Mecânica Quântica Equação de Schrödinger - Autenticação · Equação de Schrödinger ... EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER “Construção” da equação de Schrödinger Mecânica

Dualidade onda-corpúsculo

Princípio de incertezade Heisenberg

Mecânica Quântica

Equação de Schrödinger

( )∂∂

∂∂

∂∂

π2

2

2

2

2

2

2

28

0Ψ Ψ Ψ

Ψx y z

mh

E V+ + + − =

H Ψ = E Ψ

EQU

AÇ

ÃO

DE

SCH

RÖ

DIN

GER

“Construção” da equação de SchrödingerMecânica ondulatória para partículas

( ) ( )txsenAtx v2, ±=Ψλπ

v = λ × ν

Equação de uma onda

( ) xsenAxλπ2

=Ψ

Onda estacionária

( )

( ) xsenAdx

xd

xcosAdx

xd

λπ

λπ

λπ

λπ

24

22

2

2

2

2

−=Ψ

=Ψ

( ) ( )xdx

xdΨ−=

Ψ2

2

2

2 4λπ

λ

EQU

AÇ

ÃO

DE

SCH

RÖ

DIN

GER

vmh

=λcomp. de onda de de Broglie(dualidade onda-corpúsculo)( )

Ψ−=Ψ

2

2

2

2 4λπ

dxxd

22

22

vmh

=λ ( )Ψ−=

Ψ2

222

2

2 v4hm

dxxd π

( )2

2

2

222 1

4v

dxxdhm Ψ

Ψ−=

π( )2

2

2

222 182

vdx

xdm

hm

m ΨΨ

−=π

mmmT2

vv21 22

2 ==( )2

2

2

2 18 dx

xdm

hT ΨΨ

−=π

E = T + V ( ) Vdx

xdm

hE +Ψ

Ψ−= 2

2

2

2 18π

( ) 018 2

2

2

2

=−+Ψ

ΨVE

dxxd

mhπ

( ) ( ) 082

2

2

2

=Ψ−+Ψ VE

hm

dxxd π

EQU

AÇ

ÃO

DE

SCH

RÖ

DIN

GER

Erwin Schrödinger,1887-1961

E = T + V

Ψ(x,y,z) Função de ondaE Energia total=Valor próprioV Operador Energia PotencialT Operador Energia CinéticaH = T + V Operador Hamiltoniano

H Ψ = E ΨH Ψ = E Ψ

( )∂∂

∂∂

∂∂

π2

2

2

2

2

2

2

28

0Ψ Ψ Ψ

Ψx y z

mh

E V+ + + − =

vmh

=λ ( ) xsenAxλπ2

=Ψ

Como o fenómeno em estudo tem simetria esférica, é mais adequado usar coordenadas polares esféricas do que coordenadas cartesianas

x = r senθ cosϕy = r senθ senϕ

z = r cosθ

x2 + y2 + z2 = r2

EQU

AÇ

ÃO

DE

SCH

RÖ

DIN

GER

X

Y

Z

x

y

z

θ

ϕ

r

αα

αα

sensen

coscos

⋅=→=

⋅=→=

cbcb

caca

αa

bc

r senθ

r senθ

( )∂∂

∂∂

∂∂

π2

2

2

2

2

2

2

28

0Ψ Ψ Ψ

Ψx y z

mh

E V+ + + − =Á

TOM

O d

e H

x,y,zΨ (x,y,z)

r,θ,ϕΨ (r,θ,ϕ)

reV

o

2

41επ

−=

04

18111 2

2

2

22

2

222

2 =Ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ψ+

Ψ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ΨreE

hmsen

senrsenrrr

rr oπεπ

θ∂∂θ

∂θ∂

θϕ∂∂

θ∂∂

∂∂

Ψ (r,θ,ϕ) = R(r) Θ(θ) Φ(ϕ)

4444444 34444444 21

4444444 84444444 76

λ

λ

ϕθθθ

θθπεπ

=

=

ΦΦ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ

Θ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

cte

cte

o dd

senddsen

dd

senr

reE

hm

drdRr

drd

R 2

2

22

2

2

22 11

4181

1 8 14

22

2

22

Rddr

rdRdr

mh

Eer

ro

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

ππε

λ R(r), função radial

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − =

1 12

2

2ΘΘ

ΦΦ

send

dsen

dd sen

ddθ θ

θθ θ ϕ

λ

sen dd

sendd

dd

senθ

θθ

θ ϕλ θ

ΘΘ

ΦΦ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + = −

1 2

22

sen dd

sendd

sendd

cte m cte m

θθ

θθ

λ θϕΘ

ΘΦ

Φ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + = −

= =

22

2

2 2

1

1 244444 344444 1 24 34

sen dd

sendd

sen mθ

θθ

θλ θ

ΘΘ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + =2 2

dd

m2

22ΦΦ

ϕ= −

Θ(θ)

− =1 2

22

ΦΦd

dm

ϕ

Φ(φ) Funções angulares

dd

m2

22ΦΦ

ϕ= −

ϕimek ⋅=Φ

ϕ

ϕimekmi

dd

=Φ

321Φ=

−=Φ ϕ

ϕimekm

dd 2

2

2

dd

m2

22ΦΦ

ϕ= −

Equa

ção

em Φ

( ) ( )πϕϕ 2+Φ=Φ

( )e eim imϕ ϕ π= +2

= e eim imϕ π2

m = ?

Condição limite:Φ unívoca

eim2 1π =

( ) ( )cos m isen m2 2 1π π+ =6 74444 84444

m = 0, ou nº inteiro!Número quântico!

X

Y

Z

x

y

z

θ

ϕ

r

1 8 14

22

2

22

Rddr

rdRdr

mh

Eer

ro

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

ππε

λN

úmer

os q

uânt

icos

: n, ℓ

, me

s( )rR ln,

sen dd

sendd

sen mθ

θθ

θλ θ

ΘΘ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + =2 2

dd

m2

22ΦΦ

ϕ= −

( )θml ,Θ

( )ϕmΦ

( ) ( ) ( ) ( )ϕθϕθ mmllnmln rRr Φ×Θ×=Ψ ,,,, ,,

( ) ( ) ( )ϕθϕθ ,,, ,,,, mllnmln YrRr ×=Ψ

n = 1,2,3, … ,n, … (principal)ℓ = 0,1,2, …, (n-1) (azimutal ou angular)m = - ℓ,(- ℓ+1), … ,0, … ,(ℓ-1),+ℓ (magnético)s = -½ ou +½ (spin)

Orb

itais

e p

roba

bilid

ade

Ψ2

( )ϕθ ,,,, rmlnΨ “Orbital”

ℓ = 0 1 2 3 4s p d f g

sharpprimary

diffusefundamental

( )∫ =Ψ 1,,,,2 dVrmln ϕθ

( )ϕθ ,,,,2 rmlnΨ probabilidade

normação

( )ϕθ ,,2 rΨ → “densidade” de probabilidade → num ponto: (r,θ,ϕ) ou (x,y,z)

( )dVr ϕθ ,,2Ψ → probabilidade → num elemento de volume dV

( ) 02

0

23

00,2 2

221 a

rZ

ea

rZaZrR

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ( ) 02

0

23

01,2 62

1 aZr

ea

rZaZrR

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

Å529,02

20

0 ==em

ha

πε

Funções radiais, Rn,l(r)

( ) 023

00,1 2 a

rZ

eaZrR

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nodo(sup. nodal)

2s1s 2p

)(20,2 rR

)(0,2 rR

)(1,2 rR)(2

1,2 rR

Densidade de Probabilidade

Corrigir para o elemento de volume, dV

2s

2p

dr

dV

r

R2(r)dV = ?

drrdV

rdrdV

rV

2

2

3

4

4

34

π

π

π

=

=

=

R2(r)dV = 4 π r2 R2(r)dr

(coroa esférica)

)(20,2 rR)(0,2 rR

)(1,2 rR)(2

1,2 rR

)(4 20,2

2 rRrπ

)(4 21,2

2 rRrπ

2s

2p

)(0,1 rR)(4 2

0,12 rRrπ

Orbital 1s

Máximo de probabilidade == raio de Bohra0 = 0.529 Å

)(0,3 rR )(4 20,3

2 rRrπ

)(1,3 rR

)(2,3 rR

)(4 21,3

2 rRrπ

)(4 22,3

2 rRrπ

3s

3p

3d

n = 3

Número de nodos: n - ℓ - 1

“penetrabilidade” das orbitais:s > p > d

21

0,0 41

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Υ

π

zp=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Υ θ

πcos

43 2

1

0,1

ϕθπ

ie±± ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Υ sen

83 2

1

1,1

Função angular, Yl,m(θ,φ)

orbitais s orbitais p

ϕθπ

cossen43)(

21 2

1

1,11,1

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= −YYpx

ϕθπ

sensen43)(

21 2

1

1,11,1

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= −YYipy

Forma e orientação das orbitais

Combinações lineares

21

0,0 41

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Υ

π

orbitais s

Independentes de θ e de φ esféricas

X

Y

Z

x

y

z

θ

ϕ

r

x

yz

x

y

z

X

Y

Z

x

y

z

θ

ϕ

rθ

x

y

z

θπ

cos43 2

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=zp

orbitais p z

y

x

x

y

z

+-x

y

z

+-

x

y

z

+

-

x

y

z

+-x

y

z

+- x

y

z

+

-

px py pz

x

y z

− ++−

x

yz

−+

+−

x

yz

−+

+−

x

yz

− +

+ −

x

yz

−

+

+

x

yz

+−+

x

yz

++ −

−x

yz

++ −−

x

yz

+

+ −

−

x

yz

++ −−

dx2-y2 dxydyz dxz dz2

orbitais d

Representação gráfica de orbitaisNuvem electrónica

Contornos exteriores

Superfícies de isoprobabilidade1s 2s

2p2p

2p 3p

Representação esquemática

x

y

z

s px pypz

dz2 dx2-y2 dxy dxz dyz

A

B

x

y

z

+

+

A

B

x

y

z

+

-

z

x

A

B

B'

A'

-+

+-

antissimétricas (u)orbitais fsimétricas (g)orbitais dantissimétricas (u)orbitais psimétricas (g)orbitais s

Simetria das orbitais(centro de simetria)

geradeungerade

Energia das orbitais (átomo de H)

H Ψ = E Ψ

∫ ∫ Ψ=ΨΨ dVEdVH 2

∫∫

Ψ

ΨΨ=

dV

dVHE

2

20

2

24

2 81

ε−=

hZme

nE

= modelo de Bohr(só depende de n)