REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POULARA PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL PORTUGESA-GUANARE Bachilleres: Yolvis Simanca Asdrúbal Peraza Carlo Casamoyor Enso Montana Carlo Viscalla Andrés Rodríguez Prof. Ing. Abilexy Montilla
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Microclase de Mecanica de Fluido Trabajo2 Modificado
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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POULARA PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
PORTUGESA-GUANARE
Introducción
Bachilleres:
Yolvis Simanca
Asdrúbal Peraza
Carlo Casamoyor
Enso Montana
Carlo Viscalla
Andrés Rodríguez
Prof. Ing. Abilexy Montilla
El comportamiento de los fluidos es un fenómeno común a la vida
diaria, el estudio de su mecanismo es esencialmente impulsado por entender
la física involucrada en él, así como su control en diversas aplicaciones de
ingeniería. Diferentes ramas de la ciencia estudian en común la mecánica de
los fluidos, su comportamiento, su estudio y su función en la vida a nivel
científico.
Un fluido, no es más que una sustancia que sufre una deformación
continua cuando se le aplica un esfuerzo cortante muy pequeño a diferencia
de un sólido elástico cuando se le aplica un esfuerzo cortante, este no se
deforma continuamente, sino que asume una configuración determinada fija.
Estas distinciones entre un sólido y un fluido son muy simplificadas ya que
existen ciertos materiales que exhiben ambas características.
Sistema de coordenadas, acelerado y rotario.
La rotación, ω, de una partícula de fluido se define como la
velocidad angular promedio de dos elementos de línea cualesquiera de
la partícula, mutuamente perpendiculares. La rotación es una cantidad
vectorial. Una partícula que se mueve en un campo de flujo tridimensional
puede rotar alrededor de los tres ejes coordenados,
Como se comentó anteriormente, el movimiento arbitrario de un
elemento de fluido consta de traslación, rotación y deformación. Para
ilustrar la rotación de un elemento de fluido, considérese, para un tiempo t
= to , el volumen de control mostrado en la Figura 3.12. Por simplicidad,
se selecciona un elemento rectangular infinitesimal que se traslada en el
plano z= 0, con una velocidad (u, v),en su esquina número
1. Las longitudes de los lados, paralelos a las direcciones x e y son
Δx y Δy, respectivamente.
Figura 3.12 Velocidad angular de un elemento rectangular de fluido
Debido a las variaciones de velocidad, el elemento de fluido puede
rotar y presentar deformación en forma simultánea, por ejemplo, la
componente x de la velocidad en la esquina superior (No. 4) del elemento
está dada por
u+(∂u/∂ y)Δy, donde los términos de orden superior son despreciados. En
un tiempo posterior (t = to+ Δt) esta diferencia en las velocidades de los
segmentos 1–2 y 3–4 causará deformación en el
diferencia en las velocidades de los segmentos1–2 y 3–4 causará
deformación en el elemento de fluido, como se muestra en el lado
derecho de la Figura 3.8. La componente de la velocidad angular ωz
del elemento de fluido puede obtenerse al promediar las velocidades
angulares instantáneas del los segmentos 1–2 y 1–4 del elemento. La
velocidad angular instantánea del segmento 1–2 es la diferencia en las
velocidades lineales de las dos aristas de este segmento dividido por la
distancia Δx,
La componente z de la velocidad angular del elemento de fluido
es, por lo tanto, el promedio de estas dos componentes,
Las dos componentes adicionales de la velocidad angular se pueden
obtener de forma similar, con lo que:
De esta forma, el vector de velocidad angular queda expresado por
Esta expresión puede presentarse en notación vectorial como
Una partícula de fluido moviéndose sin rotación en un campo de flujo,
no puede desarrollar una rotación bajo la acción de una fuerza másica o de
fuerzas de superficie normales (presión). El desarrollo de rotación en una
partícula de fluido, inicialmente sin ese movimiento, requiere de la acción de
un esfuerzo cortante sobre la superficie de la partícula. Puesto que el
esfuerzo cortante es proporcional a la relación de deformación angular,
entonces una partícula que se encuentra inicialmente sin rotación no
desarrollará una rotación sin una deformación angular simultánea. El
esfuerzo cortante se relaciona con la relación de la deformación angular
mediante la viscosidad. La presencia de fuerzas viscosas significa que el
flujo es rotacional. La condición de irracionalidad puede ser una
suposición válida para aquellas regiones de flujo en las que son
despreciables las fuerzas viscosas. Una cantidad que es conveniente
introducir en este punto es la verticidad, la cual está definida como el doble
de la velocidad angular
La verticidad es una medida de la rotación de un elemento de fluido
conforme éste se mueve en el campo de flujo.
Velocidad angular de un elemento fluido
Si tenemos un fluido (liquido o gas) que este en reposoeste ejercerá una
fuerza perpendicular a cualquier superficie que este en contactocon él, como
la pared del recipiente o un cuerpo sumergido en el fluido .Si suponemos una
superficie dentro del fluido, éste ejerce fuerzas iguales y opuestas a cada
lado de ella (si no, la superficie se aceleraría y el fluido no permanecería en
reposo). Supongamos una superficie pequeña de área dAcentrada en un
punto en el fluido. La fuerza normal ejercida por el fluido sobre cada lado es
dF⊥.Se define presiónPen ese punto a la fuerza normal por unidad de área.
Ec. (1)
Si la presión es la misma en todos los puntos de la superficie plana finita de
área A, entonces:
Ec. (2)
Donde F⊥es la fuerza normal neta sobre un lado de la superficie. Además,
sobre la superficie libre del fluido actúa la presión atmosférica Po. A nivel del
mar es:
Ec. (3)
Mediante sencillas consideraciones podemos deducir una expresión general
entre la presión Pen cualquier punto de un fluido en reposo y la altura z del
mismo. Sabiendo que la densidad ρy la aceleración debida a la gravedad g
son las mismas en todo el fluido, si éste está en equilibrio cada elemento de
volumen también lo estará. Si tomamos un elemento delgado, de altura dz,
con superficies inferior y superior de área A, ubicadas a alturas z y z+dzpor
encima de algún nivel de referencia donde z=0 (Figura 1). El volumen del
elemento de fluido es:
Ec. (4)
y su masa dmy la fuerza peso dWque actúa sobre esta masa son:
Ec. (5)
Ec. (6)
Las otras fuerzas que actúan sobre este elemento son las fuerzas de
presión. La presión en la superficie superior es p+dpy en la inferior es p
(Figura 1).
Figura. 1
Representación gráfica de un diferencial de volumen del fluido en la dirección
z (en esta dirección el fluido se encuentra en reposo).
Como el elemento de fluido está en equilibrio en la dirección z, usando la
segunda ley de Newton obtenemos que la fuerza neta en esta dirección debe
anularse:
Ec. (7)
Es decir: Ec. (8)
Usando las expresiones (4) y (6) obtenemos:
Ec. (9)
Y finalmente:
Ec. (10)
Para ajustar la presión hay que realizar el mismo razonamiento en la
dirección x del sistema. Este estudio se realizó con una aceleración
determinada en la dirección x. Por esta razón, usando las leyes de Newton,
la fuerza neta es:
Ec. (11)
A continuación se desarrolla el mismo razonamiento para los dos sistemas
estudiados.
Primer caso:Si sometemos un recipiente a una aceleración constante en la
dirección creciente de x (ver Figura 2). Como consecuencia la superficie
adquiere una pendiente distinta de cero.
figura.(2)
Figura 2-Izquierda: Recipiente de largo Lque contiene un fluido en reposo.
Derecha: Al acelerar uniformemente el recipiente se observa el cambio en la
pendiente de la superficie libre del fluido.
Imaginamos un volumen pequeño de ancho dx. La presión aplicada sobre el
mismo es psobre la cara izquierda y p+dpsobre la cara derecha (ver Figura
3).
figura.(3)
Figura 3- Representación gráfica de un elemento diferencial de volumen del
fluido sometido a una aceleración constante en el sentido de xcreciente.
Usando la ley de Newton (ecuación (11)) obtenemos:
Ec. (12)
Donde A es el área de la superficie y dmla masa del volumen elegido. Con
las relaciones definidas por la ecuación (5):
Ec. (13)
Finalmente obtenemos:
Ec. (14)
De las Ec. (10) y (14) obtenemos:
Ec. (15)
De donde vemos que si z aumenta, Pdisminuye. Es decir que al subir en el
fluido, la presión disminuye.
Para obtener la constante αplanteamos condiciones de contorno. Sabemos
que el punto medio de la superficie del fluido en x0 = L/2 se mantiene
constante (a la altura inicial del líquido en reposo); entonces:
Ec. (16)
Por otro lado, en la superficie del líquido la presión es siempre la misma y
vale P0.
Ec. (17)
Ec.(18)
Despejando z, obtenemos la forma de la superficie del líquido:
Ec. (19)
que, como vemos, depende de x. La expresión (19) obtenida se reduce a
z=h=cte. Cuando a=0 (fluido en equilibrio).
Segundo caso: Si hacemos girar el fluido con velocidad angular constante ω
alrededor de su eje de simetría, estamos aplicando una aceleración radial
constante dirigida hacia el eje. De esta manera se forma una superficie libre
curva debido a los cambios en la presión generados por este movimiento (ver
Figura 4).
Figura (4)
Izquierda: Recipiente con un fluido en reposo. Derecha: Al acelerar al
recipiente radialmente se observa el cambio en la forma de la superficie libre
del fluido.
La resolución de este problema es muy similar al Caso 1, teniendo en cuenta
que en el presente caso, la aceleración, como es radial, apunta hacia el eje
de rotación (ver Figura 5).
Figura.(5)
Representación gráfica de un elemento diferencial de volumen del fluido en
rotación.
A través del uso de las leyes de Newton (ecuación (11)) resulta:
Ec. (20)
Usando el mismo razonamiento con el que se determinó la presión en
función de la altura obtenemos:
Ec.(21)
Combinando las expresiones (10) y (21) obtenemos:
Ec.(22)
Al igual que en el Caso 1 sabemos que sobre la superficie la presión es igual
a P0:
Ec.(23)
Para obtener la constante αplanteamos condiciones de contorno, para lo que
tomamos en cuenta que el volumen del fluido se mantiene constante. Como
la profundidad del recipiente no varía, en este caso lo que se mantiene
constante es el área (región sombreada de la Figura 4). De esta forma
planteamos que el área total bajo la curva z(x) debe ser igual al área inicial
(A= L h). Para resolver las integrales efectuamos los siguientes cambios de
variables:
Ec.(24)
Ec.(25)
Planteando las integrales y utilizando la ecuación (22):
Ec.(26)
de donde:
Ec.(27)
Igualando las expresiones (25) y (28) obtenemos:
Ec.(29)
y finalmente obtenemos la forma de la superficie del líquido z(x)
introduciendo (29) en (23):
Ec.(30)
Esta expresión predice que la superficie del fluido que gira con velocidad
angular constante Tomará la forma de una parábola. Del análisis de las
expresiones (19) y (30) podemos observar que, en el marco del modelo
propuesto, la forma que adopta la superficie del fluido acelerado no depende
de la densidad del mismo.
Volumen de control y sistema
Para aplicar las leyes físicas al flujo de un fluido es necesario definir los
concepto de volumen de control y de sitema.se entiende por volumen de
control una región fija en el espacio donde puede existir flujo de fluido a
través de sus fronteras. Por esta razón, en diferentes en instante, se pueden
tener diferentes partículas en el interior del volumen del control. Sistema se
refiere a un conjunto de partículas en el cual permanece siempre las
mismas.es decir, seestá observando siempre una cantidad fija de material.
El volumen de control está limitado poruna superficie cerrada, superficie de
Control, a través de la cual se realizanlos procesos de intercambio de
energía y
Masa con el entorno.
Una vez seleccionados el volumen y la superficie de control para nuestro
sistema, se analizan en ellos las siguientes características:
Conclusión
Se puede observar que al aplicar una aceleración constante a lo largo de una
dirección se forma una superficie
del fluido con pendiente distinta de cero; en
nuestro caso, como la aceleración tiene el mismo sentido en que crece el eje
x, la recta formada es de pendiente negativa. Por otro lado, al rotar el fluido
alrededor de su eje con una velocidad angular constante, sobre la superficie
del fluido se observa una parábola de concavidad positiva. Estas superficies
se forman debido al gradiente de presión que se genera en el fluido. Sería
interesante estudiar el comportamiento de fluidos de diferentes viscosidades
en presencia de una aceleración, ya que el modelo teórico no tiene en cuenta
las fuerzas viscosas.
Bibliografía
1. F. Sears, M. Zemansky, H. Young y R. Freedman, Física universitaria, vol.
1, 9aed.,
Addison-Wesley Longman, México, 1999.
2. Esta técnica de medición puede verse en: S. Gil y E. Rodríguez, Física re-
Creativa:
Experimentos de Física usando nuevas tecnologías, Prentice Hall, Buenos