatan Software Berbasis Elemen Hingga


mandiri *) v v v v

16 QUIZ II : Materi BAB V - VII *)



KETERANGAN :

(1) Cukup jelas

(2) Cukup jelas

(3) Cukup jelas

(4) Jenis kegiatan pembelajaran bisa berupa :

Kuliah berisi penjelasan mengenai suatu teori, penyelesaian suatu masalah matematis, pemodelan masalah fisis dalam bentuk matematis dan penyelesaiannya.

Problem solving adalah penyelesaian dari suatu soal, baik soal yang diberikan dalam pertemuan sebelumnya ataupun soal yang diberikan dalam pertemuan tersebut (merupakan tugas mandiri).

(5) Bentuk tugas : soal – soal matematis atau fisis yang harus diselesaikan secara mandiri oleh setiap mahasiswa, diberikan setiap

pertemuan dan akan dibahas (dipresentasikan) dalam pertemuan berikutnya (6) Nilai Akhir = 30% (nilai rata-rata tugas mandiri) + 30% (nilai rata-rata Quiz) + 40%(nilai UAS)

(7) Di isi tingkat kedalaman proses pemahaman : 1 s/d 6

1. Remember 2. Understand

3. Apply 4. Analyze 5. Evaluate 6. Create

Metode Elemen Hingga

Documents