Mehanika - B. Mišić

UNIVERZITET U ISTOČNOM SARAJEVU

SAOBRAĆAJNI FAKULTETDOBOJ Ul. Vojvode Mišića br.52 Doboj

dr Boško Mišić

Doboj 2008



[1] Alfirević, I.: Nauka o čvrstoći I, Tehnička knjiga, Zagreb 1997.

[2] Bazjanac, D.: Zbirka zadataka iz tehničke mehanike - Statika, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb 1967.

[3] Gavrić,B.:Otpornost materijala,Viša Tehnička Škola, Doboj 2005.

[4] Beer F.P. & Johnston, E.R. Jr.: Vector Mechanics for Engineers: STATICS, McGraw-Hill Book Company, New York 1985

[5] S.M.Targ.: Teorijska mehanika, Građevinska knjiga, Beograd,1971

[6] Berezova, O.A. i dr.: Teoretičeskaja mehanika, Zbornik zadač, Visšaja škola, Kiev, 1980.

[7] Brnić, J.: Mehanika i elementi konstrukcija, Školska knjiga, Zagreb, 1993.

[8] Holzmann, G., Meyer, H., Schumpich, G.; Technische Mechanik, Kinematik und Kinetik, B.G. Teubner, Stuttgart, 1991

[9] Kolesnikov, K.S.: Zbornik zadač po teoretičeskoj mehanike, Nauka, Moskva, 1983.

LITERATURA



1. UVODNI POJMOVI

1. Što je to kruto tijelo?

2. Što je sila?

3. Što je masa tijela i čime se mjeri?

4. Koji se mjerni sistem koristi u Tehničkoj mehanici?

5. Kako glase osnovni zakoni mehanike (Newton)?

6. Kako glase aksiomi Statike?

1. Što je to kruto tijelo?

Kruto je tijelo idealizirano ĉvrsto tijelo. Ono se pod djelovanjem opterećenja ne

deformiše - ne mijenja svoj oblik i dimenzije.

2. Što je sila?

Sila je usmjerena ili vektorska veličina koja je odreĎena

pravcem djelovanja, hvatištem, veličinom i smjerom.

Sila se moţe objasniti kao meĎusobno djelovanje

materijalnih tijela koja nastoji promijeniti stanje kretanja tijela.

Sila moţe tijelo ubrzati i moţe ga deformisati

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/B_uvodni_pojmovi/B_o_001.htm








. 3. Što je masa tijela i ĉime se mjeri?

Masa se tijela definiše u fizici kao mjera tromosti ili inercije tijela, a jedinica joj je

kilogram (kg).

Jedan je kilogram odreĎen etalonom koji se čuva u Sevresu (Sevru) Francuskoj.

4. Koji se mjerni sistem koristi u Tehniĉkoj mehanici?

U Tehničkoj se mehanici primjenjuje MEĐUNARODNI SISTEM JEDINICA (SI).

Za Tehničku su mehaniku vaţne:

Veliĉina: Mjera:

Naziv Oznaka Jedinica Naziv

dužina l m metar

vrijema t s sekunda

masa m kg kilogram

sila F N njutn



5. Kako glase osnovni Njutnovi zakoni mehanike (Newton)?

Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili stanju jednolikog pravolinijskog kretanja sve dok

neka sila koja djeluje na njega ne promijeni to stanje. (Zakon tromosti)

Ubrzanje (vektor!) (promjena brzine) proporcionalno je sili koja djeluje na tijelo, a zbiva

se u smjeru djelovanja sile. (Zakon proporcionalnosti sile i ubrzanja)

Dva tijela djeluju uvijek jedno na drugo silama koje su po veličini jednake, ali suprotnog

smjera. (Princip akcije i reakcije)

6. Kako glase aksiomi Statike?

1. Ako na kruto tijelo djeluju dvije sile, ono će biti u ravnoteţi ako su sile kolinearne,

jednake po veličini, i suprotnog smjera. Kolinearne sile su one sile koje leţe na

istom pravcu.



2. Rezultatnta se dviju sila koje djeluju u istoj tački krutog tijela odreĎuje po zakonu

paralelograma. Umjesto paralelograma moţe se upotrijebiti trokut sila. Dakle, ove se

dvije sile mogu zamijeniti rezultantom, a isto tako se ova rezultanta (dakle nova sila)

moţe rastaviti na dvije sile koje djeluju u istoj tački, a na pravcu ove rezultante.



3. Ravnoteţa ili jednoliko kretanje krutog tijela neće se promijeniti ako se tijelo oslobodi

veza i umjesto njih dodaju se krutom tijelu sile koje su jednake reakcijama veza.



4. Stanje ravnoteţe ili jednolikog kretanja neće se promijeniti ako se tijelu doda ili

oduzme uravnoteţeni sistem sila.



5. Ako deformabilno tijelo pod djelovanjem sila zauzme deformisani ravnoteţni poloţaj,

ravnoteţa se neće promjeniti ako se deformisano tijelo razmatra kao idealno kruto

tijelo. Ovaj se aksiom često naziva i princip solidifikacije ili princip ukrućenja.



2. PODJELA I METODE TEHNIĈKE MEHANIKE

Kako se dijeli Tehniĉka mehanika?

Prema karakteru problema koji se

proučavaju u teorijskoj mehanici

obično se usvaja njena podjela na

tri odvojene cjeline: Statiku,

Kinematiku i Dinamiku.

Statika proučava uslove ravnoteţe

materijalnih tijela pod dejstvom sila.

Kinematika proučava opšta

geometrijska svojstva kretanja tijela.

Dinamika proučava zakone

kretanja materijalnih tijela pod

dejstvom sila.

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/A_podjela/Frameset.htm


SAOBRAĆAJNI FAKULTETDOBOJ Ul. Vojvode Mišića br.52 Doboj Nekoliko znaĉajnih imena uTehniĉkoj mehanici u posljednjih 5 stoljeća?

Leonardo da Vinĉi (1452 - 1519), matematičar

Kopernik (1473 - 1543), teorija kretanja planeta (heliocentrični sistem)

Никола Коперник (Nikolas Koppernigk, лат. Nicolaus Copernicus, пољ. Mikołaj Kopernik, нем.

Nikolaus Kopernikus, 19. фебруар 1473. Торуњ- 24. мај 1543. Фромборк/Фрауенбург), пољско-

немачки астроном, први научник који је формулисао хелиоцентричну теорију свемирских тела.

Од 1491. до 1494. године студирао је теологију, математику, медицину и астрономију у Кракову.

Од 1496. до 1504. године студирао је црквено право, астрономију и медицину у Италији. После је

био до 1512. године лекар и повереник свом ујаку, вармијском бискупу (Warmia, црквена

кнежевина на ушћу Висле), онда до краја свог живота је био свештеник у Фрауенбургу

(Frauenburg), где је на једној кули тврђаве, која је окруживала цркву, уредио опсерваторију

(Коперников торањ) са које је посматрао небеска кретања. На темељу тих посматрања, а и

резултата до којих је дошао, написао је дело „О кружењу небеских тела“ (De revolutionibus orbium

coelestium) у 6 књига, објављено у Нирнбергу 1543. године, непосредно пред смрт. Ово дело беше

револуционарна прекретница у астрономији, и било је потстицај капиталних открића Кеплера и

Њутна.

Leonardo da Vinĉi (ital. Leonardo da Vinci; 15. april 1452 — 2. maj 1519) je bio italijanski renesansni

arhitekta, pronalazač, inţenjer, vajar i slikar. Bio je opisan kao ideal "renesansnog ĉoveka" i kao

univerzalni genije. Poznat je po svojim remek-delima, kao što su "Tajna večera" i Mona Liza, a njegovi

izumi se danas koriste u modernoj tehnologiji, iako nisu primenjivani u njegovo doba. Pomogao je razvoju

anatomije, astronomije, i graĎevinarstva.

Njegove slike se danas smatraju vrhunskim delima ovog "univerzalnog genija" kako su ga često nazivali.

Bio je fasciniran misterijom ljudskog lica i mogućnošću čitanja "pokreta duše" kroz pokrete i izraze lica.

Leonardov portret ţene fjorentinskog zvaničnika toga vremena "Mona Liza" nadaleko je poznat po

zagonetnom izrazu lica portretisane dame. Portret "Mona Liza" je prvi psihološki portret naslikan u istoriji

te se zato daje toliki značaj ovom delu.

Leonardo da Vinči je roĎen u blizini grada Vinĉi u Toskani 1452. godine, a slikarstvo i vajarstvo je učio

kod Verokija, uticajnog umetnika toga doba. Više puta se selio, menjajući gradove Italije — svuda kuda ga

je vodio posao. Pred kraj ţivota 1517, na poziv francuskog kralja da oslika dvorac u Parizu otišao je iz

Rima, gde je tada ţiveo, u Francusku. U Parizu je i umro 1519. godine.

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/A_podjela/A_s_c_leonardo.htm



http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/A_podjela/A_s_c_kopernik.htm

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8_%D1%98%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D0%BA

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%99%D1%81%D0%BA%D0%B8_%D1%98%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D0%BA

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%98%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D0%BA

http://sr.wikipedia.org/wiki/19._%D1%84%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%83%D0%B0%D1%80

http://sr.wikipedia.org/wiki/1473

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%80%D1%83%D1%9A

http://sr.wikipedia.org/wiki/24._%D0%BC%D0%B0%D1%98


http://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A4%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%BA&action=edit&redlink=1



http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%98%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%BD%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D1%98%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B2



http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%98%D0%B0


http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B8%D1%80%D0%BD%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%B3


http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%88%D0%BE%D1%85%D0%B0%D0%BD_%D0%9A%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D1%80

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%81%D0%B0%D0%BA_%D0%8A%D1%83%D1%82%D0%BD

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%98%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%98%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8_%D1%98%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D0%BA

http://sr.wikipedia.org/sr-el/15._%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BB

http://sr.wikipedia.org/sr-el/1452

http://sr.wikipedia.org/sr-el/2._%D0%BC%D0%B0%D1%98


http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%98%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%98%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%A0%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%90%D1%80%D1%85%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%87

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%98%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D1%9A%D0%B5%D1%80

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%92%D0%B0%D1%98%D0%B0%D1%80

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%A1%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%80

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%98%D0%B4%D0%B5%D0%B0%D0%BB

http://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A0%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B3_%D1%87%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D0%B0&action=edit&redlink=1

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%93%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%98%D0%B5

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%A2%D0%B0%D1%98%D0%BD%D0%B0_%D0%B2%D0%B5%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%9C%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%D0%9B%D0%B8%D0%B7%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D1%98%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%90%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D1%98%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%92%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE



http://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%92%D0%B8%D0%BD%D1%87%D0%B8&action=edit&redlink=1

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%A2%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D0%B0


http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%98%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%98%D0%B0


http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B7

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%A0%D0%B8%D0%BC

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B7




Galilej (1564 - 1642) i mnogi drugi.

Najveći impuls razvoju mehanike dao je

Newton (1643 - 1727) svojim djelom: Matematička načela prirodne filozofije.

Uvodi u mehaniku, infinitezimalni račun.

Mnogo vekova kasnije jedan italijanski naučnik, ne verujući mnogo u Aristotelove "dokaze", započeo je

sistematsku analizu i eksperimentalnu proveru zakona fizike, i time načinio suštinski preokret u shvatanju

osnovnih fizičkih pojava. Taj naučnik bio je Galileo Galilej.

Galilej je roĎen u Pizi, Italija, 1564. godine, iste godine kada je roĎen Šekspir, a umro MikelanĎelo.

Studirao je medicinu, ali fakultet nikada nije završio. Ceo svoj ţivot posvetio je nekim drugim naukama -

fizici i astronomiji. Godine 1592, kada mu je bilo 26 godina, prelazi iz rodne Pize u Veneciju gde biva

postavljen za profesora matematike na jednom vodećem Italijanskom univerzitetu

Doprinos Galileja savremenom shvatanju prostora i vremena imao je vrlo veliki značaj. Galilej je bio prvi

čovek koji je posle mnogo vekova posumnjao u neispravnost Aristotelovih učenja i Aristotelovog

shvatanja prostora, i ne samo što je mislio da je Aristotel pogrešio on je čak uspeo to i eksperimentalno

da dokaţe!

Његова студија Математички принципи филозофије природе (Philosophiae Naturalis Principia

Mathematica), објављена 1687, која описује универзалну гравитацију и три закона кретања,

поставила је темеље класичне (Њутнове) механике и послужила као пример за настанак и

развој других модерних физичких теорија. Изводећи из овог свог система Кеплерове законе

кретања планета, он је био први који је показао да се кретања тела на Земљи и кретања

небеских тела потчињавају истим физичким законима. Уједињујућа и детерминистичка моћ

његових закона довела је до револуције у науци и до даљег напретка и уздизања

хелиоцентризма.

У механици, Њутн је такође указао на један нови, велики, значај принципа одржања импулса и

момента импулса. У оптици, он је изумео рефлексиони (огледалски) телескоп и открио да се

пропуштањем беле светлости кроз стаклену призму она разлаже у спектар свих боја (у складу са

тврђењем Роџера Бејкона из 13. века). Њутн се снажно залагао у прилог честичне природе

светлости. Он је такође формулисао емпиријски закон хлађења, проучавао брзину звука и

предложио теорију о пореклу звезда..

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/A_podjela/A_s_c_galilei.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/A_podjela/A_s_c_newton.htm

http://sr.wikipedia.org/wiki/Njutnov_zakon_gravitacije

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%8A%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8_%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B8



6. Redukcija sile koja djeluje na tijelo (npr. s hvatištem u tački A) znači njezin paraleni

pomak u neku drugu tačku hvatišta, npr. B. Ovo ima za posljedicu da se tijelu mora

pridodati odgovarajući spreg sila kako bi se poništio efekt redukcije sile.

tijelo na koje djeluje sila

u tački A

odrediti ţeljenu tačku

redukcije B,

u tački B dodati uravnotežene dvije sile F, -F

3. REDUKCIJA SKUPA SILA

Što je to redukcija sile?

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/D_o_009.htm



Sile F, -F čine par (spreg) sila spreg sila je slobodan vektor

koji se moţe postaviti i u tačku B,

na ovaj je način izvršen paraleni pomak ili redukcija sile F u tačku redukcije B



Što je to statički moment sile? Statički moment sile F s obzirom na tačku O jest vektor definisan:

To je vektor s hvatištem u O i upravljen okomito na ravninu trougla OAB.

STATIĈKI MOMENT SILE I SPREG SILA



Kako se izračunava statički moment sile? Smjer se statičkog momenta sile određuje po pravilu desnog vijka, dok je njegova apsolutna vrijednost (veličina, intenzitet ili modul) jednaka:

umnošku iznosa sile i njezinog kraka, tj. udaljenosti h tačke O od pravca djelovanja sile.



Kako se izračunava moment sile obzirom na os? Statički moment sile

s obzirom na os z jest vektor, a predstavlja statički moment sile

s obzirom na tačku O u kojoj os z probija ravninu

Iznos sile jednak je projekciji sile na ravninu

koja stoji okomito na os z:

odnosno



Kako glasi Varignonov (Varinjonov ) teorem? Na ravnu krutu ploču

djeluje skup komplanarnih sila različitog pravca. Ako je rezultanta

tada je: ili skalarno

tj. statički moment rezultante skupa sila s obzirom na tačku O jednak je zbiru momenata

ovoga skupa sila s obzirom na istu tačku.

Ovo se pravilo zove momentno pravilo ili Varinjonova teorema (Varignonov teorem).

Gdje se primjenjuje Varinjonova teorema?

Varinjonova teorema ili momentno pravilo se

primjenjuje:

kod odreĎivanja poloţaja rezultante

ravanjskog skupa sila,

kod odreĎivanja poloţaja rezultante

prostornog skupa paralelnih sila,

kod odreĎivanja poloţaja teţišta,





Što je to spreg (par) sila?

Spreg sila je vektor (moment). Ovaj vektor čine dvije po iznosu jednake

suprotnosmjerne sile. Moment sprega je slobodni vektor i stoji okomito na ravninu

sprega.

Smjer je odreĎen pravilom desnog vijka, a veličina je:



Što je to rezultanta ili glavni vektor opšteg prostornog skupa sila?

Što je to glavni moment opšteg prostornog skupa sila?

Neka je zadan skup sila u prostoru

koje djeluju u tačkama

kao na slici, tada redukcijom (paralelnim

pomakom) tih sila na proizvoljnu tačku O

(centar redukcije) postoji:

• n sila u tački O, čija je

rezultanta - glavni vektor:

• n spregova sila, koji su ekvivalentni jednom rezultantnom spregu sila

glavni moment u tački O:

REDUKCIJA PROSTORNOG SKUPA SILA

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/b_prostor/D_s_016_1.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/b_prostor/D_o_016.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/b_prostor/D_o_016.htm



i se nazivaju ponekad zajedničkim imenom:

rezultanta prostornog skupa sila.



Koje su invarijante pri redukciji opšteg prostornog skupa sila?

Neka je prostorni skup sila reduciran u točki A. Rezultat je rezultanta i glavni moment

Invarijante pri redukciji opšteg prostornog skupa sila su:

1. Rezultanta redukcije se ne mijenja izborom tačke redukcije, dakle:

2. Skalarni proizvod glavnog momenta i rezultante se ne mijenja izborom tačke

redukcije, dakle:

DOKAZ: • Neka je rezultat redukcije rezultanta i glavni moment



Odrediti ţeljenu NOVU tačku redukcije B.

U tački B dodati uravnoteţene dvije sile i



• sile i čine par (spreg) sila

• spreg sila

je slobodan vektor te se moţe postaviti i u tačku B kao i glavni moment



• vektori se momenta i mogu sabrati u

• te sada u NOVOJ tački redukcije B djeluju i

• Ovime je dokazano da se glavni vektor (rezultanta

) ne mijenja izborom tačke

redukcije.



• Neka se skalarno pomnoţi gornja jednačina s slijedi:

Kako su vektori i uzajamno okomiti (skalarni proizvod takvih

vektora je jednak nuli), slijedi:

Ovime je dokazano da se skalarni umnoţak glavnog momenta i rezultante ne mijenja

izborom tačke redukcije.



Koji su primjeri kada je skalarni proizvod rezultante i momenta jednak nuli?

Skalarni proizvod glavnog momenta i rezultante je jednak nuli, dakle:

Ovo je moguće u ČETIRI slučaja:

1.Glavni je moment jednak nuli:

Kako rezultanta ne mora biti jednaka nuli, to ima za posljedicu ubrzano pravolinijsko

kretanje krutog tijela.

2. Glavni vektor - rezultanta je jednaka nuli:

Kako u ovom slučaju glavni moment ne mora biti jednak nuli, to ima za posljedicu

ubrzano rotaciono kretanje krutog tijela.

3. Glavni je moment jednak nuli i glavni vektor - rezultanta je jednaka nuli:

i

Ovim su odreĎeni uslovi ravnoteţe tijela u vektorskom obliku.



4. Ugao izmeĎu glavnog momenta i rezultante

Ovaj je slučaj moguć u dva pimjera:

a) skup paralenih sila u prostoru

b) skup ravninskih (komplanarnih) sila.



U ovim se primjerima redukcija skupa sila moţe svesti samo na glavni vektor -

rezultantu. Poloţaj se rezultante u ovim primjerima odreĎuje posebnim postupkom -

izborom posebne NOVE tačke redukcije u kojoj će moment sprega

uravnoteţiti glavni moment.

Kako se analitiĉki odreĊuje poloţaj rezultante prostornog skupa paralelnih sila?

Neka je zadat skup paralelnih sila u prostoru



Ovaj je skup moguće zamijeniti s jednom silom - rezultantom na sljedeći način:

Odabere se koordinatni sistem tako da je jedna os npr. z, paralelna sa zadatim skupom

sila. Izvrši se redukcija sila na tačku ishodišta O pri čemu je:

Momenti oko osa su:

Glavni moment:



2. Potrebno je odabrati NOVU tačku redukcije B, ali tako da se nalazi na pravcu

odreĎenim vektorom koji je OKOMIT na glavni moment . U ovoj tački

dodati skupu sila dvije uravnoteţene sile i čime se ništa ne mijenja.



3. Dvije sile i čine spreg



4. Ovaj je spreg slobodan vektor pa moţe imati hvatište u B kao i glavni moment. Iz

ovoga je vidljivo da zapravo treba odbrati iznos vektora poloţaja tako da su

veličine sprega i glavnog momenta JEDNAKI, a kako su im

smjerovi suprotni, oni će se poništiti.



5. Iz gornjih je jednačina vidljivo kako se odreĎuje iznos rezultante i iznosi komponenti

momenata iz:

slijede koordinate vektora poloţaja



REDUKCIJA RAVANJSKOG (KOMPLANARNOG) SKUPA SILA

Kako se zovu crteţi koje upotrebljavamo kod grafiĉkih metoda?

U pravilu se koriste DVA crteţa. Prvi crteţ je PLAN POLOŢAJA i on se crta u mjerilu

koje govori koliko centimetara na crteţu ogovara npr. metara u stvarnosti. Ovo se mjerilo

piše npr.

Drugi je crteţ PLAN SILA i on se crta u mjerilu koje govori koliko centimetara na crteţu

odgovara npr. kilonjutna veličine sile. Ovo se mjerilo piše npr.

Što prikazuje plan poloţaja?

U planu se poloţaja prikazuje stvarni crteţ tijela koje se analizira. Na crteţu su ucrtane

sve vaţnije kote kao i pravci djelovanja sila koja tijelo opterećuju kao i mjesta gdje se

tijelo oslanja na okolinu. Ukoliko se ucrtavaju i djelujuće (aktivne) sile, one ne moraju, u

pravilu, biti crtane u mjerilu.



Što prikazuje plan sila?

U planu se sila prikazuje uzajamni poloţaj aktivnih i reaktivnih sila kod kojih su pravci

obično definisani u planu poloţaja. Kako izgleda ovaj crteţ zavisi o metodi koja se koristi

kod rješavanja zadatka.

Kako se GRAFIĈKI odreĊuje rezultanta ravanjskog skupa sila i

kako se GRAFIĈKI odreĊuje poloţaj rezultante opšteg ravanjskog skupa sila?

Rezultanta ravanjskog skupa sila grafički se moţe odrediti na dva načina:

Grafički - pomoću pravila o trokutu sila i pomoću veriţnog poligona.

Pomoću pravila o trokutu sila:

1. nacrtati plan poloţaja skupa sila;



2. po pravilu trokuta sila u planu sila, odrediti rezultatntu od sile i sile

Kako je sila klizni vektor to se moţe pomicati u planu poloţaja po svom pravcu.

Poloţaj se rezultante u planu poloţaja nalazi u sjecištu ove dvije sile.



3. Po pravilu trokuta sila u planu sila, odrediti rezultatntu od rezultante i sile

Poloţaj te rezultante u planu poloţaja nalazi u sjecištu ove dvije sile.



4. Konačno se po istom pravilu odredi iznos i poloţaj rezultante



Cjelokupni postupak na crteţu izgleda kao na slici

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/c_ravnina/D_s_023_5.htm



Kada se i kako koristi veriţni poligon za odreĎivanje rezultante ravanjskog skupa sila?

Metoda se veriţnog poligona koristi kod grafičkih rješenja u primjerima kada se

sjecišta pojedinih sila nalaze izvan raspoloţivog prostora za crteţ.

Metoda ima objašnjenje u sljedećem postupku:

1. Neka su poznate dvije sile kojima treba odrediti iznos i poloţaj rezultante



2. U planu sila se moţe odrediti iznos rezultante

se sjecište zadatih sila npr. ne nalazi u okviru crteţa.

ali ne i poloţaj u planu poloţaja jer



3. Dodaju se ovim silama dvije uravnoteţene sile čime se ništa ne mijenja.



4. Primjenom pravila trokuta sila mogu se zbrojiti sile i u rezultantu



5. te sile i u rezultantu



6. Zbir i je opet rezultanta



7. U planu sila tačka O (pol plana sila) ima zapravo proizvoljan poloţaj jer pravac p u

planu poloţaja je proizvoljan kao i iznos uravnoteţenih sila i



8. Sve se ove "pomoćne" sile mogu u planu sila zamijeniti duţinama (polne zrake).

Paralele s ovim duţinama u planu poloţaja predstavljaju veriţnice.

9. PRAVILO: dvije polne zrake i jedna sila koje oblikuju TROKUT u planu sila, u planu

se poloţaja moraju sijeći u istoj točki.



Rezultanta se ravninskog skupa više sila grafiĉki moţe odrediti

Pomoću veriţnog poligona:

1. nacrtati plan poloţaja skupa sila;



2. nacrtati sile u planu sila; odrediti rezultatntu



3. odabrati POL plana sila O, povući polne zrake, povući veriţnicu 1 u planu poloţaja

paralelno s polnom zrakom 1 u planu sila;



4. povući veriţnicu 2 tako da prolazi sjecištem sile i veriţnice 1



5. povući sve ostale veriţnice po istom principu;



6. Rješenje: poloţaj je rezultante

POLNE ZRAKE u planu sila tvore trokut - dakle 1 i 5.

odreĎen sjecištem ONIH veriţnica čije



Kako se grafiĉki odreĊuje iznos statiĉkog momenta skupa sila u ravnini?

Pomoću veriţnog poligona:

1. nacrtati plan poloţaja skupa sila te tačku A za koju treba odrediti statički moment sila;



2. nacrtati sile u planu sila; pomoću veriţnog poligona odrediti rezultatntu - iznos i poloţaj;



3. statički moment svih sila s obzirom na točku A jednak je statičkom momentu

njihove rezultante oko iste tačke (momentno pravilo ili Varinjonov teorem);

iznos statičkog momenta rezultante s obzirom na tačku A jednak je umnošku

udaljenosti i iznosa rezultante



4. kao kontrolni postupak moţe posluţiti pravilo o sličnosti trokuta BCD i EOG gdje vrijedi:

: : = te slijedi

= = =



Kako se analitiĉki odreĊuje poloţaj rezultante opšteg ravanjskog skupa sila?

1. Nacrtati plan poloţaja skupa sila;



2. Odabere se koordinatni sistem s ishodištem O, npr. u tački

gdje je ujedno i hvatište sile pod uglom



3. potrebno je tačno definisati i hvatište sile te ugao djelovanja



4. na isti način se kotiraju i hvatišta svih ostalih sila i njihovi uglovi djelovanja;



5. Projiciraju se sve sile na osi koordinatnog sistema pri čemu je:

pri čemu je



6. Poloţaj se rezultante moţe odrediti tako da se odredi iz momentne jednadţbe

oko C jer prolazi tom točkom:

te se odredi iz momentne jednadţbe oko B jer prolazi tom točkom:



7. Poloţaj se rezultante moţe odrediti i preko

i



RASTAVLJANJE SILE NA DVIJE KOMPONENTE

Kako se rastavlja sila u dvije komponente:

pravci komponenti se sijeku a) analitički? b) grafički metodom drugog aksioma Statike?

pravci komponenti su paralelni c) analitički? d) grafički pomoću verižnog poligona?

Kako se rastavlja sila u dvije komponente, čiji se pravci sijeku - analitiĉki?

1. Potrebno je odabrati koordinatni sistem sa ishodištem u početku sile

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/d_rastav_sile_dvije/Dda_o_029.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/d_rastav_sile_dvije/Ddb_o_029.htm



http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/d_rastav_sile_dvije/Ddc_o_029.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/d_rastav_sile_dvije/Ddd_o_029.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/d_rastav_sile_dvije/Ddd_o_029.htm



2. Neka su poznati pravci i u kojim smjerovima treba rastaviti silu

3. Poloţiti, za sada nepoznate komponente sila i u proizvoljnom smjeru

(orijentaciji) na poznatim pravcima i



Projicirati sve sile na koordinatne osi pri čemu vrijedi (sila je rezultanta i ) :

i odatle rješavanjem tih jednačina slijede iznosi komponenata sila:

Ovi se zadaci mogu riješiti i trigonometrijski pomoću sinusnog ili kosinusnog poučka



Kako se rastavlja sila u dvije komponente,ĉiji se pravci sijeku - grafiĉki pomoću

drugog aksioma Statike


Da bi se sila rastavila u dvije komponente pravac sile mora se sjeći u jednoj tački s oba

zadana pravca



2. U planu sila povući paralele sa zadanim pravcima i te ucrtati sile i

tako da je sila njihova rezultanta. Prema zadanom mjerilu očitati iznose sila

i



3. U planu poloţaja sada se mogu ucrtati sile i

4. Zadatak se moţe riješiti i u planu poloţaja tako, da se kroz šiljak vektora sile povuku paralele sa zadanim pravcima i tako da nastane paralelogram OBAC

čija je dijagonala sila



5. Ucrtati sile i tako da je sila njihova rezultanta.



Kako se rastavlja sila u dvije komponente,

ĉiji su pravci paralelni zadanoj sili - analitiĉki?

1. Neka su poznati pravci i u kojim pravcima treba rastaviti silu



2. Potrebno je odabrati koordinatni sistem s ishodištem u proizvoljnoj točki A. pri čemu

je jedna os paralelna sa zadanom silom



3. Poloţiti, za sada nepoznate komponente sila i u proizvoljnom smjeru

(orijentaciji) na poznatim pravcima i

Projicirati sve sile na koordinatne osi pri čemu

vrijedi da je sila rezultanta sila i te napisati momentnu jednadţbu oko

točke A koristeći Varinjonov teorem

(momentno pravilo):

Rješavanjem ovih jednadţbi slijede iznosi

komponenata sila, dok smjerovi sila slijede iz

algebarskog predznaka rezultata:

pozitivan predznak u rješenju za iznos sile znači da

je pretpostavljeni smjer ispravan (ovo ima naročito

smisla kada je pravac sile izvan pravaca i jer će u tom slučaju sile i

biti suprotnog smjera

i



Kako se rastavlja sila u dvije komponente,

čiji su pravci paralelni zadanoj sili - pomoću veriţnog poligona?


U planu sila ucrtati silu

(to su duţine koje se povlače od pola plana sila O do početka i do kraja svake sile.

te uz odabrani pol plana sila O povući polne zrake



2. Dvije polne zrake i sila koje tvore trokut u planu sila, u planu se poloţaja sijeku u jednoj

tački tj. na pravcu sile



3. Kako je sila upravo rezultanta sila i te ako se odabere da sila ima početak u

početku sile te ako sila ima šiljak u šiljku sile znači da polna zraka 1 pripada i sili

te da polna zraka 2 pripada i sili . Mora postojati i polna zraka r koja pripada

objema silama. Ova se polna zraka naziva i razdjelnica.



4. Prema pokazanom pravilu sada se polne zrake 1 i r trebaju sijeći u planu poloţa

na pravcu sile kao i polne zrake 2 i r na pravcu



5. Sada se u planu poloţaja ucrtaju sile i a u planu se sila se očitaju njihovi iznosi.



RASTAVLJANJE SILE NA TRI KOMPONENTE

I analitiĉki:

u ravnini,

u prostoru

II grafiĉki

Kulmanova (Culmannova) metoda rastavljanje sile u tri komponente?

Rastavljanje sile u tri komponente pomoću veriţnog poligona?

III grafo-analitiĉki

Ritterova metoda rastavljanje sile u tri komponente?

Kako se rastavlja sila u tri komponente analitiĉki u ravnini?

1. Neka su poznati pravci u ravnini i

u kojim smjerovima treba rastaviti silu

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/e_rastav_sile_tri/Dea_o_00a.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/e_rastav_sile_tri/Deb_o_00b.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/e_rastav_sile_tri/Deb_o_030.htm





http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/e_rastav_sile_tri/Dec_o_031.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/e_rastav_sile_tri/Ded_o_032.htm



2. Kako se zadatak rješava analitički, potrebno je izabrati pogodan koordinatni sistem

(npr. u sjecištu dva pravca, jedna od osi paralelna s nekim od pravaca i sl.), a ako to nije

pogodno tada se ishodište kordinatnog sistema O moţe postaviti s ishodištem na pravcu

jedne sile. Neka se postavi ishodište na pravcu Kako je sila klizni vektor to se hvatište sile

Za odabrani koordinatni sistem, poznate su udaljenosti a i b od koordinatnih osi te

ugao

moţe po volji izabrati npr. u tački A.

mjeren od pozitvnog smjera x-osi.



3. Neka je po istom principu odreĎeno i hvatište sile u tački koja se poklapa

s ishodištem O. Smjer se sile moţe po volji izabrati, a ugao

pozitvnog smjera x-osi.

se mjeri od



4. Neka je po istom principu odreĎeno i hvatište sile te ugao



5. Neka je po istom principu odreĎeno i hvatište sile te ugao

6. Kako je sila upravo rezultanta sila i , vrijedi:

tj.

tj.

tj.



7. Sada se iz ove tri jednačine mogu odrediti iznosi sila i

sa smjerovima koji su zavisni o algebarskim predznacima izračunatih iznosa sila. Ako su

predznaci izračunatih iznosa pozitivni tada su prepostavljeni smjerovi ispravni i obratno.

Kako se rastavlja sila u tri komponente analitiĉki u prostoru?

Poznato je da se kod redukcije opšteg skupa sila u prostoru dolazi do glavnog vekora

(rezltante) i glavnog momenta u tački redukcije.

Glavni moment će kod ovakve redukcije iščeznuti jedino u primjeru paralelnih sila u

prostoru i konkurentnih sila u prostoru. Dakle, kod rastavljanja sile u tri komponente

to je moguće u slijedeća dva slučaja:

A - rastavljanje sile u tri paralelne sile u prostoru,

B - rastavljanje sile u tri konkurentne sile u prostoru.



A. Rastavljanje sile u tri paralelne sile u prostoru

1. Neka su poznati paralelni pravci u prostoru i treba rastaviti silu

u kojim smjerovima



2. Kako se zadatak rješava analitički, potrebno je izabrati pogodan koordinatni sistem

tako da je jedna od osi paralelna s pravcima sila. Hvatište se sile

izabrati npr. u tački

moţe po volji

a to je mjesto gdje pravac sile probada ravninu xy.

Za odabrani koordinatni sistem, poznate su udaljenosti i od koordinatnih osi

y i x. Po istom principu se odrede točke za pravac te udaljenosti od

koordinatnih osi, i tako redom.



3. Odaberu se po volji (pretpostave) orijentacije svih sila.

4. Kako je sila upravo rezultanta sila

, i , vrijedi:

5. Sada se iz ove tri jednadţbe mogu odrediti iznosi sila i

sa smjerovima koji su ovisni o algebarskim predznacima izračunatih iznosa sila.

Ako su predznaci izračunatih iznosa pozitivni tada su prepostavljeni smjerovi

ispravni i obratno.



B. Rastavljanje sile u tri konkurentne sile u prostoru

1. Neka su poznati konkurentni pravci u prostoru , i

u kojim smjerovima treba rastaviti silu .



2. Kako se zadatak rješava analitički, potrebno je izabrati pogodan koordinatni sistem tako da je ishodište koorinatnog sistema u sjecištu

, i kao i sile

. Za odabrani koordinatni sistem, poznati su uglovi

, i te iznos sile kao i uglovi , ,



, ,



, ,



3. Odaberu se po volji (pretpostave) orjentacije svih sila.



4. Kako je sila upravo rezultanta sila , i , vrijedi:

5. Sada se iz ove tri jednačine mogu odrediti iznosi sila , i

sa smjerovima koji su zavisni o algebarskim predznacima izračunatih iznosa sila. Ako su predznaci izračunatih sila pozitivni tada su prepostavljeni smjerovi ispravni i obratno.



Kako se rastavlja sila u tri komponente

Culmannovom metodom?

1. Neka su poznati pravci u ravnini , i u kojim smjerovima treba

. U ovom je postupku važno da se bar dva od poznatih

.

rastaviti silu

pravaca sijeku u planu poloţaja. U planu sila ucrtati silu



2. Na osnovu DRUGOG aksioma Statike postoji rezultanta sila i koja prolazi njihovim sjecištem u planu položaja. Sada se ovaj zadak svodi na rastavljanje sile na dvije komponente i . Neka se odabere da sila u planu sila polazi iz početka sile dok sila dolazi u šiljak sile . Kako je sila zapravo rezultanta sila i to u planu položaja sila mora ležati na pravcu koji prolazi sjecištem pravaca na kojime leže sile i .



3. Kako je sila rezultanta sila i to se iznosi ovih sila mogu odrediti

u planu sila.



4. Sada se u planu poloţaja ucrtaju sile , i , a u planu sila se očitaju

njihovi iznosi.




pomoću veriţnog poligona?

1. Neka su poznati pravci u ravnini , i u kojim smjerovima treba

. U ovom je postupku važno da se bar dva od poznatih

te uz odabrani pol plana sila O povući polne zrake (to su duţine koje se

povlače od pola plana sila O do početka i do kraja sile - ovdje je

dakle moguće samo dvije 1 i 2).

rastaviti silu

pravaca sijeku u planu poloţaja. U planu sila ucrtati silu



2. Dvije polne zrake i sila koje tvore trokut u planu sila, u planu se poloţaja sijeku u

jednoj tački tj. na pravcu sile Na osnovu DRUGOG aksioma Statike postoji rezultanta

sila i koja prolazi njihovim sjecištem u planu poloţaja. Sada se

ovaj zadak svodi na rastavljanje sile na dvije komponente i

Neka se odabere da sila u planu sila polazi iz početka sile dok sila

dolazi u šiljak sile . Ovo znači da u planu sila polna zraka 1 pripada i sili

dok polna zraka 2 pripada i sili . Dakle, u planu se položaja verižnica 1'

mora nalaziti na pravcu sile , a to je za sada jedino poznata tačka A.



3. U planu se sila, sile i (čiji pravac djelovanja je poznat - paralela s

sastaju u jednoj tački. Dakle, mora postojati i polna zraka

objema silama. Ova se polna zraka naziva i razdjelnica. U planu poloţaja veriţnica r'

leţi na pravcu AB. Ova polna zraka - razdjelnica r u planu sila presjeca poznati

pravac djelovanja sile

r koja pripada

i time odreĎuje njezin iznos, ali i iznos sile



4. Kako je sila rezultanta sila i to se veličine ovih sila mogu odrediti u planu sila.

5. Sada se u planu poloţaja ucrtaju sile i a u planu se sila se očitaju njihovi iznosi.




Ritterovom metodom?

1. Neka su poznati pravci u ravnini , i u kojim smjerovima treba rastaviti silu

. U ovom je postupku vaţno da se SVAKA DVA pravca sijeku u planu poloţaja.



2. Na osnovu momentnog pravila (Varinjonov teorem) koje govori da se statički

moment skupa sila oko neke tačke moţe zamijeniti statičkim momentom rezultante

tih sila oko te iste tačke.

Neka se ova tačka izabere baš u sjecištu pravaca sila i

skupa sila oko tačke A svodi samo na moment sile

(A) to se moment

U planu se poloţaja IZMJERE udaljenosti i te se izračuna:



3. Sada se izabere točka u sjecištu pravaca sila i

oko točke B svodi samo na moment sile

(B) to se moment skupa sila




4. Sada se izabere tačka u sjecištu pravaca sila i

sila oko tačke C svodi samo na moment sile

(C) to se moment skupa




5. Sada se u planu poloţaja ucrtaju sile i

koji su zavisni o algebarskim predznacima izračunatih sila.

s ispravnim smjerovima



4. OSLOBAĐANJE KRUTOG TIJELA

1. Što je to princip izolacije ili reza?

U opštem su primjeru konstrukcije ili mehanički sistemi uzajamno vezani na raznovrsne

načine.

Da bi se moglo analizirati djelovanje sila na jedno tijelo posmatranog sistema, potrebno

ga je izdvojiti, a umjesto veza s ostalim tijelima ili okolinom postavljaju se

odgovarajuće sile.

2. Koje vrste veza postoje?

a) Veza tijela preko uţeta ili štapa

b) Pomični oslonac - veza tijela u glatkom dodiru

c) Nepomični oslonac - zglobna veza tijela

d) Uklještenje

e) Veza tijela u dodiru uz prisustvo trenja

f) Veza tijela pomoću spiralne opruge

g) Veza tijela pomoću uţeta i kolotura

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_o_008a.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_o_008b.htm




http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_o_008c.htm




http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_o_008d.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_o_008e.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_o_008f.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_o_008g.htm



Veza tijela preko uţeta ili štapa

OslobaĎanje se tijela svodi na zamišljeno presijecanje uţeta ili štapa, te zamjena ove

veze silama s hvatištem na mjestu veze i pravcem na pravcu uţeta ili štapa, a

usmjerene od tijela prema zamišljenom presjeku.

Na ovaj se način pretpostavlja da su sile u uţetu i štapu zateţuće, što se u postupku

računanja stavlja kao pozitivni predznak izračunate veličine, a ako bi predznak

izračunate reakcije bio negativan (što ima smisla samo za štap), tada je sila u štapu

sabijajuća.



Pomični oslonac - veza tijela u glatkom dodiru

U primjerima kada se tijelo naslanja na okolinu ili drugo tijelo tako da taj kontakt ne

predstavlja nikakav otpor pomicanju tijela u dodirnoj ravnini, kaţe se da je oslonac

pomičan, a dodir gladak.

Reakcija podloge (okoline) ili drugog tijela, upravljena je okomito na dodirnu plohu

usmjerenu prema posmatranom tijelu. Dodirna ploha leţi u zajedničkoj tangencijalnoj ili

dodirnoj ravnini tijela.

Ovakav se glatki dodir moţe predočiti i simbolima kao na slici

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_s_008bb.htm



Nepomični oslonac - zglobna veza tijela

Veza tijela za okolinu ili drugo tijelo na način da nema aksijalnih pomaka, nego su

eventualni pomaci mogući kao rotacija oko točke veze - naziva se zglobna veza.

U ravninskim je zadacima sila reakcije ovakve veze proizvoljno upravljena sila u toj

ravnini. Pravac, smjer i iznos su rezultat računanja. Kod analitičkog je računanja

pogodno ovu reakciju predočiti kao dvije uzajamno okomite komponente usmjerene u

pozitivnom (ili negativnom) smjeru osi pogodno odabranog koordinatnog sistema što

vrijedi i za prostorne zadatke.



Uklještenje

Veza tijela za okolinu ili drugo tijelo tako da je onemogućen pomak ili rotacija u bilo

kojem smjeru naziva se uklještenje.

Pri analizi ovakvih veza najpovoljnije je da se na mjestu uklještenja postave tri

komponente sile reakcije usmjerene u pozitivnom smjeru osi odabranog koordinatnog

sistema te tri komponente momenta uklještenja orjentisanih oko (i u smjeru) osi

odabranog koordinatnog sistema.



Veza tijela u dodiru uz prisustvo trenja

U primjerima kada se tijelo naslanja na okolinu ili drugo tijelo tako da taj kontakt

predstavlja otpor pomicanju tijela u dodirnoj ravnini, govori se da u dodirnoj ravnini

djeluje trenje. Detaljnije o ovakvoj vrsti veze pokazano je u poglavlju o trenju.

Veza tijela pomoću spiralne opruge

Spiralna opruga je poseban tehnički element koji, kao i štap, moţe

prenositi sabijajuće ili zateţuće sile, a koje su usmjerene u smjeru

poduţne osi.

Ovakve se veze posebno primjenjuju kod tijela koja vibriraju i često u

sprezi s tzv. prigušnim elementima pridonose ublaţavanju efekta udara

vibriranja



Veza pomoću opruge isto je tako pogodna kada neki element strukture treba zauzeti po

volji pogodan, ali uravnoteţen poloţaj



Veza tijela pomoću uţeta i kolotura

Kolotur je takav tehnički element koji u pravilu sluţi za promjenu smjera djelujuće sile.

Kako se u pravilu trenje koje djeluje u leţajevima kolotura moţe zanemariti prema

iznosu sile u uţetu, iznos sile u uţetu je nepromijenjen.

Kolotur moţe biti nepomiĉan ili pomiĉan.

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_s_008g.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_s_008gg.htm



Kombinacijom pomičnih i nepomičnih kolotura, moţe se ostvariti efekt smanjenja sile u

uţetu prema djelujućoj sili poteznika pomičnih kolotura,

( Arhimedov koloturnik ).

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_s_008ggg.htm



5. USLOVI RAVNOTEŢE TIJELA

Što je to ravnoteţa tijela u smislu glavnog vektora i glavnog momenta?

Tijelo je u ravnoteţi kada su rezultanta sila i glavni moment jednaki nuli što se u obliku

vektorskih jednadţbi piše:

Što je to ravnoteţa tijela u analitičkom smislu?

U primjeru OPŠTEG sistema sila opterećenog tijela u PROSTORU, vektorski se način

moţe zamijeniti u obliku sistema od šest algebarskih jednaĉina gdje su iznosi

rezultante svih sila u smjeru koordinatnih osi i momenti svih sila oko triju koordinatnih osi

ravni nuli.

Ovdje je moguće je riješiti šest nepoznatih veličina.



SISTEM SILA U PROSTORU

Koje se jednačine ravnoteţe postavljaju kod opšteg prostornog skupa sila?

Postavlja se sistem od šest algebarskih jednačina gdje su sume svih sila u smjeru

koordinatnih osi i momenti svih sila oko triju koordinatnih osi jednaki nuli.

Ovdje je moguće riješiti šest nepoznatih veličina.



Odrediti sile u uţetima 1 i 2, te komponente reakcije u osloncu A grede ABC zadane

i opterećene prema slici. Zadano:

Rješenje

Duţina je uţeta :

Duţina je uţeta :

Jednačine ravnoteţe grede ABC za opšti

slučaj sila u prostoru:

1)

2)

3)

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/E_ravnoteza/a_prostor/E_o_p42.htm



4)

5 ) Kako se sve sile sijeku na y-osi, onda nijedna od njih nema momenta

obzirom na ovu os te je ova jednačina riješena.

6)

Ovo je sistem od pet raspoloţivih jednačina te se njima moţe odrediti pet nepoznanica:

tri komponente reakcije u osloncu A i dvije sile u uţetima.

Iz posljednje (šeste) jednačine slijedi izraz te uvrštavanjem u četvrtu

jednačinu slijedi:



Iz prve jednačine:

Iz druge jednačine:

Iz treće jednačine:

Veličina reakcije u osloncu A:



Koje se jednačine ravnoteţe postavljaju kod prostornog skupa paralelnih sila?

Posmatrano tijelo opterećeno sistemom paralelnih sila u prostoru paralelnih npr. s

koordinatnom osi z, potrebno je osloboditi veza, a veze zamijeniti odgovarajućim silama ili

momentima.

Tijelo je u ravnoteţi kada su rezultanta sila i moment jednaki nuli što se u obliku

vektorskih jednadţbi piše:

Ovaj se vektorski način ovdje moţe zamijeniti sistemom od tri algebarske jednaĉine

gdje su iznosi rezultante svih sila u smjeru osi z i momenti svih sila oko dvije osi x i y

jednaki nuli. Ovdje je moguće riješiti tri nepoznate veličine.



Koje se jednačine ravnoteţe postavljaju kod prostornog skupa konkurentnih sila?

Tijelo je u ravnoteţi kada je rezultanta sila jednaka nuli što se u obliku vektorske

jednačine piše:

Ovo znači da vektorski zbir svih aktivnih i reaktivnih sila mora izjednačiti tj. iznos je

rezultante svih sila ravan nuli. Kako se sve sile sijeku i jednoj taĉki, to se ishodište

koordinatnog sistema moţe postaviti u tačku sjecišta, što znači da ni jedna sila nema

momenta. Time je momentna jednačina

zadovoljena.

Ovaj se vektorski način ovdje moţe zamijeniti sistemom od tri algebarske jednaĉine

gdje su iznosi rezultante svih sila u smjeru koordinatnih osi ravni nuli. Ovdje je moguće

riješiti tri nepoznate veliĉine i to u obliku sila veza.

Znači, promatrano tijelo (praktično samo čvorna točka) treba osloboditi veza s

okolinom te ove veze zamijeniti odgovarajućim silama poznatog pravca i nepoznate

veličine. Smjer se sila pretpostavi (obično kao zateţuće djelovanje), pa ako rezultat

računanja za neku silu bude negativnog predznaka, to znači da je izračunata sila

suprotnog smjera od pretpostavljenog.



Za sistem zadan prema slici odrediti sile u štapovima BD, BC i AB. Zadano:

Rješenje

Duţine štapova su:

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/E_ravnoteza/a_prostor/E_o_p41.htm



Ovdje se radi o konkurentnom skupu sila u prostoru te se sile u štapovima (koje se sve

pretpostavljaju zateţuće) mogu izračunati postavljanjem tri jednačine ravnoteţe:



Ako se izrazi i uvrste u drugu jednačinu slijedi:



RAVNOTEŢA RAVANJSKOG (KOMPLANARNOG) SISTEMA SILA

Kako glasi teorem o ravnoteţi tri neparalelne sile? U planu je sila zatvoren TROUGAO sila i u planu se poloţaja sve tri sile sijeku u jednoj

taĉki.

Dokaz teorema: • neka u ravnini postoje tri neparalelene sile;



• na osnovu DRUGOG aksioma Statike, dvije se sile mogu zamijeniti jednom silom koja

je njihova rezultanta;

• sada zapravo u planu poloţaja postoja dvije sile;



• na osnovu PRVOG aksioma Statike, dvije se sile mogu poništiti samo ako leţe na istom

pravcu, jednakog iznosa i protivnog smjera djelovanja. Radi ovoga pravac djelovanja

treće sile mora prolaziti SJECIŠTEM prethodne dvije.

• u planu sila treća sila ima početak u vršku rezultante prve dvije, a kako se mora

poništiti s njom, treba šiljkom završiti u njenom početku. Za ovako nastali lik se kaţe da

je ZATVOREN trokut sila.



Kada se i kako primjenjuje Culmannova metoda kod ravnoteţe?

Culmannova je metoda prikladna za rješavanje onih zadataka ravnoteţe gdje se

analizira, u pravilu, samo jedno tijelo opterećeno obično samo jednom vanjskom silom

(najčešće vlastitom teţinom). Drugi vaţan uslov je da se poznati pravci bar dviju

nepoznatih veličina sila sijeku u okviru crteţa plana poloţaja dok se treći poznati

pravac nepoznate sile treba sijeći s poznatim pravcem sile vanjskog opterećenja.

Princip se temelji na Drugom aksiomu Statike i na Teoremu o ravnoteţi tri

neparalene sile. Metoda je čisto grafička. Potrebno je crtati plan poloţaja i plan sila u

mjerilu.

POSTUPAK

Poznati pravci bar dviju nepoznatih veličina sila koji se sijeku imaju, na osnovu Drugog

aksioma Statike, rezultantu čiji pravac prolazi tim sjecištem. Ovime za analizu

postoje TRI sile koje su u ravnoteţi: sila

se na njih moţe primjeniti Teorem o ravnoteţi tri neparalelne sile.

, vanjska sila i preostala nepoznata sila te



Odrediti grafički (metodom po Culmannu) silu u uţetu CD, te reakcije u A i B za

homogenu gredu teţine

uspravni zid i glatku kosu podlogu u točkama A i B. Zadano je:

koja se nalazi u ravnoteţi oslonjena na glatki

Rješenje

Primijena Culmannove metode:

• oslobotiti tijelo veza,

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/E_ravnoteza/b_ravnina/E_o_p44cul.htm



• pretpostavi se da sila u uţetu i reakcija u tački B imaju rezultantu

koja mora prolaziti tačkom M tj :

• na osnovu teorema o ravnoteţi tri neparalelne sile, u ravnoteţi su sile: i ,

• u planu poloţaja ove sile sijeku se u jednoj tački, a u planu sila zatvaraju trougao sila!



• sila se rastavi na i



Kada se i kako se primjenjuje Ritterova metoda kod ravnoteţe?

Riterova je metoda prikladna za rješavanje onih zadataka ravnoteţe gdje se analizira, u

pravilu, samo jedno tijelo. Drugi vaţan uslov je da se poznati pravci triju nepoznatih

iznosa sila sijeku meĎusobno u okviru crteţa plana poloţaja.

Princip se temelji na Momentnom pravilu (Varinjonov teotem) za slučaj ravnoteţe.

Metoda je grafo-analitička. Potrebno je crtati plan poloţaja u mjerilu.

POSTUPAK

U tački u kojoj se poznati pravci dviju nepoznatih veličina sila sijeku postavi se

MOMENTNA JEDNAĈINA RAVNOTEŢE. Ovo daje jednačinu samo s jednom

nepoznatom - iznos treće nepoznate sile. Pri ovome se krakovi svih sila izmjere u planu

poloţaja. Ovaj se postupak treba ponoviti za još dva preostala sjecišta.



Homogena je kruţna ploča poluprečnika r = 25 cm i teţine

učvršćena s tri štapa i opterećena silom

Odrediti sile u štapovima 1, 2 i 3 grafo-analitičkom metodom po Ritteru.

, prema slici.



Rješenje

Rješenje metodom po Ritteru:

Ovdje se radi o opštem ravanjskom skupu sila te je moguće postaviti TRI momentne

jednačine ravnoteţe.

Pravci sila, koje djeluju kao reakcije u štapovima, sijeku se uzajamno u okviru crteţa, a

to je preduslov primjene metode po Ritteru.

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/E_ravnoteza/b_ravnina/E_o_p47rit.htm







Kada se i kako se primjenjuje metoda veriţnog poligona kod ravnoteţe?

Metoda je prikladna za rješavanje onih zadtaka ravnoteţe gdje se analizira, u pravilu,

jedno tijelo ili više tijela zglobno povezanih, opterećeno s više vanjskih sila koje mogu

biti meĎusobno paralelne. Jedan vaţan uslov je da se poznati pravci bar dviju

nepoznatih iznosa sila sijeku u okviru crteţa plana poloţaja.

Princip se zasniva na sličnom postupku kao kod rastavljanja poznate sile na tri

komponente samo se OVDJE radi o RAVNOTEŢI. Potrebno je crtati plan poloţaja i plan

sila u mjerilu.

POSTUPAK

• posmatrano se tijelo oslobodi veza s okolinom ili s ostalim tijelima (ako postoje) te ove

veze zamijene silama poznatog pravca, za sada nepoznatog iznosa i smjera.

• U planu sila nacrta se poligon zadanih (poznatih) sila proizvoljnim redoslijedom.

• Nepoznate se sile, kojih u opštem pa i u ovom primjeru ne smije biti više od tri,

povlače posljednje. Jedna od nepoznatih sila, čiji je pravac djelovanja poznat i smjer

pretpostavljen, počinje npr. u šiljku zadnje poznate sile.



• Preostale se dvije (koje se u planu poloţaja sijeku u jednoj tački), a kao njihova

rezultanta (na osnovu Drugog aksioma Statike) završava svojim šiljkom u početku prve

zadane (poznate) sile

• Granica će izmeĎu ove dvije nepoznate sile biti odreĎena polnom zrakom -

zaključnicom s'.

• U planu sila odabere se pol P te povuku i označe polne zrake za sve poznate

ucrtane sile.

• U planu poloţaja nacrta se veriţni poligon - dvije polne zrake i sila koje stvaraju

trokut u planu sila, u planu se poloţaja sijeku u jednoj tački na pravcu te sile.

• Prva se veriţnica treba povući i kroz sjecište dvije nepoznate komponente jer je to

sigurno, u prvom pristupu, jedina poznata tačka pomoćne rezultante ove dvije

komponente.

• Prva i posljednja veriţnica presijecaju pravce nepoznatih sila te se kroz te dvije tačke

povuče zaključnica s' (veriţni poligon zatvoren!) i paralelno prenese u plan sila kroz

pol P (ovdje s).

• Tamo gdje zaključnica s presječe pravac prve povučene nepoznate sile odreĎena je

granica gdje završava ta sila, te gdje počinje pomoćna rezultanta.

• Na ovaj su način odreĎeni i iznosi nepoznatih sila, a plan sila ovim je postupkom

zatvoren.

• Pomoćnu je rezultantu potrebno sada rastaviti na dvije komponente u početku

nepoznatih sila.



Homogena je kruţna ploča poluprečnika r = 25 cm i teţine

učvršćena s tri štapa i opterećena silom

Odrediti sile u štapovima 1, 2 i 3 metodom verţnog poligona.

, prema slici.

Rješenje

Rješenje metodom veriţnog

poligona:

Ovdje se radi o opštem

ravanjskom skupu sila.

Bar se dva pravca sila koje djeluju

kao reakcije u štapovima sijeku u

okviru crteţa, a to je preduslov

primjene metode veriţnog poligona

u ovakvim primjerima.

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/E_ravnoteza/b_ravnina/E_o_p47ver.htm



POSTUPAK

1. Posmatrana se kruţna ploča oslobodi veza s okolinom te ove veze (štapovi) zamijene

silama s pravcem usmjerenim kao i štapovi, za sada nepoznate veličine. Smjer ovdje (u

prvom koraku) nije bitan, a moţe se pretpostaviti kao zatezna. U planu se sila nacrta

poligon zadatih (poznatih) sila proizvoljnim redoslijedom te nacrtaju polne zrake.



2. Jedna od nepoznatih sila, npr.

pretpostavljen, počinje npr. u vrhu zadnje poznate sile

, čiji je pravac djelovanja poznat i smjer

Preostale se dvije sile (koje se u planu poloţaja sijeku u tački K), a kao njihova

rezultanta (na osnovu Drugog aksioma Statike) završava svojim vrhom u početku

prve ucrtane sile, ovdje . U planu poloţaja nacrta se veriţni

- dvije polne zrake i sila koje stvaraju trougao u planu sila, u planu se poloţaja sijeku

u jednoj tački na pravcu te sile.

poligon

3. Granica će izmeĎu ove dvije nepoznate sile i

- zaključnicom s'.

biti odreĎena polnom zrakom

4. Prva se veriţnica treba povući i kroz

sjecište K dvije nepoznate komponente

jer je to sigurno, u prvom pristupu, jedina

poznata tačka pomoćne rezultante

ove dvije sile.



5. Prva i posljednja veriţnica (1' i 3') u planu poloţaja presijecaju pravce nepoznatih sila

i

(tačka K) te se kroz te dvije tačke povuče zaključnica s' (veriţni poligon

zatvoren!) i paralelno prenese u plan sila kroz pol O (ovdje s).

6. Tamo gdje zaključnica s presječe pravac prve povučene nepoznate sile

odreĎena je granica gdje završava ta sila, te gdje počinje pomoćna rezultanta

7. Na ovaj su način odreĎeni i iznosi nepoznatih sila, a plan sila ovim je postupkom

zatvoren.



8. Pomoćnu je rezultantu potrebno sada rastaviti na dvije komponente



Kako glase grafički uslovi ravnoteţe opšteg skupa sila u ravnini?

U planu sila zatvoren poligon sila i u planu poloţaja zatvoren veriţni poligon.

Kako glase i koliko jednačina ravnoteţe postoji kod opšteg ravanjskog skupa sila?

Kada se posmatrano tijelo oslobodi veza s drugim tijelima i okolinom sve sile moraju

udovoljiti uslovu da bez obzira na tačku redukcije svih sila ne smije postojati ni

rezultanta niti moment sprega sila, dakle:

i

Mogu postojati tri nepoznanice (obično sile, ali mogu biti i neke druge veličine)

potrebno je postaviti sustav od tri algebarske jednačine. Odabere se po volji koordinatni

sistem, najpovoljnije tako da je ishodište u sjecištu pravaca dviju nepoznatih sila te su

moguća tri oblika sistema algebarskih jednačina:

• zbirovi komponenti sila u smjeru dviju osi koordinatnog sistema te zbir momenta s

obzirom na bilo koju tačku moraju biti jednake nuli:

1) 2) 3)



• zbir komponenti svih sila na jednu os koordinatnog sistema i zbirovi momenta svih sila

oko dvije tačke moraju biti jednaki nuli. Ograničenje je da ove dvije tačke ne smiju leţati

na pravcu koji je okomit na tu os koordinatnog sistema:

1) 2) 3) (uz uslov da pravac

nije okomit na os x)

Zašto postoji uslov da pravac

ne smije biti okomit na os x?

Ako ovaj uslov nebi bio ispunjen

moţe se zamisliti da nakon

redukcije svih sila ipak POSTOJI

rezultanta koja bi mogla leţati na pravc u

i Jednačine: su odmah udovoljene jer rezultanta

NEMA kraka niti oko točke A niti oko točke B, a na temenlju momentnog pravila

(Varinjonov teorem) moment rezultante oko neke točke jednak je momentu svih sila

koje tu rezultantu čine.



Jednačina: je udovoljena jer je rezultanta

Ovime bi postavljene jednačine, kao uslovi ravnoteţe, bile neupotrebljive!

okomita na os x.

Ako ova okomitost nebi postojala tada bi rezultanta

na os x te bi se primjenom gornje jednačine

imala projekciju

dovelo do njenog poništavanja što je i uslov ravnoteţe! ili

zbirovi momenata svih sila oko tri tačke moraju biti jednaki nuli:

(uz uslov da tačke A, B i C nisu na istom pravcu)

Zašto postoji uslov da tačke A, B i C nisu na istom pravcu?

Ako ovaj uslov nebi bio ispunjen moţe se zamisliti da

nakon redukcije svih sila ipak POSTOJI rezultanta

koja bi mogla leţati na pravcu tačaka A, B i C.

Jednačine: su odmah udovoljene jer rezultanta

NEMA kraka niti oko točke A niti oko točke B, niti oko točke C, a na osnovu

momentnog pravila (Varinjonov teorem) moment rezultante oko neke točke jednak je

momentu svih sila koje tu rezultantu čine. Ovime bi postavljene jednačine, kao uslovi

ravnoteţe, bile neupotrebljive!



Ako bi npr. taĉka C leţala izvan pravca tada bi rezultanta

u odnosu na tačku C te bi

imala krak

se primjenom jednačine

dovelo do njenog poništavanja što je i uslov ravnoteţe!



Odrediti analitički silu u uţetu CD, te reakcije u A i B za homogenu gredu teţine

koja se nalazi u ravnoteţi oslonjena na glatki uspravni zid i glatku kosu

podlogu u točkama A i B. Zadano je:

Analitičko rješenje:

kako se ovdje radi o opštem ravanjskom skupu

sila, moguće je postaviti TRI jednačine

ravnoteţe. Homogena teška greda oslanja se u

tačkama A i B na glatke podloge te se stoga

reakcije u tim tačkama postavljaju okomito na

podlogu upravljene prema gredi. Sila se u uţetu

pretpostavlja kao zateţuća.



Rješenje

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/E_ravnoteza/b_ravnina/E_o_p44ana.htm



Kako glase i koliko jednačina ravnoteţe postoji kod ravanjskog skupa paralelnih sila?

Kada se posmatrano tijelo oslobodi veza s drugim tijelima i okolinom sve sile moraju

udovoljiti uslov da bez obzira na tačku redukcije svih sila ne smije postojati ni rezultanta

niti moment sprega sila, dakle:

Mogu postojati dvije nepoznanice (obično sile, ali mogu biti i neke druge veličine)

potrebno je postaviti sistem od dvije algebarske jednačine.

Odabere se po volji koordinatni sistem, ali tako da mu je jedna os (npr. y) paralelna sa

zadanim silama. Moguća su dva pristupa:

• zbir svih sila (na zajedničkom pravcu npr. y) i zbroj njihovih momenata s obzirom na

bilo koju tačku moraju biti jednaki nuli

ili

zbirovi momenata s obzirom na dvije tačke jednaki nuli

(uz uslov da pravac nije paralelan s osi y)

Zašto postoji uslov da pravac

ne smije biti paralelan s osi y?



Ako ovaj uslov nebi bio ispunjen moţe se zamisliti da nakon redukcije svih sila ipak

POSTOJI rezultanta koja bi mogla leţati na pravcu

Jednačine su odmah udovoljene jer rezultanta

NEMA kraka niti oko tačke A, niti oko tačke B, a na osnovu momentnog pravila

(Varinjonov teorem) moment rezultante oko neke tačke jednak je momentu svih sila koje

tu rezultantu čine. Ovime bi postavljene jednačine, kao uslovi ravnoteţe, bile

neupotrebljive!

Ako pravac nebi bio paralelan s osi y tada bi rezultanta

na ili tačku A ili tačku B te bi se primjenom jednačina

imala krak u odnosu

dovelo do njenog poništavanja što je i uslov ravnoteţe!



Kako glase i koliko jednačina ravnoteţe postoji kod ravanjskog skupa konkurentnih sila?

Ovdje se zapravo radi o zglobu u kojem su povezani štapovi ili uţad, a mogu se uz mala

pojednostavljenja ovakvim pristupom posmatrati i mali koloturi smješteni na zajedničkoj

osovini preko kojih je prebačeno jedno ili više uţadi.

Kada se posmatrano tijelo (zglob) oslobodi veza s drugim tijelima i okolinom, sve se sile

(poznate i reakcije veza) moraju sijeći u jednoj tački. Sile moraju zadovoljiti uslov

ravnoteţe, bez obzira na tačku redukcije sila, da ne smije postojati rezultanta. Moment

skupa sila NE MOŢE postojati jer se sve sile sijeku u jednoj tački (koja se moţe izabrati

za točku redukcije), dakle:

Mogu postojati dvije nepoznanice (obično sile, ali mogu biti i neke druge veličine, uglovi

npr.) potrebno je postaviti sistem od dvije algebarske jednačine. Odabere se u pravilu

koordinatni sistem u tački sjecišta svih sila.

Zbir svih projekcija sila na osi koordinatnog sistema moraju biti jednaki nuli:



6. USLOVI RAVNOTEŢE TIJELA KADA DJELUJE TRENJE

Što je to statiĉki faktor trenja?

To je faktor

na tijela u kontaktu u trenutku prije nego zapoĉne kretanje jednog tijela prema drugom.

koji pokazuje graniĉni odnos sile trenja i normalne sile koje djeluju

Što je to kinetiĉki faktor trenja?

To je faktor

u kontaktu za vrijeme kretanja jednog tijela prema drugom.

koji pokazuje omjer sile trenja i normalne sile koje djeluju na tijela

TRENJE U DODIRU KRUTIH TIJELA

Kakve vrste trenja klizanja postoje?

U pravilu postoji:

• suvo trenje, (izmeĎu dva tijela u dodiru ne postoji nikakvo sredstvo koje bi utiecalo da

se tijela za vrijeme kretanja ne dodiruju)

• polusuvo trenje, (izmeĎu dva tijela u dodiru postoji sredstvo za podmazivanje, ali u

tankom sloju, koje djelomično razdvaja tijela za vrijeme kretanja)

• tekućinsko trenje (izmeĎu dva tijela u dodiru postoji sredstvo za podmazivanje koje

razdvaja tijela za vrijeme kretanja).



Zašto je kod tekućinskog trenja sila trenja najmanja?

Ovo se trenje objašnjava time što je trenje koje djeluje izmeĎu molekula maziva

(tekućine) znatno manje nego u dodiru krutih tijela.

Kako glasi Coulombov zakon trenja klizanja dok tijelo miruje?

Sila trenja usmjerena u suprotnom smjeru od vučne sile

namjeri kretanja tijela

, opirući se tako

Ugao statičkog trenja

odreĎuje pravac reakcije

kada se tijelo nalazi još uvijek u

mirovanju (graniĉna ravnoteţa) ili se

počinje kretati.

Vrijedi:

pri čemu je:

U ovom slučaju vrijedi nejednačina:

koja samo u graniĉnom sluĉaju postaje jednačina:

Ovdje je faktor statičkog trenja(faktor prianjanja).



Kako glasi Coulombov zakon trenja klizanja kada se tijelo jednoliko kreće?

Sila trenja usmjerena u suprotnom smjeru od vučne sile

kretanju tijela

opirući se tako

Uopšteno vrijedi:

Ovdje je faktor kinetičkog trenja:

U ovom slučaju vrijedi jednačina:

Ovdje je:

faktor kinetiĉkog trenja.



Kako se tumači odnos izmeĎu statičkog i kinetičkog faktora trenja?

Dok tijela, koja se dodiruju (pritišću se normalnom silom ) miruju,

dolazi do "lijepljenja" vrškova neravnina koje postoje na površini tijela. Pri namjeri da se

jedno tijelo pomakne u odnosu na drugo, potrebno je u graničnom trenutku "otkinuti"

djeliće "spojenog" materijala. Nakon što se ove "veze" pokidaju, tijela se mogu uz manju

aktivnu silu kretati jedno u odnosu na drugo.

U slučaju dok tijelo miruje vrijedi nejednačine:

sluĉaju postaje jednačina:

koja samo u graniĉnom

Ovdje je faktor statiĉkog trenja.

U slučaju kretanja vrijedi jednačina: . Ovdje je faktor kinetiĉkog trenja.

Iz ovoga se moţe zaključiti da je: , tj. ugao trenja



Što je to ugao trenja?

Ugao statiĉkog trenja odreĎuje pravac reakcije

dodira tijela kada se tijelo nalazi još uvijek u ravnoteţi (graniĉna ravnoteţa)

prema normali na tangencijalnu

ravan

ili počinje kretanje.

Ugao kinetiĉkog trenja

odreĎuje pravac reakcije

prema normali na tangencijalnu

ravninu dodira tijela kada se tijela

nalaze u stanju kretanja.



Kako bi se eksperimentalno odredio faktor trenja?

Analizom stanja slobodnog tijela na kosini.

Kada je kosina nagnuta u graničnom slučaju za ugao

u sluĉaju ravnoteţe vrijedi: Ovdje je faktor statiĉkog trenja.

Od čega zavisi faktor trenja?

Faktori statičkog i kinetičkog trenja zavisi od materijala i hrapavosti površina tijela koja

su u dodiru.



Kolike su veličine faktora trenja za najčešće korištene materijale u dodiru?

Faktori statičkog i kinematičkog trenja zavise od materijala i hrapavosti dodirnih

površina, neke orijentacijske vrijednosti date su u tabeli.



Što je to konus trenja?

Neka se zamisli da neko tijelo leţi na vodoravnoj hrapavoj podlozi. Neka na tijelo djeluje

horizontalna sila koja ima granični iznos tako da je reakcija otklonjena od normale upravo za ugao

Ukoliko bi se pravac djelovanja sile rotirao u vodoravnoj ravnini, tada bi

pravac djelovanja reakcije

kao izvodnica plašta opisivao uspravni

čunj (konus). Prostor unutar čunja

(konusa) su svi mogući poloţaji pravca

reakcije

koji prolaze vrhom toga čunja bez

obzira na iznos i smjer djelovanja

vodoravne sile



Što je to površina ravnoteţe kod trenja klizanja ?

Neka se zamisli da neko tijelo (homogena teška greda) leţi jednim krajem na vodoravnoj

hrapavoj podlozi, a drugim krajem se naslanja na uspravni hrapavi zid. Ovo tijelo ima

teţnju kretanja prema dolje i ulijevo. Ovo ukazuje da su mogući najveći otkloni ukupnih

reakcija podloge. i zida za granične uglove tj.

Prema teoremu o ravnoteţi tri neparalelne sile

potrebno je da se u planu poloţaja sve tri sile

sijeku u jednoj tački. Ako je sila jedino vanjsko

opterećenje tada bi njen pravac djelovanja trebao

prolaziti osjenĉanom zelenom površinom.

U prikazanom poloţaju ravnoteţa nije odrţiva.



Odrediti analitiĉki i grafiĉki iznos sile F potrebne za dizanje tereta Q pomoću dva klina

zanemarive teţine, ako je zadano:

Rješenje Analitiĉko rješenje:

Koordinatni sistem zakrene se za ugao

što u ovom slučaju pojednostavljuje jednačine

ravnoteţe.

Klinovi se oslobaĎaju veza s podlogom ucrtavanjem

odgovarajućih sila veza,

Uglovi trenja su:

Slijedi:

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/F_trenje/a_klizanje/F_o_p58.htm



Jednadţbe ravnoteţe su:

Klin 1:

Klin 2:

SreĎivanjem jednačina i uvrštavanjem zadanih

vrijednosti slijedi:



Grafiĉko rješenje:

Primjenom teorema o ravnoteţi tri neparalelne sile, prvo se riješi klin 1 čime se odredi

sila kontakta Sada se moţe riješiti klin 2.



TRENJE UŢETA

Koje pretpostavke su bitne kod analize trenja uţeta?

Osnovna je pretpostavka da je uţe idealno savitljivo što osigurava njegovo

ravnomjerno nalijeganje na podlogu (u pravilu kruţni cilindar). Ovo, isto tako, znači da

se u uţetu ne smiju pojavljivati niti poprečne unutrašnje sile niti moment savijanja. Ovo

praktički znači da je prečnik uţeta znatno manji od prečnika kruţnog cilindra.

Kako glasi Ojlerova jednačina za trenje uţeta?

Za odreĎivanje granične sile u savitljivom uţetu koje obuhvaća hrapavo kruto kruţno

cilindrično tijelo koristi se Ojlerova formula:

gdje je ugao obuhvaćanja

a moţe se izračunati pomoću ugla

u radijanima,

u stepenima:

Ovdje je faktor statičkog trenja izmeĎu krutog

kruţnog cilindričnog tijela i uţeta.



Dva tijela teţina G i Q spojena su uţetom koje je prebačeno preko nepomične valjkaste

površine. Treba odrediti teţinu tereta Q tako, da sistem tijela ostane u stanju mirovanja.

Zadano:

Rješenje

Obuhvatni ugao:

Ugao trenja:

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/F_trenje/b_uzeta/F_o_p510.htm



Spuštanje tereta Q: Analizom sila na blok G na kosini, izračuna se sila u

uţeta i u primjeru granične ravnoteţe vrijedi:

Granična ravnoteţa bit će prema Ojlerovoj formuli za

trenje uţeta:



Dizanje tereta Q: Analognim postupkom izračuna se sila u uţetu za

graničnu ravnoteţu:

Teţina Q za ravnoteţu bit će tada prema Ojlerovoj

formuli za trenje uţeta:

Prema tome sistem tereta ostat će u stanju mirovanja u

slučaju da je teţina tereta Q u granicama:



Kako se računa moment kočenja pojasne kočnice?

Pojasna je kočnica tipičan primjer primjene trenja uţeta. Savitljiva traka obuhvaća kruţni

bubanj koji je uleţišten.

Na bubanj djeluje zakretni moment kojeg treba zakočiti.

Ravnoteţa bubnja kočnice:

Ojlerova formula za trenje uţeta:

gdje je

R je polumjer kočionog bubnja,

r je polumjer na kojem djeluje poznata sila S, a

obuhvatni ugao uţeta,

je faktor kinematskog trenja izmeĎu kočionog

bubnja i pojasa.

Konstrukcija se izvodi obično tako da se kraj pojasa gdje djeluje sila

za nepomični oslonac (za prikazani je smjer vrtnje bubnja sila

obično veţe

dok se za drugi kraj pojasa veţe mehanizam kojim se zateţe pojas kočnice.

,



TRENJE ROTIRAJUĆIH TIJELA I TRENJE KOTRLJANJA Kako se računa moment trenja radijalnog leţaja?

Reakcija leţaja (rezultanta) tangira kruţnicu trenja polumjera

na strani prema kojoj se rukavac vrti i to u primjeru trenja kada nema podmazivanja

izmeĎu rukavca i leţaja.

Ugao izmeĎu normalne reakcije i rezultante je ugao trenja

Na rukavac djeluje moment otpora trenja protivno smjeru vrtnje:



Kako se računa moment trenja aksijalnog leţaja?

Uz pretpostavku da je

izmeĎu čela rukavca i leţaja, moment otpora trenja na rukavac vratila bit će:

= konst i pritisak po dodirnoj površini jednoliko rasporeĎen



Kako se računa otpor trenja kotrljanja?

Djelovanjem teţine točka

nejednoliko rasporeĎenim opterećenjem p

podloga se deformira i djeluje na točak

Rezultanta tog opterećenja prolazi kroz točku A. Sila potrebna za kotrljanje točka

iznosi: gdje je faktor trenja kotrljanja.

Kako bi nastupilo kotrljanje bez klizanja mora biti ispunjen uslov:



7. RAVNOTEŢA RAVNIH REŠETKASTIH NOSAĈA

Koje se pretpostavke uzimaju kod analize rešetkastih nosača?

a) Rešetkama se nazivaju konstrukcije koje se sastoje od sistema štapnih trokuta

(krute figure), kod kojih svaka dva susjedna trokuta imaju jednu zajedničku stranicu

(štap);

b) štapovi kod rešetkastih nosača su ravni i na krajevima su spojeni u čvorovima

(zglobovi bez trenja);

c) štapovi su opterećeni ili samo na zatezanje ili samo na pritisak,

d) vanjske sile djeluju samo u čvorovima rešetke;

e) rešetkasti je nosač upotrebljiv kao nosač samo ako je geometrijski nepromjenjiv, tj.

kao cjelina mora djelovati kao kruta ploča.



Kada je rešetkasti nosač statiĉki neodreĊen i kako se to provjerava?

Najmanji broj štapova od kojih se moţe sastaviti ravnu krutu rešetku odreĎen je formulom:

s broju štapova,

n odgovara broju čvorova rešetke,

dok je broj 3 u ravanjskom primjeru broj komponenti reakcija veza.

Broj je 2 u ovoj formuli broj jednačina koji se moţe postaviti za svaki čvor

(konkurentni skup sila!).

gdje je

U tom je slučaju rešetkasti nosač statički odreĎen.



Za: zadatak je statički neodreĎen,



rešetka nestabilna (pokretni mehanizam). dok je u primjeru:



Kako se analitiĉki odreĎuju sile u štapovima rešetke?

Analitički se reakcije u osloncima odreĎuju pomoću jednačina uslova ravnoteţe

ravanjskog skupa sila.

Nosač se posmatra u tom slučaju kao jedna kruta ploča, osloboĎena veza s okolinom.

Zadanim se silama dodaju pretpostavljene sile veza i u opštem slučaju postave tri

jednačine:

Što je to metoda ĉvorova?

OdreĎivanje sila u štapovima zasniva se na uslovu da sve sile, vanjske i unutrašnje, koje

djeluju u jednom čvoru moraju biti u ravnoteţi.

Ovdje se radi o konkurentnom skupu sila u ravnini. U svakom se čvoru štapovi

"zamijene" silama (obično se pretpostve zateţuće sile).

Uslovi ravnoteţe postavljaju se za svaki čvor izdvojeno u obliku:

ANALITIĈKI:

GRAFIĈKI: u planu poloţaja vanjske sile u svakom čvoru i sile u štapovima toga čvora

sijeku se u jednoj tački (tome čvoru), a u planu sila je zatvoren poligon sila.

Kod rješavanje se UVIJEK polazi od onoga čvora u kojem su najviše DVIJE nepoznate

sile, bilo da se radi o anlitičkom ili grafičkom rješenju.



Primjenom metode ĉvorova potrebno je odrediti sile u štapovima nosača zadanog i

opterećenog prema slici, ako je poznato:

RJEŠENJE

Analitičko rješenje reakcija

Kod odreĎivanja reakcija veza, cijela se

rešetkasta konstrukcija posmatra kao jedna kruta

ploča. Oslonci se zamjene pretpostavljenim

reakcijama veza, te se za opšti slučaj sila u

ravnini postave jednačine ravnoteţe:

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/G_resetke/G_o_p6_1a.htm



Grafiĉko odreĊivanje reakcija veza

U planu se sila ucrtaju zadane sile i

iz proizvoljno odabranog pola P,

i povuku polne zrake 1 do 4

Kako poligon sila, uključivo i sile

reakcija veze i

zatvoren, to se moţe uzeti da sila

, mora biti

započinje u vršku sile , a sila

Kako poligon sila, uključivo i sile reakcija veze

i , mora biti zatvoren, to se moţe uzeti da sila

započinje u vršku sile , a sila završava u početku sile

to se u planu poloţaja veriţnica 4’

povući tačkom A kao jedinom

tačkom pravca sile

nije poznat, nego

poznatom

svojim vrškom Kako smjer sile

samo jedna njegova tačka,

mora

, odnosno početak sile



Analitiĉko odreĊivanje sila u štapovima

OdreĎivanje sila u štapovima zasniva se na uslovu da sve sile, vanjske i unutrašnje (sile

u štapovima), koje djeluju u jednom čvoru moraju biti u ravnoteţi.

Kako se ovdje radi o konkurentnom skupu sila, analitički se uslovi ravnoteţe

postavljaju za svaki čvor izdvojeno u obliku:

a započinje se s onim čvorom u kojem nema više od dvije nepoznanice.

ĈVOR E:

ĈVOR C:



ĈVOR D:

ĈVOR A:



Grafiĉko odreĊivanje sila u štapovima

Grafički uslovi ravnoteţe ispunjeni su kada se u planu poloţaja vanjske sile u svakom

čvoru i sile u štapovima toga čvora sijeku u jednoj tački, a u planu sila je zatvoren

poligon sila. Započinje se s onim čvorom u kojem nema više od dvije nepoznanice.

ĈVOR E:

ĈVOR C:

ĈVOR D:

ĈVOR A:



Kako se primjenjuje metoda presjeka po Culmannu?

Za odreĎivanje sila u pojedinim štapovima rešetkastog nosača, koristi se metoda

presjeka.

Pri tome se ne smije “presjeći” više od tri štapa, jer se metodom presjeka moţe

odjednom odrediti samo tri nepoznate sile.

Culmannova se metoda presjeka zasniva na ravnoteţi jedne poznate sile i tri sile kojih

su SAMO pravci djelovanja poznati (zamišljeni presjeci štapova).

Postupak: zamišljeno je da se rešetka presječe kroz štapove kojih sile treba odrediti te

se posmatra ravnoteţa lijevog ili desnog dijela

Svaki od ovih dijelova će biti u

ravnoteţi pod djelovanjem

vanjskih sila i nepoznatih

unutrašnjih sila u presječenim

štapovima, koje zamjenjuju

djelovanje odsječenog dijela

rešetke.

Tačan će smjer sila u štapovima

biti odreĎen zatvorenim

poligonom sila.



Primjenom Culmannove metode presjeka potrebno je odrediti sile u štapovima 4, 5 i 6

nosača zadanog i opterećenog prema slici, ako je poznato:

Rješenje:

Rješenje po Culmannu

U planu poloţaja odredi se pomoću veriţnog poligona poloţaj rezultante

svih vanjskih sila koje djeluju npr. lijevo od promatranog presjeka.

da sile

Moţe se pretpostaviti

i imaju rezultantu L koja u planu poloţaja prolazi njihovim sjecištem (D), a

radi udovoljavanja uslova ravnoteţe mora se sjeći u jednoj točki (M) sa silama i

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/G_resetke/G_o_p6_1b.htm



Dakle mora vrijediti:

(sabijanje).



Kako se primjenjuje metoda presjeka po Ritteru?

Ova se metoda presjeka primjenjuje kada treba odrediti sile u pojedinim štapovima

rešetkastog nosača.

Ne smije se “presjeći” više od tri štapa, jer se i kod ove metode presjeka moţe odrediti

samo tri nepoznate sile.

Ako je promatrani dio rešetke u ravnoteţi, onda mora suma momenata svih sila koje na

taj dio djeluju, s obzirom na bilo koju taĉku posmatranog dijela rešetke, biti jednaka

nuli.

Za momentne polove biraju se tri sjecišta pravaca presjeĉenih štapova.

Na taj se način odreĎuju tri jednačine, od kojih svaka sadrţi samo jednu nepoznanicu, a

odatle se izračunavaju traţene sile u štapovima presjeka rešetke.



Primjenom Riterove metode presjeka potrebno je odrediti sile u štapovima 2, 3 i 4

nosača zadanog i opterećenog prema slici, ako je poznato

Rješenje po Ritteru

Ako se za rešetkasti nosač prema slici

iz plana poloţaja izmjere udaljenosti

i pomoću poligona sila i veriţnog

poligona odredi poloţaj i iznos

rezultante

, te analitički ili

koje djeluju na lijevi dio presječene

rešetke, jednadţbe momenata su:

svih vanjskih sila



8. RAVNOTEŢA RAVNIH PUNIH NOSAĈA

- DEFINICIJE, POJAM "UNUTRAŠNJA SILA"

Što je to ravni puni nosaĉ i koje su pretpostavke sa stajališta geometrije?

Pod pojmom ravni puni nosaĉ podrazumijeva se sljedeće:

ravni: uzduţna linija (najčešće pravac) koja povezuje sva teţišta poprečnih presjeka

nosača leţi u jednoj ravnini, a okomita je na sve poprečene presjeke;

puni: nema diskontinuiteta (prekida) izmeĎu dva susjedna poprečna presjeka nosača.

Ovime se razlikuju od rešetkastih nosača kod kojih globalna uzduţna os nosača (npr.

os izmeĎu oslonca A i B) ne povezuje zamišljene poprečne presjeke štapova od kojih

je nosač sastavljen;

nosaĉ: naziva se još i greda, pri čemu je sa stajališta geometrije duţina uzduţne osi

znatno veća nego bilo koja poprečna dimenzija (poprečnog presjeka);



Koje vrste opterećenja primjenjujemo kod nosača?

Kod analize unutrašnjih sila kod nosača svrsishodno je sistematizovati opterećenje na

sljedeće tri vida:

koncentrisana sila: sila s hvatištem u tačno odreĎenoj tački nosača

kontinuirano opterećenje: koji se u nekim

primjerima naziva se još i rasuti teret.

Jednoliko ili nejednoliko raporeĎeno

opretećenje uzduţ osi nosača. Jedninica

mjere je sila/duţini (npr. kN/m)



koncentrirani moment: to je spreg sila koji se radi jednostavnosti prikazivanja

označava simbolički. Ovakvo opterećenje

nastaje npr. kod redukcije sila na vratilu

opterećenog zupčanika s kosim zubima.

Zašto i kada se smije sila pomicati po svom

pravcu djelovanja?

Samo kada se izračunavaju rekacije veza

nosača, ali nikada kada se analiziraju

unutrašnje sile u nosaču.

U ovom se primjeru neće promijeniti

iznosi reakcija veza!



ali će se slika unutrašnjih uzduţnih sila posve promijeniti!



Koje su unutrašnje sile kod nosača?

Neka se zamisli jednostavno nosač na dva oslonca i opterećen jednom silom.

Nosač se oslobodi veza i pomoću

teorema o ravnoteţi tri neparalelne sile,

odrede se reakcija veza u osloncima.



Neka se zamisli presjek nosača na udaljenosti x .

Neka se analizira npr. lijevi dio "presječenog"

nosača. Za ovaj poprečni presjek kaţe se da

je pozitivan jer je njegova normala (poluos

koja "izlazi" iz presjeka) upravljena u

pozitivnom smjeru osi x. Kako uslovi

ravnoteţe moraju biti ispunjeni, to je nuţno

djelovanje neke sile R koja mora uravnoteţiti

vanjske djelatne sile na nosač. Sila se R

moţe odrediti kao i ranije.

Neka se izvrši redukcija (izmještanje) sile R

u tačku teţišta poprečnog presjeka nosača.

Ovo je jedino moguće ako se doda i

moment M. Radi podsjećanja moţe se

pogledati tema "redukcija sile".

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/Frameset.htm



Sile se R moţe rastaviti u dvije komponente u

smjeru pozitivnih osi koordinatnog sustava, a

moment oko osu y u pozitivnom smjeru te osi.

ili samo N je ovdje uzduţna unutrašnja sila upravljena u smjeru osi x.

je ovdje poprečna sila upravljena u smjeru osi z.

je ovdje moment savijanja oko osi y.

Ovaj se princip moţe proširiti i na prostorne nosaĉe. Tada se pojavljuju poprečene sile

u smjerovima osi z i y, dok se moment savijanja javlja još i oko osi z. Moment se oko osi

x tada naziva moment uvijanja ili torzije.



Po kom se principu odreĊuju veliĉine i smjerovi unutrašnjih sila?

Kod odreĎivanja unutrašnjih sila, te momenata savijanja u poprečnom presjeku x

nosača primjenjuje se pravilo reza. Kako oba dijela nosača razdvojena zamišljenim rezom , odnosno

biti u ravnoteţi, to na mjestu reza moraju djelovati unutrašnje sile.

, moraju



Posmatra li se npr. površina reza čija se normala podudara sa smjerom osi x (pozitivni

presjek) tada vrijede jednačine ravnoteţe za sve

vanjske sile na dijelu nosača lijevo od

presjeka i za sve unutrašnje sile na

mjestu reza:

te momentna jednačina oko osi y za tačku P na mjestu reza:



Ponekad je jednostavnije analizirati dio nosača od reza

dakle desni dio nosača,

do kraja nosača,

Jednačine ravnoteţe su analogne gornjim, a pozitivni su predznaci unutrašnjih sila na

negativnom presjeku upravo protivni smjerovima osi.



Kakva su fizikalna objašnjenja predznaka unutrašnjih sila?

Uzduţna sila je pozitivna kada je nosač u

Poprečna sila je pozitivna kako je definisano

slikom.

smjeru osi x opterećen na istezanje.



Moment savijanja je pozitivan kada se uzduţna os x "ţeli" savijati konkavno.



8. RAVNI PUNI NOSAĈI

- MEĐUZAVISNOSTI UNUTRAŠNJIH SILA

U kojoj su meĊusobnoj zavisnosti unutrašnje sile?

Ova se meĎusobna zavisnost moţe pokazati na ravnoteţi dijela nosača.



Koje je geometrijsko znaĉenje derivacije funkcije poprečne sile po apscisi?

Zavisnost: predstavlja nagib tangente na krivulju (graf funkcije) (x) .

Na slici su pokazana tri karateristična mjesta.

Na mjestu vrijedi

na mjestu vrijedi

na mjestu vrijedi

Iz slike je vidljivo da je:

te će i uglovi nagiba tengenti na krivulju

(graf funkcije) (x) prema osi x biti

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/H_nosaci/b_medjuovis/H_s_079_1.htm



Postave se jednačine ravnoteţe:

(U ovom primjeru nema vanjskih sila u x smjeru!)

, slijedi zavisnost:

drugog reda, slijedi zavisnost:

, uz zanemarivanje diferencijala



Koje je geometrijsko znaĉenje derivacije funkcije momenta savijanja po apscisi?

Zavisnost: , predstavlja nagib tangente na krivulju (graf funkcije) (x).

Na slici su pokazana tri karateristična mjesta.

Na mjestu vrijedi

na mjestu

na mjestu

Iz slike je vidljivo da su iznosi poprečnih sila

tengenti na krivulju (graf funkcije)

te će i uglovi nagiba

prema osi x biti (x)

Kako je na mjestu funkcija

negativna to će i ugao

(x)

biti < 0.

U točki M funkcija (x) = 0 pa će nagib tangente

(x) biti na krivulju (graf funkcije)




Kako se uočava djelovanje koncentrisane sile u Qz- dijagramu?

U dijagramu (x) djelovanje se koncentrisane sile uoĉava kao skok za veličinu

iznosa sile F.

U dijagramu (x) djelovanje se koncentrirane sile uoĉava kao lom.

Na slici je pokazano djelovanje koncentrisane sile na dijelu nosača gdje ne djeluje

kontinuirano opterećnje pri čemu je iznos sile takav da uzrokuje u dijagramu (x)

promjenu predznaka poprečne sile. Ovo je uzrok pojave ekstrema u dijagramu

(x).




Na slici je pokazano djelovanje koncentrisane sile na dijelu nosača gdje NE djeluje

kontinuirano opterećnje pri čemu je iznos sile takav da NE uzrokuje u dijagramu (x) promjenu predznaka poprečne sile.




Na slici je pokazano djelovanje koncentrirane sile na dijelu nosača gdje djeluje

kontinuirano opterećnje pri čemu je iznos sile takav da uzrokuje u dijagramu (x)

promjenu predznaka poprečne sile. Ovo uzrokom pojave ekstrema u dijagramu (x).




Kako se uočava djelovanje kontinuiranog opterećenja u Qz- dijagramu?

U dijagramu (x) djelovanje se kontinuiranog opterećenja uoĉava kao

silazni (ili uzlazni) pravac s nagibom odreĎenom derivacijom

Na slici je pokazano djeovanje kontinuiranog opterećenja na konzolnom nosaču. Na

slobodnom kraju nosača, tačka B, nema npr. koncentrirane sile te stoga ne moţe biti niti

skoka u dijagramu (x) te ovdje pravac promjene poprečne sile silazi u nulu!




Na slici je pokazano djelovanje kontinuiranog opterećenja na nosaču na dva oslonca.

Na slobodnim krajevima nosača, tačke A i B, djeluju koncentrisane sile (reakcije veza)

te stoga je skok u tim tačkama u dijagramu (x).




Na slici je pokazano djelovanje kontinuiranog opterećenja koje se mijenja

kontinuirano izmeĎu q i ništice. Ovo ima za posljedicu u dijagramu (x) parabolu

2. reda (obično konveksnu) s tjemenom (eksremom) na mjestu gdje je q(x) nula jer je

tu i derivacija jednaka nuli!



Kako se uočava mjesto prestanka djelovanja kontinuiranog opterećenja u

Qz- dijagramu?

U dijagramu (x) učinak se prestanka ili poĉetka djelovanja kontinuiranog

opterećenja uoĉava kao lom pravca . Pri ovome se na dijelu nosača bez kontinuiranog

Opterećenja u dijagramu (x) to prikazuje pravcem paralelnim s osi x, dok se na dijelu

gdje djeluje kontinuirano opterećenje to uočava pravcem s nagibom odreĎenim

derivacijom



Kako se uočava djelovanje kontinuiranog opterećenja u My- dijagramu?

U dijagramu (x) djelovanje se kontinuiranog opterećenja uoĉava kao parabola

2. reda. Na slici je pokazano djelovanje kontinuiranog opterećenja konstantnog iznosa na

konzolnom nosaĉu.. Na slobodnom kraju nosača, tačka B, nema npr koncentrisane sile te stoga ne moţe biti niti

skoka u dijagramu (x)

te ovdje pravac promjene popreĉne sile silazi

u nulu!

Ovo ima za posljedicu u dijagramu

parabolu 2. stepena (obično konveksnu)

(x)

s tjemenom (eksremom) na mjestu gdje je

(x) ništica jer je tu i derivacija

jednaka nuli!




Na slici je pokazano djelovanje kontinuiranog opterećenja konstantnog iznosa na

nosaĉu na dva oslonca. Na slobodnim krajevima nosača, tačke A i B, djeluju

koncentrisane sile (reakcije veza) te stoga je skok u tim tačkama u dijagramu (x).

Ovdje pravac promjene popreĉne

sile prolazi kroz nulu u nekoj tački

(radi simetrije

opterećenja na polovici nosača)! Ovo

ima za posljedicu u dijagramu (x)

parabolu 2. stepena (obično

konveksnu) s tjemenom (eksremom)

tačno u sredini

gdje je (x) nula jer je tu i derivacija

jednaka nuli!




Na slikama je pokazano djelovanje kontinuiranog opterećenja koje se mijenja

kontinuirano izmeĎu q i nule. Ovo ima za posljedicu u dijagramu (x) parabolu

2. stepena (obično konveksnu) s tjemenom (eksremom) na mjestu gdje je q(x)

nula jer je tu i derivacija jednaka nuli! Ovakva promjena poprečene sile

ima za posljedicu u dijagramu (x) parabolu 3. stepena.






Potrebno je odrediti dijagrame unutrašnjih sila za nosače u slijedećim primjerima:

Konzolni nosaĉ opterećen silom na kraju

Dijagram

poprečnih sila

Dijagram momenata

savijanja



Konzolni nosaĉ opterećen koncentriranim momentom na kraju

Dijagram

poprečnih sila

Dijagram

Momenata

savijanja



Konzolni nosaĉ opterećen kontinuirano cijelom duţinom

Dijagram poprečnih sila

Dijagram momenata savijanja



Konzolni nosaĉ opterećen djelomiĉno kontinuiranim opterećenjem





Prosta greda opretećena silom izmeĊu oslonaca





Prosta greda opretećena koncentrisanim momentom izmeĊu oslonaca





Prosta greda opretećena koncentrisanim momentom u osloncu





Greda s prepustom opretećena silom na kraju prepusta





Greda s prepustom opretećena koncentriranim momentom na kraju prepusta





Prosta greda opretećena kontinuiranim jednolikim opterećenjem izmeĊu oslonaca





Prosta greda opretećena kontinuiranim nejednolikim opterećenjem izmeĊu

oslonaca





Za ravni nosač zadan i opterećen prema slici

odrediti reakcije u osloncima A i B te skicirati i kotirati Qz - i My

- dijagrame, ako je

zadano:

Analitičko rješenje reakcija

OdreĊivanje reakcija u osloncima nosaĉa: Prvo je potrebno tijelo (ovdje je to nosač) osloboditi veza (pomični oslonac u A i

nepomični u B)

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/H_nosaci/b_medjuovis/H_s_pr6_6_01.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/H_nosaci/c_gerberovi/H_o_pr_ger_a.htm



Iz postavljenog zadatka je vidljivo da nema niti jedne sile u smjeru osi x. Dakle, sve su

sile paralelne s osi z. Kako se radi o paralelnom skupu sila u ravnini potrebne su (i

dovoljne!) DVIJE jednačine ravnoteţe:

Reakcije u osloncima A i B su:

OdreĊivanje unutrašnjih sila u nosaĉu - dio I.:

Potrebno je podijeliti nosač na dijelove unutar kojih niti funkcija (x) niti funkcija (x)

neće imati LOM. To su dakle područja I, II. i III. Unutar područja I. zamislimo bilo gdje

presjek nosača. Naravno da je potrebno na mjesto presjeka postaviti nadomjesne

unutrašnje sile koje s ostatkom vanjskih sila stoje u ravniteţi

Iz postavljenog zadatka je vidljivo da nema niti jedne sile

u smjeru osi x. Dakle, sve su sile paralelne s osi z. Kako

se radi o paralelnom skupu sila u ravnini potrebne su (i

dovoljne!) DVIJE jednačine ravnoteţe:

1) 2)

Prema jednačini 1):

Ovo je pravac paralelan s osi x.




Ovo je padajući pravac!

Ovdje se moţe ispitati meĎuzavisnost unutrašnjih sila:

Momenti savijanja na početku i na kraju područja:



OdreĊivanje unutrašnjih sila u nosaĉu - dio II.:

Unutar područja II. zamislimo bilo gdje presjek nosača. Naravno da je potrebno na

mjesto presjeka postaviti nadomjesne unutrašnje sile koje s ostatkom vanjskih sila

stoje u ravniteţi

Iz postavljenog zadatka je vidljivo da nema niti

jedne sile u smjeru osi x. Dakle, sve su sile

paralelne s osi z. Kako se radi o paralelnom

skupu sila u ravnini potrebne su (i dovoljne!)

DVIJE jednačine ravnoteţe:

1)

2)


Ovo je padajući pravac! Poprečne sile na početku i na kraju područja:




Ovo je konveksna parabola.

Ovdje se moţe ispitati meĎuzavisnost unutrašnjih sila:

Ova funkcija ima ekstrem: u tački Iznos momenta savijanja u ovoj tački:

Momenti savijanja na početku i na kraju područja:



OdreĊivanje unutrašnjih sila u nosaĉu - dio III.:

Prethodno Unutar područja III. zamislimo bilo gdje presjek nosača. Naravno da je

potrebno na mjesto presjeka postaviti nadomjesne unutrašnje sile koje s ostatkom

vanjskih sila

stoje u ravniteţi Iz postavljenog zadatka je vidljivo da nema

niti jedne sile u smjeru osi x. Dakle, sve su

sile paralelne s osi z. Kako se radi o

paralelnom skupu sila u ravnini potrebne su

(i dovoljne!) DVIJE jednačine ravnoteţe:

1)

2)


Ovo je padajući pravac! Poprečne sile na početku i na kraju područja:


Ovo je konveksna parabola.



Ovdje se moţe ispitati meĎuzavisnost

unutrašnjih sila:

Ova funkcija ima ekstrem:

u tački (tačka D!)

Momenti savijanja u karakterističnim

presjecima nosača imaju vrijednosti:



GERBEROVI ili SASTAVLJENI (SLOŢENI) NOSAĈI

Što su to sloţeni (sastavljeni) ili Gerberovi nosači?

To su u pravilu zglobno povezani ravni puni nosači oslonjeni na jednom nepomičnom i

više pomičnih oslonaca.

Broj zglobova je jednak broju prekobrojnih oslonaca (broju statičke neodreĎenosti).

Raspored zglobova i oslonaca mora biti takav da niti jedan odsječak izmeĎu dva

susjedna zgloba ne bude statički neodreĎen.

Kod sloţenih (Gerberovih) nosača, tj. nosača sa zglobovima reakcije u osloncima

odreĎuju se iz uslova ravnoteţe, jednako kao kod statički odreĎenih ravnih nosača te iz

dopunskih uslova da je u svakom zglobu moment savijanja jednaki nuli, jer se u

zglobu ne moţe prenositi moment već samo poprečna i uzduţna sila.



Što su to puni zakrivljeni nosači?

To su nosači čija je uzduţna os (linija koja spaja sva teţišta poprečnih presjeka) moţe

imati i oblik krivulje. Opterećenje takvih nosača moţe biti slično definisano kao i kod

ravnih punih nosača. Obično se uzima da kontinuirano opterećenje djeluje OKOMITO na

uzduţnu os nosača



Što su to okvirni nosači?

Okvirni nosači su sastavljeni od ravnih ili

zakrivljenih štapova (nosača) koji su

meĎusobno spojeni krutim vezama.

Jednačine su ravnoteţe statički odreĎenog

okvirnog nosača za nosač u cjelini,

u globalnom koordinatnom sustavu (H-V),

gdje su: H - horizontalni, a

V - vertikalni smjerovi sila.



Mehanika - B. Mišić

Documents