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Mecnica de Fluidos Tema N 1. Introduccin y Definiciones.
Por C. Morales, S. Valentino y A. De Almeida
TEMA N1. Introduccin y Definiciones
1. Mecnica de Fluidos Es el rea de la ingeniera que estudia los
fluidos tanto en movimiento (el
fenmeno del flujo de fluidos), como en reposo.
2. Fluido Es una sustancia que se deforma continuamente bajo la
aplicacin de un esfuerzo
de corte (tangencial), sin importar lo pequeo que pueda ser este
esfuerzo
(enfoque mecnico). De este modo, los fluidos abarcan las fases
lquidas y
gaseosas (o de vapor) de las formas fsicas en las cuales existe
la materia
(enfoque clsico).
Si el fluido se deforma se genera el fenmeno de flujo
(movimiento de un fluido a
travs de un conducto abierto o cerrado), se dice que el fluido
fluye.
3. Sistema Es una cantidad de masa fija e indetectable, cuyas
fronteras lo separan de sus
alrededores, y con las cuales no hay transferencia de masa.
4. Volumen de Control Es un volumen arbitrario, en el espacio, a
travs del cual circula fluido. La frontera
geomtrica del volumen del control se llama superficie de
control. Esta puede ser
real o imaginaria, y puede encontrarse en reposo o en
movimiento.
5. Flujo Estacionario Cuando las propiedades en cualquier punto
en un campo de flujo no cambian con
el tiempo, el flujo se denomina estacionario. En flujo
estacionario, cualquier
propiedad puede variar de un punto a otro en el campo, pero
todas las
propiedades permanecen constantes en el tiempo en todo
punto.
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6. Esfuerzo Es el efecto que genera una fuerza de magnitud dada
(F), sobre un rea de
seccin (A).
seccinderea aplicada FuerzaEsfuerzo
El esfuerzo es una magnitud tensorial (una matriz de 3x3) y
puede ser de dos tipos
segn la direccin relativa de la fuerza respecto al rea sobre la
cual acta:
6.1. Esfuerzo Tangencial o de Corte (o de Cizalla)
Es aquel generado por la accin de una fuerza tangencial a un rea
de seccin.
El esfuerzo tangencial o de corte viene a ser:
AFt= : Esfuerzo tangencial o de corte
Un ejemplo de esfuerzo tangencial es el asociado al efecto de
deslizamiento de un
esquiador sobre el hielo. Otro ejemplo es el asociado al efecto
de esparcir
mantequilla sobre una rebanada de pan.
Los esfuerzos tangenciales actan sobre un cuerpo de fluido
generando la
posibilidad de movimiento (deformacin) de ste.
6.2. Esfuerzo Normal
Es aquel generado por la accin de una fuerza normal
(perpendicular), ya sea por
tensin o compresin, a un rea de seccin.
Ft A
Fuerza tangencial (Ft) rea de seccin o de corte (A)
Fn
A
Fuerza normal (Fn) rea de seccin (A)
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El esfuerzo normal viene dado por:
AFn= : Esfuerzo normal
Un ejemplo de esfuerzo normal es el de la presin hidrosttica, el
cual es de
compresin.
7. Clasificacin de los Fluidos Para clasificar a los diversos
tipos de fluidos existentes, se puede recurrir a
diferentes criterios o puntos de vista. Los fluidos pueden
clasificarse segn tres
enfoques diferentes de acuerdo a: su viscosidad, su densidad y
segn su
reologa.
7.1. Segn su Viscosidad
Debido A la relacin existente entre la viscosidad y el
movimiento o flujo del fluido,
se hablar de tipo d flujo de acuerdo a la viscosidad de la
siguiente manera:
7.1.1. No Viscosos (Ideal)
Los flujos en donde los efectos de la viscosidad se desprecian
se denominan no
viscosos. En un flujo no viscoso, la viscosidad del fluido se
supone igual a cero.
Los fluidos con viscosidad cero no existen; sin embargo hay
muchos problemas
donde el despreciar las fuerzas viscosas simplifica el anlisis,
y al mismo tiempo,
conduce a resultados significativos.
7.1.2. Viscosos
Cuando los efectos de la viscosidad no pueden ser ignorados en
el anlisis de
flujo, este se denomina rgimen de flujo viscoso y puede ser de
dos tipos: flujo
viscoso en rgimen laminar y flujo viscoso en rgimen turbulento.
Puede
distinguirse una zona de transicin entre ambos regmenes, al
igual que pueden
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observarse dos zonas de rgimen turbulento conocidas como de
turbulencia
completa y de turbulencia no completamente desarrollada.
7.1.2.1. Rgimen Laminar
En el rgimen laminar, la estructura de flujo se caracteriza por
un movimiento
continuo en lminas o capaz. En el flujo laminar no hay mezcla
macroscpica de
capaz de fluido adyacentes. Un delgado filamento de tinta
inyectado en un flujo
laminar aparece en una sola lnea; no hay dispersin de la tinta
por todo el flujo,
excepto la dispersin lenta debida al movimiento molecular.
7.1.2.2. Rgimen Turbulento
La estructura de flujo en el rgimen turbulento se caracteriza
por movimientos
tridimensionales al azar de partculas de fluido que se suman al
movimiento
promedio. Un filamento de tinta inyectado en un flujo turbulento
se dispersa con
rapidez por todo el campo de flujo, esto es, la lnea de tinta se
descompone en
innumerables hilos enmaraados.
7.2. Segn su Densidad
Todo fluido tiene una densidad, la cual permite clasificarlo de
la siguiente forma:
7.2.1. Fluido Incompresible
Es aquel para el que la densidad no cambia de manera
significativa con los
cambios de presin y temperatura. Ejemplo: los lquidos.
7.2.2. Fluido Compresible
Es aquel para el que la densidad si cambia de manera apreciable
con los cambios
de presin y temperatura. Ejemplo: los gases.
En este mismo orden de ideas, el fenmeno de flujo se puede
clasificar en:
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Flujo incompresible: Es aquel en el que la densidad del fluido
no cambia con la variacin de temperatura y/o de presin de una
seccin a otra del
conducto en el cual circula.
Flujo compresible: Es aquel en el que la densidad del fluido
cambia con la variacin de temperatura y/o de presin de una seccin a
otra del conducto
en el cual circula.
7.3. Segn su Reologa
La reologa se define como la ciencia que estudia el flujo de los
fluidos, a travs
del anlisis de su deformacin. La reologa clasifica a los fluidos
en dos grandes
grupos: los newtonianos y los no newtonianos.
7.3.1. Newtonianos
A travs de ellos se define la propiedad de viscosidad, y todos
cumplen o siguen
una ley de transferencia fundamental, que es la Ley de Newton de
la Viscosidad.
Ejemplos de fluidos newtonianos son el agua, aire, benceno,
crudos livianos y
medios, etc. La mayora de los gases y lquidos pueden catalogarse
tambin como
fluidos newtonianos.
7.3.1.1. Ley de Newton de la Viscosidad
Imaginemos dos placas planas y paralelas con un rea superficial
A separadas
por una distancia d (por lo general, esta distancia es muy
pequea).
Supongamos que entre ellas existe un fluido contenido (por
ejemplo, el aire que
se encuentra entre dos hojas de papel); adicionalmente en un
instante inicial el
fluido est quieto entre las dos placas.
dFluido contenido
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Supongamos que las dos placas son lo suficientemente anchas y
largas; esta
condicin hace que se eliminen efectos de borde o entrada sobre
el movimiento
del fluido contenido; de esta manera, se garantiza que cuando el
fluido se mueva,
lo har de manera continua y uniforme, sin perturbaciones (esto
permite adems,
establecer que el fluido se mueve en una sola direccin).
Supongamos tambin que el fluido contenido es un fluido viscoso
laminar, de
manera que cuando se mueva lo haga en forma de capas
consecutivas.
Esta condicin de movimiento del fluido por capas, permite
establecer que cada
una de ellas se mover con una velocidad diferente. La diferencia
entre las
velocidades ser originada por el efecto de roce o friccin entre
cada una de las
capas. Este roce se produce debido a que si el fluido es
viscoso, entonces posee
una viscosidad. Si cada capa de fluido se mueve con una
velocidad particular,
entonces en toda la distancia d se genera un perfil de
velocidades.
Supongamos que la causa del movimiento del fluido es la accin de
una fuerza
tangencial (Ft ) aplicada sobre la lmina superior; producto de
esta fuerza
constante, la placa se mueve de manera uniforme con una
velocidad 0V
(constante); esto origina un movimiento constante y uniforme de
las capas de
fluido entre las placas. Supongamos que la placa inferior no se
mueve.
Capas de Fluido
x
y
Ft 0VV =
0=V
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Por ltimo, supongamos la existencia de una condicin de
adherencia, esto es,
que las capas de fluido que estn en contacto con las lminas,
estn adheridas a
ellas, de manera que en el movimiento, estas capas adquieren la
velocidad de las
lminas.
Si colocamos un sistema de coordenadas como el mostrado, esto
permite
establecer que: 0=y 0=V
dy = 0VV =
Por definicin, la Ley de Newton de la Viscosidad es una Ley de
Transferencia, y
toda Ley de Transferencia establece desde el punto de vista
fsico que:
Cantidadsistencia
impulsoraFuerzaaTransferidRe
..
En el caso que estamos estudiando:
La Fuerza impulsora dVx es el gradiente de velocidad. Desde un
punto de vista global, es decir, tomando en cuenta las capas
adheridas, se puede
decir que:
dVx Vx V0 -0
La Cantidad Transferida es el esfuerzo de corte o tangencial (la
cual posee unidades de presin).
La Resistencia d/ es el agente que se opone al movimiento del
fluido, asociado al roce o friccin entre las capas. Donde se define
como la viscosidad dinmica del fluido, la cual depende de la
temperatura y
presin del sistema, as como de la estructura de la molcula que
compone
al fluido.
-
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dy y d
En resumen, las consideraciones ms importantes hechas en este
anlisis son:
Estado Estacionario: movimiento uniforme, continuo y estable del
fluido. Rgimen Laminar: movimiento del fluido por capas. Fluido
Newtoniano: el fluido sigue la Ley de Newton de la Viscosidad.
De esta manera:
dV
AFt 0 ==
Por lo tanto, si la viscosidad es grande, se debe aplicar una
fuerza mayor para
deformar el fluido.
La ecuacin anterior es la Ley de Newton de la Viscosidad,
integrada en toda la
distancia d entre las lminas; a esta ley tambin se le conoce
como la Ley de
Transferencia de Cantidad de Movimiento.
En este sentido, la Ley de Newton de la Viscosidad establece en
forma general
que la velocidad con la cual se transfiere la cantidad de
movimiento depende no
slo de la magnitud de la fuerza aplicada, sino tambin de una
propiedad del
fluido, llamada viscosidad ( ), que es una medida de la
resistencia a la deformacin y flujo. De hecho, esta ley es la
definicin de la viscosidad.
En forma general esta ley expresa lo siguiente:
dydU x =
-
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Existe una analoga con la transferencia de calor y momento por
medio de las
leyes de transferencia; esto es, si comparamos la transferencia
de calor por
conduccin (Ley de Fourier) y la Ley de Newton de la Viscosidad,
vemos la
siguiente similitud:
Ley de Fourier
dxdTkq
AQ ==*
Si k , entonces q y *Q
Ley de Newton de la Viscosidad
dy
dUxAum
AFt ===
*.
Si , entonces , um.* y Ft En algunos textos (Bird, Stewart y
Lightfoot, 1975), incluso se incluye el signo
negativo en la ecuacin de la Ley de Newton en base a su
convencin y sistema
de referencia.
7.3.2. No Newtonianos
Son los que no cumplen la Ley de Newton de la Viscosidad, y que
se identifican
por medio de otros parmetros reolgicos.
Ejemplo de ellos son la pasta de tomate, pasta dental, pasta de
yeso o cemento,
entre otros.
As como existe la Ley de Newton de la Viscosidad para definir
los esfuerzos de
corte de un fluido newtoniano, tambin existe la Ley de Potencia
o Modelo de
Ostwald de Waele que permite conocer no slo los esfuerzos de
corte para un
fluido newtoniano sino tambin para un fluido no newtoniano del
tipo
pseudoplstico o dilatante mediante la siguiente ecuacin:
-
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dydU
dydUm x
nx
yx
1=
Donde los parmetros m y n se determinan a travs de estudios
reolgicos, y la
diferencia del valor de n respecto a la unidad indica que tanto
se aleja o se acerca
el fluido de un comportamiento newtoniano. Por lo tanto,
para:
1=n el fluido se considera como newtoniano y m es la viscosidad
tal y como ha sido definida.
1n el fluido se considera dilatante.
7.3.2.1. Pseudoplsticos
Es aquel en el que la resistencia a la deformacin disminuye al
aumentar el
esfuerzo de corte (la pendiente disminuye). Si este efecto es
muy evidente,
entonces el fluido se denomina plstico.
yx
dydUx
Plstico
1>n
1
-
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7.3.2.2. Dilatantes
Es aquel fluido en el que la resistencia a la deformacin aumenta
al aumentar el
esfuerzo de corte (la pendiente aumenta).
7.3.2.3. Plstico de Bingham
Es el caso lmite de una sustancia plstica, ya que requiere de un
esfuerzo
mnimo necesario que se debe aplicar para empezar a mover el
fluido. Este
tambin se define por parmetros reolgicos y deben considerarse
dos
ecuaciones para determinar el perfil de velocidades a partir de
los esfuerzos de
corte, estas son:
Si 0 yx , entonces 0=dydUx (Ec. 1)
Si 0 >yx , entonces 00 += dydUxyx (Ec. 2)
Donde
0 : es el esfuerzo de cedencia (esfuerzo infinito) o mnimo
necesario para mover el fluido (tambin se le conoce como lmite de
frecuencia).
0 : viscosidad plstica.
Un ejemplo de este tipo de fluido es la pasta de dientes, la
salsa de tomate y la
pasta de chocolate.
0
yx
dydUx
Newtoniano
Plstico de Bingham
1.Ec
2.Ec
0
-
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El perfil de velocidad tpico de un plstico de Bingham se muestra
de la siguiente
manera:
Ejemplo:
Fluido de plstico de Bingham contenido entre dos placas planas
paralelas,
infinitamente anchas y largas.
Para determinar el perfil de velocidades se hace un balance de
fuerzas sobre un
cuerpo de fluido:
pyx FF = ppyx AA ** =
pyx =
y
x
2.Ec 1.Ec
2.Ec
Fp Fyx
0V
0=V
-
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teconsdy
dUp
xyx tan00 ==+=
px
dydU =+ 00
00 = pxdydU
0
0
= px
dydU
Integrando se obtiene que
10
0)( CyyU px +=
Con las condiciones de borde se determina el valor de la
constante de integracin
1C . Se conoce que:
0=y 0=xU =y 0VU x =
Se encuentra que para 0=y y 0=xU , 01 =C
yyU px0
0)( =
Para =y y 0VU x = se encuentra que:
0
00
= pV
000
+= Vp Por lo tanto se tiene que el perfil de velocidades viene
dado por:
yVyU x 0)( =
En este caso es el mismo que para el caso de fluido
newtoniano.
Si se quiere conocer pF , entonces:
-
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000
+== VAF
p
pp
+= 000 VApp
8. Viscosidad Es una propiedad que tienen los fluidos, que
representa la resistencia que stos
ofrecen a fluir. Tambin se conoce como viscosidad dinmica.
8.1. Unidades de Viscosidad
La viscosidad posee dimensiones de masa sobre longitud y tiempo,
esto es:
*L
M
Para el Sistema Internacional (S.I. o M.K.S.) de unidades se
tiene que:
sPasm
Kg **
=
Mientras que para el sistema de unidades C.G.S. se obtiene:
)(*
pPoisescm
g =
El poise es una de las unidades de viscosidad ms utilizadas as
como el
centipoise (cp), donde cpp 1001 =
-
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La ventaja prctica de usar el centipoise es que se puede
comparar la viscosidad
de otros fluidos con la del agua a 20C.
cpcpCOH 10019,1202 = (valor medido experimentalmente) sPacp
*10*11 3=
8.2. Viscosidad de Gases y Lquidos
La viscosidad de un fluido depende de la temperatura en gran
proporcin, de la
estructura de la molcula y de la presin en muy menor grado.
La viscosidad de los gases a temperatura ambiente se halla entre
0,005 y 0,02cp;
y esta aumenta siempre con la temperatura (en forma apreciable)
y con la presin
slo cuando la misma se aproxima a la presin crtica del gas, por
lo que en la
mayora de los casos prcticos su efecto puede ser
despreciable.
Los lquidos poseen valores de viscosidad mucho mayores a la de
los gases, y por
lo general, se incrementan con la presin, pero la funcionalidad
con la presin es
despreciable si la presin est por debajo de las 40atm. La
viscosidad de los
lquidos disminuye con el aumento de la temperatura. El rango
para la viscosidad
en los lquidos se encuentra entre 0,1 y 106cp para polmeros
fundidos.
Los valores tpicos de densidad y viscosidad para el agua y el
aire a algunas
temperaturas son los que se muestran a continuacin:
Agua Temperatura (C) Densidad (Kg/m3) Viscosidad *103
(Kg/m*s)
0,0 999,6 1,786
15,6 998,0 1,131
26,7 996,4 0,860
37,8 994,5 0,682
-
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Aire Temperatura (C) Densidad (Kg/m3) Viscosidad *105
(Kg/m*s)
0,0 1,293 1,72
10,0 1,246 1,78
37,8 1,137 1,90
65,5 1,043 2,03
9. Viscosidad Cinemtica Es una relacin entre la viscosidad y la
densidad del fluido. A veces conviene
manejar esta relacin.
=
9.1. Unidades de Viscosidad Cinemtica
La viscosidad cinemtica posee dimensiones de longitud cuadrada
sobre tiempo,
esto es:
[ ] [ ][ ]
=
==
2
3
* L
LM
LM
En el S.I. se tiene que la viscosidad cinemtica se expresa
as:
sm2
Donde
sftStsm 242 7639,10101 ==
Mientras que en el sistema de unidades C.G.S. se tiene que:
)(2
StStokes
cm =
-
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Donde
scmSt
211 =
StescentistockcSt 210*1)(1 =
La ventaja prctica de usar el centistockes es que se puede
comparar la
viscosidad cinemtica de otros fluidos con la del agua a 20C.
cStscmStCOH 101,001,02
202 =
El uso de la viscosidad cinemtica es importante en los casos en
que las fuerzas
viscosas y las fuerzas gravitacionales coexisten de manera
significativa.
La dimensin de viscosidad es idntica a la del coeficiente de
difusin en
transferencia de masa y a la de la difusividad trmica en
transferencia de calor.
Hay una analoga definida entre las tres variables. De hecho, la
viscosidad
cinemtica gobierna la velocidad de difusin de cantidad de
movimiento en los
regmenes laminar y turbulento de los fluidos.
10. Ejemplo 1: Problema N7 de la gua Se tienen dos placas planas
paralelas de largo L y ancho B, separadas a una
distancia h, entre las que est contenido un fluido con
viscosidad . La placa superior se mueve con una velocidad V0 (hacia
la izquierda) y la inferior con una
velocidad 3 V0 (hacia la derecha). Determine, en estado
estacionario, lo siguiente:
a. El perfil de velocidad para el movimiento del fluido.
Explique qu ocurre.
b. La velocidad para la capa de fluido que se encuentra en un
punto ubicado
en h/2.
c. La distancia, medida desde la placa inferior, en la que la
velocidad se hace
cero.
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d. Para la capa de fluido ubicada a la distancia calculada en
(c), determine la
fuerza aplicada y el esfuerzo de corte presente.
e. Explique la relacin entre el perfil de esfuerzos de corte y
el perfil de
velocidad para este caso. Tome en cuenta en su anlisis los
puntos
caractersticos del perfil de velocidades.
Movimiento no acelerado pf FF = Adicionalmente pfpf AA ==
== xpxp dUdydydU )(1 yUCy x
p =+
Si 0=y y 03VUx = , entonces 01 3VC =
03)( VyyUp
x +=
Luego, para hy = y 0VUx =
hV
p 04=
a) Finalmente el perfil de velocidades es:
= yh
VyUx43)( 0
Ntese que al evaluar el perfil en los extremos se cumplen las
condiciones de
borde. Algunas lminas de fluido se movern a la derecha y otras a
la izquierda, y
para la posicin hy43= el fluido no se mueve.
x
y h
B
L
y = 0 Ux = 3Vo
y = h Ux = -Vo
Fp Ff
-
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b) 00 243
2Vh
hVhUx =
=
c) hy43=
d) El esfuerzo de corte es constante:
hV
p 04==
y la fuerza es h
BLVF
hV
LBF 00 44.
==
e) Perfiles
11. Ejemplo 2: Problema N8 de la gua Un tubo hueco de 60cm de
largo y 2cm de dimetro interno se debe deslizar sobre
un cable de 1.8cm de dimetro. Entre ambos slidos se encuentra un
lquido no
newtoniano que cumple con la ley de potencia Oswald de
Waele:
n
dydUm
= ; donde 5.0=n y 2*40 cm
sdinasmn
=
A qu velocidad se deslizar el tubo, si se le aplica una fuerza
de 1.5Kgf?
Determine el perfil de velocidades, la distribucin de esfuerzos
cortantes y el
esfuerzo de corte en la superficie del cable.
Error!
y=h
y=0
y=3/4
Perfil de velocidades Perfil de esfuerzos de corte
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dinasKgfcmrFrz510*715.145.1)1( ===
?)1( 0 === VcmrUz ?)( =rUz
?=rz ?)9.0( == cmrrz
Condiciones de borde:
1Rr = 0=zU 2Rr = 0VUz =
Aplicando un balance de fuerzas a un cuerpo de fluidos:
rzp FF =
rzrzpp AA ** = LrLR rzp 2*2* 1 =
rR rzp ** 1 =
rzp
rR =1*
Igualando con la ley de Oswald: n
zp
drdU
mr
R
=1*
zn
np dU
rdr
mR =
/1
/11 *
*
R1=0.9cm
L=60cm
R2=1cm
Z
r Fluido No Newtoniano
Fzr Fp
-
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=
zn
np dUdrrm
R /1/1
1 **
Se resuelve la integral
1
11
1
)1()( Cr
nn
mR
rU nn
npz +
=
Se determina 1C con las condiciones de borde:
Para 1Rr = y 0=zU
= nnnp R
nn
mR
C1
1
1
11 )1(
Entonces:
=
n
nn
nnp
z Rrnn
mR
rU1
1
11
1
)1()(
Como se conoce la fuerza aplicada al tubo de radio 2R se puede
conocer p :
AF= , entonces para
1
2
2)(LR
FFRrF rzprzp
====
Sustituyendo esta ltima ecuacin en la ecuacin del perfil de
velocidades, se
obtiene un perfil ms general para las velocidades:
=
n
nn
nnp
z Rrnn
LmF
rU1
1
11
)1(2)(
Para prz FdinasKgfcmrF ==== 510*715.145.1)1( cmR 12 = cmL
60=
cmR 9.01 =
5.0=n y 25.0*40
cmsdinasm =
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Se obtiene que la velocidad con la que se desliza el tubo sobre
el cable es:
scmVcmrUz 1058)1( 0 ===
Para determinar el perfil de esfuerzos de corte se tiene: n
dydUm
=
y como dr
dUmr
R zn
p =
/11*
= npz
LmrF
drdU
1
2
Sustituyendo esta ltima ecuacin en la ecuacin de la Ley de
Oswald se obtiene
el perfil de esfuerzos de corte:
=
LrF
r prz 2)(
El esfuerzo de corte para la superficie del cable, con los datos
presentados
anteriormente, sera el siguiente:
24337)9.0( cmdinascmrrz ==