Matrices y Sistemas de Ecuaciones. - UNLP · 2019. 10. 29. · Matrices y Sistemas de Ecuaciones. ... que es un sistema de ecuaciones, no es otra cosa que una cierta cantidad de ecuaciones

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CAPÍTULO 3

Matrices y Sistemas de Ecuaciones.

¿Porque serán nuestro objeto de estudio?

Uno de los objetivos del Algebra es encontrar condiciones para que existan

soluciones y algoritmos para resolver ecuaciones. En este Capítulo estudiaremos

los sistemas de ecuaciones lineales que son modelo de muchas situaciones

problemáticas.

Los sistemas de ecuaciones lineales aumentaron particularmente su importancia

con la creación de la Geometría Analítica que permitió reducir el estudio de la

posición relativa de rectas o planos al estudio de sistemas de ecuaciones lineales.

Cómo resolvemos la distribución de una herencia entre varios herederos, o cómo

se distribuyen los alumnos en las aulas para la toma de un examen, etc., si tales

circunstancias están sujetas a otras condiciones, conducen al planteo de varias

ecuaciones con varias incógnitas y en algunas situaciones son ecuaciones

lineales. Puede encontrar información sobre las aplicaciones de los sistemas

lineales interesantísimas si lo desea, en internet.

Por ejemplo: "El señor González tiene dos hijos para repartir su fortuna de

2500000$. El mayor recibirá el doble que el menor. Cuánto recibirá cada uno?"

Si indicamos por x: la cantidad de $ que recibirá el mayor.

por y: la cantidad de $ que recibirá el menor.

Las condiciones descriptas llevan al planteo de:

x + y = 2500000

x = 2 y

que es un sistema de ecuaciones, no es otra cosa que una cierta cantidad de

ecuaciones (en este caso dos) con cierta cantidad de incógnitas (en este ejemplo

dos).

Una solución para un sistema de ecuaciones es un juego de valores

numéricos (en el ejemplo un par) de las incógnitas, que resuelve

simultáneamente todas las ecuaciones. Resolver un sistema de ecuaciones es

encontrar soluciones del mismo. Puede suceder que no existan soluciones, que

exista una sola o que haya más de una.

Para encarar el estudio general de los sistemas de ecuaciones lineales haremos

primeramente el estudio de unos objetos algebraicos, llamados matrices, que

facilitarán las cosas y que además de aplicarse en los sistemas de ecuaciones sirven

para representar entre otros distintos fenómenos físicos, económicos y geométricos.

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CAPÍTULO 3

PARTE 1

Cálculo Matricial

La teoría de matrices requiere la definición de unos objetos (las matrices) formados

a su vez con elementos de un conjunto K. De acuerdo qué se elija como K, las

matrices tendrán distintas posibilidades y propiedades. En este curso

consideraremos K = ℝ y en aquellas ocasiones que se considere otro conjunto numérico

se aclarará. También es posible considerar como K algún conjunto donde estén

definidos una suma y un producto y además con "buenas" propiedades.

La teoría que pretendemos desarrollar se limitará a definir operaciones algebraicas

(suma entre matrices, multiplicación de matriz por un número y multiplicación

entre matrices) y estudiar las propiedades de esas operaciones en estos objetos,

muchas propiedades son similares a las que se verifican sobre los números reales.

1. ¿Qué es una matriz?

Dado K= ℝ , una matriz de m filas y n columnas es un conjunto de m x n

elementos dispuestos en un cuadro, formando m filas y n columnas.

Para poder indicar la fila y columna que ocupa un elemento se utilizan dos

subíndices, el primero indica la fila y el segundo la columna.

Las matrices las designaremos por letras mayúsculas.

Para indicar que los m x n elementos forman una matriz los encerramos entre

paréntesis.

Una matriz genérica es la siguiente:

simplemente

A= (

𝑎11 ⋯ 𝑎𝟏𝒏⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝒎𝒏

) o más detallada A=

(

𝑎11 𝑎12……𝑎21 𝑎22…... .…𝑎𝑚1

. .

. .𝑎𝑚2

𝑎1𝑛 𝑎2𝑛

… .

. ..

𝑎𝑚𝑛

)

Donde 𝑎𝑖𝑗 es un elemento genérico, que está en la fila i y en columna j de A.

Como la matriz tiene m filas y n columnas diremos que A es mxn o que A pertenece al conjunto de

todas las matrices que tienen m filas y n columnas es decir que 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛 .

También es costumbre indicar a los elementos de una matriz con la letra minúscula

correspondiente a la mayúscula que se utiliza para designar la matriz, seguida de

dos subíndices. Esto es, si B es la matriz, su elemento genérico lo

designamos por bi j o bk p . Recuerde que los índices "son mudos" y los pares

de subíndices indican fila (el primero) y columna (el segundo).

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CAPÍTULO 3

EJEMPLOS

Sean las siguientes matrices:

𝐴 = (

2 √2 4

6 11

30 9 −3

)

𝐵 = (0−190)

𝐶 = (24 −11) 𝐷 = (0 00 0

)

𝐸 = (1 05 −73 34

)

A es una matriz 3 x 3, que por tener igual número de filas que de columnas se

dice cuadrada.

a11 2 a22 1 a33 3, ellos son los elementos de la diagonal

principal de A.

Otros elementos de A son a23 1

3; a12 √2 etc. Complete…..

B tiene 3 filas y una columna, por ello se dice matriz columna.

Tiene un elemento no nulo que es el b21 -19

C tiene una fila y 2 columnas, por ello se dice matriz fila. C ℝ 1x2

¿Cuál es c11 .... y cual es c12

D es cuadrada y tiene la particularidad que todos sus elementos son 0, por eso se

dice matriz nula, como es 2 x 2, es la nula 2 x 2. Entonces D ℝ?? ?

Las matices cuadradas (m x m) desplegadas forman un cuadrado, por eso se habla de

diagonales. Observar que los elementos sobre la diagonal que va del extremo superior

izquierdo al inferior derecho, tienen igual índice de fila que de columna. A ésta se la llama

diagonal principal. La otra diagonal es la secundaria.

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CAPÍTULO 3

Esto lo podemos expresar como

dij 0 para todo i y para todo j tal que1 i 2 1 j 2.

E es 3 x 2, es una matriz rectangular (no cuadrada) pues el número de filas es

distinto del número de columnas. ¿La matriz E es elemento de qué conjunto??

(De la geometría elemental se sabe que los rectángulos tienen diagonales pero no

se define diagonal para este tipo de matrices).

¿Cuál es e11 y e32 y e22

1.1. ¿Qué es la igualdad de matrices?

Para que dos matrices A y B sean iguales se debe verificar:

Que sean de igual tipo.

Esto es el número de filas de A igual al número de filas de B e igualmente para

columnas.

Esto significa que se habla de la igualdad en ℝ𝑚𝑥𝑛 para m y n fijos.

Que los elementos sean respectivamente iguales.

Esto es que si A aij 1im

1 jn

y B bij 1im

1 jn

aij bij para todo i, 1 i m y para todo j,1 i n

Si lo imaginamos visualmente significa que al superponer A con B , coincidan.

Otra forma de indicar que dos matrices cualesquiera 𝐴 ∈ ℝ𝒎𝒙𝒏 y 𝐵 ∈ ℝ 𝒌𝒙𝒑 son

iguales, sería:

A = B si y sólo si m = k y n = p

Y además 𝒂𝒊𝒋 = 𝒃𝒊𝒋 para todo i y para todo j.

(porque ya se sabe que tienen la misma cantidad de filas y de columnas, por eso de

m=k y n=p. Y que en el lugar ij tienen el mismo número, por eso de 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗)

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CAPÍTULO 3

2. Suma de matrices

Esta operación se define para matrices de igual orden o tipo. Esto es de igual

número de filas e igual número de columnas. Fijemos esto en m x n. Es decir

trabajaremos con elementos de ℝ𝑚𝑥𝑛

¿Cuál es la pretensión?

Que sumando dos matrices de ℝ𝑚𝑥𝑛 se obtenga una matriz de ℝ𝑚𝑥𝑛 .

Que esa operación tenga "buenas propiedades". Esto es, que llegue a tener las

propiedades que cumple la suma definida en los conjuntos numéricos:

ℤ,ℚ 𝑦 ℝ

Observar que se suman los elementos que están en igual posición (fila y columna)

en ambos sumandos para obtener la matriz suma.

"Visualicemos" nuevamente: si superponemos las matrices a sumar, sumamos los

elementos que "se tocan" y así obtenemos la matriz suma.

EJEMPLO:

Sumar las matrices

A= (1 05 −73 34

) 𝑦 𝐵 = (10 0

1 √15−1 3

) pueden sumarse porque ambas son elementos de ℝ3𝑥2.

La matriz suma de A y B es la matriz dada por A+B =(

1 + 10 0 + 0

5 + 1 −7 + √153 + (−1) 34 + 3

) = (11 0

6 −7 + √152 37

)

para cada i, 1 i m para cada j, 1 j n ci j ai j bi j

por:

1 j n

lo anotam A + B a una matriz C ci j 1i m cuyo elemento genérico dado

1 jn 1 j n

matr A ai j 1i m y B bi j 1im llamam de A y B y

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CAPÍTULO 3

¿Qué observa??

¿Valdrá en general que A+ B = B + A ?

EJEMPLO

¿Cuáles de las siguientes matrices son sumables (que se puedan sumar)? Halle la

suma en esos casos:

(3 −21 4

)𝐵 = (−6

√3) 𝐶 = (

0 0 00 0 00 0 0

) 𝐷 = (719−2) 𝐸 = (

6 18 251

40 8

0 1 −3

2

)

𝐹 = (−3 2−1 −4

)𝐺 = (

1 18 255

40 0

0 13

8

)

Para que las matrices se puedan sumar se tiene que verificar que sean de igual

tipo.

Por lo tanto son sumables: A con F ya que ambas son 2 x 2 y por otra parte C, E

y G que son 3 x 3.

Si operamos:

𝐶 + 𝐺 = (0 0 00 0 00 0 0

) +

(

6 18 251

40 8

0 1 −3

2)

=

(

0 + 6 0 + 18 0 + 25

0 +1

40 + 0 0 + 8

0 + 0 0 + 1 0 −3

2 )

=

(

6 18 251

40 8

0 1 −3

2)

𝐶 + 𝐸 = (−3 2−1 −4

) + (3 −21 4

) = (−3 + 3 2 + (−2)−1 + 1 −4 + 4

) = (0 00 0

)

¿Qué le sugieren estos dos ejemplos??

¿Cómo es C? ¿Qué ocurre cuando se suma con otra matriz?¿Qué propiedad tiene?

¿Qué nombre le pone con respecto de la operación de suma?

¿Cómo llamaría a F o a A? ¿Qué son una respecto de la otra para la operación de

suma? ¿Cómo anotaría a F o a A con respecto a la otra?

Queda para que complete las sumas de C con G y de E con G.

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CAPÍTULO 3

2.1. Propiedades de la suma de matrices

Por la definición dada si

Aℝ𝑚𝑥𝑛

y B ℝ𝑚𝑥𝑛

entonces A B ℝ𝑚𝑥𝑛 ,

esto significa que la suma es cerrada en ℝ𝑚𝑥𝑛 .

Dadas

A, B y C en ℝ𝑚𝑥𝑛

entonces (A B) C A (B C)

luego vale que

la suma es asociativa en ℝ𝑚𝑥𝑛

Dadas

A y B en ℝ𝑚𝑥𝑛 entonces A B B A

luego vale que la suma es

conmutativa en ℝ𝑚𝑥𝑛 .

Existe el neutro 0 en

tal que para toda A ℝ𝑚𝑥𝑛

ℝ𝑚𝑥𝑛 es la matriz nula de ℝ𝑚𝑥𝑛 que indicaremos por O

A O A .

Para toda matriz

A ℝ𝑚𝑥𝑛 existe una matriz B

ℝ𝑚𝑥𝑛

tal que A B O

B es la matriz opuesta de A y la indicaremos por -A.

4.2.1.EJERCICIO

a) Verificar la propiedad asociativa de la suma de matrices para tres matrices (a

elección suya) en ℝ3𝑥2 .

b) Verificar la propiedad conmutativa de la suma de matrices para dos matrices

que Ud. elija en ℝ4𝑥4 .

c) Demostrar las propiedades de la suma de matrices en ℝ𝑚𝑥𝑛 . (no se asuste, demostraremos una de las propiedades como ejemplo para que si usted lo desea, demuestre las otras…)

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CAPÍTULO 3

La propiedad conmutativa:

Sean A ai j 1i m y 1 jn

B bi j 1im

1 jn

consideremos la suma de A con B

A + B = C ci j 1im cuyo elemento genérico es dado por: 1 jn

ci j ai j bi j para cada i, 1 i m para cada j, 1 j n

Como vemos cada ci j es suma de dos números reales y en los números reales

vale la propiedad conmutativa de la suma, luego:

ci j ai j bi j bi j ai j para cada i, 1 i m para cada j, 1 j n

Pero el último miembro de la igualdad indica el elemento genérico de la suma de

las matrices B y A en ese orden por la definición de la suma dada.

Como dos matrices son iguales si coinciden en sus elementos genéricos resulta

que

A + B = B + A. Probamos solo la conmutatividad de la suma.

3.Producto de escalar por matriz

Se llaman escalares a los elementos de K, en este caso de ℝ.

Cuál es la pretensión?

Que dado un número real (escalar)

cualquiera y una matriz mxn , al

multiplicar el escalar por la matriz, el

resultado sea otra matriz mxn.

De alguna manera las matrices generalizan los conceptos de vectores en el plano y

el espacio, por eso es que se llaman escalares a los números para diferenciarlos de

los otros objetos llamados vectores. Además es habitual considerar el achicamiento

o estiramiento producido al multiplicar un vector por un número, esta operación es

la que generalizaremos seguidamente.

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CAPÍTULO 3

Formalmente…

OBSERVACIÓN: hay trabajos que definen el producto de escalar por matriz

como de matriz por escalar esto es

A . bi j 1im

1 j n

donde para cada i, 1 i m y para cada j, 1

bi j ai j .

j n

Pero por la conmutatividad de ℝ, resulta que . A A .

EJEMPLO:

Dada la matriz A= (1 05 −73 34

) y el escalar Hallar la matriz A

A= (

(−3)1 (−3)0(−3)5 (−3)(−7)(−3)3 (−3)34

) = (−3 0−15 21−9 −102

)

EJEMPLO: Sea A la matriz 𝐴 = (√7 −5 46 0 1

) 𝐴 ∈ ℝ2𝑥3, hallar las matrices 1.A, 2.A, 0.A

Claramente 1. A= A y 0.A es la matriz nula de ℝ2𝑥3

2𝐴 = (2. √7 2. (−5) 2.42.6 2.0 2.1

) = (2√7 −10 82 0 2

)

Además compruebe que 2. A = (1+1). A = A + A

Sea una matriz A m n y un elemento ℝ , si A ai j 1i m se define 1 j n

1 jn

bi j .ai j

Esto es: cada elemento de A se multiplica por . Claro!!!

Otra observación formal: Para indicar producto de escalar por matriz se ha usado

también el . que simboliza el producto entre números reales, pero el contexto hará

comprender de cual producto se trata.

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CAPÍTULO 3

3.1. Propiedades del producto escalar por matriz

Por la definición que dimos anteriormente

Si 𝑨 ∈ ℝ𝒎𝒙𝒏 𝒚 𝜶 ∈ ℝ, 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝜶. 𝑨 ∈ ℝ𝒎𝒙𝒏 .

𝑺𝒊 𝑨 ∈ ℝ𝒎𝒙𝒏 𝟏. 𝑨 =A

Hay dos clases de "distributividad":

Dados A y B en ℝ𝐦𝐱𝐧 y ℝ entonces . (A B) . A . B luego

vale que el producto por el escalar se distribuye en la suma de matrices.

Dados A ℝ𝐦𝐱𝐧 𝛼 y ∈ ℝ entonces ( ) . A . A . A luego

vale que el producto de una matriz por una suma de escalares se distribuye

en la suma de escalares.

Se verifica una especie de asociatividad:

Dados A ℝ𝐦𝐱𝐧 , y en ℝ entonces (. ) . A . ( . A) .

Observar con atención los distintos usos del símbolo "." .

4.3.1.EJERCICIO

Verificar las propiedades para al menos un caso por propiedad.

4.3.2.EJERCICIO

Realizar los siguientes cálculos: 6. B ; 3. B ; 9. B, (-2)A + 4 B, , 3.(5A), 5.(3A).

para los casos:

𝐴 = (

−2 √134 80 1−14 −1

) 𝑦 𝐵 = (

−7 √130 80 1

√3 −5

)

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CAPÍTULO 3

3. Una definición importante: La trasposición y la matriz traspuesta

Dada una matriz A se le asocia otra matriz si se intercambian ordenadamente las filas

con las columnas.

La trasposición de matrices es una función

t : ℝ𝐦𝐱𝐧

ℝ𝐧𝐱𝐦

Lo que hace esta operación es colocar ordenadamente las filas como columnas,

así se pasa de una matriz m x n a otra n x m

EJEMPLOS :

Si 𝐴 es la matriz, 𝐴 = (−2 3

3

5

0 0 −7) , claramente 𝐴 ∈ ℝ2𝑥3.

La matriz traspuesta de 𝐴, que llamamos 𝐴𝑡es una matriz de ℝ3𝑥2 y está dada por:

𝐴𝑡 = (

−2 03 03

5−7)

Y si observamos la definición formal de matriz traspuesta recuadrada arriba,

dice que: “𝑎𝑖𝑗∗ = 𝑎𝑗𝑖 ". Es por eso que, por ejemplo, el elemento de la matriz A, 𝑎12= 3 y el elemento

𝑎21∗ de la matriz 𝐴𝑡 es 𝑎21

∗ = 3

Con lo cual, como era de esperar 𝑎21∗ = 𝑎12= 3

a i j ji a*

1 j m

donde para cada i, 1 i n y para cada j, 1 j m i j 1in t * A a

dada por At traspuesta de A a la matriz de ℝ

nm

1 j n

se define como la 1i m i j Precisando, para una matriz A ℝ mn

, A a

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CAPÍTULO 3

Si se tiene una matriz diagonal, por ejemplo 𝐵 = (−4 0 00 2 00 0 6

) , su traspuesta 𝐵𝑡 = (−4 0 00 2 00 0 6

)

Ejercicio 4.3.3: Sean las siguientes matrices:

𝐴 = (50−2

) , B=(√7 9 00 1 1−8 2 4

)𝐶 = (

10 12 11 −100 343

40 −3

) , 𝐷 = ( 1 23 412 −8

) 𝐸 = (1 3 52 4 6

)

a)Sólo en los casos en que sea posible hallar las siguientes matrices: 𝐴𝑡, ( 𝐷 + 𝐸𝑡), 𝐷 + 𝐷𝑡 . c) Compare las siguientes matrices: (3. 𝐸)𝑡con 3. 𝐸𝑡, (𝐵 + 𝐶)𝑡 con (Bt + 𝐶𝑡) y (𝐸𝑡)𝑡con E.

Se cumplen las siguientes propiedades que generalizan las comparaciones pedidas en el inciso b)

Si A y B son matrices de ℝmxny α ∈ ℝ, se cumple que:

1)(At)t = A, 2)(α.A)t= αAt,

y 3)(A + B)t = At + Bt

Que puede demostrar en general,si lo desea.

4.Multiplicación entre matrices

Otra operación entre matrices es la multiplicación.

La definición que seguidamente se dará pareciera antojadiza pero es debido a las

aplicaciones que la teoría de matrices tiene, una de las cuales será aprovechada en este

Curso: la resolución de los sistemas de ecuaciones.

Históricamente se asigna a Arthur Cayley el haber introducido la multiplicación

matricial precisamente para esta aplicación a mediados del siglo XIX.

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CAPÍTULO 3

Este definición quedará mucho mas clara después de los ejemplos…

EJEMPLO: 𝐴 = (−1 03 42 5

) 𝐵 = (0 −1 62 1 −3

)

La matriz A ℝ 3 2 y B ℝ 2 3

por lo cual es posible calcular C = A.B que es un

elemento de ℝ 33

Sean A ℝm n y B ℝ n p

dos matrices tales que (como se destaca) el

número de columnas de A es igual al número de filas de B.

Con ellas se define una matriz C ℝ m p , llamada producto de A por B.

Se anota C = A .B, o simplemente AB.

CURIOSO!!!: Esta operación es definible entre elementos de distintos conjuntos (muy

particulares) y el producto resulta en otro conjunto.

n

C (cij )1im tal que el elemento genérico es dado por:

1 j p

cij aik .bk j

k 1

la matriz C =A. B está definida por:

y Si A (ai j )1im B (bi j )1in

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CAPÍTULO 3

Sabemos que formato tiene la matriz C:

𝐶 = (

𝑐11 𝑐12 𝑐13𝑐21 𝑐22 𝑐23𝑐31 𝑐32 𝑐33

) ahora calcularemos todos los 𝑐𝑖𝑗. Por la definición de producto de matrices

sabemos que el elemento genérico de la matriz C, 𝑐𝑖𝑗 , es el correspondiente a la fila i, columna j.

Consideraremos, como la definición de matriz producto lo indica, la fila i de A y la columna j de B:

Empecemos por el elemento 11, de la matriz producto C =A.B

𝑐11 : Se calcula a partir de la fila 1 de A: ( −1 0 ) 𝑦 la columna 1 de B: (02) y hacemos el

producto escalar como con los vectores de ℝ2. Con lo cual 𝑐11 = (−1). 0 + 0.2 = 0

𝒄𝟏𝟏 = 𝟎

𝑐12 : Con la fila 1 de A: (−1 0) 𝑦 la 𝐜𝐨𝐥𝐮𝐦𝐧𝐚 𝟐 de B: (−11) . Con lo cual,

𝑐12 = (−1). (−1) + 0.1 = 1

𝒄𝟏𝟐 = 𝟏

𝑐13 : fila 1 de A: (−1 0) 𝑦 la columna 3 de B: (6−3) . Con lo cual 𝑐13 = (−1). 6 +

0. (−3) = −6

𝒄𝟏𝟑 = −𝟔

Y ya tenemos la fila 1 de la matriz producto: ( 0 1 -6)

Faltan 2filas.

Vamos a la fila 2 de la matriz producto , se construirá como fila 2 de A por cada una de las columnas de B…sus elementos son : 𝑐21

𝑐22 y 𝑐23

𝑐21 : fila 2 de A: (3 4) 𝑦 la columna 1 de B: (02) Con lo cual 𝑐21 = 3.0 + 4.2 = 8

𝒄𝟐 = 𝟖

𝑐22 : fila 2 de A: ( 3 4 ) 𝑦 la columna 2 de B: (−11). Con lo cual 𝑐22 = 3. (−1) + 4.1 = 1

𝒄𝟐𝟐 = 𝟏

𝑐23 : fila 2 de A: ( 3 4) 𝑦 la columna 3 de B: (6−3) . Con lo cual 𝑐23 = 3.6 + 4. (−3) = 6

𝒄𝟐𝟑 = 𝟔

Y ya tenemos la fila 2 de la matriz producto: (8 1 6)

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CAPÍTULO 3

Vamos a la fila 3 de la matriz producto , se construirá como fila 3 de A por las columnas de B…sus elementos son : 𝑐31 𝑐32 𝑐33

𝑐31 : fila 3 de A:( 2 5 ) 𝑦 la columna 1 de B: (02). Con lo cual 𝑐31 = 2.0 + 5.2 = 10

𝒄𝟑𝟏 = 𝟏𝟎

𝑐32 : fila 3 de A: ( 2 5 ) 𝑦 la columna 2 de B: (−11). Con lo cual 𝑐32 = 2. (−1) + 5.1 = 3

𝒄𝟑𝟐 = 𝟑

𝑐33 : fila 3 de A: ( 2 5 ) 𝑦 la columna 3 de B: (6−3) . Con lo cual 𝑐33 = 2.6 + 5. (−3) = −3

𝒄𝟑𝟑 = −𝟑

Y ya tenemos la fila 3 de la matriz producto: (10 3 -3).

Hemos calculado 𝐶 = 𝐴. 𝐵 = (−1 03 42 5

) . (0 −1 62 1 −3

) = (0 1 −68 1 310 3 −3

).

Veamos otro ejemplo:

Ahora 𝐴 = (

−2103

41−71

) y B= (−2 70 1

). Nos preguntamos si son multiplicables.

A es de 4 filas y 2 columnas y B de 2 filas y 2 columnas: 4X2 2X2 pueden multiplicarse

y el resultado es una matriz de 4X2.

Es decir que 𝐴.𝐵 = (

−2103

41−71

). (−2 70 1

)= C=(

𝑐11 𝑐12𝑐21 𝑐22𝑐31𝑐41

𝑐32𝑐42

) = (

−2. (−2) + 4.0 −2.7 + 4.11. (−2) + 1.0

0. (−2) + (−7). 03. (−2) + 1.0

1.7 + 1.10.7 + (−7). 13.7 + 1.1

)=

=(

−4 −10−2 80−6

−722

)

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CAPÍTULO 3

¿Es posible multiplicar B por A? Como B ℝ 2 2 y A ℝ 42 el número de columnas de B

(2) es distinto del número de filas de A (4), luego no está definida esa multiplicación.

Por esta observación podemos concluir que la multiplicación de matrices NO es

conmutativa.

Cuando como en esta situación no es posible realizar la multiplicación entre dos

matrices se dice que no son multiplicables.

En el caso que la multiplicación sea posible se dice que son multiplicables.

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CAPÍTULO 3

"El orden de los factores altera el producto" En algunos casos A y B pueden ser matrices multiplicables, es decir que puede efectuarse

el producto A.B y también B.A pero puede resultar que A.B sea una matriz distinta de B.A,

como ilustra el siguiente ejemplo.

A = (1 −23 3

) , 𝐵 = (0 25 −1

),

𝐴. 𝐵 = (1.0 + (−2). 5 1.2 + (−2). (−1)3.0 + 3.5 3.2 + 3. (−1)

) = (−𝟏𝟎 𝟒𝟏𝟓 𝟑

) . 𝐵. 𝐴 = (0 25 −1

) . (1 −23 3

)

𝐵. 𝐴 = (0.1 + 2.3 0. (−2) + 2.3

5.1 + (−1). 3 5. (−2) + (−1). 3) = (

𝟔 𝟔𝟐 −𝟏𝟑

)

4.5.1.EJERCICIO

a) Dadas A y At cualesquiera (arbitrarias y de cualquier orden), es calculable

A.At ?

b) Dadas A y At cualesquiera (arbitrarias y de cualquier orden), es calculable At .A?

c) Verifique lo afirmado en a) y b) para las matrices:

𝐴 = (

−2 40 53

70) , B = (

−1011), 𝐶 = (

1 1 −5 7 120 0 0 3 √8

)

4.5.2.EJERCICIO

Dadas las matrices: 𝐴 = (0 −5 171 0 0

) , 𝐵 = (

−1 3 252

30 0

16 −4 3

) 𝑦

𝐶 = (−2 0 01 −5 20 1 −1

)

calcular A.(B+C) y A.B + A.C . ¿Qué observa?

¿Cómo llamaría a lo que observa?

Siempre que las multiplicaciones y las sumas estén definidas se satisface:

A.(B+C) = A.B + A.C

es decir, la multiplicación de matrices es distributiva en la suma de matrices.

(Esta afirmación queda como ejercicio para un día muy especial. .. )

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CAPÍTULO 3

4.5.3.EJERCICIO

Dadas las matrices

𝐴 = (−1 3 02 2 −7

) 𝐵 = (1 012 09 −5

) 𝐶 = (8 0 02 2 1

−2−3 )

Verifique que A.(B.C) = A.(B.C)

Esa propiedad que verificó en el ejemplo anterior, vale en general para matrices multiplicables.

El producto de matrices es asociativo. (no lo demostraremos…)

Recordemos una propiedad importante que tiene el producto de números reales: Para

todos a y b números reales, si a.b = 0 entonces a=0 o b=0 también puede enunciarse

equivalentemente usando el contrarrecíproco si 𝑎 ≠ 0 y 𝑏 ≠ 0 entonces 𝑎. 𝑏 ≠ 0.

Ejemplo muy importante, con respecto al comentario anterior:

Sean 𝐴 = (2 −1−6 3

) y 𝐵 = (2 04 0

) ambas matrices no nulas

𝐴. 𝐵 = (2 −1−6 3

) . (2 04 0

) = (2.2 + (−1). 4 2.0 + (−1). 0−6.2 + 3.4 −6.0 + 3.0

) = (0 00 0

)

Un producto de matrices puede dar la matriz nula sin que los factores lo sean!!

Veremos otro ejemplo que muestra claramente que el producto de matrices NO se

comporta como el producto de números reales:

Consideremos las matrices del ejemplo anterior 𝐴 = (2 −1−6 3

), 𝐵 = (2 04 0

)

Y la matriz 𝐶 = (8 −4−12 6

), 𝐴.𝐵 = (0 00 0

) y 𝐶. 𝐵 = (8 −4−12 6

)(2 04 0

) =

= (8.2 + (−4). 4 8.0 + (−4). 0−12.2 + 6.4 −12.0 + 6.0

)=(0 00 0

)

Es decir que 𝐴.𝐵 = 𝐶.𝐵 con B 𝐧𝐨 nula y 𝐴 ≠ 𝐶. (esto no ocurre en el caso de los

números reales)

Aunque el producto se comporta de forma inesperada, para el producto entre matrices

cuadradas, existe elemento neutro, para las no cuadradas, hay un neutro a izquierda y

20

CAPÍTULO 3

otro a derecha en contra de la pretensión de que haya un único neutro. Quedará más

clara esta situación después de hacer el siguiente ejercicio:

4.5.4 Ejercicio:

Sean las matrices

𝐴 = (0 1 −6

8 1 3

10 3 −3

) , 𝐵 = (1 23 412 −8

), 𝐼2 = (1 00 1

) , 𝐼3 = (1 0 00 1 00 0 1

)

a) Calcular 𝐴. 𝐼3 e 𝐼3.A. Qué observa?

b) Calcular 𝐵. 𝐼2 e 𝐼3.. 𝐵. Qué observa?

c)Cómo llamaría a las matrices 𝐼2 y 𝐼3?

La matriz identidad de nxn, puede describirse como:

𝐼𝑛 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛 𝐼𝑛 = (𝑒𝑖𝑗)

{𝑒𝑖𝑗 = 1, 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗

𝑒𝑖𝑗 = 0, 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗

Y no aclaramos que es para todo i desde 1 hasta n, y para todo j desde 1 hasta n porque

dijimos antes que 𝐼𝑛 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛. También podemos indicar a esta matriz como:

La matriz identidad de orden n, es una matriz diagonal nxn, tal que sus únicos

elementos no nulos, son los de la diagonal principal y son todos unos

𝐼𝑛 =

(

1 0 … 0 00 1 … 0 0⋮00

⋮00

⋱ 0 0⋯ 0 0… 0 1)

21

CAPÍTULO 3

Se puede probar que si A es una matriz cuadrada, es decir

𝑨𝝐ℝ𝒏𝒙𝒏 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬 𝑨. 𝑰𝒏=𝑰𝒏. 𝑨 = 𝑨 (hay neutro…)

Y que si no es cuadrada, m distinto de n, 𝐴𝜖ℝ𝒎𝑥𝑛entonces 𝐴. 𝑰𝒏=𝑰𝒎. 𝐴 = 𝐴 (es lo que

se puede tener…)

EJERCICIO 4.5.5 (a modo de repaso…)

Consideremos el conjunto ℝ𝑛𝑥𝑛 (cuadradas).

a) Es posible la suma entre sus elementos?

b) Qué propiedades tiene esa operación? Haga una lista.

c) Es posible definir la multiplicación entre dos elementos cualesquiera del

conjunto?

d) Qué propiedades tiene esa operación? Haga una lista.

Definiremos la potenciación en el conjunto de matrices cuadradas:

Dada una matriz 𝐴𝜖ℝ𝒏𝒙𝒏tal que 𝑨 ≠ 𝟎𝒏𝒙𝒏 y 𝑘𝜖ℕ 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒:

𝐴𝑘 = {𝐼𝑛 𝑠𝑖 𝑘 = 0

𝐴. 𝐴𝑘−1 𝑠𝑖 𝑘 ≥ 1

Si 𝐴 = 0𝑛𝑥𝑛 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝒌 ≥ 𝟏, 𝐴𝑘 = 0𝑛𝑥𝑛

(observe que como ocurre con los números, no se define (0𝑛𝑥𝑛)0, no existe, queda

indeterminado, como era de esperar…)

Para tener en cuenta:

El siguiente ejercicio recopila algunas propiedades que no se cumplen en el

conjunto ℝ𝑛𝑥𝑛.

Ejercicio 4.5.6

Sean 𝐴 = (3 0 14 −2 8−2 3 10

) , 𝐵 = (−1 4 −39 −2 50 1 3

). Compruebe:

a) 𝐴. 𝐵 ≠ 𝐵. 𝐴

b) (𝐴 + 𝐵). (𝐴 − 𝐵) ≠ 𝐴2 − 𝐵2

c) (𝐴. 𝐵)2 ≠ 𝐴2.𝐵2

d) (𝐴 + 𝐵)2 ≠ 𝐴2 + 2𝐴. 𝐵 + 𝐵2

Ejercicio 4.5.7

Observación: este ejercicio permite conjeturar propiedades que sí se cumplen en

conjunto ℝ𝑛𝑥𝑛. No probaremos que se cumplen en general.

22

CAPÍTULO 3

Compruebe para las matrices: 𝐴 = (2 −10 5

) , 𝐵 = (0 74 −3

) , 𝐼2 = (1 00 1

) que se

cumplen las siguientes igualdades.

a) 𝐴. (3. 𝐵) = 3𝐴. 𝐵

b) 𝐴. 𝐵2= (AB).B

c) 𝐴. (𝐵. 𝐴) = (𝐴. 𝐵). 𝐴 d) 4I.A = 4.A

e) 𝐼253=?

Otro ejercicio para conjeturar propiedades…

4.5.8. Ejercicio: Compruebe que para las matrices:

𝐴 = (2 0 1−3 4 40 0 5

) 𝑦 𝐵 = (3−7

31

1 2) se cumplen las siguientes igualdades:

a) (𝐴𝑡)2 = (𝐴2)𝑡 y b) (𝐴. 𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡 . 𝐴𝑡 Puede realizarse el product𝑜 𝐴𝑡 . 𝐵𝑡?

Justifique su afirmación.

Prestemos mucha atención al ejemplo que sigue y pensemos en lo siguiente: Al

existir una matriz identidad en cada conjunto de matrices cuadradas, por ejemplo la

identidad n por n, será cierto que para toda matriz no nula n por n, existe otra (nxn

también) que multiplicada por ella de la identidad??

Claramente solo pensamos en matrices cuadradas y recordemos que para estas

matrices el producto tampoco es conmutativo.

Por lo visto hasta ahora, habrá que ir con mucho cuidado con este producto…

Consideremos las siguientes matrices:

𝐴 = (1 2−3 4

) 𝑦 𝐵 = (

2

5−1

53

10

1

10

) y calculemos las matrices A.B y B.A

𝐴.𝐵 = (1 2−3 4

) . (

2

5−1

53

10

1

10

) = (1.2

5+ 2.

3

101. (−

1

5) + 2.

1

10

−3.2

5+ 4.

3

10−3. (−

1

5) + 4.

1

10

) = (1 00 1

)

𝐵.𝐴 = (

2

5−1

53

10

1

10

) . (1 2−3 4

) = (

2

5. 1 + (−

1

5)(−3)

2

5. 2 + (−

1

5) . 4

3

10. 1 +

1

10. (−3)

3

10. 2 +

1

10. 4

) = (1 00 1

)

23

CAPÍTULO 3

Para este par de matrices vale que A.B = B.A=I

Otro ejemplo:

Sea 𝐴 = (1 40 0

), existirá una matriz B, tal que 𝐴. 𝐵 = 𝐵. 𝐴 = 𝐼?

Para que ambos productos estén definidos la matriz B tiene que ser de 2 por 2.

Consideremos la matriz 𝐵 = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) y pretendemos demostrar que A.B = B.A = I

𝐴. 𝐵 = (1 40 0

) . (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) = (1. 𝑎 + 4. 𝑐 1. 𝑏 + 4. 𝑐

0 0)=(

𝑎 + 4𝑐 𝑏 + 4𝑐0 0

) = (1 00 1

)

𝐵.𝐴 = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) . (1 40 0

) = (𝑎. 1 + 𝑏. 0 𝑎. 4 + 𝑏. 0𝑐. 1 + 𝑑. 0 𝑐. 4 + 𝑑. 0

) = (𝑎 4𝑎𝑐 4𝑐

) = (1 00 1

)

Si pensamos en la igualdad de matrices vemos que hay más de una razón para afirmar

que es imposible que exista alguna matriz B que cumpla la última igualdad.

Definición:

Dada 𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑨 𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆 𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

𝐵 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 A.B =B.A = I (*)

Se dice que B es la matriz inversa de A.

Se demuestra que si dada A, existe B que cumple (*) entonces B es

única por lo cual se llama a B, la matriz inversa de A y se anota a B

como 𝐴−1 .

24

CAPÍTULO 3

El ejemplo anterior prueba que:

No toda matriz no nula, es invertible.

Ejercicio 4.5.9

Demostrar que:

si 𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛y existe una matriz B que cumple 𝐴. 𝐵 = 𝐵.𝐴 = 𝐼, entonces 𝐵 𝑒𝑠 única. Es decir que la inversa de una matriz, si existe, es única. (Ayuda: Suponga que A tiene

dos inversas y pruebe que son iguales)

Observación: También es demostrable (con Herramientas del Álgebra lineal y no lo

haremos en este curso) que dada 𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛si existe 𝐵 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐴. 𝐵 = 𝐼, entonces B es la inversa de A.

Ejercicio 4.6.0

Demostrar que si A y B son matrices del conjunto ℝ𝑛𝑥𝑛 y ambas son invertibles

entonces la inversa de A.B es 𝐵−1. 𝐴−1. O dicho de otra forma: (𝐴. 𝐵)−1 = 𝐵−1. 𝐴−1

Solución: Como A y B son invertibles, sabemos que existen 𝐴−1 y 𝐵−1que cumplen:

𝐴. 𝐴−1 = 𝐴−1. 𝐴 = 𝐼 (1) y 𝐵. 𝐵−1 = 𝐵−1. 𝐵 = 𝐼 (2)

Probaremos que 𝐵−1. 𝐴−1 opera como la inversa de 𝐴. 𝐵. Entonces por la observación

anterior y el ejercicio habremos demostrado que es su inversa:

𝐴. 𝐵(𝐵−1. 𝐴−1) =⏟𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

𝐴. (𝐵. 𝐵−1). 𝐴−1 =⏟ 𝑝𝑜𝑟 (2)

(𝐴. 𝐼)𝐴−1 =⏟𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝐼 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜

= 𝐴. 𝐴−1 =⏟𝑝𝑜𝑟 (1)

𝐼

Como justificamos cada una de las igualdades hemos demostrado que

𝐴. 𝐵(𝐵−1. 𝐴−1) = 𝐼 y esto prueba que 𝐵−1. 𝐴−1 es la inversa de 𝐴. 𝐵

El resultado probado se extiende a la matriz inversa de un producto finito de matrices

invertibles, es decir:

(∏ 𝐴𝑖𝑛𝑖=1 )−1 = ∏ 𝐴𝑛−𝑖+1

−1𝑛𝑖=1 puede probarlo por inducción…o solamente desarrollar los

productos de ambos miembros para entender la propiedad.