Mecˆ anica dos Fluidos II (MEMec) Aula de Resolu¸ c˜ ao de Problemas n o 9 (Turbom´ aquinas: An´ alise dimensional e diagrama de Cordier) EXERC ´ ICIO 1 Considere as turbinas do tipo Francis do aproveitamento hidro- el´ ectrico de Cahora Bassa (Mo¸cambique). As caracter´ ısticas nominais s˜ao:altura de queda H=103.5 m, velocidade de rota¸c˜ ao N=107.1 rpm e potˆ encia P=415 MW. O diˆ ametro da roda ´ e de D=6.56 m. (Nota: despreze em primeira aproxima¸ c˜ ao os efeitos devidos ` a varia¸ c˜ ao do n´ umero de Reynolds e aos factores de escala.) 1. C´alcule o caudal nominal sabendo que o rendimento´ e de η = 93% 2. C´alcule a velocidade de rota¸c˜ ao, a potˆ encia e o caudal nominal de um modelo reduzido da turbina `a escala de 1/20 que se pretende ensaiar em laborat´ orio com uma altura de queda dispon´ ıvel de H m = 22 m. EXERC ´ ICIO 2 Foram efectuados ensaios com um modelo reduzido dum h´ elice mar´ ıtimo (diˆ ametro de 300 mm), tendo-se medido um rendimento m´aximo de η = 65% para uma velocidade de rota¸c˜ao de 250 rpm e uma rela¸c˜ ao de avan¸co de V av /N D =0.8. Nestas condi¸c˜ oes, a for¸ ca de propuls˜ ao medida foi de 890 N. Pretende-se instalar o prot´ otipo do h´ elice com 1.5 m de diˆametro num navio com velocidade de 30 n´os (55.6 km/h). Em condi¸ c˜oes de rendimento m´ aximo, c´ alcule: 1. A velocidade de rota¸c˜ao do h´ elice no prot´otipo. 2. A for¸ca de propuls˜ao. 3. A potˆ encia absolvida pelo veio. (Nota: despreze em primeira aproxima¸ c˜ ao os efeitos devidos ` a varia¸ c˜ ao do n´ umero de Reynolds e aos factores de escala.) EXERC ´ ICIO 3 Considere uma bomba com a qual se pretende transportar ´ agua dum rio (n´ ıvel de superf´ ıcie livre 0 m) para uma albufeira duma barragem sobre-elevada (n´ ıvel 123 m). As curvas carecter´ ısticas da bomba a 975 rpm est˜ao representadas na figura Ex.3, em que Q ´ e o caudal e H a altura de eleva¸c˜ao, e η o rendimento. As perdas de carga nas condutas (expressas em metro de altura de coluna de ´ gua)s˜ao9.0Q 2 na conduta de compress˜ ao e 1.0Q 2 na conduta de aspira¸c˜ ao (Q em m 3 /s). A temperatura da ´agua´ e de 20 o C.
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Mecanica dos Fluidos II (MEMec)
Aula de Resolucao de Problemas no9(Turbomaquinas: Analise dimensional e diagrama de
Cordier)
EXERCICIO 1 Considere as turbinas do tipo Francis do aproveitamento hidro-electrico de Cahora Bassa (Mocambique). As caracterısticas nominais sao: alturade queda H=103.5 m, velocidade de rotacao N=107.1 rpm e potencia P=415 MW.O diametro da roda e de D=6.56 m. (Nota: despreze em primeira aproximacaoos efeitos devidos a variacao do numero de Reynolds e aos factores de escala.)
1. Calcule o caudal nominal sabendo que o rendimento e de η = 93%
2. Calcule a velocidade de rotacao, a potencia e o caudal nominal de ummodelo reduzido da turbina a escala de 1/20 que se pretende ensaiar emlaboratorio com uma altura de queda disponıvel de Hm = 22 m.
EXERCICIO 2 Foram efectuados ensaios com um modelo reduzido dum helicemarıtimo (diametro de 300 mm), tendo-se medido um rendimento maximo deη = 65% para uma velocidade de rotacao de 250 rpm e uma relacao de avancode Vav/ND = 0.8. Nestas condicoes, a forca de propulsao medida foi de 890 N.Pretende-se instalar o prototipo do helice com 1.5 m de diametro num navio comvelocidade de 30 nos (55.6 km/h). Em condicoes de rendimento maximo, calcule:
1. A velocidade de rotacao do helice no prototipo.
2. A forca de propulsao.
3. A potencia absolvida pelo veio.
(Nota: despreze em primeira aproximacao os efeitos devidos a variacao do numerode Reynolds e aos factores de escala.)
EXERCICIO 3 Considere uma bomba com a qual se pretende transportaragua dum rio (nıvel de superfıcie livre 0 m) para uma albufeira duma barragemsobre-elevada (nıvel 123 m). As curvas carecterısticas da bomba a 975 rpm estaorepresentadas na figura Ex.3, em que Q e o caudal e H a altura de elevacao, eη o rendimento. As perdas de carga nas condutas (expressas em metro de alturade coluna de gua) sao 9.0Q2 na conduta de compressao e 1.0Q2 na conduta deaspiracao (Q em m3/s). A temperatura da agua e de 20 o C.
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Figura 1: Ex.3: Curva caracterıstica da bomba do exerıcio 3.
1. Calcule o caudal debitado
2. Cacule aproximadamente o diametro do rotor da bomba (admita que setrata de uma bomba de um andar, com rotor de entrada simples).
3. Calcule a potencia absorvida pela bomba sabendo que esta roda a 975 rpm.
EXERCICIO 4 Considere um ventilador radial utilizado para assegurar oescoamento de ar (ρ = 1.2 kg/m3) numa instalacao industrial em que a entrada e asaıda estao a pressao atnosferica. A perda de carga total na instalacao e dada (emPa) por 360Q2 (sendo Q o caudal volumico em m3/s). As curvas caracterısticasdo ventilador a velocidade de rotacao de 2900 rpm estao representadas na figuraEx.4 em que H e a altura de elevacao (em m) e η e o redimento (despreze asperdas mecanicas). (Nota: despreze em primeira aproximacao os efeitos devidosa variacao do numero de Reynolds e aos factores de escala.)
1. Calcule o caudal debitado e a potencia absorvida pelo ventilador quandoesta montado na instalacao referida e roda a 2900 rpm.
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Figura 2: Ex.4: Curva caracterıstica do ventilador do exerıcio 4.
2. Suponha que, para accionamento do ventilador, dispoe duma potencia maximade 15 kW. Calcule a velocidade maxima a que pode accionar o ventilador namesma instalacao sem exceder aquela potencia. Calcule o correspondentevalor do caudal.
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SOLUCOES
Ex.1: A partir da expressao para a potencia noveio da turbina P = ηρQgH,temos: Q = P/ηρgH = 415 × 106/(0.93 × 980 × 9.81 × 103.5) = 448.5 m3/s.O modelo e o prototipo sao maquinas geometricamente semelhantes, e por issotambem dinamicamente semelhantes. Consequentemente, os coeficientes adimensionais sao iguais no modelo e no prototipo. Do coeficiente de altura temos gH
N2D2 =gHm
N2mD
2m
, donde Nm = N(DDm
)√Hm
H= 107.1×20
√22
103.5= 987.6 rpm. Do coeficiente
de caudal vem: QND3 = Qm
NmD3m
, dondeQm = Q(Nm
N
) (Dm
D
)3= 448.5×
(987.6107.1
) (120
)3=
0.517 m3/s. Finalmente, do coeficiente de potencia vem PρN3D5 = Pm
ρN3mD
5m
, donde
Pm = P(Dm
D
)5 (Nm
N
)3= 415 × 106
(120
)5 (987.6107.1
)3= 101.7 × 103 = 101.7 kW.
Ex.2: O modelo e o prototipo sao geometricamente semelhantes de modoque os grupos adimensionais sao iguais para o modelo do helice e para o heliceinstalado no navio. Uma vez que no modelo temos
(Vav
ND
)m
= 0.8, a velocidade
de avanco no modelo e Vavm = 0.8× (250π/30)× 0.3 = 6.3 m/s. A velocidade de
rotacao no prototipo pode obter-se assim de(Vav
ND
)m
=(Vav
ND
)p, e vale N = Np =
Nm
(Vav
Vavm
) (Dm
D
)= 250 × (15.4/6.3) × (0.3/1.5) = 122.2 rpm.
A forca de propulsao pode obter-se igualando os coeficientes de fora:(
FρN2D4
)p
=(F
ρN2D4
)m
, donde se obtem Fp = Fm(NNm
)2 (DDm
)4= 890
(122.2250
)2 (1.50.3
)4= 133 kN.
Uma vez que a potencia e igual ao momento vezes a velocidade angular P = LNtemos de calcular o momento angular aplicado no helice do navio. A partir dadefinicao do rendimento η = FVav
LNpodemos escrever L = FVav
ηN= 133×103×15.4
0.65×122π/20=
246.6 × 103 Nm, donde P = LN = 246.6 × 103 × 122.2π/30 = 3.16 MW.
Ex.3: O caudal debitado Q corresponde ao caudal no ponto de funcionamentoque se obtem fazendo a interseccao entre a altura de elevacao da bomba Hbomba(Q)e da instalacaoHinst(Q): no ponto de funcionamento temosHbomba(Q) = Hinst(Q).
Para a instalacao temos H = z2−z1 + U2
2g
(∑ fLD
+∑K)
= 123−0+9Q2 +1Q2 =
123 + 10Q2. Para a bomba temos de achar as constantes a e b tais que Hbomba =a−bQ2. Da curva com as carecterısticas da bomba temos (Q,H) = (0, 142), donde142 = a − b(0)2 e a = 142; de (Q,H) = (1, 125) temos 125 = 142 − b12, dondeb = 142 − 125 = 17, logo Hbomba = 142 − 17Q2. No ponto de funcionamento, de
Hbomba(Q) = Hinst(Q) obtermos 142−17Q2 = 123+10Q2, ou seja Q =√
142−12510+17
=
0.839 m3/s.A altura de elevacao para o ponto de funcionamento pode agora obter-se deHinst(Q = 0.839) ou de Hbomba(Q = 0.839) = 142 − 17(0.839)2 = 130 m. Apartir deste valor podemos estimar o diametro da maquina pelo diagrama de
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cordier. A velocidade especıfica e Ω =[
NQ
(gH)3/4
]ηmax
. Considerando que estamos
proximo do rendimento maximo vem: Ω =[
975×(2π/60)×0.839
(9.81×130)3/4
]= 0.401 valor tipico
de uma bomba radial. Atraves do diagrama de Cordier tiramos, para Ω = 0.40,
um diametro especıfico de ∆ = D(gH)1/4
Q1/2 = 7.0, donde D = ∆Q1/2/(gH)1/4 =
7 × (0.839)1/2/(9.81 × 130)1/4 = 1.07 m.A potencia obtem-se de P = ρQgH/η. Da figura Ex.3 vem η = 0.87 paraQ = 0.839 m3/s, donde P = ×980 × 0.839 × 9.81 × 130/0.87 = 1.2 MW.
Ex.4: Comecamos por obter a curva da instalacao Hinst = ∆pρg
= 360Q2
9.81×1.2=
3.6Q2 (m). Para o ventilador temos Hvent(Q) = a − bQ2. Usando 2 pontos dacurva caracterıstica do ventilador, por exemplo (Q,H) = (1, 335) e (Q,H) =(3, 240), obtemos duas equacoes para a e b: 335 = a − b(12) e 240 = a − b(33),de onde se tira a = 346.8 e b = 11.9. A curva caracterıstica para o ventilador eentao Hvent = 346.8− 11.9Q2. O ponto de funcionamento consiste no ponto ondeHvent(Q) = Hinst(Q), o que e equivalente a 346.8 − 11.9Q2 = 30.6Q2, de onde
vem Q =√
346.811.9+30.6
= 2.86 m3/s. Para este valor de caudal a figura Ex.4 mostraque o rendimento e η = 0.78 e a altura de elevacao e H = 255 m. A potencia eentao P = ρQgH/η = 1.2 × 2.86 × 9.81 × 255/0.78 = 11.0 kW.A mesma maquina noutro ponto de funcionamento 2 absorve uma potencia P2
que se relaciona com a potencia no primeiro ponto 1 (pontos dinamicamente
semelhantes) atraves de P1
ρN31D
51
= P2
ρN22D
52, ou seja P1
N31
= P2
N32, donde N2 = 3
√P2
P1N3
1 =
3
√1511
(2900)3 = 3215 rpm. Por sua vez o caudal entre os dois pontos obedece a